研究生流体力学第4章-求解
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1 2
U gL
1 2
体现了重力对流动的影响，作为 明渠等有自由表面系统相似判据
（3）欧拉数：
Eu
p0 U 2
1 p 压强梯度力 x [ Eu] 惯性力 u u x x x
STAR—CD软件 STAR—CD是全球第一个采用完全非结构化网格技术和有限体 积方法来研究上业领域中复杂流动的流体分析商用软件包， 是由英 Computational Dynamics Ltd．公司推出 ，软件 名称是由Simulation of turbulent flow in Arbitrary Regions在加上公司名称Computational Dynamics的缩写 组合而成。 CFX软件是CFD领域的重要软件平台之一，在欧洲适用广泛。 FIDAP软件 这是英语Fluid Dynamics Analysis Package 的缩 ，系 第一个使用有限法的CFD软件．
ui ui 2ui 1 pd uj v t x j xi x j x j
ps : 静力压强 p ps pd 力压强） pd：静力压强修正值（动
自由表面系统、分层流不能吸收
4.2 不可压缩粘性流动的无量纲数
1.流动相似 两个流动相似必须满足几何相似、运动相似、动 力相似及热力相似。
•
N-S方程组中，重力项吸收（封闭系统）
ui ui 2ui h 1 p uj g v t x j xi xi x j x j
h 1 p 1 其中 g ( gh p ) xi xi xi 1 1 pd ( gh ps pd ) xi xi
p L p 2 2 U U L
体现了压力对流动的影响
（4）雷诺数：
Re
UL
u x ux 惯性力 x [Re] 2 粘性力 u x x 2
1. 完整的方程组 矢量形式 u
t u 0
1 2 (u )u f p v u
张量形式
ui ui 2 ui 1 p uj fi v t x j xi x j x j ui 0 xi
2. 定解条件
（1）初始条件（非恒定问题） 给出初始时刻的速度场及压强场
u x U [u x ] [U ] UL x L [Re] [ ] 2 U ux [ ] [ ] 2 L2 x
(a)小雷诺数绕流（蠕动流—即惯性力<<粘性力） 惯性力全部忽略—Stokes解 Re 1 D 6 aV 惯性力部分忽略—Oseen 解 Re 2
u x u u u ux x u y x uz x t x y z
• 线性方程就是指方程中未知数的次数是一 次的多项式方程,非线性方程是指方程中未 知数的次数高于一次的方程.
比如一微分方程，系数是常数，就是线性。
3. 主要解法 （1）层流精确解 （2）近似解
根据雷诺数分类 雷诺数=惯性力/粘性力
u x u x ux U 线性化 x x
(b)大雷诺数绕流—即惯性力>>粘性力 如果粘性力全部忽略—Euler 解
1 u (u )u f p t u 0
ui ui 1 p uj fi t x j xi ui 0 xi
（6）马赫数：
U Ma c
当地流速 U [ Ma] 声速 c
4. 相似准则 当两种流动的无量纲数及定界条件相同时 （动力相似），则方程组给出相同的解。
U ui U 2 ui h p0 p U 2ui u j g v 2 t0 t L x j xi L xi L x j x j ui 0 xi
两边除以 U2/ L（迁移惯性力）得无量纲N-S方程：
2 u p ui L ui gL h p v i 0 u j 2 2 Ut 0 t x U x U x UL x x j i i j j
SIMPLE算法的计算步骤：
(猜测-修正) （1） 假定一个速度分布u0,v0，以此计算动量离散方 程中的系数及常数项； （2） 假设一个压力场p* ； （3） 利用p*依次求解动量方程得u*,v* ； （4） 对压力加以修正得p’ (u*,v*满足连续性方程)； （5） 据p’, u*,v* 改进速度值u0,v0 ； （6） 利用改进后的速度场求解那些通过源项物性等与 速度场耦合的变量，如果 变量并不影响流场， 则应在速度场收敛后再求解； （7） 利用利用改进后的速度场重新计算动量离散方程 的系数，并利用改进后的压力场作为下一层次迭 代计算的初值。 重复上述步骤，直到获得收敛的解。
几何相似：两个系统相应的几何尺寸成比例。 运动相似：几何相似的两个流动的时空对应点上的运动 要素相似。 动力相似：两个运动相似流动的时空对应点上 受力相似。 （重力，粘性力，压力，惯性力等） 热力相似：两个动力相似流动的时空对应点上温度相似。
2.无量纲N-S方程 流动满足动力相似的判据可由量纲相似原理或无 量纲方程推求得出。
u u ( x, y , z , t 0 ) p p ( x, y , z , t 0 )
（2）边界条件
边界条件（结合具体问题确定） (a)对于固体壁面
u uw
法向un uw n不可入 切向ut uwt 无滑移
பைடு நூலகம்壁面静止
法向un 0不可入 切向ut 0无滑移
U2 L UL U 2 L
体现了粘性力对流动的影响，作为封闭系 统、潜体等系统相似判据
（5）韦伯数：
U 2 L We
2 u x 3 U 3 u L L U 2 L L 惯性力（总质量） x x [We ] 表面张力 L L
(4)实验解法
• SIMPLE算法: “Semi-Implicit Method for PressureLinked Equations”，是求解压力耦合的质 量/动量/能量传递方程的半隐式方法。
自从S.V.Patankar(帕坦卡)和 D.B.Spalding(斯伯丁)于1972年提出SIMPLE算法 后，它实际上已经成为许多工程流动、传热以及 反应体系的数值模拟的最重要的方法。许多商业 CFD软件，如cfx与fluent,其核心也都基于SIMPLE 算法。
4. N-S方程组中，重力项的特殊处理 质量力只有重力作用下的N-S方程组
f i xi
gh
h fi g xi
ui ui 2 ui h 1 p uj g v t x j x i xi x j x j ui 0 xi
或
L 滞留时间 U L [ St ] 特征时间 t Ut
对于非定常问题需引入
（2）弗劳德数：
Fr
U gl
1 2 2
U u u L x 惯性力 [ Fr ] 重力 g g
(b)对于两种不相混流动的分界面（两种液体） 运动学边界条件: 界面速度相等 动力学边界条件:
法向u nl1 u nl 2 切向utl 1 utl 2
法向 nnl 1 nnl 2 切向 ntl 1 ntl 2
应力相等
(c)对于两种不相混流动的分界面（液体和气体）
运动学边界条件: 切向速度不等
第4章
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
均质不可压缩流体的运动
完整的方程组及求解的一般分析 不可压缩粘性流动的无量纲数 恒定层流平行直线运动 （精确解） 恒定同心圆流动 （层流精确解） 线性化的蠕动流（小雷诺数近似解） 无粘性流动 （大雷诺数近似解）
4.1 完整的方程组及求解的一般分析
PHOENICS软件 PHOENICS是世界上第一个投放市场的CFD商用软件(1981)，可以 箅是CFD商用软件的鼻祖。这一软件中所采用的一些基本算法， 如SIMPLE方法、混合格式等。正足由该软件的创始人 DBSpalding及其合作者SVPatmLkar等所提出的。
FLUENT软件 FLUENT软件针对每一种流动的物理问题的特点，采用时也使它 的数值解法在计算速度、稳定性和精度方面达到最佳。可以计 算流场、传热和化学反应。其思想实际上就是做很多模块，这 样只要判断是哪一种流场和辩解就可以拿已有的模型来计算。
2 ui u ui 1 h p 1 i St u Eu j 2 t x Fr x x Re x x j i i j j
3. 无量纲数的物理意义 （1）斯特劳哈数：
L St Ut 0
u U 局地惯性力 t t L [ St ] 2 迁移惯性力 u u U Ut x L
ui ui 2 ui h 1 p uj g v t x j x i xi x j x j ui 0 xi
定义无量纲量：
xi ui
xi L ui U
h p
h d (d ) L L p p0
t
t t0
式中 L 、U、t0、 p0 为特征量
法向unl1 ung 2 切向utl 1 utg 2
动力学边界条件:（液体） 切向应力为零
法向 nnl p 切向 ntl 0
2u x 2u x 2u x 1 p X v( 2 2 2 ), x x y z u y u y u y u y ux uy uz t x y z 理论上，N — S方程 2 2 2 u u uy 1 p 组可解 y y Y v( 2 2 2 ), y x y z 求解困难：二阶、非 线性、偏微分方程组 u z u z u z u z ux uy uz t x y z 1 p 2u z 2u z 2u z Z v( 2 2 2 ), x x y z u x u y u z 0 x y z
边界条件不符：理想流体 —不可入有滑移 实际流体 —不可入无滑移 阻力规律不符：理想流体 —无阻力无升力 流型不符：理想流体流型—上下左右对称 需引入边界层概念求解
(3)数值解法 CFD(Computational Fluid Dynamics)软件 是计算流体力学软件的简称，是用来进行 流场分析、计算、预测的专用工具。
U gL
1 2
体现了重力对流动的影响，作为 明渠等有自由表面系统相似判据
（3）欧拉数：
Eu
p0 U 2
1 p 压强梯度力 x [ Eu] 惯性力 u u x x x
STAR—CD软件 STAR—CD是全球第一个采用完全非结构化网格技术和有限体 积方法来研究上业领域中复杂流动的流体分析商用软件包， 是由英 Computational Dynamics Ltd．公司推出 ，软件 名称是由Simulation of turbulent flow in Arbitrary Regions在加上公司名称Computational Dynamics的缩写 组合而成。 CFX软件是CFD领域的重要软件平台之一，在欧洲适用广泛。 FIDAP软件 这是英语Fluid Dynamics Analysis Package 的缩 ，系 第一个使用有限法的CFD软件．
ui ui 2ui 1 pd uj v t x j xi x j x j
ps : 静力压强 p ps pd 力压强） pd：静力压强修正值（动
自由表面系统、分层流不能吸收
4.2 不可压缩粘性流动的无量纲数
1.流动相似 两个流动相似必须满足几何相似、运动相似、动 力相似及热力相似。
•
N-S方程组中，重力项吸收（封闭系统）
ui ui 2ui h 1 p uj g v t x j xi xi x j x j
h 1 p 1 其中 g ( gh p ) xi xi xi 1 1 pd ( gh ps pd ) xi xi
p L p 2 2 U U L
体现了压力对流动的影响
（4）雷诺数：
Re
UL
u x ux 惯性力 x [Re] 2 粘性力 u x x 2
1. 完整的方程组 矢量形式 u
t u 0
1 2 (u )u f p v u
张量形式
ui ui 2 ui 1 p uj fi v t x j xi x j x j ui 0 xi
2. 定解条件
（1）初始条件（非恒定问题） 给出初始时刻的速度场及压强场
u x U [u x ] [U ] UL x L [Re] [ ] 2 U ux [ ] [ ] 2 L2 x
(a)小雷诺数绕流（蠕动流—即惯性力<<粘性力） 惯性力全部忽略—Stokes解 Re 1 D 6 aV 惯性力部分忽略—Oseen 解 Re 2
u x u u u ux x u y x uz x t x y z
• 线性方程就是指方程中未知数的次数是一 次的多项式方程,非线性方程是指方程中未 知数的次数高于一次的方程.
比如一微分方程，系数是常数，就是线性。
3. 主要解法 （1）层流精确解 （2）近似解
根据雷诺数分类 雷诺数=惯性力/粘性力
u x u x ux U 线性化 x x
(b)大雷诺数绕流—即惯性力>>粘性力 如果粘性力全部忽略—Euler 解
1 u (u )u f p t u 0
ui ui 1 p uj fi t x j xi ui 0 xi
（6）马赫数：
U Ma c
当地流速 U [ Ma] 声速 c
4. 相似准则 当两种流动的无量纲数及定界条件相同时 （动力相似），则方程组给出相同的解。
U ui U 2 ui h p0 p U 2ui u j g v 2 t0 t L x j xi L xi L x j x j ui 0 xi
两边除以 U2/ L（迁移惯性力）得无量纲N-S方程：
2 u p ui L ui gL h p v i 0 u j 2 2 Ut 0 t x U x U x UL x x j i i j j
SIMPLE算法的计算步骤：
(猜测-修正) （1） 假定一个速度分布u0,v0，以此计算动量离散方 程中的系数及常数项； （2） 假设一个压力场p* ； （3） 利用p*依次求解动量方程得u*,v* ； （4） 对压力加以修正得p’ (u*,v*满足连续性方程)； （5） 据p’, u*,v* 改进速度值u0,v0 ； （6） 利用改进后的速度场求解那些通过源项物性等与 速度场耦合的变量，如果 变量并不影响流场， 则应在速度场收敛后再求解； （7） 利用利用改进后的速度场重新计算动量离散方程 的系数，并利用改进后的压力场作为下一层次迭 代计算的初值。 重复上述步骤，直到获得收敛的解。
几何相似：两个系统相应的几何尺寸成比例。 运动相似：几何相似的两个流动的时空对应点上的运动 要素相似。 动力相似：两个运动相似流动的时空对应点上 受力相似。 （重力，粘性力，压力，惯性力等） 热力相似：两个动力相似流动的时空对应点上温度相似。
2.无量纲N-S方程 流动满足动力相似的判据可由量纲相似原理或无 量纲方程推求得出。
u u ( x, y , z , t 0 ) p p ( x, y , z , t 0 )
（2）边界条件
边界条件（结合具体问题确定） (a)对于固体壁面
u uw
法向un uw n不可入 切向ut uwt 无滑移
பைடு நூலகம்壁面静止
法向un 0不可入 切向ut 0无滑移
U2 L UL U 2 L
体现了粘性力对流动的影响，作为封闭系 统、潜体等系统相似判据
（5）韦伯数：
U 2 L We
2 u x 3 U 3 u L L U 2 L L 惯性力（总质量） x x [We ] 表面张力 L L
(4)实验解法
• SIMPLE算法: “Semi-Implicit Method for PressureLinked Equations”，是求解压力耦合的质 量/动量/能量传递方程的半隐式方法。
自从S.V.Patankar(帕坦卡)和 D.B.Spalding(斯伯丁)于1972年提出SIMPLE算法 后，它实际上已经成为许多工程流动、传热以及 反应体系的数值模拟的最重要的方法。许多商业 CFD软件，如cfx与fluent,其核心也都基于SIMPLE 算法。
4. N-S方程组中，重力项的特殊处理 质量力只有重力作用下的N-S方程组
f i xi
gh
h fi g xi
ui ui 2 ui h 1 p uj g v t x j x i xi x j x j ui 0 xi
或
L 滞留时间 U L [ St ] 特征时间 t Ut
对于非定常问题需引入
（2）弗劳德数：
Fr
U gl
1 2 2
U u u L x 惯性力 [ Fr ] 重力 g g
(b)对于两种不相混流动的分界面（两种液体） 运动学边界条件: 界面速度相等 动力学边界条件:
法向u nl1 u nl 2 切向utl 1 utl 2
法向 nnl 1 nnl 2 切向 ntl 1 ntl 2
应力相等
(c)对于两种不相混流动的分界面（液体和气体）
运动学边界条件: 切向速度不等
第4章
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
均质不可压缩流体的运动
完整的方程组及求解的一般分析 不可压缩粘性流动的无量纲数 恒定层流平行直线运动 （精确解） 恒定同心圆流动 （层流精确解） 线性化的蠕动流（小雷诺数近似解） 无粘性流动 （大雷诺数近似解）
4.1 完整的方程组及求解的一般分析
PHOENICS软件 PHOENICS是世界上第一个投放市场的CFD商用软件(1981)，可以 箅是CFD商用软件的鼻祖。这一软件中所采用的一些基本算法， 如SIMPLE方法、混合格式等。正足由该软件的创始人 DBSpalding及其合作者SVPatmLkar等所提出的。
FLUENT软件 FLUENT软件针对每一种流动的物理问题的特点，采用时也使它 的数值解法在计算速度、稳定性和精度方面达到最佳。可以计 算流场、传热和化学反应。其思想实际上就是做很多模块，这 样只要判断是哪一种流场和辩解就可以拿已有的模型来计算。
2 ui u ui 1 h p 1 i St u Eu j 2 t x Fr x x Re x x j i i j j
3. 无量纲数的物理意义 （1）斯特劳哈数：
L St Ut 0
u U 局地惯性力 t t L [ St ] 2 迁移惯性力 u u U Ut x L
ui ui 2 ui h 1 p uj g v t x j x i xi x j x j ui 0 xi
定义无量纲量：
xi ui
xi L ui U
h p
h d (d ) L L p p0
t
t t0
式中 L 、U、t0、 p0 为特征量
法向unl1 ung 2 切向utl 1 utg 2
动力学边界条件:（液体） 切向应力为零
法向 nnl p 切向 ntl 0
2u x 2u x 2u x 1 p X v( 2 2 2 ), x x y z u y u y u y u y ux uy uz t x y z 理论上，N — S方程 2 2 2 u u uy 1 p 组可解 y y Y v( 2 2 2 ), y x y z 求解困难：二阶、非 线性、偏微分方程组 u z u z u z u z ux uy uz t x y z 1 p 2u z 2u z 2u z Z v( 2 2 2 ), x x y z u x u y u z 0 x y z
边界条件不符：理想流体 —不可入有滑移 实际流体 —不可入无滑移 阻力规律不符：理想流体 —无阻力无升力 流型不符：理想流体流型—上下左右对称 需引入边界层概念求解
(3)数值解法 CFD(Computational Fluid Dynamics)软件 是计算流体力学软件的简称，是用来进行 流场分析、计算、预测的专用工具。