高等数学讲义(一)

高等数学基础

高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。

第1讲 函数

1.2 函数

要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式

2πr S =

自由活体的下落距离

202

1gt t v s +

= 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。

二、函数的定义

定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为

)(x f y =

并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合

},)(;{D x x f y y Z ∈==

称为函数f 的值域。

看看下面几个例子中哪些是函数：

}6,3,1{=X

f

}9,8,6,2{=Y f 是函数，且

2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f

定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ⊂。

}7,6,3,1{=X

}9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X

}9,8,6,2{=Y f 是函数，且

2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f

定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。

}6,3,1{=X

}9,8,6,2{=Y f 不是函数。

由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。

例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有

01≥-x

即

f

f

f

1≤x

所以函数的定义域为]1,(-∞。

例2 求函数2411

x x

y -+-=

的定义域。 解 在实数范围内要使第一个等式有意义，有

01≠-x 即

1≠x

在实数范围内要使第二个等式有意义，有

042≥-x 或 42≤x

即

2≤x 或 22≤≤-x

所以函数的定义域为]2,1()1,2[Y -。

三、函数表示法

函数表示法主要有以下三种 ⒈解析法

用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如

2x y =

x y sin =

⎩

⎨

⎧>-≤+=0,10

,1)(x x x x x f ⒉图形法

在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。例如

表示一天内温度随时间变化的函数关系。

⒊列表法

在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。

四、函数的几种属性

⒈单调性

请看下面两个图

左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的)

,

(

,

2

1

b

a

x

x∈且

2

1

x

x<时，恒有

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f<

则称函数)

(x

f在区间)

,

(b

a内是单调上升的或单调增加的。

右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的)

,

(

,

2

1

b

a

x

x∈且

2

1

x

x<时，恒有

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f>

则称函数)

(x

f在区间)

,

(b

a内是单调下降的或单调减少的。

⒉奇偶性

请看下面两个图

左边的函数图形关于y轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数)

(x

f

y=的定义域D以原点为对称，且恒满足等式)

(

)

(x

f

x

f=

-，则称)

(x

f是

偶函数。

右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：如果函数)(x f y =的定义域D 以原点为对称，且恒满足等式)()(x f x f -=-，则称)(x f 是奇函数。

例3 判断下列函数的奇偶性：

⑴x x f =)(； ⑵)1,1(11lg

)(-∈+-=x x

x

x f

解 ⑴由绝对值的性质，对任意x 有

)()(x f x x x f ==-=-

由此可知)(x f 是偶函数。

⑵由对数函数的性质，对任意)1,1(-∈x 有

1

)11lg(11lg )(1)(1lg

)(-+-=-+=-+--=-x

x x x x x x f

)(11lg x f x

x

-=+--= 由此可知)(x f 是奇函数。

判断函数的奇偶性也可以利用以下结论： 偶函数加减偶函数是偶函数 奇函数加减奇函数是奇函数 偶函数乘偶函数是偶函数 奇函数乘奇函数是偶函数 奇函数乘偶函数是奇函数

例如，x x y sin +=是奇函数，x x y cos =也是奇函数。 1.3 初等函数

要了解初等函数，首先从以下开始

一、基本初等函数

我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是 ⒈常数函数 R c c y ∈=

常数函数的图形如下