可压缩性流体一元稳定流动基本理论.

• 现在来推导音速公式，如图（a）所示，在充满静止气体的直 管一端，有一面积为A的活塞。当活塞静止时，管中静止气体 的压力和密度分别为p和ρ；当使活塞以微小速度u向前运动时， 而依次压缩其前部的气体，经过t时间后见图（b），这种压缩 的传播在管中形成一个扰动面m-n(或称扰动波头)，其推进速度 即为音速a，扰动后的压力增量为dp、密度增量为dρ；图（c） 为经过时间t+dt后的情况。按上图所示情况，根据质量守恒和 动量原理，来推导音速公式：
•

dp
v2 H1 （常数） 2
（2）
•
对于不可压缩流体， 为定值，则(2)式为:
v2 H 2 p
•
(3)
(3)式说明，不可压缩流体沿流程各个断面上，单位 质量流体的压力能与动能之和均相等。同时表明，不可 压缩流体在不计位能时，只有压力能和动能两种能量。
对于压缩性流体，可根据气体状态变化过程，来确 定 p与 之间的函数关系。对于绝热过程， p 与 之 间服从函数关系：
1.5 可压缩性流体 一元稳定流动基本理论
1.5.1 绝热流动的全能量方程及其应用
1.5.1.1 全能量方程 为了导出全能（量）方程，首先研究气流流管的运 动，如图所示，取微元流管的轴线s与x轴重合，则分速 度 vy=0,vz=0,vs=vx=v ，又
单位质量力以 X=Ws 表示。
由欧拉运动微分方程式， 可写出一元流动的欧拉运动 微分方程为：
1 p dv Ws s dt
•
对于稳定流动，上式可写成：
Baidu Nhomakorabea
1 dp dv Ws v ds ds
• 因气体体积密度很小，在气体动力学中忽略质量力， 则上式可写成：
dp
•
v2 d( ) 0 或 2
dp
v2 d( ) 0 2g
（1）
上式确定了压力、密度（或重度）及速度之间的函 数关系。它是欧拉导出的，故称为欧拉运动微分方程，也 称为微分形式的伯努利方程。将式（1）积分，则得：
•
p

k
C
或
C

1 k
p
1 k
（4）
•
将此函数关系代入积分项，则得
•
所以式（2）可写成

dp
C
1 k
p dp

1 k
k p k 1
k p v2 H （常数） k 1 2
• 此式即为绝热流动的全能方程，亦称为绝热流动的柏 努利方程。它与不可压缩的式（3）相比较，由于绝热变 化而使压力能增大k /(k 1) 倍。对于空气k=1.4，则 k /(k 1) ＝3.5倍。所谓全能方程，是指能量中包括气体的内能e。 为此将上式改写成如下形式
2k p1 p2 2 v2 [ ] v1 k 1 1 2 k 1 p2 k 2k p1 2 v2 [1 ( ) ] v1 k 1 1 p1 k p1 v12 k p2 v2 2 k 1 1 2 k 1 2 2
(8)
• 绝热指数决定于气体分子结构：单原子气体（k=1.66）， 双原子气体、包括空气（k=1.4），多原子气体、包括过 热蒸汽（k=1.33），饱和蒸汽（k=1.135）。
R ' 287牛 米 / 公斤 开 ，代入式 • 如果将空气的 k=1.4， （5），则得空气的绝热流动全能方程为
v2 3.5 H (常数) 2 2 2000T v H1(常数) 2 或 v2 2000(T1 T2 ) v1 p
(9)
1.5.1.2 用焓表示的全能方程 • 在气体动力学中，常用焓为参数来表示全能方程。从热力 学中知道，压力能与内能之和为焓，即 (10) • 因为理想气体的焓与定压比热 C p 及绝对温度T之间，具有 如下关系
p 1 p e CvT Cv (C p Cv ) k 1
• 所以，全能方程的能量含义是：绝热流动中，任一断面上单 位质量气体所具有的压力能、动能与内能之和为一常数。或 者说三种能量之间可以互相转化，但其和则保持不变。 • 对于任意1，2两断面来说，绝热的全能方程为
或
v2 i i0 H 2(常数) 2

(11)
v2 如果将 i 用温度T表示时，则上式为 C pT C p T0 2 或写成
T v2 v2 1 1 T0 2C pT0 2i0
(12)

上式说明气体（可压缩）流动与不可压缩液体流动， 有显著区别：在不可压缩液流中，只有存在热交换才能引
k p i k 1
i Cp T
• 再借助于理想气体状态方程， 及 R ' C p Cv 和 T R' k C p / Cv p k p • 根据这些关系可证明：i C p T C p (C p Cv ) k 1
p
• 所以，用焓表示的全能方程为
起液体温度的改变，而有效断面变化所造成的速度改变，
并不引起液体温度的改变；但在可压缩气流中则不然，其 温度随流速变化而改变，如式（12）所示，当流速v小时， 则温度T较高，而当v增大时，则T便降低。 例如高压气体经管道流入背压较低的空间，由于压差
很大，管中流速很高，因此气流温度便显著下降，所以管
1 p p v2 H k 1 2
（6）
• 此式与不可压缩流体的式（3）相比较，清楚表明，可压 缩流体绝热运动中单位质量气体所具有的内能e，即 1 p （7） e
k 1
• 由热力学第一定律知道，理想气体的内能与定容热容Cv和 温度T之间，具有如下关系
e Cv T T p ' • 借助于理想气体的状态方程，则有 ( R ) 。又因为单 位质量气体常数R’与定压热容Cp、Cv之间的关系为 R’ = Cp－Cv； Cp/Cv = k • 由上述关系可证明：
道表面常出现结霜现象，其实质原因就在这里。
1.5.2音速
1.5.2.1音速
声音的来源是由于物体振动。当物体在可压缩介质 中振动时，这种振动便引起介质的压力和密度的微弱变 化，通常称之为介质的微弱扰动或弱压力波。这种扰动 在介质中依次传递下去，就是声音的传播过程。因而，
音速: 是指微弱扰动在可压缩介质中的传播速度。