2017年北京中考一模数学第27题(代数综合题) (13区汇总)

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2017北京中考一模几何综合题型汇总

几何综合题型汇总1.（2017东城一模）在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为___________；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE.①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；……请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1 图2 图32．（2017西城一模）在△ABC 中，AB =BC ，BD ⊥AC 于点D ．（1）如图1，当∠ABC =90°时，若CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F .①求证：△BEF 是等腰三角形； ②求证：()BF BC BD +=21；（2）点E 在AB 边上，连接CE . 若()BF BC BD +=21，在图2.中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路图1 图23．（2017海淀一模）在ABCD 中，点B 关于AD 的对称点为B '，连接AB '，CB '，CB '交AD 于F 点.（1）如图1，90ABC ∠=︒，求证：F 为CB '的中点；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B 绕点A 旋转的过程中，点F 始终为CB '的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点B '作B G '∥CD 交AD 于G 点，只需证三角形全等；想法2：连接BB '交AD 于H 点，只需证H 为BB '的中点；想法3：连接BB '，BF ，只需证90B BC '∠=︒． ……请你参考上面的想法，证明F 为CB '的中点．（一种方法即可）（3）如图3，当135ABC ∠=︒时，AB '，CD 的延长线相交于点E ，求CE AF的值．图1 图2 图34.（2017朝阳一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE=AD，(1) 如图1，连接AE，DE，当∠AEB=110°时，求∠DAE的度数；(2) 在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE=AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF,DE.①依题意补全图形；②求证：BF=DE.图1 图25．（2017丰台一模）在边长为5的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 边上的两个动点（不与点B ，C ，D 重合），且AE ⊥EF ．（1）如图1，当BE = 2时，求FC 的长；（2）延长EF 交正方形ABCD 外角平分线CP 于点P ．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E 运动的过程中，始终有AE =PE ．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB 上截取AG =EC ，连接EG ，要证AE =PE ，需证△AGE ≌△ECP ．想法2：作点A 关于BC 的对称点H ，连接BH ，CH ，EH ．要证AE =PE ，需证△EHP 为等腰三角形．想法3：将线段BE 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BM ，连接CM ，EM ，要证AE =PE ，需证四边形MCPE 为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE =PE ．（一种方法即可）FA BCD EF A BCDE图1 图26．（2017石景山一模）在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点（与点A ，C 不重合），连接BE ．（1）将射线BE 绕点B 顺时针旋转45°，交直线AC 于点F .①依题意补全图1；②小研通过观察、实验，发现线段AE ，FC ，EF 存在以下数量关系：AE 与FC 的平方和等于EF 的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BM ，要证AE ， FC ，EF 的关系，只需证AE ，AM ，EM 的关系.想法2：将ABE △沿BE 翻折，得到NBE △，要证AE ，FC ，EF 的关系，只需证EN ，FN ，EF 的关系. ……请你参考上面的想法，用等式表示线段AE ，FC ，EF 的数量关系并证明；（一种方法即可）（2）如图2，若将直线．．BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线．．AC 于点F .小研完成作图后，发现直线AC 上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示ABDC图1图27. （2017房山一模）在△ABC 中，AB=BC ，∠B=90°，点D 为直线BC 上一个动点（不与B 、C 重合），连结AD ，将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°，使点A 旋转到点E ，连结EC . （1）如果点D 在线段BC 上运动，如图1： ①依题意补全图1； ②求证：∠BAD=∠EDC③通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有∠DCE=135°.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：想法一：在AB 上取一点F ，使得BF=BD ，要证∠DCE =135°，只需证△ADF ≌△DEC .想法二：以点D 为圆心，DC 为半径画弧交AC 于点F. 要证∠DCE=135°，只需证△AFD ≌△ECD . 想法三：过点E 作BC 所在直线的垂线段EF ，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF .……请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°.（2）如果点D 在线段CB 的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE 的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE 的度数；如果不是，说明你的理由.CCB CB 8．（2017通州一模）在等边三角形ABC 中，E 为直线AB 上一点，连接EC .ED 与直线BC 交于点D ，ED =EC . （1）如图1，AB =1，点E 是AB 的中点，求BD 的长；（2）点E 是AB 边上任意一点（不与AB 边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE 与BD 间的数量关系并证明；（3）点E 不在线段AB 上，请在图3中画出符合条件的一个图形.图1 图2 图3BCBC9.（2017门头沟一模）已知△ABC ，AB AC =, BAC α∠=,在BA 的延长线上任取一点D ,过点D 作BC 的平行线交CA 的延长线于点E .（1）当60BAC ∠=︒时，如图1，依题意补全图形，直接写出EC ,BC ,ED 的数量关系；（2）当90BAC ∠=︒时，如图2，判断EC ,BC ,ED 之间的数量关系，并加以证明；（3）当BAC α∠=时（0180α︒︒＜＜），请写出EC ,BC ,ED 之间的数量关系并写出解题思路.图1图2图1备用图10.（2017平谷一模）在△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，点D 是BC 边的中点，作射线DE ，与边AB 交于点E ，射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 交于点F ．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E 运动的过程中，始终有DE=DF ．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D 是BC 边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE =DF ；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E 关于线段AD 的对称点P ，由∠BAC 与∠EDF 互补，可得 ∠AED 与∠AFD 互补，由等角对等边，可证DE =DF ；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD 是∠BAC 的角平分线，由角平分线定理，构造点D 到AB ，AC 的高，利用全等三角形，可证DE =DF …….请你参考上面的想法，帮助小华证明DE =DF （选一种方法即可）；（3）在点E 运动的过程中，直接写出BE ，CF ，AB 之间的数量关系．图2图1FB11.（2017顺义一模）在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，顶点B 、D 、F 在同一直线上，H 是BF 的中点．（1）如图1，若AB =1，DG =2，求（2）如图2，连接AH ，GH ．小宇观察图2，提出猜想：AH =GH ，AH ⊥GH ．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH 交EF 于点M ，连接AG ，GM ，要证明结论成立只需证△GAM 是等腰直角三角形；想法2：连接AC ，GE 分别交BF 于点M ，N ，要证明结论成立只需证△AMH ≌△HNG . ……请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH =GH ，AH ⊥GH ．（一种方法即可）图2GFDCBA图1OBA12.（2017怀柔一模）（1）如图1，在△ACB 和△ADB 中，∠C=∠D =90°，过A ，B ，C 三点可以作一个圆，此时AB为圆的直径，AB 的中点O 为圆心.因为∠D=90°，利用圆的定义可知点D 也在此圆上，若连接DC ，当∠CAB=31° 时，利用圆的知识可知∠CDB=度.（2）如图2，在△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CE ⊥AB 于E ，点F 是CE 中点，连接AF 并延长交BC 于点D. CG ⊥AD 于点G ，连接EG.①求证:BD=2DC;②借助（1）中求角的方法，写出求EG 长的思路.（可以不写出计算的结果）13.（2017大兴一模）已知，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=3，在BC边上取两点E，F（点E在点F左侧），以EF为边作等边三角形DEF，使顶点D与E在边AC异侧，DE，DF分别交AC于点G，H，连结AD.（1）如图1，求证：DE⊥AC；（2）如图2，若∠DAC=30°，△DEF的边EF在线段BC上移动.写出DH与BE的数量关系并证明；（3）若30°<∠DAC<60°，△DEF的周长为m，则m的取值范围是.。

2017北京中考数学一模27汇总

l2017中考一模27汇编27（西城）．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2 -(2m + 1)x + m -5的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y 的取值范围是-6 ≤ y ≤ 4-n ，求n 的值；③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O .设平移后的图象对应的函数表达式为y =a (x -h )2 + k ，当x < 2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.27(房山). 在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C. （1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0)与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．27（顺义）．如图，已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A （-2，0），B 两点，与y 轴交于C 点，tan ∠ABC =2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点．求m 的取值范围．27（平谷）．直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线()230y mx nx m m =+-≠经过A ，B ，C 三点，求该抛物线的表达式；（3）若抛物线()230y ax bx a =++≠ 经过A ，B 两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围．27（通州）．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222+-+-=m m mx x y 的顶点为D.线段AB 的两个端点分别为A （-3，m ），B （1，m ）. （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围.27（海淀）．平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y mx m x =-+交y 轴于A 点，交直线x =4于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）；（2）若AB ∥x 轴，求抛物线的表达式；（3）记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），若对于图象G 上任意一点P （P x ，P y ），2P y ≤，求m 的取值范围．27（东城）．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C (0,n )作直线l ⊥y 轴.① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关系；② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围．27（丰台）．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()01242≠-+-=m m mx mx y 与平行于x 轴的一条直线交于A ，B 两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果点A 的坐标是（-1，-2），求点B 的坐标；（3）抛物线的对称轴交直线AB 于点C ，如果直线AB 与y 轴交点的纵坐标为-1，且抛物线顶点D 到点C 的距离大于2，求m 的取值范围．27（门头沟）. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ,B 两点，点A 在点B 的左侧，抛物线的顶点为P ,规定：抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”（不包含边界）.（1）如果该抛物线经过（1, 3），求a 的值，并指出此时“G 区域”有______个整数点；（整数点就是横纵坐标均为整数的点）（2）求抛物线()()13y a x x =+-的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，如果G 区域中仅有4个整数点时，直接写出a 的取值范围.27（石景山）．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标；（2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠交于B ，C 两点．①当2a =时，求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的取值范围．。

2017年27题

2017年北京一模27题汇总（2017燕山）27. 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点A(0，-3)，B(4，5). （1）求此抛物线表达式及顶点M 的坐标；（2）设点M 关于y 轴的对称点是N ，此抛物线在A ，B 两点之间的部分记为图象W(包含A,B 两点)，经过点N 的直线l ：n mx y +=与图象W 恰一个有公共点，结合图象，求m 的取值范围.（2017年通州）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222+-+-=m m mx x y 的顶点为D.线段AB 的两个端点分别为A （-3，m ），B （1，m ）. （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围.（2017年西城）27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2 -(2m + 1)x + m -5的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y 的取值范围是-6 ≤ y ≤ 4-n ，求n 的值；③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O .设平移后的图象对应的函数表达式为y =a (x -h )2 + k ，当x < 2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.（2017年朝阳）27．在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2211222y x mx m m =-++-的顶点在x 轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q 是x 轴上一点，①若在抛物线上存在点P ，使得∠POQ =45°，求点P 的坐标；②抛物线与直线y =2交于点E ，F （点E 在点F 的左侧），将此抛物线在点E ，F （包含点E 和点F ）之间的部分沿x 轴平移n 个单位后得到的图象记为G ，若在图象G 上存在点P ，使得∠POQ =45°，求n 的取值范围．（2017年东城）27．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C (0,n )作直线l ⊥y 轴.① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关系；② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围．（2017年石景山）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标；（2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线 2443(0)y a x a x a a =-+-≠交于B ，C①当2a =时，求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的取值范围．xl（2017年房山）27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C. （1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0)与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．（2017年丰台）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()01242≠-+-=m m mx mx y 与平行于x 轴的一条直线交于A ，B 两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果点A 的坐标是（-1，-2），求点B 的坐标；（3）抛物线的对称轴交直线AB 于点C ，如果直线AB 与y 为-1，且抛物线顶点D 到点C 距离大于2，求m 的取值范围．（2017年海淀）27．平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y mx m x =-+交y 轴于A 点，交直线x =4于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）；（2）若AB ∥x 轴，求抛物线的表达式；（3）记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），若对于图象G 上任意一点P （P x ，P y ），2P y ≤，求m 的取值范围．（2017年平谷）27．直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线()230y mx nx m m =+-≠经过A ，B ，C 三点，求该抛物线的表达式；（3）若抛物线()230y ax bx a =++≠ 经过A ，B 两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围．（2017年顺义）27．如图，已知抛物线28(0)y a x b x a =++≠与x 轴交于A （-2，0），B 两点，与y 轴交于C 点，tan ∠ABC =2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点．求m 的取值范围．答案（2017年燕山）27. (1)将 A （0，-3），B （4，5）代入 c bx x y ++=2 中 C=-316+4b+c=5∴C=-3 b=-2∴ 抛物线的表达式是223y x x =-- …………………… ……1′顶点坐标是（1，-4） …………………………2′(2) M 关于y 轴的对称点N(-1.-4) ，由图象知m=0符合条件 ……………………3′又设NA 表达式y=kx+b将 A （0，-3），N （-1，-4）代入 y=kx+b 中得 b=-3,-k+b=-4 得k=1 b=-3∴y=x-3再设NB 表达式y=tx+s,得 4t+s=5-t+s=-4 得t=95 s=115- y=95x 115-…………………………5′由图示知1＜m ≤95或m=0…………………………7′（2017通州）27. 解：（1）D (m ，-m +2) ……………………..(2分)（2）m =3或m =1 ……………………..(5分) （3）1≤m ≤3 ……………………..(7分)（2017年西城）（2017年朝阳）（2017年石景山）27．解：（1）解法一： ∵2443y ax ax a =-+-2(2)3a x =--， ………………………………… 1分∴顶点A 的坐标为(2,3)-． ………………………………… 2分解法二： ∵244(43)(4)2,324a a a a aa-⨯----==-，∴顶点A 的坐标为(2,3)-． ………………………………… 2分（2）①当2a =时，抛物线为2285y x x =-+令5y =，得22855x x -+=，解得，1204x x ==，．……………… 4分 ∴线段BC 的长为4． ……………… 5分② 80<9a ≤． ……………… 7分（2017年房山）27.解：（1）∵直线y =2x -3与y 1分∴点A 关于x 轴的对称点为B （0，3），l 为直线y =3 ∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 的坐标为（3，3） ------2分（2）∵抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0) ∴y = nx 2-4nx +4n +n = n (x -2)2+n∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，n ） ------3分 ∵点B （0，3），点C （3，3）当n ＞3时，抛物线最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点； ②当n=3时，抛物线顶点为（2，3），在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点； ------4分 ③当0＜n ＜3时，抛物线最小值为n ，与直线BC 有两个交点如果抛物线y=n (x -2)2+ n 经过点B （0，3），则3=5n ，解得53=n由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3）点（4，3）不在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点B ------5分如果抛物线y=n (x -2)2+ n 经过点C （3，3），则3=2n ，解得23=n由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3）点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有两个公共点 ------6分综上所述，当53≤n ＜23或n=3时，抛物线与线段BC 有一个公共点. ------7分（2017年海淀）27．（1）m ； --------------------------------------------------------- 2分（2）∵ 抛物线2222y mx m x =-+与y 轴交于A 点，∴ A （0，2）．------------------------------------------------------------------------------------- 3分 ∵ AB ∥x 轴，B 点在直线x =4上，∴ B （4，2），抛物线的对称轴为直线x =2. --------------------------------------------- 4分 ∴ m =2．∴ 抛物线的表达式为2282y x x =-+． --------------------------------------------------- 5分（3）当0m >时，如图1．∵()02A ，，∴要使04P x ≤≤时，始终满足2P y ≤，只需使抛物线2222y mx m x =-+的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．∴2m ≥． -------------------------------------------- 6分当0m <时，如图2，0m <时，2P y ≤恒成立． ------------------- 7分综上所述，0m <或2m ≥．（2017年平谷）27．解：（1）令y =0，得x =1．∴点A 的坐标为（1,0）． ........................................................................................ 1 ∵点A 关于直线x =﹣1对称点为点C ，∴点C 的坐标为（﹣3,0）． ........................ 2 （2）令x =0，得y =3．∴点B 的坐标为（0,3）． ∵抛物线经过点B ， ∴﹣3m =3，解得m =﹣1． ............................ 3 ∵抛物线经过点A ， ∴m+n ﹣3m =0，解得n =﹣2．∴抛物线表达式为223y x x =--+． (4)（3）由题意可知，a <0．根据抛物线的对称性，当抛物线经过（﹣1,0）时，开口最小，a =﹣3， ............. 5 此时抛物线顶点在y 轴上，不符合题意.当抛物线经过（﹣3,0）时，开口最大，a =﹣1. ....................................................... 6 结合函数图像可知，a 的取值范围为31a -<≤-. .. (7)图1图2。

2017年北京市东城区中考数学一模试卷及解析

2017年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）数据显示：2016年我国就业增长超出预期．全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高．将数据1 314用科学记数法表示应为（）A．1.314×103B．1.314×104C．13.14×102D．0.1314×1042．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＜|b| B．a＞﹣b C．b＞a D．a＞﹣23．（3分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）某健步走运动的爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.2，1.3 B．1.3，1.3 C．1.4，1.35 D．1.4，1.35．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于（）A．15°B．25°C．30°D．45°6．（3分）下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同（）A．B．C．D．7．（3分）我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．（3分）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（3分）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（）A．103块B．104块C．105块D．106块10．（3分）图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ADE和正方形ABCD组成，正方形ABCD两条对角线交于点O，在AD的中点P处放置了一台主摄像机．游戏参与者行进的时间为x，与主摄像机的距离为y，若游戏参与者匀速行进，且表示y与x的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是（）A．A→O→D B．E→A→C C．A→E→D D．E→A→B二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：ab2﹣2ab+a＝．12．（3分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为（0，1）．此二次函数的解析式可以是．13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．14．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．15．（3分）北京市2012﹣2016年常住人口增量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为万人次，你的预估理由是．16．（3分）下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程．已知：如图1，线段AB．求作：以AB为直径的⊙O．作法：如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；（2）作直线CD交AB于点O；（3）以O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O即为所求作的．请回答：该作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1．18．（5分）解不等式＞﹣1，并写出它的正整数解．19．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中2x2+4x﹣1＝0．20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，求∠BAD的度数．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于点A（m，3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的解析式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP ＝S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．22．（5分）列方程或方程组解应用题：在某场CBA比赛中，某位运动员的技术统计如表所示：技术上场时间（分钟）出手投篮（次）投中（次）罚球得分（分）篮板（个）助攻（次）个人总得分（分）数据38 27 11 6 3 4 33注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分＝两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．23．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝2，求平行四边形ABCD的周长．24．（5分）阅读下列材料：“共享单车”是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态．共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择．自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行．Quest Mobile监测的M型与O型单车从2016年10月﹣﹣2017年1月的月度用户使用情况如表所示：根据以上材料解答下列问题：（1）仔细阅读上表，将O型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据；（2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论．25．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB＝a，AD：DE＝4：1，写出求DE长的思路．26．（5分）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形﹣﹣燕尾四边形的性质．定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）．（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）；定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究．下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB＝AD＝6，BC＝DC＝4，∠BCD＝120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）．27．（7分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．28．（7分）在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD＝BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD＝BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD＝BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD＝BE，只需要延长CB至点G，使得BG＝CD，证明△ADC≌△DEG；…请参考以上思路，帮助小玉证明CD＝BE．（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB＝AC＝kBC，AD＝kDE，且∠ADE＝∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是．（直接给出结论无须证明）29．（8分）设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣，﹣1），C （，﹣1）．（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是；（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO＝30°．①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；②将直线AM向下平移得到直线y＝kx+b，当b满足什么条件时，直线y＝kx+b上总存在等边△ABC 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图2，点Q为直线y＝﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．2017年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）数据显示：2016年我国就业增长超出预期．全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高．将数据1 314用科学记数法表示应为（）A．1.314×103B．1.314×104C．13.14×102D．0.1314×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将数据1 314用科学记数法表示应为1.314×103，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＜|b| B．a＞﹣b C．b＞a D．a＞﹣2【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数，绝对值的性质判断即可．【解答】解：根据数轴上点的位置得：﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴|a|＞|b|，a＜﹣b，b＞a，a＜﹣2，故选：C．【点评】此题考查了实数与数轴，弄清实数a，b在数轴上的对应点的位置是解本题的关键．3．（3分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：∵在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，∴共有2+6+4＝12只，∴将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是＝，故选：B．【点评】本题考查概率的求法与运用．一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．（3分）某健步走运动的爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.2，1.3 B．1.3，1.3 C．1.4，1.35 D．1.4，1.3【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．【解答】解：∵这组数据中1.4出现的次数最多，∴在每天所走的步数这组数据中，众数是1.4；每天所走的步数的中位数是：（1.3+1.3）÷2＝1.3∴在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4、1.3．故选：D．【点评】此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．5．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于（）A．15°B．25°C．30°D．45°【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝75°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°，即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DNM＝∠BME＝75°，∵∠PND＝45°，∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝30°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6．（3分）下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的三视图，可得答案．【解答】解：A主视图、左视图都是矩形，俯视图是三角形，故A不符合题意；B、主视图、左视图、俯视图都是圆，故B符合题意；C、主视图、左视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；D、主视图俯视图都是矩形，左视图是正方形，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．7．（3分）我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：如图所示：其对称轴有2条．故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．8．（3分）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，故a+b＝2．故选：A．【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9．（3分）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（）A．103块B．104块C．105块D．106块【分析】根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．【解答】解：设这批手表有x块，550×60+（x﹣60）×500＞55000解得，x＞104∴这批电话手表至少有105块，故选：C．【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．10．（3分）图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ADE和正方形ABCD组成，正方形ABCD两条对角线交于点O，在AD的中点P处放置了一台主摄像机．游戏参与者行进的时间为x，与主摄像机的距离为y，若游戏参与者匀速行进，且表示y与x的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是（）A．A→O→D B．E→A→C C．A→E→D D．E→A→B【分析】根据各个选项中的路线进行分析，看哪条路线符号图2的函数图象即可解答本题．【解答】解：由题意可得，当经过的路线是A→O→D时，从A→O，y随x的增大先减小后增大且图象对称，从O→D，y随x 的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A符号要求；当经过的路线是E→A→C时，从E→A，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B不符号要求；当经过的路线是A→E→D时，从A→E，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于于刚开始的值，故选项C不符号要求；当经过的路线是E→A→B时，从E→A，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D不符号要求；故选：A．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，明确各个选项中路线对应的函数图象，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：ab2﹣2ab+a＝a（b﹣1）2．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：ab2﹣2ab+a，＝a（b2﹣2b+1），＝a（b﹣1）2．【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．12．（3分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为（0，1）．此二次函数的解析式可以是y＝x2+1 ．【分析】二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据开口向上得出a为正数，根据与y轴的交点坐标为（0，1）得出c＝1，写出一个符合的二次函数即可．【解答】解：答案不唯一，如：y＝x2+1，故答案为：y＝x2+1．【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键．13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1 ．【分析】根据判别式的意义得到△＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，解得k＜1．故答案为k＜1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．14．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2＝6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．15．（3分）北京市2012﹣2016年常住人口增量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为0～2.4 万人次，你的预估理由是北京每年人口平均增长的人数呈减小的趋势．【分析】根据北京市2012﹣2016年常住人口增量条形统计图，判断北京每年人口平均增长的人数的变化趋势，据此得出结论．【解答】解：根据北京市2012﹣2016年常住人口增量条形统计图，可得北京每年人口平均增长的人数呈减小的趋势，故2017年北京市常住人口增量约为0～2.4万人次，故答案为：0～2.4，北京每年人口平均增长的人数呈减小的趋势．（答案不唯一）【点评】本题主要考查了用样本估计总体以及条形统计图的应用，解题时注意：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．16．（3分）下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程．已知：如图1，线段AB．求作：以AB为直径的⊙O．作法：如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；（2）作直线CD交AB于点O；（3）以O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O即为所求作的．请回答：该作图的依据是垂直平分线的判定和圆的定义．【分析】利用基本作图可判定CD垂直平分AB，即点O为AB的中点，然后可作出以已知线段AB 为直径的圆．【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，即点O为AB的中点，所以⊙O即为所求作．故答案为垂直平分线的判定和圆的定义．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1．【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1的值是多少即可．【解答】解：﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1＝＝【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（5分）解不等式＞﹣1，并写出它的正整数解．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，合并同类项得：﹣x＞﹣5，系数化为1得：x＜5．故不等式的正整数解有1，2，3，4这4个．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．19．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中2x2+4x﹣1＝0．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，∵2x2+4x﹣1＝0．∴x2+2x＝x（x+2）＝，则原式＝8．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，求∠BAD的度数．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠DAC，再由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD即可得出结论．【解答】解：∵由题意可得：MN是AC的垂直平分线．∴AD＝DC．∴∠C＝∠DAC．∵∠C＝30°，∴∠DAC＝30°．∵∠B＝55°，∴∠BAC＝95°．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于点A（m，3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的解析式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP＝S△BOC，即可得出|x+4|＝2，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y＝上，∴m＝2，n＝﹣1，∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）．将（2，3），B（﹣6，﹣1）代入y＝kx+b，得：，解得．∴直线的解析式为y＝x+2．（2）当y＝x+2＝0时，x＝﹣4，∴点C（﹣4，0）．设点P的坐标为（x，0），∵S△ACP＝S△BOC，A（2，3），B（﹣6，﹣1），∴×3|x﹣（﹣4）|＝××|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|＝2，解得：x1＝﹣6，x2＝﹣2．∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及S△ACP＝S△BOC，找出|x+4|＝2．22．（5分）列方程或方程组解应用题：在某场CBA比赛中，某位运动员的技术统计如表所示：技术上场时间（分钟）出手投篮（次）投中（次）罚球得分（分）篮板（个）助攻（次）个人总得分（分）数据38 27 11 6 3 4 33注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分＝两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．【分析】设本场比赛中该运动员投中两分球x个，三分球y个，根据投中次数结合总分，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设本场比赛中该运动员投中两分球x个，三分球y个，根据题意得：，解得：．答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．23．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝2，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AD∥BC，求出∠FAD＝∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD＝∠FAB，求出∠AFB＝∠FAB，即可得出答案；（2）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，在Rt △BEF中，∠BFA＝60°，BE ＝，解直角三角形求出EF＝2，BF＝4，AB＝BF＝4，BC＝AD＝2，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝∠FAB．∴∠AFB＝∠FAB．∴AB＝BF，∴BF＝CD；（2）解：∵由（1）知：AB＝BF，又∵∠BFA＝60°，∴△ABF为等边三角形，∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，∵BE⊥AF，∴点E是AF的中点．∵在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝，∴EF＝2，BF＝4，∴AB＝BF＝4，∵四边形BACD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°＝∠F，∴CE＝EF，∴△ECF是等边三角形，∴CE＝EF＝CF＝2，∴BC＝4﹣2＝2，∴平行四边形ABCD的周长为2+2+4+4＝12．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24．（5分）阅读下列材料：“共享单车”是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态．共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择．自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行．。

2017北京各区初三数学一模最全分类之代数小综合

2017年一模代数小综合题汇编1.西城22．在平面直角坐标系xOy中，直线1y x=-与y轴交于点A，与双曲线kyx=交于点B(m，2) .(1)求点B的坐标及k的值；(2)将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交与点D.若△ABC的面积为6，求直线CD的表达式.2.东城21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线()0y kx b k=+≠与双曲线6yx=相交于点A（m，3），B(-6，n)，与x轴交于点C．（1）求直线()0y kx b k=+≠的解析式；（2）若点P在x轴上，且32ACP BOCS S=△△，求点P的坐标（直接写出结果）3.朝阳22．在平面直角坐标系x O y 中，直线12y x b =+与双曲线4y x=的一个交点为A （m ，2），与y 轴交于点B . （1）求m 和b 的值；（2）若点C 在y 轴上，且△ABC 的面积是2，请直接写出点C 的坐标.4.房山23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象与反比例函数x y 12=的图象交于A 、B 两点，点A 在第一象限，点B 的坐标为（-6，n ），直线AB 与x 轴交于点C ， E 为x 轴正半轴上一点，且tan （1）求点A 的坐标；（2）求一次函数的表达式；（3）求△AOB 的面积．5.顺义21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:(0)l y mx m =≠与直线2:(0)l y ax b a =+≠相交于点A （1，2），直线2l 与x 轴交于点B （3，0）．（1）分别求直线1l 和2l 的表达式；（2）过动点P （0，n ）且平行于x 轴的直线与1l ，2l 的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 左方时，写出n 的取值范围．6.平谷21．在平面直角坐标xOy 中，直线()10y kx k =+≠与双曲线()0my m x=≠的一个交点为A （﹣2，3），与x 轴交于点B ． (1) 求m 的值和点B 的坐标； (2) 点P 在y 轴上，点P 到直线()10y kx k =+≠坐标．7海淀21．在平面直角坐标系xOy 中，直线11:l y k x b =+过A （0，3-）， B （5，2），直线222:l y k x =+．（1）求直线1l 的表达式；（2）当4x ≥时，不等式122k x b k x +>+恒成立，请写出一个满足题意的2k 的值．8丰台21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y +-=3与双曲线xky =相交于点A （m ，2）．（1）求双曲线xky =的表达式；（2）过动点P (n ，0)且垂直于x 轴的直线与直线m x y +-=3及双曲线xky =的交点分别为B 和C ，当点B 位于点C 下方时，求出n 的取值范围．9石景山22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线交于点(2,3)A -和点(,2)B n ．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P 是双曲线 (0)m y m x=≠上的整点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交直线AB 于点Q ，当点P 位于点Q 下方时，请直接写出整点P 的坐标．10通州20．在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的直线l 1与双曲线xy 2=的一个交点为A （1，m ）. （1）求直线l 1的表达式；（2）过动点P （n ，0）（n >0）且垂直于x 轴的直线与直线l 1和双曲线xy 2=的交点分别为B ，C ，当点B 位于点C 上方时，直接写出n 的取值范围.(0)m y m x=≠11.门头沟21. 如图，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，反比例函数图象过点A(2,1)和另一动点B（x , y）.（1）求此函数表达式；（2）如果1（3）直线AB与坐标轴交于点P，如果PB AB，直接写出点P的坐标.。

2017年北京市中考数学一模分类26题探究问题及答案

CCB B图1DCB2017年北京市中考数学一模分类26题及答案东城26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质.定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）；○1○2○3定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）.西城26．阅读下列材料：某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源以后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环.小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度，x（单位：min）表示接通电源后的时间.下面是小明的探究过程，请补充完整：（1m的值为；（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式；当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式；②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象；（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源min.海淀26．有这样一个问题：探究函数222x y x =-的图象与性质．下面是小文的探究过程，请补充完整：（1）函数222x y x =-的自变量x 的取值范围是；（2）下表是y 与x 的几组对应值．如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．①观察图中各点的位置发现：点1A 和1B ，2A 和2B ，3A 和3B ，4A 和4B 均关于某点中心对称，则该点的坐标为；②小文分析函数222x y x =-的表达式发现：当1x <时,该函数的最大值为0，则该函数图象在直线1x =左侧的最高点的坐标为；（3）小文补充了该函数图象上两个点（1124-，），（3924，）， ①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；②写出该函数的一条性质：________________ ．朝阳26. 有这样一个问题：探究函数()262y x =-的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数()262y x =-的图象与性质进行了探究.下面是小华的探究过程,请补充完整: (1)函数()262y x =-的自变量x 的取值范围是；x … -3-2-112 1 3 72 4 5 6 7 … y…625 38 23 3283668332 23 38m…求m 的值；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： .丰台26．【问题情境】已知矩形的面积为a （a 为常数，0>a ），当该矩形的长为多少时，它的周长最小?最小值是多少? 【数学模型】设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数表达式为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x a x y 2()0>x ．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数xx y 1+=的图象性质．（1）结合问题情境，函数xx y 1+=的自变量x 的取值范围是0>x ，下表是y 与x 的几组对应值．①写出②画出该函数图象，结合图象，得出当x =______时，y 有最小值，y 最小=________；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．图1 图2 图3 图4石景山26．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD 为凹四边形．（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD 是凹四边形．求证：BCD B A D ∠=∠+∠+∠．（3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD 中，BAD ∠的角平分线与BCD ∠的角平分线交于点E ，若140ADC ∠=°，102AEC ∠=°，则B ∠= °．（4）类比学习：如图4，在凹四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AD ，AB ，BC ，CD 的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH ．若AB AD =，CB CD =，则四边形EFGH 是．（填写序号即可）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形ABD房山26.小东根据学习函数的经验，对函数()2411y x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数()2411y x =-+的自变量x 的取值范围是；（2）下表是y 与x 的几组对应值.表中m 的值为________________；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点，画出函数()2411y x =-+的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数()2411y x =-+的一条性质：______________________________. （5）解决问题：如果函数()2411y x =-+与直线y=a 的交点有2个，那么a 的取值范围是______________ .通州26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0，下表是y与x的几组对应值.小风根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象和性质进行了探究.下面是小风的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①x=7对应的函数值y约为______________.②该函数的一条性质：______________________________________________________.门头沟26.在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图26-1，在锐角三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对边分别是a 、b 、c ,请用a 、c 、∠B 表示2b .经过同学们的思考后，甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B ，因此可以经过点A ，作AD ⊥BC 于点D ,如图26-2，大家认同；乙同学说要想得到2b 要在Rt △ABD 或Rt △ACD 中解决；丙同学说那就要先求出AD =________,BD =_______；(用含c ，∠B 的三角函数表示) 丁同学顺着他们的思路，求出2b =AD 2+DC 2=_____________(其中22sin cos 1αα+=)；请利用丁同学的结论解决如下问题：如图26-3，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒,60BAD ∠=︒,4,5AB AD ==. 求AC 的长（补全图形，直接写出结果即可）.B26-326-126-2平谷26．有这样一个问题：探究函数+2y x x =-+的图象与性质．小军根据学习函数的经验，对函数+2y x x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整：（1）函数+2y x x =-+的自变量x 的取值范围是；（2）下表是y 与x 的几组对应值x ﹣2 ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣0 1 2 3 4 … y 20 ﹣﹣﹣…在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；yx–3–2–11234–2–112345O（3）观察图象，函数的最小值是；（4）进一步探究，结合函数的图象，写出该函数的一条．．性质（函数最小值除外）：．顺义26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数()2264 -+-=x xy的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）该函数的自变量x的取值范围是；（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：．怀柔26．已知y是x的函数，下表是y与x的几组对应值.x 2 3 4 5 6 7 …y 0 12325…小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的表达式，图象和性质进行了探究.下面是小聪的探究过程，请补充完整:(1)根据上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，写出该函数的表达式: ;(2)该函数自变量x的取值范围是 ;(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点的位置（近似即可），根据描出的点，画出该函数的图象;(4)根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质: .燕山26．有这样一个问题：探究函数xx y 22+=的图象和性质. 小奥根据学习函数的经验，对函数xx y 22+=的图象和性质进行了探究.下面是小奥的探究过程，请补充完整：（1）函数xx y 22+=的自变量x 的取值范围是；（2）下表是y 与x 的几组对应值：求m 的值；（3）如下图，在平面直角坐标系xoy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，2）.结合函数图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： .2017年北京市中考数学一模分类26题答案：东城26．解：（1）○2.（2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线等等.已知：如图，在凹四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =DC. 求证：∠B =∠D.A证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC. ∴∠B =∠D.（3）燕尾四边形ABCD 的面积为243. 西城26．解：（1）50；（2）①答案不唯一. 如：当0≤x ≤4时，1520y x =+；当4＜x ≤16时，y x=； ②（3）56.海淀26．（1）1x ≠；（2）①（1，1）； ②（0，0）；（3）①xyB 2B 3B 4B 1A 4A 3A 2A 1–1–2–312345–1–2123O②该函数的性质：（ⅰ）当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当0≤x ＜1时，y 随x 的增大而减小；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而减小；当x ≥2时，y 随x 的增大而增大．（ⅱ）函数的图象经过第一、三、四象限．（ⅲ）函数的图象与直线x =1无交点，图象由两部分组成．（ⅳ）当x >1时，该函数的最小值为1．……（写出一条即可）朝阳26.解:（1）x ≠2（2）当x =7时，y =625.yx363480604020O2323028262422201816141210864图1图2∴625m =.（3）该函数的图象如下图所示：（4）答案不唯一,如：函数图象关于直线x =2对称.丰台26. 解：（1）①m = 4； ②图象如图.1；2.（2）根据小彬的方法可知，当xax =时，y 有最小值，即a x =时，a y 4=最小．石景山26．（2）证法一：连接AC 并延长到点E ，如图1． ∵13B ∠=∠+∠，24D ∠=∠+∠， ∴1+234B D ∠∠=∠+∠+∠+∠．即BCD B BAD D ∠=∠+∠+∠．证法二：延长DC 交AB 于点E ，如图2． ∵1BCD B ∠=∠+∠，1A D ∠=∠+∠， ∴BCD D A B ∠=∠+∠+∠．（3）64°．（4）C ．房山26.（1）全体实数（2）m=52（3）（4）以下情况均给分：①图象位于第一、二象限 ②当x =1时，函数有最大值4. ③图象有最高点（1，4） ④x >1时，y 随x 增大而减小 ⑤x <1时，y 随x 增大而增大 ⑥图象与x 轴没有交点 ⑦图象与y 轴有一个交点 ⑧图象关于直线x =1对称 …… （5）0<a <4通州26．（1）过点；符合函数概念（2）答案需和图形统一门头沟26.（1）sin AD C B =⋅,cos BD C B =⋅.1xB（2）2222cos b a c ac B =+-⋅ . （3）补全图形正确 . 结果：27AC = 平谷26．（1）2x ≥-；（2）该函数的图象如图所示；yx–3–2–11234–2–112345O（3）-2；（4）该函数的其它性质:当20x -≤<时，y 随x 的增大而减小；（答案不唯一，符合函数性质即可写出一条即可）顺义26．解：（1）自变量x 的取值范围是 2x ≠．（2）（3）该函数的一条性质是：函数有最大值(答案不唯一）．怀柔26．(1)y=2x -;(2)x ≥2;(3) 如图：(4) x ≥2时，函数图形y 随x 的增大而增大. 燕山26. (1) x ≠0(2)将x=3,y=m 代入 22x y x=+ 得m=613(3) (4)当x ﹥2 时，y 随x 的增大而增大等等-5yxO21342134-2-1-3556-4-4-3-1-2。

2017年北京中考一模几何综合题汇编

2017年一模几何综合题汇编2017西城一模28．在△ABC 中，AB =BC ，BD ⊥AC 于点D .（1）如图1，当∠ABC =90°时，若CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F .①求证：△BEF 是等腰三角形； ②求证：BD =12（BC + BF ）；（2）点E 在AB 边上，连接CE .若BD =12（BC + BE ），在图2中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路.图2图1D FEDCB AABADC图1图228. 在△ABC 中，AB=BC ，∠B=90°，点D 为直线BC 上一个动点（不与B 、C 重合），连结AD ，将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°，使点A 旋转到点E ，连结EC . （1）如果点D 在线段BC 上运动，如图1： ①依题意补全图1； ②求证：∠BAD=∠EDC③通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有∠DCE=135°.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：想法一：在AB 上取一点F ，使得BF=BD ，要证∠DCE =135°，只需证△ADF ≌△DEC . 想法二：以点D 为圆心，DC 为半径画弧交AC 于点F . 要证∠DCE=135°，只需证△AFD ≌△ECD .想法三：过点E 作BC 所在直线的垂线段EF ，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF . ……请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°.（2）如果点D 在线段CB 的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE 的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE 的度数；如果不是，说明你的理由.28．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．图1备用图CCB B28．在等边三角形ABC中，E为直线AB上一点，连接EC.ED与直线BC交于点D，ED=EC. （1）如图1，AB=1，点E是AB的中点，求BD的长；（2）点E是AB边上任意一点（不与AB边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE与BD间的数量关系并证明；（3）点E不在线段AB上，请在图3中画出符合条件的一个图形.图1 图2 图328．在ABCD 中，点B 关于AD 的对称点为B '，连接AB '，CB '，CB '交AD 于F 点.（1）如图1，90ABC ∠=︒，求证：F 为CB '的中点；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B 绕点A 旋转的过程中，点F 始终为CB '的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点B '作B G '∥CD 交AD 于G 点，只需证三角形全等；想法2：连接BB '交AD 于H 点，只需证H 为BB '的中点；想法3：连接BB '，BF ，只需证90B BC '∠=︒． ……请你参考上面的想法，证明F 为CB '的中点．（一种方法即可）（3）如图3，当135ABC ∠=︒时，AB '，CD 的延长线相交于点E ，求CE AF的值．图1图2图328．在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，顶点B 、D 、F 在同一直线上，H 是BF 的中点．（1）如图1，若AB =1，DG =2，求BH 的长；（2）如图2，连接AH ，GH ．图2图1BB小宇观察图2，提出猜想：AH =GH ，AH ⊥GH ．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH 交EF 于点M ，连接AG ，GM ，要证明结论成立只需证△GAM 是等腰直角三角形；想法2：连接AC ，GE 分别交BF 于点M ，N ，要证明结论成立只需证△AMH ≌△HNG . ……请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH =GH ，AH ⊥GH ．（一种方法即可）28．在边长为5的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 边上的两个动点（不与点B ，C ，D 重合），且AE ⊥EF ．（1）如图1，当BE = 2时，求FC 的长；（2）延长EF 交正方形ABCD 外角平分线CP 于点P ． ①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E 运动的过程中，始终有AE =PE ．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB 上截取AG =EC ，连接EG ，要证AE =PE ，需证△AGE ≌△ECP ．想法2：作点A 关于BC 的对称点H ，连接BH ，CH ，EH ．要证AE =PE ，需证△EHP 为等腰三角形．想法3：将线段BE 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BM ，连接CM ，EM ，要证AE =PE ，需证四边形MCPE 为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE =PE ．（一种方法即可）FABCDEF ABCDE图1 图228．在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点（与点A ，C 不重合），连接BE ．（1）将射线BE 绕点B 顺时针旋转45°，交直线AC 于点F . ①依题意补全图1；②小研通过观察、实验，发现线段AE ，FC ，EF 存在以下数量关系：AE 与FC 的平方和等于EF 的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BM ，要证AE ，FC ，EF 的关系，只需证AE ，AM ，EM 的关系.想法2：将ABE △沿BE 翻折，得到NBE △，要证AE ，FC ，EF 的关系，只需证EN ，FN ，EF 的关系.……请你参考上面的想法，用等式表示线段AE ，FC ，EF 的数量关系并证明；（一种方法即可）（2）如图2，若将直线．．BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线．．AC 于点F .小研完成作图后，发现直线AC 上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系.2017东城一模28. 在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB 的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为___________；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE.①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；……请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1 图2 图3。

2017年北京市西城区中考一模数学试卷(word版含答案)

2017年北京市西城区中考一模数学试卷(word版含答案)2017年北京市西城区中考一模数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是．符合题意的．1．春节假期，北京市推出了庙会休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、冰雪项目体验等精品文化活动，共接待旅游总人数9 608 000人次，将9 608 000用科学记数法表示为（A）3960810⨯（B）4960.810⨯（C）596.0810⨯（D）69.60810⨯2．在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，下列结论中，正确的是（A）0a b+=（B）0a b-=（C 3．如图，AB∥CD，DA⊥CE于点A．若∠EAB=55°，则∠D的度数为（A）25°（B）35°（C）45°（D）55°A BE4．右图是某几何体的三视图，该几何体是（A）三棱柱（B）长方体（C）圆锥（D）圆柱5．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是（A）正七边形（B）正八边形（C）正九边形（D）正十边形6．用配方法解一元二次方程2650x x--=，此方程可化为（A）()234x-=（B）()2314x-=（C）()294x-=（D）()2914x-=7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2 m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16 m．若小明的眼睛与地面距离为1.5 m，则旗杆的高度为（单位：m）（A）163（B）9 （C）12 （D）6438．某商店举行促销活动，其促销的方式是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元” ．若某商品的原价为x 元（x ＞100），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（A ）80%20x - （B ）()80%20x -（C ）20%20x - （D ）()20%20x -9．某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：年龄（单位：岁）13 14 15 16频数（单位：名） 5 15 x 10-x 对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（A ）平均数、中位数（B ）平均数、方差（C ）众数、中位数（D ）众数、方差10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少．右下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是（A）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多（B）以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少（C）以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油（D）以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ax2 2ax+a=________．12．若函数的图像经过点A（1，2），点B（2，1），写出一个符合条件的函数表达式_________．13．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：投篮次数n100 150 300 500 800 1000 投中次数m 58 96 174 302 484 601投中频率m n0．580 0．640 0．580 0．604 0．605 0．601 这名球员投篮一次，投中的概率约是．14．如图，四边形ABCD 是⊙O 内接四边形，若∠BAC =30°，∠CBD =80°，则∠BCD 的度数为_________________．15．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为旋转中心，将△AOB 顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A 对应，点B'与点B 对应．若点A （-3，0），B （-1，2），则点A'的坐标为_______________，点B'的坐标为________________.16．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．DB OAxy –4–3–2–11234–4–3–2–11234O B A已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ．求作：直线l 的平行直线，使它经过点P ．作法：如图2．（1）过点P 作直线m 与直线l 交于点O ;（2）在直线m 上取一点A （OA ＜OP ），以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，与直线l 交于点B ；（3）以点P 为圆心，OA 长为半径画弧，交直线m 于点C ，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ；（4）作直线PD ．所以直线PD 就是所求作的平行线．请回答：该作图的依据是．l图1Plm图2DC B P O A三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算： (10O 1232sin60322-⎛⎫-- ⎪⎝⎭18．解不等式组： 52<3+4722x x x x -⎧⎪⎨+≥⎪⎩19．已知x=2y ，求代数式222112x xy y y x x y ⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭的值.20．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 延长线于点E ，连接CE .求证：∠BCE =∠A +∠ACB .D21．某科研小组计划对某一品种的西瓜采用两种种植技术种植.在选择种植技术时，该科研小组主要关心的问题是：西瓜的产量和产量的稳定性，以及西瓜的优等品率. 为了解这两种种植技术种出的西瓜的质量情况，科研小组在两块自然条件相同的试验田进行对比试验，并从这两块实验田中各随机抽取20个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录如下：表1 甲种种植技术种出的西瓜质量统计表编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1西瓜质量.（单位：kg）3.54.85.44.94.25.4.94.85.84.8编号11 12131415161718192西瓜质量.（单位：kg）5.4.85.24.95.15.4.86.5.75.表2 乙种种植技术种出的西瓜质量统计表编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1西瓜质量.（单位：kg）4.44.94.84.15.25.15.4.54.74.9编号11 12131415161718192西瓜质量.（单位：kg）5.45.54.5.34.85.65.25.75.5.3回答下列问题：（1）若将质量为4.5~5.5（单位：kg）的西瓜记为优等品，完成下表：优等品西瓜个数平均数方差甲种种植技术种出的西瓜质量4.98 0.27 乙种种植技术种15 4.97 0.21出的西瓜质量（2）根据以上数据，你认为该科研小组应选择哪种种植技术，并请说明理由.22．在平面直角坐标系x O y，直线y=x-1与y轴交于点交于点B（m，2）.A，与双曲线=k yx（1）求点B的坐标及k的值;（2）将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D，若△ABC的面积为6，求直线CD的表达式.23．如图，在□ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE//BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF ⊥BC，交BC延长线于点F.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ABC=45°，BC=2，求EF的长.ADB24. 汽车保有量是指一个地区拥有车辆的数量，一般是指在当地登记的车辆．进入21世纪以来，我国汽车保有量逐年增长．下图是根据中国产业信息网上的有关数据整理的统计图．2007—2015年全国汽车保有量及增速统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）2016年汽车保有量净增2200万辆，为历史最高水平，2016年汽车的保有量为万辆，与2015年相比，2016年的增长率约为%；（2）从2008年到2015年，年全国汽车保有量增速最快；（3）预估2020年我国汽车保有量将达到万辆，预估理由是25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE ⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．（1）求证：∠ECB=∠EBC；（2）连接BF，CF，若CF=6，sin∠FCB=3，求AC的5长．26．阅读下列材料：某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y(单位：℃)表示水箱中水的温度．x(单位：min)表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况接通电源后的时间x （单位：min）0 1 2 3 4 5 8116182212432…水箱中水的温度y （单位：℃）2355658644322m86442…m的值为；（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式；当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式；②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象：x y10080604020246810121416182022242628303234O（3）如果水温y 随时间x 的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min ．27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2 -(2m +1)x + m -5的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y 的取值范围是-6 ≤ y ≤ 4-n ，求n 的值；③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O .设平移后的图象对应的函数表达式为y =a (x -h )2 + k ，当x < 2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.28．在△ABC 中，AB =BC ，BD ⊥AC 于点D .（1）如图1，当∠ABC =90°时，若CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F .①求证：△BEF 是等腰三角形；②求证：BD =12（BC + BF ）；（2）点E 在AB 边上，连接CE .若BD =12（BC + BE ），在图2中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路.图2图1FEC A A29．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于y 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于y 轴，直线l 的二次对称点．（1）如图1，点A （-1 , 0）．①若点B 是点A 关于y 轴，直线l 1: x =2的二次对称点，则点B 的坐标为；②若点C （-5 , 0）是点A 关于y 轴，直线l 2:x =a 的二次对称点，则a 的值为；③若点D （2 , 1）是点A 关于y 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为；（2）如图2，⊙O 的半径为1．若⊙O 上存在点M ，使得点M ＇是点M 关于y 轴，直线l 4:x =b 的二次对称点，且点M ＇在射线3(0)y x x =≥上，b 的取值范围是；（3）E （t ，0）是x 轴上的动点，⊙E 的半径为2，若⊙E 上存在点N ，使得点N ＇是点N 关于y 轴，直线l 5:31y x =+的二次对称点，且点N ＇在y 轴上，求t 的取值范围．x x y y 图1图2–5–4–3–2–112345–3–2–11234–5–4–3–2–112345–3–2–11234O O A。

北京2017年中考数学海淀一模答案

海淀九年级第二学期期中练习数学答案2017．5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．()22b a +； 12．10； 13．()()2m a m b m am bm ab ++=+++（答案不唯一）；14．③；15．14k ≤≤；16．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．原式 =2211+- --------------------------------------------------------------------------4分 = --------------------------------------------------------------------------5分 18．解：()614x x -≤+，-----------------------------------------------------------------------------------1分664x x -≤+，----------------------------------------------------------------------------------2分 510x ≤，----------------------------------------------------------------------------------- 3分2x ≤．-----------------------------------------------------------------------------------4分----------------------------------------------------------------5分19．解法一：解：∵AD =AE ，∴∠1=∠2． ----------------------------------------------1分 ∵∠1=∠B +∠BAD ，∠2=∠C +∠CAE ， -------------------------------------3分 ∴∠B +∠BAD =∠C +∠CAE ． ∵∠BAD =∠CAE ，∴∠B =∠C ．--------------------------------------4分 ∴AB =AC ．--------------------------------------5分解法二：解：∵AD =AE ，∴∠1=∠2． ----------------------------------------------1分 ∴180°-∠1=180°-∠2．即∠3=∠4．----------------------------------------------------------------------------------------2分21B D E CA4321B D E CA在△ABD 与△ACE 中，34BAD CAE AD AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴△ABD ≌△ACE （ASA ）．-----------------------------------------------------------------4分 ∴AB =AC ．---------------------------------------------------------------------5分 20．解：∵关于x 的方程20x ax a -+=有两个相等的实数根，∴()22440a a a a ∆=--=-=． -------------------------------------------------------2分 ∵21242a a a ⋅+--()()12222a a a a ⋅+=+--------------------------------------------------------------------- 3分 ()212a =-，-------------------------------------------------------------------------------- 4分∴原式=211444a a =-+．--------------------------------------------------------5分 21．解：（1）∵直线11l y k x b =+：过A （0，3-），B （5，2），∴135 2.b k b =-⎧⎨+=⎩， --------------------------------------------------------------------------------- 1分∴113.k b =⎧⎨=-⎩，---------------------------------------------------------------------------------- 2分 ∴直线1l 的表达式为3y x =-．---------------------------------------------------------3分（2）答案不唯一，满足214k <-即可．--------------------------------------------------------- 5分 22．答：小军的数据较好地反映了该校八年级同学选修历史的意向．----------------------------- 1分理由如下：小红仅调查了一个班的同学，样本不具有随机性；小亮只调查了8位历史课代表，样本容量过少，不具有代表性；小军的调查样本容量适中，且能够代表全年级的同学的选择意向． ------------------ 3分根据小军的调查结果，有意向选择历史的比例约为201804=；------------------ 4分故据此估计全年级选修历史的人数为124160.25604⨯=≈（人）． ------------------ 5分（注：估计人数时，写61人也正确）23．（1）证明：∵CF =BE ， ∴CF +EC =BE +EC ．即EF =BC ．-------------------1分 ∵在ABCD 中，AD ∥BC 且AD =BC ，∴AD ∥EF 且AD =EF ．∴四边形AEFD 是平行四边形．------------------ 2分 ∵AE ⊥BC ， ∴∠AEF =90°． ∴AEFD 是矩形．------------------------------3分（2）解：∵AEFD 是矩形，DE =8，∴AF =DE =8． ∵AB =6，BF =10，∴2222226810AB AF BF +=+==．∴∠BAF =90°． ----------------------------------------------- 4分 ∵AE ⊥BF ，∴11S 22ABF AB AF BF AE =⋅=⋅△. ∴245AB AF AE BF ⋅==．------------------------------------------------ 5分 24．（1）2017年至2017年中国和美国对世界经济增长的贡献率统计表或2017年至2017年中国和美国对世界经济的贡献率统计图--------- ---- ------- 2分（2）2.8；------------------------------------------------------------------------------------------------- 3分（3）答案不唯一，预估理由与预估结果相符即可．----------------------------------------- 5分B EC FA D25．（1）证明：∵AB 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB 于D ．∴∠ODB =90°．-------------------------------------------1分 ∵CF ∥AB ，∴∠OMF =∠ODB =90°. ∴OM ⊥CF ．∴点M 是CF 的中点． -----------------------------------2分（2）思路：连接DC ，DF ．①由M 为CF 的中点，E 为 DF的中点，可以证明△DCF 是等边三角形，且∠1=30°； ----------------------------------- 3分②由BA ，BC 是⊙O 的切线，可证BC =BD =a ．由∠2=60°，从而△BCD 为等边三角形； ---------------------------------------- 4分③在Rt △ABC 中，∠B =60°，BC =BD =a，可以求得AD a OD OA =，；④AE AO OE =-==．----------------------------------------------5分 26．（1）1x ≠；-------------------------------------------------------------------------------------------------1分（2）①（1，1）；------------------------------------------------------------------------------------------ 2分 ②（0，0）；------------------------------------------------------------------------------------------ 3分（3）①-------------------------------------------------------- 4分②该函数的性质：（ⅰ）当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当0≤x ＜1时，y 随x 的增大而减小；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而减小；当x ≥2时，y 随x 的增大而增大．（ⅱ）函数的图象经过第一、三、四象限．（ⅲ）函数的图象与直线x =1无交点，图象由两部分组成．（ⅳ）当x >1时，该函数的最小值为1．……（写出一条即可）------------------------------------------------------------------------------- 5分27．（1）m ；---------------------------------------------------------------------------------------------------2分（2）∵抛物线2222y mx m x =-+与y 轴交于A 点，∴A （0，2）．------------------------------------------------------------------------------------- 3分 ∵AB ∥x 轴，B 点在直线x =4上，∴B （4，2），抛物线的对称轴为直线x =2. ---------------------------------------------4分 ∴m =2．∴抛物线的表达式为2282y x x =-+．---------------------------------------------------5分（3）当0m >时，如图1．∵()02A ，，∴要使04P x ≤≤时，始终满足2P y ≤，只需使抛物线2222y mx m x =-+的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．∴2m ≥．--------------------------------------------6分当0m <时，如图2，0m <时，2P y ≤恒成立．-------------------7分综上所述，0m <或2m ≥．28．（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC =90°， ∴□ABCD 为矩形，AB=CD .∴.∠D =∠BAD = 90°.∵B ，B '关于AD 对称，∴∠B 'AD =∠BAD =90°，AB =A B '．----------------- 1分 ∴∠B 'AD =∠D ． ∵∠AF B '=∠CFD ，∴ △AF B '≌ △CFD （AAS ）. ∴F B '=FC ．∴F 是C B '的中点． ----------------------------------------------------------------------------2分图1图2（2）证明：方法1：过点B '作B G '∥CD 交AD 于点G ． ∵B ，B '关于AD 对称， ∴∠1=∠2，AB =A B '． ∵B 'G ∥CD ，AB ∥CD ， ∴ B 'G ∥AB ． ∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3． ∴B 'A =B 'G ． ∵AB =CD ，AB =A B '，∴B 'G =CD ．------------------------------------------------------------------------------------- 3分 ∵B 'G ∥CD ，∴ ∠4=∠D ．----------------------------------------------------------------------------------------- 4分 ∵∠B 'FG =∠CFD ，∴ △B 'FG ≌ △CFD （AAS ）. ∴ F B '=FC ．∴F 是C B '的中点．----------------------------------------------------------------------------5分方法2：连接BB '交直线AD 于H 点， ∵ B ，B '关于AD 对称，∴AD 是线段B 'B 的垂直平分线． ∴B 'H =HB ．----------------------------- 3分 ∵AD ∥BC ， ∴''1B F B HFC HB==．-------------------- 4分 ∴F B '=FC ．∴F 是C B '的中点． --------------------------------------------------------------------------- 5分方法3：连接BB '，BF ，∵ B ，B '关于AD 对称， ∴AD 是线段B 'B 的垂直平分线． ∴B 'F =FB ．----------------------------- 3分 ∴∠1=∠2． ∵AD ∥BC ， ∴B 'B ⊥BC ． ∴∠B 'BC =90°．∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°． ∴∠3=∠4．∴FB =FC ．------------------------------------------------------------------------------------------- 4分 ∴B 'F =FB =FC ．∴F 是C B '的中点．--------------------------------------------------------------------------- 5分C（3）解：取B 'E 的中点G ，连结GF . ∵ 由（2）得，F 为C B '的中点， ∴ FG ∥CE ，12FG CE =．…① ∵∠ABC =135°，□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠BAD =180°-∠ABC =45°． ∴由对称性，∠EAD =∠BAD =45°. ∵FG ∥CE ，AB ∥CD ， ∴FG ∥AB ．∴∠GFA =∠FAB =45°.----------------------------------------------------------------------------- 6分 ∴∠FGA =90°，GA =GF ．∴sin FG EAD AF AF =∠⋅=．…②∴由①，②可得CEAF=------------------------------------------------------------------7分29．（1）R ，S ；------------------------------------------------------------------------------------------------ 2分（2）过点A 作AH 垂直x 轴于H 点． ∵点A ，B 的“相关菱形”为正方形， ∴△ABH 为等腰直角三角形． ∵A （1，4）， ∴BH =AH =4.∴b =3-或5．--------------------------------------------5分（3）5-≤b ≤0或3≤b ≤8．-------------------------------- 8分。

北京市平谷区2017年中考一模数学试卷及答案

平谷区2017年初三统一练习（一）一、选择题(此题共30分，每题3分)1．为解决“最后一千米”的交通接驳问题，平谷区投放了大量公租自行车供市民利用．据统计，目前我区共有公租自行车3 500辆．将3 500用科学记数法表示应为 A ．×104B ． ×103C ．×102D ． 35×1022．把一个边长为1的正方形如下图放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A ，那么点A 对应的数是A ．1B ．2 C ．3 D ．23．右图是某几何体从不同角度看到的图形，那个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．正三棱柱D ．三棱锥4．若是x+y =4，那么代数式222222x yx y x y ---的值是A ．﹣2B ．2C ．12 D ．12- 5．以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．6．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示．其中AB 、CD 别离表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，那么乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是A ．43mB ．8 mC ．833mD ．4 m7．在我国古代数学高作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日重逢？”意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，通过几天相遇．设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，通过x 天相遇，依照题意，下面所列方程正确的选项是A-1321C D150° h 主视图左视图俯视图A ．1)79(=-xB.1)79(=+xC. 1)9171(=+xD. 1)9171(=-x8．如图，是利用平面直角坐标系画出的天安门广场的平面示用意，假设那个坐标系别离以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示国旗杆的点的坐标为(0，，表示中国国家博物馆的点的坐标为(4，1)，那么表示以下建筑的点的坐标正确的选项是A ．天安门(0， 4)B ．人民大会堂(﹣4，1)C ．毛主席纪念堂(﹣1，﹣3)D ．正阳门(0，﹣5)9．1-7月份，某种蔬菜每斤的进价与每斤的售价的信息如下图，那么出售该种蔬菜每斤利润最大的月份是A ．3月份B ．4月份C ．5月份D ．6月份10．AQI 是空气质量指数（Air Quality Index ）的简称，是描述状况的指数．其数值越大说明空气污染状况越严峻，对人体的健康危害也就越大．AQI 共分六级，空气污染指数为0－50一级优，51－100二级良，101－150三级轻度污染，151－200四级中度污染，201－300五级重度污染，大于300六级严峻污染．小明查阅了2021年和2016年某市全年的AQI 指数，并绘制了如下统计图，并得出以下结论：①2016年重度污染的天数比2021年有所减少；②2016年空气质量优良的天数比2021年有所增加；③ 2021年和2016年AQI 指数的中位数都集中在51－100这一档中；④2016年中度污染的天数比2021年多13天．以上结论正确的选项是A ． ①③B ． ①④C ．②③D ．②④ 二、填空题(此题共18分，每题3分) 11．若是分式31-+x x 的值为0，那么x 的值是． 12．如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请依照图形，写出一个含有a ，b 的正确的等式．bbaa13．请写出一个在各自象限内，y 的值随x 值的增大而增大的反比例函数表达式．实验者德·摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数6 140 4 040 10 000 36 000 80 640 出现“正面朝上”的次数 3 109 2 048 4 97918 03139 699 频率请依照以上数据，估量硬币显现正面朝上的概率为（精准到）．15．如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面，桌面距离地面（桌面厚度不计算），假设桌面的面积是²，那么地面上的阴影面积是 m²．16．小米是一个爱动脑筋的小孩，他用如下方式作∠AOB 的角平分线：作法：如图，（1）在射线OA 上任取一点C ，过点C 作CD ∥OB ；（2）以点C 为圆心，CO 的长为半径作弧，交CD 于点E ；（3）作射线OE ．因此射线OE 确实是∠AOB 的角平分线．请回答：小米的作图依据是____________________________ ____________________________________________________．三、解答题（此题共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解许诺写出文字说明、演算步骤或证明进程. 17．计算：013122cos302017--+︒-．18．解不等式组32,211,52-≤⎧⎪++⎨<⎪⎩x x x x 并写出它的所有非负整数解．．．．．．19．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，且DE =DA ，AF ⊥DE 于F ，求证：AF=CD ．20．已知关于x 的一元二次方程x 2-(m +2)x +2m =0．F OE DC BA（1）求证：方程总有两个实数根；（2）当m =2时，求方程的两个根．21．在平面直角坐标xOy 中，直线()10y kx k =+≠与双曲线()0my m x=≠的一个交点为A （﹣2，3），与x 轴交于点B ． (1) 求m 的值和点B 的坐标；(2) 点P 在y 轴上，点P 到直线()10y kx k =+≠P 的坐标．22．随着人们“节能环保，绿色出行”生产的某型号自行车去年销售总额为8行车去年每辆售价多少元？23．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，EF 垂直平分BD ，别离交AB ，BC ，BD 于E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：DE=DF ；（2）假设∠ABC =30°，∠C =45°，DE =4，求CF 的长．24．阅读以下材料：2017年1月28日至2月1日农历正月初一至初五，平谷区政府在占地面积6万平方米的琴湖公园举行主题为“逛平谷庙会乐百姓生活”的平谷区首届春节庙会．本次庙会共设置了文艺展演区、非遗展现互动区、特色商品区、儿童娱乐游艺区、特色美食区等五个不同主题的展区．展区总面积1720平方米．文艺展演区占地面积600平方米，占展区总面积的％；非遗展现区占地190平方米，占展区总面积的％；特色商品区占地面积是文艺展演区的一半，占展区总面积的％；特色美食区占地200平方米，占展区总面积的％；还有小孩们喜爱的儿童娱乐游艺区．这次庙会本着宏扬、挖掘、展现平谷春节及风俗文化，以京津冀不同地域的特色文化为起点，全面展现平谷风土人情及津冀人文特色．大年初一，来自全国各地的约万人踏着新春的脚步，揭开了首届平谷庙会的帷幕．大年初二尽管天气严寒，市民逛庙会热情不减，又约有万人次参观了庙会，品尝特色美食，观看绿都古韵、秧歌演出、天桥绝活，一路猜灯谜、赏图片展，场面火爆．琳琅满目的泥塑、木版画、剪纸、年画等风俗作品也让游客爱不释手，纷纷购买．大年初三，单日接待游客约4万人次，大年初四风和日丽的天气让庙会进入游园顶峰，单日接待量较前日增加了约50%．大年初五，活动进入尾声，但庙会现场仍然人头攒动，仍约有万人次来园参观．（1）直接写出扇形统计图中m 的值；（2）初四此日，庙会接待游客量约_______万人次；（3）请用统计图或统计表，将庙会期间每日接待游客的人数表示出来．25．如图，⊙O 为等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，AD 是⊙O 的直径，切线DE 与AC 的延长线相交于点E ．（1）求证：DE ∥BC ；（2）假设DF=n ，∠BAC =2α，写出求CE 长的思路．F E BD OAC26．有如此一个问题：探讨函数+2y x x =-+的图象与性质．小军依照学习函数的体会，对函数+2y x x =-+的图象与性质进行了探讨．下面是小军的探讨进程，请补充完整：（1）函数+2y x x =-+的自变量x 的取值范围是； x ﹣2 ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣ 01 2 3 4 … y2﹣﹣﹣…在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，依照描出的点，画出该函数的图象；yx–3–2–11234–2–112345O（3）观看图象，函数的最小值是；（4）进一步探讨，结合函数的图象，写出该函数的一条．．性质（函数最小值除外）：．27．直线33y x =-+与x 轴，y 轴别离交于A ，B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ．（1）求点C 的坐标；yx–2–112345–5–4–3–2–112O（2）若抛物线()230y mx nx m m =+-≠通过A ，B ，C 三点，求该抛物线的表达式；（3）若抛物线()230y ax bx a =++≠ 通过A ，B 两点，且极点在第二象限，抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围．28．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，点D 是BC 边的中点，作射线DE ，与边AB 交于点E ，射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 交于点F ．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观看、实验提出猜想：在点E 运动的进程中，始终有DE=DF ．小华把那个猜想与同窗们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种方式：方式1：由点D 是BC 边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE =DF ；方式2：利用等边三角形的对称性，作点E 关于线段AD 的对称点P ，由∠BAC 与∠EDF 互补，可得∠AED 与∠AFD 互补，由等角对等边，可证DE =DF ；方式3：由等腰三角形三线合一，可得AD 是∠BAC 的角平分线，由角平分线定理，构造点D 到AB ，AC 的高，利用全等三角形，可证DE =DF …….请你参考上面的方式，帮忙小华证明DE =DF （选一种方式即可）；（3）在点E 运动的进程中，直接写出BE ，CF ，AB 之间的数量关系．29．在平面直角坐标系中，点Q 为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q 的内部（含角的边），这时咱们把∠Q 的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD ，作射线OA ，OB ，那么称∠AOB 为矩形ABCD 的视角．图1 备用图（1）如图1，矩形ABCD ，A（﹣3，1），B （3，1），C （3，3），D （﹣3，3），直接写出视角∠AOB 的度数；（2）在（1）的条件下，在射线CB 上有一点Q ，使得矩形ABCD 的视角∠AQB =60°，求点Q 的坐标；（3）如图2，⊙P 的半径为1，点P （1，3），点Q 在x 轴上，且⊙P 的视角∠EQF 的度数大于60°，假设Q （a ，0），求a 的取值范围．平谷区2016—2017学年度初三统练（一）数学答案一、选择题(此题共30分，每题3分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BBACDDCBAC二、填空题（此题共18分，每题3分）11．3；12．()2222+=++a b a ab b ； 13．答案不唯一，如1y x=-；14．； 15．； 16．两直线平行，内错角相等； ·············································································· 1 等腰三角形两底角相等； ················································································· 3 （其他正确依据也能够）．三、解答题（此题共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解许诺写出文字说明、演算步骤或证明进程. 17．解：020173021231-︒+--cos=33123212--+⨯- ·········································································· 4 图1图2备用图=﹣2． (5)18．解：322 11 2 5①②-≤⎧⎪⎨++<⎪⎩x x x x ，解不等式①得x ≤1， ··············································································· 1 解不等式②得x ＞﹣3， ··········································································· 2 ∴不等式组的解集是：﹣3＜x ≤1． ······························································· 3 ∴不等式组的非负整数解为0，1．······························································· 5 19．证明：∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ．∴∠ADE =∠DEC ． ····································· 1 ∵AF ⊥DE 于F ，∴∠AFD =∠C =90°． ··································· 2 ∵DE =DA ， ··············································· 3 ∴△ADF ≌△DEC ．···································· 4 ∴AF =CD ． ·.............................................. 5 20．（1）证明: ∵ Δ=[-(m +2)]2-4×2m .. (1)=(m -2)2 ∵ (m -2)2≥0，∴方程总有两个实数根． (2)（2）当m =2时，原方程变成x 2-4x +4=0． ··························································· 3 解得x 1=x 2=2． · (5)21．解：（1）∵双曲线()0my m x=≠通过点，A （﹣2，3）， ∴6=-m ． ···················································································· 1 ∵直线()10y kx k =+≠通过点A （﹣2，3），∴1=-k ． ..................................................................................... 2 ∴此直线与x 轴交点B 的坐标为（1，0）. ............................................ 3 （2）(0，3)，(0，-1)． (5)22．解：设去年该型号自行车每辆售价x 元，那么今年每辆售价为（x ﹣200）元． (1)由题意，得()%8000011080000200-=-x x ，····························································· 2 解得：x =2000． ······················································································ 3 经查验，x =2000是原方程的根． ································································ 4 答：去年该型号自行车每辆售价为2000元． ················································ 5 F23．（1）证明：∵EF 垂直平分BD ，∴EB=ED ，FB=FD ． ················································································ 1 ∵BD 平分∠ABC 交AC 于D ， ∴∠ABD =∠CBD ．∵∠ABD +∠BEG =90°，∠CBD +∠BFG =90°，∴∠BEG =∠BFG ．∴BE=BF ． ∴四边形BFDE 是菱形． ∴DE=DF ． ···························································································· 2 （2）解：过D 作DH ⊥CF 于H ． ∵四边形BFDE 是菱形， ∴DF ∥AB ，DE=DF =4．在Rt △DFH 中，∠DFC =∠ABC =30°， ∴DH =2．∴FH =32． .......................................................................................... 3 在Rt △CDH 中，∠C =45°， ∴DH=HC =2． ......................................................................................... 4 ∴CF =2+32． (5)24．（1）扇形统计图中m 的值是%； (1)（2）6； ...................................................................................................... 2 （3）如图． . (5)25．（1）证明：∵AB =AC ，AD 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC 于F ． ..................................................................................... 1 ∵DE 是⊙O 的切线， ∴DE ⊥AD 于D ．2 ∴DE ∥BC ． .. (2)E G D（2）连结CD ．由AB =AC ，∠BAC =2α，可知∠BAD =α． ···················································· 3 由同弧所对的圆周角，可知∠BCD =∠BAD=α．由AD ⊥BC ，∠BCD =α，DF=n ，依照sin α=DFCD，可知CD 的长． ··············· 4 由勾股定理，可知CF 的长由DE ∥BC ，可知∠CDE =∠BCD ．由AD 是⊙O 的直径，可知∠ACD =90°．由∠CDE =∠BCD ，∠ECD =∠CFD ，可知△CDF ∽△DEC ，可知DF CF=CE CD，可求CE 的长． .............................. 5 26．（1）2x ≥-； . (1)（2）该函数的图象如下图； (3)yx–3–2–11234–2–112345O（3）-2 ................................................................................................. 4 （4）该函数的其它性质:当20x -≤<时，y 随x 的增大而减小； (5)（答案不唯一，符合函数性质即可写出一条即可）27．解：（1）令y =0，得x =1．∴点A 的坐标为（1,0）． ··································································· 1 ∵点A 关于直线x =﹣1对称点为点C ， ∴点C 的坐标为（﹣3,0）． ·················· 2 （2）令x =0，得y =3．∴点B 的坐标为（0,3）． ∵抛物线通过点B ， ∴﹣3m =3，解得m =﹣1． (3)∵抛物线通过点A ， ∴m+n ﹣3m =0，解得n =﹣2．∴抛物线表达式为223y x x =--+． (4)（3）由题意可知，a <0．依照抛物线的对称性，当抛物线通过（﹣1,0）时，开口最小，a =﹣3， (5)F BO C y x–2–112345–4–3–2–112A B C O现在抛物线极点在y 轴上，不符合题意.当抛物线通过（﹣3,0）时，开口最大，a =﹣1. (6)结合函数图像可知，a 的取值范围为31a -<≤-. (7)28．解：（1）如图1， (1)（2）方式1证明：如图2，过D 作DG ∥AB ，交AC 于G ， (2)∵点D 是BC 边的中点， ∴DG =12AB ． ∴△CDG 是等边三角形． ∴∠EDB +∠EDG=120°． ∵∠FDG +∠EDG=120°， ∴∠EDB =∠FDG ． ·················································································· 3 ∵BD=DG ，∠B =∠FGD =60°， ∴△BDE ≌△GDF ． ················································································· 4 ∴DE =DF ． ····························································································· 5 方式2证明：如图3，连接AD ， ∵点D 是BC 边的中点， ∴AD 是△ABC 的对称轴．作点E 关于线段AD 的对称点P ，点P 在边AC 上， ········································ 2 ∴△ADE ≌△ADP ．∴DE=DP ，∠AED =∠APD ． ∵∠BAC +∠EDF =180°， ∴∠AED +∠AFD =180°． ∵∠APD +∠DPF =180°， ∴∠AFD =∠DPF ． ................................................................................... 3 ∴DP=DF ． .. (4)图2图3图4图1∴DE =DF ． ····························································································· 5 方式3证明：如图4，连接AD ，过D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AB 于N ， ············· 2 ∵点D 是BC 边的中点， ∴AD 平分∠BAC ．∵DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AB 于N ， ∴DM=DN ． ···························································································· 3 ∵∠A =60°，∴∠MDE +∠EDN=120°． ∵∠FDN +∠EDN=120°， ∴∠MDE=∠FDN ．∴Rt △MDE ≌Rt △NDF ． ············································································· 4 ∴DE =DF ． ····························································································· 5 （3）当点F 在AC 边上时，12BE CF AB +=； ············································ 6 当点F 在AC 延长线上时，12BE CF AB -=． (7)29．解：（1）120°； (1)（2）连结AC ，在射线CB 上截取CQ=CA ，连结AQ ． (2)∵AB =23，BC =2，∴AC =4． (3)∴∠ACQ =60°．∴△ACQ 为等边三角形，即∠AQC =60°． ················ 4 ∵CQ =AC =4，∴Q （3，﹣1）． (5)（3）如图1，当点Q 与点O 重合时，∠EQF=60°，图2图1∴Q（0，0）． (6)如图2，当FQ⊥x轴时，∠EQF=60°，∴Q（2，0）． (7)∴a的取值范围是0＜a＜2． (8)。

2017年北京市东城区中考一模数学试卷(解析版)

2017年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）数据显示：2016年我国就业增长超出预期．全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高．将数据1 314用科学记数法表示应为（）A．1.314×103B．1.314×104C．13.14×102D．0.1314×104 2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＜|b|B．a＞﹣b C．b＞a D．a＞﹣2 3．（3分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）某健步走运动的爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.2，1.3B．1.3，1.3C．1.4，1.35D．1.4，1.3 5．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM 等于（）A．15°B．25°C．30°D．45°6．（3分）下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同（）A．B．C．D．7．（3分）我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．（3分）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2B．3C．4D．59．（3分）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（）A．103块B．104块C．105块D．106块10．（3分）图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ADE 和正方形ABCD组成，正方形ABCD两条对角线交于点O，在AD的中点P 处放置了一台主摄像机．游戏参与者行进的时间为x，与主摄像机的距离为y，若游戏参与者匀速行进，且表示y与x的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是（）A．A→O→D B．E→A→C C．A→E→D D．E→A→B二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：ab2﹣2ab+a＝．12．（3分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为（0，1）．此二次函数的解析式可以是．13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．14．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．15．（3分）北京市2012﹣2016年常住人口增量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为万人次，你的预估理由是．16．（3分）下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程．已知：如图1，线段AB．求作：以AB为直径的⊙O．作法：如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；（2）作直线CD交AB于点O；（3）以O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O即为所求作的．请回答：该作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1．18．（5分）解不等式＞﹣1，并写出它的正整数解．19．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中2x2+4x﹣1＝0．20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC 于点D，连接AD，求∠BAD的度数．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y ＝相交于点A（m，3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的解析式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP ＝S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．22．（5分）列方程或方程组解应用题：在某场CBA比赛中，某位运动员的技术统计如表所示：注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分＝两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．23．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD 于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BF A＝60°，BE＝2，求平行四边形ABCD的周长．24．（5分）阅读下列材料：“共享单车”是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态．共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择．自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行．Quest Mobile监测的M型与O型单车从2016年10月﹣﹣2017年1月的月度用户使用情况如表所示：根据以上材料解答下列问题：（1）仔细阅读上表，将O型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据；（2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论．25．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB＝a，AD：DE＝4：1，写出求DE长的思路．26．（5分）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形﹣﹣燕尾四边形的性质．定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）．（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）；定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究．下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB＝AD＝6，BC＝DC＝4，∠BCD＝120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．27．（7分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．28．（7分）在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD＝BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD＝BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD＝BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF ≌△DEB；思路3：要证明CD＝BE，只需要延长CB至点G，使得BG＝CD，证明△ADC ≌△DEG；…请参考以上思路，帮助小玉证明CD＝BE．（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB＝AC＝kBC，AD＝kDE，且∠ADE ＝∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是．（直接给出结论无须证明）29．（8分）设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B （﹣，﹣1），C（，﹣1）．（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是；（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO＝30°．①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；②将直线AM向下平移得到直线y＝kx+b，当b满足什么条件时，直线y＝kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图2，点Q为直线y＝﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．2017年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）数据显示：2016年我国就业增长超出预期．全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高．将数据1 314用科学记数法表示应为（）A．1.314×103B．1.314×104C．13.14×102D．0.1314×104【解答】解：将数据1 314用科学记数法表示应为1.314×103，故选：A．2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＜|b|B．a＞﹣b C．b＞a D．a＞﹣2【解答】解：根据数轴上点的位置得：﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴|a|＞|b|，a＜﹣b，b＞a，a＜﹣2，故选：C．3．（3分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，∴共有2+6+4＝12只，∴将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是＝，故选：B．4．（3分）某健步走运动的爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.2，1.3B．1.3，1.3C．1.4，1.35D．1.4，1.3【解答】解：∵这组数据中1.4出现的次数最多，∴在每天所走的步数这组数据中，众数是1.4；每天所走的步数的中位数是：（1.3+1.3）÷2＝1.3∴在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4、1.3．故选：D．5．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM 等于（）A．15°B．25°C．30°D．45°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DNM＝∠BME＝75°，∵∠PND＝45°，∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝30°，故选：C．6．（3分）下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同（）A．B．C．D．【解答】解：A主视图、左视图都是矩形，俯视图是三角形，故A不符合题意；B、主视图、左视图、俯视图都是圆，故B符合题意；C、主视图、左视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；D、主视图俯视图都是矩形，左视图是正方形，故D不符合题意；故选：B．7．（3分）我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：如图所示：其对称轴有2条．故选：B．8．（3分）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，故a+b＝2．故选：A．9．（3分）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（）A．103块B．104块C．105块D．106块【解答】解：设这批手表有x块，550×60+（x﹣60）×500＞55000解得，x＞104∴这批电话手表至少有105块，故选：C．10．（3分）图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ADE 和正方形ABCD组成，正方形ABCD两条对角线交于点O，在AD的中点P 处放置了一台主摄像机．游戏参与者行进的时间为x，与主摄像机的距离为y，若游戏参与者匀速行进，且表示y与x的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是（）A．A→O→D B．E→A→C C．A→E→D D．E→A→B【解答】解：由题意可得，当经过的路线是A→O→D时，从A→O，y随x的增大先减小后增大且图象对称，从O→D，y随x的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A符号要求；当经过的路线是E→A→C时，从E→A，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B不符号要求；当经过的路线是A→E→D时，从A→E，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于于刚开始的值，故选项C不符号要求；当经过的路线是E→A→B时，从E→A，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D不符号要求；故选：A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：ab2﹣2ab+a＝a（b﹣1）2．【解答】解：ab2﹣2ab+a，＝a（b2﹣2b+1），＝a（b﹣1）2．12．（3分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为（0，1）．此二次函数的解析式可以是y＝x2+1．【解答】解：答案不唯一，如：y＝x2+1，故答案为：y＝x2+1．13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1．【解答】解：根据题意得△＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，解得k＜1．故答案为k＜1．14．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2＝6，∴这个多边形是六边形．故答案为：6．15．（3分）北京市2012﹣2016年常住人口增量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为0～2.4万人次，你的预估理由是北京每年人口平均增长的人数呈减小的趋势．【解答】解：根据北京市2012﹣2016年常住人口增量条形统计图，可得北京每年人口平均增长的人数呈减小的趋势，故2017年北京市常住人口增量约为0～2.4万人次，故答案为：0～2.4，北京每年人口平均增长的人数呈减小的趋势．（答案不唯一）16．（3分）下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程．已知：如图1，线段AB．求作：以AB为直径的⊙O．作法：如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；（2）作直线CD交AB于点O；（3）以O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O即为所求作的．请回答：该作图的依据是垂直平分线的判定和圆的定义．【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，即点O为AB的中点，所以⊙O即为所求作．故答案为垂直平分线的判定和圆的定义．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1．【解答】解：﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1＝＝18．（5分）解不等式＞﹣1，并写出它的正整数解．【解答】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，合并同类项得：﹣x＞﹣5，系数化为1得：x＜5．故不等式的正整数解有1，2，3，4这4个．19．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中2x2+4x﹣1＝0．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，∵2x2+4x﹣1＝0．∴x2+2x＝x（x+2）＝，则原式＝8．20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC 于点D，连接AD，求∠BAD的度数．【解答】解：∵由题意可得：MN是AC的垂直平分线．∴AD＝DC．∴∠C＝∠DAC．∵∠C＝30°，∴∠DAC＝30°．∵∠B＝55°，∴∠BAC＝95°．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y ＝相交于点A（m，3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的解析式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP ＝S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．【解答】解：（1）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y＝上，∴m＝2，n＝﹣1，∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）．将（2，3），B（﹣6，﹣1）带入y＝kx+b，得：，解得．∴直线的解析式为y ＝x+2．（2）当y ＝x+2＝0时，x＝﹣4，∴点C（﹣4，0）．设点P的坐标为（x，0），∵S△ACP ＝S△BOC，A（2，3），B（﹣6，﹣1），∴×3|x﹣（﹣4）|＝××|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|＝2，解得：x1＝﹣6，x2＝﹣2．∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．22．（5分）列方程或方程组解应用题：在某场CBA比赛中，某位运动员的技术统计如表所示：注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分＝两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．【解答】解：设本场比赛中该运动员投中两分球x个，三分球y个，根据题意得：，解得：．答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个．23．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD 于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BF A＝60°，BE＝2，求平行四边形ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠F AD＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∴∠F AD＝∠F AB．∴∠AFB＝∠F AB．∴AB＝BF，∴BF＝CD；（2）解：∵由（1）知：AB＝BF，又∵∠BF A＝60°，∴△ABF为等边三角形，∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，∵BE⊥AF，∴点E是AF的中点．∵在Rt△BEF中，∠BF A＝60°，BE＝，∴EF＝2，BF＝4，∴AB＝BF＝4，∵四边形BACD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°＝∠F，∴CE＝EF，∴△ECF是等边三角形，∴CE＝EF＝CF＝2，∴BC＝4﹣2＝2，∴平行四边形ABCD的周长为2+2+4+4＝12．24．（5分）阅读下列材料：“共享单车”是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态．共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择．自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行．Quest Mobile监测的M型与O型单车从2016年10月﹣﹣2017年1月的月度用户使用情况如表所示：根据以上材料解答下列问题：（1）仔细阅读上表，将O型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据；（2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论．【解答】解：（1）；（2）两种单车的独占率都不断降低．（答案不唯一）．25．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C 作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB＝a，AD：DE＝4：1，写出求DE长的思路．【解答】解：（1）证明：连接OD．∵OD＝CD，∴∠ODC＝∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠EDC＝90°．∵点F为CE的中点，∴DF＝CF．∴∠FDC＝∠FCD．∴∠FDO＝∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO＝∠FCO＝90°．∴DF是⊙O的切线；（2）①由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；②由AB＝a，求出AC的长度为；③由∠ACE＝∠ADC＝90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到AC2＝AD•AE；④设DE为x，由AD：DE＝4：1，求出DE＝a．解：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AB＝a，∴AC＝a，∵∠ACE＝∠ADC＝90°，∠CAE是公共角，∴△ACD∽△AEC，∴AC：AE＝AD：AC，∴AC2＝AD•AE，设DE为x，∵AD：DE＝4：1，∴AD＝4x，∴（a）2＝20x2，解得x＝a．即DE＝a．26．（5分）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形﹣﹣燕尾四边形的性质．定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）．（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）②；定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究．下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB＝AD＝6，BC＝DC＝4，∠BCD＝120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．【解答】解：（1）由凹四边形的定义得出，图②是凹四边形．故答案是②；（2）①一组对角相等；②它是一个轴对称图形；①已知：如图1，在凹四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC．求证：∠B＝∠D．证明：连接AC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．∴∠B＝∠D．②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直线是燕尾四边形的对称轴；（3）如图2，连接AC，过点B作BE⊥AC交AC的延长线于E；由（2）知，燕尾四边形ABCD是轴对称图形，∴∠BCE＝∠BCD＝60°，∴∠CBE＝30°，在Rt△BCE中，∠CBE＝30°，BC＝4，∴CE＝BC＝2，BE＝CE＝2，在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝2，根据勾股定理得，AE＝＝2，∴S△ABC ＝S△ABE﹣S△CBE＝BE•AE﹣BE•CE＝BE（AE﹣CE）＝×2×（2﹣2）＝6﹣2∴燕尾四边形ABCD的面积为2S△ABC＝．27．（7分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5＝（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，∴对称轴方程为x＝1．（2）①如图，由题意知直线l的解析式为y＝n，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴n＝﹣2m+3．②依题可知：当﹣2m+3＝﹣7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点．∴m＝5．（3）抛物线y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的顶点坐标是（1，﹣2m+3）．依题可得解得∴m的取值范围是﹣2＜m≤1．28．（7分）在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为30°；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD＝BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD＝BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD＝BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF ≌△DEB；思路3：要证明CD＝BE，只需要延长CB至点G，使得BG＝CD，证明△ADC ≌△DEG；…请参考以上思路，帮助小玉证明CD＝BE．（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB＝AC＝kBC，AD＝kDE，且∠ADE ＝∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是k（BE+BD）＝AC．（直接给出结论无须证明）【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，D为线段BC中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∵线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，∴AB⊥DE，∴∠BDE＝30°；故答案为：30°；（2）思路1：如图2（a），连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAD＝60°，∴∠EAB＝∠CAD，在△AEB△与ADC中，，∴△AEB≌△ADC，∴CD＝BE；思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝60°，∵DF∥AB，∴∠DFC＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DAF＝∠EDB，在△ADF与△DEB中，，∴△ADF≌△DEB，∴DF＝BE＝CD；思路3：如图2（c），延长CB至G，使BG＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝60°，∵CD＝BG，∴DG＝AC，∴∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DAF＝∠EDB，在△ADC与△DEG中，，∴△ADC≌△DEG，∴CD＝EG＝BG＝60°，∴BE＝BG＝CD；（3）k（BE+BD）＝AC，如图3，连接AE，∵AC＝kBC，AD＝kDE，且∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED＝∠ABC，∠EAD＝∠BAC，∴∠EAB＝∠DAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，在△AEB△与ADC中，，∴△AEB≌△ADC，∴CD＝BE；∵BC＝BD+CD，∴BC＝BD+BE，∵AC＝kBC，∴AC＝k（BD+BE），故答案为：k（BE+BD）＝AC．29．（8分）设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B （﹣，﹣1），C（，﹣1）．（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是E、F；（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO＝30°．①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；②将直线AM向下平移得到直线y＝kx+b，当b满足什么条件时，直线y＝kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图2，点Q为直线y＝﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意R＝2，r＝1，点O是△ABC的中心，∵OD＝2，OE＝2，OF＝，∴点E、F是△ABC的中心关联点故答案为E，F；（2）①解：如图1中，由题意A（0，2），M（，0）．可求得直线AM的解析式为y＝﹣x+2，经验证E在直线AM上．因为OE＝OA＝2，∠MAO＝60°，所以△OAE为等边三角形，所以AE边上的高长为．当点P在AE上时，≤OP≤2．所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点．所以0≤m≤；②如图1﹣1中，设平移后的直线交y轴于G，作这条直线的垂线垂足为H．当OH＝2时，在Rt△OHG中，∵OH＝2，∠HOG＝30°，∴cos30°＝，∴OG＝，∴满足条件的b的值为﹣≤b≤2；（3）存在．理由：如图2中，设Q（m，﹣1）．由题意当OQ＝时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点，＝，解得m＝，∴t＝．。

2017年北京市西城区初三一模试卷及答案数学

北京市西城区2017年九年级统一测试一、选择题〔此题共30分，每题3分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是．符合题意的． 1．春节假期，北京市推出了庙会休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、冰雪项目体验等精品文化活动，共接待旅游总人数9 608 000人次，将9 608 000用科学记数法表示为〔A 〕3960810⨯ 〔B 〕4960.810⨯ 〔C 〕596.0810⨯ 〔D 〕69.60810⨯2．在数轴上，实数a ，b 对应的点的位置如下图，且这两个点关于原点对称，以下结论中，正确的选项是〔A 〕0a b += 〔B 〕0a b -=〔C 〕a b ＜〔D 〕0ab ＞3．如图，AB ∥CD ，DA ⊥CE 于点A ．假设∠EAB = 55°，则∠D 的度数为〔A 〕25°〔B 〕35° 〔C 〕45° 〔D 〕55°第3题图第4题图4．右图是某几何体的三视图，该几何体是〔A 〕三棱柱〔B 〕长方体〔C 〕圆锥〔D 〕圆柱5．假设正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是〔A 〕正七边形〔B 〕正八边形〔C 〕正九边形〔D 〕正十边形6．用配方法解一元二次方程2650x x --=，此方程可化为〔A 〕()234x -= 〔B 〕()2314x -= 〔C 〕()294x -=〔D 〕()2914x -=7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m ，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m ．假设小明的眼睛与地面距离为m ，则旗杆的高度为〔单位：m 〕〔A 〕163〔B 〕9 〔C 〕12 〔D 〕6438．某商店举行促销活动，其促销的方式是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元” ．假设某商品的原价为x 元〔x ＞100〕，则购买该商品实际付款的金额〔单位：元〕是〔A 〕80%20x - 〔B 〕()80%20x - 〔C 〕20%20x -〔D 〕()20%20x -9．某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：年龄〔单位：岁〕 13 14 15 16 频数〔单位：名〕515x10-x对于不同的x ，以下关于年龄的统计量不会发生改变的是〔A 〕平均数、中位数〔B 〕平均数、方差〔C 〕众数、中位数〔D 〕众数、方差10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少．右以下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，以下说法中，正确的选项是〔A 〕以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多〔B 〕以低于80km /h 的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少〔C〕以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油〔D〕以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升二、填空题〔此题共18分，每题3分〕11．分解因式：ax2-2ax+a=________．12．假设函数的图像经过点A〔1，2〕，点B〔2，1〕，写出一个符合条件的函数表达式_________．13．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：投篮次数n100 150 300 500 800 1000投中次数m58 96 174 302 484 601投中频率mn0．580 0．640 0．580 0．604 0．605 0．601这名球员投篮一次，投中的概率约是．4．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，假设∠BAC=30°，∠CBD=80°，则∠BCD的度数为____________．第14题图第15题15．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．假设点A〔-3，0〕，B〔-1，2〕，则点A'的坐标为_______________，点B'的坐标为________________.16．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ．求作：直线l 的平行直线，使它经过点P ．作法：如图2．（1）过点P 作直线m 与直线l 交于点O ;（2）在直线m 上取一点A 〔OA ＜OP 〕，以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，与直线l 交于点B ；（3）以点P 为圆心，OA 长为半径画弧，交直线m 于点C ，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ；（4）作直线PD ．所以直线PD 就是所求作的平行线．请答复：该作图的依据是．三、解答题〔此题共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算： (10O123260322sin -⎛⎫-- ⎪⎝⎭18．解不等式组：52<3+47 22x xxx-⎧⎪⎨+≥⎪⎩19．已知x=2y，求代数式222112x xy yy x x y⎛⎫-+-÷⎪⎝⎭的值.20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE. 求证：∠BCE=∠A+∠ACB.21．某科研小组计划对某一品种的西瓜采用两种种植技术种植.在选择种植技术时，该科研小组主要关心的问题是：西瓜的产量和产量的稳定性，以及西瓜的优等品率. 为了解这两种种植技术种出的西瓜的质量情况，科研小组在两块自然条件相同的试验田进行比照试验，并从这两块实验田中各随机抽取20个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录如下：表1 甲种种植技术种出的西瓜质量统计表〔1〕假设将质量为4.5~5.5〔单位：kg〕的西瓜记为优等品，完成下表：〔2〕根据以上数据，你认为该科研小组应选择哪种种植技术，并请说明理由.22．在平面直角坐标系x O y ，直线y =x -1与y 轴交于点A ，与双曲线=ky x交于点B 〔m ，2〕. 〔1〕求点B 的坐标及k 的值;〔2〕将直线AB 平移，使它与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，假设△ABC 的面积为6，求直线CD 的表达式.23．如图，在□ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，过点A 作AE //BD ，交CD 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F . 〔1〕求证：四边形ABCD 是菱形；〔2〕假设∠ABC =45°，BC =2，求EF 的长.DEBAC24. 汽车保有量是指一个地区拥有车辆的数量，一般是指在当地登记的车辆．进入21世纪以来，我国汽车保有量逐年增长．以下图是根据中国产业信息网上的有关数据整理的统计图．2007—2015年全国汽车保有量及增速统计图根据以上信息，答复以下问题：〔1〕2016年汽车保有量净增2200万辆，为历史最高水平，2016年汽车的保有量为万辆，与2015年相比，2016年的增长率约为%；〔2〕从2008年到2015年，年全国汽车保有量增速最快；〔3〕预估2020年我国汽车保有量将到达万辆，预估理由是25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．〔1〕求证：∠ECB =∠EBC；〔2〕连接BF，CF，假设CF =6，sin∠FCB =35，求AC的长．D26．阅读以下材料：某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃ 下加热水箱中的水；当水温到达设定温度80℃ 时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃ 时，再次自动加热水箱中的水至80℃ 时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃ 时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x 的函数，其中y (单位：℃ )表示水箱中水的温度．x (单位：min )表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：〔1〕下表记录了32min 内14个时间点的温控水箱中水的温度y 随时间x 的变化情况m 的值为；〔2〕①当0 ≤ x ≤ 4时，写出一个符合表中数据的函数解析式；当4＜x ≤ 16时，写出一个符合表中数据的函数解析式；②如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x ≤32时，温度y 随时间x 变化的函数图象：（3）如果水温y 随时间x 的变化规律不变，预测水温第8次到达40℃时，距离接通电源 min ．27．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2 -(2m + 1)x + m-5的图象与x轴有两个公共点.〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设m取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y的取值范围是-6 ≤ y ≤ 4-n，求n的值；③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x-h)2 + k，当x < 2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围.28．在△ABC 中，AB = BC ，BD ⊥AC 于点D .〔1〕如图1，当∠ABC = 90°时，假设CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F .①求证：△BEF 是等腰三角形； ②求证：BD =12〔BC + BF 〕；〔2〕点E 在AB 边上，连接CE .假设BD =12〔BC + BE 〕，在图2中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路.图2图1D FEDCB AACB29．在平面直角坐标系xOy 中，假设点P 和点P 1关于y 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于y 轴，直线l 的二次对称点．〔1〕如图1，点A 〔-1 , 0〕．①假设点B 是点A 关于y 轴，直线l 1: x =2的二次对称点，则点B 的坐标为； ②假设点C 〔-5 , 0〕是点A 关于y 轴，直线l 2: x = a 的二次对称点，则a 的值为； ③假设点D 〔2 , 1〕是点A 关于y 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为；〔2〕如图2，⊙O 的半径为1．假设⊙O 上存在点M ，使得点M ＇是点M 关于y 轴，直线l 4: x = b 的二次对称点，且点M＇在射线(0)y x x =≥〔3〕E 〔t ，0〕是x 轴上的动点，⊙E 的半径为2，假设⊙E上存在点N ，使得点N ＇是点N 关于y 轴，直线l 5:1y =+的二次对称点，且点N ＇在y 轴上，求t 的取值范围．图1图2。

北京市海淀中考一模数学试题及答案

2017年北京市海淀中考一模数学试题2017年北京市海淀中考一模试题及答案数学答案2017．5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．()22b a+；12．10；13．()()2++=+++（答案不唯m a m b m am bm ab一）；14．③；15．14≤≤；k16．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．原式=++-2211 -------------------------------------------------------------------------- 4分=-------------------------------------------------------------------------- 5分18．解：()-≤+，x x614----------------------------------------------------------------------------------- 1分664x x -≤+， ---------------------------------------------------------------------------------- 2分510x ≤， ----------------------------------------------------------------------------------- 3分2x ≤． ----------------------------------------------------------------------------------- 4分---------------------------------------------------------------- 5分19．解法一：解：∵ AD =AE ，∴ ∠1=∠2． ---------------------------------------------- 1分∵∠1=∠B +∠BAD ，∠2=∠C +∠CAE ， -------------------------------------3分21B D E C A∴∠B +∠BAD =∠C +∠CAE ． ∵∠BAD =∠CAE ，∴ ∠B =∠C ． --------------------------------------4分 ∴ AB =AC ． -------------------------------------- 5分解法二：解：∵ AD =AE ， ∴∠1=∠2． ---------------------------------------------- 1分∴180°-∠1=180°-∠2．即∠3=∠4． ---------------------------------------------------------------------------------------- 2分在△ABD 与△ACE 中，34BAD CAE AD AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，∴ △ABD ≌ △ACE（ASA ）．----------------------------------------------------------------- 44321B D E CA分∴AB =AC ． --------------------------------------------------------------------- 5分20．解：∵关于x 的方程20x ax a -+=有两个相等的实数根， ∴()22440a a a a ∆=--=-=． ------------------------------------------------------- 2分 ∵21242a a a ⋅+-- ()()12222a a a a ⋅+=+--------------------------------------------------------------------- 3分()212a =-，-------------------------------------------------------------------------------- 4分∴ 原式=211444a a =-+． --------------------------------------------------------5分21．解：（1）∵ 直线11l y k x b =+：过A （0，3-），B （5，2）， ∴135 2.b k b =-⎧⎨+=⎩，--------------------------------------------------------------------------------- 1分∴113.k b =⎧⎨=-⎩，---------------------------------------------------------------------------------- 2分∴ 直线1l 的表达式为3y x =-． --------------------------------------------------------- 3分（2）答案不唯一，满足214k <-即可．--------------------------------------------------------- 5分22．答：小军的数据较好地反映了该校八年级同学选修历史的意向． ----------------------------- 1分理由如下：小红仅调查了一个班的同学，样本不具有随机性；小亮只调查了8位历史课代表，样本容量过少，不具有代表性；小军的调查样本容量适中，且能够代表全年级的同学的选择意向． ------------------ 3分根据小军的调查结果，有意向选择历史的比例约为201804=； ------------------ 4分故据此估计全年级选修历史的人数为124160.25604⨯=≈（人）． ------------------ 5分（注：估计人数时，写61人也正确）23．（1）证明：∵ CF =BE ， ∴ CF +EC =BE +EC ．即EF =BC ． -------------------1分∵ 在Y ABCD 中，AD ∥BC 且AD =BC ， ∴AD ∥EF 且AD = EF ．∴ 四边形AEFD 是平行四边形． ------------------ 2分 ∵ AE ⊥BC ， ∴ ∠AEF =90°．∴ Y AEFD 是矩形． ------------------------------3分B EC FA D（2）解：∵ Y AEFD 是矩形，DE =8，∴ AF =DE =8． ∵ AB =6，BF =10，∴ 2222226810AB AF BF +=+==． ∴∠BAF =90°． ----------------------------------------------- 4分∵ AE ⊥BF ，∴ 11S 22ABF AB AF BF AE =⋅=⋅△. ∴245AB AF AE BF ⋅==． ------------------------------------------------ 5分24．（1） 2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率统计表中国%%%美国%%%或2013年至2015年中国和美国对世界经济的贡献率统计图--------- ---- ------- 2分（2）；------------------------------------------------------------------------------------------------- 3分（3）答案不唯一，预估理由与预估结果相符即可． ----------------------------------------- 5分25．（1）证明：∵AB与⊙O相切于点D，21MEFDAO∴OD⊥AB于D．∴∠ODB=90°． ------------------------------------------- 1分∵CF∥AB，∴∠OMF=∠ODB=90°.∴OM⊥CF．∴点M是CF的中点． ----------------------------------- 2分（2）思路：连接DC，DF．①由M为CF的中点，E为ºDF的中点，可以证明△DCF是等边三角形，且∠1=30°；----------------------------------- 3分②由BA，BC是⊙O的切线，可证BC=BD=a．由∠2=60°，从而△BCD为等边三角形；---------------------------------------- 4分③ 在Rt△ABC 中，∠B =60°，BC =BD =a ，可以求得AD a OD OA =，； ④333AE AO OE =-=-=． ---------------------------------------------- 5分26．（1）1x ≠；-------------------------------------------------------------------------------------------------1分（2）①（1，1）；------------------------------------------------------------------------------------------ 2分 ②（，）；------------------------------------------------------------------------------------------ 3分（3）①-------------------------------------------------------- 4分②该函数的性质：（ⅰ）当x＜0时，y随x的增大而增大；当0≤x＜1时，y随x的增大而减小；当1＜x＜2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而增大．（ⅱ）函数的图象经过第一、三、四象限．（ⅲ）函数的图象与直线x=1无交点，图象由两部分组成．（ⅳ）当x>1时，该函数的最小值为1．……（写出一条即可）------------------------------------------------------------------------------- 5分27．（1）m；--------------------------------------------------------------------------------------------------- 2分（2）∵抛物线22=-+与y轴交于A点，22y mx m x∴ A （0，2）．------------------------------------------------------------------------------------- 3分∵ AB ∥x 轴，B 点在直线x =4上，∴ B （4，2），抛物线的对称轴为直线x =2.--------------------------------------------- 4分 ∴ m =2． ∴抛物线的表达式为2282y x x =-+． --------------------------------------------------- 5分（3）当0m >时，如图1．∵()02A ，，∴要使04P x ≤≤时，始终满足2P y ≤，只需使抛物线2222y mx m x =-+的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．∴2m ≥． -------------------------------------------- 6分图1当0m <时，如图2，0m <时，2P y ≤恒成立． ------------------- 7分综上所述，0m <或2m ≥．28．（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC =90°，∴□ABCD 为矩形，AB=CD .∴. ∠D =∠BAD = 90°.∵ B ，B '关于AD 对称，∴ ∠B 'AD =∠BAD =90°，AB =A B '．----------------- 1分 ∴ ∠B 'AD =∠D ． ∵ ∠AF B '=∠CFD ，∴ △AF B '≌ △CFD （AAS ）.图2∴ F B '=FC ． ∴F 是CB '的中点． ---------------------------------------------------------------------------- 2分（2）证明：方法1：过点B '作B G '∥CD 交AD 于点G ． ∵ B ，B '关于AD 对称， ∴ ∠1=∠2，AB =A B '． ∵ B 'G ∥CD ， AB ∥CD ， ∴ B 'G ∥AB ． ∴ ∠2=∠3． ∴ ∠1=∠3． ∴ B 'A =B 'G ． ∵ AB =CD ，AB =A B '， ∴B 'G =CD ． ------------------------------------------------------------------------------------- 3分C∵ B 'G ∥CD ， ∴∠4=∠D ．----------------------------------------------------------------------------------------- 4分∵ ∠B 'FG =∠CFD ，∴ △B 'FG ≌ △CFD （AAS ）. ∴ F B '=FC ． ∴F 是CB '的中点． ---------------------------------------------------------------------------- 5分方法2：连接BB '交直线AD 于H 点， ∵ B ，B '关于AD 对称，∴ AD 是线段B 'B 的垂直平分线．∴ B 'H =HB ．----------------------------- 3分 ∵ AD ∥BC ， ∴''1B F B HFC HB==．-------------------- 4分 ∴ F B '=FC ．∴F是C B'的中点． --------------------------------------------------------------------------- 5分方法3：连接BB'，BF，∴AD是线段B'B的垂直平分线．∴B'F=FB．----------------------------- 3分∴∠1=∠2．∵AD∥BC，∴B'B⊥BC．∴∠B'BC=90°．∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°．∴∠3=∠4．∴FB=FC．------------------------------------------------------------------------------------------- 4分∴B'F=FB=FC．∴ F 是CB '的中点． --------------------------------------------------------------------------- 5分（3）解：取B 'E 的中点G ，连结GF .∵ 由（2）得，F 为C B '的中点，∴ FG ∥CE ，12FG CE =．…①∵ ∠ABC =135°，□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴ ∠BAD =180°-∠ABC =45°． ∴ 由对称性，∠EAD =∠BAD =45°. ∵ FG ∥CE ，AB ∥CD ， ∴ FG ∥AB ．∴∠GFA =∠FAB =45°.----------------------------------------------------------------------------- 6分∴ ∠FGA =90°，GA =GF ． ∴sin FG EAD AF AF =∠⋅=．…② ∴由①，②可得CEAF------------------------------------------------------------------ 7分29．（1）R ，S ；------------------------------------------------------------------------------------------------ 2分（2）过点A 作AH 垂直x 轴于H 点．∵ 点A ，B 的“相关菱形”为正方形， ∴ △ABH 为等腰直角三角形． ∵ A （1，4）， ∴ BH =AH =4.∴b =3-或5． -------------------------------------------- 5分（3）5-≤b ≤0或3≤b ≤8． -------------------------------- 8分。

北京市试卷及解析【2017数学中考真题系列】

2017 年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）1．（3 分）如图所示，点 P 到直线 l 的距离是（）A ．线段 PA 的长度B ．线段 PB 的长度C ．线段 PC 的长度D ．线段 PD 的长度2．（3 分）若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（）A ．x=0B ．x=4C ．x ≠0D ．x ≠43．（3 分）如图是某个几何题的展开图，该几何体是（）A ．三棱柱B ．圆锥C ．四棱柱D ．圆柱4．（3 分）实数 a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．a ＞﹣4B ．bd ＞0C ．|a |＞|b |D ．b +c ＞05．（3 分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．（3 分）若正多边形的一个内角是 150°，则该正多边形的边数是（）A ．6B ．12C ．16D ．187．（3 分）如果 a +2a ﹣1=0，那么代数式（a ﹣ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1D ．3的值是（）28．（3分）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．2011﹣2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（）A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3 倍还多9．（3 分）小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50 米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图2 所示．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏前15s 跑过的路程大于小林前15s 跑过的路程D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2 次10．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是 0.620．其中合理的是（）A ．①B ．②C ．①②D ．①③二、填空题（本题共 18 分，每题 3 分）11．（3 分）写出一个比 3 大且比 4 小的无理数：．12．（3 分）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 435 元，其中篮球的单价比足球的单价多 3 元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方程组为．13．（3 分）如图，在△ABC 中，M 、N 分别为 AC ，BC 的中点．若 S △=1，则 S四边形ABNM ．14．（3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，AD=CD ．若∠CAB=40°，则∠CAD=．15．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△AOB 可以看作是△OCD 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD 得到△AOB 的过程：．CMN =16．（3 分）图 1 是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt △ABC ，∠C=90°，求作 Rt △ABC 的外接圆．作法：如图 2．（1）分别以点 A 和点 B 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于 P ，Q两点；（2）作直线 PQ ，交 AB 于点 O ；（3）以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O ．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共 72 分，第 17 题26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17．（5 分）计算：4cos30°+（1﹣ ）﹣+|﹣2|．18．（5 分）解不等式组：＞＞．19．（5 分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D ．求证：AD=BC ．20．（5 分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）” 这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据该图完成这个推论的证明过程．证明：S 矩形 NFGD △ ADC﹣（S △ANF+S△），S矩形 EBMF △ AB C﹣（ + ）．易知，S△ADC =S △AB C ，=，=．可得 S 矩形 NFGD矩形．EBMF=S FGC =S =S221．（5分）关于x 的一元二次方程x﹣（k+3）x+2k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．22．（5分）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC，若AC 平分∠BAD，BC=1，求AC 的长．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y=（x＞0）的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x﹣2 于点M，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数y= （x＞0）的图象于点N．①当n=1 时，判断线段PM与PN 的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．24．（5分）如图，AB是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC⊥OA于点C，过点B 作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求⊙O 的半径．25．（5分）某工厂甲、乙两个部门各有员工400 人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20 名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77乙93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x 40≤x≤50≤x≤60≤x≤70≤x≤80≤x≤90≤x人数4959697989≤100部门甲乙0 0 1 11 7 1（说明：成绩80 分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79分为生产技能良好，60﹣﹣69 分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：部门平均数中位数众数甲乙78.37877.580.57581得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为；b．可以推断出部门员工的生产技能水平较高，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）26．（5分）如图，P 是 AB 所对弦 AB 上一动点，过点 P 作 PM ⊥AB 交 AB 于点 M ，连接 MB ，过点 P 作 PN ⊥MB 于点 N ．已知 AB=6cm ，设 A 、P 两点间的距离为 xcm ， P 、N 两点间的距离为 ycm ．（当点 P 与点 A 或点 B 重合时，y 的值为 0）小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm 012345 6y/cm2.02.32.10.9（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN 为等腰三角形时，AP 的长度约为cm ．27．（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x ﹣4x +3 与 x 轴交于点 A 、B （点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ．（1）求直线 BC 的表达式；（2）垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点 P （x ，y ），Q （x ，y ），与直线 BC 交于点 N （x ，y ），若 x ＜x ＜x ，结合函数的图象，求 x +x +x 的取值范围．21 12 23 3 1 2 3 1 2 328．（7 分）在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P 是线段 BC 上一动点（与点 B 、 C 不重合），连接 AP ，延长 BC 至点 Q ，使得 CQ=CP ，过点 Q 作 QH ⊥AP 于点 H ，交 AB 于点 M ．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ 的大小（用含 α 的式子表示）．（2）用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明．29．（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M ，给出如下的定义：若在图形 M 上存在一点 Q ，使得 P 、Q 两点间的距离小于或等于 1，则称 P 为图形 M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为 2 时，①在点 P （，0），P （，），P （，0）中，⊙O 的关联点是． ②点 P 在直线 y=﹣x 上，若 P 为⊙O 的关联点，求点 P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y=﹣x +1 与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ．若线段 AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围．1 2 32017年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）（2017•北京）如图所示，点P到直线l 的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB 的长度C．线段PC 的长度D．线段PD 的长度【考点】J5：点到直线的距离．【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【解答】解：由题意，得点P 到直线l 的距离是线段PB 的长度，故选：B．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是解题关键．2．（3分）（2017•北京）若代数式有意义，则实数x 的取值范围是（）A．x=0 B．x=4 C．x≠0D．x≠4【考点】62：分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件即可求出x 的范围；【解答】解：由意义可知：x﹣4≠0，∴x≠4，故选（D）【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．3．（3分）（2017•北京）如图是某个几何题的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱【考点】I6：几何体的展开图．【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：A．【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．4．（3分）（2017北京）实数a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b|D．b+c＞0【考点】29：实数与数轴．【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案．【解答】解：由数轴上点的位置，得a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．A、a＜﹣4，故A 不符合题意；B、bd＜0，故B 不符合题意；C、|a|＞4=|d|，故C 符合题意；D、b+c＜0，故D 不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得处a，b，c，d的大小是解题关键．5．（3分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．6．（3分）（2017•北京）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12C．16 D．18【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【解答】解：设多边形为n 边形，由题意，得（n﹣2）•180°=150n，解得n=12，故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用内角和公式是解题关键．27．（3分）（2017•北京）如果a+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣）•的值是（）A．﹣3 B．﹣1C．1 D．3【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对 a +2a ﹣1=0 变形即可解答本题．【解答】解：（a ﹣ ）•===a （a +2）=a 2+2a ，∵a +2a ﹣1=0，∴a +2a=1，∴原式=1，故选 C ．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．8．（3 分）（2017•北京）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．2011﹣2016 年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（）A ．与 2015 年相比，2016 年我国与东欧地区的贸易额有所增长B ．2011﹣2016 年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长22 2C．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3 倍还多【考点】VD：折线统计图．【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．【解答】解：A、由折线统计图可得：与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；B、由折线统计图可得：2011﹣2014 年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长，故此选项错误，符合题意；C、2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：（3632.5+4003.0+4436.5+4803.6+4718.7+4554.4）÷6≈4358，故超过4200亿美元，正确，不合题意，D、∵4554.4÷1368.2≈3.33，∴2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3 倍还多，故选：B．【点评】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．9．（3分）（2017北京）小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图2 所示．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏前15s 跑过的路程大于小林前15s 跑过的路程D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2 次【考点】E6：函数的图象．【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后路程到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度= ，根据行程问题的数时间量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s 跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A 错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=路程，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑时间全程的平均速度，故B 错误；根据图象小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s 跑过的路程，故C 错误；小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2 次，故D 正确；故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．10．（3分）（2017•北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【考点】X8：利用频率估计概率．【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：当投掷次数是500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的可能性是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，故选B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本题共18分，每题3 分）11．（3分）（2017•北京）写出一个比3大且比4小的无理数：π．【考点】26：无理数．【分析】根据无理数的定义即可．【解答】解：写出一个比3 大且比4 小的无理数：π，故答案为：π．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8 之间依次多1个0）等形式．12．（3分）（2017•北京）某活动小组购买了4 个篮球和5 个足球，一共花费了435 元，其中篮球的单价比足球的单价多3 元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据题意可得等量关系：①4 个篮球的花费+5 个足球的花费=435 元，②篮球的单价﹣足球的单价=3 元，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．13．（3 分）（2017•北京）如图，在△ABC 中，M 、N 分别为 AC ，BC 的中点．若S △=1，则 S四边形= 3．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX ：三角形中位线定理．【分析】证明 MN 是△ABC 的中位线，得出 MN ∥AB ，且 MN= AB ，证出△CMN ∽△CAB ，根据面积比等于相似比平方求出△CMN 与△CAB 的比，继而可得出△ CMN 的面积与四边形 ABNM 的面积比．最后求出结论．【解答】解：∵M ，N 分别是边 AC ，BC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN ∥AB ，且 MN= AB ，∴△CMN ∽△CAB ，∴∴=（） = ，= ，四边形∴S 四边形 ABNM △=3×1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．14．（3分）（2017•北京）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，AD=CD ．若∠CAB=40°，则∠CAD= 25°．CMN ABNM2 =3S AMN【考点】M5：圆周角定理．【分析】先根据AD=CD 得出=，再由AB 为⊙O 的直径，∠CAB=40°得出的度数，进而可得出的度数，据此可得出结论．【解答】解：∵AD=CD，∴=．∵AB 为⊙O 的直径，∠CAB=40°，∴∴∴=80°，=180°﹣80°=100°，= =50°，∴∠CAD=25°．故答案为：25°．【点评】本题考查的是圆周角定理，弧、弦的关系，根据题意得出的度数是解答此题的关键．15．（3分）（2017北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 可以看作是△OCD 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△ OCD 得到△AOB 的过程：△OCD 绕C 点旋转90°，并向左平移2 个单位得到△ AOB ．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；P6：坐标与图形变化﹣对称；Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB 的过程．【解答】解：△OCD 绕C 点旋转90°，并向左平移2 个单位得到△AOB（答案不唯一）．故答案为：△OCD 绕C 点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．16．（3分）（2017•北京）图1 是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC 的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q 两点；（2）作直线PQ，交AB 于点O；（3）以O 为圆心，OA 为半径作⊙O．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所的弦是直径．【考点】N3：作图—复杂作图；MA ：三角形的外接圆与外心．【专题】13 ：作图题．【分析】由于 90°的圆周角所的弦是直径，所以 Rt △ABC 的外接圆的圆心为 AB 的中点，然后作 AB 的中垂线得到圆心后即可得到 Rt △ABC 的外接圆．【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所的弦是直径．故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 90°的圆周角所的弦是直径．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．三、解答题（本题共 72 分，第 17 题26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17．（5 分）（2017•北京）计算：4cos30°+（1﹣ ） ﹣+|﹣2|．【考点】2C ：实数的运算；6E ：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣2+2=2﹣2+3=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）（2017•北京）解不等式组：＞＞．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】利用不等式的性质，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：＞＞，由①式得x＜3；由②式得x＜2，所以不等式组的解为x＜2．【点评】此题考查解不等式组；求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．（5分）（2017•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D．求证：AD=BC．【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A BC=C=72°，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=C=72°，∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，∴AD=BD=BC．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．20．（5 分）（2017•北京）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据该图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD△ADC﹣（S△ANF +S△），S矩形EBMF△AB C﹣（S △ AEF+ S△FCM）．易知，S△ADC =S △AB C ，错误!ANF= S △ AEF， S △FGC = S△FMC ．可得 S 矩形 NFGD矩形．EBMF【考点】LB ：矩形的性质．【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．【解答】证明：S 矩形 NFGD △ ADC﹣（S △ ANF △），S矩形 EBMF=S△ABC﹣（ S △ANF△ ）．FCM易知，S△ADC =S△ABC，S △ANF △，S△FGC △FMC，可得 S矩形NFGD矩形．EBMF故答案分别为S△ AEF，错误!，S△ANF ，S △AEF ，S △ ，S △FMC． =SFGC =S=S=S+S FGC +S =S AEF =S =S FCMFGC精品文档25【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．21．（5 分）（2017•北京）关于 x 的一元二次方程 x ﹣（k +3）x +2k +2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于 1，求 k 的取值范围．【考点】AA ：根的判别式．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△ =（k ﹣1）2 ≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出 x =2、x =k +1，根据方程有一根小于 1，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程 x﹣（k +3）x +2k +2=0 中，△=△ [﹣（k +3）]2﹣4×1×（2k +2）=k ﹣2k +1=（k ﹣1） ≥0， ∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x ﹣（k +3）x +2k +2=（x ﹣2）（x ﹣k ﹣1）=0， ∴x =2，x =k +1．∵方程有一根小于 1，∴k +1＜1，解得：k ＜0，∴k 的取值范围为 k ＜0．【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0 时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于 1，找出关于 k 的一元一次方程．22．（5 分）（2017•北京）如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ， AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为 AD 的中点，连接 BE ．（1）求证：四边形 BCDE 为菱形；（2）连接 AC ，若 AC 平分∠BAD ，BC=1，求 AC 的长．2 1 2 22 221 2【考点】LA：菱形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE 即可解决问题；（2）在Rt△只要证明∠ADC=60°，AD=2 即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD 的中点，∴DE=BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四边形BCDE 是菱形．（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴AB=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB= ，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，在Rt△ACD 中，∵AD=2，∴CD=1，AC=．【点评】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．23．（5分）（2017北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y= （x＞0）的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x﹣2 于点M，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数y= （x＞0）的图象于点N．①当n=1 时，判断线段PM与PN 的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A 点代入y=x﹣2中即可求出m 的值，然后将A 的坐标代入反比例函数中即可求出k 的值．（2）①当n=1 时，分别求出M、N 两点的坐标即可求出PM与PN 的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN＞PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n 的范围．【解答】解：（1）将A（3，m）代入y=x﹣2，∴m=3﹣2=1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y= ，∴k=3×1=3，（2）①当n=1 时，P（1，1），令y=1，代入y=x﹣2，x﹣2=1，∴x=3，∴M（3，1），∴PM=2，令x=1 代入y= ，∴y=3，∴N（1，3），∴PM=2∴PM=PN，②P（n，n），点P 在直线y=x 上，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x﹣2 于点M，M（n+2，n），∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∴0＜n≤1或n≥3。

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2017年北京中考一模数学第27题(代数综合题) （13区汇总）
1.(2017北京东城中考一模_27)（7分）二次函数2
(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中
20m +>．
（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C (0,
n )作直线l ⊥y 轴.
①当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关系；
②若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；
（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围．
2.(2017北京西城中考一模_27)（7分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2 -(2m
+ 1)x + m -5的图象与x 轴有两个公共点. （1）求m 的取值范围；
（2）若m 取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式；
②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y 的取值范围是-6 ≤ y ≤ 4-n ，求n 的值；
③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O .设平移后的图象对应的函数表达式为y =a (x -h )2 + k ，当x < 2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.
x
3.(2017北京海淀中考一模_27)（7分）平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y mx m x =-+交y 轴于A 点，交直线x =4于B 点．
（1）抛物线的对称轴为x =（用含m 的代数式表示）；（2）若AB ∥x 轴，求抛物线的表达式；
（3）记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），若对于图象G 上任意
一点P （P x ，P y ），2P y ≤，求m 的取值范围．
4.(2017北京朝阳中考一模_27)（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2211
222
y x mx m m =
-++-的顶点在x 轴上. （1）求抛物线的表达式；（2）点Q 是x 轴上一点，
①若在抛物线上存在点P ，使得∠POQ =45°，求点P 的坐标；
②抛物线与直线y =2交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），将此抛物线在点E 、F （包含点E 和点F ）之间的部分沿x 轴平移n 个单位后得到的图象记为G ，若在图象G 上存在点P ，使得∠POQ =45°，求n 的取值范围.
5.(2017北京大兴中考一模_27)（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2 – 2mx + m 2 – 1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的代数式表示）；（2）求线段AB 的长；
（3）抛物线与y 轴交于点C （点C 不与原点O 重合），若△OAC 的面积始终小于△ABC 的面积，求m 的取值范围
6.(2017北京房山中考一模_27)（7分）在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交
于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C.
（1）求点C 的坐标；
（2）如果抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0)与线段BC 有唯一公共点，
l
求n 的取值范围．
7.(2017北京丰台中考一模_27)（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
()01242≠-+-=m m mx mx y 与平行于x 轴的一条直线交于A ，B 两点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）如果点A 的坐标是（-1，-2），求点B 的坐标；
（3）抛物线的对称轴交直线AB 于点C ，如果直线AB 与y 轴交点的纵坐标为-1，
且抛物线顶点D 到点C 的距离大于2，求m 的取值范围．
8.(2017北京门头沟中考一模_27)（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
()()13y a x x =+-与x 轴交于A ,B 两点，点A 在点B 的左侧，抛物线的顶点为P ,规定：
抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”
（不包含边界）. （1）如果该抛物线经过（1, 3），求a 的值，并指出此时“G 区域”有______个整数点；
（整数点就是横纵坐标均为整数的点）
（2）求抛物线()()13y a x x =+-的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，如果G 区域中仅有4个整数点时，直接写出a 的取值范围.
9.(2017北京平谷中考一模_27)（7分）直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ．（1）求点C 的坐标；
（2）若抛物线()
230y mx nx m m =+-≠经过A ，B ，C 三点，求该抛物线的表达式；（3）若抛物线()230y ax bx a =++≠经过A ，B 两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段AC
有两个公共点，求a 的取值范围．
备用图
10.(2017北京石景山中考一模_27)（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ．
（1）求顶点A 的坐标；
（2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠交于B ，C 两点．
①当2a =时，求线段BC 的长；
②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的取值范围．
11.(2017北京顺义中考一模_27)（7分）如图，已知抛物线2
8(0)y ax bx a =++≠与x 轴
交于A （-2，0），B 两点，与y 轴交于C 点，tan ∠ABC =2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；
（2）过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个
单位，使抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点．求m 的取值范围．
12.(2017北京通州中考一模_27)（7分）在平面直角坐标系x O y 中，抛物线
2222+-+-=m m mx x y 的顶点为D.线段AB 的两个端点分别为A （-3，m ），B （1，m ）.
（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B （1，m ），求m 的值；
（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围.
13.(2017北京燕山中考一模_27)（7分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线
c bx x y ++=2经过点A(0，-3)，B(4，5).
（1）求此抛物线表达式及顶点M的坐标；（2）设点M关于y轴的对称点是N，此抛物线在A，B两点之间的部分记为图象W(包含A,B两点)，经过点N的直线l：n
=
mx
y+
与图象W恰一个有公共点，结合图象，求m的取值范围.。