群论-第5讲 群的定义

M n (F ), 均 为 半 群 ， 但 M n (F), 为 可 换 半 群 ， 而 当 n 1 时 ， M n (F ), 不是可换半群。
若
•
M
(F
)
表示一切非零矩阵（
n
阶）组成的集合，那么

•
M
n
(F
),

•
和 M n (F), 都不是半群了（为什么？）
G 称为 4 次单位根群. G 的元素的运算可用下表给出,这个表
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称为群的运算表.
o 1 -1 i -i
1 1 -1 i -i
-1 -1 1 -i i
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
对于一个集合，要考察它是否作成群，不仅要注意它的 元素是什么，更应注意它的代数运算是什么，因为同一个集 合，对这个代数运算可能作成群，而对另一个代数运算却不 一定作成群；即使对两个不同的代数运算同时都作成群，那 么一般来说，也被认为是两个不同的群．
定理 2 群G 的左单位元 e 也是 G 的一个右单位
元，即对群G 中任意元素 a 均有 ea ae a .
证明 对G 中任意元素 a ，因为
ae a(a1a) (aa1)a ea a .
故 ea ae a ．
定理 3 群 G 的左（右）单位元及每个元素的左（右） 逆元都是唯一的．
A 不可逆 A没有逆元.
19 不是群，
因为除了 外，其它元都没有逆元.
20 不是群，
因为除了 S 外，其它元都没有逆元.
注意：在群 G, 中，通常称“ ”为乘法，因而称群
G 为乘法群。但有时我们会遇到用“加法”做成的群， 例如什么的 1，3，6，9，16.这时，我们称这类群为加 法群。为此，这些群中的单位元习惯上称为零元，并 统记为 0，每个元的逆元习惯上叫做负元，统记为 a ， 而不用 a1 。
证明 对群 G 中任意元 a ，有左逆元 a1 G ,而a1在G 中
也有左逆元，设为 a ,则 aa1 e.由此可得 aa1 e(aa1) (aa1)(aa1) a[(a1a)a1] a(ea1) aa1 e ,
从而 a1a aa1 e .
即 a a1，故 a 的逆元是唯一的．
注意：如果将群的定义中的“左”换成 “右”，显然又得到“群的等价定义” 。
定义 4（等价定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
一个群的代数运算叫什么名称或用什么符号表示，这是 非本质的．因此，在不致发生混淆时，有时为了方便，也常
把群的代数运算叫做“乘法”，并且往往还把 aob 简记为 a b 或 ab ．
群的基本性质
定理 l 群G 的元素 a 的左逆元 a1也是 a 的一个右逆元， 即有 a1a aa1 e ．
么称 G, 为幺半群，通常写为 G,, e . .
思考题：能否举出一个是半群但不是幺半群的例子？
例如,全体偶数构成的集合2Z,对普 通数的乘法构成半群,但不是幺半群 .
群的定义
定义（群的定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
•
6、 R, 7、 R, 8、 R , 9、 C, 10、 C,
•
11、 C, 12、 N, 13、 N, 14、 N ,
15、 N , 16、 Mn (F), 17、 M n (F ),
明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路）. （3） 群的阶和群中元素的阶.
本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称
为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”
也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）。
一、半群、幺半群 定义 1 设G 为任一非空集合， G 上定义了一
个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，
•
18、 M n (F), 19、 S, 20、 S,
解
1，是群. 因为 Z, 有单位元 0（即 e 0），而 n Z, n 的 逆元为 n ，因为 n (n) (n) n 0 .
（譬如 3 的逆元为-3，…） 同理 3,6,9,16 都是群.
证明 设 e 与 e 都是 G 的左单位元，则根据左单位元的
定义，有 e ee ee e.
其次，设 a1 及 a 都是 a 的左逆元，即有
a1a aa1 e, aa aa e ，
进一步得
a ae a(aa1) (aa)a1 ea1 a1 ，
如果乘法“ ”满足交换律，则称 G, 为可换半群.
如果 G 是有限集，则称 G, 为有限半群.
例 1 Z, , Z, 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”
分别是通常的加法和乘法。（但不是有限半群）
•
•
同理： Q, , Q, ， N, , N, , N, , N, ，
（3） {G,}中有右单位元 e ，（即 G, 是 monoid）；
（4） {G,} 中每个元都有右逆元（即 G, 是群）。
课堂训练：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是
群？为什么？
1、 Z,
2、 Z,
3、 Q,
4、 Q,
•
5、 Q,
例 7 设 G 为整数集．证明：G 对运算 a ob a b 1作 成一个群.
证明 a,b G ，显然 a b 1为由 a 与 b 唯一确定的整
数，故所给运算 o是 G 的一个代数运算．
a,b,c G ，有
(a ob) oc (a b 1) oc (a b 1) c 1 a b 2 .
2 不是群. 因为 Z , 有单位元 1，而 0 Z ，0 不可能有
逆
元（ a0 0 1）。
同理 4，7，10，15，17 也不是群，而 13 中虽然无零，但 除了 1 外， N 中其它元都没有逆元，所以 13 也不是群。
18 不是群， 因为若 A M n (F ) 且 A 0 时，
即 a,b, c G,有(a b) c a (b c) ，那么代数体系 G, 叫做是一个半群.
注：（1）乘法“”的表达形式上，以后都用“ ab ”来替代“ a b ”.
（2）在不发生混淆的前提下，半群 G, 可简记为 G .
定义 2 设 G, 是一个半群，那么
（譬如群 Z, 中的零元为 0，3 的负元为-3）
不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“ ”并不
是一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词 汇而已。同理加法群中的相加，并非一定是数的相加， 更多的表示“抽象加法”的含义。
例 9 一种重要的群：我们应该能回忆得起第 3 讲
中曾出现过的模 n 的剩余类集合
第5讲
第二章 群 论
§1 群的定义 （2课时）
群论是代数学中最古老最丰富 的分支之一，是近世代数的基础。变 换群在几何学中起着重要的作用，而 有限群则是伽罗华理论
（Galois ,E[法] 1811—1832） 的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对 象就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一 些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群” 和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
称 G 为无限群. 例如： Z, 是无限群，而 Zn , 是有限群.
例 4 整数集 Z 关于数的加法构成交换群< Z ,+>,左单位元
是 0, 每个数的左逆元是它的相反数. Z 关于数的普通乘法不
构成群，因为，除了土 1 的其他任何整数在 Z 中都没有左逆
元．
例 5 有理数全体 Q 在通常的数的加法下也是一个加法群.
提示：A≠0，B≠0，但 可能A+B=0，AB=0。
例 3 设 A {1,2,3,4}，而 S P(A)(A 的
全部子集构成的集合），通常叫做 A 的幂
集。那么 S, 及 S, 都是有限可换半 群。
定义 2：设 G, 是一个半群，如果 G 中含有单位元 e ，那
本讲的教学里要求对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位 元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必 要明白其脉络。教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系 必须清楚。
由于本讲知识是群论的最基本部分，照理不该 出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意： （1） 半群，幺半群和群的关系. （2） 本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证
同理有 a o(b oc) a b 2 ， (a ob) oc a o(b oc) ．
a G , 1G ，有 (1) oa 1 a 1 a ；
故-1 是G 的左单位元． a G ,有
(2 a) oa 2 a a 1 1, 即 2 a 是 a 的左逆元． 因此，整数集 G 对代数运算 o作成一个群．
同理实数全体 R 及复数全体 C 在数的加法下都成群. Q 在数
的乘法下不构成群,但是如果用Q 表示非零有理数全体,则Q
在数的乘法下成为一个交换群,左单位元为
1,
q p
的左逆元为
p q
.
同理 R (非零实数全体), C (非零复数全体)在数的乘法下都
成群.
例 6 设G {A A是有理数上的 n 阶矩阵, A 0}, G 关于 矩阵的乘法构成一个群,但不是交换群.
Z n {[0],[1],[2], ,[n 1]}
为便于掌握，现令 n 4 ，我们期望能使 Z4 成为一个群. 第一步：在 Z4 中定义代数运算，使其成为一个代数体 系。在 Z4 {[0],[1],[2],[3]} 中规定加法“+”：
[i] [ j} [i j]
其中
[2] [3] [1],[1] [2] [3]
•
•
•
Q, , R, , R, , R, , C, , C, , C, ,
都是可换半群。
例 2 取 F 为任一数域， M n (F ) 为 F 上一切 n 阶方阵组成的集合。 若“+”和“ · ”均为通常矩阵的加法和乘法，那么 Mn (F), 和
例 8 设 G {1, 1,i, i}， o为数的乘法,则< G , o>是一个交换群.
因为, G 中任意两个元素的乘积还是 G 的一个元,于是 G 在 o下是
封闭的.数的乘法总是满足结合律和交换律. G 的单位元是 1,并且
-1 的左逆元为-1, i 的左逆元为-i ,- i 的左逆元为 i .
（3） {G,}中有左单位元 e ，（即 G, 是幺半群）；
（4） {G,} 中每个元都有左逆元（即 G, 是群）。
群的名词和符号 设 G, 是一个群，那么集合 G 中含元素的个数称
为群 G 的阶.简记为 G . 如果 G n +∞，称 G 为有限群，否则当 G +∞时，
事实上，可用运算表来完全刻划“+”，可知“+”是 封闭的。
+
[0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2]
第二步：验证“+”满足结合律，进而使 Z4, 成为半群。 事实上，[a],[b],[c] Z4,则([a] [b]) [c] [a b] [c] [(a b) c] [a (b c)] [a] [b c] [a] ([b] [c])([a] [b]) [c] [a] ([b] [c