第六章气体的一维定常流动知识讲解

工程流体力学
第六章 气体的一维定常流动
第一节 气体一维流动的基本概念
气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S熵
pp(V,T)
EE(V,T) SS(V,T)
比定容热容和比定压热容
cV 比定容热容 c p 比定压热容 两者的关系 cp cV
热力学过程
等温过程 p2 V1 p1 V2
绝热过程 dQ0
v
A
p dp 2 A dA
p dp
整理并略去二阶以上的无穷小量有
dF
v dv
vAdA v ddpF
dx
vdvdpdF0
A
单位质量流体的损失可以表示为
dF dx v2 A d 2
第七节 实际气体在管道中的定常流动
粘性气体的绝热流动微分关系式可表示为
vdvdpdxv2 0 d2
联立可导出
总静参数比用速度系数表示
T T0
c2
c02
1--11M2
p p0
1--11M2
1
1
0
1--11M2
1
第五节 气流参数和通道截面之间的关系
设无粘性的完全气体沿微元流管作定常流动,在该流管的微元距离dx上,气体 流速由v变为vdx,压强由p变为p+dp,质量力可以不计,应用牛顿第二定律
vdvdp
dA dx
A 2d
第七节 实际气体在管道中的定常流动
等截面管中压强降落的变化规律
将等熵关系式取对数后微分有
d 1 dp p
联立状态方程,连续方程求解
解上式
dp
d
p 2
M
2 a
dx
M
2 a
1
dpvR2 T dpddx2pMa20
解： 查表1,水蒸气的 1.33 R 46 Jk 2g K 由温度比和压强比公式计算得
Tc源自文库 2 2 0.8584
T0 1 1.331
ppc0rTTc0r10.85811.3.343310.5404
根据上式可以算得 pcr6.37815 0Pa
由于出口环境背压 pambpcr ,故可以采用缩放喷管
A A cr 6
4 3 2 1 0
1.2 1.3
1.4
A6 A cr 5
4 3
2
1
p0
10 20 30 40 50 p
0
(a )
1234
(b ) Ma
第六节 喷管流动的计算和分析
例 62喷管前蒸汽 p0的 11滞 k8P0 ， 止 at03参 0C 0 ， 数喷管pa后 mb2压 9k4 P 强 。 a 试问应采用 喷什 管么 ？形 已式 q 知 m的 1蒸 k2gs汽 ，流 在量 无摩擦 情绝 况热的 下，喷管的 多截 大面 ？积应为
由状态方程
0R p00T 1 4.16 8 5 1267 04 3.45 k7 gm 3
得喷管喉部面积
A t
q m ,cr
1
12
1 .3 1 3
0 .00 m 278
2 1 2 1
p 00
2 2 1 .3 1 3 1 .3 3 4 .4 5 1 .1 7 1 860 1 .3 3 1
同除以压强整理，并引入声速公式
dpvdvM2adv
pp
v
对等熵过程关系式取对数后微分有
dp d p
对完全气体状态方程取对数后微分
dp d dT pT
第五节 气流参数和通道截面之间的关系
联立得
dAM2a1dv
A
v
dp 1－Ma2 dA
p Ma2 A
d Ma2 dv
v
Ma 1
Ma 1
Ma 1 At Acr
p 0 1 M 2 M 4 a 2 - a M 6 1 a M 2 1 1 M a 2 2 -M a 4 a
p2 8 48 24 24
或者
p0 p12v2p
压缩性因子 p11 4M2 a22-4 M4 a
极限状态 气流膨胀到完全真空所能达到的最大速度
极限速度
等熵过程
p
常数
或者
pv 常数
第一节 气体一维流动的基本概念
声速和马赫数 声速是微弱扰动波在弹性介质中的传播速度
p2
2
cdv
T2
c
p1
1
T1
活塞以微小的速度dv向右运动,产生 选用与微弱扰动波一起运动的相对坐标系作
一道微弱压缩波,流动是非定常的
为参考坐标系,流动转化成定常的了
第一节 气体一维流动的基本概念
第六节 喷管流动的计算和分析
喷管出口气流达临界状态Ma=M*=1时
vvcr2 1 p 0 02 R 1 T 02 1 c0ccr
此时
p
p0
211
pcr
1
qmc r A212-1 p00
根据环境压强的变化对收缩喷管的工况作以下分析
(1)pamp b 0pcrp0时，沿喷 流 管 速 各 度 截 都 面 出 是 的 口 M 亚 1 气 ,a p 处 声 pam ;速 b ， 当 pam 降 b 低时， 增 速 大 度 ， 和 气 流 以 体 量 完 在 都 全 喷 膨 管 胀 内 。 得 (2)pamp b0pcrp0时，喷管， 内出 为口 亚截 声界 面 速状 的 流 M 态 气 a 1, ， 流 ppcrpam ,q b mqm ,ma x 1,气体在喷完 管全 内膨 仍胀 可。 得到
逆流上传， 着 流 背 量 压 不 降 再 低 这 随 而 种 增 现 大 象 ， 为 称 壅塞现象。
第六节 喷管流动的计算和分析
例 61封闭容器 中 1.4， 的 R2氮 9J7 气 kg K的滞止 p04 参 150 数 P， a
T029K。 8 气体经过 壁安 面装 上于 的容 收 ， 器 缩 已喷 知管 喷流 管出 出口 d5m 0， m 出口p 环 amb 境 150 P背 ， a 压 试求喷管 。的质量流量
参数比公式变成
Tcr cc2r 2
T0 c02 1
pcr p0
21 1
1
cr 0
21 -1
vcr
vmax
v
第四节 气流的三种状态和速度系数
速度系数 气流速度与临界声速的比值
当v=vmax时
Mmaxvcmcrax
1 -1
M*与Ma的关系
M2a12M 21M2
M2 21-1M M2a2a
M vccr
空气 1.4 R 2.1 8 Jk 7K g
空气中的声速 c20.05T
声速的大小与流动介质的压缩性大小有关,流体越容易压缩,其中的 声速越小,反之就越大
马赫数 流体流动速度和当地声速的比值 对于完全气体 Ma2 v2
RT
马赫数通常还用来划分气体的流动状态
Mav c
Ma＜1 Ma=1 Ma＞1
2R vmax 1T0
能量方程的另一种形式
c2 v2 vm 2 ax c02
1 2 2 1
第四节 气流的三种状态和速度系数
临界状态 ：在某一点上气流速度等于当地声速的状态
临界速度
ccr 21c0 11vmax
c
c0
Ma 1
Ma 1
ccr
Ma 1
或者
ccr
RTcr
2R 1T0
0
令Ma=1 则总静
可见，对于随 超着 声截 速面 流积 ，流 的速 增度 大增 ，大 气； ，截 压强降低
面积减小，减 则小 气， 流压 速强 度增大。
v(x)
p(x)
x
(3)M1 a 时，气流 d A 跨 0,d v 声 0,d p 速 0 。流 根动 据。 上 气 式 流 分 由 析 超 速 可 声 时 知 管道必须 张 先 ， 收 中 缩 间 最 ， 必 小 后 然 截 扩 出 面 上 现 。 流 一 在 速 个 这 度 到 一 实 临 截 现 最小截面 后 称 随 为 着 喉 截 气 部 面 流 。 积 作 其 的 超 增 声 大 速 ， 流动。
第七节 实际气体在管道中的定常流动
有摩擦的一维定常绝热管流
选取图中所示的dx 微元管段上的流体作为研究对象。表面力包括 上、下游断面上的总压力，管子壁面上的切应力的合力和压强的 合力，作为气体质量力可以忽略不计。
运动微分方程
q m [v ( d ) v v ] p ( A p d )A p (d ) A 1 2 ( 2 p d ) d p d AF p
(3)pambp0pcr p0时，整个喷 动 管 为 的 亚 气 声 体 速 面 流 ， M 上 在 a1,p出 pcr口 pam,截 b qmqm,ma x1。由于出口 高 的 于 气 环 流 境 压 背 喷 强 压 管 ， 内 气 没 体 有 气 在 完 体 全 流 膨 出 胀 喷管后将继 称 续 膨 膨 胀 胀 不 ， 足 然 故 。 背 此 压 时 小 ， 于 由 虽 临 于 界 微 压 弱 强 扰 ， 动波
d 2
0 .025
q m cv c rr 4 2 .86 35 .3 2 3 3 14 1 .80 ks g 76
第六节 喷管流动的计算和分析
缩放喷管
流量
1
qm,crAt212-1 p00
由连续方程求得
A A crccr At Acr v
整理成
A A cr 2 1 1 1 -1 1 p p 0 2 p p 0 1 12 A A c rM 1 2 a 1 1 1 M 2 2 - a 1 1 M 1 2 1 2 1 M 2 1 - 1
ddvdA0 v A
能量方程 由热力学
hcpTcR ppcpc pcVp1p
代入 得
v2
h 2 h0
声速公式
p v2 -1 2
h0
c2 v2 -1 2
h0
c
p
RT
完全气体状态方程
RTv2 -1 2
h0
第四节 气流的三种状态和速度系数
滞止状态 ： 气流速度等熵地滞止到零这时的参数称为滞止参数
(M a21)d vvdA Ad dxM 2a 2
dA M2a1dv
对比
A
v
※在变截面管道中，摩擦的作用就相当于沿流动方向的截面变化率 发生变化。对于渐缩喷管，截面的减小率会更大，故亚声声速气流 速度增速加快；对于渐扩喷管，截面的增大率减小，超声速气流增 速减慢。同时可以看出，在缩放喷管中临界截面不在管道的最小截 面上，而在
气体一维定常绝能流的制止焓是个常数 得
v2 T 2cp T0
cp
R 1
Ma 2 v 2 c2
c2 RT
T0 c02 1-1M2a
T c2
2
p0 1 -1Ma21
p 2
据等熵关系式
1
0
1 -1Ma2-1
2
总静参数比
第四节 气流的三种状态和速度系数
考虑气体的压缩性与否及会带来多大误差
A 马赫锥
vc o
3c 2c
马赫角
(c)
si n c1
si-1n 1
B
2 3
4
v Ma
Ma
vc
4c 3c 2c
o
(b)
2 4
vc o
A
马赫锥
3c 4c
(d)
2
3
4
B
结论:超声速气流中的微弱扰动波不能逆流向上游传播
第三节 气体一维定常流动的基本方程
连续性方程 对一维定常流的连续性方程
式取对数后微分得
第六节 喷管流动的计算和分析
收缩喷管
列容器内虚线面上和喷管出口的能量方程
－ 1pv22
p0 10
得
v
2 p0 10
1pp0
0
p
0
0
T0 v0 =0
v2 1p0 01p p012 1R0T 1p p01
pT v
质量流量
qmAvA0pp1 01v
整理得
q m A0 2 1p 0 0 p p 0 2 p p 0 1 A2 1 R p 0 2 0 T p p 0 2 p p 0 1
解
Tcr 2 2 0.8333
T0 1 1.41
ppc0rTTc0r10.83311.4.4310.5283
根据以上两式可以算得 Tcr24.382K pcr2.11 3125 0Pa
由于出口环境背压 pambpcr ,喷管出口气流为临界状态,所以
crR pccrT r2 2.19 2 1 71 .4 3 350 8 2 22.86k5 g m 3 3 v c r R c r T 1 .4 2 9 2.3 7 4 2 3 8.3 2 m 3 s 1
亚声速流 声速流 超声速流
第二节 微小扰动在空气中的传播
如果在空间的某一点设置一个扰动源,周围无任何限制,则扰动源 发出的扰动波将以球面压强波的形式向四面八方传播,其传播速 度为声速.分四种情况讨论
(a)气体静止不动 (b)气流亚声速流动
v0 (a )
2c 3c 4c
o
(c)气流以声速流动
(d)气流超声速流动
dT1M2adv
T
v
p、v
(1)M1a时，气流作。 亚 d与 v声 dA 正 速负 流号 动d相 与 pd反 A 正， 负号相同。
由此可知：变 对截 于面 亚的 声流 速通 动截 ，面 随积 着的 流速 增度 大，气流
降低，压强积 增减 大小 ；， 截则 面压 流强 速降 增低 大。 ，
pcr
(2)M1a时，气流作。 超 d与 v声 dA 正 速负 流号 动d相 与 pd同 A 正， 负号相v反 cr 。