《常见递推数列通项公式的求法》(课件)
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数列通项公式的求法(共21张PPT)
a2 a3 a4 a5 an1 an 31 32 33 34 3n2 3n1 a1 a2 a3 a4 an2 an1
n ( n 1) an 1 23 n 1 3 3 2 a1
an a1 3
n ( n 1) 2
注意:并非每一个数列都可以写出通项公式,数列的通项公式,也 并非是唯一的. 数列也可以用作下面两个条件结合起来的方法表示: (1)给出最初的n项或一项. (2)给出数列中后面的项用前面的项来表示的公式,这种方法叫 做递推法,后者称为该数列的递推公式. 一、观察法
(1) 1,1,1,1,1,1 ( 2) 1,0,1,0,1,0,
令bn an1 an (n N ),b1 2
则bn an1 an 2 2n1 2n
an (an an 1 ) (an 1 an 2 ) (a2 a1 ) a1 2n 1 2n 2 2n 3 2 1 2 1
又a1 3, S1 S2 2a2 , a2 6.
当n 2时, an 6 3n2 2 3n1.
(n 1) 3 an n 1 2 3 (n 2)
法二（统一成关于 Sn 的递推关系）
Sn1 Sn 2an1 2(Sn1 Sn ),
2n 2 3n 1 2n 2 4n 2 3n 3 1 4n 5
经验证(1)不包含在(2)中,所以由(1)(2)知通项公式为
（一）已知前n项和公式求通项公式
2, 当n 1时 an 4n 5, 当n 2时
an 的前项和为Sn 3n2 2n, 求通项公式an . (2) 已知数列
高一数学由数列的递推公式求通项公式(PPT)3-3
解:∵ an1
(an (an
1)4 1)4
(an (an
1)4 1)4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an1 an1
1 1
(an (an
1)4 1)4
an an
1 1
4
，
(取对数变形)∴ ln an1 1 4ln an 1 ，由此及 ln a1 1 ln 3 0
竞赛辅导-数列(二)
由数列的递推公式求通项公式
递推数列有关概念： ①递推公式：一个数列{an } 中的第 n 项 an 与它前面若干项 an1 , an2 ,…, ank （ k n ）的关系式称为递推公式. ②递推数列：由递推公式和初始值确定的数列. ③线性递推数列:(见课本 P116 ) 2. 由数列的递推公式求通项公式的常用方法： ⑴转化法(经常用的);⑵归纳法(先猜想,后证明(用数学 归纳法));⑶换元法(针对特点考虑换元); ⑷迭代法(累 加法);⑸待定系数法;⑹不动点法;⑺特征根法(见定理 1)
利用率几乎高达%。有营养学家研究指出：“每餐只吃马铃薯和全脂牛奶就可获得人体所需要的全部营养元素”，可以说：“马铃薯是接近全价的营养食 物。” [] 但是，马铃薯中所含氧化酶和茄素等直接影响了马铃薯的加工和食用。氧化酶主要有过氧化酶、细胞色素氧化酶、酪氨酸酶、葡萄糖氧化酶、抗坏 血酸氧化酶等，这些酶； 炒股配资 ； 主要分布在马铃薯能发芽的部位。马铃薯在空气中的褐变就是其氧化底物绿原酚和酪 氨酸在氧化酶的参与下发生的生化反应。茄素是一种含氮配糖体，很难溶于水，有剧毒。马铃薯的茄素含量以未成熟的块茎为多，占鲜重的.%～.8%。如果 每g鲜块茎中茄素含量达到了mg，食用后人体就会出现中毒症状。因此，在块茎发芽和表皮变绿时一定要把芽和芽眼挖掉，把绿色部分去除干净后才能食用。 [] 经济价值 马铃薯产量高、营养丰富，是粮、菜、饲、工业原料兼用 马铃薯 马铃薯 的农作物。在我国东北的南部、华北和华东地区，马铃薯作为早春蔬菜 成为农村致富的重要作物；在华东的南部和华南大部，马铃薯作为冬种作物与水稻轮作，鲜薯出口可以获得极大的经济效益；在西北地区和西南山区，马铃 薯作为主要的粮食作物发挥着重要的作用。 [] 近几年来，马铃薯食品加工、淀粉加工业迅速发展。在食品加工业中，以马铃薯为原料，可加工成各种速冻方 便食品和休闲食品，如脱水制品、油薯片、速冻薯条、膨化食品等，同时其还可深加工成果葡糖浆、柠檬酸、可生物降解塑料、黏合剂、增强剂及医上的多 种添加剂等。 [] 马铃薯淀粉在世界市场上比玉米淀粉更有竞争力，马铃薯高产国家将大约总产量的%用于淀粉加工，全世界淀粉产量的%来自马铃薯。马铃 薯淀粉与其他作物的淀粉相比，马铃薯淀粉糊化度高、糊化温度低、透明度好、黏结力强、拉伸性大。马铃薯变性淀粉在许多领域都有应用，如衍生物的加 工、生产果葡糖浆、制取柠檬酸、生产可生物降解的塑料等。 [] 据专家测算：马铃薯加工成普通淀粉可增值一倍，特种淀粉可增值十几倍，生产生物胶可增 值多倍，加工成油薯条、薯片、膨化食品可增值～倍。 [] 用及保健价值 马铃薯不但营养价值高，而且还有较广泛的用价值。我国中医学认为，马铃薯有和 胃、健脾、益气的功效，可以预防和治疗多种疾病，还有解毒、消炎之功效。 [] ⒈预防中风 马铃薯中含有丰富的B族维生素和优质纤维素，这在延缓人体衰 葱油洋芋擦擦 葱油洋芋擦擦 老过程中有重要作用。马铃薯富含的膳食纤维、蔗糖有助于防治消化道癌症和控制血液中胆固醇的含量。马铃薯中
由数列的递推公式求通项公式课件
+1
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
常见递推数列通项公式的求法ppt课件
1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,
常见数列通项求法ppt课件
两根边据取对对数数的,性有质有2 lg an lg an1,
根lglgl(据gaanan对)n21 数 l的12g ,a性令n1质b,n 有 l2glagna,易n 知lgba1 n1l,g 2
lglbgna是ann1等比12数, 令列b,nbn
lglagn2,易• (知12)bn11,因lg此2 lg
例：已知 an 中，a1 2,an1 3n an,求通项an.
解： Q an1
3n
an
an an1
3n1
an 3n1, an1源自an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
an3 3n4， an4
L ，a3 32 , a2
a2 3 a1
将这 n-1 个式子相乘得：
n( n-1)
类型
方法
等差、等比
公式法
已知Sn或Sn与an关系
通用公式法
形如 形如
an an1 f (n)
an f (n) a n 1
累加法 累乘法
形如
an kan1 d
an kan1 dn an kan1 bn
形如
an k an1
•
形如
an
k an 1 pan1 d
待定系数法
构
造
取对数法
两式相减得： nan=3n+1－3n=2·3n
∴an=
2·3n n
（n≥2）
∵
23 9 1
9 (n=1)
∴an=
2·3n n
（n≥2,
n N）*
注意n的范围
6
类型三：累加法，形如
例：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.
常见递推数列通项公式的求法课件
解题步骤与例题解析
• 将递推式中的每一项乘以累乘因子，并累乘得到通项公式 。
解题步骤与例题解析
例题解析 1. 题目：求数列1, 3, 7, 13, 21...的通项公式。 2. 分析：该数列的递推式为`an+1 = an + 2n`。
解题步骤与例题解析
01
3. 解题步骤
02
a. 确定关系：an+1 = an + 2n。
常见递推数列通项公式的求法课件
目录 Contents
• 递推数列通项公式概述 • 累加法 • 累乘法 • 构造法 • 特征根法 • 其他方法
01
递推数列通项公式概述
定义与分类
递推数列的定义
递推数列是一种特殊的数列，它 可以通过前一项或前几项的值， 推导出下一项的值。
递推数列的分类
根据不同的递推关系，递推数列 可以分为线性递推、二次递推、 指数递推等。
03
累乘法
适用范围与基本思想
适用范围
适用于形如`a(n+1) = an + f(n)`的递推数列，其中f(n)为关 于n的函数。
基本思想
累乘法的基本思想是将递推式中的每一项都乘以累乘因子， 从而得到通项公式。
解题步骤与例题解析
步骤 1. 确定递推式中每一项与前一项的关系。
2. 选择适当的累乘因子。
常见递推数列类型
01
02
03
04
Fibonacci数列：每一项是前 两项的和。
Lucas数列：每一项是前两项 的差。
等差数列：每一项与前一项的 差是一个常数。
等比数列：每一项与前一项的 比值是一个常数。
通项公式的应用
数学分析
数列通项公式的求法最全PPT课件
0,a-b,0,a-b..的和，分别写通项然后相加再化简。
类型二、前n项和Sn法 已知前n项和，求通项公
式
an
S1 Sn
Sn1
(n 1) (n 2)
例2：设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+2n-1,
求﹛an﹜的通项公式.
提示：当n 2时，an Sn (n2 2n - 1) - [(n - 1)2 2(n
lg an lg a1 2n1 lg 32n1 即 an 32n1
类型六、（2）形如 an1 Aan2 Ban C 递推式
例.已知数列an 中， a1 1, an1 3an2 12an 10 ，求an
分析：先转化后取对数再构造等比数列
解： an1 3an2 12an 10 变形为：
.......
a3 a2 3 以上各式相加得
a2 a1 2
an a1 (2 3 4 n)
(n+2)(n-1)
练：已知
an
=1+
中,a1
2 1, an
3n1
an1
(n
2)证明：an
3n 1 2
类型二、累乘法形如 an1 f (n) an 的递推式
an
4n
2n
类型五、（3）形如 an1 pan qan1an 的递推式
相除法 两边同除以an+1an
例8：已知a1 2, an 0,且an1 an 2an1an ,求an.
解：
an1 an 2an1an
11 2aຫໍສະໝຸດ an1 1 an
求递推数列通项的几种常见方法(PPT)5-1
练习：已知数列{an }中，若a1 1, an an1 n(n 2) 求 通 项an
故的出处有两种不同说法，录以～。②名（书册、文件、表格）供参考的附录或附注。③动准备考试：积极～。 【备课】∥动教师在讲课前准备讲课内容： 备完课，她又忙着批改作业。 【备料】∥动准备供应生产所需材料：～车间｜上班前就备好了料。 【备品】名储备着待用的机件和工具等。 【备勤】动随时 准备执行任务：实行小时～。 【备取】动招； 电影资源免费下载网站 电影资源免费下载网站 ；考时在正式录取名额以外再录取若 干名以备正取的人不到时递补（区别于“正取”）：～生。 【备述】动详尽地叙述：～其事始末｜其中细节，难以～。 【备忘录】名①一种外交文书，声明 自己方面对某种问题的立场，或把某些事项的概况（包括必须注意的名称、数字等）通知对方。②随时记载，帮助记忆的笔记本。 【备选】动准备出来供挑 选：多准备几个节目～。 【备汛】动汛期来临之前，做各种防汛准备工作：沿江各地积极～。 【备用】动准备着供随时使用：～件｜～物资｜留出部分现 金～。 【备灾】动防备灾害：～物资。 【备战】∥动准备战争：～备荒◇～奥运会。 【备至】形极其周到（多指对人的关怀等）：关心～｜爱护～。 【备 注】名①表格上为附加必要的注解说明而留的一栏。②指在这一栏内所加的注解说明。 【背】名①躯干的一部分，部位跟胸和腹相对（图见页“人的身 体”）：后～｜～影｜擦擦～。②（～儿）某些物体的反面或后部：手～｜刀～儿｜墨透纸～。③（）姓。 【背】①动背部对着（跟“向”相对）：～山面
海｜～水作战◇人心向～。②离开：～井离乡。③动躲避；瞒：光明正大，没什么～人的事。④动背诵：～台词｜书～熟了。⑤违背；违反：～约｜～信弃 义。⑥动朝着相反的方向：他把脸～过去，装着没看见。⑦形偏僻：～静｜～街小巷｜深山小路很～。⑧形不顺利；倒霉：手气～。⑨形听觉不灵：耳朵有 点～。 【背不住】?同“备不住”。 【背称】名不用于当面称呼的称谓，如大伯子、小姑子等。 【背城借一】ī在自己的城下跟敌人决一死战，泛指跟敌人作 最后一次的决战。也说背城一战。 【背城一战】ī背城借一。 【背搭子】?名出门时用来装被褥、什物等的布袋。也作被褡子。 【背道而驰】朝着相反的方向 走，比喻方向、目标完全相反。 【背地里】?名背人的地方；私下：不要在～议论人。也说背地。 【背对背】背靠背。 【背风】动风不能直接吹到：找个～ 的地方休息一下。 【背旮旯儿】〈方〉名偏僻的角落。 【背光】动光线不能直接照到：那儿～，看书到亮的地方来。 【背后】名①后面：山～。②背地里： 有话当面说，不要～乱说。
求递推数列通项的几种常见方法(PPT)3-2
练习：若数列{an }中a1
1 3
, an1
2 3
anห้องสมุดไป่ตู้
1 3
, 求 数 列 通 项an
四：倒数法
求形如an1
Aan Ban
其中A, B为常数且A B A
0
例4： 已 知 数 列{an }中 ， 若a1
1 3
, an
2an1 an1 2
(n
2, n
N)
求 通 项an
练习：已知数列{an }中，若a1 1, an an1 n(n 2) 求 通 项an
“卡戎（Charon）”，但直到98年国际天文联合会才认同这个名字是官方的名称。在希腊神话中卡戎是死者的摆渡人，与冥王哈得斯（在罗马神话是普鲁托） 在神话图中是紧密联系在一起的神祇。虽然在传统的英语发音中神话图中的是坚硬的k声音，但是克里斯蒂在这颗卫星的发音上将k的发声改为ch的发音，之 后他的妻子Charlene的绰号就是“Char”（碳灰），而sh的发音也在天文界流行了，大家也都随俗的使用这样的发音。在除了英语以外的欧洲语系，依然是 使用神话；炒股入门知识大全 股票技术指标大全 炒股入门基础知识教程 股票入门基础知识教程 学习股票入门知识 ； 中的发音，念ch的声音。 形成原因美国西南观象台科学家鲁宾·卡努普在美国一期《科学》杂志上著文，展示他采用计算机模拟计算得到的卡戎是一个星体与冥王星碰撞的结果。鲁 宾·卡努普的工作就是建立一个数学模型，通过计算机模拟，再现这一过程。鲁宾·卡努普模拟计算的结论显示，当年有一颗直径在公里到公里的星体与冥王 星发生了碰撞，碰撞后在冥王星附近产生了彼此相距不远的很多碎片，这些碎片逐渐结合在一起，最后形成了卡戎。鲁宾·卡努普模拟计算的结论不仅解释了 卡戎的形成过程，而且还证实，在太阳系形成的初期，星体碰撞对太阳系的最后形成起到重大作用。[]罗宾·坎二做了一次模拟的结果在年出版，建议卡戎是 在约亿年前的大碰撞中形成的，非常像地球和月球的状况。在这个模型中，一个巨大的柯伊柏带天体以高速撞击冥王星，摧毁了自己，也轰掉了冥王星大部
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求法 : 利用n 2时, an S n S n1化为 {an }或{ S n }的递推关系求解 .
类型4
S n f (an )
求法 : 利用n 2时, an S n S n1化为 {an }或{ S n }的递推关系求解 .
例4 已知各项均为正数的数 {a n }的前 列
n项和S n满足S1 1, 且6 S n (an 1) (a n 2), n N , 求{a n }的通项公式.
类型5
an1 pan f (n)( p 0, p 1)
类型5
an1 pan f (n)( p 0, p 1)
a n 1 a n f ( n) 求法 : 待定系数法或化为 n1 n n1 p p p 后累加法求解 .
{ 例6 已知数列 a n }满足S n a n 2n 1, 其中S n是{a n }的前n项和, 求{a n }的 通项公式.
pan ( p, q, r均不为零) 类型6 an1 qan r
pan ( p, q, r均不为零) 类型6 an1 qan r
求法 : 倒数法, 若p r , 则化为等差数列求 通项; 若p r , 则化为类型3求通项.
1)
a n 1 a n f ( n) 求法 : 待定系数法或化为 n1 n n1 p p p 后累加法求解 .
例5 在数列{an }中a1 1, an1 2an 2
n
( n N ), 求数列{an }的通项公式.
类型3
an1 pan q( p 0, p 1)
类型3
an1 pan q( p 0, p 1)
求法 : 待定系数法.令an1 p(an ), 其中为待定系数, 化为等比数列 {an }求通项.
类型3
an1 pan q( p 0, p 1)
类型2
a n 1 a n f ( n)
类型2
a n 1 a n f ( n)
求法：累乘法
类型2
a n 1 a n f ( n)
求法：累乘法
例2 在数列{an }中,已知a1 1, 有nan1
( n 1)an ( n N , n 2), 求数列{an } 的通项公式.
类型7 其它类型
类型7 其它类型 求法：按题中指明方向求解.
类型7 其它类型 求法：按题中指明方向求解. 例8 设数列{a n }满足a1 1, a 2 2, a n
1 (a n1 2a n 2 )( n 3,4, ) 3 (1)求证 : 数列{a n1 a n }是等比数列； ( 2)求数列{a n }的通项公式a n .
求法 : 待定系数法.令an1 p(an ), 其中为待定系数, 化为等比数列 {an }求通项.
例3 已知数列 an }中, 若a1 1, an1 2an {
3( n 1), 求数列{an }的通项公式.
类型4
S n f (an )
类型4
S n f (an )
pan ( p, q, r均不为零) 类型6 an1 qan r
求法 : 倒数法, 若p r , 则化为等差数列求 通项; 若p r , 则化为类型3求通项.
S n 1 例7 已知数列 an }中, a1 1, S n { , 2 S n 1 1 求{an }的通项公式.
常见递推数列通项公式的求法
类型1
a n 1 a n f ( n)
类型1
a n 1 a n f ( n)
求法：累加法
类型1
a n 1 a n f ( n)
求法：累加法
例1 在数列{a n }中,已知a1 1,当n 2时,
有a n a n1 2n 1( n 2), 求数列 的通项公式.