高中物理--约束问题与临界值doc
高中物理--约束问题与临界值
约束问题与临界值现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束问题。
然而，有关约束问题的习题却不少，就是在高考中也常出现这类题型。
至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜，并常以拔高题出现。
下面拟就中学物理中有关约束问题，作一浅析。
1．有关约束问题的基本概念如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束。
那么该曲线或曲面就称为约束。
例如图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体ab被限制在导电滑轨M N上运动等等，都属于约束问题。
图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束。
由此可以看出，约束既是实在的物体，又是某些物体对别的物体运动限制作用的抽象。
约束的分类随依据不同而异。
按约束随时间改变与否，可分为稳定约束与不稳定约束。
例如图2中，如果斜面体是固定的，则称为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜面体本身也作加速运动，则称为不稳定约束。
按其约束的方向来分，可分为单向约束和多向约束。
如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，则称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束。
从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束。
力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。
例如图1中绳子对小球的拉力，图2中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。
由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含意上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力。
2．约束反力的求解约束反力的大小及其变化情况，往往不能预先知道，也不是都能由平衡条件计算出来的，而需要根据物体的运动被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。
[例1]一质量为m的小球，与长为l的细绳组成一单摆。
现将此单摆拉到与竖直线成α角的位置，由静止释放，在摆动途中，摆绳被一钉子A所阻，钉子与摆的悬挂点o相距r，两者连线与竖直线成β角。
高中物理_临界问题的求解
临界问题的求解临界问题是物理现象中的常见现象。
所谓临界状态就是物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，临界状态通常具有以下特点：瞬时性、突变性、关联性、极值性等。
临界状态往往隐藏着关键性的隐含条件，是解题的切入口，在物理解题中起举足轻重的作用。
求解临界问题通常有如下方法：极限法、假设法、数学分析法（包括解析法、几何分析法等）、图象法等。
极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”、“要使”等词语时，一般隐含着临界问题。
处理问题时，一般把物理问题（或过程）设想为临界状态，从而使隐藏着的条件暴露出来，达到求解的目的。
假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，解决办法是采用假设法，把物理过程按变化的方向作进一步的外推，从而判断可能出现的情况。
数学分析法；是一种很理性的分析方式，把物理现象转化成数学语言，用数学工具加以推导，从而求出临界问题，用这种分析方法一定要注意理论分析与物理实际紧密联系起来，切忌纯数学理论分析。
图象法：将物理过程的变化规律反映到物理图象中，通过图象分析求出临界问题。
下面列举的是高中物理各知识系统中典型的临界问题。
一、运动学中的临界问题例1、一列客车以速度v 1前进，司机发现前方在同一轨道上有一列货车正在以速度v 2匀速前进，且v1v 2，货车车尾与客车车头相距s 0，客车立即刹车做匀减速运动，而货车仍保持匀速运动。
求客车的加速度a 符合什么条件两车才不会撞上？分析：这一类问题一般用数学方法（解析法）来求解。
若要客车不撞上货车，则要求客车尽可能快地减速，当客车的速度减小到与货车速度相等时两车相对静止，若以后客车继续减速，则两车的距离又会增大；若以后客车速度不变，则两车将一直保持相对静止。
可见，两车恰好相碰时速度相等是临界状态，即两车不相碰的条件是：两车速度相等时两车的位移之差△S ≤S 0。
下面用两种方法求解。
解法一：以客车开始刹车时两车所在位置分别为两车各自位移的起点，则，客车：21112s v t at =-，货车：22s v t =， 两车不相撞的条件：21,v v at =-120s s s -≤。
高中物理的涉及的临界问题(全)
• 分析：（1）球与挡板脱离的临界条件：球 与挡板的支持力等于零，二者速度相等，加 速度相等，然后对球受力分析求出位移X， 在运动学公式。
（2）球速达到最大的临界条件：球合外 力为零
点击高考1：（全国理综Ⅲ卷）如图所示，
在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相
连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB， 弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统处一
(1)警车要多长时间才能追上违章的货车？
(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多 大？
解析：利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速 度相等时相距最远． v 警＝at，v 货＝v0，由 v 警＝v 货得 at1＝v0 即相距最远时警车所用的时间为 t1＝va0＝82 s＝4 s 此时货车和警车前进的距离分别为 x 货＝v0(t0＋t1)＝8×(2.5＋4) m＝52 m x 警＝12at12＝12×2×42 m＝16 m
• 在追碰问题中，两车最容易相撞的时刻应是两车 速度相等即V乙=V甲，而不是V乙=0，这是本题的 临界条件
二.力学中的临界问题
**力学中的平衡问题涉及到平衡和运动等具体问 题平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡 状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。解决这 类问题的基本方Байду номын сангаас是假设推理法。
**临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
分析 本题可以利用解析法和正交分解法进行分 析，通过列出的平衡方程求出绳b和绳c的拉力表 达式，若要使两绳都伸直，则必须保证两绳的拉 力都大于或等于零，进而求出F的极值．
[解析] 作出物体 A 的受力分析图如图所示，由平衡条件得
Fsinθ＋F1sinθ－mg＝0
①
Fcosθ－F2－F1cosθ＝0
高中物理中的临界与极值问题
高中物理中的临界与极值成绩之杨若古兰创作宝鸡文理学院附中何治博一、临界与极值概念所谓物理临界成绩是指各种物理变更过程中，随着条件的逐步变更，数量积累达到必定程度就会惹起某种物理景象的发生，即从一种形态变更为另一种形态发生质的变更（如全反射、光电效应、超导景象、线端小球在竖直面内的圆周活动临界速度等），这类物理景象恰好发生（或恰好不发生）的过度转机点即是物理中的临界形态.与之相干的临界形态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研讨的成绩称为临界成绩，它是哲学中所讲的量变与量变规律在物理学中的具体反映.极值成绩则是指物理变更过程中，随着条件数量连续渐变超出临界地位时或条件数量连续渐变取鸿沟值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的景象，有关此类物理景象及其发生条件研讨的成绩称为极值成绩.临界与极值成绩虽是两类分歧的成绩，但常常互为条件，即临界形态时物理量常常取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理景象发生转机的临界形态，除非该极值是单调函数的鸿沟值.是以从某种意义上讲，这两类成绩的界线又显得非常的模糊，并不是泾渭分明.高中物理中的临界与极值成绩，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现.从以往的试题方式来看，有些直接在题干中经常使用“恰好”、“最大”、“至多”、“不相撞”、“不离开”……等词语对临界形态给出了明确的暗示，审题时，要捉住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出呼应的临界条件.也有一些临界成绩中其实不显含上述罕见的“临界术语”，具有必定的荫蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，严密讨论形态的变更.可用极限法把物理成绩或物理过程推向极端，从而将临界形态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界形态，分析物体的受力情况及活动形态与题设是否符合，最初再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界形态，然后捉住临界形态的特征，找到准确的解题方向.从以往试题的内容来看，对于物理临界成绩的考查次要集中在力和活动的关系部分，对于极值成绩的考查则次要集中在力学或电学等权重较大的部分.二、罕见临界形态及极值条件解答临界与极值成绩的关键是寻觅相干条件，为了提高解题速度，可以理解并记住一些罕见的次要临界形态及极值条件：1.雨水从水平长度必定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时刻3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰好不再滑下）—μ=tgθ.4.物体刚好滑动——静摩擦力达到最大值.5.两个物体同向活动其间距离最大（最小）——两物体速度相等.6.两个物体同向活动绝对速度最大（最小）——两物体加速度相等.7.位移必定的先启动后制动分段活动，在初、末速及两段加速度必定时欲使全程历时最短——两头无匀速段（位移必定的先启动后制动分段匀变速活动，在初速及两段加速度必定时欲使动力感化时间最短——到起点时末速恰好为零）8.两车恰不相撞——后车追上前车时两车恰好等速.9.加速活动的物体速度达到最大——恰好不再加速时的速度.10.两接触的物体刚好分离——两物体接触但弹力恰好为零.11.物体所能到达的最远点——直线活动的物体到达该点时速度减小为零（曲线活动的物体轨迹恰与某鸿沟线相切）12.在排球场地3米线上方水平击球欲成功的最低地位——既触网又压界13.木板或传送带上物体恰不滑落——物体到达末端时二者等速.14.线（杆）端物在竖直面内做圆周活动恰能到圆周最高点—15.竖直面上活动的非束缚物体达最高点——竖直分速度为零.16.细线恰好拉直——细线绷直且拉力为零.17.已知一分力方向及另一分力大小的分解成绩中若第二分力恰为极小——两分力垂直.18.动态力分析的“两变一恒”三力模型中“双变力”极小——两个变力垂直.19.向的分力.20.渡河中时间最短——船速垂直于河岸，即船速与河岸垂直（相当于静水中渡河）.21.船速大于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速逆向上行分速度与水速抵消.22.船速小于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速与合速度垂直.23.“圆柱体”滚上台阶最省力——使动力臂达最大值2R.24.25.损失动能最小（大）的碰撞——完整弹性（完整非弹性）碰撞.26.简谐活动速度最大——位移（恢复力、加速度）为零.27.受迫振动振幅恰好达最大——驱动力的频率与振动零碎的固有频率相等.28.两个同相相干波源连线上振幅最大的点——两边距连线中…29.只无机械能与电势能彼此转化时，重力势能与电势能之和最小时，动能最大.30.粒子恰不飞出匀强磁场——圆形轨迹与磁场鸿沟相切.31.纯电阻负载时电源输出功率最大——内外电阻阻值相等.32.滑动变阻器对称式接法中阻值达最大——滑至中点.33.倾斜安顿的光滑导轨上的通电导体棒静止时，所加匀强磁场方向若垂直于斜面的情况下磁感强度最小.34.光从介质射向空气时恰不射出——入射角等于临界角.35.刚好发生光电效应——入射光频率等于极限频率.36.带电粒子恰好被速度选择器选中（霍尔效应、等离子发电）——电场力与洛力平衡.37.“地面卫星”（氢原子处于基态）时，势能最小、总能量最小、活动周期、角速度均最小；速度、向心力、加速度均最大.38.等量同性质点电荷连线的中垂线上场强最大的地位求解.三、临界与极值成绩普通解法临界成绩通常以定理、定律等物理规律为根据，分析所研讨成绩的普通规律和普通解的方式及其变更情况，然后找出临界形态，临界条件，从而通过临界条件求出临界值，再根据变更情况，直接写出条件.求解极值成绩的方法从大的方面可分为物理方法和数学方法.物理方法即用临界条件求极值.数学方法包含（1）利用矢量图求极值（2）用正（余）弦函数求极值；（3）抛物线顶点法求极值；（4）用基本不等式求极值.（5）单调函数端点值法求极值（6）导数法求解.普通而言，用物理方法求极值简单、直观、抽象，对构建物理模型及动态分析等方面的能力请求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学建模能力请求较高，若能将二者予以融合，则将相得亦彰，对加强解题能力大有裨益.四、典型成绩剖析例题1．某屋顶横断面是一等腰三角形ABC ，横梁AC=2L （定值），欲使雨水从屋顶面上流上去时间最短，求屋面的倾斜角（摩擦忽略不计，雨水初速为0）解析：设倾斜角α，AB=s ∵F=mgsinα=ma，∴a=gsinα∵s== ∴当α=45°时，等号成立所以α=45°，雨水从屋顶（光滑）上流下所用的时间最短解法2.21sin cos 2L g t αα=⋅∴解得当0=45α时 t 有最小值.例题2．从倾角为θ的固定长斜面顶点以初速度0v 水平抛出一小球，不计空气阻力求自抛出经多长时间小球离斜面最远?解法一：设经t 秒小球距离斜面最远，此时速度必与斜面平行，则所以. 解法二：阔别斜面方向的所以阔别斜面的速度减小至零时相距最远.时相距最远.解法四：解析法.选初速度方向为x 轴正向，重力方向为y 轴正平抛物体轨迹方故明显二次函数有极大致的条件为即例题3．一个质量为3kg的物体放在长木板上，当木板一端抬起使它与水平方向成30°的固定斜面时，物体正好可以沿斜面匀速下滑.当木板水平固定时，用多大的水平拉力能将该物体拉动？解析：在斜面上物体所受摩擦力与重力沿斜面向下的分力平衡即F=mgsin30° 而滑动摩擦力f=μmgcos30°所以μ=tan30°在水平面上拉的时候压力大小等于重力大小.则水平面上的摩擦力f=μmg=mgtan30°所以拉力至多要达到这个值才干拉动物体，例题4-1．某物体所受重力为200 N，放在水平地面上，它与地面间的动摩擦因数是，它与地面间的最大静摩擦力是80 N，至多要用_________N的水平推力，才干将此物体推动，若推动以后坚持物体做匀速直线活动，水平推力应为_________N；物体在地面上滑动过程中，若将水平推力减小为50 N，直到物体再次静止前，它所受到的摩擦力为_________N；物体静止后，此50 N的水平推力并未撤去，物体所受的摩擦力大小为_________N.解析：从静止推物体时推力至多达到最大静摩擦力80N才可以推动物体；推动后当推力大小与滑动摩擦力等值（200×0.38=76N）时物体将做匀速直线活动；在物体滑动过程中水平推力若减小至50N，物体受到的滑动摩擦力仍跟本来一样为76N；物体静止后此50N的水平推力并未撤去时物体受静摩擦力大小等于此时的水平推力大小50N.例题4-2． 如图所示，U 形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m 的金属棒ab ，ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为1L 、2L ，回路的总电阻为R.从t=0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变更的匀强磁场B=kt ，（k>0）那么在t 为多大时，金属棒开始挪动.解析：当磁场发生变更的时候，有感应电动势发生，在回路中就会发生感应电流，ab 棒会受到安培力的感化，则ab 有向左活动的趋势，则ab 就会受到向右的静摩擦力的感化.当ab 棒受到安培力和静摩擦力的感化平衡时，由12E kL L t ∆Φ==∆可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但因为安培力F=BIL ∝B=kt ∝t ，所以安培力将随时间而增大，所以ab 受到的静摩擦力也增大，二者始终是等值反向的，只需安培力的大小没有超出最大静摩擦力，ab 就始终处于静止形态.当安培力大于最大静摩擦力以后，ab 就会活动起来.在静止到活动之间就存在着一个从静止到活动的临界形态，此形态的临界条件就是安培力增大到等于最大静摩擦力.此时有：1212212,kL L mgR kt L mg t R k L L μμ⋅⋅==所以例题4-3．如图3所示两根平行的金属导轨固定在同一水平面上，磁感应强度的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨电阻b aL 1 L 2不计，导轨间距；两根质量均为电阻均为的平行金属杆甲、乙可在导轨上垂直于导轨滑动，与导轨间的动摩擦因数均为；现有一与导轨平行大小为的水平恒力感化于甲杆使金属杆在导轨上滑动，已知210m g s = 求（1）分析甲、乙二杆的活动的情况？（2）杆活动很长时间后开始，则再经过5秒钟二杆间的距离变更了多少？解析：（1）金属杆甲在水平恒力（这里0.5f mg μ==甲牛为甲杆所受的最大静摩擦力）感化下将向右加速活动并切割磁感线发生逆时针方向的感应电流，因此使甲杆同时受到水平向左的安培阻力；乙杆中也因为有了电流而受到水平向右的安培动力，两个安培力等值反向；开始时甲杆的切割速度较小故安培力=均较小，随的增大则回路中的感应电流增大，所以两杆所受的安培力=均增大，故甲杆将向右作加速度减小的变加速活动；当时乙杆也将开始向右作加速度逐步增大的变加速活动；直到甲、乙二杆的加速度相等v ∆最大，回路中动生电流最大即0.50.2=0.44m BL v v v I R ⋅∆⨯⨯∆∆==总， 每杆受安培力最大即0.50.2440Bm m v v F BI L ∆∆==⨯⨯=乙杆的加速度最大即max 54Bm F mg v a m μ-∆==-乙甲杆的加速度最小即min 154Bm F F mg v a m μ--∆==-甲图5所以甲乙两杆以共同的加速度，恒定的速度差向右做匀加速直线活动.即甲绝对乙将向右做匀速直线活动而阔别.（2）根据上述分析知活动很长时间后甲乙两杆将以共同的加速度向右做匀加速直线活动，亦即5秒两例题4-4．如图5端施一大小为20N 的恒力FM 可视为质点，问木块从较远处向右活动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？解析： 设当轻绳与水平方向成角θ时，对M 有A 取最大值时a 最大.利用三角函数常识有：此时木块离定滑轮的水平距离为：cm=θcot≈S25h说明：此题并不是在任何条件下都能达到上述最大加速度，当木块达到必定值时，有可能使物体离开地面，此后物体将不在沿着水平面活动.是以，F、M、μ必须满足θsinF≤Mg.此题所给数据满足上述条件，能够达到最大加速度.例题4-5．如图3所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为的斜面体上，斜面质量为，斜面与物块间的动摩擦因数为，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m绝对斜面静止，试确定推力F的取值范围.（）图3解析：此题有两个临界条件，当推力F较小时，物块有绝对斜面向下活动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有绝对斜面向上活动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向下.找准临界形态，是求解此题的关键.（1）设物块处于绝对斜面向下滑动的临界形态时的推力为F1，此时物块受力如图4所示，取加速度的方向为x轴正方向.图4对物块分析，在水平方向有竖直方向有对全体有代入数值得（2）设物块处于绝对斜面向上滑动的临界形态时的推力为F2对物块分析，在水平方向有图4-6 竖直方向有， 对全体有代入数值得.综上所述可知推力F 的取值范围为：例题4-6.如图4-6所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和B ，物体A 放在倾角为α的斜面上，已知物体A 的质量为m ，物体B 和斜面间动摩擦因数为μ（μ<t an θ），滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B 质量的取值范围．解析：物体在斜面上可能恰好不上滑，也可能恰好不下滑，所以摩擦力可能有两个方向.以B 为研讨对象，由平衡条件得：B T m g =再以A 为研讨对象，它受重力、斜面对A 的撑持力、绳的拉力和斜面对A 的摩擦感化．假设A 处于临界形态，即A 受最大静摩擦感化，方向如图所示，根据平衡条件有：cos N mg θ=0,m m T f mg f N μ--==或：0,m m T f mg f N μ+-==综上所得，B 的质量取值范围是：(sin cos )(sin cos )B m m m θμθθμθ-≤≤+例题5-1．甲物体以=4m v s 甲做匀速直线活动，乙物体在其后面5m 22m a s =的匀加速直线活动，问乙物体是否可以追上甲物体？并求出其间距离的最大值.解法一：（1）乙物体必定可以追上甲物体.（2）用临界法分析求极值：乙物体加速至=4m v s 甲前，速度小于其前方的甲物体活动速度，此阶段其间距离不竭增大，当乙物体加速至=4m v s 甲后，速度大于其前方的甲物体活动速度，所以在尚未追上甲物体前，其间距离不竭减小，故等速时其间距离最大.令a t v ⋅=甲 解得4==22v t s a =甲 此时相距最远 解法二：（2）用抛物线顶点坐标法求极值：根据甲乙两物体各自活动规律可得出其间的距离函数222011+5424522S S v t at t t t t =⋅-=+-⨯=-++甲 422(1)t =-=-s 时 例题5-2．（宝鸡2012年二模）如图所示，质量为6kg 的小球A 与质量为3kg 的小球B ，用轻弹簧相连后在光滑水平面上共同以速度0v 向左匀速活动，在A 球与左边竖直墙壁碰后两球继续活动的过程中，弹簧的最大弹性势能为4J ，若A 球与左边墙壁碰撞前后无机械能损失，试求0v 的大小.解析：这里弹性势能最大时即簧紧缩量最大，亦即A 与左边0v 初速（碰墙壁无机械能损失）向右减速活动，B 仍觉得0v 初速向左减速，但B 球质量小先减至零又反向向右加速活动，二者均向右活动等速时其间距离最小，此时簧的弹性势能最大.因为碰墙壁后向右活动过程A+B 零碎总动量守恒，如果选向右为正方向则又因为碰墙壁后向右活动过程A+B （含簧）零碎总机械能守恒则联立求解并代入数值得01m v s = （13AB m v s =） 例题5-3．（90年全国卷）在光滑的水平轨道上有两个半径都是r 的小球A 和B ，质量分别为m 和2m ，当两球心间距离大于L （L 比2r 大得多）时，两球之间无彼此感化力；当两球心间距离等于或小于L 时，两球间存在彼此感化的恒定斥力F.设A 球从阔别B 球处以速度0v 沿两球连心线向本来静止的B 球活动，如图12-2所示，欲使两球不发生接触，0v 必须满足什么条件解析 ： 据题意，当A 、B 两球球心间距离小于L 时，两球间存在彼此感化的恒定斥力F.故A 减速而B 加速.B A v v >时，A 、B 间距离减小；当B A v v <时，B A v v =时，A 、B 相A 、B 间距离增大.可见，当距比来.若此时A 、B 间距离r x 2>，则A 、B 不发生接触（图12-3）.上述形态即为所寻觅的临界形态，B A v v =时r x 2>则为临界条件.两球不接触的条件是：B A v v = （1） 2B A L S S r +- （2）A v 、B v 为两球间距离最小时，A 、B球的速度；A S 、B S为两球间距离从L 变至最小的过程中，A 、B 球通过的路程. 设0v 为A 球的初速度，对于A+B 零碎由动量守恒定律得 B A mv mv mv 20+= （3）对于A 球由动能定律得022011cos18022A A F S mv mv ⋅=- （4） 对于B球由动能定律得 021cos0(2)2B B F S m v ⋅= （5） 联立解得：m r L F v )2(30-<评析 本题的关键是准确找出两球“不接触”的临界形态，为B A v v =且此时r x 2>例题6．（09年江苏卷）如图所示，两质量相等的物块A 、B 通过一轻质弹簧连接，B 足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑.弹簧开始时处于原长，活动过程中始终处在弹性限制内.在物块A 上施加一个水平恒力，A 、B 从静止开始活动到第一次速度相等的过程中，以下说法中准确的有 （ ）A ．当A 、B 加速度相等时，零碎的机械能最大B ．当A 、B 加速度相等时，A 、B 的速度差最大C ．当A 、B 的速度相等时，A 的速度达到最大D ．当A 、B 的速度相等时，弹簧的弹性势能最大解析：分析本题的关键是对物体进行受力分析和活动过程分析，使用图象处理则可以使成绩更加简单.A 、B 物块在水平方向受力如右图上下，F 1为弹簧的拉力.A 从静止开始向右做加速度减小的变加速直线活动，B 从静止开始向右做加速度增大的变加速直线活动，当两物块加速度相等时它们的速度差最大（因为该阶段A 速度的添加值老是大于B 速度的添加值），————选B.该过程可视为B 板后沿(质点)追击A 物块，因为前面A 物体的速度老是大于后面B 物体的速度，所以其间距离不竭增大（同一时间内A 物的位移老是大于B 物的位移），当两物体等速时其间距离最大即弹簧伸长量最大，所以弹簧的弹性势能最大.————选D据前分析该过程A 物体始终做加速度减小的加速活动（B 物也始终加速但加速度增大），这类活动不断持续到A 物体加速度减为零（此时B 物体加速度增至F/m ），即A 物体速度单调添加，故末时刻速度最大.————选C.又因外力F 不竭做正功，所以零碎机械能不竭增大，末时刻机械能最大.————排除A. 1t 时刻2A B F a a m ==2t 时刻A B v v =且A 物加速度=0例题7-1．消防队员为了缩短下楼时间，常常抱着竖立于地面的竖直滑杆直接滑下（设滑杆在水平方向不克不及挪动），假设一位质量为60kg 的消防队员从离地面18m 的七楼抱着竖直的滑杆以最短的时间滑下.已知消防队员的手和脚对杆之间的压力最大为1800N ，手和脚与滑杆之间动摩擦因数为0.5，消防队员着地的速度不克不及大于6m/s ，当地的重力加（1）消防队员下滑的最短时间？（2）消防队员下滑过程中最大速度？解法一（基本不等式极值法）：设消防队员先做自在落体活900N 大于重力600N减速至=6m/s ，则下滑时间且..② 又依牛顿第二定律知消防队员减速下滑的加速度最大值为..③ 将②③式代入①式并清算有即消防队员下滑的最短时间为2.4 s ，即加速1.2s 、匀速0s 、减速1.2s.（2）消防队员下滑的最大速度即自在落体段下滑的末速度解法二18m ，这类临界形态的v-t 图像如下图中实线OAB 所示，其与横轴所围成的图形“面积”恰好为18m ，明显其他任意一个含有匀速活动段的图形若面积与其相等(例如OPQM)，则底边长度必大于24s.所以先加速后减速两头无匀速活动段，历时最短.例题7-2．（06年上海卷） (辨析题):请求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不克不及太快，以避免因离心感化而偏出车道，求摩托车在直道上行驶所用的最短时间.有关数据见表1.某同学是如许解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静，然后再减速，你认为这位同学的解法是否合理?若合理，请完成计算；若分歧理，请说明理由，并用你本人的方法算出准确结果.解析：故分歧理.40），又以加速度218m 的直道距离行驶，即为最短时间.例题7-3．（2013年宝鸡市一检试题）如图所示，水平地面上有A 、B 两点，且两点间距离LAB=15m ，质量m=2kg 的物体（可视为质点）静止在A 点，为使物体活动到B 点，现给物体施加一水平F =10N 的拉力，求拉力F 感化的最短时间.（已知地面与物块的滑动摩擦因数μ=0.2，g 取10m/s2） 解析：可证要使F 感化时间最短，则F B 点恰好停止（证实见后）.设匀加速直线活动的加速度为a1可得：（1）（2）设撤去F（3）（4）（5）（6）（7）证实：设恒力F滑行段-2，设滑行段末即恒力感化时间最小须要2s.亦即滑行至末速恰好为零所需的时间为2s (也可通过v-t图像证略).例题8．距离甲车S度坚持不变，为了确保两车不相撞，乙车做匀减速直线活动的加速度大小至多为多大？解法一：.设则20=v v at -乙令201==v v at v -乙 解得210v v t a-=又因为21101=v v s v t v a -=⋅甲2222212121200211s =()222v v v v v v v t at v a a a a----=⋅-⋅=乙 令+s s s =乙甲 解得221()2v v a s-=解法二：以甲车为参照物，乙车的绝对初速度为21v v -，设加速度（亦即绝对加速度）为a绝对末速度为0，绝对位移为S ，则有2221()02v v as --=所以 221()2v v a s-=例题9．如图所示，竖直放置的U 形导轨宽为L ，上端串有电阻R （其余导体部分的电阻都忽略不计）.磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外.金属棒ab 的质量为m ，与导轨接触良好，不计摩擦.从静止释放后ab 坚持水平下滑.试求ab 下滑的最大速度m v .解析：释放瞬间ab 只受重力，开始向下加速活动，只需ab 有速度，在ab 上就会发生动生电动势，在回路中就会发生电流，由左手定则知，ab 会受到向上的安培力的感化.动生电动势会随着速度的增大而不竭的增大，回路中电流就会不竭的增大，根据=F BIL 安，安培力会不竭的增大，则ab 做加速度减0F mg -=安时，其加速度就变成0，速度达到最大，开始做匀速直线活动.是以，在从变速活动形态变到匀速形态之间有一个速度达到最大的形态，此形态的临界条件就是ab 受的的重力大小等于安培力大小.捉住这个临界条件，由m gR v L B F m==22，可得22L B mgR v m = 例题10-1．如图所示，m=4kg 的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角.要使后壁对小球不发生力的感化小车的加速度应满足的条件？解析：小车向左加速或向右减速时，后壁对小球的感化力N 有可能减为零，这时候小球将离开后壁而“飞”起来.这时候细线跟竖直方向的夹角会改变，是以细线拉力F 的方向会改变.所以必须先求出这个临界值.分析知在该临界形态下， 小球竖直方向平衡， 则0cos37=F mg细线拉力水平分量使得小球在水平方向加速，则0sin37F ma = 联立解得 小车向左加速或向右减速的加速度大小至多为0a=g tg37⋅例题10-2.一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m 的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于天然长度.如图所示.现让木板由静止开始以加速度a(a ＜g)匀加速向下挪动.求经过多长时间木板开始与物体分离.解析：以拴接于簧下的物体为研讨对象，设物体与平板全体。
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动力学中的临界问题
问题概述
临界问题是物理现象中的常见现象。所谓临界状态就 是物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程， 临界状态通常具有以下特点：瞬时性、突变性、关联性、 极值性等。临界状态往往隐藏着关键性的隐含条件，是 解题的切入口，在物理解题中起举足轻重的作用。
1．动力学中的临界极值问题的标志 (1)题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述过程存在临界 点。 (2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题 述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。 (3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述 的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。 (4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾 速度。
【例2】如图3，质量m = 10kg的小球挂在倾角α= 37°的光滑
斜面的固定铁杆上；
。
(1)当斜面和小球以a = g/2的加速度向右匀加速运动时，小球 对绳的拉力和对斜面的压力分别为多大？ ( g = 10m / s2 )
(2)当斜面和小球以a = 4g/3的加速度向右匀加速运动时， 小球对绳的拉力和对斜面的压力分别为多大？( g = 10m
规律总结 【 推物荐理高必一修物第理一必册修运第动一与册力第动四力章学运中动的与临力界动问力题学pp中t优的质临说界课问稿题（（精最选新）版本）推荐 三类临界问题的临界条件：
高中物理临界问题
高中物理临界问题引言：高中物理中，临界问题是一个重要的概念，它涉及到电流、温度、速度等多个领域。
临界问题在物理学的研究中有着广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将围绕高中物理临界问题展开讨论，介绍其基本概念和相关应用。
一、临界问题的基本概念临界问题是指在某种条件下，系统的一些物理性质会发生剧变或突变的问题。
具体而言，临界问题可以分为电流临界、温度临界和速度临界等。
在临界点上，系统的某个物理量会发生突变，从而导致系统的性质发生改变。
1.1 电流临界问题电流临界是指在电路中，当电流达到一定数值时，电路中的元器件或电源会发生突变或破坏，从而导致电路的性质发生改变。
举个例子，当我们连接一个电阻到电路中时，如果电流超过了电阻的最大承受电流，电阻就会发热并可能烧坏。
1.2 温度临界问题温度临界是指在物质的温度达到某个特定值时，物质的性质会发生剧变。
例如，当我们加热水至100摄氏度时，水的状态会发生改变，从液态变为气态，这是水的临界温度。
1.3 速度临界问题速度临界是指在物体运动中，当速度达到某一特定值时，物体的性质会发生剧变。
例如，当我们抛出一个物体时，物体的速度达到一定值时，会克服空气的阻力，进入自由落体状态，这是速度临界的一个实例。
二、临界问题的应用临界问题在物理学的研究和实际应用中具有重要意义，下面将分别介绍电流临界、温度临界和速度临界的应用。
2.1 电流临界的应用电流临界在电路设计和电器安全方面有着重要的应用。
例如，在电路设计中，我们需要根据电子元器件的电流承受能力来选择合适的元器件，以避免电路发生过载或短路的现象。
在电器安全方面，了解电器的电流临界值可以帮助我们正确使用和维护电器设备，避免因电流过大导致的安全事故。
2.2 温度临界的应用温度临界在材料科学和物理实验中有着广泛的应用。
例如，在材料科学中，了解材料的临界温度可以帮助我们选择合适的材料用于不同的环境和工艺要求。
在物理实验中，控制温度临界可以使实验结果更加准确和可靠，避免温度对实验结果的影响。
高中物理力学中的边界约束问题
1 如图为固定在竖直平面内的轨道，直轨道AB与光滑圆弧轨道BC相切，圆弧轨道的圆心角为37°，半径为r=0．25m，C端水平，AB段的动摩擦因数μ为0．5．竖直墙壁CD高H=0．2m，紧靠墙壁在地面上固定一个和CD 等高，底边长L=0．3m的斜面．一个质量m=0．1kg的小物块（视为质点）在倾斜轨道上从距离B点l=0．5m处由静止释放，从C点水平抛出．重力加速度g=10m/s2，sin37°=0．6，cos37°=0．8．求：（1）小物块运动到C 点时对轨道的压力的大小；（2）小物块从C点抛出到击中斜面的动能的最小值．解：（1）小物块从A到C的过程，由动能定理得：代入数据解得：在C点，由牛顿第二定律得：代入数据解得：N =2.2 N由牛顿第三定律得，小物块运动到C点时对轨道的压力的大小为2.2N．（2）如图，设物体落到斜面上时水平位移为x，竖直位移为y，代入得：x=0.3－1.5y由平抛运动的规律得：x=v0t，联立得代入数据解得：（3）由上知x=0.3－1.5 y可得：小物体击中斜面时动能为：解得：当y =0.12m ，E kmin =0.15J答：（1）小物块运动到C 点时对轨道的压力的大小是2.2N ； （2）小物块从C 点抛出到击中斜面的时间是s ；（3）改变小物体从轨道上释放的初位置，小物体击中斜面时动能的最小值是0.15J ．2一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。
此队员从山沟的竖直一侧，以速度v 0沿水平方向跳向另一侧坡面。
如图所示，以沟底的O 点为原点建立坐标系Oxy 。
已知，山沟竖直一侧的高度为2h ，坡面的抛物线方程为y =221x h，探险队员的质量为m 。
人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g 。
（1）求此人落到坡面时的动能；（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？=，-m==此人水平跳出的速度为时，值为．作用的最长时间为s解：（1）108.026.120⨯==g y xv m/s=4 m/s （3分）（2）设拉力F 作用的距离为s 1由动能定理有：21121)()(mv s s mg s mg F =---μμ （2分） 21145.021)5(105.05.0)105.05.05(⨯⨯=-⨯⨯-⨯⨯-s ss 1=3.3m （2分）或：20121mv mgs Fs =-μ2145.0215105.05.05⨯⨯=⨯⨯⨯-s s 1=3.3m（3）设小物块离开水平台阶的速度为v ，击中挡板时的水平位移为x ，竖直位移为y ， 则gy x v 2=○1 m g y mv E K +=221…○2 y y x 532422=+…○3， 由○1○3代入○2即可解得8=K E J （5分） 6 如图（1）所示是根据某平抛运动轨迹制成的内壁光滑的圆管轨道，轨道上端与水平面相切。
高中物理课件(人教版2019必修第一册)专题 临界(极值)问题(课件)
F2
F1
AB
解 ：由题意分析可得两物体分离的临界条件是：两物体之间刚好无相互作用的
弹力，且此时两物体仍具有相同的加速度。 分别以A、B为研究对象，水平方向受力分析如图
由牛顿第二定律得
a
F1 BBB
F1=ma
F2=2ma
则 F2=2 F1
a
F2 A
即(40-4t) =2(10+4t）
解得 t=5/3 (s)
向右运动时，绳对小球的拉力及斜面对小球的弹力各为多大？
a
解：小球即将脱离斜面支持力FN =0 对小球进行受力分析，得合力： F=mgcotθ =ma a=gcotθ= 4g/3
θG
FT F=ma
因为a1=g＜ 4g/3，所以斜面对小球有弹力
则沿x轴方向 沿y轴方向
FTcosθ-FNsinθ=ma FTsinθ+FNcosθ=mg
第四章 运动和力的关系
专题 临界(极值)问题
人教版（2019）
目录
contents
01 临界问题
02
实例分析
03 典例分析
01
临界问题
1、动力学中临界问题的特征 在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转
折状态即为临界问题。问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都 会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。（涉及临界状态的问题叫做临界问题）
假设法 中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解 决问题
数学方法 将物理过程转化为数学表达式:三角函数式、二次函数的判别 式,根据数学表达式解出临界条件
解决临界问题的基本思路
（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程， 找出临界状态。 （2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。 （3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题。
高中物理临界极值问题2
二、物体在竖直面内做圆周运动的临界问题
例 2 如图 3 所示，质量为 3m 的竖直圆环 A
的半径为 r，固定在质量为 2m 的木板 B 上，
木板 B 放在水平地面上，不能左右运动．在
环的最低点静止放置一质量为 m 的小球 C， 给小球一水平向右的瞬时速度 v1，小球会在
图3
环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不
最低点的过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgR ＋12mv02＝12mv2，可得 v＝ 5gR，B 项正确；小球在最低点 时，F 向＝mvR2＝5mg，最高点和最低点所需向心力的差为
4mg，A 项错；小球在最高点，内管对小球可以提供支持力，
所以小球通过最高点的最小速度可以为 0，再由机械能守恒 定律可知，2mgR＝12mv′2，解得 v′＝2 gR，C 项错；当 v≥ 5gR时，小球在最低点所受的支持力 F1＝mg＋mRv2，由
①
Fm＝k(AP－L)－Gsin 60°
②
解①②式得：L＝0.15－
3 20
m，代入①式得：Fm＝7 N.
答案
0.15－
3 20
m
7N
[点评] 由于静摩擦力的大小有一定的范围，本题中物体在 斜面上平衡的位置也就是一个范围，最下面的临界状态对应 于静摩擦力向下达到最大值，最上面的临界状态对应于静摩 擦力向上达到最大值．
最低点运动到最高点，2mgR＋12mv12＝12mv2，设小球对轨道 的压力为 F2 则 F2＋mg＝mvR12，解得 F2＝mvR2－5mg，F1－ F2＝6mg，可见小球 a 对轨道最低点的压力比小球 b 对轨道 最高点的压力大 6mg，D 项正确．所以本题答案为 B、D.
针对训练 1 如图 2 所示，位于斜面上的物体 M
高中物理临界值问题
高中物理临界值问题一、物理中不同的临界情况对应着不同的临界条件，现列表如下：临界情况临界条件速度达到最大值物体所受合力为零刚好不相撞两物体最终速度相等或者接触时速度相等刚好分离两物体仍然接触、弹力为零，原来一起运动的两物体分离时，不只弹力为零且速度和加速度相等粒子刚好飞出（飞不出）两个极板的匀强电场粒子运动轨迹与极板相切粒子刚好飞出（飞不出）磁场粒子运动轨迹与磁场边界相切物体刚好滑出（滑不出）小车物体滑到小车一端时与车的速度刚好相等刚好运动到某一点到达该点时的速度为零绳端物体刚好通过最高点物体运动到最高点时重力等于向心力，速度大小为杆端物体刚好通过最高点物体运动到最高点时速度为零圆形磁场区的半径最小磁场区是以公共弦为直径的圆使通电导线倾斜导轨上静止的最小磁感强度安培力平行于斜面两个物体的距离最近（远）速度相等绳系小球摆动，绳碰到（离开）钉子圆运动半径变化，拉力骤变刚好发生（不发生）全反射入射角等于临界角总之，解决物理临界问题要仔细题目，搞清已知条件，判断出临界状态的条件，才能解决问题。
二、例题分析1．中国女排享誉世界排坛，曾经取得辉煌的成就。
在某次比赛中，我国女排名将冯坤将排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD。
已知网高为h，球场的长度为s，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为( )A．H＝43h B．H＝32h C．v＝s3h3gh D．v＝s4h6gh解析：选AD 由平抛知识可知12gt2＝H，H－h＝12g(t2)2得H＝43h，A正确，B错误。
由vt＝s，得v＝s4h6gh，D正确，C错误。
2．如图所示，小车内有一质量为m的物块，一根弹簧与小车和物块相连，处于压缩状态且在弹性限度内。
弹簧的劲度系数为k，形变量为x，物块和小车之间的动摩擦因数为μ。
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动过程中，物块和小车始终保持相对静止。
探析高中物理力学中的临界与极值问题
中学物理 Vol . 39 No . 03 2021年2月•解题指南•採析高中物理汐学中的临界与权值问题邓贤彬(四川省资中县教研室四川资中641200)摘要：临界与极值问题是高中物理中最难、最重要的知识，例举若干例题从极值问题的产生原因、情景过程和数 学手段等方面加以分析.关键词：力学；临界与极值问题；例析中图分类号:G 633.7文献标识码：B临界和极值问题，是高中物理中最重要、最典型 的一类问题,也是学生学习物理中最头痛的问题.这 类问题，往往因过程、情景复杂，条件隐藏较深，数学 技巧要求高，经常成为高考考查学生综合能力的重要切入点.学生遇到这类问题，往往不知如何下手，得分 率较低.本文尝试从此类问题的产生原因、情景过程、 数学手段等方面进行归类研究.1追及问题的临界和极值问题 1.1物理情景分析假设甲、乙两物体在同一直线上向同一方向运 动，且甲在后面追乙.两物体相对位置变化的原因和 两物体的速度关系见表1.表1速度条件位置关系能否相遇”甲 >以乙甲乙两物体间距离越来越小能V 甲乙甲乙两物体间距离保持不变两物体相距最近或者最远甲乙两物体间距离越来越大不能结论:速度是两物体相对位置变化的根本原因， 是追及问题中的关键条件，速度相等是两物体追得 上、追不上或者刚好追上的临界条件.1.2 分析技巧1.2. 1—个临界条件二者速度相等，它既是物体能否追上、追不上或 者刚好追上的临界条件，也是物体间相距最近或者最 远的条件.1.2.2两个等量关系时间关系和位移关系，利用这两个关系可以列方 程或者方程组求解.1.3 常用数学方法1.3. 1图像法画出两物体的《图像，利用两图像的交点和所文章编号：1008 - 4134(2021)03 - 0057 - 03围成图形的“面积”判断.1.3.2数学极值法设相遇时间为^根据条件列方程,得到关于位移 *与时间《的函数关系，由此判断两物体的追及或相 遇情况，并求出最大值或者最小值.例题1在平直的公路上，一辆小汽车在路口等待交通灯，绿灯亮时一辆道路维护车在前方以= 10m /S 的速度匀速前进，小汽车立即以a , =2m /s 2的 加速度启动,启动时，两车相距％ =75m .求：（1)汽车启动后经过多长时间从道路维护车 旁边经过？(2)相遇前两车相距的最远距离是多少？解析：图像法：(1)由条件知：当|x 2 x 彳=10f , + 75时，两物体相遇，即q = 15s .(2)由图1，当《 =5s 时两物体速度相等，且相距最远•最远距离10 x 5 +75 = 100m .数学极值法：(1)设经过 <,时间小汽车和维护车相遇，由位移关系7[守丨+ X 。
力学中的临界值问题
力学中的临界值问题 一、临界状态 何谓临界状态？当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。
与之相关的物理条件则称为临界条件。
二、临界问题特点 许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界值问题给出了明确的暗示，所以临界值问题往往也是极值问题。
三、解决临界问题的基本思路 1．分析临界状态 一般采用极端分析法，即把问题中的物理量推向极值，就会暴露出物理过程，常见的有A．发生相对滑动；B．绳子绷直；C．与接触面脱离。
所谓临界状态一般是即将要发生质变时的状态，也是未发生质变时的状态。
此时物体所处的运动状态常见的有：A．平衡状态；B．匀变速运动；C．圆周运动等。
2．找出临界条件 上述临界状态其对应临界条件是： （1）相对滑动与相对静止的临界条件是静摩擦力达最大值； （2）绳子松弛的临界条件是绳中拉力为零； （3）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是相互作用的弹力为零。
3．列出状态方程 将临界条件代到状态方程中，得出临界条件下的状态方程。
4．联立方程求解 有些临界问题单独临界条件下的状态方程不能解决问题，则需结合其他规律联立方程求解。
例1．半径为R的光滑球面固定在水平面上，一小球由顶端开始无初速释放，则小球在球面上能滑行多远？ 解析：（1）把问题中的物理量滑动路程S推向极大，则小球会脱离球面，临界状态仍为没有脱离时的圆周运动，其对应临界条件为，小球受力如图2所示，设脱离时与竖直方向的夹角为，则其临界条件下的状态方程为 例2．有一小甲虫，在半径为R的半球碗中向上爬行，设虫足与碗壁的动摩擦因数，试问它能爬到的最高点离碗底多高？ 解析：（1）把问题中的物理量距碗底高度h推向极大，则小甲虫会与碗壁发生相对滑动，此时其状态仍为没有发生相对滑动时的平衡状态，对应的临界条件为达到最大静摩擦，小甲虫受力如图3所示，设脱离时与竖直方向的夹角为，则其临界条件下状态方程为 例3．如图3所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为的斜面体上，斜面质量为，斜面与物块间的动摩擦因数为，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。
约束问题与临界值问题例析
约束问题与临界值问题例析在物理习题中，经常出现某些物理变化在一定的约束条件限制下进行.这种限制物理变化的约束条件常可分为明约束和隐约束.原题中已经给出约束条件的，叫明约束；原题中没有直接给出约束条件，需分析推理后，才能找到的约束，叫隐约束.现行高中物理教材的各种版本中，虽都未曾提及“约束”两字，但实际上存在大量的有关约束问题的习题，在高考中也屡见不鲜，以下举例分析.一、有关约束问题如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束.那么该曲线或曲面就称为约束.例：如图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体ab被限制在导电滑轨MN上运动等等，都属于约束问题.图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束.由此可以看出，约束既可以是实在的物体，也可以是某些物体对别的物体运动限制作用的抽象.约束的分类随依据不同而异.按约束随时间改变与否，可分为稳定约束与不稳定约束.例如图2中，如果斜面体是固定的，则称为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜面体本身也做加速运动，则称为不稳定约束.按其约束的方向来分，可分为单向约束和多向约束.如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，则称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束.从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束.力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力.例如图1中绳子对小球的拉力，图2中斜面对物体的支持力等等都叫作约束反力.由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含义上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力.例1 （2012年高考理综全国卷第26题）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状.此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面，如图5所示.以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=，探险队员的质量为m. 人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.（1）求此人落到坡面时的动能；（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？解法1 （1）由平抛运动规律得：x=v0t，2h-y=gt2，又y=x2，联立解得y=. 由动能定理，mg（2h-y）=Ek-m，解得Ek=m（2h-）+m=m（+）.（2）Ek=m（+）=m（++gh-gh）.当++gh最小，即v0=时，他落在坡面时的动能最小.解法2 （1）设探险队员跳到坡面上时水平位移为x，竖直位移为H，由平抛运动规律有：x=v0t，H=gt2，整个过程中，由动能定理可得：mgH=Ek-m. 由几何关系，y=2h-H，坡面的抛物线方程y=x2，解以上各式得：Ek=m+.（2）由Ek=m+，令=ngh，则Ek=mgh+=mgh（+），当n=1时，即=gh，探险队员的动能最小，最小值为Ekmin=，v0=.本题是典型的约束与临界值问题，主要考查平抛运动和动能定理的应用，以及函数最值的计算，意在考查考生的综合分析及数学计算能力.二、单向约束解除的可能性，即临界值问题所谓“临界状态”就是指物理现象发生质的飞跃的转折状态.与这种状态相关的一些物理量的值，通常叫临界值.临界值常具有隐含性，不仔细分析、确定，就会造成解题失误.因此在解题中寻找、确定临界值至关重要.物理临界问题虽然在考试说明中没有明确提出，但近几年来高考的物理试题中较频繁出现.对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动，通常有两类：一类是具有明显临界点，另一类是临界点不易发现.如果约束对物体的限制是单侧的，即它只限制物体不得从某一侧脱离约束，但却允许物体从另一侧脱离，在这类约束中，约束反力也是单侧的.对于这种单侧约束，应当注意约束解除的可能性.约束解除问题也称临界值问题.在具体问题中，何时解除约束，往往不能预先知道.为了找出约束解除的时刻（或位置）即临界值状态，常用的方法是：先假定物体不脱离约束、将假设的约束反力代入牛顿运动方程中求解，解出约束反力的表达式后，令其约束反力等于零（这就意味着约束解除），由此可求出相应的时刻或位置.例2 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ为30°（图6），一条长度为L的绳（质量不计）一端固定在圆锥体的顶点A处，另一端系着一质量为m的小物体（小物体可看作质点），物体以速度v绕着圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动（物体和绳在附图中都没画出）.求（1）当v=时，绳对物体的拉力.（2）当v=时，绳对物体的拉力.解析设v=物体是贴着锥面做匀速圆周运动的，物体不仅受绳的力，而且同时受到锥面的力.受力如图7所示.沿圆周运动的法向和切向建立直角坐标系，根据牛顿运动定律的方程得Tsin30°-Nsin30°=m ①30°+Tcos30°=mg ②解得N=mgsin30°-=mg-mg=mg（3-）T=mgcos30°+mg=（2+1）mg.N为正值说明N的方向与假设相符合.（2）当N=0时，斜面对物体的约束解除，物体处于临界状态，设此时速度为v0，Tsin30°= ①Tcos30°=mg ②==Lg，解得v0=.由于>，面做圆锥摆运动.设绳与竖直夹角为α，受力如图8所示，那么T′sinα= ①T′cosα=mg ②解得T′=2mg α= 45°本题中，无论v为何值，绳子的约束是不能解除的.物理中不同的临界情况对应着不同的临界条件（详见表1）.总之，解决物理临界问题要综合运用动量守恒定律、机械能守恒定律、动能定理、功能关系等知识，高考物理临界问题的考查往往比较复杂，必须仔细审题，搞清已知条件，判断出临界状态的条件，才能解决问题.。
高中物理-动力学中的临界问题
动力学中的临界问题1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件。
用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。
2．临界或极值条件的标志（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在着临界点；（2）若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；（3）若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；（4）若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度。
3．产生临界问题的条件（1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N=0。
（2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。
（3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T=0。
（4）加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度。
当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值。
例1：如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F 向上拉B，运动距离h时，B与A分离，下列说法正确的是( )A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长B．B和A刚分离时，它们的加速度为gC．弹簧的劲度系数等于mg hD．在B和A分离前，它们做匀加速直线运动例2：如图所示，质量为m =1 kg 的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上，斜面体质量为M=2 kg ，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ=0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F ，要使物块m 相对斜面静止，试确定推力F 的取值范围。
高中物理临界问题
高中物理临界问题物理学中的临界问题是指当某个物理量达到某个特定值时，系统发生突变或产生显著变化的现象。
在高中物理中，临界问题是一个重要的概念，涉及到多个物理学领域。
本文将以高中物理临界问题为标题，探讨其中的几个典型问题及其应用。
一、临界角问题在光学中，临界角是指光线从光密介质射向光疏介质时，入射角的临界值。
当入射角大于临界角时，光线将发生全反射现象。
这个现象在我们的日常生活中也比较常见，比如当我们在水中看向水面时，水面上的景物会发生全反射，我们无法看清水面下的东西。
临界角的计算公式为：sinθc = n2 / n1，其中θc为临界角，n1和n2分别为光的入射介质和出射介质的折射率。
临界角问题常常涉及到计算临界角的大小，或者给定入射角，判断是否发生全反射。
二、临界频率问题在电磁学中，临界频率是指当光照射到金属表面时，金属中的自由电子能够吸收光子的最低频率。
当光的频率大于临界频率时，金属才能吸收光能，并产生光电效应。
这个现象在光电池、光电二极管等光电器件中都有广泛应用。
临界频率与光的波长和普朗克常数有关，计算公式为：f = (φ - W)/ h，其中f为临界频率，φ为光的频率，W为金属的逸出功，h为普朗克常数。
三、临界温度问题在热学中，临界温度是指物质在一定压强下，从液体相转变为气体相所需要的最低温度。
当温度高于临界温度时，物质将不再存在液体相，而是呈现为气体相。
这个现象在液化气的储存和运输中有很大的实际应用。
临界温度与物质的性质有关，不同物质的临界温度不同。
例如，水的临界温度为374摄氏度，而二氧化碳的临界温度为31摄氏度。
在实际问题中，临界温度问题常常涉及到计算物质的临界温度，或者给定温度和压强，判断物质处于液体相还是气体相。
四、临界质量问题在核物理中，临界质量是指能够维持核链式反应的最低质量。
当核反应堆中的裂变物质质量超过临界质量时，核链式反应将发生，释放出大量的能量。
这个现象在核电站中得到了广泛应用。
高中物理中的临界与极值问题
有关“物理”的临界与极值问题高中物理中的临界与极值问题涉及到多个知识点，包括牛顿第二定律、圆周运动、动量守恒等。
有关“物理”的临界与极值问题如下：1.牛顿第二定律与临界问题：●牛顿第二定律描述了物体的加速度与合外力之间的关系。
当物体受到的合外力为零时，物体处于平衡状态。
●在某些情况下，物体受到的合外力不为零，但物体仍然处于平衡状态，这是因为物体受到的合外力恰好等于某个临界值。
这种状态被称为“临界平衡”。
●在解决与临界平衡相关的问题时，通常需要考虑物体的平衡条件和牛顿第二定律。
通过分析物体的受力情况，可以确定物体是否处于临界平衡状态，以及需要施加多大的力才能使物体离开临界平衡状态。
2.圆周运动中的极值问题：●圆周运动中的极值问题通常涉及向心加速度和线速度的最大值和最小值。
●当物体在圆周运动中达到最大速度时，其向心加速度最小。
此时，物体的线速度最大，而向心加速度为零。
●当物体在圆周运动中达到最小速度时，其向心加速度最大。
此时，物体的线速度最小，而向心加速度为最大值。
●在解决与圆周运动中的极值问题相关的问题时，通常需要考虑向心加速度和线速度之间的关系，以及如何通过分析物体的受力情况来确定其最大速度和最小速度。
3.动量守恒与极值问题：●动量守恒定律描述了系统在不受外力作用的情况下，系统内各物体的动量之和保持不变。
●在某些情况下，系统受到的外力不为零，但系统仍然保持动量守恒。
这是因为系统受到的外力恰好等于某个临界值。
这种状态被称为“临界动量守恒”。
在解决与临界动量守恒相关的问题时，通常需要考虑系统的动量守恒条件和外力的作用。
通过分析系统的受力情况，可以确定系统是否处于临界动量守恒状态，以及需要施加多大的外力才能使系统离开临界动量守恒状态。
高中物理约束问题与临界值
高中物理约束问题与临界值现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束咨询题。
然而，有关约束咨询题的习题却许多，确实是在高考中也常显现这类题型。
至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜，并常以拔高题显现。
下面拟就中学物理中有关约束咨询题，作一浅析。
1．有关约束咨询题的差不多概念假如某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就讲该物体的运动受到约束。
那么该曲线或曲面就称为约束。
例如图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿〔光滑或粗糙的〕斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体ab被限制在导电滑轨M N上运动等等，都属于约束咨询题。
图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束。
由此能够看出，约束既是实在的物体，又是某些物体对不的物体运动限制作用的抽象。
约束的分类随依据不同而异。
按约束随时刻改变与否，可分为稳固约束与不稳固约束。
例如图2中，假如斜面体是固定的，那么称为稳固约束，假如斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜面体本身也作加速运动，那么称为不稳固约束。
按其约束的方一直分，可分为单向约束和多向约束。
如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，那么称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束。
从约束的光滑情形来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束。
力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。
例如图1中绳子对小球的拉力，图2中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。
由上述定义能够看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含意上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且差不多上约束对研究物体的作用力。
2．约束反力的求解约束反力的大小及其变化情形，往往不能预先明白，也不是都能由平稳条件运算出来的，而需要依照物体的运动被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。
[例1]一质量为m的小球，与长为l的细绳组成一单摆。
现将此单摆拉到与竖直线成α角的位置，由静止开释，在摆动途中，摆绳被一钉子A所阻，钉子与摆的悬挂点o相距r，两者连线与竖直线成β角。
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2010物理学科高考总复习----约束问题与临界值问题专题现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束问题。
然而，有关约束问题的习题却不少，就是在高考中也常出现这类题型。
至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜，并常以拔高题出现。
下面拟就中学物理中有关约束问题，作一浅析。
1．有关约束问题的基本概念如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束。
那么该曲线或曲面就称为约束。
例如图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体m被限制在斜面上运动；图3中导体ab被限制在导电滑轨M N上运动等等，都属于约束问题。
图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束。
由此可以看出，约束既是实在的物体，又是某些物体对别的物体运动限制作用的抽象。
约束的分类随依据不同而异。
按约束随时间改变与否，可分为稳定约束与不稳定约束。
例如图2中，如果斜面体是固定的，则称为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜面体本身也作加速运动，则称为不稳定约束。
按其约束的方向来分，可分为单向约束和多向约束。
如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，则称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束。
从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束。
力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。
例如图1中绳子对小球的拉力，图2中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。
由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含意上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力。
2．约束反力的求解约束反力的大小及其变化情况，往往不能预先知道，也不是都能由平衡条件计算出来的，而需要根据物体的运动被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。
[例1]一质量为m的小球，与长为l的细绳组成一单摆。
现将此单摆拉到与竖直线成α角的位置，由静止释放，在摆动途中，摆绳被一钉子A所阻，钉子与摆的悬挂点o相距r，两者连线与竖直线成β角。
如图5所示。
试求：（1）摆绳为钉子所阻后，绳子张力的表达式。
（2）小球在继续上升的过程中，若摆绳发生弯曲，在此情况下，L、r、β、α之间的关系。
[解析]（1）小球从开始摆动到摆绳发生弯曲之间，都属于单向约束问题。
小球摆到图示位置B时，是以钉子A为圆心的，以L—r为半径的圆周运动。
设绳子对小球的约束反力为T，AB线与竖直夹角为θ，由机械能守恒定律得由牛顿运动定律得此时法向方向方程式（1）、（2）联立解得（2）若绳子发生弯曲，则T=0，意味着约束解除，由此条件求得1＜cosθ＜0即由此得出的L，r，α，β应满足的条件为3（L-r）＜-2（rcosβ-Lcosα）＜0即3．双向约束问题中约束反力的转换如果约束从两侧限制物体的运动，则约束反力的方向是可能发生改变的，这一点可以通过下面的例子看出。
[例2]用细线把质量为M的大圆环挂起来，环上套有两个质量均为m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动。
若两小环同时从大环顶部由则大环会升起来。
并求大环开始上升时小环位置θ为多少？[解析]此题中小环受到双向约束。
设细线张力为T，小环与大环间相互作用力为N（即约束反力），小球滑到位置θ角时的速度为v。
则由式（1）、（2）可解得约束反力N=mg（3cosθ-2）变方向。
小环对大环的反作用力将可以提供向上的分力，从而可能使大环升起。
对大环：T=Mg＋2Ncosθ（3）当大环升起时，绳子张力T=0，（绳对大环的约束解除）∴T=Mg+2Ncosθ=Mg+2mg（3cosθ-2）cosθ=06mcos2θ-4mcosθ+M=0cosθ有解，此时小环的位置用θ角表示为4.有摩擦力的约束中的区间问题约束反力在约束（曲线或曲面）的垂直方向（法向），如果有摩擦存在，它却在约束的切线方向。
因此在研究有摩擦的约束问题时，先要根据物体有几个可能的运动方向，确定相应的摩擦力的方向。
最常见的情况是存在两种可能的运动方向，故而摩擦力的方向也就有两种可能取向。
因此，在运用牛顿运动定律列方程时，也将会出现两组，这就导致某些相关量参数有一变化区间。
[例3]有一顶角为60°的锥形容器，在距顶点o为L=1.0m处有一质量m=1.0kg的小物体，让物体m与容器一起绕通过o点的竖直轴线作匀速转动（见图7）。
（1）若ω1=5rad/ s，则摩擦因数μ至少应为多大才能实现这一情况？（2）若ω2=8rad/s时，μ应为多大才能实现这一情况？[解析]（1）先假设物体有向下滑动的趋势，则摩擦力将沿斜面向上，物体受力如图8所示，沿圆周的切向和法向建立直角坐标系，则牛顿运动定律方程为解得N＝mgsinθ+mω2Lsinθcosθ=15.8（N）f=mgcosθ－mω2Lsin2θ=2.41（N）f＞0，说明方向上与假设相符。
（2）由f=mgcosθ-mω2－mω2Lsin2θ可知当f = 0时，w有一个临界角速度ω0存在。
由此得mgcosθ=mω2Lsin2θ即当ω＜ω0时，有下滑的趋势，摩擦力向上；当ω＞ω0时，有上滑趋势，摩擦力向下。
ω2=8rad/s＞ω0，故f向下，受力如图9所示。
牛顿运动定律方程Ncosθ+fsinθ=ω2mLsinθNsinθ=mg+fcosθ解得∴μ2= f / N=7.34/32.7=0.22本题中，如果μ是恒定的，则要使m在确定的高度与锥形容器一起作圆周运动，则角速度ω必有一个变化范围，即当ω＜ω0时，有下滑趋势，f向上，相应建立牛顿运动方程求出ω的最小值ωmax；当ω＞ω0时，有上滑趋势，f向下，相应建立牛顿运动方程，求出ω的最大值ωmax，则ω的变化范围是ωmin＜ω＜ωmax。
5.单向约束解除的可能性（临界值问题）如果约束对物体的限制是单侧的，即它只限制物体不得从某一侧脱离约束，但却允许物体从另一侧脱离，在这类约束中，约束反力也是单侧的。
对于这种单侧约束，应当注意约束解除的可能性。
如在例1中，θ角在0°～90°的范围内是不会解除约束的，当其α角足够大，小球摆动，使θ角＞90°，才可能向内作抛体运动，即约束解除有可能。
如θ=180°，而小球仍没有离开圆周，则以后再也不可能离开圆周了。
所以约束解除的范围只能在90°＜θ＜180°。
如果α角大到可以使小球能以A为圆心，L—r为半径作圆周运动，则小球的单向约束将不能被解除。
约束解除问题也称临界值问题。
在具体问题中，何时解除约束，往往不能预先知道。
为了找出约束解除的时刻（或位置）即临界值状态，常用的方法是：先假定物体不脱离约束、将假设的约束反力代入牛顿运动方程中求解，解出约束反力的表达式后，令其约束反力等于零（这就意味着约束解除），由此可求出相应的时刻（或位置）。
[例4]（83年高考题）一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°（图示10），一条长度为L的绳（质量不计）一端固定在圆锥体的顶点A处，另一端系着一质量为m的小物体（小物体可看作质点），物体以速度v绕着圆锥体的轴线作水平匀速圆周运动（物体和绳在附图中都没画出）。
求运动的，物体不仅受绳的力，而且同时受到锥面的力。
受力如图11所示。
沿圆周运动的法向和切向建立直角坐标系，根据牛顿运动定律的方程得Nsin30°+Tcos30°=mg （2）解得N为正值说明N的方向与假设相符合。
（2）当N=0时，斜面对物体的约束解除物体处于临界状态，设此时速度为v0，那么Tcos30°=mg（2）解得面做圆锥摆运动。
设绳与竖直夹角为α，受力如图12所示，那么解得T'=2mgα= 45°本题中，无论v为何值，绳子的约束是不能解除的。
下面两例也是临界问题[例5]光滑的斜面上用绳拴一质量为m的小球，如图13所示。
当斜求绳上张力分别是多大？[解析]当加速度较小时，小球是压在斜面上的，小球受重力G、支持力N和张力T三个力的作用，受力如图14所示。
当加速度很大时，小球将飘离斜面，此时小球只受重力G和张力T'的作用，受力如图15所示。
为准确判断是属于哪一种情况，必须以小球压在斜面上还是飘离斜面为界，求出其制约参量加速度的临界值a0。
当a＜a0时，小球压在斜面上，且有支持力存在。
当a＞a0时，小球飘离斜面，当然也就没有支持力存在了。
因此解这类问题时，可以先求出临界加速度小球将要飘离斜面时，N=0，但绳子与斜面仍然平行。
受力如图15所示，其运动方程为Tcos45°=ma0（1）Tsin45°=mg （2）联立式（1）、（2）解出a0=g此时小球受力如图14所示。
其运动方程为Tsin45°+Ncos45°=mg（4）力如图15所示。
此时绳与斜面已不再平行，设这时绳与水平方向的夹角为α，其运动方程为T′sinα= mg（6）[例6]一支圆柱形的玻璃管，质量为20g，密度为2g/cm3，高12cm，容积为20cm3。
它的一端封闭，一端开口。
现将其开口端竖直向下压入水中，在下压过程中管内的空气不跑出，且温度保持不变。
求，当将管口压入水中H1=4m和H2=14m深处时，放手后管将如何运动？[解析]设管口压入某一深度H0时，放手后管处于平衡状态。
这时管内空气的体积为V2，管内液面与管口的距离为h2，与水面的距离为h1，如图16所示。
设玻璃管的体积为V3，以系统为对象，由平衡条件（忽略管内空气的重力）：mg=（V3+V2）ρ水g （1）代入（1）式解得V2=10g/cm3再以管内封闭的空气为研究对象，取压入水中前为状态1，玻璃管平衡时为状态2，由玻意耳定律有：P1V1=P2V2（2）∵P2=P1+P水P水=P2-P1=1×105（Pa）∴P水=ρ水gh1h1=10(m)这是一种不稳定平衡，当压入的深度H1=4m＜H0时，浮力大于重力，玻璃管将会变加速上浮；当H2=14m＞H0时，浮力小于重力，玻璃管将变加速下沉。
H0是以玻璃管上浮或下沉为界时制约参量水的深度的临界值。
[例7]如图17所示，一质量为m的小球，带正电荷Q，固定在绝缘细绳oA的B点，oB = r，A端套在以o为圆心，R为半径的光滑圆环上。
整个系统同处在光滑绝缘的水平面上，且平面所在的区域具有强度为B方向竖直向上的匀强磁场。
当A、B绕o以匀角速ω在水平面上顺时针旋转时，试讨论AB和oB两段绳的张力大小和方向。
[解析]设当ω=0时，两段绳刚好伸直且张力都为零，而且绳子只能有张力不可能有压力。
小球在作圆周运动时，可能受到任一段绳子的张力，令这个张力为T，规定沿半径指向圆心的为正。