7.1-7.2.1定积分的微元法与平面图形的面积
利用定积分求平面图形面积的一些讨论
利用定积分求平面图形面积的一些讨论在数学中，定积分是一个非常重要的概念。
它可以用来求曲线下面的面积、体积等。
在这篇文章中，我们将探讨如何利用定积分来求解平面图形的面积，并对其中的一些需要注意的问题进行讨论。
一、定积分求平面图形的面积通常情况下，我们使用定积分求解平面图形的面积主要分为以下两种情况：1. 若平面图形位于第一象限内，我们可以通过将其关于x轴或y轴进行对称，得到其关于某条轴的镜像图形。
然后，我们可以通过积分的方法求得该镜像图形的面积，再将其乘以2即可得到原图形的面积。
2. 若平面图形位于第三象限内，我们可以采用类似的方法，将其关于x轴和y轴进行对称，再将其平移至第一象限内，最后采用积分的方法求解面积。
二、需要注意的问题在使用定积分求解平面图形的面积时，我们还需要注意以下几个问题：1. 积分区间的确定在求解平面图形面积时，我们需要确定积分的区间。
通常情况下，这个区间并不是在平面直角坐标系中所表示的图形区域，而应该是其在积分方程中的区间。
因此，在进行计算之前，我们需要先画出该图形和其在积分方程中的区间，并根据图形和区间的特点确定积分的上下限。
2. 导数、微积分的运用在计算过程中，我们经常需要使用导数和微积分知识。
对于不熟悉这些知识的人来说，可能会产生一定的困难。
因此，在进行平面图形面积的计算时，我们需要对相关的导数和微积分知识有一定的了解，才能更好地进行计算。
3. 曲线積分的處理如果题目本身是一个曲线的方程或者是一个参数方程问题，我们还需要先将其转化为参数方程或者直接采用曲线积分的方法来求解。
另外，对于一些复杂的曲线问题，我们可能需要结合掌握一定的计算技巧和方法来进行计算。
三、总结定积分是求解平面图形面积的一个非常好的工具。
在进行计算时，我们需要注意导数、微积分等方面的知识，并结合所求图形的特点来确定积分区间、上下限等参数。
只有在掌握了这些知识和技巧之后，我们才能更好地求解平面图形的面积问题。
定积分的元素法平面图形的面积PPT课件
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
微元法与平面图形的面积
A 4 ydx 4 π b sin t ( -a sin t )dt
0
a
0
4ab sin tdt ab .
2
0
2
三、极坐标系中平面图形的面积
由曲线 r = r( ) 及两条半直线 = a， = b (a < b) 所围成的图形称为曲边扇形. 求曲边扇形的面积 A， 积分变量为 ， [a , b ]， 下面应用微元法找面积 A 的微元 dA， 任取一个子区 间[ , + d ] [a , b ]，用 处的极径 r( ) 为半径， 以 d 为 圆心角的圆扇形的面积 作为面积微元， 如图中斜线部分 r = r ( ) 的面积. 即
dI = f (x)dx ，
dI 称为量 I 的微元. 上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微 元法.
二、直角坐标系中的平面图形的面积
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A
的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积， 即
dA= | f (x) |dx . 于是，总有
1
y = cos x
y = sinx
O
A (cos x - sin x )dx
4 0
(sinx - cos x)dx.
2( 2 - 1).
就不必用公式了.
2 4
π 4
π 2
x
例3 解
求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x – 4 所 求抛物线与直线的交点， 作草图，如图，
O a
y
f (x )
x x + dx b
dA
x
A | f ( x ) | dx .
微元法与平面图形的面积
3 ,- π 2 3
得两曲线的交点 3 , , 3 ,- . 考虑到图形的对称
性，得面积
2 3 2 3
A
2
3 0
1 (1 cos )2 d
2
2
2
3
1 2
(3
cos
)2
d
3 (1 2cos cos2 )d
0
29cos2 d
3
[ 3 2sin 1 sin2 ] 3 [9 9 sin2 ] 2
2a
b
a
O
x
例 5 求心形线 r = a(1 + cos ) 所围成的图形的
面积 (a > 0) .
解 作出它的草图. 由上述公式，再利用图形的
对称性，得
r = x(1 + cos )
A [a(1 cos )]2d 0
a2
(1
2cos
cos2
)d
0
O
2a x
a2 3 2cos 1 cos 2 d
值，并且要求 I - f (x)dx dA
是 dx 的高阶无穷小量，关于
后一个要求在实际问题中常
常能满足.
Oa
x x + dx
Байду номын сангаас
x
(2) 满足 (1) 的要求后，f (x)dx 是所求量 I 的微分，
所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即
dI = f (x)dx ，
dI 称为量 I 的微元. 上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微
dA
( x2
-
x1 )dy
( y
4) -
y2 2
dy,
y
大学_高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载
高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)内容提要绪言第1章函数、极限与连续1.1 函数1.2 初等函数1.3 数列的极限1.4 函数的极限1.5 无穷小与无穷大1.6 极限运算法则1.7 极限存在准则两个重要极限1.8 无穷小的比较1.9 函数的连续与间断1.10 连续函数的运算与性质总习题数学家简介第2章导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数2.5 函数的微分总习题二数学家简介第3章中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 泰勒公式3.4 函数的单调性、凹凸性与极值 3.5 数学建模——最优化3.6 函数图形的描绘3.7 曲率总习题三数学家简介第4章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分总习题四数学家简介第5章定积分5.1 定积分概念5.2 定积分的性质5.3 微积分基本公式5.4 定积分的换元积分法和分部积分法 5.5 广义积分总习题五数学家简介第6章定积分的应用6.1 定积分的微元法6.2 平面图形的面积6.3 体积6.4 平面曲线的弧长6.5 功、水压力和引力总习题六第7章微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 可分离变量的微分方程7.3 一阶线性微分方程7.4 可降阶的二阶微分方程7.5 二阶线性微分方程解的结构7.6 二阶常系数齐次线性微分方程7.7 二阶常系数非齐次线性微分方程7.8 欧拉方程7.9 常系数线性微分方程组7.10 数学建模——微分方程的应用举例总习题七附录Ⅰ预备知识附录Ⅱ常用曲线附录Ⅲ利用Excel软件做线性回归习题答案第1章答案第2章答案第3章答案第4章答案第5章答案第6章答案第7章答案高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)目录本书根据高等院校理工类本科专业高等数学课程的教学大纲编写而成，并在第二版的基础上进行了修订和完善。
立体几何7.1-7.2
D
）
A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥的底面一定是三角形
C.棱锥被平面分别的两部分不可能都是棱锥
D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
答错了，再试试！ 答对了，点击此处！
二、典型考题
2． 用一个平面去截一个几何体， 得到的截面是四边形， 这个几何可能是（
A.圆锥
B
）
B.圆柱
（1）圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以 矩形 的一边、直角三角形 的一直角 边、 等腰梯形 中垂直底边的腰所在的直线为旋 转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。
一．考点梳理
3．圆柱、圆锥、圆台
（2）圆柱、圆锥、圆台的性质 圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 矩形 、
1 1 h( S SS S ) Sh 3 ； V棱台 3
；
（2）圆柱、圆锥、圆台的体积 1 2 1 r h h(r 2 rr r 2 ) 2 ； V圆台 3 ； V圆柱 r h ； V圆锥 3
（其中 r , r 为底面半径， h 为高）
二、典型考题
（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧
2 rl
； S圆锥侧
rl
； S圆台侧 (r r)l ；
（其中 r , r 为底面半径， l 为母线长）
一．考点梳理
8．柱体、锥体、台体的体积
（1）棱柱、棱锥、棱台的体积
V棱柱 Sh ； V棱锥
（其中 S , S 为底面积， h 为高）
答错了，再试试！ 答对了，点击此处！
二．典型考题(7.2)
4．长方体 ABCD A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面 上 ， 且 AB 2 ， AD 3 ， AA1 1 ， 则 球 面 面 积 为
定积分求平面图形的面积
42 x
选择=结果
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
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412
412 积。
例2 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
. 0011 0010 1的01面0 1积101 0001 0100 1011
解: 由
得交点
y
y2 2x
yd y
(8, 4)
(2, 2) , (8, 4)
y
1 为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
d
A
(
y
4
1 2
y2)ห้องสมุดไป่ตู้y
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
定积分的应用-----求平面图形面积
412
引入
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1.复习定积分的定义及其几何意义
41 2 2.如何用定积分求平面图形的面积？
一、微元法
y y f (x)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
边梯形面积为 A , 则
b
A a f1(x) f2 (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
412 o axxdx b x
例1 计算两条抛物线
所围图形的面积 .
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
d A x x2 dx
2 4
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
定积分的应用一-2022年学习资料
求由连续曲线y=fx,y=gx及x=a,x=b-所围成的平面图形的面积的计算公式为-A=['lfx-gxl x.a<b-类似地，-求由连续曲线x=py,x=y及y=c,y=d-A=∫1p-y1dy.-c<d
例1-求曲线y=x2与直线x+y=2所围成的平面图形的面积.-解-1求积分区间-联立方程组-「y=x-求得 点：A-2,4,B1,1.-积分区间x∈[-2,1].-微分元素dA=[2-x-x2]dx.-3计算面积-可e-wa2-4分
为简便和醒目起见略去下标，将具有代表性的第个-小区间[x-1,x]表示为[x,x+dx],称之为典型小区间 取-5:为区间的左端点x,则有-△A≈fxdx.-通常称fxdx为量A的微分元素或积分元素，记为-dA=f dx.-由量A对区间的可加性取极限过程dx→0（相当于-‖△x→0，将微分元素dA在区间[a,b]上“无限 加”起来-即作定积分就得到量A在区间[α，b]上的值：-A=∫°dA=fxdx.-简言之，我们在这里将定积 解为微分元素的无限剥加.
求由曲线r=rO及射线r=a,r=Ba<B-所围成的平面图形的面积的计算公式为-A=∫2dA=∫2r0d0 该公式也称为极坐标系种曲边扇形的面积公式
求圆r=3cos0与心形线r=1+cos0所围成的-例7-平面图形的面积.-解-由对称性，求出上半部分的面 A,则A=2A-r =3cos 0-1求积分区间联立方程组-∫r=3cos0-2微分元素-当0≤0≤g时， 边为r=1+cos日，dA=号1+cos62d0-0≤7时，曲边为r=3cos0,dA=6cosd8,
例5-求由摆线x=at-sint,y=aI-cost的第一拱-0≤t≤2π与横轴x所围成的平面图形的面积. 解-1求积分区间-x:0→2πa时，t:0→2π.-2求微分元素-2na x-d A=l yldx=a1ostdat-si1-cost2dt-1-2cost+cos'dt-A =3xd.
主要内容1.微元法.2.平面图形的面积.
10
一般地， 当曲边梯形的曲边 y f ( x ) ( f ( x ) 0, x [a, b]
由参数方程
x x(t ) y y( t )
给出， 且 x( ) a , x( ) b, x( t )在以 , 为端点的区间上
具有连续导数，y = y ( t )连续，则由曲边梯形面积公 式及定积分的换元积分法可知，该曲边梯形的面积为
4
微元法的步骤： 1、在区间 [ a ,b ] 上任取一个子区间 [ x , x+dx ]， 在该子区间上以不变代变求出总量 Q 的微分 dQ = f (x) dx
2、从 a 到 b 积分得总量
Q a dQ a f ( x )dx
b
b
例如，已知质点运动的速度为v (t)，计算在时间区间 [a ,b]上质点走过的路程 s 。 解 任取一小段时间间隔 [t, t+dt]，在这一段时间 dt 内，以匀速代变速，得到路程的微分 ds = v (t) dt 对上述微分式从 a 到 b 积分，就得到质点在[a ,b]内 走过的路程
2 2 2 2
S1 O a x
且当 x 0时，t
a
2
,当 x a 时，t 0，
0 0
根据定积分的换元积分法，得
S1 0 ydx b sin td (a cos t ) ab sin 2 tdt
1 cos 2 t ab 1 2 2 ab0 dt ( t sin 2t ) 0 ab 2 2 2 4 S 4S1 ab
S c [ ( y ) ( y )]dy
d
(﹡﹡)
y
注意：上述(﹡) 式和(﹡﹡)式在计 x=ψ( y) 算平面图形的面积时可以当公式用。 求解面积问题的一般步骤为： （1）作草图，求曲线的交点， 确定积分变量和积分区间；c （2）写出积分公式； （3）计算定积分。
利用定积分求平面图形面积的一些讨论
定积分求平面图形面积====================定积分是一种数学方法，用于计算曲线下的面积或曲面上的体积。
它可以用来求解平面图形的面积。
本文将讨论定积分求平面图形面积的原理，并通过实例说明它的应用。
一、定积分求平面图形面积的原理----------------------------------------------------------定积分求平面图形面积的原理是：将平面图形分解为若干矩形，利用每个矩形的面积来求得平面图形的面积。
具体来说，首先需要将平面图形的边界抽象为一个函数，然后将这个函数从横坐标的最小值到最大值分割成若干等份，每份称为一个矩形，每个矩形的面积可以用函数的值来计算，最后将所有矩形的面积加起来就可以得到平面图形的面积。
二、实例说明----------------------------------------------------------下面我们用一个实例来说明定积分求平面图形面积的方法。
假设我们要求解的平面图形是一个三角形，其边界可以用函数y=x-1来描述，且横坐标的最小值为0，最大值为2。
首先，我们将横坐标从0到2分割成4份，即0，0.5，1，1.5，2，每份称为一个矩形，然后计算每个矩形的面积。
由于横坐标的最小值为0，所以第一个矩形的面积为0；第二个矩形的面积为0.5*(1-1)=0；第三个矩形的面积为1*(2-1)=1；第四个矩形的面积为1.5*(2-1)=1.5；最后，将4个矩形的面积加起来，即可得到三角形的面积为2.5。
结论----------------------------------------------------------以上就是定积分求平面图形面积的原理及其应用，它可以用来计算各种平面图形的面积，是一种有效的数学方法。
高数增长速度口诀
高数增长速度口诀一天晚上，我碰到一个学生在散步，感觉时间过得真快。
学生们说，如果舒高有一个公式，他们应该已经去了研究生院，并成为成功的学徒。
互笑两声。
经过一些时间的整理，赶在开学前夕，助力挺过疫情的千万学子，莫挂在那棵数（树）上。
1.1 函数有理稠密且有序，全体实数连续性，邻域概念用的多，各种表示需谨记，函数概念已扩充，三种表示均等价，若有界、不唯一，单调性、分区间，奇偶注意定义域，函数周期不唯一。
1.2 初等函数反解莫忘定义域，单调区间方可反，基本初等有五类，幂指对和两三角，一层一层又一层，复合注意定义域，定义了双曲函数，三角函数也差不多。
1.3 数列的极限大学数列无穷项，任意存在来定义，结论倒推反解 n，中间插入以放缩，收敛数列必有界，反之不一定成立，极限存在则唯一，同时具有保号性，原收敛、子列同，子列散、原发散。
1.4 函数的极限无穷极限分正负，倒推反解再梳理，左右等、极限有，唯一有界且保号，子序列，收敛，往往被证明没有极限。
1.5 无穷大与无穷小动态理解无穷小，条件状语莫忽视，相乘相加需有限，有界乘之等于零，无穷大、则无界，无界未必无穷大，两个量相互纠缠，相互转化有神奇的效果。
1.6 极限运算法则若有意义直接代，加减乘除有定理，遇到分式最麻烦，上下同除巧转化，分子有理经常用，高中公式常看看。
1.7 极限存在准则，两个重要极限夹逼准则靠放缩，具体尺度需拿捏，单调有界有极限，转化方程求极限，重要极限凑结构，一步一步慢慢来。
1.8 无穷小的比较高低阶数各不同，只因速度有差异，齐头并进等价量，代换计算效率高，若要两者来相减，十有八九两泪流。
1.9 函数的连续与间断定义连续用极限，左右连续与连续，左右均连第一类，不等跳跃等可去，至少一侧不存在，无穷震荡第二类。
1.10 连续函数的运算与性质加减乘除仍连续，反函数、需单调，复合注意定义域，作用仍是求极限，函数闭区间连续，有最值、且有界，端点异号有零点，天地之间皆可取，一致连续必连续，反之不一定成立。
例谈利用定积分求解平面图形的面积
例谈利用定积分求解平面图形的面积定积分是一种强大的数学工具，可以用于计算曲线、曲面和复杂图形的面积，但也可以用于计算平面图形的面积，这里以计算平面图形面积为例，探讨利用定积分来求解平面图形的面积。
先来阐述定积分的概念，定积分指的是求解某一函数的积分，它的计算方法要求曲线的一侧被划分为多个区域，而该函数的值则是这些小区域的函数值之和，并最终求解函数的定积分。
定积分可以用于计算曲线及曲面的面积，也可以应用于计算复杂图形的面积，但它同样可以用于求解平面图形的面积。
回到本文的要点：如何使用定积分来求解平面图形的面积。
首先需要将平面图形划分为若干小区域，并计算每个小区域的定积分，然后求这些小区域的定积分之和，从而得到图形的总面积。
以三角形为例，令其由点${mathbf{P_1}}（x_1，y_1）$, ${mathbf{P_2}}（x_2，y_2）$，${ mathbf{P_3}}（x_3，y_3）$确定。
根据三角不等式：$S=frac{1}{2}|x_2y_3-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3+x_1y_2-x_2y_1| $可求出简单三角形的面积，但是，如果三角形有更复杂的形状，则可以将它划分为多个小三角形，然后使用定积分技术，将每个小三角形的面积乘以其定积分值，最终求出该图形的总面积。
同样，多边形也可以采用上述方法求解。
首先，多边形要被划分为多边形，然后将每个小三角形的面积乘以其定积分值，最终求出该图形的总面积。
除了三角形和多边形，定积分还可以用于计算椭圆的面积。
椭圆的面积计算公式为：$S=pi ab$其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。
而定积分求椭圆的面积则采用分段法，即将椭圆划分成半径为r的多个小园，然后将每个小园的面积乘以它们的定积分，最终求出椭圆的总面积。
本文探讨了用定积分求解平面图形的面积的方法，定积分主要应用于将复杂的图形划分为若干小区域，然后求这些小区域的定积分之和来计算图形的总面积。
《数学分析(中)》课程标准
《数学分析（中）》课程标准1.课程说明《数学分析(中)》课程标准课程编码〔36733 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月26日〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：《数学分析(中)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。
（2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。
通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。
（3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《数学分析（上）》，后续课程有数学分析（下）。
2.学习目标课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中一元函数微积分学及级数的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。
通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；理解并掌握一元函数的微积分及级数的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算，能够判断级数的敛散性。
3.课程设计本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。
表3-1教学内容与学时分配表表2课程总体设计4.教学设计表3学习情境设计5.课程考核（1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。
平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%；期末考试：卷面成绩占70%，试卷可包括填空题、选择题、判断题、计算题、证明题及证明题。
（2）考核标准：学生能够理解并掌握数学.符合中小学数学教师的知识理论基础要求和职业资格要求。
6.课程资源（1）硬件要求：多媒体课件（2）师资队伍：数学教育专业团队师资力量雄厚，现有教授2人，副教授9人，讲师5人，其中具有硕士以上学历4人。
定积分求平面图形的面积
2．求曲线 y x2与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面 积.
3.求曲线y x2与 y 2- x2 所围成的图形面积。
1 4.求曲线 y 1 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
4 2 x
得交点 (0, 0) , (1, 1)
dA x x2d x
1
A
xx2 dx
0
23 x2
1x3
1
3 30
1 3
y
1y2 x (1,1)
2y x2
ox 1 x
4x d x
分析，归纳解题步骤： 0 0 1 1 0 0 1 0 11 .0 画1 0 草1 1 0 图1 ，0 0 求0 1 出0 1 曲0 0 线1 0 的1 1 交点坐标．
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
定积分的应用-----求平面图形面积
41 2
引入
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
1.复习定积分的定义及其几何意义
41 2 2.如何用定积分求平面图形的面积？
一、微元法
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
设曲线 y f (x) ( 0) 与直线 x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
dA f (x)dx
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面
定积分的应用之微元法
解 取坐标系如图, 则底圆方程为
x2 y2 R2,
在 x 处垂直于 x 轴作立体的截 R
面，得一直角三角形，两条直角边分 别 为 y 及 y tan ， 即 R2 x2 及
O aa
R2 x2 tan ， 其 面 积 为
R
A(x) 1 (R2 x2 ) tan ，从而得楔形体
2
积为 V
于是得 dA [( y 4) 1 y2 ]dy,
2
A 4 [( y 4) 1 y2 ]dy 1 y2 4 y 1 y3
4
18.
2
2
2
6 2
2.极坐标下的面积计算
曲边扇形：是指由曲线r r( ) 及两条射线 , 所围 成的图形（如右下图）.
取 为积分变量，其变化范围为[ , ]，在微小区间 [ , d ]
x a, x b所围成的图形，如下页右图，面积微元
dA [ f (x) g(x)]dx,，面积 A
b
[
f
(
x)
g
(
x)]dx
.
a
y y f (x)
y y f (x)
O x x dx
O a x x dx b x a
bx
y g(x)
（3）由左右两条曲线 x ( y), x ( y)及 y c, y d 所
V π
a y2dx 2π
a
2
(a 3
2
x3
)3 dx
a
0
2π
a
(a2
42
3a 3 x 3
24
3a 3 x 3
x2 )dx
32
πa3.
0
105
四、平面曲线的弧长
定积分求平面图形的面积
解 由 y2 2x 得两曲线的交点：(2, 2)、(8, 4)
y x4
x y2
选 y 为积分变量，y [2, 4]
y2 2x2
d
A c [2 ( y) 1( y)]dy 4 A
y 4 y2 dy
2
2
4
1 2
y2
4
y
高等数学之——
7.1.2 定积分求平面图形的面积
第七章 定积分的应用
第一节 定积分在几何上的应用
第二讲 定积分求平面图形的面积
引入：
如何计算湖泊 的面积呢？
如何求不规则图形的面积呢？
一、简单回顾微元法
y
y f (x)
（1） x a,b
（2） 取微段 、求微元
取其中任一小区间 x, x dx，求出
b
a
f
(
x)
g
(
x)
dx
x
（上边界-下边界)
练习 求由曲线 y x2 和直线 y 2x 3所围成的图形的面积.
A: 16 3
C: 7 3
解 选B
B: 32 3
D: 47 3
（2）由两条曲线 x 1( y), x 2 ( y) 1(y) 2(y) 以及直线 y c,
选 x 为积分变量, x [0,1]
面积微元 dA = ( x x2 )dx
1
A 0 (
x x2 )dx
2 3
x
3 2
x3 3
1
0
1 3
y x
(1,1)
(0,0) x x+dx
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面积元素为： [f 上(x)-f 下(x)]dx．
所求图形的面积为：
A=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=f 下(x) x x+dx
bx
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积：
所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差
y = f(x) bx
•在 [a, b]中任意插
入 n -1个分点．
y
y = f(x) f(i)
得n个小区间： [xi-1 , xi ]
f(2) f(1)
区间[xi-1 , xi ]的长
度Dxi xi -xi-1 ．
f(i)Dxi
(i=1, 2 , ···, n)． n
A DAi i 1
O
a 1 x1 2 x2
被积函数=大函数-小函数
例2 计算抛物线y22x 与直线yx-4所围成的图形的面积．
解 画图．求两曲线的交点得：(2，-2)，(8，4)．
将图形向 y 轴投影得区间[-2，4]．
y 2=2x
选 y 为积分变量 y [-2, 4] 4
(8, 4)
[ y, y dy] [-2, 4],
2
y=x-4
lim
0
i1
f (i )Dxi
．记
b
f ( x) dx
a
y
简化步骤：
任取 x, x dx a,b
DA f x dx dA
面积元素 O a
A
b
a
f
x dx
y = f(x)
f(x)dx
x x+dx
bx
二、元素法（微元法）
当所求量U 符合下列条件： “整体量 = 部分量之和”
（1）U 是与一个变量 x的变化区间a, b有关的
y
是否要讨论f上, f下 的正负?
只有x能做积分变量?
y
y=f 上(x)
d x=f 左( y)
x=f 右( y)
Oa
A1
bx
A3
y=f 下(x)
y
c
a
y=f 上(x)
O
A2
y=f 下(x)
bx
O
x
A1=A2=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
A3 = d [f 右(y)-f 左(y)]dy． c
b
b
A= a f 上(x)dx - a f 下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=yf=下f(下x)(x) bx
例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积。
解 两曲线的交点(0,0) , (1,1). 选 x为积分变量x [0,1]
[x, x dx] [0,1]
在[x,x+dx]上 DA ( x -x 2)dx ， y
几何：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
应用： 物理：功；水压力；引力
计算：平均值等．
7.2 几何应用
一、平面图形的面积 二、平面曲线的弧长 三、体积
7.2.1 平面图形的面积
一、在直角坐标情形下求图形的面积 二、在极坐标情形下求图形的面积
一、在直角坐标情形下求图形的面积
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形 的面积．
于是面积元素为 dA = ( x -x 2)dx ，
以( x -x 2)dx为被积表达式，
1
以[0, 1]为积分区间求定积分
y2x yx 2
得所求的图形面积
11
A ( 00
x
-x
22)dx
[
2 3
x
- 33//22
1 3
x] 130130
1 3
．
0
x x+dx 1
x
求出积分区间后,可直接套公式.
讨论：如果下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？
量；
（2）U 对于区间a, b具有可加性，就是说， 如果把区间a, b分成许多部分区间，则U 相应
地分成许多部分量，而整体量U 等于所有部分
量之和；
（3）部分量 DU 的近似值可表示为 f (x)Dx 。
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ；
xi-1 i xi
xn-1 b x
•任取i [xi-1，xi ] ,∆Ai ≈ f ( i) Dxi i=1,2,…,n.
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (i )Dxi ．
四步哪一步 最重要？
i1
•记 max{Dx1, Dx2， ···, Dx n }．则
n
•曲边梯形的面积的精确值为：A=
2) x, x dx a,b， U在[x, x + dx]上的部分量
DU f x dx dU
3）
U
b
a
f
x dx
需要我们找出的 被积表达式
注 DU f x dx 中，f (x)dx必须是DU的线性主部，
即要 DU - f x dx o Dx
此时实际上 f (x)d x = d U
一般地，若曲线由参数方程
x x t
y
y
t
x t 不变号且连续，y ( t ) 连续．
例3
求椭圆 x2 y 2 1所围成的图形面积． a2 b2
解 设椭圆在第一象限的面积为A1，则椭圆的面积为A4A1．
第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为[0，a]．
y
因为面积元素为ydx， 所以
b
A1
a
ydx
0
，
椭圆的参数方程为: xa cos t ， yb sin t ，
于是
注意上下限
第七章 定积分应用和广义积分
7.1 微元法 7.2 几何应用 7.3 物理应用 7.5 广义积分
7.1 定积分的微元法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题 y
曲边梯形由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
x b所围成。
Oa
b
A a f ( x)dx
在[y, y+dy]上面积元素为
dA = (y 4 - 1 y2)dy ，
所求的图形面积为
2
0 2 4 6 8x
-2
(2, -2)
A
4
A
-2
(4y
-2
(y
4
4--1212yy22))dyy
[[1212y
2y24y4-y1-y
6
1
3]
6
y4
-2
3]14-82．18．
思考: 选x为积分变量?
2
8
A 0 [ 2x - (- 2x)]dx 2 ( 2x - x 4)dx
y O dx
x2 y2 1 a2 b2
axБайду номын сангаас
a
A1 0
ydx 0 b sin t d (a cos t) - a b 0 sin 2t d t
2
2
1
a 1ba
b2
(2 1(-1c-ocos s22tt))dd t
11
aabb··
1
a1bab．．
2 2 00
22 2 2 4 4
A 4A1 a b．