研-统计3抽样误差t分布
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• 标准正态分布 N(0,1).
• 正态分布的特征和分布规律：
• （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=μ 时，曲线位于最高点。 f(u=0)=0.3989
• （2）曲线关于直线x=μ左右对称。
• （3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正 态的参数分别为:0, 1
• （4）正态分布的面积分布有一定规律。
• 资料服从对数正态分布，求血铅对数值的均数， 标准差。
lg1(1.1545 1.645 0.2679) lg1(1.5952) 39(ug /100g)
• 二、确定概率分布：
• 例：某市2000年110名7岁男童身高，已知均数
• X =119.95厘米，标准差S=4.72厘米，估计：该 地7岁男童身高在110厘米以下者占该地7岁男童 总数的百分数。
• 3. 正态分布可当做不少大样本的近似分布。
• 正态分布的密度函数：式中μ为均数；σ为标
准差；π为圆周率；е为自然对数的底，即
2.71828。以上均为常数，仅x为变量。
f (x)
1
2
( 1 )[ ( x ) ]2
e2
(1)
x
• 标准正态分布: • 为了应用方便，常将式进行变量变换，即：u
பைடு நூலகம்
• 正态曲线下面积的分布规律
• 正态曲线下，横轴上一定区间的面积,等于该区 间的频数发生的概率（即所有随机事件发生的概 率）。面积可用积分求得。
• F(x)为正态变量X 的累积分布函数，反映正态曲
线下，自- 到x的面积，即左侧累积面积。
F (x) 1
e dx x
( 1 )[ x ]2 2
2
面积
(或概率)
-1__+1 -1.96__+1.96
68.27% 95.00%
-2.58__+2.58 99.00%
双侧概率
（-1，1），68.27%
（-1.96，1.96），95%
（-2.58，2.58），99%
单侧概率
• 正态曲线下面积的分布规律的应用： • 一、确定医学参考值范围 • 意义:是正常人指标测定值的波动范围，可用于
(3)
(u) 1
u
(u2 )
e 2 du
2
(4)
• 统计学家已经按 (4) 编成了附表，标准正态分 布曲线下的面积。应用时注意：
• （1）当总体μ ， σ已知时，先计算u值，再用u 值查表，得出所求区间面积占总面积的比例。如 果未知，常分别用样本均数和样本标准差来估计。
• （2）曲线下对称于0的区间，面积相等。如：区
X 1.96S
• 3、将样本的均数、标准差数值代入计算，得出 范围。
X 1.96S 4.653 1.96 0.401
(3.87 ~ 5.44)
• 对数正态分布(log normal distribution)：
• 很多医学资料呈偏态分布，经过对数变换 （用原始数据的对数值lgx代替x)后，服从正 态分布，就说 x服从对数正态分布。
(normal distribution)
• 概念： 频数分布以均数为中心，左右两侧基 本对称，靠近均数两侧频数较多，离均数愈 远，频数愈少，形成一个中间多，两侧逐渐 减少的对称分布。
• 是一种连续型分布。又称高斯分布。 • (Johann Carl Friedrich Gauss，生于1777年4
对数正 态法
对数正 态、近 似正态
lg1( X lg x 1.96S lg x)
lg1( X lg x 1.645S lg x)
lg1( X lg x 1.645S lg x)
百分位 数法
偏态
P2.5 ~ P97.5
P95
P5
单侧下限 单侧上限
正常值范围的上下限
双侧界限
• 例：用正态分布法求血糖值95%的参考值范围。 • 解：1、求样本的均数4.653、标准差0.401。 • 2、按照双侧95%范围，确定参考值范围为：
间（- ，-2.58）与区间（2.58， ）的面积
相等。
• （3）曲线下横轴上的总面积为100% 或为1。
• 根据后两个特征，可计算右侧累积面积。
正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律
正态分布
μ -1σ__μ +1 σ μ–1.96σ__μ+1.96σ μ –2.58σ__μ+2.58σ
标准正态分布
划分正常，或异常。
• 步骤：1、抽样 2、控制测量误差 3、取单侧或双 侧 4、选定合适的百分界限 5、资料正态性检验
• 6、进行参考值估计 • 常用方法： • 正态分布法，对数正态分布法，百分位数法
适用对 象
95%正常值范围的估计
双侧界限
单侧上界
单侧下界
正态分 布法
正态、 近似正 态
X 1.96S X 1.645S X 1.645S
从直方图到正态曲线的过渡
对称分布
正（右）偏分布
负（左）偏分布
几种常见的频数分布
• 正态分布之所以重要, 三个主要原因:
• 1. 正态分布在分析上较易处理。
• 2. 正态分布之概率密度函数（p.d.f.， probability density function）的图形为钟形曲 线(bell-shaped curve), 对称, 很适合当做不少 事件之机率模式。
变换. 所得到的新变量u的分布即为标准正态 分布。
• u的含义：变量到均数间的距离相当于标准差 的倍数。
u x
x
标准正态分布的概率密度函数：
(u)
1
(u2 )
e2
(2)
2
u
• u变换后，μ=0，σ=1，使原来的正态分布变 换为标准正态分布（standard normal distribution）亦称u分布。
• 如：环境中若干有害物质的浓度，食品中有 些农药的残留量，某些临床检验结果，某些 疾病的潜伏期，医院病人的住院天数，都呈 偏态分布。但对数转换后，为正态分布。按 照正态分布规律处理。
例题
• 某市某年调查200例正常人血铅含量（ug/100g,双 硫腙分光比色法），试估计血铅值的95%上限。
lg1( X lg x 1.645S lg x)
月30日于不伦瑞克，卒于1855年2月23日于哥 廷根，德国著名数学家、天文学家、大地测 量学家、物理学家。被认为是最重要的数学 家，并有数学王子的美誉。
• 正态分布用N(µ, 2 )表示，其位置与均数有关， 形状与标准差有关。
• 医学现象许多呈正态分布，或近似正态分布：如 正常人的生理，生化指标变量，等
• 正态分布的特征和分布规律：
• （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=μ 时，曲线位于最高点。 f(u=0)=0.3989
• （2）曲线关于直线x=μ左右对称。
• （3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正 态的参数分别为:0, 1
• （4）正态分布的面积分布有一定规律。
• 资料服从对数正态分布，求血铅对数值的均数， 标准差。
lg1(1.1545 1.645 0.2679) lg1(1.5952) 39(ug /100g)
• 二、确定概率分布：
• 例：某市2000年110名7岁男童身高，已知均数
• X =119.95厘米，标准差S=4.72厘米，估计：该 地7岁男童身高在110厘米以下者占该地7岁男童 总数的百分数。
• 3. 正态分布可当做不少大样本的近似分布。
• 正态分布的密度函数：式中μ为均数；σ为标
准差；π为圆周率；е为自然对数的底，即
2.71828。以上均为常数，仅x为变量。
f (x)
1
2
( 1 )[ ( x ) ]2
e2
(1)
x
• 标准正态分布: • 为了应用方便，常将式进行变量变换，即：u
பைடு நூலகம்
• 正态曲线下面积的分布规律
• 正态曲线下，横轴上一定区间的面积,等于该区 间的频数发生的概率（即所有随机事件发生的概 率）。面积可用积分求得。
• F(x)为正态变量X 的累积分布函数，反映正态曲
线下，自- 到x的面积，即左侧累积面积。
F (x) 1
e dx x
( 1 )[ x ]2 2
2
面积
(或概率)
-1__+1 -1.96__+1.96
68.27% 95.00%
-2.58__+2.58 99.00%
双侧概率
（-1，1），68.27%
（-1.96，1.96），95%
（-2.58，2.58），99%
单侧概率
• 正态曲线下面积的分布规律的应用： • 一、确定医学参考值范围 • 意义:是正常人指标测定值的波动范围，可用于
(3)
(u) 1
u
(u2 )
e 2 du
2
(4)
• 统计学家已经按 (4) 编成了附表，标准正态分 布曲线下的面积。应用时注意：
• （1）当总体μ ， σ已知时，先计算u值，再用u 值查表，得出所求区间面积占总面积的比例。如 果未知，常分别用样本均数和样本标准差来估计。
• （2）曲线下对称于0的区间，面积相等。如：区
X 1.96S
• 3、将样本的均数、标准差数值代入计算，得出 范围。
X 1.96S 4.653 1.96 0.401
(3.87 ~ 5.44)
• 对数正态分布(log normal distribution)：
• 很多医学资料呈偏态分布，经过对数变换 （用原始数据的对数值lgx代替x)后，服从正 态分布，就说 x服从对数正态分布。
(normal distribution)
• 概念： 频数分布以均数为中心，左右两侧基 本对称，靠近均数两侧频数较多，离均数愈 远，频数愈少，形成一个中间多，两侧逐渐 减少的对称分布。
• 是一种连续型分布。又称高斯分布。 • (Johann Carl Friedrich Gauss，生于1777年4
对数正 态法
对数正 态、近 似正态
lg1( X lg x 1.96S lg x)
lg1( X lg x 1.645S lg x)
lg1( X lg x 1.645S lg x)
百分位 数法
偏态
P2.5 ~ P97.5
P95
P5
单侧下限 单侧上限
正常值范围的上下限
双侧界限
• 例：用正态分布法求血糖值95%的参考值范围。 • 解：1、求样本的均数4.653、标准差0.401。 • 2、按照双侧95%范围，确定参考值范围为：
间（- ，-2.58）与区间（2.58， ）的面积
相等。
• （3）曲线下横轴上的总面积为100% 或为1。
• 根据后两个特征，可计算右侧累积面积。
正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律
正态分布
μ -1σ__μ +1 σ μ–1.96σ__μ+1.96σ μ –2.58σ__μ+2.58σ
标准正态分布
划分正常，或异常。
• 步骤：1、抽样 2、控制测量误差 3、取单侧或双 侧 4、选定合适的百分界限 5、资料正态性检验
• 6、进行参考值估计 • 常用方法： • 正态分布法，对数正态分布法，百分位数法
适用对 象
95%正常值范围的估计
双侧界限
单侧上界
单侧下界
正态分 布法
正态、 近似正 态
X 1.96S X 1.645S X 1.645S
从直方图到正态曲线的过渡
对称分布
正（右）偏分布
负（左）偏分布
几种常见的频数分布
• 正态分布之所以重要, 三个主要原因:
• 1. 正态分布在分析上较易处理。
• 2. 正态分布之概率密度函数（p.d.f.， probability density function）的图形为钟形曲 线(bell-shaped curve), 对称, 很适合当做不少 事件之机率模式。
变换. 所得到的新变量u的分布即为标准正态 分布。
• u的含义：变量到均数间的距离相当于标准差 的倍数。
u x
x
标准正态分布的概率密度函数：
(u)
1
(u2 )
e2
(2)
2
u
• u变换后，μ=0，σ=1，使原来的正态分布变 换为标准正态分布（standard normal distribution）亦称u分布。
• 如：环境中若干有害物质的浓度，食品中有 些农药的残留量，某些临床检验结果，某些 疾病的潜伏期，医院病人的住院天数，都呈 偏态分布。但对数转换后，为正态分布。按 照正态分布规律处理。
例题
• 某市某年调查200例正常人血铅含量（ug/100g,双 硫腙分光比色法），试估计血铅值的95%上限。
lg1( X lg x 1.645S lg x)
月30日于不伦瑞克，卒于1855年2月23日于哥 廷根，德国著名数学家、天文学家、大地测 量学家、物理学家。被认为是最重要的数学 家，并有数学王子的美誉。
• 正态分布用N(µ, 2 )表示，其位置与均数有关， 形状与标准差有关。
• 医学现象许多呈正态分布，或近似正态分布：如 正常人的生理，生化指标变量，等