高三数学模拟测试题含答案
高 三 数 学 综 合 模 拟 测 试 题(附答案)5
高三数学试题（文 ）一、选择题1．已知集合{}{}N M x x g y x N x y y M x 则,)2(1,0,22-==>==为 （ ）A ．（1，2）B ．),1(+∞C ．),2[+∞D ．),1[+∞2．若函数b ax x f +=)(的零点为2，那么函数ax bx x g -=2)(的零点是 （ ）A ．0，2B ．0，21C ．0，21-D ．21,2 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，若==84,1S S 则 （ ）A ．17B ．171 C ．5 D ．51 4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为n m ,，则点),(n m P 在直线4=+y x 上的概率是（ ）A ．31 B ．41 C ．61 D ．121 5．已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图，若图中圆的半径为１，等腰三 角形的腰长为5，则该几何体的体积为（ ）A ．32πB ．34π C ．π2D ．π46．已知复数z 满足i izi z 431+=-+⋅（i 是虚数单位）， 则=z （ ） A ．i +3 B ．i -3 C ．i 32-D ．i 34-7．已知O 是ABC ∆内部一点，0=++OC OB OA 2=⋅AC AB ，且,60︒=∠BAC 则OBC ∆的面积为（ ）A ．21 B ．33 C ．23 D ．32 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若01,1211=--+>+-m m m a a a m 且，3912=-m S ，则m 等于（ ）A ．39B ．20C ．19D ．10 9．设函数='=≠+=003),(3)3(),0(31)(x x f f a bx ax x f 则若 （ ）A ．1±B ．2C ．3±D ．21 2 2 3 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6 … … … … … … …10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为20102009，则判断框内应填入的条件是 （ ） A ．?2008=i B ．?2009>i C ．?2010>iD ．?2012=i11．过抛物线x y 22=的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且只有一条 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条12．定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且为奇函数，若实数t s ,满足不等式s t s t t f s s f +≤≤--≥-3,41),2()2(22时则当的取值范围是（ ）A ．]10,2[-B ．]16,2[-C ．]10,4[D ． [4，16] 二、填空题13．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的方程为x y 2=，则双曲线C 的离心率为 。
浙江省嘉兴市2024届高三第一次模拟测试数学试题含答案
嘉兴市2024届高三第一模拟测试数学试卷（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知复数220231i i i z =++++ ，则z =（）A.0B.1C.D.【答案】A 【解析】【分析】化简复数z ，继而求模即可.【详解】220231i i i z =++++ ()()23420172018201920202021202220231i+i i +i i i +i i +i i +i =+++⋅⋅⋅++++15050i 1i 0=+⨯+--=则0z =，故选：A .2.已知集合πsin ,044k A k k ⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 且，则集合A 的元素个数为（）A.3 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】将k 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合A ，即可得集合A 的元素个数.【详解】当0k =时，πsin sin004k ==，当1k =时，ππsinsin 442k ==，当2k =时，π2ππsin sin sin 1442k ===，当3k =时，π3πsin sin 442k ==，当4k =时，π4πsinsin sinπ044k ===，故0,,12A ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，共三个元素.故选：A.3.已知向量()2,0a =，()0,3b = ，若实数λ满足()()b a a b λ-⊥+ ，则λ=（）A.49B.94C.1- D.1【答案】A 【解析】【分析】先表示出,b a a b λ-+的坐标，然后根据垂直关系得到λ的方程，由此求解出结果.【详解】因为()()2,3,2,3b a a b λλ-=-+=，且()()b a a b λ-⊥+ ，所以22330λ-⨯+⨯=，所以49λ=，故选：A.4.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.5.已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型： 1.4e 0.1250ety k -=⋅（00k >，当0=t 时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过n 年后(N)n ∈，当该物种的种群数量不足2023年初的10%时，n 的最小值为（参考数据：ln10 2.3026≈）（）A.16B.17C.18D.19【答案】D 【解析】【分析】确定2023年初的种群数量为0=t 时的函数值，根据题意可列不等式 1.4e 0.125 1.4e 00e 10%e tk k -⋅<⋅⋅，结合对数运算即可求得答案.【详解】由题意可知2023年初的种群数量为0=t 时的函数值 1.4e0e k ⋅，故令 1.4e 0.125 1.4e 00e10%e ty k k -=⋅<⋅⋅，即0.1251e 10t -<，则0.125ln10t >，ln108ln108 2.302618.42080.125t ∴>=≈⨯=，由于*n ∈N ，故n 的最小值为19，故选：D6.已知数列{}n a 满足10a =，231a a ==，令()*12N n n n n b a a a n ++=++∈．若数列{}nb 是公比为2的等比数列，则2024a =（）A.2024247- B.2024237+ C.2024247+ D.2024267+【答案】B 【解析】【分析】数列{}n b 是公比为2的等比数列，可得2nn b =，则有32nn n a a +-=，累加法结合等比数列求和公式，计算2024a .【详解】11230112b a a a =++=++=，数列{}n b 是公比为2的等比数列，则2nn b =，即()13123121222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b ++++++++-=++-++=-=-=，()()()()2024202420212021201820182015522a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ ()67423202420242021201820152212242322221111877⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=+++++=+=+=- .故选：B【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列{}n b 的通项得到32nn n a a +-=，用累加法即可计算2024a .7.正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A.2B.94 C.3D.52【答案】C 【解析】【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以223332BG BE ==⨯⨯=，所以AG ==r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，2348OM ON ⎛⋅=-=- ⎪⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+ ()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，PO的最大值为44=，所以PM PN ⋅的最大值为23348⎛-= ⎝⎭.故选：C8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为A.13B.12C.2D.63【答案】A 【解析】【分析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到MN ME的比值，再结合MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接G I 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E，设点00(,)P x y ，12(,0),(,0)F c F c -，则00,OE x PE y ==，因为G 为12PF F ∆的重心，所以00(,)33x y G ，因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03xON =，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，则有01212122()()23x PF PF F N NF F O ON OF ON ON -=-=+--==，又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x xPF a PF a =+=-，又由角平分线的性质可得，011223=3x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +-所以得03cxOM a=，所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0(3)3a c x ME OE OM a-=-=，所以3IN MN a c PEMEa c -==-，即0()3a c y IN a c-=-，因为1212121211()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=++=即00()11(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得13c a =，所以答案为A.【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.正切函数是周期函数，最小正周期为πB.正切函数的图象是不连续的C.直线()ππZ 2x k k =+∈是正切曲线的渐近线D.把ππtan ,,)2(2y x x =∈-的图象向左、右平行移动πk 个单位，就得到tan y x =π(R,π)2x x k ∈≠+的图象【答案】ABC 【解析】【分析】根据正切函数的性质，以及它的的图象的特点，即可判断A ，B 。
江苏省镇江市2024~2025学年高三上学期期中模拟测数学试卷(含答案)
2024~2025学年第一学期高三期中模拟测试卷（1）姓名：___________ 班级：___________一、单选题1．若，则（）A．B．C．D．2．已知全集，集合，，则如图所示的图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．3．若等比数列{an}的前n项和为S n，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（）A．80B．120C．150D．1804．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．5．记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（）A．1B．C．D．36．在△ABC中，，为上一点，且，若，则的值为（）A．B．C．D．7．已知，，且，则的最小值为（）．A．4B．6C．8D．128．设，则（）A．B．C．D．二、多选题9．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（）A．的周期为B．的一条对称轴为C．是奇函数D．在区间上单调递增10．已知函数，则（）A．有两个极值点B．有三个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线11．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A．动点B．三棱锥体积的最小值为C．与不可能垂直D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为三、填空题12．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.13．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．14．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.四、解答题15．已知函数的定义域为，对任意且，都满足.(1)求;(2)判断的奇偶性;(3)若当时，，且，求不等式的解集.1i1zz=+-z=1i--1i-+1i-1i+RU={}2560A x x x=--≤3lg3xB x yx-⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭Venn(]3,1--(]1,3-(]1,3[]3,6[]21,2,0x x a∀∈-≤4a≤4a≥5a≤5a≥()y f x=3252π,23BAC AD DB∠==P CD12AP mAC AB=+||3,||4AC AB==AP CD⋅76-761312-1312x>0y>26xy x y++=2x y+0.110.1e,ln0.99a b c===-，a b c<<c b a<<c a b<<a c b<<()sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭6π()g x()g xπ()g x3xπ=()g x()g x,36ππ⎡⎤-⎢⎣⎦3()1f x x x=-+()f x()f x(0,1)()y f x=2y x=()y f x=1111ABCD A B C D-E1DD F11C CDD1//B F1A BEF11B D EF-131B F1A B11B D DF-25π2αβtan tan4αβ+=tan tan1αβ+sin()αβ+=e xy x=+()0,1ln(1)y x a=++a=()f x(,0)(0,)-∞+∞,x y∈R||||x y≠()22()()f x y f x y f x y++-=-(1),(1)f f-()f x1x>()0f x>(2)1f=(2)(1)2f x f x+--<16.如图，三棱锥中，，，，E 为BC 的中点．(1)证明：；(2)点F 满足，求二面角的正弦值．17．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．18．已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和.19．记△ABC 的内角的对边分别为，已知．(1)求； (2)若，求△ABC 面积．参考答案：题号12345678910答案C D C D A D A CAD AC 题号11 答案ABD12．A BCD -DA DB DC ==BD CD ⊥60ADB ADC ∠=∠= BC DA ⊥EF DA =D AB F --()()e xf x a a x =+-()f x 0a >()32ln 2f x a >+{}n a 11a =11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数2n n b a =1b 2b {}n b {}n a ,,A B C ,,a b c 2222cos b c a A+-=bc cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==--因为，，则，，又因为，则，，则，则，解得法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,则13．【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：.14．【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：15．【详解】（1）因为对任意且，都满足，令，得，，令，得，.（2）对任意非零实数，，令，可得.在上式中，令，得，即对任意非零实数，都有，是偶函数.（3）对任意且，有，由（2）知，在区间上单调递增.，，是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，原不等式转化为，解得或或，原不等式的解集为.16．【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，从而所以二面角17．【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m mαβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,Zk m∈()()()22ππ,22π2πm k m kαβ+∈++++,Zk m∈()tan0αβ+=-<()()3π22π,22π2π2m k m kαβ⎛⎫+∈++++⎪⎝⎭,Zk m∈()sin0αβ+<()()sincosαβαβ+=-+()()22sin cos1αβαβ+++=()sinαβ+=αβcos0,cos0αβ><cosα==cosβ==sin()sin cos cos sin cos cos(tan tan)αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cosαβ====282142=36()1446323⨯⨯⨯=()122343⨯⨯⨯=32428-=(13164283⨯⨯+=28ln2e xy x=+e1xy'=+0|e12xy='=+=e xy x=+()0,121y x=+()ln1y x a=++11yx'=+()ln1y x a=++()()00,ln1x x a++121yx'==+012x=-11,ln22a⎛⎫-+⎪⎝⎭112ln21ln222y x a x a⎛⎫=+++=++-⎪⎝⎭ln20a-=ln2a=ln2,x y∈R||||x y≠()22()()f x y f x y f x y++-=-1,0x y==(1)(1)(1)f f f+=(1)0f∴=1,0x y=-=(1)(1)(1)0f f f-+-==(1)0f∴-=a b,22a b a bx y+-==()()()f a f b f ab+=1b=-()(1)()f a f f a+-=-a()()f a f a=-()f x∴12,(0,)x x∈+∞12x x<22111,0x xfx x⎛⎫>∴>⎪⎝⎭()()()22211111x xf x f x f f x f xx x⎛⎫⎛⎫=⨯=+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x∴(0,)+∞(2)1,211(2)(2)(4)f f f f=∴=+=+=(2)(1)2f x f x+--<(2)(1)2(1)(4)(44),f x f x f x f f x∴+<-+=-+=-()f x(,0)(0,)-∞+∞(0,)+∞∴0|2||44|x x<+<-2x<-225x-<<2x>∴2(,2)2,(2,)5∞∞⎛⎫--⋃-⋃+⎪⎝⎭,AE DE DB DC=DE BC⊥DA DB DC==60ADB ADC∠=∠= ACDABD△AC AB∴=AE BC⊥AE DE E=,AE DE⊂ADE⊥BC ADE AD⊂ADE BC DA⊥2DA DB DC===BD CD⊥BC DE AE∴==2224AE DE AD∴+==AE DE∴⊥,AE BC DE BC E⊥=,DE BC⊂BCD AE∴⊥BCD E,,ED EB EA,,x y z(0,0,0)D A B EDAB ABF()()11112222,,,,,n x y z n x y z==D AB F--θ(AB=(EF DA==(F()AF=1111⎧=⎪∴=11x=1(1,1,1)n=222==⎪⎩21y=2(0,1,1)n=cos=sinθ==D AB F--()()e xf x a a x=+-R()e1xf x a=-'a≤e0x>e0xa≤()e10xf x a=-<'()f x R当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则令，则，则所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则，则在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.18．【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．0a >()e 10xf x a =-='ln x a =-ln x a <-()0f x '<()f x (),ln a -∞-ln x a >-()0f x '>()f x ()ln ,a -+∞0a ≤()f x R 0a >()f x (),ln a -∞-()f x ()ln ,a -+∞()()()ln min 2ln ln ln e1af a a x a f a a a --+=++=+=3()2ln 2f x a >+2312ln 2ln a a a ++>+21ln 02a a -->()()21ln 02g a a a a =-->()21212a g a a a a -=-='()0g a '<0a <<()0g a '>a >()g a ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()2min102g a g ==--=>()0g a >0a >3()2ln 2f x a >+()e 1xh x x =--()e 1x h x '=-e x y =R ()e 1x h x '=-R ()00e 10h =-='0x <()0h x '<0x >()0h x '>()h x (),0-∞()0,∞+()()00h x h ≥=e 1x x ≥+0x =()2ln 22()e e eln 1xxx af x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-ln 0x a +=ln x a =-3()2ln 2f x a >+23ln 12ln 2x a a x a +++->+21ln 02a a -->()()21ln 02g a a a a =-->()21212a g a a a a -=-='()0g a '<0a <<()0g a '>a >()g a ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()2min 102g a g ==--=>()0g a >0a >3()2ln 2f x a >+2n 21222212,1n n n n a a a a +++=+=+2223n n a a +=+13n n b b +=+121+12b a a ==={}n b 122,5,31n b b b n ===-1231,2,4a a a ===122432,15b a b a a ====+=11n n a a +-=n 12n n a a +-=n n n *23()n n a a n N +-=∈()11331n b b n n =+-⨯=-{}n a *113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N 11213(1)11222b a a -==++=+=322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++ 12(1)131n n n =+-+=-⨯122,5b b =={}n b 31n b n =-20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++ 1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++ 110()102103002b b +⨯=⨯-={}n a 12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+2122123n n n a a a +-=+=+{}n a 2221213n n n a a a ++=+=+{}n a从而数列的前20项和为：．19．【详解】（1）因为，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以故的面积为．{}n a 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++ 1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=2222cos a b c bc A =+-2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===1bc =cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++()()sin sin sin A B A B B --+=2cos sin sin A B B -=0sin 1B <≤1cos 2A =-0πA <<sin A =ABC V 11sin 122ABC S bc A ==⨯△。
江西省南昌市2024届高三第一次模拟测试数学试题含答案
2024年HGT 第一次模拟测试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟一､单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2R 240,N 10A x x x B x x +=∈--<=∈<∣∣，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,2,3 D.{}1,2,3,42.已知复数z 满足2i i 4z z -=+，则z =（）A.3B.C.4D.103.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3612,33a a ==，则17S =（）A.51B.34C.17D.14.已知()21:ln 10,:0,x p a q x a x+->∃>≤，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知抛物线2:4C x y =的焦点为,F A 是抛物线C 在第一象限部分上一点，若4AF =，则抛物线C 在点A 处的切线方程为（）A.30y --= B.210x y --=C.10x y --= D.20y --=6.已知1225log 5,log 2,e a b c ===，则（）A.c a b <<B.a c b <<C.a b c<< D.b c a<<7.已知函数()][1sin ,2,11,2f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈--⋃ ⎪⎣⎦⎝⎭，则下列结论中错误的是（）A.()f x 是奇函数B.max ()1f x =C.()f x 在[]2,1--上递增D.()f x 在[]1,2上递增8.木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点1C 和棱1AA 的中点M 处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以BD 为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积V =（）A.4B.163C.6D.203二､多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间中两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，则下列说法正确的是（）A.若m,n m α⊂，则n αB.若α ,m βα⊂，则m βC .若,m n ββ⊥⊂，则m n⊥D .若,n αββ⊥⊂，则n α⊥10.已知圆22:4O x y +=与直线:l x my =+交于,A B 两点，设OAB 的面积为()S m ，则下列说法正确的是（）A.()S m 有最大值2B.()S m 无最小值C.若12m m ≠，则()()12S m S m ≠D.若()()12S m S m ≠，则12m m ≠11.某环保局对辖区内甲､乙两个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：3μg/m ）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.已知甲乙两地区连续10天检查所得数据特征是：甲地区平均数为80，方差为40，乙地区平均数为70，方差为90.则下列推断一定正确的是（）A.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75B.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65C.甲地区环境治理达标D.乙地区环境治理达标12.已知直线1l 是曲线()ln f x x =上任一点()11,A x y 处的切线，直线2l 是曲线()e xg x =上点()11,B y x 处的切线，则下列结论中正确的是（）A.当111+=x y 时，1l 2lB.存在1x ，使得12l l ⊥C.若1l 与2l 交于点C 时，且三角形ABC 为等边三角形，则12x =+D.若1l 与曲线()g x 相切，切点为()22,C x y ，则121x y =三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 满足(2,1,a b == ，且1a b ⋅=- ，则向量,a b 夹角的余弦值为__________.14.()6(2)1x y x --的展开式中43x y 的系数是__________.15.“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是__________.16.用平面截圆锥面，可以截出椭圆､双曲线､抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点P 且与两个球都相切，切点分别记为12,F F .这个平面截圆锥面得到交线,C M 是C 上任意一点，过点M 的母线与两个球分别相切于点,G H ，因此有12MF MF MG MH GH +=+=，而GH 是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线C 是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为43，球的半径为4，平面α与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于,A B 两点，记平面α与圆锥侧面相交所得曲线为C ，则曲线C 的离心率为__________.四､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求()f x 的最大值.18.对于各项均不为零的数列{}n c ，我们定义：数列n k n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为数列{}n c 的“k -比分数列”.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，且{}n a 的“1-比分数列”与{}n b 的“2-比分数列”是同一个数列.（1）若{}n b 是公比为2的等比数列，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若{}n b 是公差为2的等差数列，求n a .19.如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边10AC =，ππ,34BAC DAC ∠∠==，BD 交AC 于点E.（1）求2BD ；（2）求AE .20.甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势，若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率，若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率；如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有两个方案，方案一：执行投资计划；方案二：聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.根据以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是40%，经济形势不好的概率是60%.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的期望值的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.21.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，已知E 为棱AD 的中点，P 在底面的投影H 为线段EC 的中点，M 是棱PC 上一点.（1）若2CM MP =，求证：//PE 平面MBD ；（2）若,PB EM PC EC ⊥=，确定点M 的位置，并求二面角B EM C --的余弦值.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，左右两顶点分别为12,A A ，过点()1,0C 作斜率为()110k k ≠的动直线与椭圆E 相交于,M N 两点.当11k =时，点1A 到直线MN 的距离为322.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点M 关于原点的对称点为P ，设直线1A P 与直线2A N 相交于点Q ，设直线OQ 的斜率为2k ，试探究21k k 是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.2024年HGT 第一次模拟测试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟一､单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2R 240,N 10A x x x B x x +=∈--<=∈<∣∣，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,2,3 D.{}1,2,3,4【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】因为2240x x --<，所以11x -<<+所以{{}R11,1,2,3,4,5,6,7,8,9A x x B =∈-<<+=∣，所以A B = {}1,2,3.故选：C .2.已知复数z 满足2i i 4z z -=+，则z =（）A.3 B.C.4D.10【答案】B 【解析】【分析】先由复数的乘法和除法运算化简复数，再由复数的模长公式求解即可.【详解】由2i i 4z z -=+可得：i 2i 4z z -=+，所以()()()()()()22i 41i 2i 21i 2i 4i i 22i 3i 11i 1i 1i 2z +++++====+++=+--+，所以z ==故选：B .3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3612,33a a ==，则17S =（）A.51B.34C.17D.1【答案】C 【解析】【分析】由题意列方程组可求出1a ，d ，再由等差数列的前n 项和公式求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，所以由3612,33a a ==可得：11123253a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：11919a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17117161171611717172929S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯=.故选：C .4.已知()21:ln 10,:0,x p a q x a x+->∃>≤，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数定义域和基本不等式求最值，利用集合包含关系可得.【详解】由()ln 10a ->，得10211a a a ->⎧⇒>⎨->⎩，设(){}{}:ln 102p A a a a a =->=>，由210,x x a x +∃>≤的否定为210,x x a x+∀>>，令()2112x f x x x x +==+≥，当且仅当1x x =时，又0x >，即1x =等号成立，若210,x x a x+∀>>，则2a <，若210,x x a x+∃>≤，则2a ≥，设{}:2q B a =≥，因为{}{}22a a a ≥⊇>，所以p q ⇒且q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件故选：A5.已知抛物线2:4C x y =的焦点为,F A 是抛物线C 在第一象限部分上一点，若4AF =，则抛物线C 在点A 处的切线方程为（）A.30y --= B.210x y --=C.10x y --=D.20y --=【答案】A 【解析】【分析】设()11,A x y ，根据抛物线的定义求得1x =，13y =，再根据导函数的几何意义求出切线斜率，由点斜式写出方程即可【详解】设()11,A x y ，由24x y =，得2p =，所以抛物线的准线方程1y =-，由抛物线的定义可得114AF y =+=，得13y =代入24x y =，得1x =±又A 是抛物线C 在第一象限部分上一点，所以1x =由24x y =，得214y x =，所以12y x '=，所以抛物线C 在点A 处的切线方程斜率为112x x y ===⨯'=所以抛物线C 在点A 处的切线方程为3y x -=-30y --=，故选：A6.已知1225log 5,log 2,e a b c ===，则（）A.c a b <<B.a c b <<C.a b c <<D.b c a<<【答案】D 【解析】【分析】由对数函数和指数函数的性质可得2,1,a b ><12c <<，即可得出答案.【详解】因为2255log 5log 42,log 2log 51,a b =>==<=121e 2c <==<=，所以b c a <<.故选：D .7.已知函数()][1sin ,2,11,2f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈--⋃ ⎪⎣⎦⎝⎭，则下列结论中错误的是（）A.()f x 是奇函数B.max ()1f x =C.()f x 在[]2,1--上递增 D.()f x 在[]1,2上递增【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的定义可判A ；根据复合函数的单调性并求出最值判断B 、C 、D 【详解】因为][2,11,2x ⎡⎤∈--⋃⎣⎦，所以定义域关于原点对称，且()()111sin sin sin f x x x x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 是奇函数；故A 对；令[]1,1,2u x x x=-∈，所以()h x 在[]1,2单调递增，所以13π022x x ≤-≤≤，即3π022u ≤≤≤，又sin y u =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()1sin f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]1,2单调递增，故D 对；因为()f x 是奇函数，所以()f x 在[]2,1--上递增，故C 对，综上，()()110f f -=-=，则()max 13()2sin 2sin 122f x f ⎛⎫==-=≠ ⎪⎝⎭，故B 错；故选：B8.木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点1C 和棱1AA 的中点M 处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以BD 为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积V =（）A.4B.163C.6D.203【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到1PMQC 为菱形，从而得到多能装入的体积为长方体MTRX ABCD -的体积加上长方体1111MTRX A B C D -的体积的一半，结合正方体的体积求出答案.【详解】棱长为2的正方体的体积为328=，在11,BB DD 上分别取,P Q ，使得1112B P D Q ==，又M 为棱1AA 的中点，故由勾股定理得112C P MQ MP C Q =====，故四边形1PMQC 为菱形，故1,,,P M Q C 四点共面，取111,,BB CC DD 的中点,,T R X ，连接,,,MT TR RX XM ，则平面1PMQC 将长方体1111MTRX A B C D -的体积平分，故以BD 为轴转动正方体，则用此容器装水，则最多能装入的体积为长方体MTRX ABCD -的体积加上长方体1111MTRX A B C D -的体积的一半，故最多能装水的体积1111633844ABCD A B C D V V -==⨯=.故选：C二､多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间中两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，则下列说法正确的是（）A.若m,n m α⊂，则n αB.若α ,m βα⊂，则m βC.若,m n ββ⊥⊂，则m n ⊥D.若,n αββ⊥⊂，则n α⊥【答案】BC 【解析】【分析】根据线面平行的判定判断选项A ；根据面面平行的性质以及线面平行的定义判断选项B ；根据线面垂直的定义判断选项C ；根据面面垂直性质判断选项D 【详解】若m,n m α⊂，则n α或n ⊂α，故A 错；若α ,m βα⊂，则m 与平面β无交点，故m β，故B 对；若,m n ββ⊥⊂，则m 垂直于β内的任一条直线，所以m n ⊥，故C 对；若,n αββ⊥⊂，则n 与α可能平行或相交或在α内，故D 错；故选：BC10.已知圆22:4O x y +=与直线:l x my =+交于,A B 两点，设OAB 的面积为()S m ，则下列说法正确的是（）A.()S m 有最大值2B.()S m 无最小值C.若12m m ≠，则()()12S m S m ≠D.若()()12S m S m ≠，则12m m ≠【答案】ABD 【解析】【分析】设出点线距离，求出面积取值范围判断AB ，利用圆的对称性判断C ，将D 转化为逆否命题再判断即可.【详解】由题意得:l x my =+)P ，如图，取AB 中点为D ，故()12OAB S S m AB OD OD ==⨯⨯== ，设OD 为d ，故OAB S == ，易知OD OP ≤，即0d <≤，故203d <≤，令(]20,3t d =∈，而OAB S =由二次函数性质得当2t =时，OAB S 取得最大值，此时()2OAB S m S == ，故A 正确，由二次函数性质得，()S m 在(]0,2单调递增，在(]2,3单调递减，易知当3t =时，()S m =，当0t →时，()0S m →，故()(]0,2S m ∈，则B 正确对于C ，作A 关于x 轴的对称点A '，B 关于x 轴的对称点B '，连接OA '，OB '，由圆的对称性知OAB OA B S S ''= ，故不论m 取何值，必有()()12S m S m =，故C 错误，易知D 的逆否命题为若12m m =，则()()12S m S m =，故欲判断D 的真假性，判断其逆否命题真假性即可，显然当12m m =时，则()()12S m S m =，故D 正确，故选：ABD11.某环保局对辖区内甲､乙两个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：3μg/m ）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.已知甲乙两地区连续10天检查所得数据特征是：甲地区平均数为80，方差为40，乙地区平均数为70，方差为90.则下列推断一定正确的是（）A.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75B.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65C.甲地区环境治理达标D.乙地区环境治理达标【答案】ACD 【解析】【分析】根据条件分别求出平均数和方差判断选项A 、B ；根据条件判断甲乙地区的每天空气质量指数判断选项C 、D【详解】甲地区平均数为80，乙地区平均数为70，则甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是801070107520⨯+⨯=，故A 对；设甲乙两地区连续10天检查所得数据分别为,1,2,3,,10i x i = 和,1,2,3,,10i y i = ，所以()102211804010i i S x ==-=∑甲，得()102180400ii x =-=∑，()102211709010i i S x ==-=∑乙，得()102170900i i x =-=∑，由()1010111111180,10801010800108001080002020202020i i i i x x x ===∴-=⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=⎡⎤⎣⎦∑∑，由()1010111111170,10701010700107001070002020202020i i i i y y y ===∴-=⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=⎡⎤⎣⎦∑∑，甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是()()102211758020i i i S x y =⎡⎤=-+-⎣⎦∑()()101022111175752020i i i i x y ===-+-∑∑()()10102211118057052020i i i i x y ===-++--∑∑()()()()101022111180108025701070252020i i i i i i x x y y ==⎡⎤⎡⎤=-+-++---+⎣⎦⎣⎦∑∑()()()()1010101022111111111180108010257010701025202020202020i i i i i i i i x x y y =====-+-+⨯⨯+---+⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑1140090025902020=⨯+⨯+=，甲地区平均数为80，方差为40，如果这10天中有一天空气质量指数大于100，那么它的方差就一定大于()21100804010⨯-=，所以能确定甲地区连续10天，每天空气质量指数不超过100，所以甲地区环境治理达标，故C 对；乙地区平均数为70，方差为90，如果这10天中有一天空气质量指数大于100，那么它的方差就一定大于()21100709010⨯-=，所以能确定乙地区连续10天，每天空气质量指数不超过100，所以乙地区环境治理达标，故选：ACD12.已知直线1l 是曲线()ln f x x =上任一点()11,A x y 处的切线，直线2l 是曲线()e xg x =上点()11,B y x 处的切线，则下列结论中正确的是（）A.当111+=x y 时，1l 2lB.存在1x ，使得12l l ⊥C.若1l 与2l 交于点C 时，且三角形ABC 为等边三角形，则123x =+D.若1l 与曲线()g x 相切，切点为()22,C x y ，则121x y =【答案】ACD 【解析】【分析】根据导数求出两直线斜率可判断选项A 、B ；根据斜率与倾斜角的关系及和差角公式求出123x =+，判断选项C ；利用导数的几何意义求出斜率判断选项D 【详解】由题意得11ln y x =，由111+=x y ，得11ln 1x x +=，如图，可知ln y x x =+与1y =交点是()1,1可得11x =，11ln ln10y x ===，由()ln f x x =，得()1f x x'=，所以直线1l 的斜率为()()111f x f =='，由()e xg x =，得()e xg x '=，所以直线2l 的斜率为()()()0110e 1g y g f x '==='=，即直线1l 的斜率等于直线2l 的斜率，所以12l l ∥，故A 对；因为()()1112ln 111111111e e 11y x l l k kf xg y x x x x ''⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=≠-，所以不存在1x ，使得12l l ⊥，故B错；如图，设21,l l 的倾斜角分别为,αβ，因为三角形ABC 为等边三角形，所以π3βα=+，又()()11ln 11111tan ,tan e e y x f x g y x x αβ======''，所以1111πtan 3tan tan 131tan 1x x x αβαα++⎛⎫=+=== ⎪-⎝⎭-，整理得21110x --=，所以12x =±，因为()11,A x y 在曲线()ln f x x =上，所以1>0x，所以12x =+，故C 对；若1l 与曲线()g x 相切，切点为()22,C x y ，则()()211211e x l kf xg x x '==='=，即211e x x =，又()22,C x y 在()e x g x =上，所以22e x y =，所以211y x =，即121x y =，故D 对；故选：ACD【点睛】关键点点睛:根据导数的几何意义求出直线斜率，结合两直线平行和垂直的斜率关系进行判断各项.三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b满足(2,1,a b == ，且1a b ⋅=- ，则向量,a b 夹角的余弦值为__________.【答案】16-【解析】【分析】由向量的夹角和模长公式求解即可.【详解】因为(1,b = ，所以3b == ，所以向量,a b 夹角的余弦值为：11cos 236a b a b a b ⋅-⋅===-⨯⋅.故答案为：16-.14.()6(2)1x y x --的展开式中43x y 的系数是__________.【答案】160【解析】【分析】根据二项式展开6(2)x y -，然后在与()1x -相乘，找到43x y 这一项即可.【详解】由于题目要求43x y 的系数，所以对于6(2)x y -的展开项中，没有43x y 这一项.所以只需要求出6(2)x y -的33x y 项在与()1x -相乘即可.()()333436C 2160x y x x y -⋅-=，故系数为160.故答案为:160.15.“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是__________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】由已知设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为t ，10t +，得到甲乙两人坐上摩天轮转过的角度，分别列出甲乙离地面的高度1π8080cos15h t =-，2π2π8080cos 153h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后得到12ππ153h h t ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，由t 的取值范围即可求解.【详解】设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为t ，10t +，则甲乙两人坐上摩天轮转过的角度分别为2ππ3015t t =，()2ππ2π1030153t t +=+，则甲距离地面的高度为1π8080cos 15h t =-，乙距离地面的高度为2π2π8080cos 153h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则12ππ2π8080cos8080cos 15153h h t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭π2πππ2ππ2ππ80cos 80cos 80cos cos sin sin cos 1531515315315t t t t ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭3π3ππ1πππ80cos sin sin 21521515215153t t t t t ⎛⎫=--=+=+ ⎪⎝⎭因为030t ≤≤，所以ππ7π01533t ≤+≤，所以ππ0sin 1153t ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即12h h ⎡-∈⎣.故答案为：⎡⎣.16.用平面截圆锥面，可以截出椭圆､双曲线､抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点P 且与两个球都相切，切点分别记为12,F F .这个平面截圆锥面得到交线,C M 是C 上任意一点，过点M 的母线与两个球分别相切于点,G H ，因此有12MF MF MG MH GH +=+=，而GH 是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线C 是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为43，球的半径为4，平面α与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于,A B 两点，记平面α与圆锥侧面相交所得曲线为C ，则曲线C 的离心率为__________.【答案】53##213【解析】【分析】根据矩形的性质求出1212O O F F =，由题意求出2110O O =，根据旦德林双球模型和双曲线定义可得126PF PF -=，求出a 、c 即可【详解】如图，,M N 是圆锥与球的切点，12,O O 是球心，P 是截口上任一点，连接12O O ，12,,O A O B 则12,O A AB O B AB ⊥⊥，所以124O A O B ==，12O A O B ，所以12O ABO 是矩形，12O O AB=连接112,O M O N ，则12,O M MN O N MN ⊥⊥，因为圆锥的母线与轴夹角的正切值为43，即14tan 3MOO ∠=，所以1144tan 33O M AOO OM OMOM ∠===⇒=，根据对称性得3ON =,所以6MN =，故两圆的公切线长为6连接PB ，PA ，OP ，设OP 与球1O 的切线交于K ，与球2O 的切线交于H ，则,PH PB PK PA ==，所以26PA PB HK MN a -====，得3a =，在1OO A △中，15OO ===，所以1212210O O F F c ===，得5c =曲线C 的离心率为53c a =故答案为：53四､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求()f x 的最大值.【答案】（1）()2e,∞+；（2）2e .【解析】【分析】（1）求导得()2elnf x x='，令()0f x '<可求()f x 的单调递减区间；（2）由（1）易判断()f x 在()0,2e x ∈时单增，()f x 在()2e,x ∞∈+时单减，进而求出()max f x .【小问1详解】()2e 1ln2ln lnf x x x =+-='，令()0f x '<，得2e01x<<，即2e x >，所以()f x 的单调递减区间为()2e,∞+；【小问2详解】当()0,2e x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当()2e,x ∞∈+时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()()()2e 2ln22e 2eln2e 2e f x f ≤=+-=，即()f x 的最大值为2e .18.对于各项均不为零的数列{}n c ，我们定义：数列n k n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为数列{}n c 的“k -比分数列”.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，且{}n a 的“1-比分数列”与{}n b 的“2-比分数列”是同一个数列.（1）若{}n b 是公比为2的等比数列，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若{}n b 是公差为2的等差数列，求n a .【答案】（1）()1413n n S =⨯-；（2）()21413n a n =⨯-.【解析】【分析】（1）利用已知求出通项公式，再求前n 项和即可.（2）利用累乘法求通项公式即可.【小问1详解】由题意知12n n n na b a b ++=，因为11b =，且{}n b 是公比为2的等比数列，所以14n na a +=，因为11a =，所以数列{}n a 首项为1，公比为4的等比数列，所以()()114141143nnnS ⨯-==⨯--；【小问2详解】因为11b =，且{}n b 是公差为2的等差数列，所以21n b n =-，所以122321n n n n a b n a b n +++==-，所以1212121215,,,23251n n n n a a a n n a n a n a ---+-===-- ，所以()()1212131n n n a a +-=⨯，因为11a =，所以()21413n a n =⨯-.19.如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边10AC =，ππ,34BAC DAC ∠∠==，BD 交AC 于点E.（1）求2BD ；（2）求AE .【答案】（1）50+；（2）5.【解析】【分析】（1）由锐角三角函数求出AB 、AD ，又ππ34BAD ∠=+，利用两角和的余弦公式求出cos BAD ∠，最后由余弦定理计算可得；（2）解法1：首先求出sin BAD ∠，再由ABD ABE ADE S S S =+ ，利用面积公式计算可得；解法2：首先得到33ABD BCD S AE EC S == ，再由10AE EC +=计算可得.【小问1详解】由已知，1cos 1052AB AC BAC ∠=⋅=⨯=，2cos 102AD AC DAC ∠=⋅=⨯=因为ππ34BAD BAC DAC BAC ∠=∠+∠=∠=+，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 343434BAD ∠⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭12322622224=⨯-=，所以在ABD △中由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅⋅∠2550254=+-⨯⨯50=+.【小问2详解】解法1：因为ππππππ62sin sin sin cos cos sin3434344BAD∠+⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，又因为ABD ABE ADES S S=+，所以111sin sin sin222AB AD BAD AB AE BAE AE AD EAD∠∠∠⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，即162131255242222AE AE⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯，解得5AE=.解法2：因为πBAD BCD∠+∠=，所以()sin sinπsinBAD BCD BCD∠=-∠=∠，又AD CD==BC=所以11sin5322113sin22ABDBCDAB AD BAD BADSAEEC S BC CD BCD BCD∠∠∠∠⨯⋅⋅⨯⨯====⨯⋅⋅⨯，又因为10AC=，所以10AE EC+=，则10AE+=，所以5AE=.20.甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势，若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率，若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率；如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有两个方案，方案一：执行投资计划；方案二：聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.根据以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是40%，经济形势不好的概率是60%.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的期望值的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.【答案】（1）0.5；（2）甲公司应该选择方案二，理由见解析【解析】【分析】（1）由全概率公式即可得解；（2）方案一服从两点分布，由此求出对应的概率可得期望；方案二有三种情况，分别算出相应的概率，结合期望公式算出期望，比较两个期望的大小即可得解.【小问1详解】记投资期间经济形势好为事件1B ，投资期间经济形势不好为事件2B ，投资咨询公司预测投资期间经济形势好为事件A ，则()()120.4,0.6P B P B ==，因此()()120.40.80.60.30.5P A P B A B A =+=⨯+⨯=；【小问2详解】若采取方案一，则该公司获得的利润值X 万元的分布列是X5020-P 0.40.6()500.4200.68E X =⨯-⨯=万元；若采取方案二：设该公司获得的利润值为Y 万元，有以下情况，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为好，49.5Y =，其发生的概率为：()10.40.80.32P B A =⨯=，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为不好， 1.5Y =-，其发生的概率为：()10.40.20.08P B A =⨯=，投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为好，20.5Y =-，其发生的概率为：()20.60.30.18P B A =⨯=，投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为不好， 1.5Y =-，其发生的概率为：()20.60.70.42P B A =⨯=，因此，随机变量Y 的分布列为：Y 20.5- 1.5-49.5P 0.180.50.32因此，()20.50.18 1.50.549.50.32 3.690.7515.8411.4E Y =-⨯-⨯+⨯=--+=万元，因为()()E X E Y <，所以甲公司应该选择方案二.21.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，已知E 为棱AD 的中点，P 在底面的投影H 为线段EC 的中点，M 是棱PC 上一点.（1）若2CM MP =，求证：//PE 平面MBD ；（2）若,PB EM PC EC ⊥=，确定点M 的位置，并求二面角B EM C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）M 为PC 中点，19.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质定理得2CD CN DE NE==，由平行线分线段成比例定理得MN PE ，再由线面平行的判定可证；（2）利用线面垂直可得PH BC ⊥，进而得BC ⊥平面PEC ，由线面垂直得EM PC ⊥，然后根据等边三角形三线重合即得M 为PC 中点，以C 为原点，分别以,CB CE 为,x y 轴，以过C 点且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用公式cos ,n CB n CB n CB⋅=⋅ 求解即可【小问1详解】设BD CE N ⋂=，因为底面ABCD 是边长为2的菱形，所以CD AB =，对角线BD 平分ADC ∠，又E 为棱AD 的中点，所以2CD AB DE ==,在ADC △中，根据角平分线性质定理得2CN CD NE DE==，又2CM MP =，所以2CM MP =，所以2CN CM NE MP==，//MN ∴PE ，PE ⊄平面MBD ，且MN ⊂平面,//MBD PE ∴平面MBD .【小问2详解】PH ⊥Q 平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，PH BC ∴⊥，因为π3ABC ∠=，所以2π3BCD ∠=，在ACD 中，CD AB =，π3ABC ∠=，所以ACD 是等边三角形，又E 为棱AD 的中点，所以BC CE ⊥，PH ⊥Q 平面ABCD ，PH ⊂平面PCE ，所以平面PCE ⊥平面ABCD ，又平面PCE ⋂平面ABCD =CE ，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面PEC ，又EM ⊂平面PEC ，BC EM ∴⊥，又PB EM ⊥ ，,,PB BC B PB BC ⋂=⊂平面PBC ，EM ∴⊥平面PBC ，且PC ⊂平面PBC ，EM PC ∴⊥.因为P 在底面的投影H 为线段EC 的中点，所以PC PE =，又PC CE=所以PCE 为等边三角形，故M 为PC 中点，所以M 在底面ABCD 上的投影为CH 的中点.在CDE中，CE ===3,22CE AD PH CE ⊥== ，以C 为原点，分别以,CB CE 为,x y 轴，以过C 点且与平面ABCD 垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，所以()()()30,0,0,2,0,0,,0,,44C B E M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()3332,,0,44EB ME ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设(),,n x y z = 是平面EBM的一个法向量，则020*******n EB x n ME y z ⎧⋅=⇒-=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩，令2y =，则x z ==，即2,n = ，BC ⊥ 平面PEC ，()2,0,0CB ∴= 是平面PEC的一个法向量，57cos ,19n CB n CB n CB ⋅∴==⋅ ，因为二面角B EM C --是一个锐角，所以二面角B EM C --的余弦值为19.【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法：首先设两个平面的法向量坐标，利用线面垂直得到线线垂直即向量的数量积为零列出方程组求出法向量坐标，把二面角转化为向量的夹角，利用公式cos ,n CB n CB n CB⋅=⋅ ，结合图形写出夹角或补角.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，左右两顶点分别为12,A A ，过点()1,0C 作斜率为()110k k ≠的动直线与椭圆E 相交于,M N 两点.当11k =时，点1A 到直线MN的距离为2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点M 关于原点的对称点为P ，设直线1A P 与直线2A N 相交于点Q ，设直线OQ 的斜率为2k ，试探究21k k 是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值32，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可得2c a =322=，解方程求出,a c ，再结合b =，即可得出答案.（2）设()()()112211,,,,,M x y N x y P x y --，直线AB 的方程为1x my =+，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得21k k 为定值.【小问1详解】依题意可知32c e a ==，由于11k =，则直线MN 的方程为10x y --=，因为点1A 到直线MN 的距离为322.322=，解得2a =，所以c =1b ==，所以椭圆E 的标准方程2214x y +=.【小问2详解】设()()()112211,,,,,M x y N x y P x y --，直线AB 的方程为1x my =+.此时11k m =.联立直线与椭圆方程22144x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()224230m y my ++-=，则有12122223,44m y y y y m m --+==++不妨设()00,Q x y ，因为2,,A N Q 三点共线，则22A N A Q k k =，所以则有020222y y x x =--，因为1,,A P Q 三点共线，则11A P A Q k k =则有010122y y x x =+-，所以0022110222011122212111,x x x my x my m m y y y y y y y y -+----===-===-20012222114422334mx m m m m y y y m -⎛⎫+=-+=-= ⎪-⎝⎭+，所以0032y x m =，所以232k m=，所以2132k k =，所以2132k k =.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
高 三 数 学 综 合 模 拟 测 试 题(附答案)7
高三数学模拟试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
1、设全集U=R,A={x |x <－3或x ≥2}，B={x |－1<x <5}，则集合|x |－1<x <2|是（ ）A ．（UA ）∪（UB ） B ．U（A ∪B ）C ．（UA ）∩BD ．A ∩B2、复数(1+i )3的虚部是（）A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i3、已知2cos ,2524)sin(,θθπθ则为第二象限角=-的值为（ ）A ．53B ．54 C ．±53 D ．±54 4、若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32213的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65、下列各组命题中，命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是（ ） A ．M ：a ＞b ；N ：ac 2＞bc 2B ．M ：a ＞b ，c ＞d ；N ：a -d ＞b -cC ．M ：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0；N ：ac ＞bcD ．M ：|a -b |＝|a |＋|b |；N ：ab ≤06、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．647、函数)0(2>=x y x的反函数是（ ）A ．)0(log 2>=x x yB ．)1(log 2>=x x yC ．)0(log 21>=x x yD ．)1(log 21>=x x y8、已知四个命题：①若直线l ∥平面α，则直线l 的垂线必平行于平面α；②若直线l 与平面α相交，则有且只有一个平面经过l 与平面α垂直；③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥； ④若四棱住的任意两条对角线都相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体.其中正确的命题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 9、右面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三 个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选 项中的（ ）A ．c x >B ．x c >C ．c b >D ．b c >10、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11、若P （2，– 1）为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是____________12、已知实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤．y y x x ，y 0,2，那么目标函数z ＝x ＋3y 的最大值是_______．13、若向量a =(1,1，x)，b =(1，2,1)，c =(1，1,1)满足条件(c —a )·2b=-2，则x= 14、在计算―1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++‖时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ 123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 (1)(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+ 相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++ 类比上述方法，请你计算―123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++‖，其结果为15、①(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线ρ=4cos )3(πθ-上任意两点间的距离的最大值为__________。
北京海淀区北京一零一中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
北京海淀区北京一零一中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．1023112x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中有理项有（ ） A ．3项B ．4项C ．5项D ．7项2．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅的最小值为（ ） A ．-14B ．-12C ．-lD ．13．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．64．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．165．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．13,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．88．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A B C D 10．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13- C ．1 D ．311．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届上海市12校联考高三第一次模拟考试数学试卷含解析
2025届上海市12校联考高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)2．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）A ．1eB ．1eC ．12eD ．21e 3．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定4．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 5．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）6． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．457．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．2238．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直12．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【新结构】(南昌二模)江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题+答案解析
【新结构】(南昌二模)江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则()A.2B.4C.6D.82.设复数z满足，则()A. B. C.1 D.3.已知集合，，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知，则不等式的解集是()A. B. C. D.5.在三棱锥中，平面BCD，，，E，F分别为AC，CD的中点，则下列结论正确的是()A.AF，BE是异面直线，B.AF，BE是相交直线，C.AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直D.AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直6.已知，则()A. B. C. D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右支上有一点A，与双曲线的左支交于B，线段的中点为M，且满足，若，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.8.校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，，，使得平面，，均与平面ABC垂直，再将球O放到上面使得，，三个点在球O的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球O 的表面积为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性15520女性81220合计231740甲校样本喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性7030100女性4555100合计11585200乙校样本参考公式及数据：，则下列判断中正确的是()A.样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例B.样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例C.根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关D.根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关10.已知，则下列说法中正确的是()A.在R 上可能单调递减B.若在R 上单调递增，则C.是的一个对称中心D.所有的对称中心在同一条直线上11.已知，M 为AB 上一点，且满足动点C 满足，D 为线段BC 上一点，满足，则下列说法中正确的是()A.若，则D 为线段BC 的中点B.当时，的面积为C.点D 到A ，B 距离之和的最大值为5D.的正切值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
南通市2023届第三次模拟考试数学试题及答案
南通市2023届高三第三次调研测试数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知U R ，2{|430}A x x x ≤，{||3|1}B x x ，则U A B A ．{|14}x x ≤≤ B ．{|23}x x ≤≤C ．{|12}x x ≤D ．{|23}x x ≤【答案】A2． 已知，a b 是两个单位向量，则“⊥a b ”是“|2||2| a b a b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C3． 某人将斐波那契数列的前6项 “112358，，，，，”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有 A ．120种 B ．240种 C ．360种 D ．480种【答案】A4．星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为7310r P E E S ，其中P E 是激光器输出的单脉冲能量，r E 是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S 为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：2km ，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减Γ满足10lgrPE E Γ （单位：dB ）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为275km ，则此时Γ大小约为（参考数据：lg20.301 ）A ．76.02B ．83.98C ．93.01D ．96.02【答案】B5． 已知底面半径为r 的圆锥SO ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r ，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为A ．29BC ．23D【答案】D6． 已知F 为椭圆2214x C y ：的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆22(3)1M x y ：上一点，则PQ PF 的最大值为 A ．5 B ．6C ．4D ．5【答案】D7． 已知cos(40)cos(40)cos(80)0θθθ ，则tan θA ．B ．C D【答案】A8． 已知23log log a b ，23log log (1)b c b ，则 A ．1222a b cB ．1222b a cC ．5542log log log b a cD ．5452log log log b a c【答案】C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学试题与解析-南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试+数学答案
南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试参考答案（含评分细则）（数 学）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个二选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，有选错的得0分。
有两个正确选项的仅选其中一个给3分；有三个正确选项的仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。
1.D i(17i)7i z =-=+，则7i z =-，故选D ．2.B 当1x =时32x x =，所以p 为真命题；当0x =时40x =，所以q 为假命题，则q ⌝是真命题,故选B ．3.A 由222-=-=a b a b 得2222444,444-=-=a a b +b a a b +b ，两式相减得，1==a b ，所以1444-=a b +，则14=a b ，故选A ． 4.D 成绩在[70,80)上频率为110(0.010.020.020.03)0.2-⨯+++=，所以成绩在[70,80)上有0.25010⨯=人，成绩在[50,60),[60,70),[80,90),[90,100]的人数分别为5，10，15，10人，所以成绩在[80,90)上的人数最多，A 正确；成绩不低于70分的学生所占比例为110(0.010.02)0.7-+=，B 正确；50名学生成绩的平均分为550.1650.2750.2850.3950.278x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，成绩的中位数为80分，所以50名学生成绩的平均分小于其成绩的中位数，C 正确；50名学生成绩的极差在[30,50]上，不一定为50，D 错误，故选D ．5.B 设(,)(0)M x y y >，则,,11AM BM y y k k x x ==+-由.2,11AM BM y y k k x x ==+-整理得221(0)2y x y -=>，故选B ．6.C 由题可'''11()1.,(0,1)()0;(1,)()0,x f x m x f x x f x mx x-=-=∈<∈+∞>当时，当时， 所以f (x)在（0，1）上递减，在（1，）上递增，则min ()f x =f(1)=1-lnm ≥0，所以m ≤e ，又x ∀＞0，mx ＞0,即m ＞0.则0＜m ≤e,故选C.7.A 由正三棱台111ABC A B C -的侧面积为6得，等腰梯形11ABB A 的面积为2， 由211111()2()222AB A B AB A B -+⨯-=得，2111121A B A B -=，解得111A B =，则1133AB A B ==，将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥P ABC -，如图所示，则11132PA PA =+.所以122PA =，则322PA =，过P 作PO ⊥平面ABC ，则O 为△ABC 的中心，所以3223sin 60AO ==︒，则3AO =，易知PAO ∠为1AA 与平面ABC 所成的角，在Rt △PAO 中，36cos 3322AO PAO PA ∠===，故选A ． 8.C 因为222222(2)244()(2)222(2)2(2)222x x x x g x g x x x x x x x --++-=+==-+---+-+，所以()y g x =关于点(1,1)对称.要使AB BC =，则(1,1)B ,所以将(1,1)B 代入()f x ax =得1a =,当1a =时()f x x =关于点(1,1)对称,显然AB BC =,故选C ．9.AD sin ,[2π,2π]π()sin ,(),()sin(2)cos 2sin ,[2ππ,2π]2x x k k f x x k g x x x x x k k π∈+⎧==∈=+=⎨-∈-⎩Z ，在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图所示，+∞由图知，0x =是()f x 与()g x 的图象相同的对称轴，A 正确；()f x 的值域为[0,1]，()g x 的值域为[1,1]-，所以()f x 与()g x 的值域不同，B 错误；()f x 与()g x 没有相同的零点，C 错误;()f x 与()g x 的最小正周期均为π，D 正确，故选AD ． 10 .BC 易知(1,0),F 准线l 的方程为1x =，则直线10x y --=经过焦点F ．由24,10,y x x y ⎧=⎨--=⎩整理得2610x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则126x x +=，根据抛物线的定义可知，1228AB x x =++=，A 错误；如图，过,AB 作,AA l BB l ''⊥⊥，垂足为,A B ''，则2KF =，又45KFD ∠=︒，所以|BF|=|BB 1|，所以'||2||2||BD BB BF ==,B 正确；以AF 为直径的圆的半径为2AF r =，易知四边形AFOA ''为直角梯形，其中位线长为2OF AA ''+=122AA AF ''+=，所以以AF 为直径的圆与y 相切，C 正确；当△AEF 为等边三角形时，AF AE =，由抛物线的定义可知AE l ⊥，所以45EAF ∠=︒，这与△AEF 为等边三角形矛盾，所以l 上不存在点E ，使得△AEF 为等边三角形，D 错误，故选BC ．11．BCD 当1a =时，2()32f x x x '=-++，令()0f x '=，解得1221,3x x ==-， 当2(,)(1,)3x ∈-∞-+∞时()0f x '<，当2(,1)3x ∈-时()0f x '>;所以()f x 在2(,)3-∞-和(1,)+∞上单调递减，在2(,1)3-上单调递增，所以1x =是()f x 的极大值点，A错误；2()32f x ax ax a '=-++，则224(3)2250a a a a ∆=-⨯-⨯=>，所以()0f x '=恒有两个根，结合二次函数的图象可知，()f x 恒有两个相同的单调区间，B 正确；由上得2()32(32)(1)f x ax ax a a x x '=-++=-+-，当0a >时()f x 在2(,)3-∞-和(1,)+∞上单调递减，在2(,1)3-上单调递增，要使()f x 有三个零点，则222()0,3273(1)0,2f a b a f b ⎧-=-+<⎪⎪⎨⎪=+>⎪⎩解322322,227227a b b a a -<<-<<即； 当0a <时，()f x 在2(,)3-∞-和(1,)+∞上单调递增，在2(,1)3-上单调递减，要使()f x 有三个零点，则222()0,3273(1)0,2f a b a f b ⎧-=-+>⎪⎪⎨⎪=+<⎪⎩解223322,272227b a b a a <<--<<即.综上可知使得()f x 有三个零点，ba可取得的整数为﹣1，0，C 正确； 设2()()32g x f x ax ax a '==-++，则()6g x ax a '=-+，令()0g x '=得16x = 因为()6g x ax a '=-+的零点为曲线()f x 的对称中心的横坐标，所以点11(,())66f 为曲线()y f x =的对称中心，D 正确，故选BCD ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广东省韶关市2024届高三上学期第一次模拟考试 数学试题(含解析)
A ．π3
2f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
B ．将()y f x =的图象向右平移
C ．12,R x x ∀∈，都有(f ()2f x m =⎡
⊥；
(1)证明：A B B C
【详解】
P 在第一象限，由题意将x c =（其中222a b c =+）代入椭圆方程
12．AB
【分析】利用周期函数的定义判断A ；求出导数，利用轴对称的意义判断点判断C ；利用导数探讨单调性并确定极值点判断【详解】依题意，cos(2π)sin((2π)e e x f x ++=-确；
π
由M 在以12F F 为直径的圆上可得：故2
2
2
1212MF MF F F +=，且四边形由双曲线2
2:13
x C y -=可知：2a 即2216m n +=，
则()()()(110,0,3,0,3,0,0,3,3,3,0,0A B B C 所以()()110,3,3,3,3,3A B B C =-=-- ，
所以110A B B C ⋅=
，
所以11A B B C ⊥.
（2）因为点P 在棱1CC 上，1:C P PC 又()()()(110,0,0,0,0,3,0,3,0,3,0,3A A B C
2
⎝
【点睛】方法点睛：求最值或范围问题的基本解法
（1）几何法:根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等
（2）代数法:建立求解目标关于某个
基本不等式方法、导数方法等。
扬州市2023-2024学年高三下学期考前调研模拟预测测试数学试题+答案
扬州市2023-2024学年高三考前调研测试数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}20,,1,1,1A aB a a ==+-，则“1a =”是“A B ⊆”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若复数z 满足1i z=，则z 等于（ ）A.12 D.23.圆22:9O x y +=被直线:2l y =+所截线段的长度为（ ）A.2B.4C.D.4.某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要（ ）（参考数据：lg20.301≈）A.40年B.30年C.20年D.10年5.已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A.25π8 B.25π6 C.25π4 D.25π26.在二项式2024(13)x +的展开式中，记各项的系数和为S ，则S 被5除所得的余数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.17.在ABC 中，2,DC BD M =为线段AD 的中点，过M 的直线分别与线段AB AC ､交于P Q ､，且2,3AP AB AQ AC λ==，则λ=（ ） A.16 B.13 C.12 D.23 8.将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为123,,x x x ，则123x x x 剟的概率为（ ） A.554 B.754C.527D.727二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.9.已知函数()2π2cos 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ） A.()f x 最小正周期为2π B.π6x =是()f x 图象的一条对称轴 C.5π,112⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 D.()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上单调 10.已知正实数,m n 满足ln e ln m m n n =⋅+（e 是自然对数的底数，e 2.718≈），则（ ） A.e m m n =⋅ B.e n n m =⋅ C.1e m n -的最大值为21e D.方程1e emn -=-无实数解 11.如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体1111ABCD A B C D -）放置在水平面α的上方，点A 恰在平面α内，点B 到平面α的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面11AA D D 的交线与1A D的夹角为0，记水面到平面α的距离为d ，则（ ）A.平面11ABC D ⊥平面αB.点1D 到平面α的距离为8C.当()2,8d ∈时，水面的形状是四边形D.当7d =时，所装的水的体积为7474三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则sin C =__________.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是12F F ､，若双曲线左支上存在点P ，使得212PF PF =，则该双曲线离心率的最大值为__________.14.对于有穷数列{}n a ，从数列{}n a 中选取第1i 项､第2i 项､､第m i 项()12m i i i <<<，顺次排列构成数列{}k b ，其中,1k k i b a k m =剟，则称新数列{}k b 为{}n a 的一个子列，称{}k b 各项之和为{}n a 的一个子列和.规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的子列.则数列1,2,4,8,16,32的所有子列和的和为__________.四､解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且()21n n n S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：121112nS S S +++<. 16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是等腰梯形，112AB AD CD BC ====，点M 在PB 上，点N 在BC 上，平面AMN ∥平面PCD .（1）求证：N 是BC 的中点；（2）若,,PA AB PA AB PC BC ⊥==，求直线MC 与平面PCD 所成角的正弦值. 17.（本小题满分15分）扬州是国家历史文化名城，“烟花三月下扬州”“春风十里扬州路”传诵千年.为了给来扬州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App 平台10天预订票销售情况：经计算可得：10101021111 1.85,96,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑. （1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App 平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求y 关于t 的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；（2）该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X 张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），X 的分布列如下：今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率. 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆˆˆ,()ni i i ni i u v nuvv u un u βαβ==-==--∑∑ 18.（本小题满分17分） 已知函数()()sin ,f x x g x x ==.（1）求函数()()()()2,0,2πh x f x x x =∈的极值； （2）函数()()()π,0,2g x x x f x ϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （i ）讨论函数()x ϕ的单调性； （ii ）函数()()()1cos 0F x a x x x ϕϕ=⋅⋅-<，求实数a 的取值范围. 19.（本小题满分17分）己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>短轴长为2，椭圆E 上一点M 到()0,2P距离的最大值为3.（1）求a 的取值范围；（2）当椭圆E 的离心率达到最大时，过原点O 斜率为()0k k ≠的直线l 与E 交于A C ､两点，PA PC ､分别与椭圆E 的另一个交点为B D ､.（i ）是否存在实数λ，使得BD 的斜率k '等于k λ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由； （ii ）记AC 与BD 交于点Q ，求线段PQ 长度的取值范围.扬州市2024届高三考前调研测试数学参考答案1.B2.A3.D4.C5.C6.D7.B8.D9.BC 10.ACD 11.ABD13.3 14.2016 15.【解析】（1）因为()21n n n S a a =+①，所以()11121n n n S a a +++=+②，()11121S a a =+③， 由③得：()2110a -=，所以11a =，②-①得：()()221112n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得：()()1110n n n n a a a a +++--=，又因为{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +-=，所以{}n a 是公差1d =的等差数列，()()1111n a a n d n n =+-=+-=. （2）证明：由（1），()()1122n n n a a n n S ++==，所以()122211n S n n n n ==-++， 所以12111222222222122311n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 16.【解析】（1）因为平面AMN ∥平面PCD ，平面ABCD ⋂平面AMN AN =， 平面ABCD ⋂平面PCD CD =.所以AN ∥CD ，又由梯形ABCD 可得AD ∥CN ，所以四边形ADCN 为平行四边形， 所以12CN AD BC ==，所以N 是BC 的中点. （2）连接AC ，由（1）知N 是BC 的中点，12AN CD BC ==，所以90BAC ∠=，即AB AC ⊥，因为,,CB CP AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC 全等， 所以90PAC BAC ∠∠==，即PA AC ⊥，又,,,PA AB AB AC A AB AC ⊥⋂=⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ， 以{},,AB AC AP 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()()10,0,1,1,0,0,,2P B C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,1,0,3,02222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102102x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，取x =1,y z =-=(3,1,n =-，由平面AMN ∥平面PCD ，平面PBC ⋂平面AMN MN =，平面PBC ⋂平面PCD PC =. 得MN ∥PC ，又N 是BC 的中点，所以M 是PB 的中点，1111,0,,,2222M CM ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设直线MC 与平面PCD 所成角为3,sin cos ,7CM n CM n CM nθθ⋅====⋅⋅，所以直线MC 与平面PCD 所成的角的正弦值为7. 17.【解析】（1）设y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy t αβ=+， 则910111291115,0.5(1.85100.5)2,2999i i i i t y y y ==+++⎛⎫====-=⨯-= ⎪⎝⎭∑∑， 910910222111110385100285,100.596591,i ii i i i i i i i t tt y t y =====-=-=⋯=-⨯=-=∑∑∑∑，所以9122219919521123ˆˆˆ,25285956060129()i ii Oii t y tyy t tt βαβ==--⨯⨯====-=-⨯=-⨯-∑∑， 所以y 关于t 的线性回归方程是231ˆ1260yt =+. （2）记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票”为事件A ， “该份团体票中共有i 张有奖门票”为事件i B ，则()313P B =， ()1131324C C 1C 2P A B ==∣，所以()()()33316P AB P B P A B ==∣，()()11222424C C 2,0C 3P A B P A B ===∣∣，所以()()()()234P A P AB P AB P AB =++()()()()()22344121102362P B P A B P AB P B PA B =++=⨯++=∣∣.所以()()()33116132P AB P B A P A ===∣. 答：所求概率是13.18.【解析】（1）函数()2sin h x x =，导函数()2cos h x x =' 令()()π0,0,2π,h x x x =∈='或11π,x =由上表，函数()h x 极大值为π166h ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极小值为11π166h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）（i ）()()()()2πsin cos ,0,,sin 2sin g x x x x x x x x f x x x ϕϕ-⋅⎛⎫==∈= ⎪⎝⎭' 记()sin cos x x x x γ=-⋅，则()()cos cos sin sin x x x x x x x γ=--⋅=⋅'π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0x γ'≥，所以π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x γγ>=，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数. （ii ）()cos sin π,0,sin 2ax x x F x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭当0a ≤时，()0F x <恒成立； 当0a >时，()22sin cos 0cos sin 0sin x xF x a x ax x x x x=⋅⋅-<⇔-< 令()22πcos sin ,0,2G x ax x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ 当1a >时，令()()()πsin ,0,,1cos 0,2M x x x x M x x M x ⎛⎫=-∈=-> ⎪⎝⎭'在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，()()00,M x M >=即sin x x >()()22222cos sin cos cos 1G x ax x x ax x x x a x =->-=-因为1a >，所以()000π10,,cos ,02x x G x a⎛⎫∃∈=> ⎪⎝⎭，不满足题意， 所以1a >不成立.01a <≤时，()2222cos sin cos sin G x ax x x x x x =--…记()()222cos sin ,2cos sin 2sin cos H x x x x H x x x x x x x =-='--由（i ）知π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin x x x <， 所以()22sin sin 2sin cos H x x x x x x <--'222222sin 1cos 2sin 2sin 2sin 2022222x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--=⋅-<⋅-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()00H x H <=.所以01a <≤成立. 综上所述：1a ≤.19.【解析】（1）设(),M x y ，由题知，22b =，即1b =，则2221x y a+=，即()222211,x a a y y =--剟记()()222222(2)144f y MP x y a y y a ==+-=---++， 则()f y 在[]1,1-上的最大值为9，对称轴为2201y a -=<- ①当2211a ---…，即(a ∈时，()max ()19f y f =-=，成立； ②当2211a ->--，即a >22max 222244()41559111f y f a a a a a -⎛⎫==++=-++= ⎪---⎝⎭…，当且仅当22411a a -=-，即23a =时等号成立，不成立； 综上，(a ∈.（2）由（1）得，222222111c a e a a a -===-，所以当a =离心率达到最大，此时，椭圆22:13x E y += （i ）设()00,A x kx ，则()00,C x kx --，其中2220013x k x +=即()220313k x +=，由00222:213kx PA y x x x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()()22220000031121212290k x kx x x kx x x ⎡⎤+-++-+=⎣⎦ 即()()22000544230kx x x kx x x -+-+=，所以20000033,5445B B x x x x x kx kx -==--， 所以0000354,4545x kx B kx kx ⎛⎫--⎪--⎝⎭，同理可得：0000354,4545x kx D kx kx ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭所以，BD 的斜率000000000054544545183333054545kx kx kx kx kx k k x x x kx kx +--+--===----+'- （ii ）由（i ）知，()00000035416203334:54545554555x kx kx BD y k x kx kx kx kx kx ⎛⎫--=-++=-+=-+ ⎪---⎝⎭ 由34:55:BD y kx AC y kx⎧=-+⎪⎨⎪=⎩.，3455y y =-+，即12Q y =，将12y =代入椭圆方程得：32x =±，所以，Q的轨迹方程为133222y x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，所以，线段PQ长度的取值范围为3,22⎡⎢⎣⎭.。
高 三 数 学 综 合 模 拟 测 试 题(附答案)2
高三 数学试题(文)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、设 a b 、是两个非零向量，则“a b =- ”是“//a b”成立的 ( )条件 A ．充要 ．B ．必要不充分 ．C ．充分不必要 ． D ．既不充分也不必要 2、函数)sin()(ϕω+=x x f （x ∈R ，ω＞0，0≤ϕ＜2)π的部分图象如图，则 （ ） A ．ω＝2π，ϕ＝4πB ．ω＝3π,ϕ＝6πC ．ω＝4π,ϕ＝4πD ．ω＝4π,ϕ＝45π3、设全集I Z =，集合A ={-1，1，2}，B ={-1，0，1}，从A 到B 的一个映射为{}(),,,(),I xx y f x x A y B C y y f x B C x →==∈∈==⋂则为ð( )A .{0，2}B . {0}C .{0，1}D .{-1，0}4、在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为 ( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．175、已知椭圆2214x y n +=与双曲线2218x y m -=有相同的焦点，则动点(,)P n m 的轨迹为A ．椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 直线的一部分 6、关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α，其中假命题是 （ ） A.若,,,m l A A m l m αα⊂=∉ 点则与不共面；B.若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//；C.若直线,l m 与平面α所成的角相等，则//l m ；D.若,,l m αα⊥⊥则//l m 。
7、设函数)(x f ＝1－2x ＋)1(log 21-x ，则下列说法正确的是 ( )131oy xA. )(x f 是增函数，没有最大值，有最小值B. )(x f 是增函数，没有最大值,也没有最小值C. )(x f 是减函数，有最大值，没有最小值D. )(x f 是减函数，没有最大值,也没有最小值8、不等式)10(2sin log ≠>>a a x x a 且对任意)4,0(π∈x 都成立，则a 的取值范围为 （ ）A 、(0,]4π B 、[,1)4π C 、)2,1()1,4(ππ⋃ D 、)1,0( 9、满足不等式()()*1221223log log N n n x x n ∈-≥-⋅+-的正整数x 的个数记为n a ，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则n S = （ ）A ．12-+n nB ．12-nC ．12+nD ．12--n n10、若函数x x a x x f -+-=||)1lg()(2是偶函数，则常数a 的取值范围是 （ ）A.11-≤≥a a 或B.1≥aC.11≤≤-aD.10≤≤a二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11、已知正方体1111ABCD A BCD -,E 为11A B 的中点，则异面直线DE 与1B C 所成角的余弦是 _______________ 12、函数()f x =__________13、已知sin 23sin cos A B A =，且A ≠π2k （k Z ∈），则=+-+)cos(2sin )2sin(B A A B A__________14、设命题p ：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-->-+06208201243y x y x y x （R y x ∈,），命题q ：222r y x ≤+（0,,,>∈r R r y x ），若命题q 是命题p ⌝的充分非必要条件，则r 的取值范围是__________ 。
高三数学测试卷及答案解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1的图像与x轴的交点个数是：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的几何位置是：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限3. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 3，a3 = 9，则数列的公差d是：A. 2B. 3C. 4D. 64. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x^5 ≥ 05. 若函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 06. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)7. 若log2(x - 1) + log2(x + 1) = 3，则x的取值范围是：A. x > 1B. x > 3C. x < 1D. x < 38. 若等比数列{an}的前三项分别为a1, a2, a3，且a1 + a2 + a3 = 14，a1 a3 = 64，则该数列的公比q是：A. 2B. 4C. 8D. 169. 已知函数y = f(x)在区间[0, 2]上单调递增，且f(0) = 1，f(2) = 4，则不等式f(x) > 2的解集是：A. (0, 2)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (1, +∞)10. 若平面直角坐标系中，点A(2, 3)，B(-3, 4)，则向量AB的模长是：A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共50分）11. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部为______。
浙江省杭州2024届高三下学期模拟测试数学试题含答案
杭州2024届高三下模拟数学学科试卷（答案在最后）命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){},|2A x y x y =+=，(){}2,|B x y y x ==，则A B = （）A.(){}1,1 B.(){}2,4- C.()(){}1,1,2,4- D.∅【答案】C 【解析】【分析】由题意可知A B ⋂实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A 与集合B 均为点集，A B ⋂实质是求2x y +=与2y x =的交点，所以联立组成方程组得22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩，从而集合()(){}1,1,2,4A B ⋂=-，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知(,)a bi a b R +∈是11ii-+的共轭复数，则a b +=A.1- B.12- C.12D.1【答案】D 【解析】【分析】首先计算11ii-+，然后利用共轭复数的特征计算,a b 的值.【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ---===-++-，()a bi i i ∴+=--=，0,1,1a b a b ∴==∴+=.故选:D.【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.设向量(1,1),(1,3),(2,1)a b c ==-=，且()a b c λ-⊥ ，则λ等于（）A.3B.2C.2- D.3-【答案】A 【解析】【分析】由向量线性关系及垂直的坐标表示列方程求参即可.【详解】由题意得(1,13)a b λλλ-=+- ，又()a b c λ-⊥，所以()2(1)130a b c λλλ-⋅=++-=，可得3λ=.故选：A4.已知点A 为曲线()40y x x x=+>上的动点，B 为圆()2221x y -+=上的动点，则AB 的最小值是（）A.3B.4C. D.【答案】A 【解析】【分析】数形结合分析可得，当()2,4A 时能够取得||AB 的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆()2221x y -+=的圆心为()2,0，半径为1，由对勾函数的性质,可知44y x x=+≥，当且仅当2x =时取等号，结合图象可知当A 点运动到()2,4时能使点A 到圆心的距离最小，最小值为4，从而AB 的最小值为413-=.故选：A 5.()102x +的展开式各项的系数中最大的是（）A.2x 的系数B.3x 的系数C.4x 的系数D.5x 的系数【答案】B 【解析】【分析】利用二项式通项的性质和组合数的性质计算出符合条件的k 值即可.【详解】通项公式为10110C 2kkkk T x -+=⋅⋅，因为11110101010C 2C 22C C kkk k k k ---⋅≥⋅⇒≥，所以()()()()()210911109122112213220!1!3k k k k k k k k k⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯--≥⇒≥⇒-≤⇒≤- 同理11110101010C 2C 2C 2C kkk k k k +++⋅≥⋅⇒≥，所以()()()()()()1091121091021019131910!1!13k k k k k k k k k ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯--≥⇒≤⇒-+≥⇒≥++ ，所以7k =，所以展开式各项的系数中最大的是第八项，为773810C 2T x =⋅⋅，即3x 的系数最大.故选：B6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人，文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知1212x x y y +>+，2211x y x y +<+，根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211x x x y y y x y +-+>+-+，即有12x y >，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C.7.已知三棱锥S ABC -中，π,4,2,2SAB ABC SB AB BC ∠=∠====，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是（）A.12πB.16πC.24πD.32π【答案】B 【解析】【分析】将三棱锥S ABC -放入长方体ABCD EFGH -中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出各个点的坐标，进一步结合OA OS R ==，列出方程组求出R 即可进一步求解.【详解】将三棱锥S ABC -放入长方体ABCD EFGH -中，S 在棱EH 上面，并以A 为原点，,,AB AD AE 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意π,4,2,2SAB ABC SB AB BC ∠=∠====，所以SA ==，因为SA 和BC 所成的角为π3，//AD BC ，所以ππ3,33AE ES ====，而底面三角形外接圆圆心为AC 中点1O ，设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则()()()()10,0,0,2,0,0,,,1,,0,1,,22A B C S O O h ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1,,,1,,322OA h OS h ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则由()2223311344OA OS R R h h ==⇒=++=++- ，解得23,42h R ==，从而24π16πS R ==，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B.8.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1()()2f x f y x y -<-.若对所有,[0,1]x y ∈，()()f x f y k -<，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18【答案】B 【解析】【详解】试题分析：不妨令01x y ≤<≤，则()()12f x f y x y -<-法一：()()()()()()()()201f x f y f x f f x f y f y f ⎡⎤-=-+---⎣⎦()()()()()()01f x f f x f y f y f ≤-+-+-()()11111110112222222x x y y x y x y <-+-+-=+-+-=，即得()()14f x f y -<，另一方面，当10,2u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1,02{11,12ux x f x u x x ≤≤=--<≤，符合题意，当12u →时，()110224u f f ⎛⎫-=→ ⎪⎝⎭，故14k ≤法二：当12x y -≤时，()()1124f x f y x y -<-≤，当12x y ->时，()()()()()()01f x f y f x f f y f ⎡⎤⎡⎤-=---⎣⎦⎣⎦()()()()10f x f f y f ≤-+-()()11111111012222224x y x y y x <-+-=-+=+-<，故14k ≤考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是（）A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【答案】AB 【解析】【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A 中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A 正确；在B 中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，所以是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B 正确；在C 中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为12060%72⨯=人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为8060%48⨯=人，所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C 错误；在D 中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为()100180%20⨯-=人，城镇户籍人数为()100140%60⨯-=人，所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D 错误.故选：AB.10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知12,F F分别为双曲线22:13x C y -=的左，右焦点，过C 右支上一点()(000,A x y x >作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则（）A.平面上点()24,1,B AF AB +-B.直线MN 的方程为0033xx yy -=C.过点1F 作1F HAM ⊥，垂足为H ，则2OH =（O 为坐标原点）D.四边形12AF NF 面积的最小值为4【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，利用双曲线定义将2AF 转化为12AF a -可得解；对B ，设出直线MN 的方程为()00y y k x x -=-与双曲线联立，根据Δ0=化简运算得解；对C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分12F AF ∠，延长1F H 与2AF 的延长线交于点E ，则AH 垂直平分1F E ，即1AF AE =，H 为1F E 的中点，进而得212OH F E =得解；对D ，求出N 点坐标，根据121212AF NF AF F NF F S S S =+V V ，结合基本不等式可求解.【详解】对于A ，由双曲线定义得122AF AF a -==，且()12,0F -，则2112AF AB AF AB BF +=+--，所以2AF AB +-.故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为()00y y k x x -=-，3k ≠±，联立方程组()002233y y k x x x y ⎧-=-⎨-=⎩，消去y 整理得，()()222222000000136636330k x k x ky x k x kx y y -+--+--=，0∴∆=，化简整理得222000960y k x y k x -+=，解得03x k y =，可得直线MN 的方程为()00003x y y x x y -=-，即0033x x y y -=，故B 正确；对于C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分12F AF ∠，延长1F H 与2AF 的延长线交于点E ，则AH 垂直平分1F E ，即1AF AE =，H 为1F E 的中点，又O 是12F F 中点，所以()()2212111222OH F E AE AF AF AF a ==-=-==，故C 错误；对于D ，由直线MN 的方程为0033x x y y -=，令0x =，得01y y =-，则010,N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12121212001114422AF NF AF F NF F S S S F F y y ⎛⎫=+=⨯⨯+≥⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭V V ，当且仅当001y y =，即01y =±时等号成立，所以四边形12AF NF 面积的最小值为4，故D 项正确.故选：ABD..【点睛】关键点睛：C 项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出AH 垂直平分1F E ，212OH F E =.11.数列{}n a 满足()31166(1,2,3)4n n a a n +=-+= ，则（）A.当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在R M ∈，使n a M >恒成立B.当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在6M ≤，使n a M <恒成立C.当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在6M ≥，使n a M >恒成立D.当19a =时，{}n a 递增数列，且存在R M ∈，使n a M <恒成立【答案】BC 【解析】【分析】首先由数学归纳法求出数列的通项，再令13,5,7,9a =时代入通项中，求出具体通项公式，最后结合指数函数的性质逐一判断即可.【详解】由题意可知()311664n n a a +-=-，()()()()233333213211311111166,6666444444a a a a a a ⎡⎤∴-=--=-=-=⨯⨯-⎢⎥⎣⎦，归纳猜想：()()()11122113331111333133131126666424n n n n n n n a a a a ------++++---=-=-=- ，A ：当13a =时，133622n n a -⎛⎫-=-⨯⎪⎝⎭，则{}n a 为递减数列，无边界，故A 错误；B ：当15a =时，131622n n a -⎛⎫-=-⨯⎪⎝⎭，则{}n a 为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，6n a →，故存在6M ≤，使n a M <恒成立，故B 正确；C ：当17a =时，131622n n a -⎛⎫-=⨯⎪⎝⎭，则{}n a 为递减数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，6n a →，故存在6M ≥，使n a M >恒成立，故C 正确；D ：当19a =时，133622n n a -⎛⎫-=⨯⎪⎝⎭，则{}n a 为递增数列，无边界，故D 错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：（1）当所给递推数列较为复杂时，（不为用常见的累加累乘等）可考虑先写出几项，然后用数学归纳法求出通项公式.（2）判断数列是否存在边界或数列不等式恒成立问题可结合指数函数的单调性判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知cos sin 65a πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则11sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】45-【解析】【分析】由题意可得π3cos sin 62265πααααα⎛⎫⎛⎫+-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合诱导公式可得结果.【详解】由π3343cos sin sin 62265πααααα⎛⎫⎛⎫+-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4sin 65πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭而11πππ4sin sin 2sin 6665ααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为45-【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =____________．【答案】23【解析】【分析】利用条件概率直接求解.【详解】在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则()3341311p p =--，解得23p =或2-（舍去）.故答案为：2314.若函数()()e cos 1x f x x a x =++-存在最小值，则a 的取值范围是______．【答案】(),1-∞【解析】【分析】从1a =，1a >，及1a <进行分析求解.【详解】注意到，当1a =时，()e cos xf x x =+，由于e 0x >，1cos 1x -≤≤，显然()min 1f x →-，没有最小值；当1a >时，e cos 1x x +>-且无限接近1-，()1y a x =-为增函数，则x →-∞，()e cos 1x x a ++-x →-∞，x →+∞，()e cos 1x x a x ∞++-→+，此时没有最小值；当1a <时，()1y a x =-为减函数，则x →-∞，()e cos 1xx a x ∞++-→+，x →+∞，由于e x y =增长变化速度远大于()1y a x =-减少速度，此时()e cos 1x x a x ∞++-→+，由于函数定义域为R ,函数连续不断，所以()()e cos 1xf x x a x =++-存在最小值．故答案为：(),1-∞四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF ＝AC ．（1）若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；（2）若=45ABC ∠︒，且BD ＝3CD ，求cos ∠CFB ．【答案】（1）∠ABC ＝60°（2）51751【解析】【分析】（1）由两三角形的面积相等可得1122AB AC CD DF ⋅=⋅，再由DF AC =可得CD AB =，从而结合已知可得2BC AB =，进而可求得∠ABC ；（2）设AB k =，则,,,4AC k CB BD k DF k ====，然后在,BDF CDF 中分别利用勾股定理求出,CF BF ，再在CBF V 中利用余弦定理可求得结果.【小问1详解】如图所示在ABC 中，90A ∠=︒，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF BC ⊥且DF AC =，所以12ABC S AB AC =⋅ ，12CDF S CD DF =⋅ ，且CDF 的面积等于ABC 的面积，由于DF AC =，所以CD AB =，因为D 为BC 的中点，故2BC AB =，所以1cos 22AB AB ABC BC AB ∠===，因为ABC ∠为锐角，所以60ABC ∠=︒．【小问2详解】如图所示：设AB k =，由于90A ∠=︒，=45ABC ∠︒，3,BD DC DF AC ==，所以,,,4AC k CB BD k DF k====，由于DF BC⊥，所以222CF CD DF=+，则4CF k=．且222BF BD DF=+，解得4BF k=，在CBFV中，利用余弦定理得222222917288cos251k k kCF BF BCCFBCF BF+-+-∠===⋅16.如图，四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD成45︒角.（1）证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；（2）若12EF BC=，求二面角B SC D--的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3-.【解析】【分析】（1）要证EF为异面直线AD与SC的公垂线，即证AD EF⊥，EF SC⊥，通过线面垂直即可证明；（2）以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BSC和平面SCD的法向量，计算求解即可.【小问1详解】连接AC，BD交于点G，连接EG，FG，因为四边形ABCD 为矩形，且E ，F 分别为AD ，SC 的中点，所以//GE CD ，且//GF SA ，又SA ⊥底面ABCD ，所以GF ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以GF AD ⊥，又AD GE ⊥，GE GF G = ，,GF GE ⊂面GEF ，所以AD ⊥平面GEF ，EF ⊂面GEF ，所以AD EF ⊥，因为EF 与平面ABCD 成45︒角，所以45FEG ∠=o ，所以GF GE =，由2,2SA FG AB GE ==，所以SA AB =，取SB 的中点H ，连接AH ，FH ，由F ，H 分别为SC ，SB 的中点，知//FH BC ，12FH BC =，又//AE BC ，12AE BC =，所以//FH AE ，FH AE =，所以四边形AEFH 为平行四边形，又SA AB =，所以AH SB ⊥，又BC ⊥平面SAB ，AH ⊂平面SAB ，所以BC AH ⊥，又BC SB B = ，,BC SB ⊂面SBC ，所以AH ⊥平面SBC ，而//AH EF ，所以EF ⊥平面SBC ，又SC ⊂平面SBC ，所以EF SC ⊥，所以EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；【小问2详解】若12EF BC =，设2BC =，则1EF =，则22GE GF ==，所以2SA AB ==，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则)B ，()0,2,0D，(S，)2,0C ，从而2,SC = ，()0,2,0BC =，()CD = ，设平面BSC 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100n SC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11112020y y +==⎪⎩，令11z =，可得()11,0,1n = ，设平面SCD 的法向量为()2222,,n x y z = ，则2200n SC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2222200y +-==⎪⎩，令2z =，可得(2n = ，所以1212123cos ,3n n n n n n ⋅=== ，由图可知二面角B SC D --的平面角为钝角，所以二面角B SC D --的余弦值为3-.17.A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16；B 组：12，13，15，16，17，14，a ．假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（1）如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（2）当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等?【答案】（1）1049（2）11a =或18【解析】【分析】（1）列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；（2）利用方差的意义求出即可.【小问1详解】从两组中随机选取一人，共有49种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：()()()()()()()()()()13,12,14,12,14,13,15,12,15,13,15,14,16,12,16,13,16,15,16,14，共有10种方法，所以概率为1049.【小问2详解】把B 组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a ，或a ，12，13，14，15，16，17，根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，11a =或18.18.已知抛物线2(0)y axa =>与双曲线1y x =交于点T ，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P ，Q ．（1）证明：PQT △存在两条中线互相垂直；（2）求PQT △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）274.【解析】【分析】（1）设出切点,P Q 的坐标，利用导数的几何意义求出公切线方程，进而求出三边的中点坐标即可推理得证.（2）利用（1）的结论，结合三角形重心定理求出面积.【小问1详解】设21(,),(,P P Q Q P x ax Q x x ，由2y ax =、1y x =，求导得2y ax '=、21y x'=-，则抛物线2(0)y ax a =>在点P 处切线方程为22()PP P y ax ax x x -=-，双曲线1y x=在点Q 处切线方程为211()Q Q Q y x x x x -=--，由直线PQ 是两条曲线的公切线，得22122P Q P Q ax x ax x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4=P Q x x ，且22P Q ax x -=，令12Q x t =-，则2P x t =-，21(,4),(,2)2P t Q t t t---，且3,0a t t =>，由21y ax y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1,x y t t ==，即点1(,)T t t ，则边PQ 中点5(,)4M t t -，边PT 的中点15(,)22t K t -，边QT 的中点1(,)42t L t -，显然直线:MT y t =，直线1:2KQ x t =-，则直线MT KQ ⊥，所以PQT △存在两条中线互相垂直.【小问2详解】由（1）知，99,24t KQ MT t ==，令PQT △的重心为H ，所以PQT △的面积122992722233244PQT KQT t S S KQ TH KQ MT t ==⋅⋅=⋅=⋅⋅= .【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.19.已知函数()7x f x x a+=+关于点()11,-中心对称．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论()()()2g x x f x =在区间()0,+∞上的单调性；（3）设()111,n n a a f a +==，证明：222ln ln 71n n a --<．【答案】（1）()71x f x x +=+（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由中心对称函数的性质得出即可；（2）利用导数分析其单调性即可；（3）将要证明的不等式利用对数运算变形为221ln 72n n a -<，再用数学归纳法结合（2）证明即可.【小问1详解】因为函数()7x f x x a+=+关于点()11,-中心对称，所以()()112f x f x --+-+=，即1717211x x a x x a --+-+++=---++，取2x =，可得48231a a +=-+，解得1a =或7a =（舍去），所以1a =，()71x f x x +=+.【小问2详解】因为()()()2g x x f x =，0x >，所以()()()()()()()2222372377621111x x x x g x x x x x x ⎡⎤+-+⎡⎤++⎣⎦'=+⨯⨯-=⎢++++⎢⎥⎣⎦，因为()()3270,10,233x x x +>+>-+≥，所以()0g x '>恒成立，所以()()()2g x x f x =在区间()0,+∞上单调递增.【小问3详解】证明：要证222ln ln 71n n a --<，即证221ln 72n n a -<，当1n =时，2211211ln ln ln 7ln e 2727a -<⇒=<=，成立，即证2111ln 72n n a +-<，即证2211ln ln 727n n a a +<，由题意得0n a >，则即证21ln ln 7n a +<，因为()1171,1n n n n a a a f a a ++===+，(11711n n n n n a a a a a +-+-=-=++，由0n a >，即n a与1n a +当n a >，10n a +<<，即证217ln ln n a +<，即证217n a +<即证21n n a a +>，即证271n n n a a a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，由（2）可知，当()n n a g a g >>=成立.当1n n a a +><<21ln ln 7n n a a +<，即证217n na a +<，即证21n n a a +<，即证271n n n a a a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，由（2）可知，当()0n n a g a g <<<=成立.综上，得证.【点睛】关键点点睛：（1）若函数()f x 满足()()2f m x f m x n -++=，则对称中心为(),m n ；（2）判断符合函数的单调性时，常用导数判断；（3）证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当1n =时的特例和1n >的一般情况证明.。
2023届河南省开封市高三第一次模拟考试文科数学试题【含答案】
开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-A B = A.B.C.D.{}2{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1,2-2. 设命题，，则是（）:p x ∀∈R e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ，x ∀∈R e 1≤+xx x ∀∈R e 1xx <+C ， D. ，x ∃∈R e 1≤+xx x ∃∈R e 1x x <+3. 若是纯虚数，则实数（ ）4i43i a +-=a A. B. C. D. 2-23-34. 已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC =AD =A. B. C. D.1233AC AB+ 2133AC AB+1344AC AB+3144AC AB+5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）D.π36. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A. 4B. 27. 已知则x ＋2y 的最大值为（）30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩A. 2B. 3C. 5D. 68. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足()f x R [)0,∞+的的取值范围是（ ）()()2f x f x <-x A.B.C. D.(),2-∞-()2,-+∞(),1-∞()1,+∞9. 已知数列的前项和，若，则（ ）{}n a n 2n S n =()*5,p q p q +=∈N p q a a +=A. B. C. D. 7891010. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则（1F 2F 22:14x C y +=12MF MF ⋅）A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D. 有最小值311. 如图，在正方体中，点M ，N 分别是，的中点，则下述1111ABCD A B C D -1A D 1D B 结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；MN ABCD 1A ND ⊥1D MB ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．MN 11B D 45︒1D B 1A ND 45︒A. 1B. 2C. 3D. 412. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）()e x f x a x=-A.B.C.D.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],1-∞(],e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点、、，则______.()1,0A ()2,2B ()0,3C ⋅=AB AC 14 已知函数，则______.()cos f x x x=-512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印3D得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm ．16. 在数列中，，.记是数列的前项和，{}n a 11a =()()*212nn n a a n ++-=∈N n S {}n a n 则______.20S =三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：240160160件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.7（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；7（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取7A B C D E F G 件做进一步检测.2（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.M 2M 18. 在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，ABC cossin 2B Ca b A +=．23a b =（1）求的值；cos B （2）若，求．3a =c 19. 如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，，AB EF ∥.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，.12AF EF BE AB ===4CE=（1）证明：平面ABC ；//MN （2）求三棱锥N －ABC 的体积.20. 已知函数，.()2sin f x x ax=-a ∈R （1）若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；()f x （2）当时，求在上的最小值.1a =()()ln g x f x x =-0,2π⎛⎤⎥⎝⎦21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且3MN =.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将2ND DM=笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF1C所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；1C （2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l 与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两1C 2C 2C 1C 点，记△OAB 的面积为S ，若，求直线l 的斜率.S =（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线xOy C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t ()2,4上一点的坐标．C （1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A ，B ，以直线的斜率O C OA 为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．k AB M [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数．()21f x x a x =++-（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：0a >0b >[]1,2x ∈()21f x x b >-+．2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-A B = A.B.C.D.{}2{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】由题知，，{}13A x x =-<<{}1,0,1,2B =-由交集的定义得，，A B = {}0,1,2故选：C.2. 设命题，，则是（）:p x ∀∈R e 1xx ≥+p ⌝A. ， B. ，x ∀∈R e 1≤+xx x ∀∈R e 1xx <+C. ， D. ，x ∃∈R e 1≤+xx x ∃∈R e 1x x <+【答案】D 【解析】【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.【详解】，的否定是，.x ∀∈R e 1xx ≥+x ∃∈R e 1xx <+故选：D3. 若是纯虚数，则实数（ ）4i43i a +-=aA. B. C. D. 2-23-3【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，根据纯虚数的概念可得出关于实数的等式与4i43i a +-a 不等式，即可得解.【详解】为纯虚数，则，解得()()()()4i 43i 4i 412316i 43i 43i 43i 2525a a a a +++-+==+--+41203160a a -=⎧⎨+≠⎩.3a =故选：D.4. 已知中，为边上一点，且，则（ ）ABC D BC 13BD BC =AD =A. B. C. D.1233AC AB+ 2133AC AB+1344AC AB+3144AC AB +【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算即可求得.【详解】在中，.ABC BC AC AB=-因为，所以.13BD BC =()1133B AC ABD BC ==- 所以.()112333AD AB BD AB A A C AB C AB=++-==+故选：A5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）D. π3【答案】B 【解析】【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为，l h 1r =则由得，所以，2π1πl ⨯=2l=h ==所以．2211ππ133V r h ==⨯=故选：B ．6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A. 4B. 2【答案】B 【解析】【分析】由平均数相等求出，再求方差.m 【详解】由可得，80290392180290329189055m ⨯+⨯++++⨯+⨯++++==，即甲同学成绩的方差为8m =()22221211225+++=故选：B7. 已知则x ＋2y 的最大值为（）30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩A 2B. 3C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．【详解】作出可行域如图：由可得：，2z x y =+122z y x =-+平移直线经过点时，有最大值，12y x=-A z 由解得，3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩(1,2)A ．max 145z =+=故选：C 8. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足()f x R [)0,∞+的的取值范围是（ ）()()2f x f x <-x A.B.C. D.(),2-∞-()2,-+∞(),1-∞()1,+∞【答案】D 【解析】【分析】利用的奇偶性、单调性可得，再解不等式可得答案.()f x 2x x-<【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，()f x R ()()f x f x -=又在上单调递减，所以在上单调递增，()f x [)0,∞+(),0∞-若，则，解得.()()2f x f x <-2x x-<1x >故选：D.9. 已知数列的前项和，若，则（ ）{}n a n 2n S n =()*5,p q p q +=∈N p q a a +=A. B. C. D. 78910【答案】B 【解析】【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值.n a n S {}n a p q a a +【详解】当时，；1n =21111a S ===当时，.2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-也满足，故对任意的，，11a =21n a n =-N n *∈21n a n =-因此，.()222528p q a a p q +=+-=⨯-=故选：B.10. 已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则（1F 2F 22:14x C y +=12MF MF ⋅）A. 有最大值4B. 有最大值3C. 有最小值4D.有最小值3【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆方程求得，，2a =1b =c =，设，所以，利用对应函数单124MF MF +=1MF t=()21244MF MF t t t t⋅=-=-+调性即可求解．【详解】由椭圆可得，，，所以，，2214x y +=24a =21b =23c =2a =1b =c =因为点在上，所以，M C 1224MF MF a +==设，，即，则1MF t=[],t a c a c ∈-+22t ⎡∈⎣24MF t =-所以，()21244MF MF t t t t⋅=-=-+由对应函数单调性可知，2124MF MF t t⋅=-+当时，有最大值，最大值为2t =2124MF MF t t ⋅=-+4即时，最大值为，122MF MF ==12MF MF ⋅4当时，有最小值，最小值为2t =2124MF MF t t⋅=-+((22421-+=即，时，最小值为，12MF =22MF =+12MF MF ⋅1综上所述：最小值为，最大值为12MF MF ⋅14故选：A ．11. 如图，在正方体中，点M ，N 分别是，的中点，则下述1111ABCD A B C D -1A D 1D B 结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；MN ABCD 1A ND ⊥1D MB ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．MN 11B D 45︒1D B 1A ND 45︒A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N 由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为，1D D ⊥ABCD ABCD 1(0,0,2)DD =，因为，所以，而平面，(0,1,0)MN =10D D MN ⋅= 1D D MN ⊥ MN ⊄ABCD 因此∥平面，故①对；MN ABCD 设平面的法向量为，，，1A ND (,,)m x y z = (1,1,1)DN =1(2,0,2)DA = 所以有，1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ 同理可求出平面的法向量，1D MB (1,0,1)n =因为，所以，因此平面平面，故②正确；110m n ⋅=-= m n ⊥1A ND ⊥1D MB 因为，，(0,1,0)MN =11(2,2,0)B D =-- 所以，111111cos ,MN B D MN B D MN B D ⋅〈〉===⋅因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确；(0,90]MN 11B D 45︒设直线与平面所成的角为，1D B 1A ND θ因为，平面的法向量为，1(2,2,2)D B =- 1A ND (1,0,1)m =-所以，111sin cos ,D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠⋅所以直线与平面所成的角不是，因此④错误，1D B 1A ND 45︒一共有个结论正确，3故选：C12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）()e x f x a x=-A.B.C.D.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],1-∞(],e -∞【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出关于和的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.0x a 【详解】题意得若函数为不动点函数，则满足()e x f x a x=-，即，即()0000e xf x a x x -==00e 2x a x =02e x x a =设，()2e xx g x =()()22e 2e 22e e x xxx x xg x --'==令，解得()0g x '=1x =当时，，所以在上为增函数(),1x ∈-∞()0g x '>()g x (),1-∞当时，，所以在上为减函数()1,x ∈+∞()0g x '<()g x ()1,+∞所以()max 2(1)eg x g ==当时，(),0x ∞∈-()0g x <当时，()0,x ∞∈+()0g x >所以的图象为：()g x要想成立，则与有交点，所以，002e x x a =y a =()g x ()max2e a g x ≤=对应区间为2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点、、，则______.()1,0A ()2,2B ()0,3C ⋅=AB AC 【答案】5【解析】【分析】计算出向量、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AB AC的值.AB AC ⋅【详解】由题意可得，，因此，.()1,2AB =()1,3AC =-1235AB AC ⋅=-+⨯=故答案为：.514. 已知函数，则______.()cos f x x x=-512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，再代入计算可得.【详解】∵函数，()1πcos 2cos 2sin 26f x x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭即，()2sin()6f x x π=-∴.5π5πππ()2sin()2sin 121264f =-==.15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印3D得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm．【答案】【解析】【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面x y 直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系，由题意底直径为,a b 6cm ，所以双曲线过点，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点，()3,m 9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.【详解】由已知，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，x y 设双曲线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>由已知可得，，且，ce a ==222c a b =+所以，所以双曲线方程为，224a b =222214x y a a -=底直径为6cm ，所以双曲线过点，()3,m 下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：，()222222914819414m a a m a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩2m a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以喉部（最细处）的直径为故答案为：16. 在数列中，，.记是数列的前项和，{}n a 11a =()()*212nn n a a n ++-=∈N n S {}n a n 则______.20S =【答案】110【解析】【分析】对为奇数、为偶数两种情况讨论，求出数列前项中奇数项和偶数项n n {}n a 20的和，相加可得出的值.20S【详解】当为奇数时，，所以，数列的奇数项成以为首项，公差为n 22n n a a +-={}n a 1的等差数列，2所以，；132010921011002a a a ⨯⨯+++=⨯+= 当为偶数时，，n 22n n a a ++=所以，.()()()2420246818202510a a a a a a a a a +++=++++++=⨯= 因此，.2010010110S =+=故答案为：.110三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为、、（单位：240160160件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测.7（1）求抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；7（2）设抽取的件商品分别用、、、、、、表示，现从中再随机抽取7A B C D E F G 件做进一步检测.2（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的件商品来自不同地区”，求事件发生的概率.M 2M 【答案】（1）分别为件、件、件322（2）（i ）答案见解析；（ii ）1621【解析】【分析】（1）利用分层抽样可计算得出所抽取的件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数7量；（2）（i ）利用列举法可列举出所有的基本事件；（ii ）列举出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得的值.M ()P M【小问1详解】解：由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为，3:2:2由于采用分层抽样的方法从中抽取件商品，7因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取件、件、3737⨯=2727⨯=件.2727⨯=【小问2详解】解：（i ）从抽取的件商品中随机抽取件商品的所有可能结果为：、、、72AB AC AD 、、、、、、、、、、、、、AE AF AG BC BD BE BF BG CD CE CF CG DE 、、、、；DF DG EF EG FG （ii ）不妨设抽取的件商品中，来自甲地区的是、、，来自乙地区的是、，7A B C D E 来自丙地区的是、，F G 则从抽取的件商品中随机抽取的件商品来自相同地区的所有可能结果为：、72AD 、、、、、、、、、、、、、AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG DF DG 、，共种，EF EG 16所有的基本事件共种，故.21()1621P M =18. 在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，ABC cossin 2B Ca b A +=．23a b =（1）求的值；cos B （2）若，求．3a =c 【答案】（1）3cos 4B =（2）52c =【解析】【分析】（1）先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得cos2B C+角A ，B 的关系，解出的值；cos B （2）由第一问求得的的值，根据余弦定理公式展开列方程求解即可.cos B c 【小问1详解】因为，A B C π++=所以，222B C Aπ+=-得，cossin 22B C A+=因为，cossin 2B Ca b A +=由正弦定理，可得，sin sinsin sin 2AA B A ⋅=⋅又，所以，sin 0A ≠sinsin 2AB =又因为A ，B 均为三角形内角，所以，即，2AB =2A B =又因为，即，23a b =2sin 3sin A B =即，4sin cos 3sin B B B =又，得；sin 0B ≠3cos 4B =【小问2详解】若，则，3a =2b =由（1）知，3cos 4B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即，29502c c -+=()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭所以或，2c =52当时，，则，即为等腰直角三角形，2c =b c =22A B C ==ABC 又因为，此时不满足题意，所以．a ≠52c =19. 如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，，AB EF ∥.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，.12AF EF BE AB===4CE =（1）证明：平面ABC ；//MN （2）求三棱锥N －ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）2【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，原题即CF D DM DN //MND ABC 得证；（2）取AB 的中点O ，连接OC ，OE ，设，由勾股定理即可12AF EF EB AB a ====求出，进而可求解三棱锥N －ABC 的体积.a 【小问1详解】取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点，∴，，DM AC ∥DN EF ∥又∵平面ABC ，平面ABC ，∴平面ABC .DM ⊄AC ⊂DM ∥又，∴，同理可得， 平面ABC .EF AB ∥DN AB ∥DN ∥∵平面MND ，平面MND ，，DM⊂DN ⊂DM DN D = ∴平面平面ABC .MND ∥∵平面MND ，∴平面ABC .MN ⊂//MN 【小问2详解】取AB 的中点O ，连接OC ，OE .由已知得OA EF 且OA =EF ，∴OAFE 是平行四边形，∴OE AF 且OE =AF ∥∥∵△ABC 是正三角形，∴OC ⊥AB ，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面平面ABEF ＝AB ，∴OC ⊥平面ABEF ，ABC ⋂又平面ABEF ，∴OC ⊥OE .OE ⊂设，，12AF EF EB AB a ====OC =在Rt △COE 中，由，解得，即.222OC OE CE +=2a =122AF EF EB AB ====由题意∠FAB ＝60°，M 到AB 的距离即为M 到平面ABC的距离sin 60h AM =︒=又平面ABC ，∴.//MN 11142332N ABC M ABC ABC V V S h --==⋅⋅=⨯⨯⨯=△20. 已知函数，.()2sin f x x ax=-a ∈R （1）若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；()f x（2）当时，求在上的最小值.1a =()()ln g x f x x =-0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】（1）(],2-∞-（2）2ln 22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知可得：即可求解.()2cos 0f x x a '=-≥（2）结合导数和隐零点替换即可求解最值.【小问1详解】由已知可得：恒成立，()2cos 0f x x a '=-≥即恒成立，又的最小值为-2，所以，2cos a x ≤2cos y x =2a ≤-则有.(],2a ∈-∞-【小问2详解】当时，，1a =()()ln 2sin ln g x f x x x x x=-=--()0,x ∈+∞所以，()12cos 1g x x x '=--令，在上单调递减，()()h x g x '=()212sin h x x x '=-+0,2π⎛⎤⎥⎝⎦又因为，，26106h ππ⎛⎫⎛⎫'=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12sin112sin 106h π'=-+<-+=所以存在使得，即，从而0,16x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '=02012sin x x =0cos x =则有x()00,x 0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭()h x '正负()g x '递增递减则有最大值为：()g x '，()00000011112cos 11110g x x x x x x '=--=--<-=-<所以，()0g x '<则在上单调递减，所以最小值为.()g x 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦2ln 222g πππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且3MN =.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将2ND DM=笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH交于点O ，以EF 1C 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；1C （2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l 与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两1C 2C 2C 1C点，记△OAB 的面积为S ，若，求直线l 的斜率.S =【答案】（1）2214x y +=（2）k =k =【解析】【分析】（1）由，，即可得到椭圆的长半轴长和短半轴长，进而可求解.2ND =1DM =（2）分类讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时不满足题意，故设，l :l y kx m =+联立方程，表达出即可求解.S =【小问1详解】由题意可得，，2ND =1DM =所以椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，所以椭圆的方程为：.1C 1C 2214x y +=【小问2详解】若直线l 的斜率不存在，依题意，，带入方程可得，:1lx =±1C AB=此时，所以直线l 的斜率一定存在，设，S =≠:l y kx m =+l 与圆，即，2C 1=221m k =+联立可得，221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=由得，()()222264161410k m k m ∆=-+->0k ≠，，122814kmx x k -+=+()21224114mx x k -=+2AB x =-===，由得，即，解得S =AB ==4251120k k -+=k =k =（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线xOy C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t ()2,4上一点的坐标．C （1）将曲线的参数方程化为普通方程；C （2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A ，B ，以直线的斜率O C OA 为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．k AB M 【答案】（1）2x y =（2）221x y =-【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程为（为参数），消去参数求解；C 222x pty pt =⎧⎨=⎩t t （2）设的斜率为，方程为，则的方程为：，分别与抛物线方OA k y kx =OB 1=-y xk 程联立，求得A ，B 的坐标，再利用中点坐标求解.【小问1详解】解：因为曲线的参数方程为（为参数），C 222x pt y pt =⎧⎨=⎩t 消去参数可得：，将点代入可得，t 22x py =()2,412p =所以曲线的普通方程为：；C 2x y =【小问2详解】由已知得：，的斜率存在且不为0，OA OB设的斜率为，方程为，则的方程为：，OA k y kx =OB 1=-y x k 联立方程可得：，2,,y kx x y =⎧⎨=⎩()2,A k k 同理可得：，211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭设，所以(),M x y 2211,211,2x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩所以，22214222x k y k =+-=-所以即为点轨迹的普通方程．221x y =-M [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数．()21f x x a x =++-（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：0a >0b >[]1,2x ∈()21f x x b >-+．2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；()f x （2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用()21f x x b >-+233a b x x +>-+不等式，即可证明.【小问1详解】当时，，1a =()121f x x x =++-当，，；1x ≤-()31f x x =-+()min ()14f x f =-=当，，；11x -<<()3f x x =-+()()2,4f x ∈当，，；1x ≥()31f x x =-()min ()12f x f ==∴当时，的最小值为2．1a =()f x 【小问2详解】，，当时，0a >0b >12x ≤≤可化为，2211x a x x b ++->-+233a b x x +>-+令，，，∴()233h x x x =-+[]1,2x ∈()()()max 121h x h h ===1a b +>∴，22222111()122222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时取得等号；a b =又当时，，1a b +>2()122a b a b ++++2>故.2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
四川省成都市2023-2024学年高三下学期模拟测试数学试题含答案
2023-2024年度高三模拟测试数学（答案在最后）考试时间：120分钟总分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}241,S y y s s s +==-+∈N ，{}23,T y y tt +==-∈N ，则（）A.S T = B.S T⊆ C.S T⊇ D.S T ⋂=∅【答案】C 【解析】【分析】由()()2232421y t t t =-=+-++结合s +∈N ，t +∈N 即可得.【详解】()()2232421y t t t =-=+-++，故对t +∀∈N ，都有2s t =+，使22341t s s -=-+成立，又当2s =时，有2413s s -+=-，此时，不存在t +∈N 使233t -=-，故T S ⊆，即S T ⊇.故选：C.2.命题“2x y x y ++-≤”是“1x ≤，且1y ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式和充分条件必要条件的定义即可判断.【详解】若2x y x y ++-≤，22x y x y x y x y x ++-≤++-≤=，即1x ≤，22x y x y x y x y y +-+≤++-≤=，即1y ≤，则充分性成立；若1x ≤且1y ≤，当()()0x y x y +-≥时，22x y x y x y x y x +++-==-+≤，当()()0x y x y +-<时，22x y x y x y x y y ++++==--≤，则必要性成立；综上所述：“2x y x y ++-≤”是“1x ≤，且1y ≤”的充分必要条件.故选：C.3.若13i z =+，则22z z z=（）A.13i +B.13i -C.D.10【答案】A 【解析】【分析】根据复数四则运算和乘方运算以及共轭复数的定义即可.【详解】()2213i 86i z =+=-+，21910z =+=，()()2286i 13i 13i10z z z-+-==+，故选：A.4.函数22tan ()1tan xf x x=-的最小正周期是（）A.π4B.π2C.πD.2π【答案】C 【解析】【分析】借助正切函数的二倍角公式可得()tan 2f x x =，结合函数定义域及正切型函数的周期性计算即可得.【详解】22tan ()tan 21tan x f x x x==-，()ππ2x k k ≠+∈Z ，又tan 1x ≠±，可得()ππ42kx k ≠+∈Z ，即()tan 2f x x =，且()ππ2x k k ≠+∈Z 、()ππ42kx k ≠+∈Z ，故πT =.故选：C.5.已知抛物线²4y x =的焦点为F ，其上有两点,A B ，若AB 的中点为M ，满足MF 的斜率等于1，则BF 的最大值是（）A.7 B.8C.5+D.10【答案】D 【解析】【分析】设直线AB 的方程为(0)y kx b k =+≠，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，利用韦达定理得出AB 中点M 的坐标，再根据条件得出222k k b k+-=-，再利用求根公式得出22211)x k=，再分1k >-或1k <两种情况，通过构造函数，利用函数单调性即可解决问题.【详解】由题知，直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为(0)y kx b k =+≠，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，由24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消y 得到222(24)0k x kb x b +-+=，由222(24)40kb k b ∆=-->，得到1kb <①，由韦达定理知，212122224,kb b x x x x k k -+=-=，所以12124()2y y k x x b k +=++=，又由题知00221211y k kb x k ==----，得到222k k b k+-=-②，由①②得到2210k k +->，即1k >或1k <.由抛物线定义知，21BF x =+，又由222(24)0k x kb x b +-+=，得到x =取2x =，将222k k b k +-=-代入并化简得到222221)k k x k k++==，当1k >-，则2111k k=，且101k <<，令(01)y x x =<<，则11y '==，由0y '=，得到220x x -=，解得2x =或0x =（舍），当(0,1]x ∈时，0'>y ，当(1,2)x ∈时，111y '===-，由(1,2)x ∈时，22(1,2)21x x ∈-++，221(0,1)21x x -+∈-++，所以(1,2)x ∈时，0'>y ，即有(0,2)x ∈时，0'>y ，当1)x ∈时，1y '=，22(2,)21x x ∈+∞-++，所以221(1,)21x x -+∈+∞-++，得到0'<y ，所以当2x =时，(0)y x x =>有最大值为3，所以2x 的最大值为9，得到2110BF x =+≤，当1k <-，则11k k=，且110k -<<，令(10)y x x =-<，则1111y '====-，因为10x <，所以22(2,)21x x ∈+∞-++，得到221(1,)21x x -+∈+∞-++，所以，0'<y 在(1x ∈-上恒成立，此时(1,1y ∈--，则2(3x ∈-，故212BF x =+<，综上，10BF ≤，故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于找出k 的范围后，用k 表示出2x ，即222211)k k x k+-+=，再根据k 的范围，构造相应的函数，借助函数的单调性来解决问题.6.已知,a b ÎR ，函数11(),,22f x x ax b x x ⎡⎤=+-+∈⎢⎥⎣⎦的最大值为f M ，则f M 的最小值是（）A.18B.14C.12D.25【答案】B 【解析】【分析】首先由题得1max (1),(2),()2f M f f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，再得到(1)2f M f a b ≥=-+，2211(253323f M f a b ≥=--，111(2)425336f M f a b ≥=--，再将以上三式两边相加可得1155222542523636f M a b a b a b ≥-++--+--≥--，即122f M ≥.【详解】设max ()f M f x =，则1max (1),(2),(2f M f f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由于1511(252222f M f a b a b ≥=-+=--，(1)2f M f a b ≥=-+，1(2)4252f M f a b ≥=--，则(1)2f M f a b ≥=-+，2211()253323f M f a b ≥=--，111(2)425336f M f a b ≥=--，所以将以上三式两边相加可得1155222542523636f M a b a b a b ≥-++--+--≥--，即122f M ≥，所以14f M ≥.故选：B【点睛】(1)本题主要考查函数最值的求法，考查绝对值三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是得到(1)2f M f a b ≥=-+，2211(253323f M f a b ≥=--，111(2)425336f M f a b ≥=--，其二是利用三角不等式求得1155222542523636f M a b a b a b ≥-++--+--≥--，即122f M ≥.7.半径为R 的光滑半球形碗中放置着4个半径为r 的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则Rr的最大值是（）A.1+B.1+C.1+D.1+【答案】D 【解析】【分析】由题意画出草图，求出球心坐标，分析受力情况，从而得出0≤，由此即可得解.【详解】以碗的大圆圆心，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：上面球的球心、下面4个球之一的一个球心分别为()()12,0,O O r r ，以球2O 为对象分析它的受力情况：球1O给它的压力为4mg F = ，它自身受到的重力为()0,,0G mg =，由对称性可知碗给它的支持力为5,,4mg N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0≤，解得(1R r ≤+，所以Rr的最大值是1.故选：D.【点睛】关键点睛：关键是准确分析受力情况，列出不等式，由此即可顺利得解.8.已知a ，b ，c 满足()5log 23b ba =+，()3log 52bb c =-，则（）A.a c b c -≥-，a b b c -≥-B.a c b c -≥-，a b b c -≤-C.a c b c -≤-，a b b c -≥-D.a c b c -≤-，a b b c-≤-【答案】B 【解析】【分析】构造函数23()55x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用其单调性，分1b >，1b =，1b <讨论即可.【详解】由题意得520bb->，即52bb>，则2015b⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则0b >，令23(),(1)155x xf x f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据减函数加减函数为减函数的结论知：()f x 在R 上单调递减，当1b >时，可得23155bb⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，235b b b ∴+<，两边同取以5为底的对数得()55log 2og 53l b b b b a =+<=，对235b b b +<通过移项得523b b b ->，两边同取以3为底的对数得()3log 52b bb c =->，所以c b a >>，所以b a -<-，所以c b c a -<-，且0,0c b c a ->->，故此时，a c b c ->-，故C,D 选项错误，2b =时，533371log 13log 21log 212log ,132a c c b ⎛⎫==-=-=∈ ⎪⎝⎭，，，552512log 13log 0,,132b a c b b a ⎛⎫-=-=∈∴->- ⎪⎝⎭，且0,0c b c a ->->，故A 错误,下面严格证明当1b >时，0b a c b <-<-，()55551log 23log log 232355b b b b b b b b a b ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪-=-+== ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3352log 52log 33b bb bc b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦根据函数()5233x xh x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在R 上单调递增，且()11h =，则当1b >时，有52133bb⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，230155bb⎛⎫⎛⎫<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭< ，112355bb∴<⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明：552233b b bb b b-<+，1b >要证：552233b b bb b b-<+，即证：()()152352bb bbb +-<，等价于证明4610b b b <+，即证：23155bb⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此式开头已证明，对552233b b bb b b-<+，左边同除分子分母同除5b ，右边分子分母同除3b 得152332355bbb b⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则553152520log log log 33332355b b b b b bb ac b ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪<-=<-<-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1b >时，0b a c b <-<-，则a b b c-<-当01b <<时，可得23155b b⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，235b b b ∴+>，两边同取以5为底的对数得()55log 2og 53l b b b b a =+>=，对235b b b +>通过移项得523b b b -<，两边同取以3为底的对数得()3log 52b bb c =-<，所以c b a <<，所以b a ->-，所以c b c a ->-，且0,0c b c a -<-<，故0b c a c <-<-，故此时，a c b c ->-，下面严格证明当01b <<时，0c b b a -<-<，当01b <<时，根据函数23(),(1)155x xf x f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且其在R 上单调递减，可知23155b b⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则51log 02355b b b a ⎛⎫⎪ ⎪-=< ⎪⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1012355b b <<⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数函数()5233xxh x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在R 上单调递增，且()11h =，则当01b <<时，520133bb⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明：552,(1)233b b bb b bb -><+，要证：552233b b bb b b->+即证：()()152352bb bbb >+-，等价于证4610b b b +>，即证：23155bb⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此式已证明，对552233b b b b b b->+，左边同除分子分母同除5b ，右边分子分母同除3b得152332355b bb b⎛⎫⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则35552521log log log 033332355b b b b b b c b b a ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-<-<-=<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故01b <<时，0c b b a -<-<，则a b b c-<-当1b =时，53log 51,log 31a c ====，则||||a c b c -=-，||||a b b c -=-，综上||||a c b c -≥-，a b b c -≤-，故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数23()55x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用其单调性及(1)1f =，从而得到,,a b c 之间的大小关系，同时需要先求出b 的范围，然后再对b 进行分类讨论.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知ABC 中，4AB =，3A π=．下列说法中正确的是（）A.若ABC 是钝角三角形，则02AC <<B.若ABC是锐角三角形，则BC <<C.AC BC的最大值是3D.2AC BC +的最小值是2+【答案】BC 【解析】【分析】根据B 为钝角时即可判断A ，根据正弦定理结合三角函数的性质即可判断BCD.【详解】对于A,若B 为钝角，则AC AB >,故4AC >，A 错误，对于B,由正弦定理可得sin sin sin sin sin BC AB AB A BC A C C C=⇒==，由于ABC 是锐角三角形，所以π02C <<且2ππ032C <-<，故ππ62C <<，故1sin ,12C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而(sin BC C=∈，故B 正确，对于C,sin sin AC B B BC A ==,由于2π03B <<，所以sin 1B =时，取最大值，故最大值为3AC BC ==，C 正确，对于D，由正弦定理可得4sin 4sin ,sin sin sin sin sin sin BC AB AC A BBC AC A C B C C C==⇒===)2π4sin cos 24sin 2sin 4322sin sin sin sin sin sin sin C C B C C AC BC C C C C C C C⎛⎫- ⎪++⎝⎭+=+=+=++当π2C =时，)cos 22222sin C AC BC C ++=+=+<+D 错误，故选：BC10.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足128a a +=，1211n n a n a n +-=+.则（）A.5640a =B.{}n a 是递增数列C.1(1)24n n S n +≥-⋅+ D.1(2)24n n S n +≥-⋅+【答案】ABD 【解析】【分析】累乘法可计算出数列{}n a 的通项公式判断A ，利用数列单调性定义判断B ，举反例判断C ，利用错位相减法求和判断D.【详解】由1211n n a n a n +-=+可得：23213a a =，34224a a =，45235a a =，L ，32242n n a n a n ---=-，21231n n a n a n ---=-，122n n a n a n--=，则当2n ≥时，()332124345212222221234322345211n n n n n n a a a a a a n n n a a a a a a n n n n n --------⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--- ，化简得()22221n n a a n n -=-，又128a a +=，1220a a =，则120,8a a ==，所以()12(2)nn a n n n =-⋅≥，又1n =时也成立，所以()12nn a n n =-⋅，所以55452640a =⨯⨯=，故A 正确；因为()()()111212320n n n n n a a n n n n n n ++-=+⋅--⋅=+>，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；令()()()123102226221212n n n S n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅-⋅+-⋅⋅ ，则()()()2341202226221212nn n S n n n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅-⋅+-⋅⋅ ，两式相减得()()23412222321212n n n S n n n +⎡⎤-=⨯+⨯+⨯++---⋅⋅⎣⎦ ，所以()()23412222321212n n n S n n n +⎡⎤=-⨯+⨯+⨯++-+-⋅⋅⎣⎦，记()2342223212nn T n =+⨯+⨯++- ，则()()34512222322212nn n T n n +=+⨯+⨯++-+- ，两式相减得()()()2123451112222222121222412n nn n n n T n n n ++++--=+++++--=--=--- ，所以()1224n n T n +=-+，所以()()()11212224123428n n n n S n n n n n +++⎡⎤=-⨯-++-⋅⋅=-+-⎣⎦，11110(11)244S a +==<-⋅+=，不满足1(1)24n n S n +≥-⋅+，故C 错误；因为()121(2)2446212n n n S n n n ++--⋅-=-+-，且()(){}()22212114162124621220n n n n n n n n +++⎡⎤⎡⎤+-++---+-=>⎣⎦⎣⎦，所以(){}2146212n nn +-+-是递增数列，所以121(2)24(12)240n n S n S +--⋅-≥--⋅-=，即1(2)24n n S n +≥-⋅+，故D 正确.故选：ABD11.设12,,,n P P P ⋯为椭圆22:143x y C +=上逆时针排列的n 个点，F 为椭圆C 的左焦点，且线段12,,,n FP FP FP …把周角分为n 等份．则（）A.当4n =时，12FPP面积的取值范围是8181,4949⎡-+⎢⎥⎣⎦B.当4n =时，四边形1234PP P P 的面积最大值为6C.当6n =时，26P P 与1FP 交于点M ，则FM 的取值范围是3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.对n +∀∈N ，且2n ≥，都有1123ni i n FP ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】以点F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，应用焦半径公式21cos (1)e a e θρ+=-；选项A ，当4n =时，12FPP 面积为1212ρρ，代入焦半径公式即可求最值；选项B ，举出反例，当四边形1234PP P P 恰为椭圆的顶点构成的四边形时推翻结论；选项C ，因为2626FP P FP M FP M S S S =+ ，应用三角形的面积公式得到26111||FM ρρ=+，代入焦半径公式即可；选项D ，112(1)π2cos[]13n n i i ii nFP θ==--+=∑∑，求和即可.【详解】以点F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，且线段12,,,n FP FP FP …把周角分为n 等份，设11(,)P ρθ，则22332π4π(,),(,)P P n n ρθρθ++，……，2(1)π(,n n n P nρθ-+，其中n +∈N ，且2n ≥，极坐标系下，若椭圆2222:1(0),x y C a b c a b+=>>=对于点(,)P ρθ，则其焦半径公式是：21cos (1)e a e θρ+=-，其中ce a=，所以211(1)||1cos a e FP e ρθ-==-，222(1)||2π1cos()a e FP e nρθ-==-+，……，2(1)||2(1)π1cos[]n n a e FP n e nρθ-==--+，对n +∀∈N ，且2n ≥，且椭圆方程为：22:143x y C +=，12,1,2a b c e ====，有21112[1(]32||12cos 1cos 2FP ρθθ⨯-===--，同理223||2π2cos()FP nρθ==-+，……，3||2(1)π2cos[]n n FP n nρθ==--+，对于选项A ，当4n =时，此时，椭圆22:143x y C +=的弦13PP 和弦24P P 过焦点F ，且互相垂直，113||2cos FP ρθ==-，2233||π2sin 2cos()2FP ρθθ===+-+，12FPP 面积为：1212ρρ=133922cos 2sin 84(sin cos )2sin cos θθθθθθ⨯⨯=-++--，1212ρρ=29(sin cos )4(sin cos )7θθθθ=-+-+，构造函数247y t t =++，且πsin cos 2π4t θθθθ=-=-≤<，得[t ∈，显然函数247y t t =++在区间[上单调递增，从而99y -≤≤+所以128118149249ρρ-+≤≤≤，故12FPP 面积的取值范围是8136281362,4949⎡-+⎢⎣⎦，选项A 正确；对于选项B ，4n =，当弦13PP 和弦24P P 所在直线中有一条斜率不存在且另一条斜率为零时，此时四边形1234PP P P 恰为椭圆的顶点构成的四边形，面积为：11222422a b ab ⋅⋅==⨯⨯=，由于6>，四边形1234PP P P 的面积最大值为6不正确，选项B 错误；对于选项C ，当6n =时，11(,)P ρθ，22π(,)3P ρθ+，635π(,3P ρθ+，且椭圆方程为：22:143x y C +=，此时113||2cos FP ρθ==-，223||π2cos()3FP ρθ==-+，663||5π2cos()3FP ρθ==-+，因为2626FP P FP M FP M S S S =+ ，其中26262πππ,,333P FP P FM MFP ∠=∠=∠=，则242612π1π1πsin||sin ||sin 232323FM FM ρρρρ=⋅⋅+⋅⋅，得2626()||FM ρρρρ=+⋅，得到26π5π2cos()2cos()11133||33FM θθρρ-+-+=+=+2ππcos()cos()144cos 33||3333FM θθθ+-+=+=-，其中02πθ≤<，可得151||3FM ≤≤，FM 的取值范围是3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C 正确；对于选项D ，有：1112(1)π2cos[]1212(1)πcos[]333nnn i i i i i n i n FP nθθ===--+-==-⋅+∑∑∑，若在单位圆上取等分圆周的逆时针排列的n 个点：设2(1)π2(1)π(cos[1,2,1)i i i T i n n nθθ--++=-…,，这n 个点定构成正n 边形，它的中心恰为坐标原点，原点的横坐标为零，可得：12(1)πcos()0ni i nnθ=-+=∑，即12(1)πcos()0ni i nθ=-+=∑，所以1123ni i n FP ==∑，故选项D 正确；故选：ACD.12.已知,a b ÎR ，O 为坐标原点，函数()222()f x a x b x a b =++--+．下列说法中正确的是（）A.当1a b =+时，若()f x x ≥的解集是(],2-∞，则0b <B.当2a b =+时，若2()f x x =有5个不同实根，则3a >+C.当a b +=时，若a b >，曲线()y f x =与半径为4的圆O 有且仅有3个交点，则2b =-D.当4a b +=时，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积的最小值是33【答案】BD 【解析】【分析】去掉绝对值化简函数得()()()4,2(),224,2a b x a x f x a b x x a b x b x ⎧-+-≤-⎪=--<≤⎨⎪+->⎩，然后依不同条件，结合图象进行分析求解.【详解】A 选项，由题意，()()()4,2(),224,2a b x a x f x a b x x a b x b x ⎧-+-≤-⎪=--<≤⎨⎪+->⎩，当1a b =+时，()()()2141,2(),22214,2b x b x f x x x b x b x ⎧-+-+≤-⎪=-<≤⎨⎪+->⎩，若()f x x ≥的解集是(],2-∞，当22x -<≤时，()f x x =显然成立，当2x ≤-时，令()()()2141f x b x b x =-+-+≥，即()()()22442141b x b b x b -+≥+⇒-+≥+在2x ≤-上恒成立，则要()210b -+≤，解得1b ≥-，且2x >时，()214b x b x +-<恒成立，即24bx b <恒成立，故20b <，解得0b <，综上，10b -≤<，A 错误；B 选项，当2a b =+时，()()()214,2()2,222142,2a x a x f x x x a x a x ⎧---≤-⎪=-<≤⎨⎪--->⎩，因为2()f x x =有5个不同实根，当22x -<≤时，22x x =，得0x =或2x =，有两个根，当2x >时，()()22142a x a x ---=，即()()2220x x a ⎡⎤---=⎣⎦，得()22x a =-或2x =，当<2x -时，()2214a x a x ---=，方程最多两个根，要想保证有5个不同实根，故()222x a =->为其中一个根，故3a >，此时()222x a =->，满足要求，而()22140x a x a +-+=，方程需要在(),2∞--有两个不同的实数根，设()2()214g x x a x a =+-+，则()2(2)8Δ4116012g a a a -=⎧⎪=-->⎨⎪-<-⎩，解得3a >+，B 正确；C选项，当a b +=()(41,2()2,224,2b x f x b x x b x ++≤-⎪=---<≤⎨⎪->⎪⎩，若a b >，则0b <，且曲线()y f x =与半径为4的圆O 有且仅有3个交点，如下图，可能是()4,2y b x =->与圆相切，则4d ==，得2b =-或2b =（舍），也可能，点()2,(2)f 在圆上，如下图，则(222222234b +--=，解得3b =或0b =（舍）所以C 错误；D 选项，当4a b +=时，()()44,2()22,22444,2x a x f x a x x x a x --≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪-->⎩,且(2)84,(2)48f a f a -=-=-，当2x =-时，2262y =-⨯+=，当2x =时，22610y =⨯+=，当()()22210f f ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，即32a ≤时，画出两函数图象如下：曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积三角形ACD 的面积，令()2226a x x -=+，解得33x a =-，故33C x a =-令()44426x a x --=+，解得112x a =-，故112A x a =-，则()()924314112533a a AC a a a--=+--=--，点()2,48D a -到直线26y x =+的距离为4864145a h ---==+故()()()()292492411522335ACDa a a a S AC h a a ----=⋅==-- ，令()()()29243a a u a a--=-，32a ≤，则()()()()()()()()22249249239243a a a a a a u a a ⎡⎤-----⋅-+--⎣⎦-'=()()22392649203a a a a ⎡⎤-+--⎣⎦=<-，故()()()29243a a u a a--=-在32a ≤上单调递减，故最小值为()2393432603232u ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==⎪⎝⎭-，当48226a -≥⨯+，即92a ≥时，此时245BD k a =-≥，42DE k =>，如图，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积三角形ABC的面积，令4426x a x --=+，解得233a x +=-，233C a x +=-，令()2226a x x -=+，解得33x a =-，故33A x a =-，因为92a ≥，所以22323339a a a AC a +-=+=-，故点()2,84B a --到直线26y x =+的距离d ==故此时曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积为232123412923939a a a a a AC d a a --+⋅==--，令()32412939a a a w a a -+=-，则()()()()()()232322212249393412941293939a a a a a aa a aw a a a -+-'--+-+==--()322241442168139a a a a -+-=-，令()322414421681q a a a a =-+-，则()()227228821672430q a a a a a =-=-+'+>在92a ≥上恒成立，故()322414421681q a a a a =-+-在92a ≥单调递增，又9729819241442168121872916972811602842q ⎛⎫=⨯-⨯+⨯-=-+-=⎪⎝⎭，故()0w a '>在92a ≥上恒成立，故()32412939a a aw a a -+=-在92a ≥上单调递增，故最小值为729819729814129243984222362792922w ⨯-⨯+⨯-+⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，当4810a -<且842a -<，即3922a <<时，此时245BD k a =-<，42DE k =>，当342a <≤时，()(]221,4a -∈-，如图，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积四边形BCED的面积，令4426x a x --=+，解得233a x +=-，233C a x +=-，故4612426633C C a a y x +-=+=-=，即23124,33a a C +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令()44426x a x --=+，解得112x a =-，故112E x a =-，262246284E E y x a a =+=-+=-，故()112,284E a a --，故2336411233a aCE a +-=-+=，设直线BC 与直线DE 相交于点H ，令()44444x a x a --=--，解得2x a =-，此时()444248y x a a a =--=---=-，故()2,8H a --，点H 到直线26y x =+的距离为1d ==，故()211821364233ECHa a S CE d --=⋅== ，其中()2,84B a --，()2,48D a -，故BD ===，点H 到直线BD 的距离为2d =，故()21442BDHS BD d a a =⋅=- ，则四边形BCED 的面积为()()2182443ECHBDH a SS a a --=-- ，当342a <≤时，()()22221821616154440108333334ECH BDH a a S S a a a a -⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，当154a =时，面积取得最小值，最小值为33，当942a <<时，()()224,5a -∈，画出图象如下：四边形BCED 的面积为()()22221821616154440108333334ECH BDH a a S S a a a a -⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，当942a <<时，21615333334a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，综上，当4a b +=时，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积的最小值是33，D 正确.故选：BD【点睛】方法点睛：函数零点或方程根的问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.26(1)x x ++的展开式中6x 的系数是________．【答案】141【解析】【分析】26(1)x x ++表示6个因式2(1)x x ++连乘的积，要得到含6x 的项，对各因式中项的选择分类讨论，结合组合数公式求解.【详解】26(1)x x ++表示6个因式2(1)x x ++连乘的积，要想得到含6x 的项，有以下4种情况：在这6个因式中，有3个因式选2x ，其余因式均选1；在这6个因式中，有2个因式选2x ，2个因式选x ，2个因式选1；在这6个因式中，有1个因式选2x ，4个因式选x ，1个因式选1；在这6个因式中，全选x .故展开式中6x 的系数为322146664656C C C C C C 141+++=.故答案为：14114.已知n 个人独立解决某问题的概率均为14，且互不影响，现将这n 个人分在一组，若解决这个问题概率超过910，则n 的最小值是_____【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，n 个人都没有解决问题的概率为1(14n -，因此这个小组能解决问题的概率为31(4n-，于是391(410n ->，整理得4()103n >，函数4()(,N 3n f n n *=∈是递增的，而88465536(8)1036561f ==<，994262144(9)10319683f ==>，因此4(103n >成立时min 9n =，所以n 的最小值是9.故答案为：915.已知,,A B C 是边长为1的正六边形边上相异的三点，则AB BC ⋅的取值范围是________．【答案】94,16⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】一方面224BA BC BA BC ⋅≤⋅≤⨯= ，而,,A B C 不重合，所以4BA BC ⋅<；另一方面，设AC中点为M ，那么224AC BA BC BM⋅=-，设A 在六边形的端点上，同理妨设C 在六边形的端点上.分四种情况即可得916BA BC ⋅≥- ，剩下的只需证明何时取等并且BA BC ⋅ 可以遍历9,416⎡⎫-⎪⎢⎣⎭中的每一个数.【详解】首先，224BA BC BA BC ⋅≤⋅≤⨯=，这里2是最长的那条对角线的长度，等号取到当且仅当,BA BC同向，且||||2BA BC ==，而这意味着,A C 重合，矛盾.所以4BA BC ⋅<.另一方面，我们先舍弃,,A B C 互不重合的条件，然后证明916BA BC ⋅≥- ：设AC 中点为M ，那么224AC BA BC BM ⋅=- ，然后，设A 所在的边的端点为12,A A ，则()12min ,BA BC BA BC BA BC ⋅≥⋅⋅，（这是因为，记12(1)OA t OA tOA =-+，其中O 为原点，确定的()BA BC f t ⋅= ，那么()f t 是一次函数，从而t 属于[]0,1时，有()()()()min 0,1f t f f ≥）所以我们可以不妨设A 在六边形的端点上.同理，我们可以不妨设C 在六边形的端点上.此时分以下四种情况：(1),A C 重合，此时220004AC BA BC BM⋅=-≥-= ，(2),A C 为相邻顶点，此时22110444ACBA BC BM ⋅=-≥-=- ，(3),A C 相隔一个顶点，此时22339416416AC BA BC BM ⋅=-≥-=- ，(4),A C 为对径点，此时22311444AC BA BC BM ⋅=-≥-=- ，综上，916BA BC ⋅≥- ，所以，即使去掉,,A B C 互不重合的条件，我们仍有916BA BC ⋅≥- ，这就说明，,,A B C 互不重合时，有9416BA BC -≤⋅<，然后，取等条件如图所示：具体说明如下：构造一个[]0,1到六边形的函数(),(),()A t B t C t （即从数映射到点），使得111222((0),(0),(0))(,,),((1),(1),(1))(,,)A B C A B C A B C A B C ==，并且只沿着最近的轨道，这样在01t ≤<的情况下，()(),(),A t B t C t 互不重合同时设()()()()()g t B t A t B t C t =⋅，那么9(0),(1)416g g =-=，而()g t 连续，所以在01t ≤<的情况下，()g t 必定取遍9,416⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，这就意味着，BA BC ⋅ 的取值范围就是9,416⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，所以AB BC ⋅ 的取值范围是94,16⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：94,16⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：关键是先舍弃,,A B C 互不重合的条件，然后分类讨论说明916BA BC ⋅≥- ，由此即可顺利得解.16.已知三棱锥-P ABC 中，232PA BC ==，45APC ∠= ，PA PB ⊥，二面角A PC B --的余弦值是33-．则当三棱锥-P ABC 的体积最大时，其外接球的表面积是________．【答案】36π【解析】【分析】先根据()()MA NB MP PA NP PB⋅=+⋅+展开计算求出MA NB ⋅，再代入cos ,3MA NB MA NB MA NB⋅==-⋅可得60NPB ∠= ，进而分析出要要体积最大，则PBC S 最大，利用基本不等式得到PB PC =，过O 作面β的垂线，则三棱锥-P ABC 的外接球球心必在该垂线上，根据PO AO =列方程求出半径即可.【详解】如图：平面APC 即平面α，平面BPC 即平面β，即二面角PC αβ--的余弦值为3-，过A 作AM PC ⊥，垂足为M ，过B 作BN PC ⊥，垂足为N ，则cos ,3MA NB =-，又PA =，45APC ∠= ，则3AM MP ==，设NPB θ∠=则()()MA NB MP PA NP PB MP NP MP PB PA NP PA PB⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅33cos 2NP PB θ=--⨯3333NP NP NP NP =--=- ，所以3cos ,33NP MA NB MA NB MA NB NB -⋅===-⋅，即3NP NB= ，所以tan NBNPθ== ，则60NPB θ∠== ，过A 作面β的垂线，垂足为E ，连接EM ，则sin ,3AE AM MA NB ===，即三棱锥-P ABC 当以A，要体积最大，则PBC S 最大，13·sin 60·24PBC S PB PC PB PC =︒= ,要PBC S 最大，则需·PB PC 最大，在PBC 中，222222cos 602BC PB PC PB PC PB PC PB PC PB PC PB PC PB PC=+-⋅=+-⋅≥⋅-⋅=⋅ 所以29PB PC BC ⋅≤=，当且仅当PB PC =时等号成立，此时PBC 为等边三角形，即3PB PC BC ===，又3MP =，所以,M C 重合，图形如下：设PBC 的中心为O '，连接,EO CO ''在EO C ' 中，333EC AC ==，323323CO '=⨯⨯=，120ECO '∠= ，所以3EO '=，过O '作面β的垂线，则三棱锥-P ABC 的外接球球心必在该垂线上，设为点O ，设球的半径为r ，则PO AO =，所以22226r PO r EO ''-+-=即22396r r -+-=，解得3r =，所以外接球的表面积是24π6π3r =.故答案为：36π【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用cos ,MA NB MA NB MA NB⋅=⋅求出NPB ∠的大小，然后设出球心，列方程求出半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为23，输掉的概率为13，每局的比赛结果互不影响．（1）求甲最终获胜的概率；（2）记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）1808 2187（2）分布列见解析；期望为4012 729【解析】【分析】（1）借助相互独立事件的概率乘法公式计算即可得；（2）求出X的所有可能取值及其对应概率即可得分布列，借助期望公式计算即可得其数学期望.【小问1详解】因为甲四局比赛后获胜的概率为4216 381⎛⎫=⎪⎝⎭，甲五局比赛后获胜的概率为4342164C 33243⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，甲六局比赛后获胜的概率为4235 21160C 33729⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，甲七局比赛后获胜的概率为433621320C 332187⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲最终获胜的概率166416032018088124372921872187 P=+++=；【小问2详解】X的所有可能取值是4，5，6，7，因此有442117 (4)3381P X⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(5) P X==443344 21128C C 333327⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(6) P X==42423355 2112200C C 3333729⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(7)P X ==434333662112160C C 3333729⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则随机变量X 的分布列为：X4567P1781827200729160729于是()178200160401245678127729729729E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以随机变量X 的数学期望是4012729.18.已知{}n p 是所有素数从小到大排列而成的数列，满足12p =，23p =．（1）比较50p 和150的大小，并说明理由；（2）证明：2221211112n p p p +++< ．【答案】（1）50150p >，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，探讨不超过150的正整数中含有因数2或3或5的合数个数即可推理得证.（2）由已知可得21n p n >-，利用放缩法，结合裂项求和法求和即得.【小问1详解】50150p >，理由如下：对于1150,k k *≤≤∈N ，满足是2的倍数，或是3的倍数，或是5的倍数的整数k 的个数是150150150150150150150[][][][][[[235232535235k N =++---+⨯⨯⨯⨯⨯110=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1到150中合数的个数大于1103107-=，因此对于[]1,150m p ∈，有15010743m <-=，又{}n p 是单调递增数列，所以5043150p p >>.【小问2详解】由21n p n >-，得22(21)4(1)n p n n n >->-，则当1n =时，2111142p =<，不等式成立，当2n ≥时，211111()4(1)41n p n n n n<=---，因此2111111111111(1)442231242ni i p n n n =<+-+-++-=-<-∑成立，所以原不等式对n *∀∈N 恒成立.19.已知ABC 是斜三角形．（1）证明：222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=；（2）若cos 2cos 22cos 22A B C ++=-，求tan C 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）)+∞【解析】【分析】（1）根据积化和差与和差化积公式，二倍角的余弦公式化简即可得证；（2）根据（1）及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系，均值不等式求解.【小问1详解】因为2cos cos cos 2cos cos cos()πA B C A B A B =--[cos()cos()]cos()A B A B A B =-++-+()()()2cos cos cos C A B A B =----+()21cos cos 2cos 22C A B =--+22211cos cos cos 22C A B ⎛⎫=---+-⎪⎝⎭()2221cos cos cos A B C =-++，所以222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=，原式得证.【小问2详解】由cos 2cos 22cos 22A B C ++=-，由二倍角的余弦公式可整理得：22222(cos cos cos )3(2cos 1)2A B C C ++-+-=-．结合（1）得212cos cos cos 1cos A B C C -=-．由题设知cos cos cos 0A B C ≠，则2cos cos cos cos()sin sin cos cos A B C A B A B A B ==-+=-．所以3cos cos sin sin A B A B =，故tan tan 3A B =，且π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．所以tan tan tan tan tan tan()tan tan 12A B A BC A B A B ++=-+==-≥=(当且仅当tan tan A B ==时取等)．所以tan C 的取值范围是)+∞．20.如图，圆锥SO 的底面半径为2，高SO =,,A B C 为底面圆周上三点，且2AC =．P 是线段SB 的中点，满足OP AC ⊥．（1）求三棱锥S ABC -的体积；（2）记二面角S AC P --的大小为α，二面角S PC A --的大小为β．求sin sin αβ+的值．【答案】（1）4363+（2【解析】【分析】（1）根据题意判断出OB AC ⊥，进而求出ABC 的面积，从而得出三棱锥S ABC -的体积；（2）建立空间直角坐标系，依次求解出二面角S AC P --、二面角S PC A --即可.【小问1详解】解：因为SO 为高，所以SO ⊥平面ABC ，所以SO AC ⊥，因为OP AC ⊥，且OP SO O = ，OP SO ⊂，平面SOB ，所以AC ⊥平面SOB ，OB ⊂面SOB ，所以AC OB ⊥，延长OB 交AC 于H ，则BH 垂直平分AC ，故OH ==2HB =+所以(12222ABC S =⨯⨯+=+所以(16233S ABC V -+=⨯+⨯=；【小问2详解】以O 为原点，OH 、AC 、OS为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,S，)1,0A-，)C，()2,0,0B -，(P -，则()0,2,0AC =，1,SA =--，(1AP =--，(1,0,SP =-，SC =-，设平面SAC 的法向量为()1111,,n x y z = ，则110n AC n SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111200y y =⎧⎪--=，令11z =，故()12,0,1n =，设平面PAC 的法向量为()2222,,n x y z = ，则2200n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(22222010y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令21z =，故2n ⎛⎫=⎪⎪⎭，所以121212cos ,n nn n n n ⋅==⋅sin α=设平面SPC 的法向量为()3333,,n x y z = ，则3300n SP n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333330x y ⎧--=⎪+-=，令31z =，故()3n =+，所以232323cos ,n nn n n n ⋅==⋅=，所以sin β===所以sin sin αβ+==.21.已知双曲线22122:1x y C a b-=上有一点()A ，1C 在点A 处的切线为0x =．（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设椭圆2222:1,24x y C m m+=≠±．过点A 作椭圆2C 的两条切线,AM AN ，切点为,M N 直线,AM AN分别交双曲线1C 于点,PQ ．证明：直线PQ 过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见解析，定点)【解析】【分析】（1）由()A 在双曲线上，得到22811a b-=，再由1C 在点A 处的切线为0x =，与双曲线方程联立，利用判别式为零求解；（2）不妨设,AM AN 的方程分别为(11y k x =-+与(21y k x =-+，与椭圆方程联立，由相切，利用判别式为零，得到12,k k是方程22410k m -+-=的两不等实根，利用韦达定理得到12k k +，取122k k ==，得直线:12PQ y x =-过点)．再设过点)且不与x 轴重合的直线l 交1C 于点','P Q，其方程为x ty =+，与1C方程联立，再论证直线''AP AQ k k +=即可.【小问1详解】由()A 在双曲线上，得22811a b-=．联立22221,0,x y a b x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩得22222214210y y a b a a ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭．由相切知方程中422216221Δ410a a a b ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．于是解得2241a b ⎧=⎨=⎩所以双曲线1C 的方程是2214xy -=．【小问2详解】容易知道直线,AM AN 的斜率存在，如图所示：不妨设,AM AN的方程分别为(11y k x =-+与(21y k x =-+．联立(22211,41,x y m y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()()2222211114814140m kx k x m++-+--=．由相切知()()()2222221111Δ64116410km km ⎡⎤=--+--=⎢⎥⎣⎦，整理得2211410k m -+-=．同理有2222410k m -+-=．又12k k ≠，故12,k k是方程22410k m -+-=的两不等实根．由韦达定理得12k k +．取122k k ==，得直线:12PQ y x =-过点)．取122121,22k k -==，得直线PQ 与x 轴重合，则所求定点在x 轴上．所以定点)是必要的，下证其充分性：设过点)且不与x 轴重合的直线l 交1C 于点','P Q，其方程为x ty =+联立221,4x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=⎩得22(4)20t y -+-=，其中2t ≠±．由韦达定理得122122,42.4y y t y y t ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩而直线','AP AQ的斜率分别为'1k =='2k =．所以''12k k +=22224)4)242(4)t t t t t t -++-=-++-=于是充分性得证．综上，直线PQ过定点)．22.已知函数()ln(1)f x a x a =--∈R.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；。
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数 学选择题部分（共40分）一、选择题1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U AB ð=A ．{}1-B ．{}0,1?C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 AB ．1CD ．23．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z =3x +2y 的最大值是A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到到柱体体积公式V柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．325．若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y =1xa ，y =log a (x +)，(a >0且a ≠0)的图像可能是7．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时 A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小D ．D （X ）先减小后增大8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则 A ．a <-1，b <0B ．a <-1，b >0C ．a ＞-1，b ＞0D ．a ＞-1，b <010．设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ,则A ．当b =，a 10＞10B ．当b =，a 10＞10C ．当b =-2，a 10＞10D ．当b =-4，a 10＞10非选择题部分二、填空题 11．复数11iz =+（为虚数单位），则||z =___________. 12．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是.若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____， =______.13．在二项式9)x 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______.14．在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.15．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 16．已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得到2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数的最大值是____.17．已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________，最大值是_______. 三、解答题18.（本小题满分14分）设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求的值 （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域. 19.（本小题满分15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.20.（本小题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列. （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N21.（本小题满分15分）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得到ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的标准方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.22.（本小题满分15分）已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex ∈+∞均有()2f x a ≤ 求的取值范围. 注：e=2.71828…为自然对数的底数.答 案一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．D7．D8．B9．C10．A二、填空题 11．212．- 13． 14．5101516．4317．0,三、解答题 18．（I ）∵()sin()f x x θθ+=+是偶函数，∴对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， ∴cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （Ⅱ）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎝⎭π1223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[122-+． 19．方法一：（I ）连接A 1E ，∵A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，∴A 1E ⊥A C. 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， ∴，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC . 又∵A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F . ∴BC ⊥平面A 1EF . 因此EF ⊥B C.（Ⅱ）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故AE 1⊥EG ，∴平行四边形EGFA 1为矩形． 由（I ）得到BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， ∴EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上.连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）.不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E EG .由于O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===， ∴2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：连接A 1E ，∵A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，∴A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，∴，A 1E ⊥平面ABC .如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz .不妨设AC =4，则A 1（0，0，B1，0），1B，3,2F ，C (0，2，0).因此，33(,22EF =，(BC =． 由0EF BC ⋅=得到EF BC ⊥． 20．（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得到11124,333a d a d a d +=+=+，解得到10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得到()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得到()2121n n n n b S S S d++=-． ∴2*,n b n n n=+∈N ．（Ⅱ）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（1）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（2）假设()*n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++<．那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<==．即当1n k =+时不等式也成立．根据（1）和（2），不等式12n c c c +++<对任意*n ∈N 成立．21．（I ）由题意得到12p=，即p =2. ∴，抛物线的准线方程为x =−1.（Ⅱ）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得到 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，∴212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t -+=，得到242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得到()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Ac t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=--=+++++….当m =12S S取得到最小值12+，此时G （2，0）.22．（Ⅰ）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-=， ∴，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（Ⅱ）由1(1)2f a≤，得到04a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥，则()2ln g t g x ≥=．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x ==. 故∴，()(1)0p x p ≥= ．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭…．由（i ）得到11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴，()<0q x ．因此()0g t g =>…．由（i ）（ii ）得到对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a …．综上所述，所求a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．。