05三角分解法
矩阵分析与计算--05-矩阵分解-02-Schur、SVD
A1 11
由于 1 1, 故1可扩展成C n空间的一组标准正交基，令
U1 1 , 2 ,
,n
则U1为酉矩阵，并且
AU1 A 1 , 2 , 11 , A 2 ,
, n A1 , A 2 , , A n
, A n
设A (aij ) C nn 为Hermite矩阵
a11 a12 Ak a1k a12 a22 a2 k a1k a2 k akk
k det Ak
(k 1,
, n)
（4）A是Hermite正定矩阵 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则 k det Ak 0 (k 1, , n)
矩阵的三角分解法
矩阵的三角分解法矩阵的三角分解法是一种用于将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
这种分解方法可以帮助我们更好地理解和解决矩阵相关的问题。
下面我将按要求逐段解释这个问题。
1. 什么是三角分解法三角分解法是一种将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
在三角分解中，我们将原始矩阵分解为两个三角矩阵，一个是上三角矩阵，另一个是下三角矩阵。
上三角矩阵的主对角线以下的元素全为零，而下三角矩阵的主对角线以上的元素全为零。
这种分解法在解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题中非常有用。
2. 如何进行三角分解三角分解的具体过程是通过一系列的行变换将原始矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵。
这些行变换包括行交换、行缩放和行替换等操作。
首先，我们选择一个主元素，通常是第一行第一列的元素。
如果主元素为零，则需要进行行交换，将一个非零元素移动到主元素的位置。
然后，我们使用行缩放操作，将主元素所在列的其他元素变为零。
具体操作是将主元素所在行的每个元素除以主元素的值，然后将结果乘以其他行的主元素所在列的元素，并将其减去相应的行。
重复以上步骤，直到得到上三角矩阵或下三角矩阵。
最后，我们可以将得到的上三角矩阵和下三角矩阵合并为一个新的上三角矩阵或下三角矩阵。
3. 三角分解的应用领域有哪些三角分解法在数值计算和线性代数中有广泛的应用。
它可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题。
在求解线性方程组时，我们可以将系数矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后使用回代法或前代法来求解方程组。
这样可以简化计算过程，提高求解的精度和效率。
在计算矩阵的行列式时，我们可以通过三角分解将矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后将主对角线上的元素相乘即可得到行列式的值。
这种方法比直接计算行列式的方法更简单、高效。
在求解矩阵的逆时，我们可以将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后通过对分解得到的上三角矩阵和下三角矩阵进行反向的行变换，得到原始矩阵的逆矩阵。
2019一基本的三角分解法LU分解.ppt
A的第r行元素主对角线以右元 素arj ( j r,, n)为
r
arj lrkukj k 1
j r,,n r 1,2,, n
同样
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i r 1,, n)为
r
air lik ukr k 1
i r 1,, n r 1,2,, n 1
设 A LU
即 a1 c1
b2 a2 c2
p1 b2 p2
1 q1
1 q2
b3
bn1 an1 cn1
pn1
1 qn1
bn
an
bn
pn
解Ly b,得
y1 b1
j 1
yr br lrj y j
r1
y1 y2 y3 y4 T 10 20 17 /11 16T
解Ux y,得
x1 x2 x3 x4 T 1 2 3 4T
xn
yn unn
n
yr urj x j
xr
jr1
L的第r列 ------(4)
称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为LU分解
对于线性方程组
Ax b
系数矩阵非奇异,经过LU分解后
A LU
线性方程组可化为下面两个三角形方程组
Ly b
Ux y
y为中间未知量向量
1
l21
1
L
l31
l32
三角分解法解方程组
三角分解法解方程组三角分解法是一种用于求解线性方程组的数值方法。
这种方法通常被称为高斯消元法，它是由卡尔·高斯在19世纪提出的。
在三角分解法中，我们首先将线性方程组转化为一个三角矩阵的形式，然后使用递推的方法求解方程组。
假设我们有一个n元线性方程组，其中有n个未知数，则线性方程组可以表示为：a11x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2 … an1x1 + an2x2 + … + ann*xn = bn要使用三角分解法求解这个方程组，我们需要将方程组转化为一个三角矩阵的形式，并使用递推的方法求解。
首先，我们要使用高斯消元法将方程组转化为上三角矩阵的形式，这样就可以使用递推的方法求解了。
具体来说，我们需要进行如下步骤：1.对于第一个方程，我们将a11变为1，然后将其余的系数除以a11。
2.对于第二个方程，我们将a22变为1，然后将其余的系数除以a22，并将a21乘上第一个方程的系数a12。
3.对于第三个方程，我们将a33变为1，然后将其余的系数除以a33，并将a31和a32乘上第一个和第二个方程的系数a12和a22。
以此类推，直到我们消去了所有的系数，并使得方程组的系数矩阵变为一个上三角矩阵。
这样，我们就可以使用递推的方法来求解方程组了。
具体来说，我们从最后一个方程开始递推，并使用已知的xn的值来解出xn-1的值，然后再使用xn-1的值来解出xn-2的值，以此类推，直到解出x1的值。
例如，假设我们已经将方程组转化为了如下形式：a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 0x1 + a22x2 + a23x3 = b2 0x1 + 0x2 + a33*x3 = b3那么我们可以使用递推的方法求解方程组，具体来说：使用已知的x3的值来解出x2的值：x2 = (b2 - a23*x3) / a22使用已知的x2的值来解出x1的值：x1 = (b1 - a12x2 - a13x3) / a11这样，我们就可以使用三角分解法求解方程组了。
一基本的三角分解法LU分解
0 0 u33 u34 0 0 3 /11 2 /11 lir
k 1
urr
0 0 1 l43 T 0 0 1 9T
0 0 0 u44 0 0 0 4
解Ly b,得
y1 b1
j 1
yr br lrj y j
r1
y1 y2 y3 y4 T 10 20 17 /11 16T
li 1
ai 1 l11
r 1
lrr arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
lir
k 1
lrr
i 2,3, , n -------------(4)
r 2, ,n
i r 1, , n
对于线性方程组 Ax b
-------------(5)
其中A为n阶对称正定矩阵 则存在主对角元为正数的下三角阵L, 使得
u1r
urr
u1n
urn
unn
证明略
根据矩阵的乘法原理
,
A的第一行元素
a1
为
j
a1 j u1 j j 1,2, , n A的第r行元素主对角线以右元 素arj ( j r, , n)为
同样
r
arj lrkukj k 1
j r, ,n r 1,2, , n
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i r 1, , n)为
1 l21 l31 l41 T 1 1.5 0.5 2T 0 u22 u23 u24 0 11 12 8.5
u1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
r 1
urj arj lrkukj k 1
0 1 l32 l42 T 0 1 3 /11 6 /11T
05 极值法-高中物理八大解题方法 Word版含解析
高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。
本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。
一、 二次函数求极值二次函数aacb a b x ac bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。
例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。
设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。
第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。
碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。
假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。
回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。
高中数学解三角形ppt课件
证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看
对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。
考点05 受力分析(三)力大小的计算(解析版)
考点05 受力分析（三）——力的大小的计算1.掌握力的计算公式2.掌握求解平衡问题中力的大小的两种方法（矢量三角形、正交分解法）3.掌握求解非平衡问题中力的大小方法4.能利用牛顿第三定律求解力的大小力大小的计算主要有三种方法：公式法、力学方程、牛顿第三定律，这三种计算力的大小方法中，采用运动状态寻找力学关系，列方程式求解这一类型（第二类）的题目较多，本专题也是重在强化这一类型的训练。
具体情况如下:（一）公式法（二）结合运动状态，采用力学方程计算1.平衡状态（1）平衡状态的类型：①匀速运动；②静止；（2）平衡状态下物体的受力特点：F合=0（3）处理方法①矢量三角形：若物体受到三个力F 1、F 2、F 3处于平衡状态，一般采用矢量三角形中的三角函数来表示各个力的关系②正交分解法：若物体受到多个力F 1、F 2、F 3…F n 处于平衡状态，一般采用正交分解法，可列出的力学方程为： 在x 轴,ΣF X =0；在y 轴，ΣFX =02.非平衡状态非平衡状态求力的大小的解决方法多数情况下采用正交分解法，物体在非平衡状态对应的坐标轴上的力学方程为：F 合=ma（三）利用牛顿第三定律计算计算力的大小时可以采用作用力与反作用力的规律，通过转换受力对象来求解力的大小例1.（2019·原创经典）如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心．一质量为 m 的小滑块，在水平力 F 的作用下静止于P 点，OP与水平方向的夹角为θ.则（ ）A.推力F 大小为mg/tanθB.推力F 大小为mgtanθC.若推着物体向上匀速滑动，F N 增大D.若推着物体向上匀速滑动，F N 将减小【答案】 AC【解析】本题考查应用矢量三角形、动态三角形解决平衡问题由题意可知，小滑块处于平衡状态，且它受力个数为3个，可采用矢量三角形来表示三个力间的力学关系。
滑块的受力示意图如图1，将三个力平移后构成下图2虚线所示的矢量三角形，则推力F 与重力的力学关系为：tanθ=mg/F ，所以F=mg/tanθ，A 对，B 错；若推着物体向上滑动，矢量三角形的最右端的顶点将沿水平虚线向右移动，FN 、F 对应的边在增大，所以FN 、F 两个力均增大，C 对，D 错。
三角恒等变换
综合练习题
● 题目：求证 sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ 解析：利用三角函数的加法公式，将左边展开，与右边进行比 较，得出结论。
● 解析：利用三角函数的加法公式，将左边展开，与右边进行比较，得出结论。
● 题目：已知 cos(α + β) = 1/3，cos(α - β) = 2/3，求 tanαtanβ 的值 解析：利用三角函数的加法公式和减法 公式，将已知条件代入，解出 tanαtanβ 的值。
公式形式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny 公式证明：利用三角函数的和差化积公式证明 应用场景：在三角函数图像变换、求解三角函数方程等问题中广泛应用 注意事项：使用时需要注意x、y的取值范围，避免出现错误的结果
三角恒等变换的 技巧和方法
代数恒等变换方法
代数恒等变换的定义和性质
交流电分析：在交流电 的分析中，三角恒等变 换用于计算交流电的相 位和幅度，以及进行电 路分析。
振动分析：三角恒等变 换用于描述简谐振动的 合成与分解，以及分析 复杂振动的模式。
光学应用：在光学中， 三角恒等变换用于描述 光的干涉和衍射现象， 以及分析光学仪器的性 能。
三角恒等变换在实际问题中的应用
三角函数在解析几何中的应用，例如求解极坐标方程、圆和椭圆的参数方程等。
三角函数在求解微分方程中的应用，例如求解振动问题、波动问题等。 三角恒等变换在信号处理中的应用，例如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。 三角恒等变换在复数运算中的应用，例如求解复数方程、进行复数运算等。
三角恒等变换的 注意事项和易错 点
● 解析：利用三角函数的加法公式和减法公式，将已知条件代入，解出 tanαtanβ 的值。
三角形分解法
三角形分解法三角形分解法是一种几何分解技术，用于将一个复杂的三角形分解为更简单的三角形或其他几何形状，以便更容易进行计算或研究。
这种方法通常在解决三角形相关的数学问题或应用中使用。
1. 三角形分解的基本思想是将一个三角形划分为多个小的三角形，这些小三角形具有特定的性质或形状，从而使得问题的求解更加简单。
分解的方法可以根据具体问题的要求来选择。
2. 一种常见的三角形分解方法是通过连接三角形的顶点与中点来构造中位线。
中位线将三角形分解为三个相似的小三角形，每个小三角形的面积是原三角形面积的1/4。
这种分解方法可以用于计算三角形的面积、周长、角度等问题。
3. 另一种常见的三角形分解方法是使用高度线。
通过从三角形的顶点向底边引垂线，将三角形分解为两个相似的小三角形和一个矩形。
这种分解方法可以用于计算三角形的高度、面积、角度等问题。
4. 此外，三角形分解还可以应用于其他几何性质的研究。
例如，可以将一个等边三角形分解为多个小的等腰三角形，从而探索等边三角形的性质。
类似地，可以将一个直角三角形分解为多个小的直角三角形，以研究直角三角形的性质。
5. 三角形分解法的应用范围很广，不仅限于数学领域。
在工程、建筑、地理等领域中，三角形分解法常用于地形测量、结构分析、地图绘制等问题的解决。
通过将复杂的地形或结构分解为小的三角形或其他几何形状，可以更准确地进行计算和研究。
总结起来，三角形分解法是一种将复杂的三角形分解为更简单的三角形或其他几何形状的技术。
通过分解，可以使问题的求解更加简单和准确。
这种方法在数学和其他领域中都有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
直接三角分解法
• 直接三角分解法简介 • 直接三角分解法的算法原理 • 直接三角分解法的实现过程 • 直接三角分解法的应用案例 • 直接三角分解法的优化与改进
01
直接三角分解法简介
定义与特点
定义
高效
直接三角分解法是一种线性代数中的方法 ，用于将一个矩阵分解为一个下三角矩阵 和一个上三角矩阵的乘积。
计算分解矩阵
根据所选方法计算出左奇 异矩阵、右奇异矩阵和奇 异值矩阵。
提取关键信息
从分解矩阵中提取关键信 息，如主成分或特征向量， 用于后续分析。
结果
可视化结果
将分解结果以图表、图像等形式呈现，便于直观 理解。
量化分析
对分解结果进行量化分析，如计算各主成分的贡 献率或方差解释率。
决策建议
根据分析结果提供决策建议，指导后续工作。
图像修复
通过直接三角分解法，可以将图像中的损坏或缺失部分进行修复或替 换，从而得到完整的图像。
05
直接三角分解法的优化与改进
算法优化
减少计算量
通过选择合适的算法和数据结构，减少不必要的计算和重复计算， 提高算法的效率。
并行化处理
将算法中的计算任务分解为多个子任务，并利用多核处理器或多 线程技术并行处理，加快计算速度。
利用三角分解法，可以方便地计算矩阵的逆和行列式，对于解决一些数学问题具有重要意义。
在机器学习中的应用
矩阵分解
在推荐系统和协同过滤等机器学习算法中，矩阵分解是一种常见的方法。通过直接三角分 解法，可以将矩阵分解成低秩矩阵和稀疏矩阵，从而更好地表示用户和物品之间的关系。
降维处理
在处理高维数据时，直接三角分解法可以用于降维处理，将高维数据投影到低维空间，保 留主要特征，降低计算复杂度。
线性代数方程组的解法——金靖翰
线性代数方程组的解法金靖翰 2021.3.27摘 要： 本文论述了线性代数方程组的几种解法.关键词： 线性代数方程组；高斯消元法；列主元消元法；三角分解法；杜立特尔分解法；迭代法；雅可比迭代法；高斯-赛德尔迭代法1引言在工科中，经常会碰到求数学模型的问题.但是在大多数的情况下，想要得到问题的准确性是比较艰难的.因此，探究数学问题的近似解法是很有必要的.目前，解线性代数方程组在计算机上常用的的方法大致把它分为两类：“直接法”与“迭代法”.在线性代数中曾指出n 阶线性代数方程组有唯一的解，并且可以用克拉默法则求方程组的解，初次看来问题已经解决，但从使用效果看并不是这样的.因为求n 阶线性代数方程组，如果用克拉默法则，需要计算1n +个n 阶行列式，每个n 阶行列式为!n 项之和，每项又是n 个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达()()1!1n n n +⋅⋅-次，当n 较大时，它的计算量是非常惊人的.因为现在所碰到的很多问题都需要很大的计算量，故需要好用的算法来求解.在工科中，很多问题都归纳为求线性方程组AX b =的解.本文将着重介绍线性代数方程组的几种解法.首先简单介绍消元过程、回代过程、向量矩阵的范数和迭代过程，其次主要通过介绍高斯消元法、列主元消元法、雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法来解线性代数方程组.其中用消元过程和回代求解的思想介绍高斯消元法和列主元消元法；利用范数和迭代过程介绍雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，再介绍范数与迭代收敛的关系. 2预备知识为了很好的掌握几种线性代数方程组的解法，先来回顾一下回代过程和迭代过程.1111221n 122222,,n n n nn n na x a x a xb a x a x b a x b +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩ (1)是一个三角形方程组，当()01,2,,ii a i n ≠=有唯一解时，可以用反推的方式求解，也就是先从第n 个方程解得n n nn x b a =， (2) 然后代入第1n -个方程，可得到()111,1,1n n n n n n n x b a x a -----=-， (3) 如此继续下去，假设已得到n x ，1n x -，,1k x +,代进第k 个方程即得k x 的计算1n k k kj j kk j k x b a x a =+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，()1,2,,1k n n =-- (4)上述求解的过程叫做回代过程.定义1[1](向量的范数) 若向量nX ∈的某个实值函数()=N X X （记）满足（1） X 是非负的，即0X ≥且0X =的充要条件是0X =; （2）X 是齐次的，即 X X αα=()α∈;（3） 三角不等式，即对,nX Y ∈，总是有X Y X Y +≤+.那么n上向量X 的范数（或模）就是()N X X =.下面给几个最常遇到的向量范数. 向量X 的“1”范数：121n X x x x =+++ (5)向量X 的“2”范数：()122222nX x x x =+21+ (6)向量X 的∞范数：1max i i nXx ∞≤≤= (7)例1 设()1,2,3TX =--求1X ,2X ,X ∞.解 由式（5）,（6）及（7）知11236X=+-+-= 2X=={}max 1,2,33X∞=--=.定义2 若矩阵n nA ⨯∈的某个实值函数()=N A A （记）满足（1） A 是非负的，即0A ≥且0A =的充要条件是0A =; （2） A 是齐次的，即 A A αα= ()α∈;（3） 三角不等式，即对,n nA B ⨯∈总有A B A B +≤+;（4） 矩阵的乘法不等式，即对,n nA B ⨯∈总有AB A B ≤，那么称()N A A =为n n⨯上矩阵A 的范数（或模）.表 1是矩阵ij n nA a ⨯⎡⎤=⎣⎦几个常用算子范数的定义与算式.表 1例2 设4312A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A ,2A ,A ∞. 解 由1A 的计算公式立即可得{}1max 5,55A ==，由A ∞的计算公式可得{}max 7,37A ∞==.又因4312A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,可得4132T A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,所以17101013TA A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,可以求得T A A的特征值1λ2λ，故2 5.0198A =≈.例3 设2413A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,1=2X ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 求1X ,2X ,X ∞及1A ,2A ,A∞.范数名称 记号 定义计算公式“1”范数（又名列模）1A 101maxnX X AX X ≠∈11max nij j ni a ≤≤=∑“2”范数（又名谱模）2A202maxnX X AX X ≠∈“∞”范数（又名行模）A ∞0maxnX X AX X∞≠∞∈11max nij i nj a ≤≤=∑解 由1A 的计算公式立即可得{}1max 11A ==，由A ∞的计算公式立即可得{}max 1,22A ∞==又因2413A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可知2143TA ⎛⎫= ⎪--⎝⎭所以可得出5111125T A A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭由0T E A A λ-=，解得T A A 的特征值 =16λ±因此由表 1可得2 6.69A =≈.因12X ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,所以()1,2TX =-，由公式（5）可得1123X =+-=，由公式（6）可得2X==由公式（7）可得{}=max 1,22X∞-=.如果解一个线性方程组AX b =（其中A 为n 阶的非奇异的矩阵，b 为n 元的非零的向量），可参照用迭代法求非线性方程的近似根的办法，先将方程组AX b =转化为等价的方程组X BX f =+， （8） 然后再从某个初始向量()()()()000012,,,TnXx x x =出发，通过计算()()()1 0,1,2,k kX BX f k +=+= （9）构造一个向量序列()}{k X ，其中()()()()()12,,,Tk k k k nX x x x =. 如果这个向量收敛于向量*X （即()*lim kk X X →∞=，也就是()*lim ki i k x x →∞=对1,2,,i n =都是成立的，其中*i x 是向量*X 的第i 个分量），则由（9）知**X BX f =+.（10）这说明()}{k X 的极限*X 就是方程组AX b =的解向量，这时候在给定允许的误差内，只要k 适当的大,()k X 就可以作为方程组在满足精度要求条件下的近似解.这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代解法，其中B 称为迭代矩阵，公式（9）称迭代公式（或迭代过程）,由迭代公式得到的序列()}{k X 叫做迭代序列.如果迭代的序列是收敛的，则称为迭代法收敛；如果迭代的序列是不收敛，则称它是迭代法发散.定理3 设()()()()()111112,,,,n n n ij n A a b b b b T⨯⎡⎤=∈=∈⎣⎦.如果约化主元素()0k kka ≠ ()1,2,,k n =，则可以利用高斯消元的方法把方程组AXb =约化成三角形方程组()()()()()()()()()1111111211122222222n n n n n nn n a a a b x x a a b x a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦来求解，其计算公式如下：（1）消元计算：对1,2,1k n =- 依次计算()()()()()()()()()()()111,2,,,,1,2,,,1,2,,.k k ik ik kkk k k ijij ik kj k k k i i ik k m a a i k k n a a m a i k k k n b b m b i k k n ++⎧==++⎪⎪=-=++⎨⎪=-=++⎪⎩（2）回代计算：()()()()()()1,1,2,,1.n n n n nn n i i i i iij j ii j i x b a x b a x a i n n =+⎧=⎪⎛⎫⎨=- ⎪⎪⎝⎭⎩=--∑ 3用高斯消元法与列主元消元法解线性代数方程组3.1 高斯消元法解方程组AX b =用高斯消元的方法求线性代数方程组的解的整个计算过程可分为两个环节，也就是利用按照次序消去未知数的方法，把原来的方程组转化成跟它同解的三角形方程组（这个转化的过程叫消元过程），再通过回代过程求三角形方程组的解，最终得到原来方程组的解.其中按照方程的顺进行消元的高斯消元法，又叫顺序消元法.例4 用高斯（Guass ）消元法解方程组123123123632723x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩ ③①②. 解 先用方程②③消去1x ，也就是把方程①乘以-1加到方程②，然后将方程①乘以-2加到方程③，最后得1232323 6 23 1 49 x x x x x x x ++=⎧⎪-=⎨⎪--=-⎩①④⑤再将方程④从方程⑤中消去2x ，也就是把方程④乘以2加到方程⑤上，保留原来的方程①，④得到三角形的同解方程组123233623177x x x x x x ++=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩然后回代来求解，即得31x =， 22x =， 13x =.例5 用高斯（Guass ）消元法求解123123123 6 32 1 22 1 x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩①②③. 解 先用方程①从②，③中消去1x ，也就是将①式乘以-1加到②式，将①乘以-2加到③式，然后得到1232323=6 23 5 411 x x x x x x x ++⎧⎪-=-⎨⎪--=-⎩①④⑤再用④式从⑤式中消去2x ，也就是把④式乘以2加到⑤式上去，然后得到同解方程组123233 6 23 5 721 x x x x x x ++=⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩①④⑥ 然后回代，求解可得33,x = 22x =， 11x =.3.2列主元消元法解方程组AX b =列主元消元法实际上是一种行交换的消元法，它跟顺序消元法比较而言，主要特点是在进行第k 次消元前，不管()k kk a 的值是否等于零，都在子块n k A -的第一列中选择一个元()k k i k a ，使()()=max k k k k i k i k k i na a ≤≤，并将()()b k k A ⎡⎤⎣⎦中的第k 行元与第k i 行元互相变换（相当于交换同解方程组()()k k A X b =中的第k 个方程），然后再进行消元计算得到结果.例6 用列主元消元法解方程组123121230.002220.40.78125 1.38163.996 5.562547.4178x x x x x x x x -++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩（要求计算过程取5位有效数字）.解 第一次消元(1)(1)0.002220.410.781250 1.38163.996 5.562547.4178A b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于列主元为(1)31a ，所以先行交换13r r ↔，然后进行消元，通过计算可得到(2)(2) 3.996 5.562547.417800.61077 1.00100.474710 2.0029 2.00200.40371A b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦第二次对(2)(2)A b ⎡⎤⎣⎦进行消元，因为列主元(2)32a ,所以先作行交换23r r ↔，然后再由消元可以得到(3)(3) 3.996 5.562547.41780 2.0029 2.00200.40371000.390500.35160A b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦由此回代，求得方程组的计算解为()1.9272,0.69841,0.90038TX =-.与5位有效数字的精确解()1.9273,0.69850,0.90042TX =-对比，计算的解是比较准确的.注：列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法[1]，但它计算简单，相对比全主元素法它的工作的量大大减少，并且从计算经验和理论分析都可以表明，它与全主元素法同样拥有很好的值稳定性，列主元素法是求解中小型浓密型方程组的最好的方法之一. 4用三角分解法解线性代数方程组 4.1 矩阵的三角分解定义4 把一个n 阶矩阵A 分解成两个三角矩阵相乘的形式称为矩阵的三角分解. 常见的矩阵三角分解是A LU =其中L 是下三角形的矩阵,U 是上三角形的矩阵.定理5[1]（矩阵三角分解基本定理）设n nA ⨯∈.若A 的顺序主子式det 0k A ≠()1,2,,k n =，那么存在唯一的杜利特尔分解A LU =其中L 是单位下三角形矩阵，U 为非奇异的上三角形矩阵.如果L 是单位下三角形的矩阵，U 是上三角形的矩阵，那么把这种分解法称为杜利特尔分解法，其中杜利特尔分解法是这种三角分解的一种特例，下面主要介绍利用杜利特尔分解法来求方程组的解.4.2 用杜利特尔分解法解线性代数方程组用杜利特尔分解法解方程组AX b =的步骤可以把它归纳为 （1）实现A LU =分解，也就是i. 按算式11i i u a = ()1,2,,i n = （11） 1111i i l a u = ()2,3,,i n = （12）依次计算U 的第一行元1(1,2,3,,)i u i n =与L 的第一列元()12,3,,i l i n =；ii. 对2,3,,k n =按算式11k ki ki kj ji j u a l u -==-∑ (),1,,i k k n =+ （13） 11k ik ik ij jk kk j l a l u u -=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ ()1,2,,,i k k n k n =++≠ （14）依次计算U 的第k 行元(),1,,ki u i k k n =+与L 的第k 列元()1,2,,,ik l i k k n k n =++≠. （2）求解三角形方程组LY b =，即按算式()1111 2,3,,k k k kj j j y b y b l y k n -==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑ 依次计算12,,,n y y y .（3）求解三角形方程组UX Y =，即按算式()1 1,2,,1n n nn n k k kj j kk j k x y x y u x u k n n =+=⎧⎪⎛⎫⎨=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩∑依次计算11,,,n n x x x -.例7 用杜利特尔分解法解方程组AX b =，其中2154112245A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 6157b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 按算式（11）计算U 的第一行元11112u a ==， 12121u a ==， 13135u a ==，再按式子1111i i l a u = ()2,3,,i n =计算L 的第一列元212111422a l u ===，313111212a l u -===- 对于2k =，按算式（13）,（14）计算U 的第二行元与L 的第二列元22222112=1211u a l u -=-⨯=- 2323211312252u a l u =-=-⨯=32233112224(1)1()31l a l u u ---⨯=-==-对于3k =,按算式（13）计算U 的第三行元()[]3333311332235(1)5324u a l u l u =-+=--⨯+⨯= 故100210131L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 215012004U ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦解LY b = 得16y =， 23y =， 34y =解UX Y = 得31x =， 21x =-， 11x = 故111X ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.例8 用杜利特尔分解法解AX b =，其中123214105A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 116b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.解 按算式（11）计算U 的第一行元11111u a ==， 12122u a ==， 13133u a ==，再按式子（12）算出L 的第一列元212111221a l u ===， 313111111a l u -===-. 对于2k =,按算式(13)，(14)计算U 的第二行元与L 的第二行元222221121223u a l u =-=-⨯=- ,232321134232u a l u =-=-⨯=-,32311332220(1)313a l u l u ---⨯===--， 对于3k =，按算式(14)计算U 的第三行元()()333331133223513(1)(2)6u a l u l u =-+=--⨯+-⨯-⎡⎤⎣⎦= 故100210111L ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭， 123032006U ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭解LY b =得11y =， 21y =-， 36y =-解UX Y = 得36x =， 21x =-， 11x =.利用杜利特尔分解法解方程组与高斯消元法是相似的，它重要的优点是：在利用AX b =分解，解有相同的系数矩阵的方程组时,用杜利特尔分解法非常方便，只用两个式子就可以得到方程组的解. 5用迭代法解线性代数方程组用迭代法求方程组AX b =的解，需要考虑迭代过程的收敛性，在下面的讨论中，都假设方程组AX b =的系数矩阵的对角阵是不为零的. 5.1 用雅可比迭代法解方程组AX b =对于一般线性方程组AX b =，如果从第i 个方程解出i x ，就可以把它转化成等价的方程组()11 1,2,,ni i ij j j ii j i x b a x i n a =≠⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭∑. （15）从而可以得到对应的迭代公式()()111 nk k ii ij jj iij i xb a x a +=≠⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭∑ (1,2,,0,1,2,)i n k ==； （16）这就是解一般方程组AX b =的分量形式的雅可比(Jacobi )迭代公式.如果把它改成()()11,nk kii ii ij j j j ia xb a x +=≠=-∑ （17）并把系数矩阵A 表示成A D L U =-- （18）其中1122,nn a a D a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 211,100,0n n n a L a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1211,0,00n n n a a U a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则可以看出AX b =式的左右两端分别是向量()1k DX +和()()kb L U X ++ 的第i 个分量，故()()()1+,k k DX b L U X +=+因为()0 1,2,,,ii a i n D ≠=可逆，所以()()()111.k kX D L U X D b +--=++于是就可以得到()()()1 0,1,2,k k J J X B X f k +=+=是雅可比迭代的公式.其中()1J B D L U -=+（称为雅可比迭代矩阵），1J f D b -=.例9 用雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组121235,2 5.x x x x +=⎧⎨+=⎩ 解 由方程123x +x =5解出1x ，由方程1225x x +=解出2x ，从而方程变成122115,3315.22x x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 也就是112215033.15022x x x x ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦接下来取初始向量()()()()()00012,0,0TTXx x ==，由迭代公式()()()()11112215033.15022k k k k x x x x ++⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦也就是()()()()11212115331522k k k k x x x x ++⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,进行迭代计算，结果如下表 2，从计算的结果来看，()()()()12,k k k X x x = 趋向于方程的准确解()*1,2TX =，所以可取()()100.9998,1.9997TX =作为方程的近似解.表 2k0 1 2 … 9 10 … ()1k x 0 1.6667 0.8333 … 1.0005 0.9998 … ()2k x 02.51.6667…2.00041.9997…5.2 用高斯-赛德尔迭代法解方程组AX b =高斯-赛德尔迭代法也是常用的迭代法，设线性代数方程组为AX b =，则高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为()()()111111i nk k k ii ij j ij j j j i ii x b a x a x a -++==+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ ()1,2,; 0,1,2,i n k == （19）其中迭代法（19）就称为高斯-赛德尔迭代法.通过雅可比迭代法类似的途径，就可以得到矩阵的表达式()()1k k G G X B X f +=+ ()0,1,2,k =其中()1G B D L U -=-（称为高斯-赛德尔迭代矩阵），()1G f D L b -=-.例10 用高斯-赛德尔迭代法解方程组1231231231023,21015,2510.x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 解 把方程组改写成便于迭代的等价方程组1232133120.20.10.3,0.20.1 1.5,0.20.4 2.x x x x x x x x x =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 据此可得高斯-赛德尔法迭代公式()()()()()()()()()()1123112131113120.20.10.3,0.20.1 1.5, 0,1,2,0.20.42k k k k k k k k k x x x x x k x x x ++++++⎧=++⎪⎪=++=⎨⎪=++⎪⎩取()()()()()()0000123,,0,0,0,TTXx x x == 计算结果见表3.表 3k0 1 2 3 4 5 ()1k x0 0.3 0.8804 0.9843 0.9978 0.9997 ()2kx 0 1.56 1.9445 1.9923 1.9989 1.9999 ()3kx 02.6842.95392.99382.99912.9999高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法都有算式简单、容易在计算机上实现等优点，但是用计算机来计算时，雅可比迭代法需要两组工作单元用来寄存()k X 与()1k X +的量，而高斯赛-德尔迭代法只需一组工作单元存放()k X 或()1k X +的分量.对于给定的线性方程组，用这两种方法求解可能都收敛或者都不收敛，也可能一个收敛另一个不收敛，两种方法的收敛速度也不一样.5.3 迭代法的收敛条件与误差分析定义6[1] 矩阵n nA ⨯∈全部的特征值i λ ()1,2,,i n = 的模的最大值，叫做矩阵A 的谱半径，记作A ρ（）,即1i i nA ρλ≤≤（）=max .定理7[1] 对任意初始向量()0X 迭代过程()()1k kX BX f +=+收敛的充要条件是()1B ρ<；当()1B ρ<时，()B ρ越小，那么其收敛的速度是越快的.例11 用雅可比、高斯-赛德尔迭代法分析AX b =的收敛性，其中122111221A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 111b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 先计算迭代矩阵J B 和G B ，其中()1022101220J B D L U --⎡⎤⎢⎥=+=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦()1022023002G B D L U --⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦再计算J B 与G B 的特征值与谱半径得()0i J B λ= (1,2,3)i = ()01J B ρ=<;()10G B λ= ()2,32G B λ= ()21G B ρ=>.由定理7可知，用雅可比迭代法求解时，其迭代的过程是收敛的，而用高斯-赛德尔迭代法来求解,其迭代的过程是发散的.在不同条件下，收敛的速度是不同的，对同一矩阵，一种方法是收敛的，一种方法发散. 6结束语本文介绍线性代数方程组的几种解法.首先简单介绍消元过程、回代过程、向量矩阵的范数和迭代过程，其次主要通过介绍高斯消元法、列主元消元法、雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法来解线性代数方程组.线性代数方程组的解法还有多种方法，比如：逐次超松弛迭代法等等，都是值得继续讨论的.参考文献[1]朱建新,李有法编,数值计算方法[M].北京:高等教育出版社,2012.34-59.[2]罗仁露,席小青,陆节涣,陈恳,快速LR三角分解法[J].南昌大学学报(工科版),2016,(03):295-300.[3]关红钧,苏艳华,关于n 阶矩阵的三角分解[J].沈阳航空工业学报,2001(04):38-40.[4]杨凤霞,线性方程组的数值解法[J].沧州师范专科学校学报,2000(03):38-40.[5]燕必成,蒋晓强,王哲禄，高斯列主元消去法在Matlab中的实现[J],桂林航天工业学院学报，2014, (02):165-167+171.[6]赵丹,雅克比迭代法与高斯-塞德尔迭代法研究[J],兴义民族师范学院学报,2012,(02):108-112.[7]郑亚敏.迭代法解线性方程组的收敛性比较[J].江西科学,2009,27(05):659-661.[8]文传军,许定亮,华婷.高斯消元五步骤法[J].常州工学院学报,2012,25(06):50-53.。
三角分解法
解
Ly = f 设 y =
1
f
解 Ux = y 得 xn = yn ,
γ
1
,
y
=
i
=
i
f −β y
i
1
γ
i
i −1
(i = 2,3,L n)
i
(3.2)
（3.3） 3.3） (3.1) —(3.3) 叫追赶法，工作量小，非常有效。 (3.3) 叫追赶法，工作量小，非常有效。
x
i
y −δ x
i
i +1
⇔A
的前n 个顺序主子式不为0.（证略） 的前n-1个顺序主子式不为0.（证略） 0.
为什么要讨论三角分解？ 为什么要讨论三角分解？ 若在消元法进行前能实现三角分解 ， 则 A = LU
Ax = b ⇔ ( LU ) x = b ⇔
Ly = b (下三角方程组） 下三角方程组） Ux = y (上三角方程组） 上三角方程组）
k −1 (k = 2,3, L ,n) bk − ∑ lkj y j j =1 xn = y n u nn n 练习： (k = n-1, L 2,1) xk = bk − ∑ u kj x j u kk j = k +1
1 yk = lkk
m =1 k −1
l ik = aik − ∑ l im umk ukk ⇒ aik ( i = k + 1,L , n) m =1 ( k = 2,3,L , n)
k −1
例3 ．1 2 1 2 6 2 1 2 6 5 3 6 4 4 18 → 2 0 6 －3 5 3 －2 －1 －1 5
各种三角分解法计算特性的分析比较
各种三角分解法计算特性的分析比较席小青;罗仁露;汪亚茜;陈恳【摘要】通过对LR、LDU、CU3种三角分解法的计算原理和计算过程,包括中间变量的计算、所需计算元素的个数、所需元素的总数等进行详细地比较分析,并将3种三角分解法分别编程用于求解IEEE-30、-57、-118节点系统的节点阻抗矩阵,比较其“分解”及“分解+回代”过程所需的计算时间.原理分析和计算结果均表明,LR、CU与LDU三角分解法相比,计算过程更为简洁,计算速度远快于LDU三角分解法,且CU三角分解法的计算速度略快于LR三角分解法,计算原理和方式非常接近高斯消元法.因此,在用三角分解法求解常系数的线性方程组时,应该首选CU三角分解法而不是其它三角分解法.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2015(039)006【总页数】5页(P540-543,551)【关键词】线性方程组;三角分解法;LR;LDU;CU;导纳矩阵;阻抗矩阵;电力系统【作者】席小青;罗仁露;汪亚茜;陈恳【作者单位】南昌大学信息工程学院,江西南昌 330031;南昌大学信息工程学院,江西南昌 330031;南昌大学信息工程学院,江西南昌 330031;南昌大学信息工程学院,江西南昌 330031【正文语种】中文【中图分类】TM711派生于高斯消元法的三角分解法（TDA）类似于因子表法，主要用于对常系数线性方程组的系数矩阵进行三角分解以便对方程组反复求解。
常用的TDA有LR、LDU、CU3种，它们计算原理类似，只是将系数矩阵分解为不同的下三角、上三角及对角因子矩阵。
各种文献中，LR－TDA介绍最多［1－13］，LDU－TDA其次［5－15］，CU－TDA最少［9－14］。
而在求节点导纳矩阵的逆矩阵——节点阻抗矩阵Z时，各文献中基本用LDU－TDA［5－7，13－15］。
本文通过对3种TDA计算原理比较分析以及对IEEE实际系统编程计算发现，实际上LDU－TDA的计算速度最慢，LR－TDA与CU－TDA的计算速度比较接近，但都远快于LDU－TDA的计算速度。
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开始分解，取增广矩阵
2 4 8 16 2 2 3 7 3 9 27 81 3 6 27 81 4 16 64 256 4 12 64 256 2 1 10 i 1 1 44 1 190 1 2 1 8 i3 1 44 1 190 1 2 4 8 16 2 2 3 7 3 9 27 81 3 6 6 6 4 16 64 256 4 12 24 256
《计算方法》课程教案
授课时间 授课方式 （请打√） 授课题目 第 周周 第 节 课次 课时 安排 5 2
√ 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□
第 2 章 解线性代数方程组的直接法 2.2 三角分解法
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次） ： 掌握使用杜里特尔分解法； 掌握使用克洛特分解法。
教学重点及难点： 杜里特尔分解法的计算过程
教 学 基 本 内 容
教学方法、 手段 及时间设计
复习： 直接法： 在不考虑舍入误差的情况下， 通过有限步四则运算可以求 得准确解的方法。
a 11 a 21 A a n1
a 12 a 22 an2
a 1n x1 b1 a 2n b x 2 ，b 2 ，x a nn xn b n
l 43 ( a 43 l 41 r13 l 42 r23 ) / r33
例 1： 已知 Ax b ，其中
1 1 A 1 1
1 1 1 1
2 4 8 16
3 9 27 81
4 2 16 10 ，b 44 64 256 190
1 l nn
r12 1
r1 n r2 n 1
由于时间关系，克 洛特分解只做简 单介绍
l
k 1 i 1
i 1
jk ki
j i , i 1, , n
l
k 1
ik kj
r ) / l ii
j i 1, i 2 , , n
1 0 0 1 0
左乘方程组 Ax=b，即 L1Ax=L1b，记为 A1x=b1 继续下去，直到第 n-1 步，即得到
(1 a 11 ) L n 1 L 2 L1 A
a 12
(1 )
a 22
(2)
(1 ) a1 n (2) a2n (n) a nn
1 1 1
容易验证
-2-
L L L
1 1
1 2
1 n 1
1 l 21 l 31 l n1
1 l 32 ln 2 1 ln 3
1
验证过程作为课 后思考题
令 L L1 L 2 L n 1 ，则 L 是单位下三角矩阵，且 A=LR 高斯消去法，其实就是将矩阵 A 分解成了单位下三角矩阵 L 和上 三角矩阵 R
回顾高斯消去法的求解过程 消去过程（将代数方程组化为同解的上三角方程组） 若 a kk
(k )
0 ，令
l ik a ik a kk
(k ) (k )
i k 1, k 2 , , n
a ij ( k 1 ) a ij ( k ) l ik a kj ( k ) ( k 1) (k ) (k ) bi b i l ik b k
a11 a 21 A a n1
l ji a ji rij ( a ij
a12 a 22 an2
r
a1 n l11 a2n l 21 a nn l n 1
l 22 ln 2
i 1
T
a
k 1
jk
a ki
注意与杜里特尔 分解的区别
-5-
Step3：求 m，使 a mi max a ki ，若 a mi 0 ，则退出；
i k n
Step4：若 m i ，则交换[A,b]的第 i 行和第 m 行； Step5：对 j=i+1,…,n+1 求 a ij ( a ij Step6：对 k=n,…,1 求 x k a k , n 1
Ax b
(i)
,
i 1, 2 , , m
求解此类方程组，只需进行一次分解 A LR ，再解 2 m 个三角形 方程组
Ly
(i)
b
(i)
,
Rx
(i)
y
(i)
,
i 1, 2 , , m
这样就节省了重复进行分解的时间， 故杜里特尔分解较高斯分解法 更实用。 2.2.2 克洛特分解
此处需学员特别 注意，与作业有关
1 i2 1 1 1
2 8 18 24
-4-
1 1 L 1 1
1 3 7 1 6
1
1 R
2 2
3 6 6
4 12 24 24
2 8 y 18 24
a ij
l
k 1
ik kj
r
当 j i 时，又 l ii 1
a ij
l
k 1
i 1 k 1
i
ik
rkj
rkj
l
k 1
i 1
ik
rkj rij
rij a ij
l
ik
j i , i 1, , n
当 j i时
a ji
i
l jk rki
k 1
l
k 1
jk
i 1
jk
rki l ji rii
j i 1, i 2 , , n
思考 1：该公式的 左边右边都有 R 和 L，无法使用， 如何变换可以使 用此公式进行计 算?
思考 2：该算法的 时间复杂度和空 k 1 这种方法叫杜里特尔分解法，实际计算时，由于 L 矩阵和 R 矩阵 间 复 杂 度 分 别 为 多少？ 的特殊性，可以将它们放在一起表示，这样结构更加紧凑
1
1
1
1 ln 2
如果我们能通过某种方法直接将 A 矩阵进行 LR 分解，就可以得到 一种新的分解法，这就是我们要讲的杜里特尔分解法。 显然 a ij
l
k 1
n
ik
rkj
此处为重点，需详 细板书
但 l k , k 1 0 ， rk 1 , k 0 所以
min( i , j )
i , j k 1, , n i k 1, , n
-1-
回代过程（从后向前依次计算未知数的值） 若 a nn 0 ，
(n) b xn n (n) a nn n (k ) (k ) b k a kj x j j k 1 x k (k ) a kk
l ji ( a ji
l
i 1
rki ) / rii
-3-
( a 11 ) r11 ( a 21 ) l 21 ( a 31 ) l 31 ( a 41 ) l 41
i 1 r11 a 11 ,
i 2
( a12 ) r12 ( a 22 ) r22 ( a 32 ) l 32 ( a 42 ) l 42
1 1 x 1 1
小结 杜里特尔分解的消去结果与高斯消去法的消去结果相同， 且拥有相 同的回代过程，故杜里特尔分解方法的时间复杂度与高斯消去法相同， 即乘除法次数 N
n
3
n
2
n 3
。
3
(i)
杜里特尔分解法还可用与求解多个同系数方程组：
下面以 4 阶方阵为例，说明该公式的使用方法
r12 a 12 , r13 a 13 , r14 a 14
l 21 a 21 / r11 ,
l 31 a 31 / r11 ,
l 41 a 41 / r11
r24 a 24 l 21 r14
此处通过 4 阶方阵 为例将公式进行 一一展开，以找到 公式的规律
( a 13 ) r13 ( a 23 ) r23 ( a 33 ) r33 ( a 43 ) l 43
( a14 ) r14 ( a 24 ) r24 ( a 34 ) r34 ( a 44 ) r44
( b1 ) y1 (b2 ) y 2 ( b3 ) y 3 (b4 ) y 4
-6-
r22 a 22 l 21 r12 ,
r23 a 23 l 21 r13 ,
l 32 ( a 32 l 31 r12 ) / r22 ,
l 42 ( a 42 l 41 r12 ) / r22
i3 r33 a 33 l 31 r13 l 32 r23 , r34 a 34 l 31 r14 l 32 r24
k n 1, n 2 , , 2 ,1
求解线性代数方程组的三角分解法，源于高斯消去法的矩阵形式。
2.2 三角分解法
2.2.1 杜里特尔分解法 高斯消去法的第一步等价于用单位下三角阵
1 l 21 L1 l 31 l n1 1
区别：先行后列，先列后行 杜里特尔分解和克洛特分解法都可以选主元 下面给出按列选主元 Corut 分解方法解 n 阶线性方程组的步骤 Ax=b，其中 A a ij n n , b a1, n 1 , , a n , n 1 输入：方程组的阶数 n；增广矩阵[A,b] 输出：方程组的解 x1,…,xn 或系数矩阵奇异的信息 Step1：对 i=1,2,…,n 做 Step2~5 Step2：对 j=i,…,n 求 a ji a ji