高等数学讲义(一)
高等数学讲义答案第一章
第一章 极限与连续第一节 函 数【例1】研究函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数. 【分析】()f x 定义域为R ，()ln(ln(()f x x x f x -=-==-+=-故()f x 为奇函数.由)1ln()(2x x x f ++=得，y e x =yex -=-+两式相减得.2y ye e x --=【例2】设0,0()1,0x f x x <⎧=⎨≥⎩, 22,1()||2,1x x g x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩， 试求[()],[()]f g x g f x .【分析】0,12[()]1,12x f g x x x ⎧≤<⎪=⎨<≥⎪⎩或，2,0[()]=1,0x g f x x <⎧⎨-≥⎩.【例3】设函数2||sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界( ).()()A 1,0- ()()B 0,1 ()()C 1,2 ()()D 2,3【分析】()1,0x ∈-，2||sin(2)11()(1)(2)144x x f x x x x -=≤=--⨯，故有界，选（A ） 2111||sin(2)sin(2)lim ()lim lim (1)(2)(1)x x x x x x f x x x x x ---→→→--===+∞--- 111sin(2)sin(2)lim ()lim lim (1)(1)x x x x x f x x x +++→→→--===-∞-- 222222sin(2)(2)1lim ()lim lim lim (2)(2)2x x x x x x f x x x x ++++→→→→--====+∞--- 故BCD 均不正确.第二节 极 限【例1】讨论11012lim12x x x→-+.【分析】1111001212lim 1,lim 11212x x x x xx+-→→--=-=++,故此极限不存在.【例2】讨论1121lim ()xx x x e e+→-. 【分析】111111221122lim ()lim ,lim ()limttttt t xx xx t t x x e e e ex e e x e e t t +-++++→+∞→-∞→→---==+∞-==故此极限不存在.【例3】110|sin |lim 21x x x x e x e →⎛⎫⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭. 【分析】1111000|sin |sin lim 2lim 2lim 12111x xx x x x x x e x e x x e e +++→→→⎛⎫ ⎪-=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭1111000|sin |sin lim 2lim 2lim 10111x xx x x x x x e x e x x e e --+→→→⎛⎫- ⎪-=-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭,故110|sin |lim 2 1.1x x x x e x e →⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪+⎝⎭【例1】)0,0,0()(lim 1>>>++∞→c b a c b a nnnn n【分析】不妨设0a b c ≥≥>，由3n n n nna abc a ≤++≤得11()3n nn n na abc a ≤++≤ 又因为1lim lim3nn n a a a →∞→∞==，由三明治定理得1lim().nnn nn a b c a →∞++=故()1lim()max ,,.nnn nn a b c a b c →∞++=【例2】)2211(lim 222n n nn n n +++++∞→【分析】由2221i i i n n n i n ≤≤+++得2221111n n n i i i i i in n n i n ===≤≤+++∑∑∑又因为22111lim lim 12nn n n i i i i n n n →∞→∞====++∑∑，由三明治定理得211lim .2nn i i n i→∞==+∑题型一 极限概念与性质【例1】设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=, 则下面断言正确的是 ( ).(A)若{}n x 发散，则{}n y 必发散 (B)若{}n x 无界，则{}n y 必有界 (C)若{}n x 有界， 则{}n y 必为无穷小 (D)若1{}nx 为无穷小，则{}n y 必为无穷小 【分析】令,0n n x n y ==，(A)不正确；令0,n n x y n ==，(C)不正确；令,1,3,50,1,3,5,0,2,4,6,2,4,6n n n n n x y n n n ==⎧⎧==⎨⎨==⎩⎩(B)不正确；选(D). 事实上，lim lim01nn n n n ny x y x →∞→∞==，分母趋于0，分子趋于0，(D)正确. 【例2】{},{},{}n n n a b c 均为非负数列, 且lim 0n n a →∞=,lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞, 则 ( ). (A),n n a b n <∀ (B),n n b c n <∀ (C)lim n n n a c →∞不存在 (D)lim n n n b c →∞不存在【分析】对n ∀，(A) (B)肯定不正确，lim n n n a c →∞可能存在可能不存在，选(D).【例3】设函数()f x 在(),-∞+∞内单调有界, {}n x 为数列, 下面命题正确的是 ( ). (A)若{}n x 收敛，则{()}n f x 必收敛 (B)若{}n x 单调，则{()}n f x 必收敛 (C)若{()}n f x 收敛， 则{}n x 收敛 (D)若{()}n f x 单调， 则{}n x 收敛【分析】{}n x 单调，由于()f x 单调，则{()}n f x 单调，又因为其有界，故由单调有界定理，(B)正确.题型二 不定式求极限【例1】(1) 0x0011233lim .3x x xx o x o x x (2) )cos 1(sin 1tan 1limx x xx x -+-+→()30002tan 1cos 1tan sin 1lim lim .1222x x x x x x xx x x →→→--===⨯(3) limxlimlimlim1.x x x ===(4) 3012cos lim 13x x x x32200012cos 12cos 1cos 11lim 1lim ln lim .3336x x x x x x x xx x(5) sin 30limx xx e e x →-()sin sin 3330001sin 1lim lim lim .6x x x x x x x x e e e e x x x x x -→→→---===-(6) 211lim (arctan arctan )1x x x x →∞-+()222220011arctan arctan 11111lim (arctan arctan )lim lim 12x t t t t t t t t x x x t t →∞→→--++++-==+()()222011lim1.2t t t t t→++-+==(7) ()()4sin sin sin sin limx x x x x →-()()()34330001sin sin sin sin sin sin sin sin 16lim lim lim .6x x x x x x x x x x x x →→→--=== (8)()()()401cos ln 1tan limsin x x x x x→--+()()()()()42220001cos ln 1tan ln 1tan tan ln 1tan 11tan limlim lim sin 22x x x x x x x x x x x x xx x x →→→--+-+-+⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭2201tan 112lim .24x xx →==【例2】 (1) 22211lim sin cos x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2222222224000cos sin cos sin 11cos sin lim lim lim sin cos cos sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→+--⎛⎫-== ⎪⎝⎭30cos sin 22lim.3x x x x x →-==-(2)()12lim x x x x e →+∞⎛- ⎝ ()()()121222011lim lim 1.txx t t e t x x e t +→+∞→--+⎛-==- ⎝【例3】(1) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→()333000tan 1cos 11tan 1tan sin 1limln lim lim .1sin 1sin 2x x x x x x x x x x x x x →→→-+-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 311201tan lim .1sin x x x e x →+⎛⎫= ⎪+⎝⎭(2) 21coslim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 222211111lim ln cos lim cos 1lim .22x x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121lim cos .x x e x -→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭ (3) ()110ln 1lim xe x x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()2000ln 1ln 1ln 1111lim ln lim 1lim .12x x x x x x x x e x x x x →→→+++-⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()11120ln 1lim .xe x x e x --→+⎛⎫= ⎪⎝⎭(4)()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()()()()()22lim ln lim .x x x x a x b x x x a b x a x b x a x b →∞→∞⎡⎤--+==-⎢⎥-+-+⎣⎦()()2lim .xa b x x e x a x b -→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(5) 11ln lim 1xxx x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭()1112111ln 1ln 1ln 11ln lim ln 1lim lim lim 1.ln 111xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e →+∞→+∞→+∞→+∞-⎛⎫ ⎪⎛⎫--⎝⎭-=⋅===- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11ln 1lim 1.xxx x e -→+∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭(6) lim nn →∞⎣⎦()02ln ln 1lim ln lim 1lim ln 22222t t x x t a b a b x x ab t +→+∞→+∞→⎤+-+=-===⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦lim lim n xn x →∞→+∞==⎣⎦⎣⎦【例4】 (1) 若30sin 6()lim0x x xf x x →+=, 求206()lim .x f x x →+233300006()sin 6()6sin 6sin 6()6sin 6limlim lim lim 36.x x x x f x x xf x x x x xf x x xx x x x →→→→+++-+-==+=(2)设0ln(1()sin 5)lim 121x x f x x →+=-, 求0lim ().x f x →000ln(1()sin 5)()sin 55()lim lim lim 1.21ln 2ln 2x x x x f x x f x x f x x →→→+===-0ln 2lim ().5x f x →= 题型三 连加或连乘求极限【例1】(1) ()11lim ()nn i l N i i l +→∞=∈+∑(2)231lim nn i i n →∞=∑ (3) n n x x x 2cos 4cos 2cos lim ∞→ 11111111111,11,lim 1.()22311()nnn i i l i i l n n n i i l →∞====-+-++-=-=++++∑∑1111111111112,11,()232422212ni l i i l n n n n =⎛⎫⎛⎫==-+-++-=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑1111lim 1.()22nn i i i l →∞=⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑同理，得()11111lim1.()2nn i l N i i l l l +→∞=⎛⎫∈=+++ ⎪+⎝⎭∑ (2)231lim nn i i n →∞=∑ ()()2331111lim lim 121.63nn n i i n n n nn →∞→∞==⨯++=∑ (3) n n xx x 2cos 4cos 2coslim ∞→cos cos cos 2sin sin sin 2422lim cos cos cos limlim .2422sin 2sin 22n n nn n n n n n n nx x x xx x x x x x x x →∞→∞→∞⋅===【例2】 (1))212654321(lim nn n -⋅⋅∞→()()()()()22222212+11352113355711()=24622462+12+12n n n n n n n --⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅≤ 因为1lim=02+1n n →∞，由三明治定理得213521lim()=02462n n n →∞-⋅⋅， 故13521lim()=0.2462n n n→∞-⋅⋅ (2)⎰∞→xx dt t x 0sin 1lim()()()10sin sin 11,sin 1n n xt dtt dt n x n t dt n x n ππππππ+≤<+≤≤+⎰⎰⎰即()()02121sin 1xn n t dt n x n ππ+≤≤+⎰ ()()2122lim lim 1x x n n n n πππ→∞→∞+==+，由三明治定理得012lim sin .x x t dt x π→∞=⎰(3))0,0i n p a >>设()12max ,,p M a a a =M ≤≤lim n n M M →∞==，由三明治定理得()1max ,,.p n M a a == 【例3】(1)1limn n i →∞=11011limlnln 1112lim lim .nn i in nxdxn n n n i n e e e n n n →∞=-→∞→∞=∑⎛⎫⎰=⋅⋅⋅=== ⎪⎝⎭(2)lim n11013lim 112lim .n n i i xdxn n n e e e →∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑⎰===【例4】(1) 1limn i →∞=111nnni i i ===≤≤11lim lim 1.nnn n i i →∞→∞====由三明治定理，得1lim 1.nn i →∞==(2)1limnn i →∞=((11111lim lim ln ln 1.nnn n i i x n →∞→∞======+⎰(3)1limnn i →∞=)10111lim lim 21.nn n n i i n →∞→∞======⎰(4)21limnn i →∞=222111nn ni i i ===≤≤22111lim lim .3n n n n i i →∞→∞====故211lim.3nn i →∞==(5)11limnn i n i →∞=+∑()1100111111lim lim ln 1ln 2.11nn n n i i dx x i n i n x n→∞→∞=====+=+++∑∑⎰(6)21limn i nn i →∞=++∑2221111nn ni i i i i in n n n n i n n ===≤≤++++++∑∑∑ 22111lim lim .12nnn n i i i i n n n n n →∞→∞====++++∑∑ 故211lim.2nn i i n n i →∞==++∑ (7) 221limnn i n n i →∞=+∑ 1102222011111lim lim arctan .141nnn n i i n dx x n i n x i n π→∞→∞======++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑⎰(8) 221lim1nn i n n i →∞=++∑()22222211111nnni i i nn nn i n i ni ===≤≤+++++∑∑∑()1222220111lim lim .141nnn n i i nn dx n i x n i π→∞→∞=====++++∑∑⎰【例5】(1)2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭222sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111112n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+++≤+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪++++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1022sin sin sin sin sin sin 2lim lim sin .111n n n n n n n n n n xdx n n n n n n ππππππππ→∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++=+++== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2sin sin sin 2lim .1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪+++=⎪+ ⎪++⎝⎭(2)21tanlim nn i i n n n i →∞=+∑222111tann tan tan 1n n ni i i i i in n n n n n n n i n ===≤≤+++∑∑∑1100222111tantan tanlim lim lim tan ln cos lncos1.1n n n n n n i i i i i in n n n n n xdx x n n n n →∞→∞→∞=======-=-++∑∑∑⎰【例6】(1)1lim 1nn i →∞=⎫⎪⎪⎭∑111lim 1lim .4nn n n i i →∞→∞==⎫==⎪⎪⎭∑ (2)()1222411lim n n n i n i n →∞=+∏()()()12222421011limln 2ln 12242arctan 2411lim25.n n n i n i nn nx dx n i niee e n →∞=⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦→∞=∏⎰+===∏题型四 数列极限的存在性【例1】(1)设111,0n a a +=+=，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞.121,0a a ==设1k k a a +≤，则≤21k k a a ++≤由数学归纳法得{}n a 递减下面证明n a ≥显然112a ≥-设12k a +≥-则12+≥-，即112k a +≥-由数学归纳法得n a ≥由单调有界必收敛得{}n a 收敛.设lim ,n n a A →∞=两边取极限得0A =，即A =(2) 123a a a === ，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞.lim 2.n n a →∞=(3) 设1111,2n n n a a a a a a +⎛⎫=>=+ ⎪⎝⎭，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞. lim n n a →∞=(4) 设1103,n a a +<<={}n a 收敛，并求lim n n a →∞.3lim .2n n a →∞= 【例2】设)(x f 是区间[)0,+∞上单调减少且非负的连续函数，()()()11,1,2,nnn k a f k f x dx n ==-=∑⎰…证明数列{}n a 的极限存在.()()()()1111110n n n n nna a f n f x dx f n f n dx +++-=+-≤+-+=⎰⎰，即{}n a 递减.()()()()()()23112112nn n k a f k f x dx f f x dx f f x dx ==-=-+-+∑⎰⎰⎰()()()()110.nn f n f x dx f n f n -+--+≥≥⎰故{}n a 有下界.由单调有界定理，{}n a 的极限存在.题型五 含参数的极限【例1】确定,,a b c 值，使()()3sin lim0ln 1x x bax xc c t dtt→-=≠+⎰. 【分析】分式极限不为0，分子趋于0，则分母趋于0，故0.b =()()()233000sin cos cos limlimlim 0ln 1ln 1x x x x ax xa x a xc c x t x dttx→→→---===≠++⎰故11,.2a c ==【例2】()()22ln 1lim2x x ax bx x →+-+=，求,a b .【分析】()()()()222222001ln 12lim lim 2x x x x o x ax bx x ax bx x x →→-+-++-+==故51,.2a b ==-题型六 含变积分限的极限【例1】设()(),g f x x 连续，且()()()g 0f x x x → ，又lim ()0x ax ϕ→=，证明：()()()()()0x x f t dt g t dt x a ϕϕ→⎰⎰.【例2】设)(x f 是[)0,+∞上的连续函数，且满足()2lim 1x f x x →+∞=，求()()220limxx t x e e f t dtf x -→+∞⎰.【分析】()()()()()222222222limlimlimxxxxttt xxx x x ee f t dte f t dte f t dt xf x x e f x x e -→+∞→+∞→+∞=⋅=⎰⎰⎰()()()2222221limlim .22222xxx x f x e f x x x x x xx e →+∞→+∞==⋅=++题型七 函数的连续与间断【例1】设()()()f x x ϕ-∞+∞和在内有定义，()f x 为连续函数，且()()0,f x x ϕ≠有间断点，则 ( ). (A)()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点(B)()2f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点(C)()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点 (D)()()x f x ϕ必有间断点【分析】(D) 【例2】设函数nn x xx f 211lim)(++=∞→，讨论函数)(x f 的连续性与间断点.【分析】0,11,11()1,10,1x x x f x x x ≤-⎧⎪+-<<⎪=⎨=⎪⎪>⎩()f x 在1x =处是跳跃间断点，在其他区域均连续.【例3】求()sin sin sin lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫=⎪⎝⎭的间断点，并判别其类型.【分析】()sin sin sin sin lim .sin xx t xxt x t f x e x -→⎛⎫== ⎪⎝⎭其中,,0x k k Z k π=∈≠且为第二类间断点，0x =为可去间断点.。
高等数学精简讲义(pdf版)
f ''(0) + 1 6
f '''(η2 )
两式相减： f '''(η1 ) + f '''(η2 ) = 6
∃ξ
∈[η1，η2 ]，∋
f
'''(ξ )
=
1[ 2
f
'''(η1) +
f
'''(η2 )] =
3
13. e < a < b < e2 ，求证： ln 2 b − ln 2 a > 4 (b − a) e2
三、补充习题（作业）
1. lim e x −1 − x = −3 （洛必达） x−>0 1 − x − cos x
2. lim ctgx( 1 − 1 )
x−>0
sin x x
∫x x e−t2 dt
3. lim x−>0
0
1− e−x2
=1
（洛必达或 Taylor） （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
二、题型与解法 A.极限的求法
（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与 Taylor 级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1. lim x−>0
证： f (x) = f (0) + f '(0)x + 1 f ''(0)x2 + 1 f '''(η)x3
(完整word版)高等数学辅导讲义
第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e x ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设 1,1,()0,1,(),1,1,x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞→∞==那么(1)()lim n n n x y a b →∞±=±;(2)lim n n n x y a b →∞•=•;(3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,limn n n x a y b→∞=.例3 若lim nn xa →∞=,则lim nn xa →∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)n n x =-, 显然1lim n n x →∞=,但数列(1)n n x =-没有极限。
高等数学第一章函数极限和连续讲义
第一章函数、极限和连续【考试要求】一、函数1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．二、极限1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限．4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．三、连续1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限． 5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．【考试内容】一、函数（一）函数的概念1．函数的定义：设数集D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为()yf x =，x D ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域．说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“g ”、“F ”、“ϕ”等，相应的，函数可记作()y g x =，()y F x =，()y x ϕ=等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作()y y x =，这一点应特别注意．2．函数的解析（公式）表示法 （1）函数的显式表示法（显函数）：()yf x =形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如2cos xy xe x =-，13sin ln x x e y x e x-=++等．（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程310x y +-=解出31y x =-，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如1,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩ 是由两个解析式表示的定义域为(,)-∞+∞的一个函数．（4）由参数方程确定的函数：如果自变量x 与因变量y 的关系是通过第三个变量t 联系起来 ()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ （t 为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程 2cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩ 表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆．（二）函数的几种特性1．有界性设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，如果存在正数M，使得()f x M≤对任一x X ∈都成立，则称函数()f x 在X 上有界．如果这样的M不存在，就称函数()f x 在X 上无界．说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数M 是函数()f x 的一个界，则比M大的数都是函数()f x 的界．2．单调性 设函数()f x 的定义域为D ，区间I D ∈．如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x >，则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 3．奇偶性 设函数()f x 的定义域D 关于原点对称．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=恒成立，则称()f x 为偶函数．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=-恒成立，则称()f x 为奇函数．例如：()cos f x x =、2()f x x =都是偶函数，()s i n f x x =、()arctan f x x =是奇函数，而()sin cos f x x x =+则为非奇非偶函数．偶函数的图形关于y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证． 4．周期性设函数()f x 的定义域为D ．如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈有()x l D ±∈，且()()f x l f x +=恒成立，则称()f x 为周期函数，l 称为()f x 的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数sin x 、cos x 都是以2π为周期的周期函数，函数tan x 是以π为周期的周期函数．（三）函数的运算1．和差积商运算 设函数()f x ，()g x 的定义域依次为1D ，2D ，12D D D φ=≠，则我们可以定义这两个函数的下列运算： （1）和（差）f g ±：()()()()f g x f x g x ±=±，x D ∈；（2）积f g ⋅：()()()()f g x f x g x ⋅=⋅，x D ∈；（3）商f g ：()()()f f x x g g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，\{()0,}x D x g x x D ∈=∈． 2．反函数（函数的逆运算）对于给定的y 是x 的函数()y f x =，若将y 当作自变量而x 当作因变量，则由关系式()y f x =所确定的函数()x y ϕ=称为函数()f x 的反函数，记为1()y f x -=，()f x 叫做直接函数．若直接函数()yf x =的定义域为D ，值域为M ，则反函数1()y f x -=的定义域为M ，值域为D ．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线y x =对称．3．复合函数（函数的复合运算）设函数()y f u =的定义域为fD ，函数()ug x =的定义域为g D ，且其值域g f R D ⊂，则由下式确定的函数[()]y f g x =，g x D ∈称为由函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量．说明：g 与f能构成复合函数的条件是函数g 的值域g R 必须含在函数f的定义域fD 内，即gf R D ⊂，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．（四）基本初等函数与初等函数1．基本初等函数 幂函数：yx μ=（R μ∈是常数）； 指数函数：x y a =（0a >且1a ≠）；对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠，特别当a e =时记为ln y x =）；三角函数：sin yx =，cos y x =，tan y x =，cot y x =，sec y x =，csc y x =；反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =．以上五类函数统称为基本初等函数．说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记． （1）反正弦函数arcsin yx =：是由正弦函数sin y x =在区间[,]22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[,]22ππ-． （2）反余弦函数arccos y x =：是由余弦函数cos y x =在区间[0,]π上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[0,]π． （3）反正切函数arctan yx =：是由正切函数tan y x =在区间(,)22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(,)22ππ-． （4）反余切函数cot yarc x =：是由余切函数cot y x =在区间(0,)π上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(0,)π． 2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：22sin cos y x x =，22y x =-，2ln(1)y x x =++，2arccos(1)y x =-等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．二、极限（一）数列的极限1．数列极限的定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n x A ε-<都成立，那么就称常数A 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于A ，记为lim n n x A →∞=或n x A →（n →∞）．如果不存在这样的常数A ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是发散的，习惯上也说lim n n x →∞不存在．说明：数列极限中自变量n 的趋向只有一种，即n →∞，虽然含义表示正无穷，但不要写做n→+∞，注意与函数极限的区别．2．收敛数列的性质性质（1）：（极限的唯一性）如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一．性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界． 说明：对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得对一切n ，都有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称数列{}n x 是无界的． 性质（3）：（收敛数列的保号性）如果lim nn x A →∞=，且0A >（或者0A <），那么存在正整数N ，当n N >时，都有0n x >（或0n x <）． （二）函数的极限1．函数极限的定义 （1）0xx →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某个去心邻域内有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作0lim ()x x f x A →=或()f x A →（当0x x →）．说明：函数的左极限lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=；右极限0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=；左极限与右极限统称单侧极限．函数()f x 当0x x →时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即00()()f x f x -+=．（2）x →∞时函数的极限：设函数()f x 当x大于某一正数时有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X ，使得当x 满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →∞=或()f x A →（当x →∞）．说明：此定义包含lim ()x f x A →+∞=和lim ()x f x A →-∞=两种情况．2．函数极限的性质（以0xx →为例）性质（1）：（函数极限的唯一性）如果0lim ()x x f x →存在，那么这极限唯一．性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果0lim ()x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤．性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果0lim()x x f x A →=，且0A >（或0A <），那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >（或()0f x <）． （三）极限运算法则1．如果0lim()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，则有（1）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±； （2）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x fx g x f x g x A B →→→⋅=⋅=⋅；（3）000lim ()()lim()lim ()x x x x x x f x f x A g x g x B→→→==，其中0B ≠； （4）0lim[()]lim ()x x x x cfx c f x →→=，其中c 为常数；（5）0lim[()][lim ()]n n x x x x fx f x →→=，其中n 为正整数．2．设有数列{}n x 和{}n y ，如果lim nn x A →∞=，lim n n y B →∞=，则有（1）lim()nn n x y A B →∞±=±； （2）lim()nn n x y A B →∞⋅=⋅；（3）lim n n nx Ay B →∞=，其中0n y ≠（1,2,n =）且0B ≠．3．如果()()x x ϕψ≥，而0lim ()x x x A ϕ→=，0lim ()x x x B ψ→=，则A B ≥．4．复合函数的极限运算法则：设函数[()]y f g x =是由函数()u g x =与函数()y f u =复合而成，[()]f g x 在点0x 的某去心邻域内有定义，若00lim ()x x g x u →=，0lim ()u u f u A→=，且存在00δ>，当00(,)x U x δ∈时，有()g x u ≠，则lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==．说明：本法则以0xx →为例，其他趋向下亦成立．（四）极限存在准则1．准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件： （1）从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时，有n n n y x z ≤≤，（2）lim nn y A →∞=，lim n n z A →∞=，那么数列{}n x 的极限存在，且lim nn x A →∞=．准则I ' 如果函数()f x 、()g x 及()h x 满足下列条件：（1）当0(,)x U x r ∈（或x M >）时，()()()g x f x h x ≤≤，（2）0()lim ()x x x g x A →→∞=，0()lim ()x x x h x A →→∞=，那么0()lim ()x x x f x →→∞存在，且等于A ．说明：准则I 及准则I '称为夹逼准则．2．准则II 单调有界数列必有极限．准则II ' 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）（五）两个重要极限1．0sin lim1x xx→=，可引申为()0sin ()lim1()x x x ϕϕϕ→=，式中不管自变量x 是哪种趋向，只要在此趋向下()0x ϕ→即可（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）．2．10lim(1)xx x e →+= 或 1lim(1)x x e x→∞+=，可引申为1()()0lim (1())x x x e ϕϕϕ→+=（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）或()()1lim (1)()x x ex ϕϕϕ→∞+=（()x ϕ→+∞或()x ϕ→-∞时亦成立）． 说明：数列亦有第二种极限形式，即1lim(1)nn e n→∞+=．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握．（六）无穷小和无穷大1．定义（1）无穷小的定义：如果函数()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列{}n x 称为n→∞时的无穷小．说明：以后我们再提到无穷小时，把数列{}n x 当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量x 的某一趋向下才有意义． （2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．说明：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大． 2．无穷小的比较设α，β均为自变量同一趋向下的无穷小，且0α≠，（1）如果lim0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； （2）如果lim βα=∞，则称β是比α低阶的无穷小；（3）如果lim0c βα=≠，则称β与α是同阶无穷小； （4）如果lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记作~αβ；（5）如果lim0k c βα=≠，0k >，则称β是关于α的k 阶无穷小． 3．无穷小的性质（1）有限个无穷小的和是无穷小． （2）常数与无穷小的乘积是无穷小． （3）有限个无穷小的乘积是无穷小． （4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设α，β，α'，β'均为自变量同一趋向下的无穷小，且~αα'，~ββ'，limβα''存在，则lim lim ββαα'='（lim 表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）．说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．0x →时sin ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()x x ϕϕ； 0x →时tan ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，tan ()~()x x ϕϕ；0x →时sin ~arc x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()arc x x ϕϕ； 0x →时211cos ~2x x -，可引申为()0x ϕ→时，211cos ()~()2x x ϕϕ-；0x →时111~n x x n +-，可引申为()0x ϕ→时，11()1~()n x x nϕϕ+-；0x →时1~x e x -，可引申为()0x ϕ→时，()1~()x e x ϕϕ-；0x →时ln(1)~x x +，可引申为()0x ϕ→时，ln(1())~()x x ϕϕ+．三、连续（一）连续的概念1．连续的定义连续性定义（1）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()yf x =在点0x 连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）． 连续性定义（2）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()yf x =在点0x 连续．2．左连续、右连续及区间连续 （1）左连续：lim ()x x f x -→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x -=；（2）右连续：：lim ()x x f x +→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x +=；（3）区间连续：若函数()f x 在区间每一点都连续，则称()f x 为该区间上的连续函数，或者说函数()f x 在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数()f x 在右端点连续是指左连续，()f x 在左端点连续是指右连续．说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．（二）函数的间断点1．定义：设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在0xx =处没有定义；（2）虽在0x x =处有定义，但0lim ()x x f x →不存在；（3）虽在0x x =处有定义，且0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠，则函数()f x 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点．2．分类：（1）第一类间断点：如果0x 是函数()f x 的间断点，但左极限0()f x -和右极限0()f x +都存在，那么0x 称为函数()f x 的第一类间断点．00()()f x f x -+=时称0x 为可去间断点，00()()f x f x -+≠时称0x 为跳跃间断点．（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性质1．有界性与最值定理：在闭区间[,]a b 上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值． 2．零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()0f ξ=． 3．介值定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()f a A =及()f b B =，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f C ξ=（a b ξ<<）．【典型例题】【例1-1】求复合函数． 1．设()12xf x x =-，求[()]f f x ． 解：求[()]f f x 就是用()f x 代替x 然后化简，得12[()]122141212xx xx f f x x x x x x -===----⋅-． 2．设2,01()3,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩ ，()xg x e =，求[()]f g x ．解：当01xe ≤≤即0x ≤时，22[()]()x xfg x e e ==， 当12xe <≤即0ln 2x <≤时，[()]3xfg x e =，故2,0[()]3,0ln 2x x e x f g x e x ⎧≤=⎨<≤⎩ ．【例1-2】求函数的定义域． 1．()arcsin(21)ln(1)f x x x =-+-．解：由arcsin(21)x -可得1211x -≤-≤，即01x ≤≤；由arcsin(21)x -可得arcsin(21)0x -≥，即0211x ≤-≤，112x ≤≤；由l n (1)x -可得10x->，即1x <，故原函数的定义域为三部分的交集，即1[,1)2． 2．21()arccos(2)2x f x x x x -=+---． 解：由1x -可得10x -≥，即1x ≥；由220x x --≠即(1)(2)0x x +-≠可得1x ≠-且2x ≠；由arccos(2)x -可得121x -≤-≤，13x ≤≤，故原函数的定义域为三部分的交集，即为[1,2)(2,3]．【例1-3】判断函数的奇偶性． 1．设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性． （1）()()()()f x f x g x g x +-++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x +-与()()g x g x +-均为偶函数，故其和亦为偶函数． （2）()()()()f x f x g x g x --++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x --为奇函数，()()g x g x +-为偶函数，故其和为非奇非偶函数． 2．判定函数2()ln(1)f x x x =++的奇偶性．解：因2()ln(()1)f x x x -=-+-+2ln(1)x x =-++21ln 1x x=++2ln(1)()x x f x =-++=-，故原函数为奇函数．【例1-4】计算下列极限．1．22212lim()n nn n n→∞+++．解：当n →∞时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：222221(1)121212lim()lim lim 2n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++++++===． 2．222111lim()12n n n n n→∞++++++． 解：因22222111121nn n n n n n nn <+++<+++++，并且2l i m1n nn n→∞=+，2lim 11n nn →∞=+，故原极限值为1．（夹逼准则）3．222lim(1)nn n n→∞++．解：22(22)222222222222lim(1)lim(1)lim(1)n n n n n n n n n n n n e n n n n+⋅+→∞→∞→∞++++=+=+=．4．23lim()21nn n n →∞-+．解：21424212344lim()lim(1)lim(1)212121n nn n n n n n n e n n n +-⋅--+→∞→∞→∞---=+=+=+++． 【例1-5】计算下列极限． 1．sin limx xx→∞．解：当x →∞时，1x为无穷小，sin x 虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，可得sin lim0x xx→∞=．说明：本极限与01lim sin x x x →意义是一样的．2．21lim 1n x x x x nx →+++--．解：2211111lim lim 11n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--2121lim[1(1)(1)(1)]n n x x x x x x x --→=+++++++++++(1)1232n n n +=++++=． 说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：2111(1)lim lim(12)12n n x x x x x n n n x nx x -→→+++-+=+++=-．3．0sin(1)lim 3x x e x→-．解：因当0x →时，sin(1)~1xx ee --，1~x e x -，故 00sin(1)11limlim 333x x x x e e x x →→--==． 说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：00sin(1)cos(1)1lim lim 333x x x x x e e e x →→--⋅==． 4．sin 0limsin x x x e e x x→--．解：sin sin sin 00(1)lim lim 1sin sin x x x x x x x e e e e x x x x-→→--==--（0x →时，sin ~sin x x e x x --）．5．23lim()2xx x x→∞++． 解：2(2)2222311lim()lim(1)lim(1)222x x x x xx x x x e x x x+⋅+→∞→∞→∞+=+=+=+++． 6．11lim(sincos )x x x x→∞+． 解：111(sin cos 1)11sin cos 11111lim(sin cos )lim[1(sin cos 1)]x x x x x xx x x x x x⋅+-+-→∞→∞+=++-211111sin cos 1sincos 12limlim lim 1lim 111110x x x x x x x x x xx xxe e e e e →∞→∞→∞→∞-+--+++=====．【例1-6】已知()f x 是多项式，且32()2lim 2x f x x x →∞-=，0()lim 3x f x x→=，求()f x ． 解：利用前一极限式可令32()22f x x x ax b =+++，再利用后一极限式，得 00()3lim lim()x x f x ba x x→→==+，则 3a =，0b =，故32()223f x x x x =++．【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小的阶． 1．2x 比1cos x -．解：因 22002limlim 211cos 2x x x x x x →→==-，故2x 与1cos x -是同阶无穷小． 2．2x 比11x +-．解：因 220limlim 01112x x x x x x→→==+-，故2x 是比11x +-高阶的无穷小． 3．11x x +--比x ．解：因 0011(11)(11)lim lim (11)x x x x x x x x x x x x →→+--+--++-=++-2lim 1(11)x x x x x →==++-，故11x x +--与x 是等价无穷小． 4．2x 比tan sin x x -．解：因 2220002cos limlim lim 1tan sin sin (1cos )2x x x x x x x x x x x x x →→→===∞--⋅， 故2x 是比tan sin x x -低阶的无穷小． 说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解． 【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．1．2,01()1,11,1x x f x x x x ⎧≤<⎪==⎨⎪+>⎩在1x =处的连续性． 解：因(1)1f =，11(1)lim ()lim 22x x f f x x ---→→===， 11(1)lim ()lim(1)2x x f f x x +++→→==+=，从而1lim ()2(1)x f x f →=≠，故函数在1x =处不连续．2．1,0()ln(1),0x e x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪+≥⎩ 在0x =处的连续性．解：因(0)0f =，1(0)lim ()lim 0xx x f f x e ---→→===，(0)lim ()lim ln(1)0x x f f x x +++→→==+=，从而0lim ()0(0)x f x f →==，故函数在0x =处连续．【例1-9】当常数a 为何值时，函数2,0()ln(1),0x a x f x x x x-≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 在0x =处连续？解：因(0)f a =-，0(0)lim ()lim(2)x x f f x x a a ---→→==-=-，10000ln(1)1(0)lim ()lim lim ln(1)lim ln(1)1xx x x x x f f x x x xx +++++→→→→+===+=+=，故由连续性可得，(0)(0)(0)f f f -+==，即1a -=，故1a =-．【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型． 1．1()xf x e= ．解：所给函数在0x =处无定义，故0x =是间断点．又1lim x x e +→=+∞，10lim 0xx e -→=，故0x=是()f x 的第二类间断点．2．()sin xf x x= ．解：所给函数在x k π=（0,1,2,k =±±）处无定义，故0x =、x k π=（1,2,k=±±）是间断点．又0lim1sin x xx→=，故0x =是第一类间断点，且是可去间断点；lim sin x k xxπ→=∞，故x k π=是第二类间断点，且是无穷间断点．3．111()1xxe f x e -=+ ．解：所给函数在0x=处无定义，故0x =是间断点．又111(0)lim 11xx xe f e ++→-==+，111(0)lim 11xx xe f e --→-==-+，故0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．4．1arctan ,0()0,0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ． 解：该题是分段函数的连续性问题，因0x ≠时1arctanx 是初等函数，故1arctan x在0x ≠时是连续的，所以该题主要考虑分界点0x =处的连续性．由1(0)lim arctan 2x f x π++→==，01(0)lim arctan 2x f x π--→==-，可知0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．【例1-11】证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根．证：函数32()41f x x x =-+在闭区间[0,1]上连续，又(0)10f =>，(1)20f =-<，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即32410ξξ-+= （01ξ<<），该等式说明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根是ξ．【例1-12】证明方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根．证：由题意，函数()21x f x x =⋅-在区间[0,1]上连续，又(0)10f =-<，(1)10f =>，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即210ξξ⋅-= （01ξ<<），该等式说明方程21x x ⋅=在区间(0,1)内至少有一个小于1的正根ξ．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）函数211arccos 2x y x +=--的定义域是（ ）（A ）[3,1]- （B ）[3,1]-- （C ）[3,1)-- （D ）[1,1]-解：因 2101112x x ⎧-≥⎪⎨+-≤≤⎪⎩，故 11212x x -≤≤⎧⎨-≤+≤⎩ ， 1131x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ，所以 11x -≤≤，故选（D ）． 2．（2010年，1分）极限0sin3lim x xx→等于（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）13（D ）3 解：00sin33limlim 3x x x xx x→→==，故选（D ）． 3．（2009年，1分）极限(1)limnn n n→∞+-=（ ） （A ）1 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在解：(1)(1)(1)lim lim[1]1lim 101n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+---=+=+=+=，故选（A ）．4．（2009年，1分）若1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则0lim ()x f x →=（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）不存在解：因00lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=-，0lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=，lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，故0lim ()x f x →不存在，选（D ）． 5．（2009年，1分）2x π=是函数tan xy x=的（ ） （A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点解：因 2lim 0tan x x x π→=，故2x π=是函数tan xy x =的可去间断点，选（B ）． 6．（2008年，3分）设1()sinf x x x= ，则lim ()x f x →∞等于（ ）（A ）0 （B ）不存在 （C ）∞ （D ）1解：1sin1lim ()lim sin lim11x x x x f x x x x→∞→∞→∞===，故选（D ）．7．（2008年，3分）当0x →时，23x 是2sinx 的（ ）（A ）高阶无穷小 （B ）同阶无穷小，但不等价 （C ）低阶无穷小 （D ）等价无穷小解：因 22220033lim lim 3sin x x x x x x→→==，故选（B ）．8．（2007年，3分）当0x →时，tan 2x 是（ ）（A ）比sin3x 高阶的无穷小 （B ）比sin3x 低阶的无穷小 （C ）与sin3x 同阶的无穷小 （D ）与sin3x 等价的无穷小解：因0tan 222limlim sin333x x x x x x →→==，故选（C ）． 9．（2006年，2分）设()sin f x x = ，,0(),0x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩ ，则[()]f g x =（ ）（A ）sin x （B ）cos x （C ）sin x - （D ）cos x - 解：当0x ≤时，[()]()sin()sin()sin f g x f x x x x πππ=-=-=--=-；当0x>时，[()]()sin()sin f g x f x x x ππ=+=+=-，故选（C ）． 10．（2005年，3分）设120lim(1)xx mx e →-=，则m =（ ）（A ）12- （B ）2 （C ）2- （D ）12解：由11()20lim(1)lim[1()]m m xmxx x mx mx e e ⋅---→→-=+-==，得2m =-，选（C ）．11．（2005年，3分）设1xy e-=是无穷大，则x 的变化过程是（ ）（A ）0x+→ （B ）0x -→ （C ）x →+∞ （D ）x →-∞解：0x +→时，1x →+∞，1x-→-∞，10x e -→；0x -→时，1x →-∞，1x-→+∞，1x e -→+∞；故选（B ）． 二、填空题1．（2010年，2分）若函数21,1(),1x x f x x a x -+≤⎧=⎨->⎩ 在1x =处连续，则a = ．解：11lim()lim(21)1x x f x x --→→=-+=-，11lim ()lim()1x x f x x a a ++→→=-=-，因()f x 在点1x =处连续，故11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即11a -=-，2a =． 2．（2010年，2分）0x =是函数1()cos f x x x=的第 类间断点．解：因1lim ()lim cos0x x f x x x→→==，故0x =是函数()f x 的第一类间断点．3．（2009年，2分）设1,1()0,11,1x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()x g x e =，则[(l n 2)]g f = ．解：因0ln 21<<，故 (ln 2)1f =，所以 1[(ln 2)](1)g f g e e ===．4．（2009年，2分）1sin y x=在0x =处是第 类间断点．解：因0x →时，1x→∞，1sin x 没有极限，故 0x = 是第二类间断点．5．（2008年，4分）函数ln arcsin yx x =+的定义域为 ．解：由题意，011x x >⎧⎨-≤≤⎩ ，故原函数的定义域为 (0,1]．6．（2008年，4分）设数列n x 有界，且lim 0n n y →∞=，则lim n n n x y →∞= ．解：数列可看作特殊的函数，因数列n x 有界，数列n y 为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可得，lim 0n nn x y →∞=．7．（2008年，4分）函数31y x =+的反函数为 ．解：由31yx =+可得，31y x =+，31x y =-，故反函数为 31y x =-．8．（2007年，4分）函数21arcsin 3x y -=的定义域为 ．解：由21113x --≤≤得，3213x -≤-≤，即12x -≤≤，所以定义域为[1,2]-． 9．（2007年，4分）21lim()xx x x→∞-= ．解：22(2)2111lim()lim(1)lim(1)x x x x x x x e x x x-⋅--→∞→∞→∞---=+=+=．10．（2006年，2分）若函数2121212(),0()12,0x x x f x xx a x +⎧->⎪=⎨+⎪-≤⎩在0x =处连续，则a = ．解：0lim()lim(2)x x f x x a a --→→=-=-，22211221(3)3322000123lim ()lim()lim(1)11x x x x x x xx f x e xx+++++⋅---→→→--==+=++， 因()f x 在0x =处连续，故0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即3a e --=，故3a e -=-． 三、计算题1．（2010年，5分）求极限lim xx x c x c →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭，其中c 为常数．解：22222lim lim 1lim 1x c cxxxc x cc x x x x c c c e x c x c x c -⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2．（2010年，5分）求极限3tan limx x xx→-． 解：22322000tan sec 1tan 1lim lim lim 333x x x x x x x x x x →→→--===． 说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：232000tan sec 12sec sec tan 1lim lim lim 363x x x x x x x x x x x x →→→--⋅===． 3．（2009年，5分）求极限 3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ ． 解：此题为“∞-∞”型的极限，解法如下：23321111313(1)(2)lim lim lim 1111(1)(1)x x x x x x x x x x x x x →→→++--+⎛⎫-===- ⎪----++⎝⎭． 4．（2009年，5分）求极限 0limsin x x x e e x-→- ．解：002limlim 2sin cos 1x x x x x x e e e e x x --→→-+===．5．（2008年，5分）求极限 2sin 2lim cos()x xx ππ→- ．解：22sin 22cos2limlim 2cos()sin()(1)x x x x x x ππππ→→==----⋅-．6．（2007年，5分）求极限011lim()1x x x e →-- ． 解：20000111111lim()lim lim lim 1(1)22x x x x x x x x x e x e x e x e x e x x →→→→------====--． 说明：0x →时，1~xex -．7．（2006年，4分）求极限 011limcot ()sin x x x x→- ．解：2300011cos (sin )sin limcot ()lim lim sin sin x x x x x x x xx x x x x x→→→---== 2220011cos 12lim lim 336x x xx x x →→-===．8．（2006年，4分）设1cos 20()sin xf x t dt -=⎰，56()56x xg x =+，求0()lim()x f x g x →． 解：因0x →时，1cos 20()sin 0xf x t dt -=→⎰，56()056x xg x =+→，且1cos 220()(sin )sin sin(1cos )xf x t dt x x -''==-⎰，45()g x x x '=+，故 2245450000()()sin sin(1cos )(1cos )lim lim lim lim ()()x x x x f x f x x x x x g x g x x x x x →→→→'--==='++224454500011()124lim lim lim 041x x x x x x x x x x x x x→→→⋅====+++．9．（2005年，5分）求极限111lim()1ln x x x→-- ．解： 1111111ln 1lim()lim lim 11ln (1)ln ln x x x x x xx x x x x x x→→→--+-==---+11111limlim ln 1ln 112x x x x x x x →→--===-+-++．。
高等数学讲义
高等数学讲义 第一章 函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求 1.理解函数的概念．2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型. （二） 内容提要 1.函数的定义 (1) 函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域.定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为B D f y x f →→: :或,y 称为x 对应的函数值，记为D x x f y ∈=),(,其中，x 称为自变量，y 称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数)(x f y =中，f 表示函数，)(x f 是对应于自变量x 的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x 处的函数值y 称为函数，并用)(x f y =的形式表示y 是x 的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则f .例如104(23-+=x x x f ）就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为10)(4)()(23-+=f就是一个函数.(2) 函数的两要素函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.2． 函数的三种表示方法(1) 图像法(2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.② 用参数方程确定的函数 用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)()(t y t x （t ∈Ι）表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12-∈-=x xy 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨⎧=t tty 表示.③ 隐函数如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该 方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x可以化成显函数xy x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .3． 函数的四种特性设函数)(x f y =的定义域为区间D ，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,20,,0,1)(2x x x x x x x f4． 基本初等函数六种基本初等函数见下表5. 反函数、复合函数和初等函数二、主要解题方法1．求函数定义域的方法 例1 求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 2．将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin22+=x y ， （2） )e ln(tan sin 22xxy +=.小结 （I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3． 建立实际问题的函数模型的方法例3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.例4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A ，A 是一常量。
高等数学教材讲义
高等数学教材讲义第一章导数与微分1.1 导数的定义与性质在这一节中，我们将介绍导数的定义及其基本性质。
导数是描述函数变化率的重要概念，它与切线的斜率密切相关。
我们将详细解释导数的定义，并通过例题演示如何求取导数。
1.2 常见函数的导数本节将探讨一些常见函数的导数计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些常见函数。
我们将给出这些函数的导数公式，并通过具体例子进行说明和求解。
1.3 高阶导数在这一节中，我们将讨论高阶导数及其应用。
高阶导数描述了函数变化率变化的速度，它可以帮助我们更全面地理解函数的性质。
我们将介绍高阶导数的定义和计算方法，并通过实例说明如何应用高阶导数解决实际问题。
第二章积分与定积分2.1 不定积分与原函数这一节我们将引入不定积分的概念，并介绍原函数的定义及其计算方法。
不定积分是求解定积分的重要步骤，它可以帮助我们找到函数的原始形式。
我们将详细解释不定积分的定义和性质，并通过实例演示如何求取原函数。
2.2 定积分的概念与性质在这一节中，我们将介绍定积分的概念和性质。
定积分描述了函数在一定区间内的累积变化量，它可以用来计算曲线下的面积、求解平均值等。
我们将详细讲解定积分的定义和性质，并通过例题演示如何求解定积分。
2.3 定积分的计算方法本节将讨论定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
这些方法可以帮助我们解决各种形式的定积分问题。
我们将给出这些方法的具体步骤，并通过实例演示如何应用它们求解定积分。
第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念和分类。
微分方程是描述变量之间关系的方程，它在自然科学和工程技术中具有广泛应用。
我们将详细解释微分方程的定义和分类，并通过例题演示如何求解微分方程。
3.2 常微分方程本节将讨论常微分方程的求解方法。
常微分方程是最常见的微分方程类型之一，它描述了未知函数及其导数之间的关系。
同济大学的高等数学讲义 (1)
1 xn − 1 < 4 10 只要n>10000即可．即从第10001项开始的以后所有项都
满足这一要求． 一般：要使
1 xn − 1 < k 10 只要n>10k 即可．即从第(10k+1)项开始的以后所有项都
满足这一要求．
对上面例的分析，可以看到，无论一个正数取得多么 小，总可以找到自然数n，在这项以后的所有项与1的距 离都可以小于该数．数学上用ε 来表示一个任意小的正 数．由此得到极限的精确定义：
我们知道：两个数a 和b 的接近程度可用两数差的绝 对值来刻画．
(−1)n+1 x − 1 = 1 对数列 xn = 1 + ，n ，故只要n充分大， n n xn − 1 就充分小．例如要使
xn − 1 < 1 10 2
只要n>100即可．即从第101项开始的以后所有项都满足 这一要求；
再如，要使
3.极限的定义 定义 设数列 ( x n )n =1 ，如果存在常数a，使得对任意给
∞
定的正数ε (不论它多么小)，总存在自然数N，只要N>n, 不等式
xn − a < ε
都成立，那么称常数a 是数列 ( x n )n =1 的极限，，或则
∞
称数列 ( x n )n =1 收敛于a，记为
∞
lim xn = a,
∴ ∀ε > 0, 取δ = ε , 当 0 < x − (− 1 ) < δ , 有
从而当n>N时，有
xn = ( xn − a ) + a ≤ xn − a + a ≤ 1 + a ,
取
M = max{ x1 , x2 ,
xN ,1 + a },
自考高等数学(一)微积分串讲讲义1
试题特点：知识点覆盖全面， 大多数题目难度不大，个别题目有一定的难度， 但都没有超出大纲要求。
复习要求：不报侥幸心理， 复习要涉及每个知识点。
每个知识点要做相应的练习题。
高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续（包括级数） 第二部分 导数及其应用（包括多元函数）第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
二、极限与连续常见考试题型：1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在，函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。
每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。
第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
例1..函数y=23log log x 的定义域是___________. 2007.7 知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
(完整word版)高等数学辅导讲义.doc
第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
高等数学讲义1
2.函数表示法 2.函数表示法 表示或确定函数的方法通常有三种: 表示或确定函数的方法通常有三种:图像法、表格法、 解析法. 解析法. 分段函数:如果一个函数在定义域的不同子集上, 分段函数:如果一个函数在定义域的不同子集上,用不 同的解析式表示,这样的函数称为分段函数. 同的解析式表示,这样的函数称为分段函数. 例1:设 1:设 x +1 , − 2 ≤ x < 0 则定义域为___ 则定义域为___ f (x ) = 0 , x=0 3 − x , 0 < x < 3
ex , x < −1 例2:设 2:设 f (x ) = 2 x − 1 , x ≥ −1
⑴-1 ⑵0 ⑶1 ⑷2
则 f (0) = ( )
3.函数的基本特性: 3.函数的基本特性: 有界性 给定函数 .设区间 .如果 存在常数M>0使得任意x 存在常数M>0使得任意x∈I有 ,则称 函数在区间I上有界, 否则称函数在区间I上无界. 函数在区间I上有界, 否则称函数在区间I上无界. 函数的有界性还可以等价地表述为: 函数的有界性还可以等价地表述为:如果存在常数 使得 有 则称f(x)在 则称f(x)在 区间I上有界, 区间I上有界, 称为f(x)在 上的下界, 称为f(x)在I上的下界, 称为f(x) 称为f(x) 在I上的上界. 上的上界. 例1 函数 在其上有界的区间是( 在其上有界的区间是( ) ⑴(1,2) ⑵(2,3) ⑶(1,+∞) ⑷(2,+∞) (1,+∞ (2,+∞
2.表示法 2.表示法 列举法:在大括号内列出全体元素, 列举法:在大括号内列出全体元素,每个元素之间 用逗号隔开. 用逗号隔开. 描述法: 即用刻画集合中全体元素的性质来说明. 即用刻画集合中全体元素的性质来说明. 假设集合S是由有某种性质P 假设集合S是由有某种性质P的元素的全体组成 的,我们可将S表示为 我们可将S
高等数学讲义(一)
高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创立于十七世纪的一门数学学科，首创人是英国数学家牛顿（ Newton ）和德国数学家莱布尼茨（ Leibniz ）。
用有名学者的话来形容“微积分、或许数学剖析，是人类思想的伟大成就之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具” 。
“微积分的创办，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。
时到现在天，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学同样。
第1讲函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先认识几个有关的观点。
一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式Sπr2自由活体的着落距离s v0t 1 gt22在上述议论的问题中，π, v0, g是常量，S , r , s , t是变量。
变量能够视为实属会合（不只一个元素）。
二、函数的定义定义 1.1 设D是一个非空数集。
假如有一个对应规则 f ，使得对每一x D ，都能对应于独一的一个数y ，则此对应规则 f 称为定义在会合 D 上的一个函数，并把数x与对应的数 y 之间的对应关系记为y f (x)并称 x 为该函数的自变量，y为函数值或因变量，D为定义域。
实数会合Z { y ; y f ( x) , x D}称为函数 f 的值域。
看看下边几个例子中哪些是函数：X {1, 3, 6}fY{2, 6,8, 9} f是函数，且f (1) 2 ， f (3) 8 ， f (6)6定义域 D {1,3,6} ，值域 Z {2,6,8} ，一般地Z Y 。
X {1, 3, 6, 7}fY{2, 6,8, 9} f不是函数。
X {1, 3, 6}fY{2, 6,8, 9} f是函数，且f (1) 2 ， f (3) 8 ， f (6)8定义域 D {1, 3, 6} ，值域 Z {2, 8} 。
X {1, 3 , 6}fY {2, 6,8, 9}f不是函数。
由函数定义能够得出，函数的对应规则和定义域是确立函数的两个因素，用分析法表示的函数的对应规则就是由表达式确立的，而定义域就是使表达式存心义的全部 x 轴上的点。
考研数学强化班高等数学讲义汤家凤
第一讲 极限与连续主要内容归纳（略）要点题型解说一、极限问题种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限：（ 1） lim111；n13 35(2n1)(2n 1)（ 2） limnk 3 1 ；1nk 2k 3n（ 3） lim [nk 11] n ；k (k 1)2．求以下极限：（ 1） lim111；222n4n 14n24nn3．求以下极限：（ 1） lim111；22222nn 2 n n21 n（ 2） lim nn!；nnn 1（ 3） lim。
ni2i 11nn种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：（ 1） lim cos x cos xcos x(x0) ；( n 1) n 112 n （ 2） limnsin；n222nnn2．求以下极限：1（ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ；x 011（ 3） lim1 tan x x 3ln(1 2 x)（4） lim cos1 sin x；xx 0x种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1．求以下极限：x 2；（ 1） lim1 tan x 1 sin x ；（ 2） lime tan xe x ；x 0x(1 cosx) x 0x(1 cosx)（ 3） lim1 2 cos xx1] ；（ 4） lim (11) ；x 3 [(3)x 2tan 2x 0xx（ 5） lim(3 x) x3 x2；x 0xln(1 f (x) ) f (x)（ 6）设 lim sin xA ，求 lim 。
x2x 0 a 1 x 0 xx 22．求以下极限： lim cos x e 23x 0x sin x种类四：极限存在性问题：1．设 x 1 1, x n 11 x n0 ，证明数列 { x n } 收敛，并求 lim x n 。
nnn2．设 f ( x) 在 [ 0, ) 上单一减少、非负、连续， a nf (k)f (x)dx(n 1,2, ) ，证明：k11lim a n 存在。
《高等数学讲义》(上、下册)--目录 樊映川等编
第一篇解析几何《高等数学讲义》 (上、下册) -- 目录第五章极坐标樊映川等编12.平面束的方程第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I. 常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T- 函数II. 函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III 幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。
高等数学教材辅导讲义
高等数学教材辅导讲义第一章导数与微分一、导数的定义与运算法则在这一部分，我们将详细介绍导数的定义以及一些常见运算法则。
导数的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，若极限存在，且该极限与 x0 的取值无关，我们称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数。
记为：f'(x0) 或 dy/dx |x=x0。
运算法则：1. 基本导数的四则运算法则2. 复合函数的导数3. 高阶导数......二、微分与微分近似在这一部分，我们将介绍微分的概念以及利用微分进行近似计算的方法。
微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么称dx=f'(x0) Δx 为函数 f(x) 在点x0 处的微分，记作 dy。
微分近似：对于函数 y=f(x) 在点 x0 处，若已知 f'(x0)，我们可以利用微分进行近似计算。
1. 微分的基本性质2. 一阶微分近似计算3. 高阶微分近似计算......第二章积分与定积分一、定积分的定义与性质在这一部分，我们将介绍定积分的定义以及相关的性质。
定积分的定义：设函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上有界，在该区间上的任意分割为 {x0, x1, ..., xn}，选取分割 {x0, x1, ..., xn} 中的任意样本点{ξ1, ξ2, ..., ξn}，当最大的分割长度max(Δxi)→0 时，若极限存在，且与样本点的选取无关，那么称该极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分。
记为：∫[a,b] f(x)dx 或∫ab f(x)dx。
性质：1. 定积分的可加性2. 定积分的线性性质3. 定积分的性质与区间的变换......二、定积分的计算方法在这一部分，我们将介绍一些常见的定积分计算方法。
1. 分部积分法2. 第一类换元法3. 第二类换元法4. 牛顿-莱布尼茨公式......第三章无穷级数与幂级数一、无穷级数的概念与性质在这一部分，我们将介绍无穷级数的概念以及相关的性质。
大学高等数学详细分析讲义
第一章 极 限数学分析以极限为工具，以函数为研究对象，主要研究函数的连续性、可微性和可积性，及其相关问题和应用。
极限理论是分析的基础，是分析中难点之一，其中心问题有两个：极限的存在性和极限的计算，两者是密切相关的。
本章通过若干例题，总结了求解数列极限和函数极限的常用方法.Ⅰ 基本概念和主要结果 一 数列极限1 定义 设{为数列，为定数. 若}n a a 0,0>∃>∀N ε，使得当时有N n >ε<−a a n ，则称数列{收敛于a ，a 称为数列{的极限，并记作}n a }n a a a n n =∞→lim .2 几何意义：a a n n =∞→lim 的充要条件是：0>∀ε，邻域),(εa U 之外至多含有数列中的有限项.{}n a 3 性质性质1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的。
性质2（有界性） 收敛数列必有界。
性质3（保号性） 若0lim >=∞→a a n n ，则0>∃N ，当时，有.N n >0>n a 性质4（保不等式性）设{与{均为数列. 若存在正数，使得当时有，则}n a }n b 0N 0N n >n n b a ≤n n n n b a ∞→∞→≤lim lim .性质5 改变数列的有限项不改变数列的敛散性，且不改变收敛数列的极限。
性质6（迫敛性） 设收敛数列{与}n a {}n b 均以a 为极限，数列{}n c 满足：，当时，有0>∃N N n >n n n b c a ≤≤，则数列收敛，且{}n c a c n n =∞→lim .性质7（柯西收敛准则）数列{收敛的充要条件是：}n a ,0,0>∃>∀N ε 当Nm n >,时有ε<−m n a a 。
性质8 数列{收敛的充要条件是：}n a {}n a 的任何非平凡子列都收敛。
性质9（致密性定理）有界数列必有收敛子列。
高等数学讲义(一)
高等数学基础高等数学基础课程得学习内容微积分学,它就是创建于十七世纪得一门数学学科,创始人就是英国数学家牛顿(Newton)与德国数学家莱布尼茨(Leibniz)。
用著名学者得话来形容“微积分、或者数学分析,就是人类思维得伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间得地位,使它成为高等教育得一种特别有效得工具”。
“微积分得创立,与其说就是数学史上,不如说就是人类历史上得一件大事。
时至今日,它对工程技术得重要性就像望远镜之于天文学,显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数1、2 函数要知道什么就是函数,需要先了解几个相关得概念。
一、常量与变量 先瞧几个例子: 圆得面积公式2πr S =自由活体得下落距离2021gt t v s += 在上述讨论得问题中,g v ,,π0就是常量,t s r S ,,,就是变量。
变量可以视为实属集合(不止一个元素)。
二、函数得定义定义1、1 设D 就是一个非空数集。
如果有一个对应规则f ,使得对每一D x ∈,都能对应于唯一得一个数y ,则此对应规则f 称为定义在集合D 上得一个函数,并把数x 与对应得数y 之间得对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数得自变量,y 为函数值或因变量,D 为定义域。
实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 得值域。
瞧瞧下面几个例子中哪些就是函数: }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Yf 就是函数,且2)1(=f ,8)3(=f ,6)6(=f定义域}6,3,1{=D ,值域}8,6,2{=Z ,一般地Y Z ⊂。
}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Y f 不就是函数。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Y f 就是函数,且2)1(=f ,8)3(=f ,8)6(=f定义域}6,3,1{=D ,值域}8,2{=Z 。
fff}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Y f 不就是函数。
由函数定义可以得出,函数得对应规则与定义域就是确定函数得两个要素,用解析法表示得函数得对应规则就就是由表达式确定得,而定义域就就是使表达式有意义得所有x 轴上得点。
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
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高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。
用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。
“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。
时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。
一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。
变量可以视为实属集合（不止一个元素）。
二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。
如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。
实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数：}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Y f 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ⊂。
}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Y f 不是函数。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Y f 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Y f 不是函数。
由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
例1 求函数x y -=1的定义域。
解 在实数范围内要使等式有意义，有01≥-x即fff1≤x所以函数的定义域为]1,(-∞。
例2 求函数2411x xy -+-=的定义域。
解 在实数范围内要使第一个等式有意义，有01≠-x 即1≠x在实数范围内要使第二个等式有意义，有042≥-x 或 42≤x即2≤x 或 22≤≤-x所以函数的定义域为]2,1()1,2[Y -。
三、函数表示法函数表示法主要有以下三种 ⒈解析法用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。
例如2x y =x y sin =⎩⎨⎧>-≤+=0,10,1)(x x x x x f ⒉图形法在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。
例如表示一天内温度随时间变化的函数关系。
⒊列表法在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。
如对数函数表、三角函数表等等。
四、函数的几种属性⒈单调性请看下面两个图左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的),(,21baxx∈且21xx<时，恒有)()(21xfxf<则称函数)(xf在区间),(ba内是单调上升的或单调增加的。
右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的),(,21baxx∈且21xx<时，恒有)()(21xfxf>则称函数)(xf在区间),(ba内是单调下降的或单调减少的。
⒉奇偶性请看下面两个图左边的函数图形关于y轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数)(xfy=的定义域D以原点为对称，且恒满足等式)()(xfxf=-，则称)(xf是偶函数。
右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：如果函数)(x f y =的定义域D 以原点为对称，且恒满足等式)()(x f x f -=-，则称)(x f 是奇函数。
例3 判断下列函数的奇偶性：⑴x x f =)(； ⑵)1,1(11lg)(-∈+-=x xxx f解 ⑴由绝对值的性质，对任意x 有)()(x f x x x f ==-=-由此可知)(x f 是偶函数。
⑵由对数函数的性质，对任意)1,1(-∈x 有1)11lg(11lg )(1)(1lg)(-+-=-+=-+--=-xx x x x x x f)(11lg x f xx-=+--= 由此可知)(x f 是奇函数。
判断函数的奇偶性也可以利用以下结论： 偶函数加减偶函数是偶函数 奇函数加减奇函数是奇函数 偶函数乘偶函数是偶函数 奇函数乘奇函数是偶函数 奇函数乘偶函数是奇函数例如，x x y sin +=是奇函数，x x y cos =也是奇函数。
1.3 初等函数要了解初等函数，首先从以下开始一、基本初等函数我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是 ⒈常数函数 R c c y ∈=常数函数的图形如下⒉幂函数Rxy∈=αα幂函数的图形如下⒊指数函数1,0≠>=aaay x指数函数的图形如下⒋对数函数1,0log≠>=aaxya对数函数的图形如下⒌三角函数正弦函数xy sin=余弦函数xy cos=正切函数xy tan=余切函数xy cot=正弦、余弦、和正切函数的图形分别是⒍反三角函数反正弦函数xy arcsin=反余弦函数xy arccos=反正切函数xy arctan=反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是二、函数的复合运算在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设)(x f ，)(x g 是两个函数，定义域分别为1D ，2D ，如果21D D D I =不是空集，那么在D 上可以得到以下函数)()(x g x f + )()(x g x f - )()(x g x f ⋅ )(/)(x g x f这里要注意，最后一个函数)(/)(x g x f 的定义域要在D 中去掉使0)(=x g 的点。
除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数x y sin lg =可以看作由函数u y lg =和x u sin =构成的，这种构成方式就是一种新的运算。
一般地，由两个函数)(u f y =和)(x g u =构成的对应规则))((x g f y =称为f 和g 这两个函数的复合函数。
三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
函数⎩⎨⎧>+≤=0,10,sin )(x x x x x f 不是初等函数，这类函数称为分段函数。
第2讲 极限与连续微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。
极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。
2.2 函数的极限一、极限的概念首先让我们看看反正切函数x y arctan =的图形当自变量x 向∞+变化时，函数值在向2π靠近。
而且x 向∞+充分接近时，函数值可以和2π任意靠近。
我们将x 向∞+充分接近说成x 趋于∞+，记为+∞→x 。
一般地，当自变量x 趋于∞+时，如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近，我们就称函数)(x f 当x 趋于∞+时以A 为极限（或称当x 趋于∞+时，)(x f 的极限是A ）。
记为A x f x =+∞→)(lim 或 )()(+∞→→x A x f如我们在开始看到的情形就是2πarctan lim =+∞→x x 类似可以得到B x f x =-∞→)(lim ，仍以反正切函数为例，有2πarctan lim -=-∞→x x 再一次观察反正切函数x y arctan =的图形，当自变量x 向点0=x 变化时，函数值在向0靠近。
而且x 向点0=x 充分接近时，函数值可以和0任意靠近。
我们将x 向点0=x 充分接近说成x 趋于0，记为0→x 。
一般地，当自变量x 趋于0x 时，如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近，我们就称函数)(x f 当x 趋于0x 时以A 为极限（或称当x 趋于0x 时，)(x f 的极限是A ）。
记为Axfxx=→)(lim或)()(xxAxf→→这样我们就得到arctanlim=→xx极限Axfxx=→)(lim的直观意义可以用下面的图形说明函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数xy1sin=当0→x时的极限就不存在，我们也可以从图形中看出再看下面这个图形可以看出，这个函数当1→x时没有极限，但当x从大于1的方向趋于1时，函数值与5.2任意接近。
一般地，当自变量x从大于x的方向趋于x时，如果函数)(xf的函数值和某个常数A任意靠近，就称A为)(xf在点x的右极限，记为Axfxx=+→)(lim类似可以给出)(xf在点x的左极限，记为Bxfxx=-→)(lim。
如此一来我们就有了以下结论)(limxfxx→存在的充分必要条件是)(limxfxx+→和)(limxfxx-→都存在，且)(lim )(lim 0x f x f x x x x +-→→=二、极限的运算法则为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则： 若)(lim x f ，)(lim x g 存在，则有)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ±=± )(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ⋅=⋅ c x f c x cf )(lim )](lim[=为常数 )(lim )(lim ])()(lim[x g x f x g x f = （假定0)(lim ≠x g ） 例1 求623lim 222-++-→x x x x x 。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，)3)(2()1)(2(lim 623lim 2222+---=-++-→→x x x x x x x x x x 51)3(lim )1(lim 31lim 222=+-=+-=→→→x x x x x x x例2 求5232lim 22-+-++∞→x x x x x 。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，2222512321lim 5232lim x x x x x x x x x x -+-+=-+-++∞→+∞→ 21002001)512(lim )321(lim 22=-+-+=-+-+=+∞→+∞→xx x x x x只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的，接下来我们大家介绍两个重要的极限。