七年级数学思维探究(3)有理数的运算(含答案)

七年级数学思维探究

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家，大约于13世纪中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多，著名的数学书共5种21卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他1261年所著的《详解九章算术》一书里记载着，他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法． 3．有理数的运算

有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．

有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算． 运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有：

利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等． 问题解决 例1

（1）已知()

()2

1,

2,3,

1n a

a n n =

=+，记()1121b a =-，()()212211b a a =--，…，

()()

()122111n n b a a a =---，则通过计算推测n b 的表达式n b =________．（用含n 的

代数式表示）

（2）若a 、b 是互为相反数，c 、d 是互为倒数，x 的绝对值等于2，则42x cdx a b

+--的值是____．

试一试 对于（2），运用相关概念的特征解题．

例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =，且a b c d >>>，那么a b c d +++等于（ ）．

A ．0

B ．10

C ．2

D ．12

试一试 解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式． 例3 计算

（1）1121231

2592334446060

60⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++

++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；

（2）111112123123100

+++++++++++； （3）7

737121738172711138527

1739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 试一试 对于（1），设原式S =，将各括号反序相加；对于（2），若计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（3），视除数为一整体，从寻找被除数与除数的关系入手， 例4 在数学活动中，小明为了求2341

1

1

1

122222n

+++++的值（结果用n 表示），

设计了如图所示的几何图形．

（1）请你用这个几何图形求2341111

122222n

++++

+

的值；

（2）请你用图②，再设计一个能求2341

1

1

1122222n

+++

++的值的几何图形．

试一试 求原式的值有不同的解题方法，而剖分图形面积是构造图形的关键．

例5 在1，2，…，2002前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值． 分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是0．代数和的最小值能是0吗？能是1吗？由于任意添“+”号或“-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手． 因a b +与a b -的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与

()

20021200212320012002100120032

⨯++++++==⨯的奇偶性相同，即为奇数．因此，

所求非负代数和不会小于1．

又()()()()()123456789101112131419992000200120021-++--++--++--+++--+=∵， ∴所求非负代数和的最小值为1． 类比

类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．

触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 例6观察下面的计算过程

111111111111141122334451223344555

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 问：（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律． （2）“学问”，既要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说：。提出问题比解决问题更重要”．

请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题． 分析与解

（1）()111

11n n n n =-++．

（2）从连续自然数到连续偶数，从2个到3个，从分数到整数，类比可提出

下列计算问题：

①11

1

244620122014

++

+

⨯⨯⨯； ②111

123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯；

图①

图②

③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯； ④22221232012++++． 数学冲浪 知识技能广场

1．如图，每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：()135721n +++++-=________．（用n 表示，n 是正整数）．

2．某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位

同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报111⎛⎫

+ ⎪⎝⎭，第2位同学报112⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第3位同学报113⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

，这样得到的20个数的积为_________．

3．计算：

（1）()211455365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=_________． （2）23181920222222-----+=_______． 4．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快

速地计算出12398991005050++++++=，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：

1239899100S =++++++ ① 1009998321S =++++++ ②

①+②有()21100100S =+⨯，5050S =． 请类比以上做法，回答下列问题：

若n 为正整数，()35721168n +++++=，则n =_______． 5．设0a <，在代数式

a ，a -，2009a ，2010a ，a -，2a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2a

a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭

中负数的个数

是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为470克，则他应付邮资（ ）元．

A ．2.3

B ．2.6

C ．3

D ．3.5

7．为了求23200812222+++++的值，可令23200812222S =+++++，则

2342009222222S =+++++，因此2009221S S -=-，所以23200820091222221+++++=-．仿照上面推理计算出23200915555+++++的值是（ ）．

2n -1