第二章 第十一节 第一课时 函数的导数与单调性

第二章函数、导数及其应用第十一节导数在函数研究中的应用第一课时函数的导数与单调性课时规范练A组基础对点练1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)＜0，在(x1，x2)上f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，选D．答案：D2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是() A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，1)解析：因为f′(x)＝2x－2x＝2（x＋1）（x－1）x(x＞0)．所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．答案：A3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是() A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)解析：因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－1x．因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x＞1时，f′(x)＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x＞1，所以0＜1x＜1，所以k≥1．故选D．答案：D4．已知函数f(x)＝2x3－6ax＋1，a≠0，则函数f(x)的单调递减区间为() A．(－∞，＋∞)B．(－a，＋∞)C．(－∞，－a)∪(a，＋∞)D．(－a，a)解析：f′(x)＝6x2－6a＝6(x2－a)，当a＜0时，对x∈R，有f′(x)＞0；当a＞0时，由f′(x)＜0解得－a＜x＜a，所以当a＞0时，f(x)的单调递减区间为(－a，a)．答案：D5．已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是()解析：设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．答案：A6．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是________．解析：函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x ＜0，得0＜x ＜1，所以f (x )的单调递减区间是(0，1)．答案：(0，1)7．设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1，则f (x )的单调减区间为________． 解析：f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )， 由a ＞1知，当x ＜2时，f ′(x )＞0， 故f (x )在区间(－∞，2)上单调递增； 当2＜x ＜2a 时，f ′(x )＜0， 故f (x )在区间(2，2a )上单调递减； 当x ＞2a 时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ＞1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上单调递增， 在区间(2，2a )上单调递减．答案：(2，2a )8．(2019·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1． (1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间． 解析：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ， 由题意得⎩⎨⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎨⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0．所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．9．设函数f (x )＝13mx 3＋(4＋m )x 2，g (x )＝a ln(x －1)，其中a ≠0．(1)若函数y ＝g (x )的图象恒过定点P ，且点P 关于直线x ＝32对称的点在y ＝f (x )的图象上，求m 的值． (2)当a ＝8时，设F (x )＝f ′(x )＋g (x ＋1)，讨论F (x )的单调性． 解析：(1)令ln(x －1)＝0，则x ＝2， 即函数y ＝g (x )的图象恒过定点P (2，0)， 所以点P 关于直线x ＝32对称的点为(1，0)， 又点(1，0)在y ＝f (x )的图象上， 所以13m ＋4＋m ＝0，所以m ＝－3．(2)因为F (x )＝mx 2＋2(4＋m )x ＋8ln x ，且定义域为(0，＋∞)． 所以F ′(x )＝2mx ＋(8＋2m )＋8x ＝2mx 2＋（8＋2m ）x ＋8x＝（2mx ＋8）（x ＋1）x．因为x ＞0，所以x ＋1＞0．当m ≥0时，F ′(x )＞0，此时F (x )在(0，＋∞)上为增函数． 当m ＜0时，由F ′(x )＞0得0＜x ＜－4m ， 由F ′(x )＜0得x ＞－4m ，所以F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－4m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m ，＋∞上单调递减．综上，当m ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上为增函数；当m ＜0时，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－4m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m ，＋∞上单调递减． B 组 能力提升练10．(2019·兰州市高三诊断考试)定义在(0，π2)上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )＜0成立，则有( )A ．f (π6)＞2f (π4)B ．3f (π6)＞f (π3) C ．f (π6)＞3f (π3)D ．f (π6)＞3f (π4)解析：∵cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )＜0，∴在(0，π2)上，[f （x ）cos x ]′＜0，∴函数y ＝f （x ）cos x 在(0，π2)上是减函数，∴f （π6）cos π6＞f （π3）cos π3，∴f (π6)＞3f (π3)，故选C ． 答案：C11．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋1，若存在实数x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1－x 2≥1，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，ln 23) B ．(0，ln 23] C ．(－∞，ln 23]D ．(－∞，2ln 23]解析：当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋1，若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2，显然不成立，排除C ，D ；取x 1＝2，x 2＝1，由f (x 1)＝f (x 2)得－a ＋1＝ln 2－4a ＋1，得a ＝ln 23，排除A ．选B ．答案：B12．函数f (x )＝ln x －12x 2＋x 的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝ln x －12x 2＋x ，所以f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ＞0，由f ′(x )＞0得x ＞0且x ＜1＋52，所以增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52．答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52 13．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)．若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，则f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1，2]上恒成立， 即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1，2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1，2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3， 又a ＞0，所以0＜a ≤25或a ≥1．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞)14．(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )．当0＜a ＜12时，讨论f (x )的单调性． 解析：因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，可得两根分别为1，1a －1， 因为0＜a ＜12，所以1a －1＞1＞0，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1a －1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．15．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋ln x ，g (x )＝f (x )－2ax ．(a ∈R )(1)当a ＝0时，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值；(2)若∀x ∈(1，＋∞)，g (x )＜0恒成立，求a 的取值范围． 解析：(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝－12x 2＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋1x ＝－x 2＋1x ＝－（x ＋1）（x －1）x ．当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，f ′(x )＞0；当x ∈[1，e]时，f ′(x )＜0，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上是增函数，在区间[1，e]上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－12e 2，f (e)＝1－e 22，∴f (x )min ＝f (e)＝1－e 22． (2)g (x )＝f (x )－2ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2－2ax ＋ln x ， 则g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x ＝（2a －1）x 2－2ax ＋1x ＝（x －1）[（2a －1）x －1]x，①若a ＞12，则令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a －1，当x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在(0，1)上有g ′(x )＞0，在(1，x 2)上有g ′(x )＜0，在(x 2，＋∞)上有g ′(x )＞0，此时g (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g (x )∈(g (x 2)，＋∞)，不合题意；当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g (x )在区间(1，＋∞)上有g (x )∈(g (1)，＋∞)，也不合题意；②若a ≤12，则有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g ′(x )＜0， 从而g (x )在区间(1，＋∞)上是减函数；要使g (x )＜0在此区间上恒成立，只需满足g (1)＝－a －12≤0⇒a ≥－12，由此求得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12．综合①②可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12．。