弹塑性力学讲义本构关系

Mohr-Coulomb屈服条件
考察一任意剪切面，该面上的剪应力为n，正应力为n，
• 推动剪切滑移的有效剪切力是n • 阻止剪切滑动力：内摩擦力(n) tan，粘结力C
Mohr条件：
n = (n) tan ＋C
随静水压力增长，减小，在 应力平面上不是直线，而是曲线，
Coulumb条件： 对于土和受静水压力不太大的岩石，可假定角为常数，为直线
dsij+dsij
dkk=
(1
2v E
)dkk
t
0
eij dt
1 2G
t
0
sij dt
si0j
t
0
td
1 t
t
0
td
eij=
( 1 ) 2G
sij
kk=
(1
2v E
)
kk
令 H=1/2G + 得：
eijeij=H2sijsij 得：
eij=Hsij。 H eijeij 3
sij sij 2
ft
2c cos 1 sin
单轴拉伸屈服应力
fc
2c cos 1 sin
单轴压缩屈服应力
m fc 1 sin ft 1 sin
m1 3 fc
z
M
T
z
s/3
(2) (3)
(1)
s
解：（1）求塑性模量： 在单轴应力状态下，弹性应变是 e 。而塑性应变是
E p e s
E
塑性模量应是 （2）加载判别：
h
d d p
E
当应力状态达到初始屈服后，下一步应力增量是否产生塑性变形，取决
于 (f/ij) dij是否大于零。 该题各路径下的应力状态偏量均可表示为：
金属塑性（位错滑移） • 屈服只取决于偏应力，而与静水压力无关。 • 不存在塑性体积变形， • 拉伸和压缩的塑性特性几乎一致
岩土材料（岩土材料内部包含大量的微裂纹）
• 在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生塑性变形。 • 只有在受压状态，由于微裂纹的扩展或闭合裂纹表面的相对滑动，
才可能产生类似于金属的塑性变形
z=s/3
J2
1 3
2 z
2s
p z
s 0
31 h
2z
3 2s
(1 3
z
d
z
)
z
1 h
z
s
arctan z s
s 0
s h
1
4
p z
s 0
3
1 h
2s
3
2s
( z d z
)
s 3
s ln 2 3h
x2
2s
s
0
3s ln 2 2h
路径（3）：在加载中z = 3z，z=s/2材料屈服，且dz = 3dz，
)
2
3 J2
2 3
z
1 h
1 J2
(1 3
z d z
z dz
)z
1 2
d
p z
1 h
f ij
dij
f z
1 h
2
3 J2
(
2 3
z
d
z
2zdz ) 2
3 J2
z
1 h
1 2J2
( z d z
3z dz
)z
（4）按上述路径进行积分，塑性变形
=
路= 径（1）：z=s，材料屈服，再增加剪应力dz0，dz=0，
sz=
2 z，sx= sy = 3
1 3
z，sz=
sz=z，
J2
1 3
2z
2z
2s 3
f
z
d
z
2zdz )
由于z、dz同号，、dz同号，因此，
f ij
dij
0
（3）使用流动法则求塑性变形
d
p z
1 h
f ij
dij
f
z
1 h
2
3 J2
(2 3
z d z
2z dz
p z
s s /
2
1 h
3 22s
(
2 3
z
dz
)z
s 1 h
1 2
= ，
p z
s s /
2
1 h
3 22s
(2 z d z
)
z 3
3 h
s
1
1 2
塑性变形与加载路径有关
三种应力路径下的弹性应变都是
e z
z E
e z
z G
s 3G
全量理论
•增量理论： 一般来说，增量应力—应变关系（本构关系）是不可积的， 在某些加载情况下，增量理论可积分得到应力与应变之间的全量关系，
(nn
2
C
2
2
(nn
2
2
C
2
1
1
n= 2 (1 +3)+ 2(1 3)sin
n=
1 2
(1
3)cos
屈服条件用主应力表示
1 2
(1
3)
+1 2
(1 +
3)sin
Ccos
=
0
2 2
x
sin 6
y
C
cos
0
sin
Cctan
当123时，Mohr-Coulomb屈服条件可写成
1 3 1 ft fC
例: 薄壁圆管受拉与扭转作用，材料单拉时的应力应变关系为
s E E
试按以下三种加载路径达到最后应力状态，分别求其对应产生的应变z与z (1) 首先沿z轴加载至z=s，并保持z不变，然后再增加剪应力至z=s/3； (2) 先增加剪应力至z=s/3，并保持z不变，然后再增加拉应力至z=s； (3) 比例加载，按z:z=3:1增加应力至z=s，z=s/3。
•全量理论： 应力应变一一对应的确定关系，相当于非线性弹性（不考虑卸载） 求解简单
简单加载（比例加载）
•是指应力各分量之间成比例且单调增长，即
ij ti0j
sij tsi0j
（t>0，dt>0）
•在平面上，该加载路径是一条=const的射线，
e' 2
y
dipj
o
x
e13'
e' 1
deij=
1 2G
s
J2
1 3
2s
2z
pz
s 0
3
1 h
2s
3 32z
(z dz
)s
s 2h
ln
x2
2 s
3
s 0
/
3
s ln 2 2h
p z
s 0
3
1 h
2s
3 32z
(3z dz
)z
9 h
z 3
s 33
arctan
3z s
s 0
/
3
3 h
1
4
s
路径（2）：当剪应力z=s/3，材料屈服，增加应力z，即dz 0，dz=0，
eij
3 2
sij
单一曲线假定 当材料几乎为不可压缩时，按照不同应力组合所得出的 ～ 曲线与
单轴拉伸时的 ～ 曲线十分相近。
简单加载定理
如何保证物体的每一个微小单元都处在简单（比例）加载情况，Ilusion给 出了一组充分条件。 • 小变形； • 材料不可压缩； • 外荷载按比例单调增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件； • 材料 ～ 的曲线具有幂指数硬化形式 An
• 拉伸和压缩的力学性能差别很大
2
f't
f'c
1
f't
fc'
• 产生应变软化现象
应变软化段
• 产生塑性体积膨胀变形
0
v
• 与静水压力有关
3
3
1
2
围 压 增 加
3
• 具有弹塑性耦合 弹性模量降低
岩土材料塑性变形的特性与金属材料不同 • Tresca和Mises屈服条件及其相关联的流动法则不再适当; • 屈服面和流动法则等概念可以借用，需进行适当的修正