排列数公式和组合数公式
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合算法基本概念从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
当m=n时所有的排列情况叫全排列。
P(n,m)=n(n-1).(n-m+1)=n!-(n-m)! 特别的，定义0!=1组合数公式是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号c(n,m) 表示。
c(n,m)=p(n,m)-m!=n!-((n-m)!*m!)3、计算公式排列算法递归算法#include stdio.hvoid swap(int *a, int *b)void perm(int list[], int k, int m)for(i = 0; i = m; i++)printf("%d ", list[i]);printf("");for(i = k; i = m; i++)swap(list[k], list[i]);perm(list, k + 1, m);swap(list[k], list[i]);int main()int list[] = {1, 2, 3, 4, 5};perm(list, 0, 4);printf("total:%d", n);return 0;template typename Tinline void swap(T* array, unsigned int i, unsigned int j) T t = array[i];array[i] = array[j];array[j] = t;* 递归输出序列的全排列void FullArray(char* array, size_t array_size, unsigned int index)if(index = array_size)for(unsigned int i = 0; i array_size; ++i)cout array[i] ' ';for(unsigned int i = index; i array_size; ++i)swap(array, i, index);FullArray1(array, array_size, index + 1);swap(array, i, index);#include "iostream"using namespace std;void permutation(char* a,int k,int m)if(k == m)span style="white-space:pre"-spanfor(i=0;i=m;i++) span style="white-space:pre"-spancouta[i]; coutendl;for(j=k;j=m;j++)swap(a[j],a[k]);permutation(a,k+1,m);swap(a[j],a[k]);int main(void)char a[] = "abc";couta"所有全排列的结果为："endl;permutation(a,0,2);system("pause");return 0;}#include "iostream"#include "algorithm"using namespace std;void permutation(char* str,int length)sort(str,str+length);for(int i=0;ilength;i++)coutstr[i];coutendl;}while(next_permutation(str,str+length));int main(void)char str[] = "acb";coutstr"所有全排列的结果为："endl;permutation(str,3);system("pause");return 0;}--- 求从数组a[1.n]中任选m个元素的所有组合。
排列组合的数学公式
排列组合的数学公式排列组合的数学公式1. 排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个宝鸡博瀚教育元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m) 表示.p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ...... (n -m+1)= n!/(n-m)!( 规定0!=1).2. 组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3. 其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为n!/（n1!*n2!*...*nk!）.k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出m 个元素的组合数为c（m+k-1,m）.排列（Pnm（n为下标，m为上标））Pnm=n×（n-1）（n-m+1）;Pnm=n!/（n-m）!（注：是阶乘符号）;Pnn（两个n 分别为上标和下标） =n!;0!=1;Pn1（n 为下标1 为上标）=n组合（Cnm（n为下标，m为上标））Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!（n-m）!;Cnn（两个n 分别为上标和下标） =1 ;Cn1（n 为下标 1 为上标）=n;Cnm=Cnn-m 排列组合的数学解题技巧1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则是指通过计算排列或组合的计算公式和规则来求解问题。
其中，排列是指从一组元素中，选取出若干个元素按照一定的顺序排列，而组合是指从一组元素中，选取出若干个元素不考虑顺序。
以下是常见的排列组合运算法则：
1. 排列：
- 有放回排列：如果元素可重复使用，且每个元素在每个位
置上都有可能出现，那么排列数为元素个数的指数幂，即An
= n^r。
- 无放回排列：如果元素不可重复使用，那么排列数为元素
个数的阶乘除以剩余位置数的阶乘，即An = n!/(n-r)!。
2. 组合：
- 有放回组合：如果元素可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的组合数，即C(n+r-1, r)。
- 无放回组合：如果元素不可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的阶乘除以选取的元素的阶乘乘以剩余位置的阶乘，即C(n, r) = n!/r!(n-r)!。
通过排列组合的运算法则，可以求解各种问题，如排列组合问题、概率问题、形成小组等问题。
组合与组合数公式
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
分别有多少种？用式子表示。
【做一做1】 给出下列问题: 2 2 2 A 或 C ①有10个车站,共需准备多少种车票? 10 10 A2 ②有10个车站,共有多少种不同的票价? C 2 10 2 2 2 ③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段? A16 或C16 A2 ④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话 2 多少次? C16 ⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞 4 4 赛,有多少种选派方法? 4 或C A
排列和组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m) 或P(n,m)表示.A(n,m)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算范畴。
以上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝A（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
排列组合和排列组合计算公式.
排列组合公式/排列组合计算公式排列P——和顺序有关组合C——不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列"把5本书分给3个人，有几种分法"组合"1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mc n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mcn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ......... (n-m+1)= n!/(n-m)!( 规定0!=1).2 .组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mcn)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数•用符号c(n ,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!) ；c(n,m)=c(n,n-m);3 .其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,…nk这n个元素的全排列数为n!/( n1!* n2!*…* nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=r K (n-1 ) .... (n-m+1 ) ; Pnm=n ! / (n-m )!(注:!是阶乘符号)；Pnn (两个n分别为上标和下标) =n ! ; 0! =1 ; Pn1 (n为下标1为上标)=n组合（Cnm（n为下标，m为上标））Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n ! /m ! （n-m ）!; Cnn （两个n分别为上标和下标）=1 ; Cn1 （n为下标1为上标）=n ；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30（“ J j1b上二闸T~ 7f ~ - rj rc>cz r公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列与组合定理和公式
排列与组合定理和公式定义: 1、从S中有序选取的r个元素称作S的⼀个r排列。
S的不同r排列总数记作P（n，r），r=n时，称为S的全排列。
2、从S中⽆序选取的r个元素称作S的⼀个r组合。
S的不同r组合总数记作C（n，r）。
推论 1、元素⼀次排成⼀个圆圈的排列称为环排列。
S的环排列数等于 P（n，r）/r，其实就是线性排列数的1/r。
推论 2、C（n，r）= C（n-1，r-1）+C（n-1，r）。
该公式就是杨辉三⾓形，也称作Pascal公式。
定义：设S=｛n1*a1，n2*a2，n3*a3，....，nk*ak｝为多重集，n=n1+n2+...+nk表⽰S中的元素总数。
（1）从S中有序选取的r个元素称为S的⼀个r排列。
r=n的排列称为S的全排列。
（2）从S中⽆序选取的r个元素称为S的⼀个r组合。
定理：设S=｛n1*a1，n2*a2，n3*a3，....，nk*ak｝为多重集（1）S的全排列数是n!/（n1! n2! n3!...nk!）.（2）若r<=ni, i=1，2，3，...，k,那么S的 r 排列数是k^r。
（3）若r<=ni, i=1,2,3,..k，那么S的 r 组合数是C（k+r-1 , r）.即T={R*1, (K-1)**},等于（k+r-1）!/（r! *（k-1）!）.格路径数：定理：从（r，s）到（p，q）的矩形格路径的条数等于⼆项式系数C（p-r+q-s, p-r）=C（p-1+q-s, q-s）.定理：令n为⾮负整数，则从（0，0）到（n，n）的下对⾓线矩形格路径的条数等于第n个Catalan数Cn=1/(n+1) *C(2n，n).定理：从（0，0）到（p，q）的下对⾓线矩形格路径的条数等于（q-p+1）/(q+1)*C（p+q。
q）。
前100个Catalan数：“1”“1”"2","5","14","42","132","429","1430","4862","16796","58786","208012","742900","2674440","9694845","35357670","129644790","477638700","1767263190","6564120420","24466267020","91482563640","343059613650","1289904147324","4861946401452","18367353072152","69533550916004","263747951750360","1002242216651368","3814986502092304","14544636039226909","55534064877048198","212336130412243110","812944042149730764","3116285494907301262","11959798385860453492","45950804324621742364","176733862787006701400","680425371729975800390","2622127042276492108820","10113918591637898134020", "39044429911904443959240", "150853479205085351660700", "583300119592996693088040", "2257117854077248073253720", "8740328711533173390046320", "33868773757191046886429490", "131327898242169365477991900", "509552245179617138054608572", "1978261657756160653623774456", "7684785670514316385230816156", "29869166945772625950142417512", "116157871455782434250553845880", "451959718027953471447609509424", "1759414616608818870992479875972", "6852456927844873497549658464312", "26700952856774851904245220912664", "104088460289122304033498318812080", "405944995127576985730643443367112", "1583850964596120042686772779038896", "6182127958584855650487080847216336", "24139737743045626825711458546273312", "94295850558771979787935384946380125", "368479169875816659479009042713546950", "1440418573150919668872489894243865350", "5632681584560312734993915705849145100", "22033725021956517463358552614056949950", "86218923998960285726185640663701108500", "337485502510215975556783793455058624700", "1321422108420282270489942177190229544600", "5175569924646105559418940193995065716350", "20276890389709399862928998568254641025700", "79463489365077377841208237632349268884500", "311496878311103321137536291518809134027240", "1221395654430378811828760722007962130791020", "4790408930363303911328386208394864461024520", "18793142726809884575211361279087545193250040", "73745243611532458459690151854647329239335600", "289450081175264899454283846029490767264392230", "1136359577947336271931632877004667456667613940", "4462290049988320482463241297506133183499654740", "17526585015616776834735140517915655636396234280", "68854441132780194707888052034668647142985206100", "270557451039395118028642463289168566420671280440", "1063353702922273835973036658043476458723103404520", "4180080073556524734514695828170907458428751314320", "16435314834665426797069144960762886143367590394940", "64633260585762914370496637486146181462681535261000", "254224158304000796523953440778841647086547372026600", "1000134600800354781929399250536541864362461089950800", "3935312233584004685417853572763349509774031680023800", "15487357822491889407128326963778343232013931127835600", "60960876535340415751462563580829648891969728907438000", "239993345518077005168915776623476723006280827488229600", "944973797977428207852605870454939596837230758234904050", "3721443204405954385563870541379246659709506697378694300", "14657929356129575437016877846657032761712954950899755100", "57743358069601357782187700608042856334020731624756611000", "227508830794229349661819540395688853956041682601541047340", "896519947090131496687170070074100632420837521538745909320"。
组合与排列的计算方法(知识点总结)
组合与排列的计算方法（知识点总结）组合和排列是离散数学中的两个重要概念，用于描述从一组元素中选择出一部分元素的方式。
在实际生活和数学问题中，我们经常需要计算不同元素的排列或组合情况。
下面将介绍组合和排列的定义、计算方法及应用。
1. 组合的计算方法组合指的是从一个元素集合中选出若干个元素，不考虑元素的顺序。
假设有n个元素，要从中选出k个元素的组合数可以用C(n, k)表示。
计算组合数的公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
例如，从5个元素中选出3个元素的组合数为：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 102. 排列的计算方法排列指的是从一个元素集合中选出若干个元素，考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要从中选出k个元素的排列数可以用P(n, k)表示。
计算排列数的公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!例如，从5个元素中选出3个元素的排列数为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 603. 组合与排列的应用组合和排列的计算方法在实际生活和数学问题中有广泛的应用。
在数学问题中，组合和排列的计算方法可以用于计算概率。
例如，在一个抽奖活动中，有10个人参与，每人只能抽出一张奖券，那么获奖的组合数为C(10, 1) = 10。
如果要计算中奖概率，则需要将获奖的组合数除以总的可能组合数。
在计算机科学中，组合和排列的计算方法可以用于算法设计。
例如，在某个问题中，需要对一组数据进行全排列的处理，即将这组数据的所有可能的排列情况都生成出来。
通过排列的计算方法，可以快速计算出所有排列的结果。
在实际生活中，组合和排列的计算方法常用于安排座位、制定菜单、组织比赛等场景下。
例如，某个宴会上有8个座位，要从10个人中选出来安排座位，那么可能的座位组合数为C(10, 8) = 45。
2.2 排列与组合的概念与计算公式
排列与组合的概念与计算公式1．排列 （在乎顺序）全排列：n 个人全部来排队，队长为n 。
第一个位置可以选n 个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n(n-1)(n-2)……3*2*1= n! (规定0!=1).部分排列：n 个人选m 个来排队(m<=n)。
第一个位置可以选n 个，第二位置可以选n-1个，以此类推，第m 个（最后一个）可以选(n-m+1)个，得：P(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n! / (n-m)! (规定0!=1).2．组合（ 不在乎顺序）n 个人m(m<=n)个出来，不排队，不在乎顺序C(n,m)。
如果在乎排列那么就是P(n,m)，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的m 个人，他们还要“全排”得到P(n,m)，所以得： C(n,m) * m! = P(n,m)C(n,m)= P(n,m) / m!=n! / ( (n-m)! * m! )组合数的性质1:)(,n m C C m n n m n ≤=-组合数的性质２:)(,111n m C C C m n m n m n ≤+=--- 如果编程实现,以上两个公式有没有帮助？练习：311P 、811P 、311C 、811C 、9991001C3．其他排列与组合（1）圆排列：n 个人全部来围成一圈为Q(n,n)，其中已经排好的一圈，从不同位置断开，又变成不同的队列。
所以：Q(n,n)*n=P(n,n) >>> Q(n)=P(n,n)/n=(n-1)！由此可知，部分圆排Q(n,r)＝P(n,r)/r=n!/(r*(n-r)!).（2）重复排列 (有限)：k 种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2,...ak,设n=a1+a2+…+ak ，这n 个球的全排列数，为 n!/(a1!*a2!*...*ak!).（3）重复组合 (无限)：n 种不一样的球，每种球的个数是无限的,从中选k 个出来，不用排列，是组合，为C(n+k-1,k).证明：假设选出来的数（排好序）1<=b1<=b2<=b3…….<=bk<=n这题的难点就是=号，现在去掉=号，所以有：1<= b1 < b2+1 < b3+2 < b4+3 …….< bk+k-1 <=n+k-1 中间还是k 个数！不过已经不是b 系列，而是c 系列 假设c[i]:=b[i]+i-1，所以1<= c1 < c2 < c3 < c4 …….< ck <=n+k-1所以问题就开始转换为无重复组合问题，即在n+k-1个元素中选中k个的组合数C(n+k-1,k)。
组合数和排列数公式
组合数和排列数公式
组合数和排列数是数学中的重要概念，它们可以帮助我们解决许多实际问题。
组合数和排列数的公式分别为：
组合数：C（n，m）= n！/（m！*（n-m）！）
排列数：A（n，m）= n！/（n-m）！
其中，n和m分别表示总数和取出的数量。
组合数是从n个不同元素中取出m个元素，构成一个组合的可能性数量。
比如，从10个不同的数字中取出3个数字，构成一个组合的可能性数量就是C（10，3）= 10！/（3！*（10-3）！）= 120。
排列数是从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排列的可能性数量。
比如，从
10个不同的数字中取出3个数字，按照一定顺序排列的可能性数量就是A（10，3）= 10！/（10-3）！= 720。
组合数和排列数的公式可以帮助我们解决许多实际问题，比如，在抽奖活动中，可以用组合数来计算中奖的可能性；在排列组合中，可以用排列数来计算不同排列的可能性。
总之，组合数和排列数是数学中重要的概念，它们的公式可以帮助我们解决许多实际问题。
排列组合公式
排列组合公式
排列组合公式
1．排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝
p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n 个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为。
排列组合公式及排列组合算法
排列组合公式及排列组合算法排列组合这玩意儿，在数学里可有着不小的分量。
咱先来说说排列组合公式。
比如说，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，就可以用 A(n, m) 来表示，它的公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
那啥是“!”呢？这叫阶乘，比如说 5! ，就是 5×4×3×2×1 。
再说说组合数，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用 C(n, m) 表示，公式是 C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。
我记得有一次，学校组织活动，要从班级里选几个同学去参加比赛。
我们班一共有 30 个同学，老师说要选 5 个人去。
这时候，我就在心里默默算了起来。
按照排列数的算法，从 30 个同学里选 5 个同学进行排列，那就是 A(30, 5) = 30×29×28×27×26 ，这数字可大得吓人。
但老师只是选 5 个人去，不管他们的顺序，这就是组合数 C(30, 5) 啦。
咱们来具体讲讲排列组合算法。
在实际计算的时候，可不能光靠死记硬背公式，还得灵活运用。
比如说，计算 C(10, 3) ，咱就可以一步一步来，10! =10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 ，3! = 3×2×1 ，7! = 7×6×5×4×3×2×1 ，然后代入公式 C(10, 3) = 10×9×8÷(3×2×1) ，就能算出结果啦。
还有一种常见的算法是利用递推关系。
比如说，要算 C(n, m) ，如果已经知道了 C(n - 1, m - 1) 和 C(n - 1, m) ，那就可以通过 C(n, m) =C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m) 这个递推公式来算。
排列数、组合数公式常见题型例析
排列数、组合数公式常见题型例析广东省佛山市顺德区沙滘中学 528315 何健文纵观近10年高考，有关排列数、组合数公式的运用一直都是出题的冷点，试题偶有所见，大都是以选择题或填空题形式出现，属容易题，但2001年全国高考题的第一大题的出现，令众多考生束手无策，也引起了师生们的极大关注。
本文拟从以下两方面介绍有关排列数、组合数公式常见题型和解题分析，供广大读者参考。
一、 排列数、组合数公式及变形公式1、排列数公式mn A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=)!(!m n n -，特别地nn A =n(n-1)(n-2)…3•2•1，规定0！=1；2、组合数公式=mn C 123)1()1()2)(1(⋅⋅⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅--m m m n n n n =m m mn A A =)!(!!m n m n -.注意：m n ≥且m n ,都是正整数，m 可以为0，即0n C =1.3、两个重要性质(1) =m n C mn n C -，为了简化计算，当m 2n >时，通常将m n C 转化为mn n C -； (2) m n C +1-m n C =m n C 1+.由这些性质可以得到几个常用变形公式（组合恒等式）：(ⅰ) =m n C 11--m n C m n =1111++++m n C n m (ⅱ) 0n C +1n C +2n C +…+nn C =n 2.(ⅲ) (n+1)!=(n+1)﹒n!=n ﹒n!+n!. ⇒ n ﹒n!= (n+1)﹒n!－n!.(ⅳ) n n C +n n C 1++n n C 2++…+n m n C +=11+++n m n C 等等. 二、排列数、组合数公式常见题型例析 1、 求值例1 求n n C -7+nn C -+91的值.解：由题意可知, 原式中的正整数n 必须满足下列条件： 0≤7―n ≤n,0≤9-n ≤n+1, 解得4≤n ≤9. (n ∈N *) n ∈N *. ∴n=4, 5, 6, 7.将n=4, 5, 6, 7.代入n n C -7+nn C -+91可得到分别为5，25，41，29.评析 本题从组合数成立的条件（0≤m ≤n 且m n ,都是自然数）入手，既找到了解题路，又使问题 完满地得到了解决，可谓一举两得. 另一方面，我们从中又得到一个启发：利用组合数的性质解决某些问题，要比纯用组合数公式解决问题方便的多.例2 计算34C +35C +36C +…+310C . 解：利用组合数性质：m n C 1+=mn C +1-m n C . 原式=44C +34C +35C +36C +…+310C ―44C=45C +35C +36C +…+310C ―44C=…=411C ―1 =329.评析 正确使用组合数的性质及组合数的计算公式是解本题的关键。
组合数公式大全
组合数公式大全组合数公式是组合数学中重要的一部分，包括排列数、组合数、二项式定理等内容。
下面将详细介绍组合数公式的相关知识，包括概念、性质和常用公式等。
一、排列数的概念和性质排列数是组合数学中的一个重要概念，它指的是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定顺序排成一列的方法数。
排列数通常用P(n,m)表示，计算公式如下：P(n,m) = n! / (n-m)!n!表示n的阶乘，即n! = n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
排列数的性质包括以下几个方面：1. P(n,1) = n，即从n个元素中取出1个元素的排列数为n。
2. P(n,n) = n!，即从n个元素中取出n个元素的排列数为n的阶乘。
3. P(n,m) = n×P(n-1,m-1)，即从n个元素中取出m个元素的排列数等于n乘以从n-1个元素中取出m-1个元素的排列数。
二、组合数的概念和性质组合数是组合数学中的另一个重要概念，它指的是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑元素的排列顺序，共有多少种取法。
组合数通常用C(n,m)表示，计算公式如下：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]组合数的性质包括以下几个方面：1. C(n,0) = 1，即从n个元素中取出0个元素的组合数为1。
2. C(n,n) = 1，即从n个元素中取出n个元素的组合数为1。
3. C(n,1) = n，即从n个元素中取出1个元素的组合数为n。
4. C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元素的组合数等于从n个元素中取出n-m个元素的组合数。
三、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，它给出了一个任意实数指数的二项式的展开式。
二项式定理表达式如下：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n在二项式定理中，C(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的组合数，a和b是任意实数，n是任意非负整数。
排列组合知识点总结
排列组合知识点总结排列组合是数学中一个重要的分支，它在解决许多实际问题中都有着广泛的应用，比如抽奖、选座位、安排比赛等等。
下面让我们一起来详细了解一下排列组合的相关知识点。
一、基本概念1、排列从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。
排列数用 A(n, m) 表示。
2、组合从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
组合数用 C(n, m) 表示。
二、排列数与组合数的计算公式1、排列数公式A(n, m) ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) ＝ n! ／（n m)！2、组合数公式C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！三、排列组合的基本性质1、排列的性质（1）A(n, n) ＝ n!（2）A(n, m) ＝ nA(n 1, m 1)2、组合的性质（1）C(n, 0) ＝ C(n, n) ＝ 1（2）C(n, m) ＝ C(n, n m)四、解决排列组合问题的常用方法1、特殊元素优先法对于存在特殊元素的问题，优先考虑特殊元素的排列或组合。
2、捆绑法当要求某些元素必须相邻时，可以将这些元素看作一个整体，与其他元素一起进行排列，然后再考虑这些相邻元素的内部排列。
3、插空法当要求某些元素不能相邻时，先将其他元素排列好，然后在这些元素之间及两端的空位中插入不能相邻的元素。
4、间接法有些问题直接求解较为复杂，可以先求出总的排列或组合数，然后减去不符合要求的排列或组合数。
5、分类讨论法当问题包含多种情况时，需要对不同情况进行分类讨论，然后将各种情况的结果相加。
五、常见的排列组合问题类型1、排队问题例如，n 个人排成一排，共有多少种不同的排法；某些人必须相邻或不能相邻的排法等。
排列与排列数、组合与组合数
排列与排列数、组合与组合数排列与排列数、组合与组合数排列与排列数1. 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照⼀定的顺序排成⼀列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的⼀种排列。
注意：排列的元素完全相同，顺序也完全相同2. 公式：P m n=n! (n−m)!如何理解这个公式：1. 例1：三名同学，成绩前两名有多少种可能性？1. 第⼀名：3种可能性2. 第⼆名：(3-1)种可能性3. 根据乘法原理，共有3∗(3−1)种可能性2. 例2：七名同学，成绩前五名有多少种可能性？由例⼀，易知有7∗(7−1)∗(7−2)∗...∗(7−5+1)3. 由例1例2进⾏进⼀步推导，⽤m,n代替具体的数字，可得n(n−1)(n−2)(n−3)...(n−m+1)4. 整理可得，n(n−1)(n−2)(n−3)...(n−m+1)=1∗2∗3∗...(n−2)(n−1)n 1∗2∗3∗...(n−m−1)(n−m)（即乘上1∗2∗3∗...(n−m−1)(n−m)1∗2∗3∗...(n−m−1)(n−m)，⽬的是得到完整的、从1开始的可以化为阶乘形式的数）5. 继续整理，得到P m n=n! (n−m)!6. 但是通过第3步得到的式⼦，其实是不需要阶乘的从⼤的数字开始往⼩乘，乘⼩的数字那么多个组合与组合数1. 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成⼀组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的⼀个组合。
2. 记号：C(n,k)或(n k)3. 公式：(nk)=P(n,k)P(k,k)4. 推导公式：(nk)=k!(k−n)!n!(n−n)!=k!n!(k−n)!5. ⽤更常⽤的m,n来表⽰组合数公式，就得到了(mn)=n!m!(n−m)!6. 理解公式:1. 观察可知，其实组合数就是在排列数公式上除以⼀个m!（P(k,k)其实就等于k!）2. 思考⼀下：组合数与排列数的区别是组合数不要求顺序相同，所以如果按照排列数去求组合数，会出现⼀定数⽬的重复3. 打表找规律（）：1. 四选三（即m=3，n=4）:1. 排列数：共P34=4!(4−3)!=4∗3∗2∗11=24种ABC,ABD,ACB,ACD,ADB,ADC,BAC,BAD,BCA,BCD,BDA,BDC,CAB,CAD,CBA,CBD,CDA,CDB, DAB,DAC,DBA,DBC,DCA,DCB;2. 观察，剔除重复项ABC,ABD,ACD,BCD 4种3. 找规律：保留了246种，即保留了4∗3∗2∗13∗2∗1种，即C mn=P(m,n)m!从⼤的数字开始往⼩乘，乘“⼩的数字那么多”个，再除以“⼩的数字开始往⼩乘，乘⼩的数字那么多个”拓展公式1. C m n=C n−mn其实就是反选，从五个⾥⾯取出四个的组合数就相当于从五个⾥⾯取⼀个（取哪四个等同于不取哪⼀个）2. C m−1n+C m n=C m n+1这个似乎在m和n⽐较⼤的时候可以有效避免爆空间3. C0n+C1n+......+C n n=2n4. C r r+C r r+1+......+C r n=C r+1n+15.k∑i=0C i n C k−im=C k m+n代码实现1. 定义式int C(int m,int n){//这⾥⽤longlong是因为第6⾏乘完之后极有可能暂时超过了int能表⽰的范围long long result = 1;for(int i = 0;i<n;i++){result *= (m-i);}for(int i = 2;i<=n;i++){result /= i;}return (int)result;}⾮常容易想到2. 递归版组合数求法int C(int m,int n){if(m == n) return 1;if(n == 1) return m;return C(m-1,n)+C(m-1,n-1);}根据拓展公式（2）写的，优点是⾮常好写（⼿和脑⼦只能懒⼀个），缺点是慢......这张图是以C(7,3)为例画的图(不得不说实在是太强了)⼀眼就能看见相当多的重复运算3. 递推版组合数求法int C(int m,int n){int c[n+1][m+1];for(int i = 1;i<=m;i++){c[1][i] = i;}for(int i = 2;i<=n;i++){c[i][i] = 1;}for(int i = 2;i<n;i++){for(int j = i+1;j<m;j++){c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i][j-1];}}for(int i = n+1;i<=m;i++){c[n][i] = c[n-1][i-1] + c[n][i-1];}return c[n][m];}既然C(m,n)与m,n都有关系，那么不妨开⼀个n⾏m列的⼆维数组（m⾏n列也⾏，⾃⼰调整⼀下）看上图的所有的叶⼦节点，都是m=n或者n=1m=n时C(m,n)=1n=1时C(m,n)=m因此，代码的第3~8⾏开出了如下表的⼀个⼆维数组1234567112345672131接着，根据拓展公式⼆，我们可以知道这个⼆维数组的每⼀项等于其左侧值和左上值的和并且第m列（即上表中的第7列）除了最后⼀⾏都没有必要填上（填上也⾏）所以代码的第9~13⾏将⼆维数组填充到了如下表所⽰的程度1234567112345672136101531然后第14~17⾏填完了最后⼀⾏最后返回值即可这是以C(36,24)为例的耗时（再⼤递推还是秒出，但递归我可能真的等不了了）Processing math: 100%。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
记
学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生思维情况学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
备
注
2.解方程：
（1）P ；（2）P
介绍
质疑
讲解
说明
了解
思考
启发
学生思考
教学
活
教学步骤与内容
教学
组织形式
教学方法
达成目标
【双基讲解】
二、组合数公式
从4个不同元素，，，中，任意取3个元素的所有组合是：
“，，”，“，，”，“，，”，“，，”，即组合数为4.
组合数：一般地，从 个不同元素中，任意取出 个元素的所有组合的个数叫做从 个不同元素中任意取出 个元素的组合数.用符号C 表示.
这样，从4个不同元素中，每次取3个元素的所有排列数，记作 ，【示范例题】
例1计算
(1) P ；(2) .
解(1) P .
(2) .
例2解方程：P
解由P ，P ，得 ，
即 ，解得 或 .
因为 ，所以 .
课堂练习
1.计算：
（1）P ； （2）P ；
（3）P ； （4） .
教
学
要
求
知识&技能
重点
难点
教学目标
识记
理解
应用
分析
综合
排列数公式
√
√
组合数公式
√
√
教学方法设计
课堂演示
教学资源使用说明
多媒体，计算器
作
业
内
容
课本练习题P14 1.2.3 P17 1.2
教学
活动
流程
教学步骤与内容
教学
组织形式
教学方法
达成目标
【双基讲解】
一、排列数
一般地，从个不同元素中取出(≤)个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中任意取出个元素的排列数.用符号 表示.
上海食品科技学校
《数学》教案
课次
3
课时
2
班级
1510
执教者
周次
2
课型
新课
日期
9.13
课题
排列数公式和组合数公式
教
学
目
标
知识
技能
态度
1.掌握排列数公式、组合数公式，并能进行相关计算.
2.会用函数型计算器求排列数、组合数.
通过具体的实例，导出排列数的计算公式；利用类比的方法，引导学生推导组合数公式.
用枚举法解决排列组合问题，让学生体会排列数公式与组合数公式的优势以及实用性，引发学生学习数学的兴趣.
这样，从4个不同元素中，任意取3个元素的所有组合数，记作：C ，即C
因此，从 个不同元素中，任意取出 个元素的组合数为
C .
这个公式叫做组合数公式.
我们规定：
【示范例题】
例3计算：
(1) C (2) .
解:(1) C .
(2) .
【巩固练习】
1.计算：
（1）C
（2）C
质疑
引导
分析
思考
启发
学生
思考
教
学