第三章LTI连续系统的频域分析

合集下载

第3章连续信号与系统的频域分析

8
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集，再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
9
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理定理2：若则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n

t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )

T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理

5------第三章连续LTI特征函数、傅里叶级数

y( t )
k
y( t ) x( t ) * h( t ) x ( )h( t )d

t
a e
k

sk t
k
a

k
H ( sk )e sk t
2
LTI系统分析的基本方法
将输入信号表示成基本信号的线性组合：时域法： x(t ) x( ) (t )d

从卷积的角度求输出： y (t ) x(t 3) x(t ) * (t 3) h(t ) (t 3)
s j 2
( 3)e s d

s j 2
e 3 s
s j 2
e j 6
方法二：（第六章）
H(s)
Yzs (s) 3s e X (s)
卷积定理

y (t ) e * h(t ) h( )e s ( t ) d

e e H ( s )
st LTI st
e
st

h( )e s d e st H ( s )
特征函数
特征值（系统函数，传递函数）
H ( s ) h( )e s d h(t)的拉氏变换
例3-2 考虑输入x(t)和输出y(t)是个延时为3的LTI系统，即y(t)=x(t-3) 1）若输入为x(t)=ej2t，求输出及其特征值H(s)。解：1)
y (t ) x(t 3) e j 2 ( t 3) e j 6 e j 2t
H ( s ) s j 2 h( )e s d
3
本章主要内容
单击此处编辑母版标题样式
单击此处编辑母版副标题样式

精选LTI系统的时域频率复频域分析资料

k 0
k 0
由于 Y ( j) X ( j)H ( j)
故有：
N
bk ( j )k
H ( j )
k 0 N
7
例：考虑一个因果LTI 系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系由
差分方程给出: y[n] 1 y[n 1] x[n]。若x[n] [n 1], 求y[n]。
4
解：
0, n 1
x[n] [n 1] 1, n[n] 0, n 1.
y ''(t)
y '(t)
x(t )
+

y(t)
3 -2
解由图可知第一个和第二个积分器的输入分别为 y''(t), y'(t)，根据加法器的输入输出关系有
y ''(t) x(t) 3y '(t) 2y(t)
所以系统的微分方程为: y"(t) 3y '(t) 2y(t) x(t)
线性时不变系统的时域、频域与复频域分析
本章主要内容：
• LTI系统的差分/微分方程描述和框图描述 • LTI系统的频域分析 • LTI系统的复频域分析
1
LTI系统的描述
1.用 h(t)、h[n] 描述系统；
2.用线性常系数微分或差分方程（LCCDE）描述； 3.用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）； 4.用系统频率响应 H ( jω) 或系统函数 H(s)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
N
M
ak y[n k] bk x[n k]
k 0
k 0
一阶系统
a0 y[n] a1y[n 1] b0x[n] b1x[n 1], a1, a0,b1,b0为常数

第三章信号与系统的频域分析

余弦形式的傅氏级数
其中：
2 2 An a n bn
第n次谐波的振幅
bn n arctg( ) an
第n次谐波的初相角
三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅An随n0变化的规律，称为振幅频
谱，习惯上简称频谱；相位n随n0变化的规律，称为相位频谱。
三角傅氏级数总有 n 0 ,谱线只出现在n0～An或者n0～n平面的右半平面，故称作单边频谱。
直流系数
利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；
奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；
奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数
2、余弦形式的傅氏级数
三角函数变换公式
其中，
An a b
F n F n
*
总是成对出现
负频率的出现只是数学形式，实际并不存在
Fn Fn e j n
F n F n e j n Fn e j n
F n Fn
偶函数
n n
奇函数
(2) 与三角形式的傅氏级数的关系
a0 A0 F0 2 2 an jbn Fn 2 an jbn * F n Fn 2 An | Fn | 2
一般周期信号都满足这些条件余弦分量系数正弦分量系数称为傅里叶系数基波角频率直流系数直流分量基波分量n周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解偶半波对称信号只含有偶次谐波又称偶谐函数2余弦形式的傅氏级数其中为第n次谐波的振幅为第n次谐波的初相角三角函数变换公式二指数型傅里叶级数在时间区间tt内基波角频率的正交虚指数函数集是完备的对于周期为t的周期信号ft当它在该时间区间内有定义时可以由上述虚指数函数的线性组合来表示即

[精品]连续时间LTI系统的频率特性及频域分析

[精品]连续时间LTI系统的频率特性及频域分析连续时间LTI系统（Linear Time-Invariant System）是指可用于描述各种物理和工程系统运动规律的动态系统。

它们由一对连续时变系统（如模型、结构和控制）和一对线性运算符构成，其具有因变量（响应）和自变量（输入）之间的线性关联性、时间不变性、结构连续的性质，并且在响应上呈现出定义的平稳性，因而它们在描述众多系统运动规律中被广泛应用。

对于连续时间LTI系统的频域特性的研究，则涉及这些系统的相位特性、幅频特性、切趾特性等。

同时，也要探讨系统中不同频率分量的传输特性，因为有不同频率分量的信号既可以幅频分析也可以相位分析，可以衡量系统不同频率下的相应响应。

由于连续时间LTI系统在有限频率通道内传播信号时发生了部分信号丢失，因此我们引入了频域分析得到系统频响阻抗。

这样一来，它就可以用来测量系统频带上的增益，系统的模态表现，以及系统的传播属性和可控特性。

在频域分析过程中，由于信号可以被分解为离散频率分量，所以对于单个频率分量来说，有关连续时间LTI系统的分析可以比较容易地完成。

一般情况下，每一个频率分量的传播特性由一个线性系数连接，称之为频响函数，可以衡量一个系统的频率响应情况。

总的来说，对于连续时间LTI系统，研究其频率特性及频域分析具有重要的意义。

他可以提供一个系统的相位特性、幅频特性、切趾特性等详细的分析，而且由于信号可以分解为离散频率分量，因此可以很容易地实现频域分析，并衡量一个系统的频率响应情况。

此外，还可以利用频域分析来测量系统的增益，模态表现，以及系统的传播属性和可控特性，进而提高系统的性能，实现性能的优化。

第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结

X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。（1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解：（1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）

信号与系统第3章信号通过LTI系统的频域分析

但回顾电路基础课程中使用的相量概念就可明白，复指数函数或即复正弦信号是实正弦信号的一种表示方式。
在随后的分析中，读者还将会发现，复指数形式的傅里叶级数实际上更易进行操作，正因为如此，这一形式在分析中更常使用。
还必须指出的是，各次谐波的系数 Cn现在不仅反映了谐波分量的幅度，也反映了其相位，即Cn是个复数，可以进 jn 一步表示为 Cn Cn e ，因此，式（38）中的 Cne jt 就是一个幅度为 Cn ，初始相位为n而频率为的复正弦信号。
式（3-8）的意义与三角函数形式的傅里叶级数一样，表明函数f(t)可以分解为无限个复正弦谐波信号 e jn0t 的线性组合。
必须注意的是，这里出现了n为负的频率，但这个负频率只是“视在”的，是数学表达上的存在。
傅里叶级数的复指数形式在高等数学课程中并未出现，而且表达式中出现了n为负的频率，初学者可能会感到困惑。
第3章信号通过LTI系统的频域分析
3.1
引言
3.2
周期信号的频域分解—傅里叶级数
3.3
复正弦信号通过LTI系统
3.4
信号频谱、带宽与系统带宽的概念
3.5
周期信号通过LTI的频域分析
3.6
非周期信号的频域分解
3.7
重要的例和傅里叶变换的性质
3.1 引言
图3-1
矩形脉冲通过一阶RC滤波电路
由图3-1可见，随着信号参数τ与系统中的参数RC之间关系的不同，输出y(t)的波形与输入x(t)波形的相似程度将会不同，也即x(t)经过系统h(t)后产生的失真不同。
傅里叶级数表达式的物理意义是，周期信号可以分解为由基波及其各次谐波组成的正弦波的线性组合，这也就是通常所称的谐波分析。

信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析报告

实验三连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。

基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。

二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。

上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。

即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()(3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。

在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。

[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应

2、冲激平衡法求系统的单位冲激响应
h ( n ) (t ) an1h ( n1) (t ) a1h' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) bm1 ( m1) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
由于t >0+后, 方程右端为零, 故 n>m 时
求解系统的零状态响应yzs (t)方法：
1) 直接求解初始状态为零的微分方程。
2) 卷积法：
利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。
卷积法求解系统零状态响应yzs(t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合
2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应 —— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yzs (t) 。
?线性时不变系统的描述及特点?连续时间lti系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质?离散时间lti系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质?冲激响应表示的系统特性第第3章系统的时域分析lti系统分析方法概述一系统理论中的主要问题
§3.1 线性时不变系统的描述及特点
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
解
1 电阻 iR t vt R
iR
iL
L C
电感
d vt 电容 iC t C dt iR t iL t iC t iS t 根据KCL
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1

LTI系统的频域分析

y(t ) h(t )* fT (t ) Fn [h(t )*e jnt ] Fn H ( jn) e jnt n n 若

则可推导出
A0 y(t ) H (0) An | H ( jn) | cos[nt n (n)] 2 n 1
h( ) e j d
y(t ) H ( j) e
j t
H ( j )反映了响应y(t)的幅度和相位。
二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应
e
1 2
j t
H(j ) ej t
1 2
齐次性
1 j t F ( j ) e d 2
F(j )H(j ) ej t d

FT [TS (t )] S
n
( n

S
)
如果f(t)是带限信号[即f(t)的频谱在（- m，m) 为有限值，而其余区间为0]。
设f(t)←→F(j)，取样信号fS(t)的频谱函数
1 FS ( j ) F ( j )* S ( nS ) 2 n 1 F[ j ( n S )] TS n
f (t )
FT FT
F ( )
1 2
相乘
1 Fs ( ) F ( ns ) Ts n
s
相卷积
T (t )
n
(t nT )

FT
FT
p( ) s
n Βιβλιοθήκη ( ns
)
在画取样信号fS(t)的频谱时，设定ωS ≥2ωm ,这时其频谱不发生混叠，因此能设法(如利用低通滤波器)，从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。

LTI系统的时域频率复频域分析

二阶系统
a2y''(t)a 1y'(t)a0y(t)b 2x''(t)b 1x'(t)b 0x(t), a2,a 1,a0,b 2,b 1,b 0为常数
5
（2）线性常系数差分方程
(Linear Constant-Coefficient Difference Equation ，LCCDE)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
2
2
频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上，与时域分析法不同处在于信号分解的基本函数不同。 17
由于h ( t ) 的傅氏变换 H ( j ) 就是频率为的复指
数信号 e j t 通过LTI系统时，系统对输入信号在幅
度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。
鉴于h ( t ) 与 H ( j ) 是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。
6
（3）线性常系数差分方程的时域递归解法
对于差分方程，可以将其改写为：
y[n]a 1 0 kM 0bkx[nk]kN 1aky[nk]
可以看出：要求出y[0]，不仅要知道所有x[n] (-M≤n ≤0 )，还要知道y[-1]、y[-2]、…、y[-N]，这称为一组初始条件。对于因果LTI系统，若当n<0时，x[n]=0，则有y[-1]、y[-2]… y[-N]都为0，于是可以求得y[0]=b0x[0]/a0。进一步，又可以通过y[0]和x[0]、x[1]求得 y[1],依次类推可求出所有y[n]。
右端加法器的输出:
y(t) 2f'(t)4f(t) (2)
由(2)可得y’(t)，y’’(t)为:
;(t)2f''(t)4f'(t) (3) y''(t)2f'''(t)4f''(t) (4)

周期信号通过LTI连续时间系统的响应_信号与系统分析_[共2页]

2π −∞
2π −∞
−∞
（3.3.4）
若系统的频率响应 H (ω) = H (ω) ej ∠H(ω) ，应用 LTI 连续时间系统 FT 分析法式（3.3.3）
得输出信号 yf (t) 的频谱
Yf (ω) = F (ω)H (ω) = F (ω) H (ω) ej⎡⎣ ∠F(ω)+ ∠H (ω)⎤⎦
取反 FT 得
∫ ∫ yf
(t)
=
t dω
=
1 2π
∞
F (ω)
−∞
H (ω) e j⎡⎣ ∠F (ω)+ ∠H (ω)⎤⎦e jωt dω
即
∫ yf (t) =
∞
F (ω)
−∞
H (ω) dfe j⎡⎣ωt+∠ F (ω)+ ∠H (ω)⎤⎦
（3.3.5）
比较式（3.3.4）和式（3.3.5）可见，输入信号 f (t) 各 ejωt 分量的模为 F (ω) df 通过 LTI
3 第章连续时间信号与 LTI 连续时间系统的频域分析 79
f (t) ←⎯→ F (ω) = F (ω) ej ∠ F(ω)
根据式（3.2.6）得
∫ ∫ ∫ f (t) = 1 ∞ F (ω)ejωt dω = 1 ∞ F (ω) ej ∠F(ω)ejωtdω = ∞ F (ω) dfej⎡⎣ωt+ ∠ F(ω)⎤⎦
连续时间系统后响应 yf (t) 的各 ejωt 分量的模为 H (ω) F (ω) df ；而输入信号 f (t) 各 ejωt 分量
的初相为 ∠F (ω) ，通过 LTI 连续时间系统后，响应 yf (t) 的各 ejωt 分量的初相为

浙江大学信号与系统3

显然，从上式中，我们也可以反推到 a k 用 Bk 和 C k来表示的关系
a 0 B 0 1 a ( B k jCk ) k 2 a 1 ( B jC ) k k k 2 k 1 k 1
信号与系统
于慧敏教授
3.2.1 连续时间傅里叶级数
系数 a k 的确定：
j t

信号与系统
于慧敏教授
例3.1
【例3.1】令某一个LTI系统h(t)的输入信号 x (t )是三个复指数信号的线性组合
x(t ) a1es1t a2es2t a3es3t
求其输出 y (t )。
解：根据LTI系统特征函数的性质，有
ห้องสมุดไป่ตู้
a1es1t a1H (s1 )es1t
a2 e s2t a2 H (s 2 )e s2t

三角函数形式为 x(t ) ( Bk cos k0t Ck sin k0t )
k 0
B0 ( Bk cos k0t Ck sin k0t )
k 1

信号与系统
于慧敏教授
3.2.1 连续时间傅里叶级数
两种表达式中系数的相互推算
e jk0t cosk0t j sin k0t
x(t )e
jn0t
ak e jk0t e jn0t
k

将上式两边从0到 T0 2 / 0 对
t 积分，有
jk0t jn0t a e e ) dt k
x(t ) e
x(t )e
T0 0
T0 0
jn0t
第三章连续时间信号与系统的频域分析
信号与系统

连续时间系统的频域分析

第三章.连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法（§）信号分解的目的：● 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。

●简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。

1．正交函数集任意信号)(t f 可表示为n 维正交函数之和：原函数()()()t g t g t g r Λ21,相互正交：⎩⎨⎧=≠=⋅⎰nm K nm dt t g t g m t t n m ,,0)()(21()t g r 称为完备正交函数集的基底。

一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。

2．能量信号和功率和信号（§一）设()t i 为流过电阻R 的电流，瞬时功率为R t i t P )()(2=一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。

令R = 1Ω，则在整时间域内，实信号()t f 的能量，平均功率为：讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： ✍∞<<W 0(有限值) 0=P✍∞<<P 0(有限值)∞=W满足✍式的称为能量信号，满足✍式称功率信号。

3．帕斯瓦尔定理设{})(t g r 为完备的正交函数集，即信号的能量基底信号的能量各分量此式称为帕斯瓦尔定理 P331 式（6-81） (P93, P350) 左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。

物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。

二、周期信号的频谱分析——傅里叶级数(1) 周期信号傅里叶级数有两种形式三角形式： ()∑∞=++=1110sin cos )(n n nt n b t n aa t f ωω=∑∞=++110)cos(n n nt n cc ϕω指数形式：t jn n e n F t f 1)()(1ωω∑∞-∞==(2) 周期信号的频谱是离散谱，三个性质收敛性()↓↑)(,1ωn F n谐波性：(离散性)谱线只出现在1ωn 处，唯一性：)(t f 的谱线唯一(3)两种频谱图的关系● 三角形式：ω~n c ，ωφ~n 单边频谱● 指数形式：ωω~)(1n F , ωφ~n 双边频谱两者幅度关系 )(1ωn F =()021≠n c n000a c F ==● 指数形式的幅度谱为偶函数 ●指数形式的相位谱为奇函数(4) 引入负频率对于双边频谱，负频率)(1ωn ，只有数学意义，而无物理意义。

连续系统的频域分析

连续系统的频域分析第三章傅⽴叶变换时域分析：f(t) y f(t)=h(t)*f(t)↓分解↑基本信号δ(t)→LTI →h(t)频域分析： f(t) ye jωt =h(t)* H(jω)Fe jωt↓分解↑基本信号 sinωt→LTI →H(jω)e jωte jωtH(jω)：系统的频域响应函数，是信号⾓频率ω的函数，与t⽆关.主要内容：⼀、信号的分解为正交函数。

⼆、周期信号的频域分析?付⾥叶级数（求和），频谱的特点。

信号三、⾮周期信号的频域分析?付⾥叶变换（积分），性质。

分析四、LTI系统的频域分析：频域响应H(jω)；y(jω)= H(jω)?F(jω). (系统分析)五、抽样定理：连续信号→离散信号.§3.1 信号分解为正交函数⼀、正交：两个函数满⾜φ1(t)φ2(t)dt=0,称φi(t),φj(t)在区间(t1 ,t2)正交。

⼆、正交函数集：⼏个函数φi(t)φi(t)dt= 0 当i≠j;K i 当i=j.三、完备正交函数集：在{φ1(t)…φn(t)}之外，不存在ψ(t)满⾜ψ (t)φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n).例、三⾓函数集:{1,cosΩt,cos2Ωt,… ,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…sin(nΩt),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/Ω为周期.满⾜： cosmΩtcosnΩtdt= 0 m≠nT/2 m=n≠0T m=n=0sin（mΩt）sin(nΩt)dt= 0 m≠nT/2 m=n≠0sin(mΩt)cos(nΩt)dt= 0. 所有的m和n.结论:三⾓函数集是完备正交集。

推导： cosmΩtcosnΩtdt=(1/2) [cos(m+n) Ωt+cos(m-n) Ωt]dt=(1/2)sin(m+n)Ωt +(1/2)sin(m-n)Ωt=(1/2)[sin(m+n) Ω(t0+T)-sin(m+n)Ωt0]+(1/2)[sin(m-n) Ω(t0+T)-sin(m-n)Ωt0]=0 当m≠n时.m=n≠0，原式=(1/2) [ cos(m+n)Ωt+1]dt=(1/2)?t =T/2 m=n=0 , 原式=(1/2) [1+1]dt=T.4、复函数的正交函数集：⼏个复函数集{φi(t)}，φi(t)φi*(t)dt= 0 i≠jk i i=j例：复函数集{ e jnΩt}(n=0,±1,±2…)区间(t0,t0+T）,T=2π/Ω为周期。

信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析

实验三连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。

即⎰∞∞--=dt et h j H tj ωω)()( 3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。