点到平面的距离ppt课件

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用空间向量求点到面的距离 PPT

2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤，n
O
为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________．解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1，设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，则n·E→F＝0，且n·P→E＝0，所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解：建系如图,建立空间直角坐标系，
求向量求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，

2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解：法一因为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二因为所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法总结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是

向量法求空间点到平面的距离课件

2、向量数量积公式
a•b abcos(为a与b的夹角）
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2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ：平，如面垂图 O ,则足， B 到点为平的面距离就是
线 B段的 O 长度。
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3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
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1
新课导入：我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？方法1、直接做或找距离；方法2、等体积法；方法3、空间向量。
2
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y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
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4
练习1

151平面上两点间的距离共17张PPT

第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则
n m m
0 2 2 2
2, 2 n
2
0
8
0,
解得 mn 8,2,故A'(-2,8).
因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时,PA+
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
直线关于点的对称直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.
直线关于直线的对称已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 如果l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1上找一点P,求出点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m. 如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点M(不同于交点),找出这一点关于l2的对称点M',由两点即可确定所求直线的方程.
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 方法技巧关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e

点到平面的距离-PPT课件

→ d＝|AP1|＝||AP|cos∠PAN|＝|A|Pn·|n|.
思考感悟
在求两条异面直线的距离，直线到平面的距离，两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求解吗？
提示：能．因为直线与平面平行，两个平面平行时，直线上的点或其中一个平面上的点到另一个平面的距离均相等，而两条异面直线可以构造线面平行，所以在求以上距离时均可转化为点到平面的距离．
解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标
系，由题设可知 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(1，12，1)，
N(12，0,1)，B(1，1,0)．于是有 N→M＝(12，12，0)， A→M＝(0，12，1)，A→B ＝(0,1,0)．
取 BD 的中点 G，连接 GE，易知 M→N ＝E→F ， A→M＝G→E .
(2)s 是直线的方向向量，则 s0＝|ss|是直线的单位方向向量，在求解时，一般先任取一个方向向量 s，然后求其单位向量 s0.
考点二点到平面的距离点到平面的距离的求法：
如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距
离就是线段 BO 的长度．
若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中，
以 AB，AP，AO 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间
直角坐标系．则 A(0，0,0)，B(1,0,0)，P(0， 22，0)，D(－ 22，
22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)． (1)设 AB 和 MD 的夹角为 θ，
∵A→B ＝(1,0,0)，
M→D ＝(－ 22， 22，－1)，
例2 如图，在四棱锥 O－ABCD 中，底面 ABCD 是
边长为 1 的菱形，∠ABC＝π4.OA⊥底面 ABCD， OA＝2，M 为 OA 的中点．求：

3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件

【核心扫描】 1．空间直角坐标系中点的坐标的表示以及两点间的距离公式的理解、应用．(重点) 2．坐标系的建立、距离公式的推导与应用．(难点)
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3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
自学导引 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系 Oxyz. ②相关概念：点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面．
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3．空间两点间的距离公式 (1) 在空间中，点 P(x ， y ， z) 到坐标原点 O 的距离 |OP|＝
x2＋y2＋z2. (2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与 P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝
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(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴的正方向，食指指向 y轴的正方向，如果中指指向 z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
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两点间的距离公式-PPT课件

A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n，则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.7 点到平面的距离课件湘教版选修2-1

→
d＝|AP1|＝___||_A_P_|_c_o_s_∠_P_A__N_|__＝___|_A_|Pn_·|_n_| __．
1．已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n＝
(－3，0，4)，则 P(3，5，0)到 l 的距离为( )
A．5
B．14
C.154
D.45
答案：C
2．已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的中
d＝
|B→C|2－B→|CA→·′AC→′|C2＝
16 4－14
＝2
35 7.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
则 A(4，0，0)，B(0，3，0)，P0，0，95，所以A→B＝(－4，3，0)，A→P＝－4，0，95，所以A→P在 AB 上的投影长为|A→P|A·→BA→| B|＝156，所以点 P 到 AB 的距离为 d＝ |A→P|2－1562＝ 16＋8215－22556＝3. 答案：3
点到直线的距离如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A′B′C′D′， AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．
又 AC∥平面 PEF，
所以
AC
到平面
PEF
的距离为
17 17 .
用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标； (4)利用公式即可求得点到平面的距离．

点到平面的距离

解：设H为点O在平面ABC内的射影，延长AH，交BC于E，则 OA OB OC , HA HB HC , 即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
BE 1 BH 2 3 , BE BC 3 , cos30 2
OH OB 2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
P
O为三角形ABC的垂心
A D O C
B
3、已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点 P在底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
O
E C F A
B
例2 : 如图, 在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中, 点E是棱AD的中点, 求A1到平面 BD1E的距离.
A B x C D y
归纳总结 ⑴、直接法：一作、二证、三计算
⑵、间接法:
向量法：利用法向量与点到面的距离关系，把几何问题转化为代数问题。还有等体积法，转移法待续。
2. 直线到它平行平面的距离
定义：直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。由定义可知，求直线到它平行平面的距离
D1 A1 E A D B B1 C C1
用向量方法来处理点到面的距离（用推理说明问题） A
B
n
设n是平面的法向量，在内取一点 B，则A到的距离 d AB cos AB n n
练习: SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , z 求A到平面SCD的距离。 S
点到平面的距离
(1) 点到平面距离的定义 :
一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个面的距离.

1点到平面的距离

A
B
α
A′
B′
β
4.异面直线的距离异面直线的距离
已知异面直线AA 已知异面直线 1和BC，，直线AB与异面直线直线与异面直线AA1，BC都垂与异面直线都垂，直相交。直相交。
A1
和两条异面直线都垂直相交和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异线间的部分，公垂线段。面直线的公垂线段面直线的公垂线段。
假如还有直线A 的公垂线，假如还有直线A’B’也是a,b的公垂线，则
A’B’⊥a A’B’⊥b a’//a A’B’⊥a’ ⊥ ⊥ ⊥ 平面α 所以 A’B’⊥平面α 又AB ⊥平面 ⊥平面α AB//A’B’ 则 a,b共面矛盾！共面矛盾！
定理二：定理二：两条异面直线的公垂线段是分别连结
9.8 距离
1.点到平面的距离
一点到它在一个平面内的正射影的一点到它在一个平面内的正射影的正射影距离叫做这一点到这个平面的距离距离叫做这一点到这个平面的距离
P
A
练习：
1已知线段不在平面内，A、B两点到平面已知线段AB不在平面内已知线段不在平面内，、两点到平面的距离分别是1和，那么线段AB的中点到的距离分别是和3，那么线段的中点到平面的距离是 2或１。
4.如图，已知P为△ABC外一点，PA、PB、如图，已知为外一点，、、如图外一点 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，求P点两两垂直，两两垂直＝＝＝，点到平面ABC的距离。的距离。到平面的距离
D
A
O
C
B
2.直线到与它平行平面的距离

1.2.5 空间中的距离课件

距离.
解：依题意，, , 是两两互相垂直的.
以为原点，, , 的方向分别为轴、轴、
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1),
所以 = (0,1,0), = (−1,0,1), = (0,1, −1).
解：以为原点，��，, 1 的方向分别为轴、
轴、轴正方向，正方体的棱长为2个单位长度，建立如
图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0)，(2,1,2), (0,2,1), (2,0,0), (0,2,0),
所以 = (1,1,2), = (−1,2,1), = (−2,2,0).
思维导图
PAR T T W O
复习引入
PAR T T H R E E
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距
离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。
数学中的“距离” 的概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，
要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平
面内的“距离” ？这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能
设平面的一个法向量为 = (, , )，则
∙ = + + 2 = 0
∙ = − + 2 + = 0
令 = 1，则得 = (−1, −1,1).
因为 ∙ = (−2) × (−1) + 2 × (−1) + 0 × 1 = 0,
所以 ⊥ ，又因为点显然不在平面内，所以
(−1) +(−1) +1
3
因此点到平面的距离为，
3
=
|(−1)×1+(−1)×0+1×0|

点到平面距离的

2.点C1到平面A1BD的距离是多少？
A1
B1
B
A
D1
C1
D
C
一、求点到平面的距离
如图 A , 空间一点 P 到平面的距离为 d,已知平面的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
1 解：1)A1 E =(-1, ,0),A1 B =(0,1,-1)设n ( x, y, z )为面A1BE的 2 法向量，则 1 n A E 0, x y 0, 1 z 2 n A1 B 0, y z 0, E
y 2 x, 即 z 2 x,
取x=1得平面A1BE的一个法向量n=(1,2,2)
D1Hale Waihona Puke C1A1D
B1
C
B
选点B1到面A1 BE的斜向量为 A1 B1 0,1, 0 ,
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3 A
y
x
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平面DBEF的距离。 z D1 F C
1
A1 D
B1
E
C
y
A x
B
小结：
怎样利用向量求距离？
点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面法向量上投影的绝对值。

原创1：1.2.5 第二课时点到平面、直线到平面、平面到平面的距离

(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标( AP ，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝
| n PA |
n
.
新知探索
思考
怎样利用向量方法求直线到平面的距离、平面到平面的距离？
答案
一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一
2
∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
则 ൜ ∙ = 0
∙ = 0
，
2 − 2 = 0
即 ቄ
，
=0
取a＝1，得n＝(1 ， 0 ， 1)，又 = ＝(2 ， 0 ， 0)，
所以d＝
∙

＝ 2.
课堂小结
1．知识清单：
EF (2, 2,0), EG ( 2, ,2),
x
设平面EFG的一个法向量为 n ( x , y , z ) ,
2 x 2 y 0

2 x 4 y 2 z 0
| n BE |
n
答:点B到平面EFG的距离为

A
2 11
.
11
2 11
.
11
C
F
1 1
(1)点到平面的距离．
(2)直线到平面的距离与平面到平面的距离．
2．方法归纳：数形结合、转化法．
3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的
理解是应用的基础．
本
课
结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
束
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