单相交流电路

a jb
o
向量如图示， 在向量图中可进行向量的加减（乘除）运算。
3.3 单一参数的交流电路
1.纯电阻电路 在交流电路中常常遇到照明白炽灯、电阻炉、电烙铁等 电阻性负载，它们的电阻在电路中起主要作用，电感、电容 的影响很小，可以忽略，这种电路称为纯电阻电路，如图34所示。 （1） 电压与电流的关系 在交流电路中电压和电流的方向是不断变化的，为了分 析方便起见，假定电压和电流的正方向如图所示，并且假定 电压的初相角为0，即以电压作为参考矢量，则设加在负载 电阻R两端的正弦交流电压为 u=√2Usinωt 式中U为电压有效值，由欧姆定律可得电路的电流瞬时值为 i=u/R=√2U/Rsinωt=2Isinω
上式表明，通过电阻的电流和加在电阻两端的电压具有 相同的频率和相位，且电流与电压的有效值满足欧姆定 律，即
有效值：I=U/R
相位：同相位（相位差φ=0） 将电压、电流用相量表示为
U Ue
jo
, I Ie
jo
,U I R
电阻电路中电压、电流的波形图和相量图如图 (b)、 （c）所示。
（2） 功率关系 在交流电阻电路中，由于电压和电流随时间按正弦规律变 化，电阻R上每一瞬间所消耗的功率P称为瞬时功率。它等于 瞬时电压u和瞬时电流i的乘积，可表示为 p=ui=2UIsin2ωt=UI(1-cos2ωt) 由上式可见，p是由两部分组成的，第一部分是常数UI；第 二部分是幅值UI，并以2ω的角频率随时间而变化的交变量 UIcos2ωt，瞬时功率变化曲线如图（d）所示。 瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率或有功功率 P，即 P=UI=I2R 式中,U、I均为正弦电压、电流的有效值，平均功率的单位为 瓦（W）或千瓦（kW）。 电阻电路中消耗的电能量为 W=Pt=UIt=I2Rt
1 T 1 T P＝ pdt UI sin tdt 0 T 0 T 0
这种交换能量的规模可以用无功功率QC表示，其关系为 QC=UI=U2/XC=I2XC
【例1-6】将一个2μF的电容器接在220V、50Hz的正弦 交流电源上，试求通过电容器的电流I、有功功率P和无 功功率QC为多少？ 【解】XC=1/(ωC)=1/(2πfC)=1/(2π×50×2×106)≈1591.55(Ω) I=U/XC=220/1591.55≈0.14(A) P=0 QC=UI=220×0.14=30.8(var)
当电感线圈的电阻忽略不计时，自感电动势eL必与外加电 压u相平衡，因此电压、电流的瞬时值关系为 u=Ldi/dt=2ωLIsin(ωt+90°)=2Usin(ωt+90°) 上式表明，通过线圈的电流与电源电压、自感电动势具有相 同的频率。但是它们的相位不同，电流滞后电压90°（即1/4 周期），自感电动势与外加电压是相平衡的，任何时刻都是 大小相等，方向相反，其波形图和相量图如图b）、（c）所 示。它们的关系式为 有效值: U=ωLI=2πfLI=XLI 相位: 电压超前电流90°（相位差φ=90°）

图3-4纯电阻电路 Back （a） 电路图；（b） 电压电流波形图;（c） 相量图;（d） 功率曲线
图3-5纯电阻电路 Back （a） 电路图；（b） 电压电流波形图;（c） 相量图;（d） 功率曲线
图3-6纯电阻电路 Back （a） 电路图；（b） 电压电流波形图;（c） 相量图;（d） 功率曲线
对于两个同频率正弦交流电的相位角之差，称为 相位差。设两个同频率正弦交流电流分别为： i1=Im1sin(ωt+φ1), i2=Im2sin(ωt+φ2) 则i1、i2的相位差φ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2，即两个 同频率正弦交流电的相位差就是它们的初相位之差。 在相位差满足-π≤φ≤π时，若φ＞0，称电流i1超前 电流i2φ角；若φ＜0，称电流i1滞后电流i2φ角；若 φ=0，称电流i1和电流i2同相位，简称同相；若φ=±π， 称电流i1和电流i2反相位，简称反相。
例1-4】一单相220V、1000W的电炉，接在50Hz、 220V的交流电源上，试求电炉的电阻、电流和使用 8h消耗的电能是多少度? 【解】电炉的电阻 R=U2/P=2202/1000=48.4(Ω 电炉的电流 I=P/U=1000/220=4.55(A) 消耗的电能 W=Pt=1000×8=8(kW· h)
即 I m 2I
同理可得
U m 2U
或
Im I 2
Um U 2
注：工程上所说交流电压、电流值大多为有效 值，电气铭牌额定值指有效值。交流电表读数也是有 效值。
3.2 单相交流电路
一、 正弦交流电的相量表示
设正弦交流电压u=Umsin(ωt+φ)，其波形如图3-3所 示。在直角坐标系中，以坐标原点O为中心，作逆时 针方向旋转的向量。向量的长度为电压的最大值Um， 旋转的角速度为ω，t＝0时向量与横轴的夹角φ为正弦 交流电压的初始角。这个向量在纵轴上的投影即为该 电压的瞬时值。t＝0时，u0=Umsinφ；t＝t1时， u1=Umsin(ωt1+φ)，向量与横轴的夹角为(ωt1+φ)。这样， 用旋转向量既能表示正弦交变量的三要素（幅值、角 频率、初相位），又能表达出正弦交变量的瞬时值。 所以用旋转向量可以完善地表示正弦交流电。
直流： W I RT
2
交流: W~
2 T 0
wenku.baidu.com
T
0
pdt i 2 Rdt
0
T
由定义可知: W—=W~ 即
I RT i 2 Rdt
整理得交流电有效值定义式：
1 T 2 I i dt T 0
~均方根值
1 i I cos t 将 Im m i 代入上式,得 I 2

T
0
1 pdt T

T
0
UI sin 2tdt 0
【例1-5】正弦交流电源电压U=220V，f=50Hz，接 上电感线圈的电感L=0.05H，电阻可忽略不计。试 求通过线圈中的电流I、有功功率P和无功功率QL为 多少？ 【解】XL=ωL=2πfL=2π×50×0.05≈15.71(Ω) I=U/XL=220/15.71≈14.0(A) P=0 QL=UI=220×14=3080(var)
3相位、初相位与相位差 交流电的频率、周期与角频率要素表示交流电变 化的快慢，交流电的幅值与有效值要素表示交流电 的大小，表示交流电变化的起点的要素就是相位、 初相位。 以交流电流i=Imsin(ωt+φ)为例，我们把(ωt+φ)称为 正弦交流电的相位角或相位，t=0时的相位角即φ， 称为初相角或初相位，简称初相。初相位的取值范 围一般规定为-π≤φ≤π。
图3-7纯电阻电路 Back （a） 电路图；（b） 电压电流波形图;（c） 相量图;（d） 功率曲线
图3-8 纯电感电路 Back （a） 电路图；（b） 电压、电流波形图；（c）相量图；（d）功率曲线
图3-9 纯电感电路 Back （a） 电路图；（b） 电压、电流波形图；（c）相量图；（d）功率曲线
e
j
工程上常用复数的极坐标形式。
2. 代数形式和极坐标形式间的互换公式:
已知 A a jb，则
A a b
2
2
tan
1
b a
∴得 A A A cos j sin 已知 则 得
A A
a A cos
b A sin
b
│A│

A a jb A cos jsin

3.纯电容电路 （1） 电压与电流的关系 将电容接入正弦交流电路中，因为电源电压u是交变的， 所以电容器极板上的电荷也是交变的（Q=CU），即电容器 作周期性的充放电，因而在电路中就形成了电流i，它们的正 方向如图（a）所示。
设电源电压u=√2Usinωt，则电流为
i=Cdu/t=Cd(√2Usinωt)/dt =√2UωCsin(ωt+90°) =√2Isin(ωt+90°)
上式表明，在电容电路中，电流i和电压u具有相同的频率， 在相位关系上，电流超前电压90°（即1/4周期），其波形图 和相量图如图（b）、（c）所示。它们的关系式为 有效值: I=UωC=U2πfC=U/XC 相位: 电压滞后电流90°（相位差φ=-90°） 2） 功率关系 电容电路的瞬时功率为 p=ui=2UIsin(ωt+90°)=UIsin2ωt 由上式可见，瞬时功率幅值为UI，而角频率为电压、电流 角频率的两倍，瞬时功率的变化曲线如图（d）所示 在一个周期内的平均功率（有功功率）为
i=Imsin(ωt+φ)
角频率、幅值和初相位称为正弦电量的三要素
1.频率、周期与角频率 正弦交流电作周期性变化一次所需的时间称为周 期T，单位是秒(s)。每秒内变化的次数称为频率f， 其单位是赫兹（Hz）。 正弦交流电每秒内变化的电角度称为角频率ω， 其单位是弧度／秒（rad／s）。显然，频率、周期 与角频率的关系为 ω=2πf=2π/T
第三章 单相交流电路
一、概念 大小和方向均随时间作周期性变化且平均值为零的电 动势、电压和电流统称为交流电。交流电的波形可以为 正弦、三角形或矩形等。其中随时间作正弦规律变化的 电动势、电压和电流，称为正弦交流电，正弦交流电流 的波形如图3-1所示。 参考方向：与参考方向同向为正，反向为负。 二、正弦量的三要素 正弦交流电的瞬时值可用正弦函数表示： 3.1 正选交流电路
图3-10 纯电感电路 Back （a） 电路图；（b） 电压、电流波形图；（c）相量图；（d）功率曲线
Back 图3-11纯电容电路 （a）电路图；（b）电压、电流波形图；（c）相量图；（d）功率曲线
Back 图3-12纯电容电路 （a）电路图；（b）电压、电流波形图；（c）相量图；（d）功率曲线
a
二者之间的关系可用一直角三角形表示
3. 复数运算 加减运算： A1 A2 a1 a2 jb1 b2 乘除运算： A1 A2 A1 A2 1 2
A1 A1 1 2 A2 A2
+j b
A
4. 复数的向量表示: 已知 A A e
j

a +1

2.纯电感电路 （1） 电压与电流的关系 将电感线圈接入正弦交流电路中，因为电流是交变的，所 以线圈中会产生自感电动势eL。交流电压u、电流i和自感电 动势eL的正方向如图 (a)所示。 设通过电感线圈L的电流为 i=√2Isinωt 根据电磁感应定律，线圈上产生的自感电动势为 eL=-Ldi/dt
（2） 功率关系 电感电路的瞬时功率等于电压、电流瞬时值的乘积， 即 p=ui=2UIsin（ωt+90°）sinωt=UIsin2ωt 由上式可见，瞬时功率的幅值为UI，而角频率为电压、 电流角频率的两倍。瞬时功率的变化曲线如图（d）所 示。 在一个周期内的平均功率（或称有功功率）为
1 P T
在图3-2（a）中，电流i1超前电流i2φ角， 或称电流i2滞后电流i1φ角；在图3-2（b）中， 电流i1和电流i2同相位，电流i1和电流i3反相位， 电流i2和电流i3反相位。
图3-1 正弦交流电流的波形
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图3-2 用波形图表示的相位差
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三、正弦交流电的有效值 定义：在相同的时间T内,相同的电阻中,分别通过直流 电和交流电时产生的能量相等,则称该直流值为交流电 的有效值。
1.2 单相交流电路
图3-3 用相量表示正弦交流电
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二、 正弦交流电的复数表示
复习复数知识 1. 复数的表示形式： 设A为一 复数 ①代数形式 A=a+jb ③指数形式
cos jsin j 指数形式可表为 A Ae A A e j A ④极坐标形式
由欧拉公式
2.幅值与有效值 正弦交流电在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写 字母来表示，如i、u、e分别表示电流、电压、电动 势的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值或最大值， 用带下标m的大写字母来表示，如Im、Um和Em分别 表示电流、电压和电动势的幅值。 当一个直流电流和一个交流电流在该交流电的一 个周期内通过相同的电阻产生的热量相等时的该直 流电流值称为该交流电流的有效值。