不等式及其基本性质
不等式的基本概念与性质
不等式的基本概念与性质在数学中，不等式是表示两个数或者两个代数式之间大小关系的数学表达式。
不等式通过使用不等于号（≠）、小于号（<）、小于等于号（≤）、大于号（>）和大于等于号（≥）等符号，来描述数值的相对大小关系。
不等式的概念和性质在数学中起到了重要的作用，对于解决实际问题和进行数学推理都具有重要意义。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是一个数学表达式，通过使用不等于号、小于号、小于等于号、大于号和大于等于号等符号来比较两个数或者两个代数式的大小关系。
2. 不等式的符号及其含义（1）≠：不相等。
表示两个数或两个代数式不相等。
（2）<：小于。
表示第一个数或者代数式小于第二个数或代数式。
（3）≤：小于等于。
表示第一个数或代数式小于等于第二个数或代数式。
（4）>：大于。
表示第一个数或代数式大于第二个数或代数式。
（5）≥：大于等于。
表示第一个数或代数式大于等于第二个数或代数式。
3. 不等式的解集不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。
解集可以是无穷集合、有限集合或为空集。
二、不等式的性质1. 不等式的传递性如果a＜b，b＜c，那么a＜c。
即如果两个数的大小关系成立，并且第二个数与第三个数的大小关系也成立，那么第一个数与第三个数之间的大小关系也成立。
2. 不等式的加减性如果a＜b，那么a±c＜b±c。
即不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向保持不变。
3. 不等式的乘除性（1）如果a＜b，且c＞0，那么ac＜bc。
即不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向保持不变。
（2）如果a＜b，且c＜0，那么ac＞bc。
即不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向发生改变。
4. 不等式的倒置性如果a＜b，那么-b＜-a。
即不等式两边取相反数，不等式的方向发生改变。
5. 不等式的平方性（1）如果a＜b，且a、b≥0，那么a²＜b²。
即两个非负数之间的不等关系，其平方的大小关系保持不变。
不等式和它的基本性质教学设计方案
不等式和它的基本性质教学设计方案不等式，作为数学中一个基础而重要的概念，它的理解与应用贯穿整个数学学习过程。
今天，就让我们一起探讨一下如何让学生更好地掌握不等式及其基本性质。
一、导入新课我会以一个简单的数学游戏来引入这个话题。
让学生在纸上写下几个不等式，比如2<3、5>2等，然后让他们用自己的方式解释这些不等式的含义。
通过这种方式，让学生初步感知不等式的存在，并引发他们对不等式的好奇心。
二、不等式的定义与性质1.定义我会用简单的语言解释不等式的定义：不等式就是用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示不相等关系的式子。
接着，我会通过几个例子来让学生理解这个定义，如3<4、7≥6等。
2.性质（1）传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。
我会用生活中的例子来解释这个性质，如“小明比小红高，小红比小刚高，所以小明比小刚高”。
（2）对称性：如果a<b，那么b>a。
这个性质很容易理解，我只需通过几个简单的例子让学生验证即可。
（3）可加性：如果a<b，那么a+c<b+c。
这个性质可以通过实际操作让学生感受，如在一个不等式的两边同时加上一个数，观察不等式的变化。
（4）可乘性：如果a<b，且c>0，那么ac<bc。
这个性质稍微复杂一些，我会通过具体的例子来讲解，如2<3，那么2×2<3×2。
三、实例讲解与练习在讲解完不等式的定义和性质后，我会选取一些典型的实例进行分析。
这些实例包括：1.解不等式：2x5>3我会引导学生将不等式转化为等式进行求解，然后让学生自己尝试解释为什么解出来的数是大于号两边的数。
2.不等式的应用：比较两个数的大小我会让学生用不等式来比较两个数的大小，如比较3^2和4^2的大小，让学生在实际操作中感受不等式的应用。
3.练习题我会设计一些练习题，让学生在实际操作中巩固不等式的知识。
不等式及其基本性质
不等式及其基本性质设u=f(x1，x2，…，x n)，v=g(x1，x2，…，x n)是两个取值为实数的函数，若u－v是正数，就说u大于v，记成u＞v，也说v小于u，记成v＜u．用记号“＞”、“＜”、“≥”或“≤”连结两个这样的函数所组成的式子，叫做不等式．设上面两个函数的定义域分别为D f，D g，则称D f∩D g为下列不等式的允许值集：f(x1，x2，…，x n)＞g(x1，x2，…，x n)(或f(x1，x2，…，x n)＜g(x1，x2，…，x n)，或f(x1，x2，…，x n)≥g(x1，x2，…，x n)，或f(x1，x2，…，x n)≤g(x1，x2，…，x n)．不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式；如果至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式．前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等．不等式具有如下的基本性质(本文所用字母除特别声明以外，均表示实数)．定理1 若a＞b，b＞c，则a＞c．定理2 在a＞b，a=b，a＜b中有且只有一个成立．定理3 若a＞b，则a＋c＞b＋c．推论1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边．推论2 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d．一般地，若a i＞b i，i=1，2，…，n，则a1＋a2＋…＋a n＞b1＋b2＋…＋b n．推论3 若a≥b，c＜d，则a－c＞b－d．定理4若a＞b，则当c＞0时，ac＞bc；当c＜0时，ac＜bc；当c=0时，ac=bc．推论1 若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．一般地，若a i＞b i＞0，i=1，2，…，n，则a1a2…a n＞b1b2…b n．推论2 若a≥b＞0，0＜c＜d，则a/c＞b/d．推论3 若a＞b＞0，整数n＞1，则a n＞b n．含有绝对值符号的不等式还具有如下的常用性质．定理5 设a＞0，则|x|＜a的充要条件是－a＜x＜a；|x|＞a的充要条件是x ＞a或x＜－a．定理6 |a＋b|≤|a|＋|b|，其中等号当且仅当ab≥0时成立．推论1|a＋b|≥||a|－|b||．推论2 |a1±a2±…±a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|．。
《不等式及其基本性质》教案
《不等式及其基本性质》教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，理解“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等基本不等关系。
举例说明不等式的形式，如a > b、a ≤b 等。
1.2 不等式的基本性质性质1：如果a > b，a + c > b + c（其中c 是任意实数）。
性质2：如果a > b 且c > d，a + c > b + d。
性质3：如果a > b 且c < d，a + c < b + d。
性质4：如果a > b，a c > b c（其中c 是任意实数）。
第二章：不等式的运算2.1 加减法不等式介绍加减法不等式的运算规则，如a > b 且c > 0，a + c > b + c；a > b 且c < 0，a + c < b + c。
举例说明如何解决涉及加减法的不等式问题。
2.2 乘除法不等式介绍乘除法不等式的运算规则，如a > b 且c > 0，ac > bc；a > b 且c < 0，ac < bc。
举例说明如何解决涉及乘除法的不等式问题。
第三章：不等式的解法3.1 简单不等式的解法介绍解简单不等式的方法，如解a > b 的问题，可将b 移至不等式右边，得到a b > 0。
举例说明如何解简单不等式。
3.2 复合不等式的解法介绍解复合不等式的方法，如解a > b 且c > 0 的问题，可将不等式两边乘以c，得到ac > bc。
举例说明如何解复合不等式。
第四章：不等式的应用4.1 实际问题中的应用举例说明如何将实际问题转化为不等式问题，如判断身高、体重等是否符合要求。
引导学生运用不等式解决实际问题。
4.2 线性不等式组的解法介绍线性不等式组的解法，如解a > b 且c > d 的问题，可先解a > b，再解c > d，求交集。
认识不等式及其性质
认识不等式及其性质不等式在数学中是一个重要的概念，它用于描述数值之间的大小关系。
通过学习不等式，我们可以更深入地理解数学的性质和规律。
本文将介绍不等式的基本概念、性质以及与之相关的重要定理和推论。
一、不等式的基本概念1. 定义不等式是用不等号连接的数学表达式，表示两个数值的大小关系。
常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
2. 不等式的解集一个不等式可以有无穷多个值满足，这些满足不等式的值构成了不等式的解集。
解集可以用数轴上的线段表示，也可以用集合表示。
二、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果 a>b 且 b>c，则有 a>c。
这个性质在解不等式时非常有用。
2. 加法性对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a>b，则 a+c>b+c。
3. 减法性对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a>b，则 a-c>b-c。
4. 乘法性1）对于任意的实数 a、b 和正数 c，如果 a>b 且 c>0，则 ac>bc。
2）对于任意的实数 a、b 和负数 c，如果 a>b 且 c<0，则 ac<bc。
5. 除法性对于任意的实数 a、b 和正数 c，如果 a>b 且 c>0，则 a/c>b/c。
三、一元一次不等式一元一次不等式是一个最简单的不等式形式，形如 ax+b>0，其中 a 和 b 是已知常数，x 是未知数。
1. 解一元一次不等式的基本步骤对于一元一次不等式 ax+b>0，我们可以按照以下步骤解决：1）如果 a>0，则不等式解集为 x>-b/a。
2）如果 a<0，则不等式解集为 x<-b/a。
2. 一元一次不等式的规范形式规范形式是指将不等式整理成 a>0 或 a<0 的形式。
通过规范形式，我们可以更方便地求解不等式。
八年级数学讲义不等式的基本性质及其解集
不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变．c a b a +⇒> c a b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ．二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体）3．不等式解集的表示方法. 1-≤x①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <-1②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别）4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围.②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．（2007山东临沂）直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。
A 、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ＜－2 D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．（2）若b a ,满足753=+b a ，求b a S 32-=的取值范围．例5．已知由小到大的十个正整数109321,,,,,a a a a a 的和是2003，那么5a 的最大值是多少？当5a 取得最大值时，写出10a 最小的这十个数．思考：1.已知a c c b a c b a 求,,0>>=++的取值范围．2．设c b a ,,均为正数，若ac b c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．【经典练习】y k 2x1．如果关于x 的不等式b x a <-)1(的解集是1->a b x ，则有（ ） A 、1>a B 、1<a C 、1≠a D 、a 为一切实数2.若m 为有理数，下列不等式关系不一定成立的是（ ）A 、m m +>+79B 、m m -<-43C 、m m 46>D 、0||4≥m3.下列四个结论：（1）4是不等式63>+x 的解；（2）4>x 是不等式63>+x 的解集；（3）3是不等式63≥+x 的解；（4）3≥x 是不等式63≥+x 的解集，其中正确的是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4．满足不等式135->-x 的正整数值是方程[]a x x x =-----)15(4)21(5)2(4的解，则a 的值是（ ）A 、0B 、1C 、17D 、-175．不等式)52(4)83(714-<+-x x x 的负整数解是（ ）A 、-3，-2，-1，0B 、-4，-3，-2，-1C 、-2，-1D 、以上答案都不对6．已知032)2(2=--+-n b a a 中，b 为正数，则n 的取值范围是（ ）A 、2<nB 、3<nC 、4<nD 、5<n 7.如果b ax >，02<ac ，则xa b 8．（2007湖北孝感）如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ．9.若不等式a x <6的解集为3<x ，则a 的值为 .10．当a = 时，不等式x x 532≥-与x ax ≤+2同解．11．化简：若41<<x ，则化简22)1(4(-+-x ）x 的结果是 ． 12．当a 为何值时，方程)(23a x a x +-=+的解大于方程2)12(3)13(+=-x a x a 的解13．已知7321,,,a a a a 是彼此不相等的正整数，它们的和为159，求其中最小数a 的最大值．作业1．如果关于x 的方程7332+=-+x m x 的解为不大于2的非负数，那么（ ）（第8题图）A 、6=mB 、7,6,5=mC 、无解D 、75≤≤m2．如果关于x 的方程52)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3)43(4)14(-=+x a x a 的解，那么（ ） A 、2>a B 、2<a C 、187<a D 、187>a 3．如果22,7235>+->-c a a ，那么（ ） A 、c a c a +<- B 、a c a c +<- C 、ac ac -> D 、a a 23> 4．若b a b a ><>,0,0，那么b a b a --,,,的大小顺序是（ ）A 、b a a b >->>-B 、b a b a ->->>C 、a b a b ->->>D 、a b b a ->>->5．已知0)24(1832=-+++k y x x ，求当k 为何值时，y 的值是非负数？6.（1）关于x 的方程1223+=+m x 的解为正数，求m 的取值范围.(2)不等式a x <+32的正整数解恰为1，2，求m 的取值范围.思考：已知三个非负数z y x ,,满足132,523=-+=++z y x z y x ，若z y x m 73-+=，求m 的最大值及最小值。
《不等式及其基本性质》课件
这个课件介绍了不等式的定义、运算性质、解集表示，还包括一元一次不等 式、多元一次不等式的求解方法，以及不等式组的求解方法和在实际问题中 的应用。
不等式的定义
1 概念解释
不等式是用不等号连接的两个数或两个式子，表示大小关系。
2 种类
常见的不等式类型有大于、小于、不大于、不小于等。
不等式在实际问题中的应用
1 金融领域
利用不等式来决材料强度、承重能力等问题。
3 生活领域
通过不等式来优化日常生活，如控制饮食、调整作息等。
图像法
将多元不等式的解集表示在平面直角坐标系上，求出解集的范围。
线性规划法
利用线性规划方法求解多元不等式问题，找到最优解。
不等式组的求解方法
1
代入法
2
通过代入变量的方式，逐个求解不等式
组的每个不等式。
3
图形解法
将不等式组在平面直角坐标系上展示， 找出满足所有不等式的交集。
矩阵解法
利用矩阵运算和线性方程组的方法求解 不等式组。
可以用数轴上的点或线段来表示解集的范围。
3
区间表示
可以用开区间、闭区间或半开半闭区间来表示解集的范围。
一元一次不等式的求解方法
图形法
将不等式在数轴上表示成线段或阴影部分，求出解 集。
代数法
使用代数方法进行计算和推导，求出解集。
多元一次不等式的求解方法
子代数法
将多元不等式化简为含有一个变量的式子，再进行求解。
3 示例
例如：2x + 3 > 7 是一个不等式。
不等式的运算性质
加减法性质
• 对不等式两边同时加减一个相同的数，不等 式方向不变。
不等式的边界世界
不等式的边界世界在数学领域中，不等式是我们常常遇到的问题之一。
不等式的解集是由一系列满足特定条件的数所组成的。
而这些满足条件的数之间的边界称为不等式的边界。
本文将探讨不等式的边界世界以及其在解决问题中的应用。
一、不等式的基本性质不等式是数学中的重要概念，解不等式常需要确定边界。
不等式的基本性质如下：1. 不等式的传递性：若 a < b 且 b < c，则 a < c。
这一性质表明不等式具有传递性，能帮助我们快速确定数的大小关系。
2. 不等式的加法性：若 a < b，则 a + c < b + c。
这意味着在不等式两边加上相同的数时，不等号的方向保持不变。
3. 不等式的乘法性：若 a < b 且 c > 0，则 ac < bc。
这一性质告诉我们，若在不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变；若乘以一个负数，不等号的方向会发生改变。
二、1. 开区间：当不等式中的不等号是 "<" 或 ">" 时，解集中的数不包括边界，称为开区间。
例如，对于不等式 3x + 2 > 5，解集为 x > 1。
2. 闭区间：当不等式中的不等号是"≤" 或"≥" 时，解集中的数包括边界，称为闭区间。
例如，对于不等式3x + 2 ≥ 5，解集为x ≥ 1。
3. 半开半闭区间：当不等式中的一个边界包含在解集中，而另一个边界不包含在解集中时，称为半开半闭区间。
例如，对于不等式 3 < x≤ 7，解集为3 < x ≤ 7。
三、不等式的应用不等式的边界世界在解决实际问题中扮演着重要角色。
以下是几个应用不等式的例子：1. 财务规划：不等式可以用于财务规划中。
例如，假设某人的月收入为x元，月花销不能超过700元，可以表示为 x - 700 ≥ 0 的不等式，解集即表示月收入的边界范围。
不等式及其性质与解法
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
不等式的性质及其解法
不等式的性质及其解法不等式在数学中起着重要的作用，它用于描述数值之间的大小关系。
本文将介绍不等式的性质以及解法，帮助读者更好地理解和运用不等式。
一、不等式的基本性质不等式的基本性质主要包括加减性、乘除性和倒数性。
1. 加减性：对于不等式中的任意实数a、b和c，若a < b，则有a + c < b + c和a - c <b - c。
这意味着可以在不等式的两边同时加减一个数，不等号的方向保持不变。
2. 乘除性：对于不等式中的任意实数a和正实数b，若a < b，则有a * c < b * c （c > 0），若a > b，则有a * c > b * c（c > 0）。
这意味着可以在不等式的两边同时乘除一个正实数，不等号的方向保持不变。
3. 倒数性：对于不等式中的任意实数a和正实数b，若a < b，则有1 / b < 1 / a，若a > b，则有1 / b > 1 / a（a > 0，b > 0）。
这意味着可以对不等式的两边取倒数，不等号的方向会发生变化。
二、不等式的解法根据不等式的形式和题目要求，我们可以采用不同的方法来解不等式。
以下将介绍常见的不等式解法。
1. 图像法：当不等式中含有一次函数或二次函数时，可以通过绘制函数图像，直观地找出不等式的解集。
首先，将不等式转化为方程，画出相应函数的图像，然后根据图像确定函数的取值范围，最终得到不等式的解集。
2. 代入法：对于较为复杂的不等式，我们可以通过设定合适的变量代入，将不等式转化为方程。
然后，通过解方程得到解集，在最后将代入的变量范围转换回原始不等式的变量范围，得到最终的解集。
3. 区间法：当不等式中含有一次函数、二次函数或分式函数时，可以通过判断函数在不同区间的正负性来确定不等式的解集。
首先，将不等式转化为方程，然后确定各个因子的零点，将数轴根据这些零点分成若干个区间，在每个区间内求解函数的正负性，最终得到不等式的解集。
《不等式及其基本性质》教案
《不等式及其基本性质》教案一、教学目标：（1）知识与技能：学生能够理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质，能够运用不等式解决实际问题。
（2）过程与方法：通过观察、分析、归纳不等式的基本性质，培养学生逻辑思维能力和抽象概括能力。
（3）情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的重要性。
二、教学重点与难点：重点：不等式的概念，不等式的基本性质。
难点：不等式性质的证明和运用。
三、教学方法与手段：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等多种教学方法，结合多媒体课件、板书等教学手段，引导学生主动探究、积极参与。
四、教学过程：（1）导入新课：通过生活实例引入不等式的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）新课讲解：讲解不等式的概念，引导学生理解不等式的含义。
举例说明不等式的基本性质，引导学生通过观察、分析、归纳不等式的性质。
（3）案例分析：分析实际问题，运用不等式解决问题，巩固所学知识。
（4）小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享不等式应用实例，互相学习、交流。
（5）课堂小结：总结不等式的概念和基本性质，强调重点知识。
五、课后作业：布置适量课后作业，巩固所学知识，提高学生运用不等式解决实际问题的能力。
教案设计参考结束，可根据实际教学情况进行调整和优化。
六、教学评估：通过课堂提问、作业批改、小组讨论等方式，了解学生对不等式及其基本性质的理解程度，针对学生的掌握情况，及时调整教学方法和策略。
七、教学反思：本节课结束后，教师应认真反思教学效果，思考如何更好地引导学生理解不等式的概念和基本性质，以及如何在教学中激发学生的学习兴趣和主动性。
八、拓展与延伸：介绍不等式在实际生活中的应用，如优化问题、经济领域等，激发学生学习不等式的兴趣，培养学生的应用意识。
九、教学资源：1. 多媒体课件：用于展示不等式的概念、性质及应用实例。
2. 板书：用于黑板上展示关键知识点和推导过程。
3. 教学案例：用于分析实际问题，引导学生运用不等式解决实际问题。
不等式及其基本性质
c
c
问题：
不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是 否也有相似之处呢？
自主学习 1、用圈、点、勾、记的方法自学课本P116-P118。 2、小组内核对思考题答案，并相互交流共同总 结其中的规律。时间：4分钟。
从思考题中，你发现了什么规律？ （1）当不等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），不 不变 。 等号的方向__________ （2）当不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的 方向______________ 不变 。 （3）当不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的 改变 方向______________ 。 变为等式 （4）当不等式的两边同时乘上0时，不等式_____________ 。
< >
ab; ab.
新知升华
利用不等式的性质讲下列不等式化为x >a或x< a的形式：
(1) X – 7 > 26
解:为了使不等式x- 7>26中不等号的一边变为x，根 据不等式的基本性质1 , 不等式两边都加上7，不等 号方向不变，得： x- 7+7>26+7
x >33 这个不等式的解集在数轴上表示如下：
在不等式 -4x+5>9的两边都减去5，得 - 4x > 4 在不等式-4x> 4的两边都除以 -4，得 x > -1
请问他做对了吗？如果不对，请改正. x < -1
a -b +2 5、已知 a<b，则 -3 +2 > . 3 因为 a<b，两边都除以-3， -a > -b ； 由不等式基本性质3，得 3 3 因为 -a > -b ，两边都加上2， 3 3 由不等式基本性质1，得 -a +2 > -b +2 . 3 3
第6讲：不等式性质与基本不等式
2020年高一数学讲义（新高考：必修一）不等式性质与基本不等式本章进步目标★★★★★Level 5通过对本节课的学习，你能够：1. 理解基本不等式的内容及其证明.2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.模块一、知识要点（一）等式与不等式性质考点一:1.等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.2.不等式的性质(1)如果a>b，那么；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔.(2)如果a>b，b>c，那么.即a>b，b>c⇒。
(3)如果a>b，那么.(4)如果a>b，c>0，那么；如果a>b，c<0，那么.(5)如果a>b，c>d，那么.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么.(7)如果a>b>0，那么(n∈N，n≥2)．【例1】已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.练习1 已知x，y均为正数，设m＝1x＋1y，n＝4x＋y，比较m和n的大小．练习2已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．拓展： 利用不等式的性质求取值范围（重点·考点）【例】 已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[变式] 在本例条件下，求a b 的取值范围．练习1：已知-2＜a ≤3，1≤a －b ＜2，试求下列代数式的取值范围.（1）a . （2）a+b （3）a-b （4）2a-3b练习2： 已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围．（二）基本不等式考点一:重要不等式与基本不等式1.重要不等式：对于任意实数a ，b ，有____________________,当且仅当________时，等号成立2.基本不等式：若a______0,b________0,那么_______________,当且仅当________时，等号成立【例1】已知是，则下列结论恒成立的＞且0,,ab R b a ∈（ ）A.ab b a 222＞+B.ab b a 2≥+C.abb a 211＞+ D.2≥+b a a b练习1：设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A.a <b <ab <a ＋b 2B.a <ab <a ＋b 2<bC.a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b 2<b 练习2已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是考点二： 最值定理设x ，y 为正实数.若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当 时，积xy 有最_____值，且这个值为______.若xy ＝p (积p 为定值),则当 时，和x ＋y 有最_____值，且这个值为______.最值定理可以简记为：_______________________.注意：1.基本不等式求最值的条件：(1)x ，y 必须是 ；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为 ；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为 .(3)等号成立的条件是否满足.2.利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正；和或积为定值；判断等号能否成立即“_______、_______、_______”这三个条件缺一不可.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.【例1】（多选）下列结论正确的是( )A ．当x >0时，221≥+xxB ．当x >02≥ C ．当x ≥2时，1x x+的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，1x x -无最大值练习：0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.（1）a b++ （2）11()()a b a b ++的最小值为4；（3）14a a ++的最小值为2-.【例2】求下列函数的最值（1）已知，＞0x 求xx y 232++=的最小值（2）已知，＞0x 求x x y 42--=的最大值练习：求下列函数的最值（1）已知，＞0x 求228-+=x x y 的最小值（2）已知，＞0x 求xx y 142--=的最大值模块二、知识拓展拓展一: 利用基本不等式证明不等式1.已知，＞0,,c b a 求证：c b a ac c b b a ++≥++2222.已知,,,a b c R ∈求证222a b c ab bc ca ++≥++.3.已知1,=ab b a ＞，求证：()b a b a -≥+2222.拓展二: 利用基本不等式求最值（重点·考点）1.已知，＞2x 求21-+=x x y 的最小值2.已知，＜0x 求131-+=x x y 的最大值3.已知x ＞1，求函数y ＝x 2＋2x －1的最小值.4.已知x ＞-1，求函数11072+++=x x x y 的最小值.5.已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值.6.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫<<∈350x x x 丨，求()x x y 352-=的最大值.7.已知，＞＞0b a ，求()b a b a -+12的最小值.拓展三: 常数代换法求最值（重点·考点）1.已知，＞，＞00y x 且191=+yx ，求y x +的最小值.2.已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________.3.已知：,194,0,0=+>>y x y x 求y x 11+的最小值。
不等式的性质与基本不等式
投资组合优化
在金融领域，利用不等式 性质可以优化投资组合， 使得风险和收益达到最佳 平衡。
资源分配问题
在生产或项目管理中，通 过应用不等式性质，可以 合理分配资源，提高效率。
信号处理与通信
在信号传输过程中，由于 受到噪声干扰，可以利用 不等式性质对信号进行优 化处理，提高通信质量。
06
总结与展望
总结不等式的性质与基本不等式的主要内容
算术-几何平均不等式
对于任意非负实数a和b，有 (a+b)/2 ≥ √(ab)。这个不等式 表明算术平均值总是大于或等 于几何平均值。
柯西不等式
对于任意实数a_i和b_i （i=1,2,...,n），有(∑a_i^2 * ∑b_i^2) ≥ (∑a_i * b_i)^2。这 个不等式在数学分析和线性代 数中有广泛应用。
性质的应用
解决不等式问题
利用不等式的性质可以解决各种不等式问题，如比 较大小、求解未知数等。
解决最优化问题
不等式的性质在解决最优化问题中也有广泛应用， 如最大值、最小值、最优解等。
证明不等式
利用不等式的性质可以证明一些数学命题和不等式 。
03
基本不等式
常见基本不等式
算术平均数-几何平均数不等式
详细描述
综合法是通过综合已知的不等式性质和基本不等式来证明不等式的一种方法。它通常用于证明一些较为复杂的不 等式，如平方和与平方差的关系等。通过综合已知的不等式性质和基本不等式，我们可以推导出新的不等式，从 而证明其正确性。
05
实例分析
代数实例
代数不等式
例如，对于任意实数a和b，有 a^2 + b^2 ≥ 2ab。这个不等 式表明两个数的平方和总是大 于或等于它们的两倍乘积。
不等式及其基本性质
原不等式
6>4
-2<3
不等式两边都若a b, c 0则ac bc, a b
乘（或除以）
2
若a
b,
c
0则ac
bc,
c a c
c b c
不 乘等（式 或两 除边 以都 ）不等式的性质3：
-4<-2
-2
不等式两边都乘以（或都除以）同
一个负数，不等号的方向要改变.
1 复习回顾
比较学习
等式与不等式的基本性质
不等号方向改不改变和什么有关？
1 复习回顾
辩一辩
(1)x<y+3,y+3<4z-5,则x<4z-5; √( )
(2)若-5a<-5b,则a<b;
() ×
(3)若-a>-b,则2-a>2-b; ( ) √
(4)若a>b,则ac2>bc2;
() ×
(5)若ac2>bc2,则a>b;
( ) (6√)若
a>0,且(b-1)a<0,则b>1. ( ) ×
若a=b，则a c b c。
1 探索新知
等式的性质2：
等式的两边都乘以同一个数（或都除以同 一个不为零的数），所得的结果仍是等式。
若a=b，则am=bm;
ab nn
(n 0)
探讨：不等式有没有这个性质
1 探索新知
探讨：不不等等式式的有性没质有2：这个性质
不等式两边都乘填以表（或都除以）
同一个正数，不等号的方向不变.
1 复习回顾
不等式的定义
用不等号“＞”、“＜”、“≥”、“≤”表示的关
系式，叫做不等式。
不等式的性质1：
不等式及其性质高一知识点
不等式及其性质高一知识点不等式是数学中一种常见的数值比较关系表示方法，它在中学数学中占有重要的地位。
掌握不等式的性质和解不等式的方法对于高一学生来说非常关键。
下面将介绍不等式的基本性质和几种常见的解不等式的方法。
一、不等式的基本性质1. 加减性质：一个不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等式的关系不变。
例如：若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数。
2. 倍数性质：如果不等式两边同乘（或同除）一个正数，不等式的关系不变；如果两边同乘（或同除）一个负数，不等式的关系发生改变，即需要转置不等号的方向。
例如：若a > b（a ≠ 0）, c > 0，则ac > bc；若a > b，c < 0，则ac < bc。
3. 乘方性质：如果将不等式两边同时乘以一个正数的相同幂次，不等式的关系不变；如果两边乘以一个负数的相同幂次，不等式的关系发生改变。
例如：若a > b > 0，则a² > b²；若a > b > 0，则a² < b²。
4. 变号性质：若不等式两边同时变号，不等式的关系不变。
例如：若a > b > 0，则-b > -a < 0。
二、解一元一次不等式解一元一次不等式的方法与解一元一次方程相似，但是需要注意不等号的方向。
1. 加减法解不等式：将含有未知数的项移到一边，然后按照加减性质进行运算，得到最终的解。
例如：解不等式2x - 3 > 5，将3移到不等号的另一边得到2x > 8，然后除以2得到x > 4。
2. 乘除法解不等式：对于乘法解不等式，需要考虑乘数的正负性，确定是否需要转置不等号的方向；对于除法解不等式，需要考虑除数的正负性以及不等式中未知数的范围，确定是否需要转置不等号的方向。
例如：解不等式3x + 4 ≤ 10，首先将4移到另一边得到3x ≤ 6，然后除以3得到x ≤ 2。
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一元一次不等式组
教材分析:
上节课学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，本节主要学习一元一次不等式组及其解集，这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，同时要求学生会用数轴确定解集。
并且本课也通过一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组的一些概念，尝试对学生类比推理能力进行培养。
在情感态度、价值观方面要培养学生独立思考的习惯，也要培养学生的合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。
教学重点：1、理解有关不等式组的概念。
2、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组。
教学难点：在数轴上确定解集。
教学难点突破办法：
一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型构成，它们的解集、数轴表示，学生很难确定，用顺口溜的方式解决问题，即：大大取大；小小取小；比小大，比大小，中间找；比小小，比大大，解不了（无解）。
学生分析：
学生已经学习了一元一次不等式，并会解简单的一元一次不等式，知道了用数轴表示一元一次不等式的解集分三步进行：画数轴、定界点、走方向。
本节我们要学习一元一次不等式组，因此由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念学生易于接受，同时能更好的培养学生的类比推理能力。
本节所选例题也真正的实现了低起点小台阶，循序渐进，能使学生更好的掌握知识。
教学方法：
1、采用复习法查缺补漏，引导发现法培养学生类比推理能力，尝试指导法逐步培养学生独立思考能力及语言表达能力。
充分发挥学生的主体作用，使学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。
2、让学生充分发表自己的见解，给学生一定的时间和空间自主探究每一个问题，而不是急于告诉学生结论。
3、尊重学生的个体差异，注意分层教学，满足学生多样化的学习需要。
学习方法：
1、学生要深刻思考，把实际问题转化为数学模型，养成认真思考的好习惯。
2、学生做题要紧扣不等式基本性质，特别是不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，要认真检查不等号的方向是否正确。
3、合作类推法：学习过程中学生共同讨论，并用类比推理的方法学习。
教学步骤设计如下：
（一）创设问题情境，引入新课：
让学生从字面上来推断一下一元一次不等式和一元一次不等式组之间是否存在一定的关系。
并由验证猜想是否正确引人课题。
学生活动：猜想和推断一元一次不等式和一元一次不等式组的关系。
（二）讲授新课
1、想一想：
出示一个实际问题，请大家先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用那个知识点来解决问题，即把实际问转换为数学模型，从而求解。
通过学生的分析和解答，让学生根据一元一次不等式的有关概念来类推一元一次不等式组的有关概念。
学生活动：找出已知条件，列出所有的不等关系。
互相讨论，类推概念。
教学时应鼓励学生通过观察、分析，互相补充解决问题。
2、做一做：
这是例题部分，但既然不等式组的解集是每一个不等式解集的公共部分，因此必须求出每个不等式的解集，然后才能求它们的公共部分。
在这里求公共部分是重点，而求解不等式的解集在上一节已做了练习，因此没有必要把求解不等式的解集的过程全部写出来。
所以出示不等式组，分析讲解注意事项即可。
（三）尝试反馈：
试一试：随堂练习解不等式组。
学生活动：学生与同伴交流自己的问题和解决问题的过程。
（四）应用拓展：
一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴表示如下表：（设a<b）一元一次不等式组解集图示口诀
x>a x>b x>b 大大取大
X<a x<b X<a 小小取小
x>a
x<b a<x<b 比小大，比大小，中间找
X<a
x>b 无解比小小，比大大，解不了
（五）归纳小结：
1、学生谈本节收获。
优等生谈重点学到什么知识，上进生谈体会。
2、教师小结：
这节课主要学习了不等式组的有关概念，要求会解有两个一元一
次不等式组成的一元一次不等式组，并会用数轴确定解集。
（六）布置作业:
为了让不同的人有不同的收获，我把作业分为选做题和必做题。
优等生做1，2题，上进生做1题。
达到分层教学的目的。