利用平方差公式分解因式

部编人教版七年级下册数学3.3第1课时《利用平方差公式进行因式分解》教案

第1课时利用平方差公式进行因式分解1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4. 解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )； (2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】利用因式分解整体代换求值已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14. 解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000. 方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形可转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型三】因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋42－32＋22－12＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简；二是分解因式时，每个因式都要分解彻底。

因式分解-平方差公式

如何使用公式进行因式分解
1
Step 1
确定二次方差式的形式，即是否是差的平方。
2
Step 2
分别用括号包裹两个平方式，并添加正负号。
3
Step 3
检查分解后的乘积是否与原来的二次方差式一致。
练习题
练习题 1
因式分解 $x^2 - 9$
练习题 2
因式分解 $4m^2 - 25n^2$
练习题 3
因式分解 $49a^2 - 16b^2$
公式的使用场景
解因式分解题
平方差公式可以用于解因式分解题，将一个二次方差式分解成两个平方式的乘积。
简化运算
使用平方差公式可以简化运算过程，使复杂的计算更加简单易懂。
例题演示
题目因式分解 $x^2 - 4$ 因式分解 $9y^2 - 16$ 因式分解 $16a^2 - 25b^2$
解答 $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ $9y^2 - 16 = (3y + 4)(3y - 4)$ $16a^2 - 25b^2 = (4a + 5b)(4a - 5b)$
总结和要点
1 总结
平方差公式是一种用于将二次方差式分解的数学公式。
2 要点
使用平方差公式时，需要注意识别差的平方形式，并正确进行因式分解。
因式分解-平方差公式
因式分解-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方差公式是数学中常用的一个公式，用于将一个二次方差式分解成两个平方式的乘积。
公式介绍
平方差公式表示为：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
公式的定义和含义
1 定义
平方差公式是一种用于分解二次方差式的数学公式。

《利用平方差公式进行因式分解》教案 (公开课)2022年湘教版数学

第1课时利用平方差公式进行因式分解1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式以下多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．应选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4. 解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )； (2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】利用因式分解整体代换求值x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的根本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14. 解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形可转化为平方差公式的形式，那么可以使运算简便．【类型三】因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影局部的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影局部的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．那么S 阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋42－32＋22－12＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm 2)．答：所有阴影局部的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些局部发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各局部的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提〞得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简；二是分解因式时，每个因式都要分解彻底4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下列图．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费；(2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B 种饮料有(500－x )箱，那么y ＝(63－55)x ＋(40－35)(500－x )＝3xy ＝3x ＋2500(0≤x ≤500)；(2)由题意，得55x ＋35(500－x )≤x ≤125.∴当x ＝125时，y 最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23. 答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。

运用平方差公式因式分解

运用平方差公式因式分解一、教学目标：1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．二、教学重、难点：重点：利用平方差公式分解因式.难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.三、教学过程：复习回顾填一填：(1) (x+5)( x-5)=__________(2) (3x+y)(3x-y)=__________(3) (1+3a)( 1-3a)=__________知识精讲比一比，看谁算得快(1) 982-22=_____(2) 已知a+b=4，a-b=2，则a2-b2=____你能说说算得快的原因吗？把整式乘法的平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2的等号两边互换位置，就得到运用平方差公式因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 典例解析例1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（）A．1−a2 B．−x2−16 C．a2b2−m2n2 D．a2−9b2下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？(1) x2+y2 ( )__________________；(2) x2-y2 ( )____________________；(3) -x2+y2 ( )__________________；(4) -x2-y2 ( )____________________. 例2.分解因式：(1) 4x2-9 (2) (x+p)2-(x+q)2例3.分解因式：(1) x4-y4 (2) a3b-ab【针对练习】分解因式：1b2 (2) 9a2-4b2 (3) x2y-4y (4) -a4+16(1) a2-25例4.计算下列各题：(1)1012-992； (2)53.52×4-46.52×4.【针对练习】利用因式分解简便运算:(1) 9982-22 (2) 1.992-2.992 (3)1.222×9-1.332×4.例5.求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。

14.3.2公式法_因式分解(完全平方公式)

a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
完全平方式的特点： 1、必须是三项式 2、有两个“项”的平方 3、有这两“项”的2倍或-2倍
2 2 首 2首尾尾
判别下列各式是不是完全平方式
1x 2 xy y 2 2 2A 2 AB B 2 2 3甲 2 甲乙乙 2 2 4 2
a 2ab b a b
2 2
2
a 2ab b a b
2 2
2
这两个多项式有什么特征?
2 2 2 2 a +2ab+b 与a -2ab+b
这两个多项式是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，这恰是两个数和或差的平方。
我们把 2 2 和 2 2 a +2ab+b a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式。
1. 因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____． 2 2 【解析】9x －y －4y－4
= 9x2－(y2+4y+4） = 答案： 2. 分解因式：2a2–4a+2 2 【解析】 2a – 4a+2 = 2(a 2 – 2a +1) = 2(a – 1) 2
需要我们掌握： 1：如何用符号表示完全平方公式？
(1) (2) 1 6 a 4 + 2 4 a 2 b 2 + 9 b 4 2 2 解:（1）x － 12xy+36y 2 2 = x －2· x· 6y+ （ 6y ） = （ x － 6y ） 2 （ 2 ） 16a 4 +24a 2 b 2 +9b 4
2. 因式分解.
2 2 x － 12xy+36y

用平方差公式因式分解公开课教案

用平方差公式因式分解公开课教案
一、教材分析一、教材分析
苏霍姆林斯基曾说过：“教师越是能够运用自如的掌握教材，那么，他的讲述就越是情感鲜明，学生听课，需要花在抠教科书上的时间就越少”。

可见，熟悉教材、分析教材、开发教材资源是制定教法、开展学法指导的主要依据，是教学设计、测试、评价的基础。

二、学情分析
《分解因式——运用平方差公式》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（上）整式的乘法第四节的内容。

分解因式是整式乘法的逆运用，与整式乘法运算有着密切的联系。

分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，也为学习分式，利用因式分解解一元二次方程奠定基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用。

探索分解因式的方法，实际上是对整式乘法的再认识，因此要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生创设一个新的、具有启发性的情境，激励学生通过独立思考与讨论交流发现问题情境中的变形关系，并运用数学符号进行表示，然后再运用所学的知识去解决相关的问题。

同时在这一对比整式的乘法而探索分解因式方法的相关活动过程中，力图渗透类比思想，让学生体会、理解、认识分解因式的意义，感受其间的联系，学生不仅能够理解，归纳分解因式变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。

三、教学目标：
（一）知识与技能：
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.会用平方差公式进行因式分解；
3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．。

13.5.2 用平方差进行因式分解(第2课时)-

式,那么先提公因式，再进一步分解。（2）因式分解,必须进行到每个多项式因式不能分解为止.
用平方差公式进行简便计算:
1)38² -37² 2) 213² -87² 3)229² -171² 4) 91×89
课堂练习：
(1) a2 - 0.25x2 (3) 4x2 - 9y2 (5) 36n2 - 1 (2) 36 - m2 (4) 0.81a2 - 16b2 (6) 25p2 - 49q2
a2
-
b2 = ( a + b ) ( a - b )
注意：
平方差公式中的字母a，b不仅可以代表数，而且可以代表代数式。
例1
(1) 1 2 2 2 (2) x y - z
(3)
2 0.25m 2 0.01n
2 25b
(1) 1 -
2 25b
解：原式= 12 - ( 5b )2
a 2 - b2
(7) 4a2 - ( b + c )2 (8) (3m+2n)2-(m-n)2
课堂小结：
1.具有的两式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再
根据平方差公式得：
原式=（ 1 + 5b )( 1 - 5b )
例2
(1) ( x + p )2 - ( x + q )2 (2) 16(a-b)2-9(a+b)2
(3) ( a + b + c )2 - ( a – b – c )2
例3
(1)
5 3 x -x
4 4 x -y

4.3.利用平方差公式进行因式分解(教案)-

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方差公式的记忆和应用这两个重点。对于难点部分，比如识别平方差结构，我会通过举例和对比来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过分解不同的二次多项式来演示平方差公式的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、重要性及应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
不过，我也注意到，对于一些学生来说，将理论知识应用到具体问题中仍然是一个挑战。在实践活动和小组讨论中，我观察到有的小组在解决问题时还是显得有些犹豫不决。这让我意识到，我需要在未来的教学中，更多地设计一些循序渐进的练习，帮助学生巩固知识，提高他们解决实际问题的能力。
此外，我也在思考如何让总结回顾环节更加高效。今天的教学结束时，虽然我邀请学生提问，但响应并不热烈。我考虑在下次课中，尝试让学生自己来总结今天的学习内容，或许这样可以提高他们的参与度和思考的积极性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《利用平方差公式进行因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解数学题时是否遇到过需要将一个二次多项式分解成两个一次多项式的乘积的情况？”（如x² - 4）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。

平方差公式分解因式

例4 分解因式:
(1)x4—y4;
(2) a3b —ab.
分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
练习
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?
(1) x2+y2 ;
(2) x2－y2;
(3) －x2+y2;
(4) －x2－y2.
2.分解因式: (1)a2－ b2; (2)9a2－4b2; (3) x2y－4y ; (4) －a4 +16.
思维延伸
2. 对于任意的自然数n， (n+7)2－ (n－5)2能被 24整除吗? 为什么?
思维延伸
1. 观察下列各式: 32－12=8=8×1; 52－32=16=8×2; 72－52=24=8×3;
…… 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n，(n+7)2－ (n－5)2能被 24整除吗? 为什么?
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
作业：习题15.4，2、4.
思考
14.3.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2 －解因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
例3 分解因式: (1)4x2 – 9 ; (2) (2) (x+p)2 – (x+q)2.

平方差公式法分解因式

利用平方差公式进行因式分解
单击此处添加副标题
回顾与思考
x2-4 y2-25
探究新知两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。整式乘法因式分解
01
a2-b2 =(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) = a2-b2
02
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
课堂小结平方差公式： a2-b2 =(a+b)(a-b) 用平方差公式因式分解步骤：一变、二分解
作业课本p171 2题
单击此处添加副标题
（2）（x+p)2-(x+q)20503Fra bibliotek0104
02
课堂练习
01
02
03
04
05
06
07
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
课后练习分解因式: a2- b2; (2)9a2-4b2; x2y – 4y ; (4) –a4 +16.
(x+4)(x-4)
(3+t)(3-t)
×
√
√
×
思考：能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号；
例3分解因式:
4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析:
在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2,即可用平方差公式分解因式. 解（1）4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2 = (2x+3)(2x-3)

运用平方差公式因式分解[下学期] 浙教版

= (x²+ 9y²) (x+ 3y) (x- 3y)
2.解:原式 2a(a2解原式原式=
4)
=2a(a+2)(a-2)
对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？
1.先提取公因式先提取公因式 2.再应用平方差公式分解再应用平方差公式分解
3.每个因式要化简，并且要分解彻底。每个因式要彻底。
运用平方差公式分解因式
池淮中学傅兴益
计算：计算： (1) (a+1) (a-1)
平方差公式：平方差公式：整式乘法 (a+b)(a-b) = a²-b² 反之：反之：因式分解 a²-b² = (a+b)(a-b) 即：两个数的
(2) (-2x-3y) (2x-3y) (4) 20062－20052
项式。项式。
式，那么这个多项式就可以用平方差公式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解因式。公式分解因式。
平方差公式:a =(a+b)(a平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
例1.把下列各式分解因式把下列各式分解因式 (1)16a²- 1 (2) -m²n²+4x² (3)
9 — 25 1 4 -—y 16
x²
把下列各式因式分解: 把下列各式因式分解 2-4 2b4 (1) 25x (2) 121 - 4a 4 - 4b4 2+49y2 (3) a (4) -x 3-12mn4 (6) 4 (5) 3m a − 81 2 2 (7) 4( x + y ) − ( y − z )
(4)( x + z )²- ( y + z )²
平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b) 平方差公式:a =(a+b)(a-

北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》说课稿7

北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》说课稿7一. 教材分析北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》这一节，是在学生已经掌握了有理数的乘方、平方差公式、多项式的乘法等知识的基础上进行讲解的。

通过这一节课的学习，让学生能够理解并掌握平方差公式的结构特征，能够运用平方差公式进行因式分解，进一步培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的数学基础，对于有理数的乘方、平方差公式、多项式的乘法等知识有一定的了解。

但是，对于平方差公式的灵活运用和因式分解的方法还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，要注重学生对平方差公式的理解，以及让学生通过实践操作，掌握因式分解的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解平方差公式的结构特征，能够运用平方差公式进行因式分解。

2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生在解决数学问题的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学学习的信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的结构特征，以及运用平方差公式进行因式分解的方法。

2.教学难点：平方差公式的灵活运用，以及因式分解的方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作交流法等，引导学生自主探究，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体课件，进行直观演示，帮助学生理解平方差公式的结构特征，以及因式分解的方法。

六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的例子，让学生尝试进行因式分解，引出平方差公式。

2.自主探究：让学生通过小组合作，探讨平方差公式的结构特征，以及如何运用平方差公式进行因式分解。

3.讲解与演示：教师对学生的探究结果进行讲解和演示，让学生进一步理解平方差公式，以及因式分解的方法。

4.实践操作：让学生进行实际的练习，运用平方差公式进行因式分解。