群论-第5讲 群的定义
群论与群的性质与运算
群论与群的性质与运算1. 引言群论是数学中重要的一个分支，研究了群的性质与运算。
群是一种代数结构，对于许多数学领域和应用都具有重要的意义。
本文将介绍群的定义、群的性质以及群的运算。
2. 群的定义在抽象代数中，群是指一个集合G和一个二元运算(*)的组合，满足以下四个条件：1）封闭性：对于G中的任意两个元素a和b，其运算结果a*b也属于G；2）结合律：对于G中的任意三个元素a、b和c，有(a*b)*c =a*(b*c)；3）单位元：存在一个元素e，称为单位元，对于G中的任意元素a，有a*e = e*a = a；4）逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b，使得a*b = b*a = e，其中e为单位元。
3. 群的性质群具有许多重要的性质，如闭合性、结合律、单位元和逆元。
此外，群还具有以下性质：1）唯一性：群的单位元是唯一的，即不存在不同的单位元；2）逆元唯一：群的每个元素都有唯一的逆元；3）消去律：对于群G中的任意元素a、b和c，若a*b = a*c，则必有b = c，同样地，若b*a = c*a，则必有b = c。
4. 群的运算群的运算可以是加法或乘法。
当群的运算是加法时，群记作(G, +)，符号'*'用'+'代替。
当群的运算是乘法时，群记作(G, ×)，符号'*'用'×'代替。
1）加法群：对于加法群(G, +)，满足以下性质：a）封闭性：对于G中的任意两个元素a和b，有a+b属于G；b）结合律：对于G中的任意三个元素a、b和c，有(a+b)+c =a+(b+c)；c）单位元：存在一个元素0，使得对于G中的任意元素a，有a+0= 0+a = a；d）逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b) = (-b)+a = 0。
2）乘法群：对于乘法群(G, ×)，满足以下性质：a）封闭性：对于G中的任意两个元素a和b，有a×b属于G；b）结合律：对于G中的任意三个元素a、b和c，有(a×b)×c =a×(b×c)；c）单位元：存在一个元素1，使得对于G中的任意元素a，有a×1 = 1×a = a；d）逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b，使得a×b =b×a = 1。
群论中的群和子群
群论是数学中一个重要的分支，研究的是群及其性质与结构。
而群则是具备代数结构的一个集合，其中包含了运算和运算规则。
本文将介绍群论中的群和子群的概念以及一些重要性质和例子。
在群论中，群被定义为一个集合G和一个二元运算组成的代数结构，满足以下四个性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
具体地说，对于群G中的任意两个元素a和b，它们的运算结果a和b也在G中。
此外，群运算必须满足结合律，即(a b)c=a(b c)。
群中必须存在一个单位元e，使得对于任意的元素a，a e=e a=a。
最后，对于每个元素a都必须存在一个逆元a^-1，使得a a-1=a-1*a=e。
这些性质使得群成为一个具有一定代数结构的集合。
群的一个重要概念是子群。
子群是指一个群G的一个非空子集H，其本身也构成一个群，且H中包含了G的运算。
换句话说，子群是群中封闭的子集。
子群的一个重要性质是它必须包含群G的单位元。
此外，子群中的每个元素都必须同时是群G中元素的逆元。
例如，对于一个群G，它的子集H如果同时满足封闭性、含有单位元以及对于每个元素a都有a^-1也在H中，则H是G的一个子群。
对于子群的性质，我们可以得到以下结论：首先，子群的运算是满足结合律的。
这是因为子群是通过继承原群的运算所得到的，而原群的运算满足结合律。
其次，子群的单位元是原群的单位元。
这是因为子群必须包含原群的单位元，所以它的单位元一定与原群的单位元相同。
最后，子群的逆元也是原群的逆元。
这是因为子群必须包含原群中每个元素的逆元，所以子群的逆元一定与原群的逆元相同。
我们可以通过一些具体的例子进一步理解群和子群的概念。
例如，整数集合Z构成一个群，以加法作为运算。
在Z中，任意两个整数的和仍然是一个整数，满足封闭性。
0是Z中的单位元，对于任意整数a，有-a是它在Z中的逆元。
Z的非负整数集合N构成Z的一个子群，它的单位元是0，而逆元只能是自身或者0。
总结起来，群论中的群和子群是讨论群结构的两个基本概念。
群的概念和定义怎么写
群的概念和定义怎么写群的概念和定义群是指由两个或两个以上的个体组成的一个集合体，集体中的每个个体被称为群成员。
群可以是自然形成的，也可以是人为组织的。
群的成员之间可以有相互关系，共享共同的目标或兴趣，并通过不同的交流方式进行互动和合作。
群的定义可以从不同的角度进行解释。
从社会学角度看，群是一个由指定规则和共同目标构成的社会集体。
群对个体成员的影响和影响力具有显著的特点，群成员之间通过社会交往和协作来实现共同的目标。
从心理学角度看，群是一个成员之间建立互动和关联的社会单位。
群对个体成员的认知、情感和行为都会产生重要影响。
群有许多不同的类型和形式，可以根据成员的特点、关系和目标进行分类。
例如，家庭是一种很常见的群，由父母和子女组成，共同生活和分享责任。
工作团队是另一种群类型，由成员共同合作完成一项任务或项目。
社交团体如俱乐部、兴趣小组等也是一种常见的群形式，成员之间通过共同的兴趣爱好来建立联系。
群的形成和维持通常涉及着各种因素。
个体之间的相似性、共同目标、相互依赖和地理接近等都有助于群的形成。
同时，共同的价值观、规范和群体认同感也是维持群的重要因素。
群内的社交互动和沟通是维持群功能的重要手段，群成员之间的合作和互助是群内关系的重要基础。
群对个体成员的作用和影响是多方面的。
首先，群为个体提供了社会支持和情感上的满足。
在群内，个体可以找到共鸣、理解和归属感，有助于提高个体的幸福感和满意度。
其次，群为个体提供了学习和发展的机会。
通过与群内其他成员的交流和合作，个体可以学习新知识、技能和经验，并在协作中不断提高自身能力。
此外，群还提供了社会认同的机会，个体可以在群内找到自身在社会中的位置和身份认同。
然而，群也存在一些问题和挑战。
例如，群内可能存在权力关系和冲突。
不同个体之间的权力和利益分配可能会导致群内的竞争和不协调。
此外，群内可能存在压力和压力来源，例如群体期望和规范的压力。
某些成员可能会感到被动或不自由，并对群体中的规则和期望感到不满。
群论的基本概念与应用
群论的基本概念与应用在现代数学中，群论是一门重要的研究对象。
它是数学中的一个分支领域，研究代数结构的深刻性质，以及在物理、化学、计算机科学等领域的应用。
本文将针对群论的基本概念和应用进行探讨。
一、群的定义和基本概念群是一种代数结构，具有以下特性：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，其运算结果仍然属于该群。
2. 结合性：群运算是一个可结合的运算。
3. 单位元素：群中存在一个单独的元素，对于该群中的任意元素，它与单位元素的运算结果等于其本身。
4. 逆元素：群中的每个元素都有一个逆元素，在该元素与其逆元素运算后等于单位元素。
5. 可交换性：在群运算中，交换任意两个元素的位置不会影响整个运算的结果。
此外，群还有两个重要的概念：群的阶和子群。
群的阶是指群中元素的个数，记为|G|。
对于一个有限群G，其阶等于元素个数。
而对于无限群G，其阶可以用“无穷大”来表示。
子群指一个群G的子集，它包含G中的所有单位元素和逆元素，并且对于G中的任意两个元素之间的运算，在该子群中仍然成立。
二、常见的群类型常见的群类型包括置换群、加法群和乘法群。
置换群是由一组置换组成的群，其中每个置换都是将集合中的元素重新排列的函数。
这种群在密码学、组合学和物理学中都有应用。
加法群是指一个按照加法运算组成的群，例如整数集上的加法和向量空间的加法。
这种群在物理、化学和工程学中得到广泛应用。
乘法群是指一个按照乘法运算组成的群，例如复数集合上的乘法和单位圆上的乘法。
这种群在数论、几何学和代数学的许多领域中都有应用。
三、群论在数论中的应用群论在数论中的应用非常广泛。
其中一项重要的应用是解决费马大定理（Fermat's last theorem）。
费马大定理是由法国数学家皮埃尔·费马于17世纪提出的。
它的表述是：当n大于2时，关于x、y和z的方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
这个问题一直是数学家们的难题，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）通过运用群论的方法，完美地解决了费马大定理。
数学专业的群论
数学专业的群论群论是数学中一个重要的分支领域，它主要研究群的定义、性质和应用。
群论在数学中起到了举足轻重的作用，被广泛应用于代数、几何、物理和密码学等领域。
本文将对群论的概念、性质和应用进行介绍。
一、群的定义与性质在群论中，群是一种代数结构，由一个集合和一个二元运算组成。
群的定义需要满足四个条件：封闭性、结合性、单位元存在性和逆元存在性。
具体地说，设G是一个集合，*表示G上的二元运算。
若集合G满足以下条件，则称G为一个群：1. 封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b仍然属于G；2. 结合性：对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)；3. 单位元存在性：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a；4. 逆元存在性：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。
群的性质主要有唯一性、消去律和子群的定义等。
群的唯一性指的是一个集合上可能存在多个群结构，但这些群结构之间具有一一对应的关系。
消去律是指若群G中的元素a*b=a*c，则可以推出b=c。
二、群的应用1. 代数学应用群论在代数学中扮演着核心的角色。
它被广泛应用于线性代数、数论和域论等领域。
群的概念和性质为这些领域提供了基础，通过群论的方法可以研究和解决各种代数结构的问题。
2. 几何学应用几何学是另一个重要的应用领域。
群论在点群、对称群和Lie群等几何结构的研究中发挥着重要作用。
通过群论的方法可以研究几何对象的对称性和变换性质，从而深化对几何学的理解。
3. 物理学应用群论在物理学中也有广泛的应用。
在量子力学、粒子物理学和宇宙学等领域，群论被用来研究物理系统的对称性和变换规律。
通过群论的方法可以建立描述物理系统的数学模型，推导出物理定律。
4. 密码学应用群论在密码学中的应用得到了广泛的认可。
通过利用群的性质，可以设计和分析各种密码算法，保障信息的安全性。
群论可以用来研究离散对数问题，并构造一些具有强安全性的密码体制。
数学中的群论
数学中的群论在数学中，群论是一门非常重要的学科，它在不同领域起着至关重要的作用。
那么，什么是群呢？简单来说，群由一些元素和一个特定的运算组成，这个运算满足特定的性质。
群的研究主要关注的是这些性质及其结构。
一、群的定义与基本性质群的定义是这样的：一个群G是一个由一些元素构成的集合，以及在这个集合上定义的一个运算，满足以下四条性质：1. 闭合性：对于任意的元素a、b∈G，运算a*b也属于G。
2. 结合律：对于任意的元素a、b、c∈G，有(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 存在单位元素：存在一个元素e∈G，使得对于任意的元素a∈G，有a*e=e*a=a。
4. 存在逆元素：对于任意的元素a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a*a'=a'*a=e。
通过这四个基本性质可以理解群的定义。
这里需要注意的是，群的元素可以是任何东西，可以是数字、符号、矩阵等等。
在群中有一些特殊的元素，比如单位元素e和逆元素a'，它们具有很重要的意义。
其中，单位元素是群中唯一的元素，逆元素不一定存在，但是如果存在，一般是唯一的。
二、群的例子群的例子种类繁多，下面列举一些常见的例子。
1. 整数加法群：所有整数构成一个群，运算为加法。
2. 正整数乘法群：所有正整数构成一个群，运算为乘法。
3. 旋转群：所有在平面上旋转的变换构成一个群，运算为变换的复合。
4. 对称群：所有置换构成一个群，运算为置换的复合。
5. 矩阵群：所有n阶方阵构成一个群，运算为矩阵的乘法。
这些例子不仅可以帮助我们理解群的性质，而且在实际应用中也具有很重要的意义。
三、群的应用群论是一门非常有用的数学学科，有广泛的应用领域。
以下列举一些具体的应用。
1. 物理学：群论在物理学中有很多应用，比如对称群用来描述物理系统的对称性。
2. 化学：群论在化学中也有一些应用，比如用来描述分子的对称性，进而预测分子的性质。
3. 计算机科学：群论在计算机科学中也有应用，比如在密码学中，群可用于构造加密算法。
群论的基本概念和运算
群论的基本概念和运算群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，称为群。
群具有丰富的数学性质和广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础工具。
本文将介绍群论的基本概念和运算。
一、群的定义和基本性质群是一个非空集合G，配上一种二元运算"·"，如果满足下列四个条件：1.封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b也属于G。
2.结合律：对于任意的a，b，c∈G，有(a·b)·c = a·(b·c)。
3.单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e = e·a = a。
4.逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a·a' = a'·a = e。
群的基本性质如下：1.单位元唯一性：群中的单位元只有一个。
2.逆元唯一性：群中的元素的逆元唯一。
3.消去律：若a·b = a·c，则b = c；若b·a = c·a，则b = c。
二、群的示例下面以一些常见的群为例介绍群的概念。
1.整数加法群（Z，+）：整数集合配上加法运算构成一个群。
单位元为0，每个元素的逆元为其相反数。
2.整数乘法群（Z*，×）：整数集合去掉0后，配上乘法运算构成一个群。
单位元为1，每个非零整数的逆元为其倒数。
3.矩阵群（GL(n，R)）：n阶实数矩阵集合中，可逆矩阵配上矩阵乘法运算构成一个群。
单位元为单位矩阵，每个可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一。
4.置换群（Sn）：由n个元素的全排列组成的集合，配上排列的乘法运算构成一个群。
单位元为恒等排列，每个排列的逆排列存在且唯一。
三、群的运算群的运算包括闭包性、结合律、单位元和逆元。
群运算的一些性质如下：1.闭包性：群的运算必须满足封闭性，即群中的任意两个元素的运算结果仍然属于群。
2.结合律：群的运算必须满足结合律，即对于群中的任意三个元素a，b，c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
群论的基本理论及其应用
群论的基本理论及其应用群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的对象和思想对现代科学和技术的发展具有深远影响。
本文将简要介绍群论的基本理论，包括群的定义和基本性质、同构与同态、正则表示等，以及群论在物理、化学、密码学等领域的应用。
一、群的定义和基本性质群是指一个集合G，和一个二元运算“·”，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b∈G。
2. 结合律：对于任意的a，b，c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)。
3. 单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e=e·a=a。
4. 逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a^-1∈G，使得a·a^-1=a^-1·a=e。
以上四个条件被称作群的基本公理，满足这些公理的集合和运算就构成了一个群。
除了以上四个基本性质，群还具有一些重要的衍生性质，如：1. 唯一性：群的单位元和逆元是唯一的。
2. 闭合性：群的任意子集在运算下仍构成一个群。
3. 基本定理：任意群都同构于一个置换群。
二、同构与同态同构和同态是群论中最重要的概念之一。
同构指两个群之间存在一个双射函数，满足这个函数保持乘法运算，即对于任意的群元素a，b∈G，有f(a·b)=f(a)·f(b)。
同构很像一种数学上的等价关系，它说明两个群结构上是相同的。
同态指两个群之间存在一个映射，满足这个映射保持群的乘法和单位元素，即对于任意的群元素a，b∈G，有f(a·b)=f(a)·f(b)且f(e)=e'，其中e和e'分别是两个群的单位元素。
同态具有保持群结构的性质，它将一个群映射到另一个群上，并保留了群的结构特征。
三、正则表示群的正则表示是指把一个任意群转化成可逆矩阵群的一种数学方法。
这种转化方法常用于群论与物理学、化学等学科的交叉研究领域。
高等代数中的群论 基本概念与运算规律
高等代数中的群论基本概念与运算规律在高等代数中，群论是一个重要的数学分支，它研究的是集合与运算之间的关系。
群论的基本概念和运算规律对于理解和应用代数学知识具有重要意义。
本文将介绍群论的基本概念和运算规律，以帮助读者更好地理解这一领域的内容。
一、群的定义与性质群是代数结构的一种形式，它由一个集合G和一个二元运算*组成。
如果满足以下条件，那么G就是一个群：1. 封闭性：对于任意的a、b∈G， a * b也属于G。
2. 结合律：对于任意的a、b、c∈G，(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，a * e = e *a = a。
4. 逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a * b = b * a = e。
以上四个条件是群的基本性质，可以看出群中的运算是封闭的、结合的，并且存在单位元和逆元。
二、群的例子1. 整数集：整数集（Z，+）构成一个群，其中+表示整数的加法运算。
单位元为0，任意整数a的逆元为-a。
2. 实数集：实数集（R，+）构成一个群，其中+表示实数的加法运算。
单位元为0，任意实数a的逆元为-a。
3. 矩阵集合：矩阵集合（M，*）构成一个群，其中*表示矩阵的乘法运算。
单位元为单位矩阵，任意可逆矩阵A的逆元为A的逆矩阵。
三、群的运算规律1. 结合律：群的运算满足结合律，即对于任意的a、b、c∈G，(a *b) * c = a * (b * c)。
2. 唯一性：群的单位元是唯一的，即不存在两个不同的单位元。
3. 逆元唯一性：群的每个元素都有唯一的逆元，即不存在两个不同的逆元。
4. 交换律：如果群的运算满足交换律，即对于任意的a、b∈G，a *b = b * a，则称该群为交换群或可交换群。
以上运算规律是群论中的基本性质，对于研究和解决问题具有很大的帮助。
四、子群和同态在群论中，子群和同态是两个重要的概念。
1. 子群：如果一个群H是另一个群G的子集，并且H中的元素在G的运算下仍然构成一个群，那么H就是G的子群。
数学中的群论
数学中的群论数学中的群论是一门关于代数结构的分支，它探究了集合上的一种运算，这种运算满足一些特定的性质。
群论在数学各个领域，如代数、几何和数论中都有广泛的应用。
本文将介绍群论的基本概念、性质以及一些应用示例。
一、群的定义与性质群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个性质：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a*b仍然属于G。
2. 结合律：对于任意的a，b和c∈G，(a*b)*c = a*(b*c)。
3. 存在单位元素：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a*e =e*a = a。
4. 存在逆元素：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b= b*a = e。
群的定义和性质为我们提供了一个强大的理论框架，使得我们能够对代数结构进行深入研究和分类。
群可以分为有限群和无限群两种类型，根据群元素的数目进行分类。
二、群的例子与分类在群论中，存在许多经典的群示例，有助于我们理解群的性质和应用。
下面将介绍几个常见的群：1. 整数加法群：整数集合Z配合加法运算构成一个群。
它满足封闭性、结合律、单位元素为0和逆元素为相反数。
2. 实数乘法群：实数集合R中除0以外的数配合乘法运算构成一个群。
它满足封闭性、结合律、单位元素为1和逆元素为倒数。
3. 对称群：对称群是指有限集合上的所有排列构成的群。
它的运算是排列的复合，单位元素是恒等排列，逆元素是逆序排列。
4. 特殊线性群：特殊线性群是指特定维度上可逆矩阵构成的群，记作SL(n, R)。
它满足矩阵乘法的封闭性、结合律、单位矩阵为单位元素和逆矩阵为逆元素。
根据群的性质和结构，我们可以对群进行分类。
常见的分类方法有：交换群、循环群、有限群等。
其中，交换群也称为阿贝尔群，满足群运算的交换律。
三、群论的应用群论在数学中的应用广泛且重要，下面将介绍几个典型的应用示例：1. 密码学：群论在密码学中发挥了重要作用，特别是在公钥密码体制中。
基于群论的数学算法，如Diffie-Hellman密钥交换和椭圆曲线密码算法，确保了数据的安全性和机密性。
群论 知识点
群论：知识点写一篇文章（step by step thinking）一、引言群论（Group theory）是数学中的一个重要分支领域，研究的是集合上的一种代数结构，即群。
群论是现代数学的基础之一，也是其他学科中的重要工具和方法。
本文将从基本概念、性质和应用三个方面来介绍群论的知识点。
二、基本概念1.群的定义：群是一个集合，其中包含一个二元运算（通常表示为乘法或加法），满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
2.子群：如果一个群的子集在相同的运算下也构成一个群，则该子集称为原群的子群。
3.同态：如果两个群之间存在一个保持运算的映射，则称这个映射为同态。
4.环和域：环是一个满足加法和乘法条件的集合，域是一个满足加法、乘法和逆元条件的集合。
三、性质1.单位元唯一性：每个群都有一个唯一的单位元，它与群中的任何元素相乘（或相加）都不改变该元素的值。
2.逆元唯一性：每个群中的元素都有一个唯一的逆元，它与该元素相乘（或相加）得到单位元。
3.结合律：群中的运算满足结合律，即无论元素的顺序如何，结果都是相同的。
四、应用1.几何学：群论在几何学中有广泛的应用，特别是对称性和对称群的研究。
通过对称性的分析，可以研究物体的旋转、平移和镜像等性质。
2.密码学：群论在密码学中有重要的应用，特别是在公钥密码系统中。
公钥密码系统利用群论中的离散对数问题来实现安全的加密和解密过程。
3.物理学：群论在物理学中有广泛的应用，特别是在量子力学和场论中。
通过对称群的研究，可以得到物理系统的对称性和守恒量。
五、总结群论作为数学的一个重要分支，不仅有着深厚的理论基础，还具有广泛的应用领域。
本文从基本概念、性质和应用三个方面对群论进行了简要介绍。
通过了解群论的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用群论在各个学科中的重要性。
同时，群论的应用也为我们提供了解决实际问题的工具和方法。
希望本文能够对读者对群论有一个初步的了解，并激发对数学的兴趣和探索欲望。
左维老师群论讲义5
5.1 n阶对称群 阶对称群
对称群
■ 定义: 以n个数字{1,2,…,n}间的所有置换操作为元素构成 的群, 称为n阶对称群, 也称为n阶置换群Sn. 其元素表示为
a1 a2 ... an b1 b2 ... bn
逆元:任一置换s∈Sn, 其逆元为 逆元
n阶对称群共有n!个元素
群的乘法: 群的乘法 两个置换的乘积rs为先进行s置换,再进行r置换.
b)对换满足递推关系.
(k , a + k ) = (a + 1, a + k )(a, a + 1)(a + 1, a + k )
c)任一轮换可表示为相邻数字对换的乘积.
(a1 , a2 , a3 ,..., am 1 , am ) = (a1 , am )(a1 , am 1 ) (a1 , a3 )(a1 , a2 )
b)对换满足递推关系.
(k , a + k ) = (a + 1, a + k )(a, a + 1)(a + 1, a + k )
c)任一轮换可表示为相邻数字对换的乘积.
a1 a2 ... an s= b1 b2 ... bn
b1 s = a1
1
ห้องสมุดไป่ตู้
b2 ... bn a2 ... an
轮换: 轮换 一个m阶轮换定义为
a1 (a1 , a2 , a3 ,..., am 1 , am ) = a2
a2 a3
a3 a4
a4 ... am 1 a5 ... am
am a1
a)如果两个轮换中没有公共数字,则称这两个轮换相互独立. b)任意置换可表示为相互独立的轮换的乘积.每个轮换称为一个 轮换因子.若两个置换具有相同个数的轮换因子,且相应轮换因 子的长度相等, 则称这两个置换具有相同的轮换结构. 对换: 对换 由两个数字组成的2阶轮换 a)任一轮换可表示为对换的乘积.
群论 定理
群论定理
群论是一种数学理论，研究的是具有某种特性的集合，特别是满足某种封闭性的集合。
群论中的主要研究对象是群以及与群有关的半群、子群、同态、同构等概念和性质。
一、群的定义
一个集合G，若在G中定义了加法“+”和乘法“*”，使得G对于加法和乘法都构成一个封闭的集合，则称G是一个群。
这里的加法和乘法可以视为在G上的二元运算。
二、群的性质
1.封闭性：对于任意两个元素x，y属于G，其和或积仍属于G。
2.结合律：对于任意三个元素x，y，z属于G，有(x+y)+z=x+(y+z)和
(x y)z=x(y z)。
3.单位元：存在一个元素e属于G，使得对于任意元素x属于G，有
e+x=x+e=x。
4.逆元：对于任意元素x属于G，存在一个元素y属于G，使得x+y=e和
x*y=e。
三、群的运算
群的运算主要指加法和乘法。
在实践中，为了方便计算和研究，常常会引入一些特殊的运算，如求逆元、求阶等。
四、群的分类
根据不同的标准，群可以分为不同的类型：
1.循环群和非循环群：循环群是指存在一个元素g，使得G={g^n|n=0,±1,±
2,...}；否则称为非循环群。
2.交换群和非交换群：交换群是指所有元素都可交换；否则称为非交换群。
3.阿贝尔群和非阿贝尔群：阿贝尔群是指满足交换律的群；否则称为非阿贝
尔群。
第五讲：分子的对称性与群论基础 群表示与不可约表示
则可以得到C3V点群6个对称操作的矩阵表示如下 （2） ：
1 0 0 E 0 1 0 0 0 1
1 0 0 σV 0 1 0 0 0 1
C2 3 C3C3
σ V σ V C 3
σ V C2 σV 3
可分解为两个子方阵：
1 2 Ca 3 3 2 3 2 1 2
Cb 3 1
b C 矩阵的直和 ：C 3 Ca 3 3
10
群表示和不可约表示
2. 可约与不可约表示
2)、可约和不可约表示
由矩阵的乘法规则可知：方块化的矩阵的乘法为方块对方块的乘法。 每组小方块矩阵服从同样的乘法次序。一组子方块矩阵也构成群的一 个表示。” C3V点群的三维表示 ：
13
群表示和不可约表示
3. 不可约表示特征标表
群的重要性质被概括在各种表格中，其中最频繁使用的是不可约 表示的特征标表（已列于教材的后面）。
14
群表示和不可约表示
3. 不可约表示特征标表
C3V
E 1 1
C3 1 1
1 2 3 2 3 2 1 2
1 2 3 2
C32 1 1
3 2 1 2
V (XZ)
1 -1
V’
1 -1
1 2 3 2 3 2 1 2
V”
1 -1
1 3 2 2 3 1 2 2
1/ 2 3 2 0 C3 3 2 1 / 2 0 0 0 1
3 2 0 1 / 2 0 0 1
1 / 2 3 2 0 2 C3 3 2 1 / 2 0 0 0 1
群论知识点总结
群论知识点总结群论是数学中的一个重要分支，研究群这种抽象代数结构以及它们之间的联系和性质。
群论的发展历程可以追溯到19世纪初，而在20世纪上半叶，群论得到了长足的发展，并且在现代物理学、密码学、计算机科学等领域中得到广泛的应用。
本文将介绍群论的基本概念、重要性质以及一些典型的应用。
一、基本概念1. 群的定义群G是一个非空集合，配合一个二元运算$\star$（称为群运算），满足以下条件：（1）封闭性：对于任意的$a,b\in G$，$a\star b$仍然是G的元素。
（2）结合律：对于任意的$a,b,c\in G$，有$a\star (b\star c)= (a\star b)\star c$。
（3）单位元：存在一个元素$e\in G$，使得对于任意的$a\in G$，都有$a\star e = e\star a = a$。
（4）逆元：对于任意的$a\in G$，都存在一个元素$a^{-1}\in G$，使得$a\star a^{-1} = a^{-1}\star a = e$。
如果群的群运算满足交换律，则称该群为交换群或阿贝尔群。
2. 子群的定义如果群G的一个非空子集H也是一个群，并且在G中的群运算下封闭，则称H为G的子群。
3. 同态的定义设有两个群$G_1$和$G_2$，它们之间的一个映射$\varphi:G_1\rightarrow G_2$，若满足：（1）$\varphi(e_{G_1})=e_{G_2}$。
（2）$\varphi(a\star_{G_1} b)=\varphi(a)\star_{G_2}\varphi(b)$，对于任意的$a,b\in G_1$。
则称$\varphi$为一个同态映射。
若$\varphi$是双射，那么称$\varphi$为同构映射。
同构的两个群在结构上完全相同，只是元素的名称不同。
4. 循环群的定义如果群G中某个元素a的所有幂次构成的集合$<a>$在群G中稠密排列，那么称G为循环群，a为循环群的生成元。
第5章 群论
主要讨论半群与群两个代数系统
5.1半群
定义5.1半群:(S,)中二元运算“ ”满足结 合律则称此代数系统为半群。
注:半群的子系统是半群。
1
第5章 群论
定义5.2 交换半群:半群(S,)如满足交换律则称其为 可换半群。 定义5.3 单元半群(幺半群):半群(S,)中如存在单位 元则称其为单位半群,也称独异点。
3
实例
例： (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加 法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点。 (2) 设n是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),· >都是半 群，也都是独异点，其中+和· 分别表示矩阵加法和矩阵乘 法。 (3) <P(B),>为半群，也是独异点，其中为集合对称差运 算。 (4) <Zn, >为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}， 为模n加法 。 (5) <R*,◦>为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如 下：x, yR*, x◦y=y。
29
第5章 群论
定义5.13:一个阶为n的有限集合S上的所有变换所组成的集 合Sn及其复合运算所构成的变换群(Sn,)称为S的对称群,若有 限集S上若干个变换所组成的集合S及其复合运算所组成的变 换群(S,)称为S的置换群。 由定义可知有限集上的变换群称置换群或对称群。
13
群的性质：方程存在惟一解
例: 设群G=<P({a,b}),>，其中为对称差. 解下列 群方程： {a}X=，Y{a,b}={b} 解 X={a}1={a}={a}， Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}
第5讲 第2章第1节 群的定义
做成交换群
Q 对于数的普通乘法 （1）非零有理数集
做成交换群，称为非零有理数乘群. （2）正有理数集 Q 对于数的普通乘法 做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 整数集 Z （1）对于数的普通加法 左逆元 a 加法有结合律、交换律，左单位元0， 因此做成交换群，称为整数加群； （2）对于数的普通乘法 左单位元1，a 1 无逆元,不能做成群； （3）对于运算 a b a b 4
首先运算是封闭的； a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8 a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8 有结合律，且有交换律
对a, b G, G中每一个方程 ax b和ya b在G中都有解.
则称G为群.
例1 （1）全体整数作成的集合对于数的普通加法（或乘法）； （1）全体整数作成的集合对于数的普通加法； （2）全体有理数作成的集合对于数的普通加法（或乘法）； （3）某数域上全体n阶方阵作成的集合对于矩阵加法；
教学目的及要求： 1.理解并掌握群的等价定义，会判断群；掌握群中相关概念和性质； 2.理解消去律和有限群的判定； 3.理解群同态的原理并掌握其性质及运用； 4.理解变换群和置换群的概念，掌握置换的两种表示方法及其计算，理 解凯莱定理的意义，了解小阶置换群的性质； 5.理解并掌握循环群及生成元的概念及性质，理解循环群的结构定理； 6.理解子群和生成子群的概念及性质，熟练判断子群； 7.理解子群的左右陪集的概念和性质，理解拉格朗日定理并熟练应用； 8.理解不变子群概念并能熟练证明，理解商群的概念； 9.理解群的商群与不变子群及同态的关系（同态基本定理），了解同态 的基本性质。
群论中的群与子群概念
群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的是关于集合上的运算的代数系统。
而群与子群则是群论中的两个基本概念。
首先，我们来谈谈群的概念。
群是由一个集合以及一个运算组成的代数结构。
这个运算满足四个基本性质：封闭性、结合性、存在单位元素和存在逆元素。
封闭性指的是任意两个元素进行运算后的结果仍然属于群的集合中。
结合性是指群中任意三个元素进行运算时，先进行其中两个元素的运算，再与第三个元素进行运算，结果应该与先将后两个元素进行运算后再与第一个元素进行运算的结果相等。
单位元素是指在群中存在一个特殊的元素，与群中的任意元素进行运算后，结果不变。
逆元素则是指群中的每个元素都有一个特殊的元素与之进行运算后，结果为单位元素。
群的例子有很多，例如，整数集合{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}构成了一个群，其中的运算是加法。
在这个群中，0是单位元素，任意整数n的逆元素是-n。
另一个例子是二阶对称群S2，它是由两个元素e和s组成，其中e是单位元素，s的平方等于e。
可以发现，群的定义非常广泛，不同的群可能有不同的性质和结构。
接下来，我们来讨论子群的概念。
子群是一个群的一个子集，同时也是一个群。
即子群继承了原群的运算，并且满足群的四个基本性质。
如果一个子集满足封闭性、结合性、存在单位元素和存在逆元素这四个性质，那么我们就可以称它为原群的子群。
当然，子群中的单位元素和逆元素都是继承自原群中的。
子群在群论中有着重要的地位，它可以帮助我们研究群的结构和性质。
通过寻找原群的子群，我们可以将复杂的群分解为更简单的子群，进而更方便地分析群的性质。
有时候，我们可以通过子群的性质来推导出原群的性质，或者通过研究子群中的元素来了解原群的特点。
子群的例子也有很多。
例如，对于整数群，它的所有偶数构成的集合{…, -4, -2, 0, 2, 4, …}就是一个子群。
因为任意两个偶数相加还是偶数，单位元素是0，并且每个偶数的相反数依然是偶数。
什么是群的概念
什么是群的概念群是指由一组人或物体组成的集合体。
在社会学中，群也被定义为一群个体之间相互作用并且彼此产生影响的社会单位。
群的概念在社会科学研究中具有重要意义，既可以用来研究人类社会行为，也可以用来研究自然界中的物质组织。
群具有以下几个基本特征：首先，群是由一组成员组成的，这些成员之间可以是人类个体也可以是非人类个体。
其次，群的成员之间存在相互作用，并且这些相互作用对群的发展和变化具有重要的影响。
再次，群是一个相对稳定的单位，它具有一定的组织结构和内部规则，能够在一定程度上保持自己的稳定性和一致性。
最后，群的成员之间存在某种共同目标或共同利益，他们通过协作和合作来实现这些目标或利益。
群在社会学领域的研究非常广泛，有关群的研究可以从多个层次进行：个体层面、群体层面和社会层面。
在个体层面上，群的研究主要关注个体在群体中的行为、态度和心理。
例如，研究表明，个体在群体中会受到同伴和社会规范的影响，从而改变自己的行为和态度。
在群体层面上，群的研究关注群体的组织结构、动力学和决策过程。
例如，研究表明，群体的决策过程常常受到群体智慧、群体动力和群体动态平衡等因素的影响。
在社会层面上，群的研究关注群体之间的相互作用和群体对整个社会的影响。
例如，研究表明，群体在社会变革和社会运动中发挥着重要的作用，能够改变社会的结构和秩序。
群在生物学领域的研究也非常重要，例如，在动物行为学领域，研究表明，动物往往以群体的形式生活。
群对于动物的存活、繁衍和适应环境具有重要的意义。
例如，许多动物在食物、避敌和交配等方面通过组成群体来实现自身的利益和生存需求。
在生态学领域，群体的研究可以帮助我们理解物种的种群结构和相互关系，以及生态系统的稳定性和功能。
例如，研究表明，群体中的个体之间的相互作用能够影响物种的丰富度、多样性和稳定性。
总而言之，群是由一组成员组成的集合体，具有相互作用、稳定性和共同目标或利益的重要特征。
群的研究在社会科学和生物学领域具有广泛的应用，可以帮助我们理解人类社会行为、动物行为以及自然界中物质组织的组织结构和功能。
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若
•
M
(F
)表示一切非零矩阵（n阶）组成的集合，那么
•
M
n
(F
),
•
和 M n (F), 都不是半群了（为什么？）
即 a a1，故 a 的逆元是唯一的．
注意：如果将群的定义中的“左”换成 “右”，显然又得到“群的等价定义” 。
定义 4（等价定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
证明 设 e 与 e 都是 G 的左单位元，则根据左单位元的
定义，有 e ee ee e.
其次，设 a1 及 a 都是 a 的左逆元，即有
a1a aa1 e, aa aa e ，
进一步得
a ae a(aa1) (aa)a1 ea1 a1 ，
（3） {G,}中有右单位元 e ，（即 G, 是 monoid）；
（4） {G,} 中每个元都有右逆元（即 G, 是群）。
课堂训练：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是
群？为什么？
1、 Z,
2、 Z,
3、 Q,
4、 Q,
•
5、 Q,
一个群的代数运算叫什么名称或用什么符号表示，这是 非本质的．因此，在不致发生混淆时，有时为了方便，也常
把群的代数运算叫做“乘法”，并且往往还把 aob 简记为 a b 或 ab ．
群的基本性质
定理 l 群G 的元素 a 的左逆元 a1也是 a 的一个右逆元， 即有 a1a aa1 e ．
例 8 设 G {1, 1,i, i}， o为数的乘法,则< G , o>是一个交换群.
因为, G 中任意两个元素的乘积还是 G 的一个元,于是 G 在 o下是
封闭的.数的乘法总是满足结合律和交换律. G 的单位元是 1,并且
-1 的左逆元为-1, i 的左逆元为-i ,- i 的左逆元为 i .
提示：A≠0，B≠0，但 可能A+B=0，AB=0。
例 3 设 A {1,2,3,4}，而 S P(A)(A 的
全部子集构成的集合），通常叫做 A 的幂
集。那么 S, 及 S, 都是有限可换半 群。
定义 2：设 G, 是一个半群，如果 G 中含有单位元 e ，那
2 不是群. 因为 Z , 有单位元 1，而 0 Z ，0 不可能有
逆
元（ a0 0 1）。
同理 4，7，10，15，17 也不是群，而 13 中虽然无零，但 除了 1 外， N 中其它元都没有逆元，所以 13 也不是群。
18 不是群， 因为若 A M n (F ) 且 A 0 时，
•
6、 R, 7、 R, 8、 R , 9、 C, 10、 C,
•
11、 C, 12、 N, 13、 N, 14、 N ,
15、 N , 16、 Mn (F), 17、 M n (F ),
定理 2 群G 的左单位元 e 也是 G 的一个右单位
元，即对群G 中任意元素 a 均有 ea ae a .
证明 对G 中任意元素 a ，因为
ae a(a1a) (aa1)a ea a .
故 ea ae a ．
定理 3 群 G 的左（右）单位元及每个元素的左（右） 逆元都是唯一的．
同理实数全体 R 及复数全体 C 在数的加法下都成群. Q 在数
的乘法下不构成群,但是如果用Q 表示非零有理数全体,则Q
在数的乘法下成为一个交换群,左单位元为
1,
q p
的左逆元为
p q
.
同理 R (非零实数全体), C (非零复数全体)在数的乘法下都
成群.
例 6 设G {A A是有理数上的 n 阶矩阵, A 0}, G 关于 矩阵的乘法构成一个群,但不是交换群.
本讲的教学里要求对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位 元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必 要明白其脉络。教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系 必须清楚。
由于本讲知识是群论的最基本部分，照理不该 出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意： （1） 半群，幺半群和群的关系. （2） 本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证
•
•
•
Q, , R, , R, , R, , C, , C, , C, ,
都是可换半群。
例 2 取 F 为任一数域， M n (F ) 为 F 上一切 n 阶方阵组成的集合。 若“+”和“ · ”均为通常矩阵的加法和乘法，那么 Mn (F), 和
么称 G, 为幺半群，通常写为 G,, e . .
思考题：能否举出一个是半群但不是幺半群的例子？
例如,全体偶数构成的集合2Z,对普 通数的乘法构成半群,但不是幺半群 .
群的定义
定义（群的定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
即 a,b, c G,有(a b) c a (b c) ，那么代数体系 G, 叫做是一个半群.
注：（1）乘法“”的表达形式上，以后都用“ ab ”来替代“ a b ”.
（2）在不发生混淆的前提下，半群 G, 可简记为 G .
定义 2 设 G, 是一个半群，那么
（譬如群 Z, 中的零元为 0，3 的负元为-3）
不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“ ”并不
是一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词 汇而已。同理加法群中的相加，并非一定是数的相加， 更多的表示“抽象加法”的含义。
例 9 一种重要的群：我们应该能回忆得起第 3 讲
中曾出现过的模 n 的剩余类集合
Z n {[0],[1],[2], ,[n 1]}
为便于掌握，现令 n 4 ，我们期望能使 Z4 成为一个群. 第一步：在 Z4 中定义代数运算，使其成为一个代数体 系。在 Z4 {[0],[1],[2],[3]} 中规定加法“+”：
[i] [ j} [i j]
其中
[2] [3] [1],[1] [2] [3]
称 G 为无限群. 例如： Z, 是无限群，而 Zn , 是有限群.
例 4 整数集 Z 关于数的加法构成交换群< Z ,+>,左单位元
是 0, 每个数的左逆元是它的相反数. Z 关于数的普通乘法不
构成群，因为，除了土 1 的其他任何整数在 Z 中都没有左逆
元．
例 5 有理数全体 Q 在通常的数的加法下也是一个加法群.
•
18、 M n (F), 19、 S, 20、 S,
解
1，是群. 因为 Z, 有单位元 0（即 e 0），而 n Z, n 的 逆元为 n ，因为 n (n) (n) n 0 .
（譬如 3 的逆元为-3，…） 同理 3,6,9,16 都是群.
明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路）. （3） 群的阶和群中元素的阶.
本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称
为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”
也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）。
一、半群、幺半群 定义 1 设G 为任一非空集合， G 上定义了一
个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，
证明 对群 G 中任意元 a ，有左逆元 a1 G ,而a1在G 中
也有左逆元，设为 a ,则 aa1 e.由此可得 aa1 e(aa1) (aa1)(aa1) a[(a1a)a1] a(ea1) aa1 e ,
从而 a1a aa1 e .
如果乘法“ ”满足交换律，则称 G, 为可换半群.
如果 G 是有限集，则称 G, 为有限半群.
例 1 Z, , Z, 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”
分别是通常的加法和乘法。（但不是有限半群）
•
•
同理： Q, , Q, ， N, , N, , N, , N, ，
G 称为 4 次单位根群. G 的元素的运算可用下表给出,这个表
称为群的运算表.
o 1 -1 i -i
1 1 -1 i -i
-1 -1 1 -i i
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
对于一个集合，要考察它是否作成群，不仅要注意它的 元素是什么，更应注意它的代数运算是什么，因为同一个集 合，对这个代数运算可能作成群，而对另一个代数运算却不 一定作成群；即使对两个不同的代数运算同时都作成群，那 么一般来说，也被认为是两个不同的群．
A 不可逆 A没有逆元.
19 不是群，
因为除了 外，其它元都没有逆元.
20 不是群，
因为除了 S 外，其它元都没有逆元.
注意：在群 G, 中，通常称“ ”为乘法，因而称群
G 为乘法群。但有时我们会遇到用“加法”做成的群， 例如什么的 1，3，6，9，16.这时，我们称这类群为加 法群。为此，这些群中的单位元习惯上称为零元，并 统记为 0，每个元的逆元习惯上叫做负元，统记为 a ， 而不用 a1 。
第5讲
第二章 群 论
§1 群的定义 （2课时）
群论是代数学中最古老最丰富 的分支之一，是近世代数的基础。变 换群在几何学中起着重要的作用，而 有限群则是伽罗华理论