小升初专项训练找规律篇

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测试卷6（找规律篇）
时间：15分钟满分5分姓名_________测试成绩_________
1
如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的
2
观察
3. 4
在2
示),
2
5
请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。

为了达到这些目的。

(1)请你说明：11这个数必须选出来；
(2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个；
(3)你能选出55个数满足要求吗？
【附答案】
1【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、
75、143。

27、9、
3…4，第
1825。

5
37和
(3)，同37的例子，
01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个
12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。

23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。

………
89和98必选其一，选出1个。

如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。

再加上11~99这9个数就是54个。

小升初专项训练找规律篇
1
【例
【例
【例
【
又，190是10的整数倍。

所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50(元)，便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为1月1日是星期日，所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯一
的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第24天是2月18日，这就是
打工结束的日子.
2图表中的找规律问题
【例4】、（★★）图中，任意_--，那么
B=_______.
【
圆圈是，【例5
）2+1，②第
第n
12列，上起第6行位置．
3较复杂的数列找规律
【例6】、（★★★）设1，3，9，27，81，243是6个给定的数。

从这六个数中每次
或者取1个，或者取几个不同的数求和（每一个数只能取1次），可以得到一个新数，
这样共得到63个新数。

把它们从小到大一次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，第60个数是______。

【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题
【解】最大的（即第63个数）是
1+3+9+27+81+243=364
第
364
【例
7×
共
【例8】、（★★★）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半破了，经过2分钟还有
1没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小
20
明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有个.
【来源】1990年小学数学奥林匹克决赛第8题
【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前(包括第17次)吹
出的肥皂泡全破了.此时没有破的肥皂泡共有100+100×201+100×21=155(个).
4 与斐波那契数列相关的找规律
【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。

已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。

假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内
第11，21，2对。

，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。

【例9】（★★）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。

再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。

那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？
【解】1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584
绝对是一棵大树。

【例10】（★★）有一堆火柴共10根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴
1
2
3
4
种；
51，1、2、2
种；
6
即：
由此得到，10根为274种。

[拓展]爬楼梯问题。

【例11】（★★★）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加，如此进行直到得数为1操作停止。

问经过9次操作变为1的数有多少个？
【来源】仁华考题
【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。

在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。

归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。

5有趣的猫捉耗子规律
【例
2n的
【例
枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的号码是42号，那么该从几号棋子开始取呢？
【来源】03年圆明杯数学竞赛试题
【解】：方法一：通过归纳我们知道，如果开始有A人，A＝2k+m(k是保证m为自然数的最大值)。

那么从1号开始取，每个1个取1个，则最后剩下的为2m号。

现在有50枚棋子，如果从1号开始取，有50＝25+18，所以最后剩下的为18×2＝36号。

现在剩下的是42号，所以开始取的为1+(42－36)＝7号。

方法二：找出规律，若开始从2号开始取，则若有2枚、4枚、8枚、16枚、32枚…则最后剩下的均为1号。

而为剩下的2号，剩下
【例
；……
1、2，
15、6，
8个数1～8，最后剩的是1。

我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩的都是1（操作的起始数）。

这是为什么呢？以8个数为例，数一圈，擦掉2，4，6，8，就相当于从1开始，还有4个数的情况，4个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。

这样，数的个数是16，32，64，……，2n时，最后剩的都是起始数1。

当数的个数是3时，擦去2，就剩2个数，最后应剩下一步的起始数3；数的个数是5时，擦去2，剩4个数，最后也应剩下一步的起始数3。

根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4，剩下16个数，再擦下去，最后还应剩
n
2110
969
969
（1）如果是1～900这900个自然数，最后剩的是哪个数？
（2）如果是1～1949这1949个自然数，最后剩的是哪个数？
说明：这道例题的解题思路是：
特殊→一般→特殊
（简单情况）（一般规律）（较复杂情况）
一般规律：
把1～n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方
【例1
【解】与上题不同１００＝２6＋３６３６×２＝７２
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1）与周期相关的找规律问题参见例1，2，3
2）图表中的找规律问题参见例4，5
3）较复杂的数列找规律参见例6，7，8
4）与斐波那契数列相关的找规律参见例，9，10，11
5）有趣的猫捉耗子规律参见例12，13，14，15
?【课外知识】
珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮。

有一天，她到
题1
１、（★）已知一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55，…。

那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是________。

【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等于分子和前一个分数分母的和，这样第10个数就是4181/6765。

２、（★★★）在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、…、19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。

求从哪个数起？【解】先取走15
３.（★★★）把1～1992为1992个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从1开始逆时针方向，保留1，涂掉2；保留3，涂掉4，……。

（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下哪个数？
【解】（1992-1024）×2+1=1937
４.（★★★）把1～1987这1987个数，均匀排成一个大圆圈。

从1开始数，隔过1，划掉2，3；隔过4，划掉5，6；……，（每隔一个数，划掉两个数）一直划下去，问最后剩下哪个数？
【解】
５.（★★）如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。

规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。

问获胜方的跳法比另一方多种。

A C
B D
【解】同例题可知A到B共11格，共144种跳法；C到D共9格，共149种，所以多5种。

6、（★★）如下图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能从小号码房间走向大
号码房间，那么共有多少种不同的走法？
【解】到1号房间有1种走法，到2号房间有2种方法，到3号房间有3种方法…所以到8号房间总共有34种房间。

7、（★★★）如数表：
第1行123 (1415)
第3
第n
第n
第n
1行开
31，
＝13.。