角的平分线的性质导学案(无答案)(新版)新人教版

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新人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质(第1课时)导学案2

新人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质（第1课时）导学案流程具体内容学法指导知识链接学习目标1.经历探究角的平分线性质的过程，发展几何直觉.2.会证明角的平分线的性质，会简单运用角的平分线的性质.幻灯片检测1.全等三角形的概念及表示方法2.判定全等的方法有哪些？自学1.角平分仪为什么能平分一个角？P192.如何画一个角的平分线？P193.如何通过作一个平角的平分线得到直线的垂线？P19练习4.角的平分线的性质是什么？如何证明？用几何符号如何表示？P205.证明一个几何命题的步骤是什么？P216.课本中利用角平分线的性质解决了一个什么实际问题？P211.细心研读P19页“探究”结合图形，先画成数学图形，然后写成命题证明形式来说明理由。

已知：求证：证明：展示2.画出∠AOB的角平分线，并复述画法。

3.完成P19中“练习”4.按P20页“探究”完成操作进行观察分析，写出你得出的结论：______________________________________________________________5.角平分线的性质6.角平分线的性质命题的证明,结合证明过程说明:文字命题证明的几个步骤.OABDABC127题图反馈7.填空：如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝7，BD＝4，则(1)D点到AC的距离＝ .(2)D点到AB的距离＝ .8.填空：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，∠1＝∠2，根据角平分线的性质可得＝ .9.如图所示, 在△ABC中， AD平分∠BAC, DE⊥AB于E,且DE=5.8cm,BC=11.2cm,则BD=_______10.已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.DABC12E9题图OAB CD E1210题图OAB CD E128题11.画出△ABC中∠BAC的平分线AD, 并画出点D到两边的距离.学后反思（教学反思）：B AC。

角的平分线的性质(导学案)-八年级数学上册同步备课系列

12.3.1角的平分线的性质导学案一、学习目标：1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.重点：角的平分线的性质的证明及应用.难点：角的平分线的性质的探究.二、学习过程：课前自测 1.角平分线的概念___________________________________________________________________几何语言：____________________________________________2.通过折纸的方法做一个角的平分线(动手操作)合作探究探究1：下边是利用角平分仪平分一个角的演示过程.你能说明它的道理吗？其中AB =AD ，BC =D C.则：AE 为∠α的角平分线.你能用学过的知识说明为什么吗？尺规作图---作角的平分线已知：∠AO B.求作：∠AOB 的平分线.思考：请你说明OC 为什么是∠AOB 的平分线.探究2：在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ,过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D,E ，测量PD ，PE 并作比较，你得到什么结论?________________在OC 上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质?【猜想】_____________________________________________________你能利用三角形全等证明这个性质吗？※角平分线的性质:文字语言：________________________________________几何语言：______________________________________________________归纳：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ _________________________________________________________________典例解析例1.如图，在△AB C中，AD是它的角平分线，且D是BC的中点,DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别是E，F．求证:BE=CF.【针对练习】如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.例 2.如图，△AB C中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,问:能否在AB上确定一点E，使△BDE之周长等于AB的长?【针对练习】如图，已知AD ∥BC，P是∠BAD与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB 于E，且PE=3，求AD与BC 之间的距离.例3.如图，在△AB C 中，D 是AB 的中点，DE ⊥AB ，∠ACE +∠BCE =180°，EF ⊥AC 交AC 于F ，AC =8，BC =6，则AF =________．达标检测1.如图，∠A =90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ，且AB =3cm ,BD =2cm ，则DE =____cm.2.如图，△AB C 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，AB =5，CD =2，则△ABD 的面积为_____.3.如图，△AB C 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6cm ，则△DEB 的周长为_____cm.4.如图，在直线MN 上求作一点P ，使点P 到射线OA 和OB 的距离相等.5.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB＝4，则AC 的长是()A ．6B ．5C．4D ．36.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，且DE ＝DG ，则∠AED ＋∠AGD 和是（）A．180°B ．200°C ．210°D ．240°7.如图，OC 平分∠AOB ，OA =OB ，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E.求证：PD=PE.。

八年级数学上册角的平分线的性质导学案新人教版

角平分线的性质主备人辅备人授课人使用时间结论：结合上题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性归纳：证明一个几何命题的步骤（1） (2) (3) 4.用数学语言来表述角的平分线的性质定理：如上图，∵∴三、角平分线性质的应用1.如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ， F 在AC 上，BD=DF ；求证：CF=EB分课时总课时姓名小组组号课题：角平分线的性质课型：新授课教学目标：1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题重点难点：掌握角的平分线的性质定理一、课前检测如右图是一个平分角的仪器，其中AB ＝AD ，B C ＝DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿着A 、C 画一条射线AE ，AE 就是 ∠BAD 的角平分线，你知道为什么吗？二、自主学习1.根据角平分仪的制作原理，试用尺规作角的平分线，自学课本后，思考为什么要用大于21MN 的长为半径画弧？2．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥O A ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论 PD PE 第一次第二次第三次3.命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 备注（教师个性备课；学生方法总结，易混点、易错点整理）课后反思：2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．25C．5D．452．下列四边形中是轴对称图形的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．4．方程x2 = 2x的解是（）A．x=2 B．x1=，x2= 0 C．x1=2，x2=0 D．x = 05．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BCC．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC6．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（）A ．B ．C ．D ．7．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a 1-－()2a b -＋b 的结果是( )A ．1B ．b ＋1C ．2aD ．1－2a8．下列计算正确的是（） A ．2×3=6B ．2+3=5C ．8=42D ．4﹣2=29．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）A ．AB ＝5 B ．∠C ＝90°C ．AC ＝5D ．∠A ＝30°10．用配方法解一元二次方程2610x x -+=，此方程可化为的正确形式是( ) A ．2(3)10x += B ．2(3)8x +=C ．2(3)10x -=D ．2(3)8x -=二、填空题 11．计算：23＝．12．如图，小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜(平面镜的高度忽略不计)，刚好在平面镜中的点C 处看到旗杆顶部E ，此时小军的站立点B 与点C 的水平距离为2m ，旗杆底部D 与点C 的水平距离为12m ．若小军的眼睛距离地面的高度为1.5m (即1.5AB m =)，则旗杆的高度为_____m ．13．如图，在▱ABCD 中，按以下步骤作图：①以C 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交BC ，CD 于M ，N 两点；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠BCD 的内部交于点P ；⑨连接CP 并延长交AD 于E ．若AE ＝2，CE ＝6，∠B ＝60°，则ABCD 的周长等于_____．14．已知点A 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象上，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，△AMO 的面积为3，则k ＝_____． 15．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB 为半圆的直径，且抛物线的解析式为223y x x =--，则半圆圆心M 的坐标为______．16．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，4,5BC AC ==，点D 在边BC 上，若以AD 、CD 为边，以AC 为对角线，作ADCE ，则对角线DE 的最小值为_______．17．已知等腰三角形的周长为24，底边长y 关于腰长x 的函数表达式(不写出x 的取值范围) 是________．三、解答题18．如图，矩形ABCD 中，E F ，分别是AD BC ，的中点，CE AF ，分别交BD 于G H ，两点．求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形；（2）EG FH ＝．19．（6分）已知：如图，AM 是ABC ∆的中线，D 是线段AM 的中点，,AM AC AE BC =∕∕. 求证：四边形EBCA 是等腰梯形.20．（6分）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆车上至少要有1名教师．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．甲种客车乙种客车载客量/（人/量） 4530 租金/（元/辆）400280（1）填空：要保证师生都有车坐，汽车总数不能小于______；若要每辆车上至少有1名教师，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为_________．（2）请给出最节省费用的租车方案．21．（6分）如图，在ABC 中，O 为边AC 的中点，过点A 作AD BC ∥，与BO 的延长线相交于点D ，E 为AD 延长上的任一点，联结CE 、CD ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）当D 为边AE 的中点，且2CE CO =时，求证：四边形ABCD 为矩形．22．（8分）图①，图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A 在格点上．试在网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．（1）在图①中，画出以点A 为顶点的非特殊的平行四边形．（2）在图②中，画出以点A 为对角线交点的非特殊的平行四边形．23．（8分）解不等式组()47512332x x x x ⎧-<-⎪⎨-≤-⎪⎩，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的正整数解.24．（10分）如图，是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学对该题的解答.（老师找聪聪和明明分别用不同的方法解答此题）（1）聪聪同学所列方程中的x 表示_______________________________________. （2）明明一时紧张没能做出来，请你帮明明完整的解答出来.25．（10分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CA 平分∠BCD ，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F.求证：△ABE ≌△ADF.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．B【解析】【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质求出AC、CF，并判断出△ACF是直角三角形，再利用勾股定理列式求出AF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解．【详解】如图，连接AC、CF，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC＝2BC＝22，CF＝2CE＝62，∠ACD＝∠GCF＝45°，所以，∠ACF＝45°+45°＝90°，所以，△ACF是直角三角形，由勾股定理得，AF＝22AC CF＝45，∵H是AF的中点，∴CH＝12AF＝12×45＝25．故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．2．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可.【详解】平行四边形不是轴对称图形，故不符合题意；矩形是轴对称图形，故符合题意；菱形是轴对称图形，故符合题意；正方形是轴对称图形，故符合题意，所以是轴对称图形的个数是3个，故选B.【点睛】本题考查了轴对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.3．B【解析】A.，则原计算错误；B.，正确；C.，则原计算错误；D.，则原计算错误，故选B.4．C【解析】【分析】先移项得到x1-1x=0，再把方程左边进行因式分解得到x（x-1）=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x-1=0，即可得到原方程的解为x1=0，x1=1．【详解】解：∵x1-1x=0，∴x（x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x1=0，x1=1．故答案为x1=0，x1=1．根据平行四边形判定定理进行判断：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．故选D．考点：平行四边形的判定．6．C【解析】观察可得，选项C中的图形与原图中的④、⑦图形不符，故选C.7．A【解析】试题解析：由数轴可得：a−1<0，a−b<0，则原式=1−a+a−b+b=1.故选A.8．A【解析】分析：根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算逐一验证即可.详解：A. , 此选项正确;B. ,此选项错误;C. , 此选项错误;D. .故选A.点睛：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.9．D首先根据每个小正方形的边长为1，结合勾股定理求出AB、AC、BC的长，进而判断A、C的正误；再判断较短的两边的平方和与较长边的平方是否相等，进而可判断B的正误；在上步提示的基础上，判断BC与AB是否存在二倍关系，进而即可判断D的正误.【详解】∵每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可得：AB＝5，AC＝BC故A、C正确；＋2＝52，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°.故B正确；∵∠C＝90°，AC＝2BC，而非AB＝2BC，∴∠A≠30°.故D错误.故选D.【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握三角形是解题的关键.10．D【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形即可得到结果．【详解】解：方程移项得：x2-6x=-1，配方得：x2-6x+9=8，即（x-3）2=8,故选D．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．二、填空题11．3【解析】分析：23=．12．1【解析】分析：根据题意容易得到△CDE ∽△CBA ，再根据相似三角形的性质解答即可．详解：由题意可得：AB=1.5m ，BC=2m ，DC=12m ，△ABC ∽△EDC ，则ABBCED DC =，即1.5212DE =，解得：DE=1，故答案为1．点睛：本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．13．1【解析】【分析】首先证明DEC ∆是等边三角形，求出AD ，DC 即可解决问题．【详解】解：由作图可知ECD ECB ∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，60B D ∠=∠=︒，DEC ECB ECD ∴∠=∠=∠，DE DC ∴=，DEC ∴∆是等边三角形，6DE DC EC ∴===，8AD BC ∴==，6AB CD ==，∴四边形ABCD 的周长为1，故答案为1．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．±1．【解析】【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S ＝12|k|．【详解】解：因为△AOM 的面积是3，所以|k|＝2×3＝1．所以k ＝±1．故答案为：±1．【点睛】主要考查了反比例函数y ＝kx 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，这里体现了数形结合的思想，正确理解k 的几何意义是关键．15．（1，0）．【解析】【详解】当y=0时，2230x x --=，解得：x 1=﹣1，x 2=3，故A （﹣1，0），B （3，0），则AB 的中点为：（1，0）．故答案为（1，0）．16．1【解析】【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD ⊥BC 时，DE 线段取最小值，由三角形中位线定理求出OD ，即可得出DE 的最小值．【详解】解：∵90B ∠=︒，45BC AC ==，，根据勾股定理得3AB =，∵四边形ADCE 是平行四边形，2.5OD OE OA OC ∴===，，∴当OD 取最小值时，线段DE 最短，即OD BC 时最短，OD ∴是ABC ∆的中位线，11.52OD AB ∴==，23DE OD ∴==，故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及垂线段最短，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．17．y=24-2x【解析】分析：根据周长等于三边之和可得出底边长y 关于腰长x 的函数表达式.详解：由题意得,y+x+x=24,∴y=24-2x.故答案为：y=24-2x.点睛：本题考查了列一次函数关系式，熟练掌握周长等于三边之和是解答本题的关键.三、解答题18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG 和FH 所在的△DEG 、△BFH 全等即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE=12AD ，CF=12BC ，∴AE=CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形；（2）∵四边形AFCE 是平行四边形，∴CE ∥AF ，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF ，∵AB ∥CD ，∴∠EDG=∠FBH ，在△DEG 和△BFH 中DGE BHFEDG FBH DE BF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，∴△DEG ≌△BFH （AAS ），∴EG=FH ．19．见解析.【解析】【分析】先证明△ADE ≌△MDC 得出AE=MC ，证出AE=MB ，得出四边形AEBM 是平行四边形，证出BE=AC ，而AE ∥BC ，BE 与AC 不平行，即可得出结论．【详解】证明：∵ AE BC ∕∕∴,AED MCD EAD CMD ∠=∠∠=∠.∵AD MD =，∴AED MCD ∆∆≌.∴AE CM =.∴AE BM =.∴四边形ABCD 是平行四边形.∴EB AM =.而AM AC =，∴EB AC =.∵AE BC ∕∕，EB 与AC 不平行，∴四边形EBCA 是梯形.∴梯形EBCA 是等腰梯形.【点睛】本题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰梯形的判定，证明三角形全等是解题的关键．20．（1）6，6，6；（2）租乙种客车2辆，甲种客车4辆.【解析】【分析】（1）根据师生总人数240人，以及所需租车数=人数÷载客量算出载客量最大的车所需辆数即可得租车总数最小值，再结合每辆车至少有一名老师即可租车数量最大值；（2）设租乙种客车x 辆，根据师生总数240人以及总费用2300元即可列出关于x 的不等式组，从而得出x 范围，之后进一步求出租车方案即可.【详解】（1）∵()2346455+÷=（辆）……15（人），∴为保证师生都有车坐，汽车总数不能小于6辆；又∵每辆车上至少有1名教师，共有6名教师，∴租车总数不可大于6，故答案为：6,6,6；（2）设租乙种客车x 辆，则：()30456240x x +-≥,且()28040062300x x +-≤， ∴526x ≤≤，∵x 是整数，设租车费用为y 元，则()2804006202400y x x =+-=-+，∴当2x =时，y 最小，且2160y =，故租乙种客车2辆，甲种客车4辆时，所需费用最低.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组在方案问题中的实际运用，熟练掌握相关概念是解题关键.21．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）首先利用平行线的性质和中点证明AOD COB ≅，则有AD BC =，然后利用一组对边平行且相等即可证明四边形ABCD 是平行四边形；（2）首先利用平行四边形的性质得出12AO CO AC ==，进而可得出CE CA =，然后利用等腰三角形三线合一得出90ADC ∠=︒，则可证明平行四边形ABCD 是矩形．【详解】（1）//AD BC ，DAO BCO ∴∠=∠，ADO CBO ∠=∠． O 是AC 的中点，AO CO ∴=．在AOD △与COB △中ADO CBODAO BCO AO CO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD COB AAS ∴≅，AD BC ∴=．又//AD BC∴四边形ABCD 是平行四边形．（2）四边形ABCD 是平行四边形12AO CO AC ∴==．2CE CO =，CE CA ∴=又D 是AE 中点，CD AE ∴⊥．即90ADC ∠=︒．又四边形ABCD 是平行四边形．∴四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，掌握全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）画出底为3，高为2的平行四边形ABCD 即可．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图，平行四边形ABCD 即为所求．（2）如图，平行四边形EFGH 即为所求．图① 图②【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会题数形结合的思想思考问题．23．2425x -<≤；见解析；1,2,3,4.【解析】【分析】首先求出每个不等式的解集，找到公共解集，然后在数轴上表示出来，根据数轴写出正整数解即可. 【详解】解：() 47512332x xx x⎧-<-⎪⎨-≤-⎪⎩，解不等式①,得2x>-解不等式②,得245x≤所以,原不等式组的解集是2425x-<≤在数轴上表示为：不等式组的正整数解是1,2,3,4【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．24．（1）行驶600km普通火车客车所用的时间；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可知x表达的是时间（2）设普通火车客车的速度为/ykm h，则高速列车的速度为3/ykm h，根据题意用总路程除以普通火车客车的速度-用总路程除以高速列车的速度=4，列出方程即可【详解】解：（1）行驶600km普通火车客车所用的时间（2）解：设普通火车客车的速度为/ykm h，则高速列车的速度为3/ykm h，由题意列方程得．60060043y y-=整理，得：4004 y=4400y=解，得：100y=经检验100y=是原方程的根3300y=因此高速列车的速度为300/km h【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程25．证明见解析【解析】试题分析：由CA平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD，可得AE=AF，再由HL判定Rt△AEB≌Rt△AFD，即可得出结论．试题解析：∵CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴AE＝AF.在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB AD AE AF=⎧⎨=⎩∴△ABE≌△ADF(HL).2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，要测量的A 、C 两点被池塘隔开，李师傅在AC 外任选一点B ，连接BA 和BC ，分别取BA 和BC 的中点E 、F ，量得E 、F 两点间距离等于23米，则A 、C 两点间的距离为（）A ．46B ．23C ．50D ．252．下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是（）A ．6，8，10B ．3，4，5C ．4，5，6D ．5，12，133．如图，若正比例函数y ＝kx 图象与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2相交围成的正方形有公共点，则k 的取值范围是( )A ．k ≤2B ．k ≥12C ．0＜k ＜12D ．12≤k ≤2 4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，点O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴正半轴上，OA ＝4，OC ＝6，点E 为OC 的中点，将△OAE 沿AE 翻折，使点O 落在点O′处，作直线CO'，则直线CO'的解析式为（）A ．y ＝﹣x+6B ．y ＝﹣23x+8C ．y ＝﹣23x+10D ．y ＝﹣43x+8 5．当x 取什么值时，分式21x x -无意义（） A ．12x = B ．12x =- C ．0x = D ．1x = 6．某经销商销售一批多功能手表，第一个月以200元/块的价格售出80块，第二个月起降价，以150元/块的价格将这批手表全部售出，销售总额超过了2.7万元，则这批手表至少有（）A ．152块B ．153块C ．154块D ．155块7．若二次根式3x -有意义，则实数x 的取值范围是A ．x ≠3B ．x >3C ．x ≥3D ．x <38．已知反比例函数y =-6x ，下列结论中不正确的是（）A ．图象经过点（3，-2）B ．图象在第二、四象限C ．当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大D ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而减小9．某社区超市以4元/瓶从厂家购进一批饮料，以6元/瓶销售.近期计划进行打折销售，若这批饮料的销售利润不低于20%则最多可以打（）A ．六折B ．七折C ．七五折D ．八折10．下面图形中是中心对称但不一定是轴对称图形的是（）A ．平行四边形B ．长方形C ．菱形D ．正方形二、填空题11．在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸出一个乒乓球，恰好是黄球的概率为0.7，则袋子内共有乒乓球__________个。

八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质学案(新版)新人教版

12.3角的平分线的性质自学案（一）学习目标1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；2．探索并证明角的平分线的性质；3．能用角的平分线的性质解决简单问题。

（二）学习重点探索并证明角的平分线的性质。

（三）学习难点能用角的平分线的性质解决简单问题。

（四）课前预习1.点P 是∠BAC 内一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，由PE=PF ，PA=PA 得到△PEA ≌△PFA 的理由是（）A.HLB.ASAC.AASD.SAS2.如图,两条笔直的公路l 1,l 2相交于点O,村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已AB=BC=CD=DA=5千米,村庄C 到公路l 1的距离为4千米,则村庄C 到公路l 2的距离是( )A.3千米B.4千米C.5千米D.6千米3.如图，OP 平分AOB ∠，OA PA ⊥，OB PB ⊥，垂足分别为A,B 。

下列结论中不一定成立的是（）。

A.PA=PBB.PO 平分APB ∠C.OA=OBD.AB 垂直平分OP4.如图所示，AB ∥CD ，O 为∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE ＝5，则AB 与CD 间的距离等于____.5.如图,现有一块三角形的空地,其三条边长分别是20m,30m,40m.现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分,分别种植不同种类的花,请你设计一种方案,并简单说明理由.（五）疑惑摘要预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨。

探究案典型例题例1、如图，BC、AD分别垂直OA、OB，BC和AD相交于E，且OE平分∠AOB. 求证：EA=EB.例2、如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.训练案课后作业一、选择题1.如图,∠1=∠2,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,则下列结论错误的是( )A.PD=PEB.OD=OEC.PD=ODD.∠OPD=∠OPE2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD=3cm,则点D到AB的距离DE是( )A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm3.尺规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等4.如图,点D,P,E分别在OA,OC,OB上,且PD=PE,以下不能得出OC平分∠AOB的是( )A.OD=OEB.∠DPO=∠EPOC.∠ODP=∠OEPD.PD⊥OA,PE⊥OB二、填空题5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D, 且BD∶CD=3∶2,则点D到线段AB的距离为.6.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是.7.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP= .8.如图,DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC,∠BAC=80°,则∠ADC的度数是.三、解答题9.如图,D是△ABC外角∠ACE的平分线上的一点,DF⊥AC于F,DE⊥BC交BC的延长线于E,求证:CF=CE.10.如图,∠1=∠2,AE⊥OB于E,BD⊥OA于D,AE与BD相交于点C.求证:AC=BC.11.已知:如图,BE=CF,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D,求证:AD平分∠BAC.四、拓展提高如图,四边形ABDC中,∠D=∠B=90゜,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.(1)求证:OC平分∠ACD;(2)求证:OA⊥OC;(3)求证:AB+CD=AC.。

12.3角的平分线的性质(第二课时)导学案 2021—2022学年人教版八年级数学上册

12.3角的平分线的性质（第二课时）导学案1. 前言欢迎大家来到本节课的导学案！本节课我们将继续探讨角的平分线的性质。

请同学们认真听讲，积极思考，完成相关的练习题。

2. 角的平分线一个角的平分线是指将角平分成两个相等的角的射线。

角的平分线有很多有趣的性质。

3. 角的平分线的性质下面我们来讨论一些角的平分线的性质：3.1 性质一：相等角当一条射线作为一个角的平分线时，它将这个角分成两个相等的角。

具体而言，设射线AB是角ACD的平分线，则∠BAC ≌ ∠DAC。

3.2 性质二：角平分线的垂直性当一条射线是一个角的平分线时，它与该角的另外一条边相垂直。

具体而言，设射线AB是角ACD的平分线，则AB ⊥ CD。

3.3 性质三：角平分线的唯一性一个角的平分线是唯一的。

也就是说，一条角的平分线只能有一条。

4. 案例分析我们通过一个例子来应用所学的角的平分线的性质。

案例：已知∠ACD = 90°，AE是∠ACD的平分线，交CD于点F。

若AF = 2 cm，FE = 4 cm，求AE的长度。

解析：根据性质一，我们知道∠CEA ≌ ∠FED，由此可以得到三角形CEA与三角形FED是全等的。

因为∠ACD = 90°，所以三角形CEA与三角形CED是一个直角三角形。

根据全等三角形的对应边相等的性质，我们可以得到CE = DE。

由于AE是∠ACD的平分线，根据性质三，我们知道AE唯一，所以三角形AED与三角形AEC是全等的。

因此，AE = DE + EC = CE + EC = 2CE。

根据题目中已知的信息：AF = 2 cm，FE = 4 cm，可以得到CE = CF = 2 cm。

因此，AE = 2CE = 2 × 2 cm = 4 cm。

所以，AE的长度为4 cm。

5. 总结通过本节课的学习，我们了解了角的平分线的性质，包括相等角、角平分线的垂直性和角平分线的唯一性。

我们还通过一个案例应用了所学的知识。

八年级数学上册12.3.1 角的平分线的性质导学案(新版)新人教版

八年级数学上册12.3.1 角的平分线的性质导学案（新版）新人教版12、3、1 角的平分线的性质知识目标：1、会作已知角的平分线, 能熟练的说出角的平分线的性质；2、能运用角平分线的性质证明两条线段相等、一、学前准备：（预习案）1、角平分线的定义？AOBC2、如图，∵ OC是∠AOB的平分线∴ ∠AOC= =二、自主学习：（探究案）探究一：（用尺规作角的平分线）已知：∠AOB、求作：∠AOB的平分线OC、想一想：为什么OC是角平分线呢？如图,任意作一个角∠AOB, 作出∠AOB的平分线OC,在OC上任取一点P, 过点P画出OA、OB的垂线,分别记垂足为D、E, 测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试、通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？你能总结出角平分线的性质，并用几何语言来描述、练习：1、下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（） A B2、如图，OC平分∠AOB，CD⊥AO于D，CE⊥OB于E，若CD=3，则CE=________、2题3题3、如图：点P为∠AOB的角平分线上的一点，它到OA的距离为2cm，那么它到OB的距离是__________________。

4、如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？5、如图，点E是∠BAC平分线上一点，EB⊥AB，EC⊥AC，B,C 是垂足求证：AB=AC试一试：如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，∠B与∠C相等吗？为什么？课堂小结: 通过这节课的学习，你有哪些收获？知识反馈：（你还有哪些问题没能解决？）姓名：_____________ 分数：____________测试案1、如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上一点，PE⊥BA于点E，PE =4cm，则点P到边BC的距离为（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm2、已知如图，DA⊥AB于点A, DC⊥BC于点C，根据角平分线的性质填空、（1）若∠1=∠2，则______=______；（2）若∠3=∠4，则______=______、3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF、。

八年级数学角的平分线的性质导学案人教新课标版

八年级数学角的平分线的性质导学案人教新课标版11、3 角的平分线的性质(1)学习什么通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理、怎样学习经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法、学习或教学笔记教学程序一、练习回顾：二、自主学习：已知：∠AOB、求法：∠AOB的平分线、作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N、（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C、（3）作射线OC，射线OC•即为所求。

如下图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等、”证明如下：已知：∠AOC=∠BOC，点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E。

求证：PD=PE、证明：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上、三合作探究【例】如课本图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等、证明：注意：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们、所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理、如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写、四学习测评：1、已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE、求证：点P在∠AOB的平分线上、证明：2、△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F、求证EB=EC、3、如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC、求证∠１＝∠２、课后反思。

人教版初二数学上册12.3角的平分线的性质导学案

12.3角的平分线的性质导学案学习目标：1、知识目标：（1探究角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质。

（2）能利用角的平分线的性质进行简单计算和证明。

2、情感态度：通过实验发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质；体会研究几何问题的基本思路，发展他们的归纳概括和推理能力。

重点: 探索并证明角的平分线的性质，能进行简单的运用。

难点: 证明文字命题形式的角的平分线的性质。

【导学过程】一、感知与尝试情景引入：阅读学习目标：1、阅读课本P48----P49的内容，完成下列练习。

2、通过自学，完成练习：（每小题各5分）①：如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.②、如图，△ABC中, ∠C=900,AD平分∠CAB,且BD=5,点D到AB的距离为4；求BC的长。

3、你还有那些困惑？二、合作与探究：角的平分线的性质请同学们在下图∠AOB 的平分线OC 上任取一点P,过点P 画出OA 、OB的垂线，分别记垂足为D 、E ，测量PD 、PE ，并作比较，你发现什么结论？问题1：发现：问题2：你能用文字归纳你发现的结论吗？归纳：问题3：这个命题中的题设和结论分别是什么?题设：结论：问题4：你能通过严格的数学推理证明这个结论吗？数学命题：根据题意画图形，并用数学符号表示已知和求证，并证明。

证明: 已知：Oo C求证：问题5：它的几何语言如何描述：问题6：运用角的平分线的性质应具备的几个条件：应用新知：判一判，说说理由（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．（）（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．（）问题7、角平分线的性质有什么作用呢。

典例解析：如图：AD平分∠BAC,BE AC于点E，CF AB于点F，BE 、CF交于点D，求证：BD= CD。

新人教八年级上册第十二章第1课时角平分线的性质导学案

新人教八年级上册第十二章12.3角的平分线的性质第1课时角平分线性质一、新课导入1.导入课题：投影教材第48页开头的“思考”中的文字和图形，让学生说明道理后提出问题：你能从“思考”中得到的启示通过运用尺规作一个角的平分线吗？2.学习目标：（1）学会角平分线的画法.（2）探究并认知角平分线的性质.（3）熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.3.学习重、难点：重点：角的平分线的性质.难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究“角平分线的作法”.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读、作图、总结、归纳.（4）自学参考提纲：①投影中AE平分∠DAB是由什么方法得到∠DAE=∠BAE？证明△ABC≌△ADC(SSS).②由平分角的仪器尝试画∠AOB的平分线.③由导入得到作角平分线的方法：a.作法(1)能得到OM=ON；b.作法(2)能得到MC=NC；c.由SSS方法判定△OMC≌△ONC，得到∠MOC＝∠NOC，∴OC是∠AOB的平分线;d.在作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？不行.2.自学：学生结合自学指导进行探究式学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：利用角平分仪悟出画角平分线的方法，由实物抽象出几何图形，应用了数学里面的建模思想，部分学生理解起来还存在一定的困难.②差异指导：a.引导学生理解角平分仪平分角的道理是证明两角相等，回忆前面证明角相等的方法是证明三角形全等.b.在尺规作图的过程中引导学生运用三角形三边关系定理，理解“大于12MN的长”这个条件.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）让学生口述角平分线的作法步骤.（2）尝试练习：作出△ABC的三条角平分线（保留作图痕迹，写出作法）.（3）练习：平分平角∠AOB，通过作角平分线得到射线OC，然后反向延长OC得到直线CD，直线CD与直线AB存在什么样的位置关系？互相垂直.（4）给一张三角形纸片，你能不借助任何工具找到某一个角的平分线吗？能，将这个三角形沿过一个顶点的线折叠，使在该顶点的角的两边重合，则该线就是这个角的平分线.1.自学指导：（1）自学内容：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”.（2）自学时间：5分钟.（3）学习方法：先通过折纸画图、测量得出角平分线的性质，再探究几何证明方法.（4）探究提纲：①如图，OC平分∠AOB，点P是OC上任一点，P点到OA、OB的距离怎么找？过点P分别向OA、OB作垂线，P点与垂足之间的线段的长就是P点到OA、OB的距离.②这两个距离可采用什么方法得到它们的大小关系？证三角形全等，然后得出这两个距离相等.③用你采用的方法，得到了什么结论？结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等..④将性质用图形、几何语言表示（填写下表）：图形：已知事项：已知∠AOB,OC是∠AOB的平分线，P为OC上一点，且PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.由已知事项推出的事项：PD=PE⑤根据探究的内容，写出已知、求证及证明结论的过程.已知：∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD=PE.⑥由上述证明过程，总结证明一个几何命题的一般步骤：1.明确命题中的已知和求证;2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证;3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.2.自学：学生可结合自学指导探究式学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：通过第二层次的学习，学生能够理解角平分线的性质定理，但在证明过程中，大部分学生不习惯把文字语言改成几何语言，教师应了解学生在几何表述中存在的问题.②差异指导：得出结论之后，要通过证明，才能确定命题的正确性，引导学生学会证明文字语言描述的几何题的步骤.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)用文字及几何语言表述定理；(2)证明题的基本步骤.三、评价1.学生的自我评价：学生相互交谈自己的收获和学习困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法.从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感性.所以本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的，不是之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步加强巩固和训练.一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50分）1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是(D)A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO第2题图第3题图第4题图3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于(A)A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm4.如图，P是∠AOB角平分线上的点，C、D分别是OA、OB上的点，且PC=PD，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，求证：CE=DF.证明：∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEC=∠PFD=90°,PE=PF,在Rt△PEC和Rt△PFD中，PC=PD,PE=PF,∴Rt△PEC ≌Rt△PFD(HL),∴CE=DF.二、综合应用（第5题10分，第6题20分，共30分）5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，DE ⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数是（D）A.1个B.2个C.3个D.4个第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.证明：∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠B=90°.∵AD为∠BAC的平分线，∴DB=DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中，DE=CD,DB=DF,∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）.∴BE=CF.三、拓展延伸（20分）7.如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.求证：CE =CF.证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD,BC=DC,AC=AC,∴△ABC ≌△ADC(SSS).∴∠DAC=∠BAC.∴AC平分∠MAN.∵CE⊥AM,CF⊥AN,∴CE=CF.。

人教版八年级上第11章《角的平分线的性质》第1课时导学案

八年级( )班姓名：第组教学目的：理解角平分线的性质，能运用性质进行相应的计算或证明。

教学过程：一、复习回顾1、如图1，AB=AD，BC=DC，则根据可判定ΔABC≌ΔADC，从而得出∠BAC= ∠。

2、如图2，在ΔABC和ΔABD中，∠C=∠D=90°，要使ΔABC≌ΔABD，还需增加一个条件是。

3、如图2，因为∠C = 90°，所以BC⊥，线段的长度是点B 到AC的距离。

二、新课讲授1、师生动手画已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线作法：(1)以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。

(2)分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。

(3)画射线OC.射线OC即为所求。

2、师生探究在上图∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，请你量一量PD 与PE 的大小关系，结论：PD PE 。

3、如图3，∠AOC=∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，求证：PD=PE证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴ ∠PDO=∠PEO=在ΔPDO 和ΔPEO 中PDO= AOC= OP= ∠⎧⎪∠⎨⎪⎩∴ ≌∴PD=PE通过上例可以归纳出：角平分线的性质：角的平分线上的点到角。

三、A 组练习1、如图4，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA ，垂足为D ，PE ⊥OB ，垂足为E ，则PD 与PE 的大小关系是( )。

A 、PD>PEB 、PD=PEC 、PE<PED 、不能确定2、如图4，OP 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA 于D ，PD=3cm ，则P 到OB 的距离为PE= 。

3、如图5，在ΔABC中，AB=AC，AD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论中正确的有( )①AD上任意一点到点C，点B的距离相相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDFA、1个B、2个C、3个D、4个B组练习1、ΔABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：EB=FC证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥，DF⊥∴DE = ( )在RtΔBDE和RtΔCDF中BD DE =⎧⎨=⎩∴RtΔBDE≌( )∴EB=FC2、变式练习ΔABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：∠B =∠C证明：C组练习如图，AD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E和点F，连结点E和点F，连结EF，交AD于点G，则AD与EF垂直吗？证明你的结论。

2019-2020年(秋)八年级数学上册 12.3《角的平分线的性质》导学案1(新版)新人教版.doc

P N M C
B A D
C B A 2019-2020年(秋)八年级数学上册 12.3《角的平分线的性质》导学
案1（新版）新人教版
一、学习目标
1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点
教学重点：角平分线的性质及其应用
教学难点: 灵活应用两个性质解决问题。

三、合作探究
1、复习思考
（1）、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
（2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，C N 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离
相等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）
四、精讲精练
1、精讲
例1、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，
CD 相交于点O ，OB ＝OC ，
求证∠1＝∠2
2、精练
1、50页练习题
2、能力提高(*) 如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°
五、课堂小结这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流
角平分线上的点到角两边的距离相等
到角两边距离相等的点在角的平分线上
六、作业
4、课本
教学反思：。

角的平分线的性质(1)导学案

课题: 18.1角的平分线的性质（1） 201 年月日一、学习目标1、使学生加深认识角的平分线。

2、使学生掌握角的平分线的性质。

3、理解和掌握角的平分线的性质与判定的关系。

4、掌握画角平分线的方法。

二、教材导学1.复习思考什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？自学：教材P134——1362.下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？分析：要说明AE是∠DAB的平分线，其实就是证明∠ＣＡＤ＝∠ＣＡＢ，∠ＣＡＤ和∠ＣＡＢ分别在△ＣＡＤ和△ＣＡＢ中，那么证明这两个三角形全等就可以了。

证明：3.尺规作已知角的平分线的一般方法：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线OC作法：（1）（2）（3）依据：证明：（１）在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？（２）第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？（３）能否用同样的方法做以下角的角平分线呢？4．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论5.命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.题设：一个点在一个角的平分线上结论：这个点到这个角的两边的距离相等结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？6.用数学语言来表述角的平分线的性质定理：如右上图，∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 是 OC 上的一点，PA ⊥OB 、PD ⊥OA∴ PD=PE三、引领学习1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,问PE=PD?为什么?D D C B A 2、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC上，BD=DF ；求证：CF=EB例1、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠1＝∠2四、学习反馈1、在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE ⊥AB 于E ，则 ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE 相等？为什么？ ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长。

八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质导学案(新版)新人教版

角的平分线的性质第一课时角平分线的性质定理教学目标：掌握角平分线的作法以及角平分线的性质定理。

尝试探究，概括和应用。

培养学生积极探索，大胆猜想的创新意识与求证精神。

重难点：重点：角平分线的性质定理。

难点：角平分线性质定理的应用。

教学准备：多媒体课件，三角板，圆规，量角器教学方法：动手操作，讲练结合教学过程：复习导入复习提问角的平分线定义。

提出问题：给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？探究新知学生自学课本P48 “思考1”说明用角平分器平分一个角的道理。

师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并用全等三角形知识解释平分角的仪器的工作原理。

师提问：从利用角平分器画角平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？（生尝试利用直尺和圆规作角的平分线，师巡视指导，师生共同归纳利用尺规作角的平分线的具体方法）4、如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？师提问：第一条折痕是什么？第二次折叠形成的两条折痕又是什么？由此能得出什么结论？师生共同总结角平分线性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

随堂练习证明角平分线的性质定理（生分小组合作交流，师巡视指导）师生共同归纳证明几何命题的基本步骤：①明确命题中的已知和求证；②根据题意，画图形，并用数学符号表示已知，求证；③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

变式练习如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。

2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E。

①若DC=5，则DE= 。

②若BC=8，BD=5，则DE= 。

③若∠B=45°，CD=4，则BE= 。

④若BC=20，BD：CD=3：2，则点D到AB的距离是。

如图，C，D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA交OA于点E，CF⊥OB交OB于点F，求证：∠COE=∠CDF课堂小结作业P51 2、4课后反思12.3角平分线的性质第二课时角平分线的判定定理教学目标掌握角平分线的判定定理。

八年级数学上册角的平分线的性质导学案新人教

AE FPCB12.3角的平分线的性质主备人辅备人授课人使用时间三、知识深化：比较角平分线的性质与判定四、展示交流：1.要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20000）2.如右上图，在直线MN 上求作一点P ，使点P 到射线OA 和OB 的距离相等.3.如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝O C ，求证：∠1＝∠2分课时总课时姓名小组组号课题： 12.3角的平分线的性质（2）课型：新授课教学目标：1.能画出图形，并叙述角的平分线的判定方法；2.能应用角的平分线的性质及判定方法解决一些简单的实际问题.重点难点：角的平分线的判定方法的推导一、复习导入：1.角平分线的性质是 .2.如右图，点P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，且DP ⊥OC,EP ⊥OC,点D,E 分别在OA,OB 上，请问：（1）PD=PE 吗？说明理由.（2） PD 、PE 是点P 到∠AOB 的两边的距离吗？若不是，请在图中画出点p 到OA OB 的距离.二、合作探究：已知：点P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是点E 、F ，PE=PF. 求证：点P 在∠BAC 的角平分线上.备注（教师个性备课；学生方法总结，易混点、易错点整理）PDA OBECAO BMN八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知（m-n ）2=8，（m+n ）2=2，则m 2+n 2=（） A ．10 B ．6 C ．5 D ．3【答案】C【分析】根据完全平方公式可得()22228m n m mn n -=-+= ，()22222m n m mn n +=++=，再把两式相加即可求得结果. 【详解】解：由题意得()22228m n m mn n -=-+= ，()22222m n m mn n +=++=把两式相加可得，则故选C.考点：完全平方公式点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分. 2．如图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】选项A 、B 中的图形是轴对称图形，只有1条对称轴；选项C 中的图形不是轴对称图形；选项D 中的图形是轴对称图形，有2条对称轴. 故选D.3．若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】根据三角形内角和180°来计算出最大的内角度数,然后来判断三角形的形状. 【详解】解:三角形三个内角度数之比为2：3：7,∴三角形最大的内角为: 7180105237︒⨯=︒++.∴这个三角形一定为钝角三角形.故选:C. 【点睛】本题主要考查三角形内角和180°,计算三角形最大内角是解题关键. 4．下面是一名学生所做的4道练习题：①0(2)1-=；②()3236xy x y -=；③222()x y x y +=+，④21(3)9--=，他做对的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据零次幂、积的乘方、完全平方公式、负整数指数幂进行判断. 【详解】解：①0(2)1-=，正确； ②()3236xyx y -=-，错误；③222()2x y x y xy +=++，错误； ④21(3)9--=，正确. 故选B. 【点睛】本题考查了整式乘法和幂的运算，正确掌握运算法则是解题关键.5．如图，数轴上的点A 表示的数是-1，点B 表示的数是1，CB AB ⊥于点B ，且2BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（）A ．221B ．22C ．2.8D ．221【答案】A【分析】根据勾股定理求出AC ，根据实数与数轴的概念求出点D 表示的数．【详解】解：由题意得，AB ＝1，由勾股定理得，AC ＝22222222AB BC ，∴AD ＝22，则OD ＝22−1，即点D 表示的数为22−1，故选A ．【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 1＋b 1＝c 1．6．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何?设该物品的价格是x 钱，共同购买该物品的有y 人，则根据题意，列出的方程组是（） A ．83{74y x y x -=-=B ．83{74y x y y -=-= C ．83{74y x y x -=--=- D ．83{74y x y x -=-=-【答案】D【分析】设该物品的价格是x 钱，共同购买该物品的有y 人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：根据题意可知，8374y x y x -=⎧⎨-=-⎩故答案为：D. 【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．若()22316x m x --+是关于x 的完全平方式，则m 的值为（）A ．7B ．-1C ．8或-8D ．7或-1【答案】D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．【详解】∵x 2−2（m−3）x ＋16是关于x 的完全平方式， ∴m−3＝±4，解得：m ＝7或−1，故选：D ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝105°，∠EAB＝10°，则∠BAD为（）A．50°B．60°C．80°D．120°【答案】B【分析】先根据全等三角形的对应角相等得出B=∠D=25°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=50°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=25°，又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=105°，∴∠DAE=180°-25°-105°=50°，∵∠EAB=10°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=60°．故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．综合应用全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．9．小明对九（1）、九（2）班（人数都为50人）参加“阳光体育”的情况进行了调查，统计结果如图所示.下列说法中正确的是( )A．喜欢乒乓球的人数(1)班比(2)班多B．喜欢足球的人数(1)班比(2)班多C ．喜欢羽毛球的人数(1)班比(2)班多D ．喜欢篮球的人数(2)班比(1)班多【答案】C【解析】根据扇形图算出（1）班中篮球，羽毛球，乒乓球，足球，羽毛球的人数和（2）班的人数作比较，（2）班的人数从折线统计图直接可看出．【详解】解：A 、乒乓球：(1)班50×16%=8人，(2)班有9人，8<9，故本选项错误； B 、足球：(1)班50×14%=7人，(2)班有13人，7<13，故本选项错误； C 、羽毛球：(1)班50×40%=20人，(2)班有18人，20>18，故本选项正确； D 、篮球：(1)班50×30%=15人，(2)班有10人，15>10，故本选项错误. 故选C. 【点睛】本题考查扇形统计图和折线统计图，扇形统计图表现部分占整体的百分比，折线统计图表现变化，在这能看出每组的人数，求出(1)班喜欢球类的人数和(2)班比较可得出答案． 10．如图，点A 表示的实数是（）A ．3B ．3-C ．5D ．5-【答案】D【分析】根据勾股定理可求得OA 的长为5，再根据点A 在原点的左侧，从而得出点A 所表示的数．【详解】如图，22215+= ∵OA=OB ， ∴5∵点A 在原点的左侧，∴点A 在数轴上表示的实数是5 故选：D ．【点睛】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．二、填空题11．如图，直线l上有三个正方形,,a b c，若,a c的面积分别为5和11，则b的面积为__________．【答案】16【解析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE，然后证明△ΔBCA≌ΔAED，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【详解】解：∵AB=AD，∠BCA=∠AED=90°，∴∠ABC=∠DAE，∴ΔBCA≌ΔAED(ASA)，∴BC=AE，AC=ED，故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16，即正方形b的面积为16.点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明ΔBCA≌ΔAED，而利用全等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键.12．方程233x x=-的解是．【答案】x=1．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可. 【详解】去分母得：2x=3x﹣1，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故答案为x=1．【点睛】本题主要考查了解分式方程的步骤，牢牢掌握其步骤就解答此类问题的关键．13．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC 于点M 和N，再分别以M，N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC 于点D，则下列说法中：①AD 是∠BAC 的平分线；②点D 在线段AB 的垂直平分线上；③S△DAC：S△ABC=1：2,正确的序号是_____．【答案】①②【解析】①据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的垂直平分线上；③利用10度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝10°，∴∠CAB＝60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝12∠CAB＝10°，∵∠1＝∠B＝10°，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰三角形∴点D在AB的垂直平分线上．故②正确；③∵如图，在直角△ACD 中，∠2＝10°， ∴CD ＝12AD ， ∴BC ＝CD ＋BD ＝12AD ＋AD ＝32AD ，∴S △DAC ＝12AC•CD ＝14AC•AD ，∴S △ABC ＝12AC•BC ＝12AC•32AD ＝34AC•AD ，∴S △DAC ：S △ABC ＝14AC•AD ：34AC•AD ＝1：1．故③错误．故答案为：①②．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图－基本作图，解题关键是熟悉等腰三角形的判定与性质． 14．若一组数据4,,5,,7,9x y 的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________．【答案】83【分析】根据平均数的计算公式，可得11x y +=，再根据众数是5，所以可得x,y 中必须有一个5，则另一个就是6，通过方差的计算公式计算即可. 【详解】解：∵一组数据4,,5,,7,9x y 的平均数为6，众数为5， ∴,x y 中至少有一个是5，∵一组数据4,,5,,7,9x y 的平均数为6， ∴()4579166x y +++++=， ∴11x y +=，∴,x y 中一个是5，另一个是6，∴这组数据的方差为()()()()()22222846256661[]676963-+-+-+-+-=；故答案为83．【点睛】本题是一道数据统计中的综合性题目，涉及知识点较多，应当熟练掌握，特别是记忆方差的计算公式.15x 的取值范围是__________【答案】3x ≥【分析】根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）解答．【详解】解:根据题意得：30x -≥，解得：3x ≥．故答案为：3x ≥．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，注意二次根式的被开方数是非负数． 16．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是°．【答案】80°或50° 【解析】分两种情况：①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=(180°−80°)÷2=50°；②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它的底角度数是50或80. 故答案为：80°或50°. 17．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 、F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DEDF =，连接BF 、CE ，下列说法：①ABD ∆和ACD ∆的面积相等，②BAD CAD ∠=∠，③BDF CDE ∆≅∆，④//BF CE ，⑤CE BF =，其中一定正确的答案有______________．（只填写正确的序号）【答案】①③④⑤【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确；利用“SAS”证明③△BDF≌△CDE正确，根据全等三角形对应边相等，证明⑤正确，根据全等三角形对应角相等得∠F=∠DEF，再根据内错角相等，两直线平行可得④正确.【详解】解：由题意得 BD=CD,点A到BD,CD的距离相等∴△ABD和△ACD的面积相等，故①正确；虽然已知AD为△ABC的中线，但是推不出来∠BAD和∠CAD一定相等,故②不正确；在△BDF和△CDE中BD CDBDF CDEDF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BDF≌△CDE,故③正确；∴CE=BF，故⑤正确；∴∠F=∠DEF∴BF∥CE，故④正确；故答案为①③④⑤.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形面积相等，熟练掌握三角形判定的方法并准确识图是解题的关键. 全等三角形的判定：SSS；SAS；ASA；AAS；H.L；全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等.三、解答题18．计算（每小题4分，共16分）（1）(((201220130222--（2）已知22360a a +-=．求代数式3(21)(21)(21)a a a a +-+-的值.（1）先化简，再求值22211111m m m m m m -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中m .（4）解分式方程：31221x x =--+1．【答案】（1）1；（2）7；（1（4）116【分析】（1）根据幂的乘方、平方差公式、去绝对值解决即可.（2）根据整式乘法法则，将原式变形成2a 2+1a+1，再将22360a a +-=变形成2a 2+1a=6，代入计算即可.（1）根据分式的基本性质，先将原式化简成1m ，将m 的值代入计算即可.（4）根据等式和分式的基本性质，将分式方程化简成整式方程求解即可.【详解】（1）(((201220130222--，((2012222212⎡⎤=++-⨯-⎣⎦；()(2012121=--，21=，=1.（2）解：原式=6a 2+1a-（4a 2-1）=6a 2+1a-4a 2+1=2a 2+1a+1∵2a 2+1a-6=0∴2a 2+1a=6原式=6+1=7（1）21(1)(1)(1) 1)(1)1m m m mm m m--+--=÷+-+（）原式（11•1(1)m mm m m-+=+-1m=313mm=∴=（4）313,221x x=-+--方程两边都乘以()21x-得：()3261x，=-+-解得：116x=，检验：当116x时，2（x﹣1）≠0，所以116x是原方程的解，即原方程的解为116x.【点睛】本题考查了幂的乘方、平方差公式、整式运算法则、分式的化简求值及解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握整式和分式的运算法则，等式的基本性质. 19．如图，在ABC∆中，D是BC的中点，,DE AB DF AC⊥⊥，垂足分别是,,E F BE CF=．求证：AD平分BAC∠．【答案】见解析【分析】首先证明Rt DEB Rt DFC ≅，然后有DEDF =，再根据角平分线性质定理的逆定理即可证明．【详解】∵D 是BC 的中点， BD CD ∴=．,DE AB DF AC ⊥⊥,90DEB DFC ∴∠=∠=︒ ．在Rt DEB 和Rt DFC 中，BE CF BD DC =⎧⎨=⎩()Rt DEB Rt DFC HL ∴≅,DE DF ∴=．,DE AB DF AC ⊥⊥,∴点D 在BAC ∠的平分线上，∴AD 平分BAC ∠．【点睛】本题主要考查角平分线性质定理的逆定理和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线性质定理的逆定理和全等三角形的判定及性质是解题的关键．20．（模型建立）（1）如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .求证：BEC CDA ∆≅∆；（模型应用）（2）已知直线1l ：443y x =+与坐标轴交于点A 、B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式；（3）如图3，长方形ABCO ，O 为坐标原点，点B 的坐标为()8,6-，点A 、C 分别在坐标轴上，点P 是线段BC 上的动点，点D 是直线26y x =-+上的动点且在第四象限.若APD ∆是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接．．写出点D 的坐标.【答案】（1）见解析；（2）y＝−7x−21；（3）D（4，−2）或（203，223-）.【分析】（1）根据△ABC为等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定BEC CDA∆≅∆；（2）①过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，根据△CBD≌△BAO，得出BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，求得C（−4，7），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；（3）根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，−2x＋6），分别根据△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，据此列出方程进行求解即可．【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°，又∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，D EACD EBC CA CB∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴BEC CDA∆≅∆（AAS）；（2）①如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝43x＋4中，若y＝0，则x＝−3；若x＝0，则y＝4，∴A（−3，0），B（0，4），∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，∴OD＝4＋3＝7，∴C（−4，7），设l2的解析式为y＝kx＋b，则7403k bk b=-+⎧⎨=-+⎩，解得：721 kb=-⎧⎨=-⎩，∴l2的解析式为：y＝−7x−21；（3）D（4，−2）或（203，223-）．理由：当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交BC于F，设D（x，−2x＋6），则OE＝2x−6，AE＝6−（2x−6）＝12−2x，DF＝EF−DE＝8−x，由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，即：12−2x＝8−x，解得x＝4，∴−2x＋6＝−2，∴D（4，−2），此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D （x ，−2x ＋6），则OE ＝2x−6，AE ＝OE−OA ＝2x−6−6＝2x−12，DF ＝EF−DE ＝8−x ，同理可得：△ADE ≌△DPF ，则AE ＝DF ，即：2x−12＝8−x ，解得x ＝203， ∴−2x ＋6＝223-， ∴D （203，223-），此时，ED ＝PF ＝203，AE ＝BF ＝43，BP ＝PF−BF ＝163＜6，符合题意，综上所述，D 点坐标为：（4，−2）或（203，223-）【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．21．（1）计算：026(3)(31)8(2)-÷--+⨯-；（2）计算：(48276；（3）解方程：11322x x x --=--；【答案】（1）-1；（2122（3）无解【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减即可；（2）先算括号里，再根据二次根式的除法法则计算；（3）两边都乘以x-2，化为整式方程求解，然后检验．【详解】（1）原式=16(3)184÷--+⨯=-2-1+2=-1；（2）原式=(===（3）11322xx x --=--两边都乘以x-2，得x-1-3(x-2)=1，解得x=2，检验：当x=2时，x-2=0，∴x=2是原方程的增根，原方程无解．【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，以及分式方程的解法，熟练掌握运算法则以及分式方程的解法是解答本题的关键．22．已知ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足4422222220a b a b a c b c ++--=，试判定ABC ∆的形状.【答案】ABC ∆是直角三角形．【分析】原等式的左边利用分组分解法分解因式即得a 、b 、c 满足的关系式，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：∵4422222220a b a b a c b c ++--=，∴()()2222220a b c a b +-+=，∴()()222220a b a b c ++-=，∵a 、b 、c 是△ABC 的三边，∴220a b +>，∴2220a b c +-=，即222+=a b c ，∴∠C=90°，ABC ∆是直角三角形．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和勾股定理的逆定理，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法和勾股定理的逆定理是解题关键．23．已知：如图，把ABC ∆向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到'''A B C ∆；（1）写出',','A B C 的坐标；（2）求出ABC ∆的面积；（3）点P 在y 轴上，且BCP ∆与ABC ∆的面积相等，求点P 的坐标．【答案】（1）A′（0，4）、B′（-1，1）、C′（3，1）；（2）6；（3）P （0，1）或（0，-5）．【分析】（1）观察图形可得△ABC 的各顶点坐标，继而根据上加下减，左减右加即可得到平移后对应点A′、B′、C′的坐标；即可得到△A ′B ′C ′；（2）直接利用三角形面积公式根据BC 以及BC 边上的高进行求解即可；（3）由△BCP 与△ABC 的面积相等可知点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离，据此分情况求解即可．【详解】（1）观察图形可得A （-2，1），B （-3，-2），C （1，-2），因为把△ABC 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′，所以A′（-2+2，1+3）、B′（-3+2，-2+3）、C′（1+2，-2+3），即A′（0，4）、B′（-1，1）、C′（3，1）；（2）S △ABC =12BC AD =1432⨯⨯=6；（3）设P （0，y ），∵△BCP 与△ABC 同底等高，∴|y+2|=3，即y+2=3或y+2=-3，解得y 1=1，y 2=-5，∴P （0，1）或（0，-5）．【点睛】本题考查了图形的平移，三角形的面积，熟练掌握平移的规律“上加下减，左减右加”是解题的关键．24．计算:3a 2·(－b)－8ab(b －12a)【答案】228a b ab -【分析】根据单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得解.【详解】原式=222384a b ab a b --+=228a b ab -.【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．25．某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A 、B 型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A 型芯片？【答案】（1）A 型芯片的单价为2元/条，B 型芯片的单价为35元/条；（2）1．【解析】（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据题意得：312042009x x =-，解得：x ＝35，经检验，x ＝35是原方程的解，∴x ﹣9＝2．答：A 型芯片的单价为2元/条，B 型芯片的单价为35元/条．（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据题意得：2a+35（200﹣a ）＝621，解得：a ＝1．答：购买了1条A 型芯片．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图,折叠长方形ABCD 的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处,折痕为AE ,且6AB =，10BC =．则EF 的长为( )A ．3B ．103 C ．4 D ．83【答案】B【分析】先求出BF 的长度，进而求出FC 的长度；根据勾股定理列出关于线段EF 的方程，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=10，DC=AB=6；∠B=90°，由折叠的性质得：AF=AD=10cm ；DE=EF设DE=EF=x ，EC=6-x在Rt △ABF 中228BF AF AB =-=∴CF=10-8=2；在Rt △EFC 中，EF 2=CE 2+CF 2，22(6)4x x ∴=-+ 解得：103x =103EF ∴=故选：B【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系；根据有关定理灵活分析、正确判断、准确求解．2．如图，在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=110°，则∠EAF 为（）A ．35°B ．40°C ．45D ．50°【答案】B 【解析】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠C+∠B=70°，根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA ，FB=FA ，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠C ，∠FAB=∠B ，计算即可．解：∵∠BAC=110°，∴∠C+∠B=70°，∵EG 、FH 分别为AC 、AB 的垂直平分线，∴EC=EA ，FB=FA ，∴∠EAC=∠C ，∠FAB=∠B ，∴∠EAC+∠FAB=70°，∴∠EAF=40°，故选B ．考点：线段垂直平分线的性质．3．若等腰三角形的两边长分别为6和8，则周长为（）A ．20或22B ．20C ．22D ．无法确定【答案】A【解析】若6是腰长，则三角形的三边分别为6、6、8，能组成三角形，周长=6+6+8=20，若6是底边长，则三角形的三边分别为6、8、8，能组成三角形，周长=6+8+8=1，综上所述，三角形的周长为20或1．故选A ．4．如图，C 3∠=∠，280∠=︒，13140∠+∠=︒，A D ∠=∠，则B 的度数是（）A ．80°B ．40°C ．60°D ．无法确定【答案】B【解析】首先证明EF BC ∥，求出340C ∠=∠=︒，然后证明AB CD ∥，根据平行线的性质即可得解.【详解】解：∵C 3∠=∠，∴EF BC ∥，∴12180∠+∠=︒.∵280∠=︒.∴1100∠=︒，∵13140∠+∠=︒，∴340C ∠=∠=︒.∵A D ∠=∠.∴AB CD ∥.∴40B C ∠=∠=︒.故选B.【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质及角的和差计算．5．如图，已知△ABC ，AB=5，∠ABC=60°，D 为BC 边上的点，AD=AC ，BD=2，则DC=( )A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B【分析】过点A作AE⊥BC，得到E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB=5，∠ABC=60°，求出BE=52，进而求出DE=52-2=12，即可求CD．【详解】过点A作AE⊥BC．∵AD=AC，∴E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB=5，∠ABC=60°，∴BE=52．∵BD=2，∴DE=52﹣2=12，∴CD=1．故选：B．【点睛】此题考查等腰三角形与直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．6．若分式3xx -的值为0，则x 的取值是（）A ．3x =B ．0x =C ．0x =或3D ．以上均不对【答案】B【分析】根据分式的值为零的条件可得到0,30x x =-≠，再解可以求出x 的值．【详解】解：由题意得：0,30x x =-≠，解得：x=1，故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1．这两个条件缺一不可．7．下列各数中是无理数的是（）A ．3.14B ．C D【答案】C【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】A ．3.14是有限小数，属于有理数；B ，是整数，属于有理数；CD =4，是整数，属于有理数；故选C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．8．下列变形从左到右一定正确的是( )．A ．22a a b b -=- B ．a ac b bc = C ．ax abx b = D ．22aa b b =【答案】C【分析】根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．【详解】选项A ，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0的整式，分式的值不变，分式的分子和分母都减去2不一定成立，选项A 错误；选项B ，当c ≠0时，等式才成立，即()0a acc b bc =≠，选项B 错误；选项C ，ax bx 隐含着x ≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x ，根据分式的基本性质得出axabx b =，选项C 正确；选项D ，当a=2，b=-3时，左边≠右边，选项D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的基本性质是解决问题的关键．9．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】观察图形，利用中心对称图形的性质解答即可．【详解】选项A ，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；选项B ，新图形是中心对称图形，故此选项正确；选项C ，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；选项D ，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，熟知中心对称图形的概念是解决问题的关键．10．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个 ( )A ．形状相同的三角形B ．面积相等的三角形C ．周长相等的三角形D ．直角三角形【答案】B【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【详解】三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选B ．【点睛】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．二、填空题11．数据-3、-1、0、4、5的方差是_________．【答案】9.1．【分析】根据公式求出这组数据的平均数与方差．【详解】这组数据的平均数是：(3)(1)04515x -+-+++== 方差是2222221[(31)(11)(01)(41)(51)]9.25s =--+--+-+-+-=．故答案为：9.1．【点睛】本题考查了求数据的平均数与方差的问题，解题时利用平均数与方差的公式进行计算即可．12．若 31x - 与4x 互为相反数，则x 的值为________________．【答案】4 【分析】根据31x - 与4x 互为相反数可以得到31x -+4x =0，再根据分式存在有意义的条件可以得到1-x≠0，x≠0，计算解答即可．【详解】∵31x - 与4x 互为相反数 ∴31x -+4x =0又∵1-x≠0，x≠0∴原式去分母得3x+4（1-x ）=0解得x=4故答案为4【点睛】本题考查的是相反数的意义、分式存在有意义的条件和解分式方程，根据相反数的意义得到31x -+4x=0是解题的关键． 13．如图，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=，AD 是ABC ∆的中线，AE 是BAD ∠的角平分线，DFAB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为_______．【答案】6【分析】根据等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=60°，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F ，从而AD=DF ，求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【详解】解：∵AB=AC ，AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°=60°， ∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=12×60°=30°， ∵DF//AB ，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF ，∵∠B=90°-60°=30°，∴AD=12AB=12×12=6， ∴DF=6，故选：C ．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．14．分解因式：229x y -=__．【答案】(3)(3)x y x y +-．【解析】直接利用平方差公式进行分解即可．【详解】原式(3)(3)x y x y =+-，故答案为：(3)(3)x y x y +-．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．15．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是_____边形．【答案】九．【解析】设这个多边形是n 边形，由题意得，n ﹣2=7，解得：n=9，即这个多边形是九边形，故答案是：九．16．当x=______，分式221x x -+的的值为零。