第一章直角三角形的边角关系(第五课时)

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1.5 三角函数的应用(练习)(解析版)

第一章直角三角形的边角关系第五节三角函数的应用精选练习一、单选题1．（2021·重庆沙坪坝区·九年级期末）如图，某建筑物AB 在一个坡度为1:0.75i =的山坡CE 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离20BC =米，在距山脚点C 右侧水平距离为60米的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，建筑物AB 和山坡CE 的剖面的同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（）（参考数据：sin 240.41°»，cos 240.91°»，tan 240.45°»）A ．32.4米B ．20.4米C ．16.4米D ．15.4米【答案】C【分析】延长AB 交CD 反向延长线于F ．根据题意可知43BF FC =，则设BF=4x ，FC=3x ．由正切可求出AF 的长．再在Rt BFC △中，由勾股定理可求出x 的值．最后即可利用=AB AF BF -求出AB 长．【详解】如图延长AB 交CD 反向延长线于F ，由题意可知BF DF ^．∵建筑物AB 在一个坡度为i =1:0.75的山坡CE 上，∴10.75BF FC =，即43BF FC =．设BF=4x 米，则FC=3x 米，DF=（60+3x ）米，∵24D Ð=°，∴tan tan 240.45AF D DFÐ=°==，∴0.45(603)(27 1.35)AF x x =+=+米．在Rt BFC △中，222BF FC BC +=，即222(4)(3)20x x +=，∴1244x x ==-，（舍）．∴4416BF =´=米，27 1.354=32.4AF =+´米．∴=32.4-16=16.4AB AF BF -=米．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用和勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．2．（2021·山东烟台市·九年级期末）一人乘雪橇沿坡比1s （m ）与时间t （s ）之间的关系为s ＝8t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为5s ，则此人下降的高度为（）A ．mB ．45mC ．D ．90m【答案】B【分析】根据题意求出滑下的距离s ，根据坡度的概念求出坡角，根据直角三角形的性质解答即可．【详解】解：设斜坡的坡角为α，当t=5时，2852590s =´+´=，∵斜坡的坡比1∴，∴α=30°，∴此人下降的高度=12×90=45（m），故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2021·山东省枣庄市第十三中学九年级月考）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C ，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）A．a sinx+bsinx B．a cosx+bcosxC．a sinx+bcosx D．a cosx+bsinx【答案】D【分析】作AF⊥OB于点F，则点A到OC的距离等于OF的长，根据矩形性质及解直角三角形可得OB=BC•cosx=bcosx，BF=AB •sinx=asinx，进而可得OF的长【详解】解：作AF⊥OB于点F，则点A到OC的距离等于OF的长．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD=BC=b∴∠ABC=90°，∴∠ABF+∠OBC=90°，∵∠O=90°，∴∠BCO +∠OBC=90°，∴∠BCO=∠FBA∵∠BCO=x ，∴∠FBA =x ，在Rt n OCB 中，BC=AD=b ，OB=BCsinx=bsinx在Rt n AFB 中，AB=a ，BF=ABcosx=acosx∴FO=FB+BO=acosx+bsinx ，故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2019·山西九年级期末）如图，要测量小河的宽度，在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得50PC m =，35PCA Ð=°，则小河的宽度PA 等于（）A ．50tan 35m°B ．50sin 55m °C ．50sin 35m °D ．50tan 55m°【答案】A【分析】根据正切函数可求小河宽PA 的长度．【详解】解：∵PA ⊥PB ，PC=50米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan ∠PCA=50tan35°(米)．故选：A ．【点睛】考查考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．5．（2021·全国九年级）如图，小明为了测量照母山上“览星塔”AB 的高度，先从与塔底中心B 在同一水平面上的点D 出发，沿着坡度为1:0.75的斜坡DE 行走10米至坡顶E 处，再从E 处沿水平方向继续前行若干米后至点F 处，在F 点测得塔顶A 的仰角为63°，塔底C 的俯角为45°，B 与C 的水平距离为4米（图中A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，E 、F 和D 、C 、B 分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”AB 的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin 630.89°»，cos 630.45°»，tan 63 1.96°»）（）A ．17.8米B ．23.7米C ．31.5米D ．37.4米【答案】C【分析】过点E 作EP ⊥DC 于P ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，过点C 作CH ⊥EG 于H ，根据坡度的定义设PE=4x ，则PD=3x ，利用勾股定理列出方程即可求出x 的值，从而求出PE CH BG ===8米，然后求出FH=CH=8米，即可求出FG ，再利用锐角三角函数即可求出AG ，从而求出结论．【详解】解：过点E 作EP ⊥DC 于P ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，过点C 作CH ⊥EG 于H∴,4PE CH BG GH BC ====米，DE=10米∵斜坡DE 的坡度为1:0.75∴140.753PE PD ==设PE=4x ，则PD=3x ，=5x=10解得：x=2∴PE=8米∴PE CH BG ===8米∵∠CFH=45°∴△CFH 为等腰直角三角形∴FH=CH=8米∴FG=FH ＋GH=12米∵∠AFG=63°，tan ∠AFG=AGFG∴AG=FG·tan ∠AFG 12 1.96»´=23.52米∴AB=AG+BG=31.52≈31.5米故选C ．【点睛】此题考查的是解直角三角函数的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解题关键．6．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知海面上一艘货轮A 在灯塔B 的北偏东30°方向，海监船C 在灯塔B 的正东方向5海里处，此时海监船C 发现货轮A 在它的正北方向，那么海监船C 与货轮A 的距离是（）A ．10海里B ．海里C ．5海里D 海里【答案】B【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可．【详解】根据题意建立如图所示Rt △ABC ，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，∴560AC BC tan B tan ==´°=g ，故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确根据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键．7．（2020·重庆西南大学银翔实验中学九年级月考）在学校操场旁边的台阶上有一个“翔”的雕塑，雕塑后面是很长的一段台阶CD ，意寓拥抱梦想，展翅翱翔，如图，雕塑的上边缘点A 距地面平台高度为AB 的长，点B 距台阶底端C 的距离1BC =米，台阶底端C 与顶端D 的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，且40CD =米．若A ，B ，C ，D 四点在同一平面内，且在点D 看石雕上边缘点A 的俯角为50°，则雕塑“翔”的高度AB 约为（）米．（参考数据：sin 500.77°»，cos500.64°»，tan 50 1.19°»）A ．2.21B ．2.20C ．2.25D ．2.31【答案】C【分析】过A 作AF D E ^于F ，则四边形ABEF 为矩形，得AB EF =，AF BE =，由坡度为1:0.75的斜坡，设4DE x =米，则3CE x =米，由勾股定理求得8x =，得出24CE =米，32DE =米，25BE AF ==米，由tan DF DAF AFÐ=，求出29.75DF »米，即可得出结果．【详解】解：过A 作AF D E ^于F ，如图所示：则四边形ABEF 为矩形，AB EF \=，AF BE =，Q 台阶底端C 与顶端D 的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，\设4DE x =米，则3CE x =米，由勾股定理得：222CD DE CE =+，即22240(4)(3)x x =+，解得：8x =，则324CE x ==（米)，432DE x ==（米)，12425BE BC CE \=+=+=（米)，25AF \=米，Q 在点D 看石雕上边缘点A 的俯角为50°，50DAF \Ð=°，在Rt DAF D 中，tan DF DAF AFÐ=，tan 25 1.1929.75DF AF DAF \=×Ð»´=（米)，则3229.75 2.25AB FE DE DF ==-=-=（米)故选：C ．．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题以及矩形的判定与性质、勾股定理等知识；掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．8．（2020·齐齐哈尔市第三中学校九年级期末）一船向东航行，上午8时到达B 处，观测到有一灯塔在它的南偏东60°且距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，此时观测到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（）A ．18海里/小时B ．海里/小时C ．36海里/小时D ．海里/小时【答案】B【分析】根据方位角和三角函数求出BC 的长，再除以航行时间即可．【详解】∵此船从上午8时的B 处向东航行2小时后到C 处，且从C 观测处到灯塔A 在它的正南方向，∴∠BCA ＝90°，∵A 处在B 处的南偏东60°且距离为72海里∴∠ABC ＝30°，AB=72海里，∴在Rt △ABC 中,∵∠A=60°，∴BC AB=sin60°，∴607272sin BC °===´速度为()108¸-=海里/小时，故选B ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用--方向角问题，熟悉方向角的定义和解直角三角形是解题的关键．二、填空题9．（2021·山东东营市·九年级期末）平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B 为36°，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.9m ，则铁板BC 边被掩埋部分CD 的长是_____m ．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38）．【答案】0.8【分析】首先根据三角函数求得BC 的长，然后根据CD=BC-BD 即可求解．【详解】解：54,36A B Ð=°Ð=°Q ，90A B \Ð+Ð=°，90C \Ð=°，在Rt ABC V 中，BC sinA AB= ，则• 2.154 2.10.81 1.701BC AB sinA sin ==´°»´= ，则 1.7010.9CD BC BD =-=- ，0.8010.8=» （m ），故答案为：0.8．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得BC 的长是解题关键．10．（2021·湖南怀化市·九年级期末）某楼梯的侧面如所述，测得4m AC =，30ACB Ð=°，则该楼梯的高度AB =______．【分析】由tan =AB ACB AC∠的tan 30AB AC =o ．【详解】解：在△ABC 中，tan =ABACB AC∠∵4m AC =，30ACB Ð=°，∴tan 30=4AB AC =o ．．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．11．（2021·广西百色市·九年级期末）一艘邮轮从港口P 处出发，沿北偏东60°方向行驶200海里到A 港口，卸货后向正南方向行驶到B 港口，此时P 港口在邮轮的北偏西45°方向上，这时邮轮与港口P 相距______海里．（保留根号）【答案】【分析】根据题意可作PD AB ^于D 点，在Rt △APD 与Rt △BPD 中分别求解即可．【详解】如图所示，作PD AB ^于D 点，根据题意可得30APD Ð=°，200AP =，∴在Rt APD V 中，100AD =，PD =，又∵45B Ð=°，∴PBD △为等腰直角三角形，∴PB === ，故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形的应用，合理根据题意建立直角三角形是解题关键．12．（2020·吉林省第二实验学校九年级月考）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为41°，AB 的长为12米．则大厅两层之间的距离BC 长约为_______米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin 410.66°=，cos 410.75°=，tan 410.87°=）【答案】7.9【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC 的长，从而可以解答本题．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB•sin ∠BAC ＝12×0.66≈7.9（米），答：大厅两层之间的距离BC 的长约为7.9米．故答案为：7.9．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．三、解答题13．（2021·湖南邵阳市·九年级期末）在Rt △BCD 中，∠C =90°，∠DBC =60°，点E 在线段CD 上，点A 在CB 的延长线上，且AB =10米，CE =26.8米，∠A =34°，求DE 的长．（参考数据：sin 340.56°»，cos340.83°»，tan 340.67°»1.73»）【答案】DE =25.1米【分析】在Rt △ACE 中，根据tanA ，求出AC 的长，再根据BC=AC-AB ，求出BC ，在Rt △BCD 中，根据tan ∠DBC ，求出DE 的长即可．【详解】解：在Rt △ACE 中，tan CE A AC =，即26.8tan 34AC=°，∴26.8400.67AC »=（米）∴BC=AC-AB=30（米）．在Rt △BCD 中，∵tan60°=DCBC∴26.8tan 60 1.7330DE +°==»，∴DE =25.1（米）答：DE 的长是25.1米【点睛】本题考查了解直角三角形，熟悉利用锐角三角函数求出线段的长度是解题的关键．14．（2021·广东揭阳市·九年级期末）B ，D 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100km ，某时发生的地震对地面上以点A 为圆心，30km 为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从B ，D 两地处测得点A 的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．（结果精确到0.1km ，参考数据：1.732»»）【答案】不受影响，理由见解析．【分析】过点A 作AC ⊥BD 于点C ，然后根据特殊角三角函数即可求出AC ，进而进行比较即可判断．【详解】解：如图，过点A 作AC ⊥BD 于点C ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，根据题意可知：∠ABC ＝45°，∠ADC ＝30°，BD=100km ，∴∠BAC ＝45°，∴BC ＝AC ，在Rt △ACD 中，tan ∠ADC AC CD =，∴tan 30AC CD ==°，∵BD ＝BC ＋CD ，∴AC ＝100，解得AC ＝501）≈36.6＞30，∴高速铁路不会受到地震的影响．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．15．（2021·四川成都市·九年级期末）近年来，成都IFS 商业大楼成了网红打卡地，楼上“翻墙”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C 处距离地面AD 的高度，他在甲楼底端A 处测得熊猫C 处的仰角为53°，在甲楼B 处测得熊猫C 处的仰角为45°，已知AB ＝4.5米，求熊猫C 处距离地面AD 的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】18.1米．【分析】过点B 作BE ⊥CD 于点E ，根据已知条件求出BE=AD ，设CE=x ，则CD=BC+BD=x+4.5，根据锐角三角函数求出x 的值，即可得出CD 的值．【详解】解：如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°，∴四边形ABED 是矩形，∵∠CBE=45°，∠CAD=53°，AB=4.5米，∴BE=AD=CE ，DE=AB=4.5米，设CE=x ，则CD=CE+ED=x+4.5，在Rt △CEB 中，tan 45tan 45CE x BE x ===°°，在Rt △ADC 中，tan 53CD AD =×°，即x+4.5=x·tan53°，∴x≈13.64，∴CE=13.64米，∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1米，答：熊猫C处距离地面AD的高度为18.1米．【点睛】本题考查直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．。

第一章直角三角形的边角关系教学设计

第一章直角三角形的边角关系复习教学设计华西中学马东风一、学生知识状况分析通过本章的学习，学生更多的认识到一般直角三角形的边角关系，掌握了特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，也能利用三角函数知识解决相关的实际问题。

学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，也能把简单的实际问题转化为数学问题。

二、教学任务分析教学目标是：1．以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。

2．通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。

3．通过联系使学生进一步利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。

4、练习过程中，使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。

三、教学过程分析第一环节基础练习活动内容：1、根据给出的三角函数值，由学生给出相应的角（30°，45°，60°）的度数。

2、学生独立练习：教科书第一章复习题A组的1、2、3、4、5、7题第二环节知识小结活动内容：总结和直角三角形相关的边、角的计算，以及本章的知识点。

问题时，把实际问题转化为数学问题打下了基础。

第三环节巩固提高活动内容：1、教科书复习题A 组第10题，B 组第5题；2、课外拓展2个小题课外拓展题题目及答案：① 如图在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠=DBA AD 15，求的长。

A E B②如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。

第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角(教案)

5.分析方位角在实际生活中的应用，如地图定向、航海导航等。
本节课将重点围绕方位角的求解与应用进行复习巩固，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力：
1.理解并运用数学知识：通过复习直角三角形的性质和解直角三角形的方法，加深对几何知识的理解和应用，提高解决实际问题的能力；
难点解释：学生在理解三角函数的概念时，容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义及其应用场景。
（2）空间想象能力的培养：在求解方位角时，需要学生在脑海中构建直角三角形的空间模型。
难点解释：学生在解决方位角问题时，往往难以在脑海中形成清晰的空间图像，导致解题困难。
（3）实际问题的解决：将数学知识应用于实际情境，解决现实问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调解直角三角形的方法和方位角的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示方位角的基本原理。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角（教案）
一、教学内容
本节课为九年级数学课程，选取教材中“第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习”部分进行深入讲解。内容包括：
1.复习直角三角形的定义及性质；
2.掌握解直角三角形的方法；
3.介绍方位角的概念及应用；
4.通过实际例题，让学生掌握利用解直角三角形的方法求解方位角；
2.数学思维能力：在方位角的求解过程中，锻炼学生的逻辑推理和空间想象能力，提升数学思维水平；

山东省即墨市长江中学数学(北师大版)九年级下册：第一章直角三角形的边角关系(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的边角关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理和三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
山东省即墨市长江中学数学（北师大版）九年级下册：第一章直角三角形的边角关系（教案）
一、教学内容
《山东省即墨市长江中学数学（北师大版）九年级下册：第一章直角三角形的边角关系》教案涉及以下内容：
1.探索直角三角形的性质，理解边角关系；
2.学习勾股定理及其证明，并能运用定理解决实际问题；
3.理解正弦、余弦、正切的定义，运用三角函数解决直角三角形中的边角问题；
4.掌握30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并能灵活运用；
5.通过实际案例分析，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
《直角三角形的边角关系》教学旨在培养学生以下核心素养：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索直角三角形性质和证明勾股定理，提升学生的逻辑思维和推理能力；
2.发展学生的空间想象力和几何直观，借助实际案例和图形，让学生感知直角三角形边角关系的直观形象；
其次，三角函数的概念和计算是另一个难点。在教学中，我尽量用简单明了的语言解释正弦、余弦和正切的定义，但仍有部分学生感到困惑。我想在接下来的课程中，可以增加一些互动环节，比如让学生自己发现三角函数的变化规律，通过实际测量和计算来加深理解。
此外，实践活动和小组讨论的环节，我发现学生们参与度很高，但有时候讨论的主题可能偏离了教学目标。为了更好地引导学生们聚焦核心知识，我计划在下次活动中明确讨论的方向和目标，并在讨论过程中适时给予提示和指导。

初中数学北师大版九年级下册《第一章直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用》教材教案

课题：1.5三角函数的应用课型：新授课年级：九年级教学目标：1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3．通过把实际问题转化为数学问题过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力．教学重点与难点：重点：经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．教法与学法指导：教法：1.创设情境法.通过播放视频，创设教学情境，激发学生学习兴趣.2.设疑启发法.通过设置疑问，启学生思维，引导学生分析问题.3.观察对比法.通过归纳类比，让学生由感性认识上升到理性认识.学法：1.自主探索法.学生通过独立思考，探索分析，提高数学分析能力.2.合作学习法.学生通过小组讨论，交流等学习过程，加强合作交流，提高学习效果. 教学准备：教师准备：多媒体课件。

学生准备：计算器。

教学过程：一、合作探究，导入新课直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).活动内容1：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的?与同伴进行交流.处理方式：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，根据“上北下南，左西右东”，B在A的“下偏左”55°位置.C在B的正东方，即C在B的右边.且在A南偏东25°处，即C在A的“下偏左”25°位置．在Rt△ABD中，∵tan55°＝BDAD，∴BD＝AD tan55°.在Rt△ACD中，∵tan25°＝CDAD，∴CD＝AD tan25°．设AD＝x，则BD＝tan55°x，CD＝tan25°x.∵BC＝BD－CD, ∴tan55°x－tan25°x＝20，解得，x＝20tan55tan25︒-︒≈20.79，即AD≈20.79海里．设计意图：“学数学、用数学”应是我们每位数学教师在教学中时刻不忘的数学宗旨.我们教育的学生，不只要学会知识，更重要的是会用知识.将实际问题抛给学生，引导学生想象问题情境，将自己置身于问题情境中，才能顺利的转化为数学问题，从而学会用数学知识解决实际问题.二、分析探索, 新知学习活动内容1：回答下列问题.如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)处理方式：（自主解决问题）（鼓励学生展示一下自己的过程）（实物投影展示）法1：由题意可知∠DAC＝30°，∠DBC=60°，AB＝50m．因为CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，所以，设CD=x，在Rt△ADC中，∵tan30°＝CDAC，∴AC＝tan30CD︒，即AC＝3x.法2:在Rt△BDC中，∵tan60°＝CDBC，∴BC＝tan60CD︒，即BC＝33x.又∵AB＝AC－BC＝50m，∴3x－33x＝50．解得，x＝253≈43，∴CD≈43m.即塔CD的高度约为43m．（实物投影展示）∵∠DAC＝30°，∠DBC=60°，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝∠ADB，∴AB＝BD＝50.在Rt△BDC中，∵sin60°＝CD BD，∴CD＝sin60°BD＝50×32＝253≈43m.即塔CD的高度约为43m．设计意图：直角三角形的边角关系在航海，工程等测量问题中有着广泛应用，通过“想一想”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系这一知识解决实际问题，提高学生的建模，转化能力.三、拓展升华, 变式思考活动内容1：在这个问题中，小明的身高忽略不计，而在实际测量时，应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．如果小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？处理方式：（3分钟时间思考，交流，并实物投影展示.）如图所示，由前面的解答过程可知CC＇≈43m，则CD＝43＋1.6＝44.6m，即如果考虑小明的高度，塔的高度为44.6m．以开放题的形式呈现，让学生从多角度思考问题，既能培养学生的数学思维能力，又能调动学生学习数学的积极性.学生情绪高涨，讨论热烈.进而得出推论。

新版北师大版数学九年级下册教案(全)

第一章直角三角形的边角关系第1课时§1.1.1 锐角三角函数教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计➢ 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。

这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。

➢ 师生共同研究形成概念1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。

这就涉及到倾斜角的问题。

用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。

但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。

1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。

2、想一想（比值不变）☆ 想一想书本P 2 想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。

当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。

这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。

3、正切函数（1）明确各边的名称（2）的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。

☆ 巩固练习a 、如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2）若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB ABCAB C∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC= ；3）若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； b 、如图，在△ACB 中，tanA = 。

九年级数学下册第一章第五节测量物体的高度课件(2) 北师大版

M
30°
90 0 90
2、转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数。
测量底部可以直接到
达的物体的高度:
M
C
α
E
N
A
1、在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α ； 2、量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l； 3、量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。 MN=ME+EN=l· tanα +a
课题测量示意图
测目 CA NA ∠MCE
第一次
第二次
平均值
计算过程活动感受负责人及参加人员计算者和复核者指导教师审核意见备注
课题测量示意图
测量物体的高度（范例二）
测量项目 CA 测得数据 BA ∠MDE ∠MCE
第一次
第二次
平均值
计算过程活动感受
负责人及参加人员计算者和复核者指导教师审核意见备注
反思一
• 我们直接测量出这根木棒的长度为2.32米。你们小组的测量结果与此相接近吗？有差距的原因是什么？
结论：一是误差引起的。这种误差主要来源于我们自制的测角仪; 二是读数错误。
反思二：测量物体高度有哪些方法？
• 当测量底部可以到达的物体的高度时，如左图
第一章直角三角形的边角关系
第五节测量物体的高度(二)
知识回顾
• 测角仪的使用方法 • 测量底部可以到达的物体高度的方法 • 测量底部不可以到达的物体高度的方法
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
P Q
90
0 90
1、把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置。

北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案

北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。

本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。

2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。

2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。

2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。

3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。

激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。

2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。

同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。

3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。

让学生独立完成，巩固所学知识。

教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。

第5讲直角三角形的边角关系

直角三角形的边角关系解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。

【中考导向】掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。

因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。

题量一般在4%~10%。

分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。

个别省市也有小型综合题和创新题。

几乎每份试卷都有一道实际应用题出现【数学思想方法天地】用解直角三角形解决实际应用题的关键是要根据实际情况建立数学模型，正确的画出图形，找准三角形.①根据题目的已知条件，画出平面几何图形，找清已知条件中各量之间的关系。

②是直角三角形的，根据边角关系进行计算，若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决.【典例解析】【例1】计算：30sin 2°13260tan 1)21(1++︒----变式训练：1、选择：在ABC ∆中，若23sin =B ，21cos =A ，则ABC ∆是（） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形2、计算下列各题：（101160(6()2-︒+-- （2021)453tan 30-+︒-︒【例2】如图：在ABC Rt ∆中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，且45ADC ∠=︒，6DC =，求tan BAD ∠的值；变式训练：1、如图：在ABC Rt ∆中，∠C=90°，AB CD ⊥于点D ，若52cos =A ，10=BC ，则=CD ；2、如图：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ，A ∠的平分线34=AD ，求B ∠的度数及边BC 、AB 的长；AC【例3】在△ABC 中，AB=2，AC=2，∠B=︒30，则∠BAC 的度数是；【例4】如图：在梯形ABCD 中，∠DCB=90°，AB ∥CD ，AB=25，BC=24，将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合，BE 为折痕，那么AD 的长度为；变式训练：1、正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠的值为（）A 、12B 、5C 、5D 、2 2、已知矩形的两邻边长分别为1和3，则该矩形的两条对角线所夹的锐角为； 3、ABC ∆中，︒=∠30B ，6=AB ，32=AC 。

北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题

九年级下册第一章直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。

cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。

2、三角函数之间的关系（1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系

九年级数学下第一章直角三角形的边角关系
目录
• 直角三角形基本概念及性质 • 直角三角形边角关系探究 • 直角三角形在实际问题中应用 • 直角三角形证明和计算技巧 • 章节复习与总结
01 直角三角形基本概念及性质
直角三角形定义与分类
定义
有一个角是90度的三角形叫做直角三角形。
分类
按角分，可分为两类，一类是普通直角三角形，即三个角中有一个是90度；另一类是等腰直角三角形，即两个锐角都是45度。
通过图像可以直观了解三角函数的性质，如振幅、周期、相位等。
正切函数图像呈间断性变化，在特定区间内单调递增或递减。
解直角三角形方法总结
已知两边求角
利用正弦、余弦定理求解对应的角度大小。
已知两角求边
利用正切定理及已知条件构建方程求解未知边。
03 直角三角形在实际问题中应用
测量问题中构建和应用直角三角形模型
应用
勾股定理在几何、三角、代数、数论等领域都有着广泛的应用，如求解三角形边长、判断三角形形状、计算面积等。
直角三角形中的特殊角
30°-60°-90°直角三角形
在这个特殊的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，而60°角所对的直角边等于30°角所对直角边的根号3倍。
45°-45°-90°直角三角形
性质
相似直角三角形的对应边长成比例，对应角相等。这些性质是进行直角三角形证明和计算的基础。
利用相似性质进行边长和角度计算
边长计算
在相似直角三角形中，可以利用对应边长成比例的性质，通过已知边长求解未知边长。
角度计算
由于相似直角三角形的对应角相等，因此可以通过已知角度求解未知角度，或者通过角度关系求解其他相关角度。

九年级第一章直角三角形的边角关系

九年级下册第一章直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 一知识要点1. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等正切的定义:在Rt △ABC 中,锐角A 的与锐角A 的比叫做∠A 的正切，记作tanA,即 tanA=2. 能够用正切进行简单的计算. 二、典型例题与分析例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?跟踪练习1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.例2：在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.随堂练习(见课本P 6 1、2)3、补充:在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.三、拓展训练例3如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)四、中考链接1：若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米2、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.§1.2从梯子的倾斜程度谈起(2)正弦与余弦一．知识要点：1.正弦,余弦的定义（1）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=（2）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=总结：①锐角三角函数的定义.锐角A的, , 都叫做∠A的三角函数.②定义中应该注意的几个问题（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.练习：如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.二．典型例题与分析：例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=090,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.跟踪练习：1．如图，已知直角三角形A B C中，斜边A B的长为m，40B∠=，则直角边B C的长是（）A．s in40m B．co s40mC．tan40m D．ta n40m2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.（1）SinB=()()=()()=()()（2）若BD=6,CD=12.求cosA的值.3.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.三．基础练习：A BC 1．已知△ABC 中，90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 2.在Rt ABC ∆中，90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么Bsin的值是（）A.21B.23C.33D.33.在R t A B C △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离A C =3米，3c o s 4B AC ∠=，则梯子A B 的长度为米．5.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（）Ａ．12Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2四．知识延伸1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点 P 的坐标为（3，4），则sin α= ( ) A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，A D C D ⊥，13A B =，12B C =，3C D =，4A D =，则sin B =（） A ．513B ．1213C ．35D ．453.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将A B C △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为D E ，则tan C B E ∠的值是（） A ．247B ．3C ．724D ．134.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于（） A. 12223五．中考链接 1．正方形网格中，A O B ∠如图放置，则co s A O B∠的值为（） 55Ｃ．12Ｄ．22.如图，在A B C △中，90A C B ∠=，C D A B ⊥于D ，若A C =A B =tan B C D ∠的值为（）2333.如图，在A B C ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在A C 、A B 上，B D 平分A B C ∠，D E A B ⊥，6A E =，3c o s 5A =.求（1）D E 、C D 的长；（2）tan D B C ∠的值.§1.3 300，450，600角的三角函数值(1)D ABCABO第1题一、知识要点（1）直角三角形中的边角关系（2）特殊角300,450,600角的三角函数值. （3）互余两角之间的三角函数关系. （4）同角之间的三角函数关系二、典型例题例1：(1)sin300﹢cos450(2) sin 2600+cos 2600﹣tan450跟踪练习：(1)sin600﹣cos450; (2)cos600+tan600例2：如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).跟踪练习：2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?例3、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是a,b,c.求证:sin 2A+cos 2A=1C跟踪练习：1.tan α×tan300 =1,且α为锐角。

第一章直角三角形的边角关系5 三角函数的应用

BC . tan 35
4m 35° 40°
B
AD AC DC
1 1 BC ( ) tan 35 tan 40
1 1 BD sin 40( ) tan 35 tan 40
┌
A
D
C
0.61m .
答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.
探究四
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且
5 三角函数的应用
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
温故知新
直角三角形的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理
a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=90°. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角 A x
25º
BD tan 55 x
B
tan 25 CD x
C 20 D B 解：根据题意可知，∠BAD=55°， C D ∠CAD=25°，BC= 20海里. 20 20 x 设AD=x，则 tan 55 tan 25 1.428 0.466 BD tan 25 CD ， tan 55 ; 20.79 海里 10( 海里) x x BD x tan55，CD x tan 25 答:货轮继续向西航行途中没
a tan A , b
a b sin A cos B , cos A sin B , c c
A
c a b ┌ C
特殊角：30°,45°,60°角的三角函数值.

九年级数学上册第1章直角三角形的边角关系

4.已知∠A为锐角，且tan A＝ 3，则∠A的大小为 60° .
数学
5.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sin A＝23，则边AC的长
是( A )
A．2 5
B．6
C．38
D．2 13
数学 6.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶2，坡高BC＝ 5m，则坡面AB的长度为( D )
A．10m C．5 3 m
∴ 3x＝x＋2000，解得x＝1000 3＋1000， ∴CD＝ 3x＝3000＋1000 3， ∴CE＝CD＋DE＝3000＋1000 3＋2200＝5200＋1000 3 ≈5200＋1000×1.732＝6932＜ 7062.68， ∴“蛟龙”号能在保证安全的情况下打捞位于海底的黑匣子.
数学【例8】如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B， C之间的距离等于200米，求A，B之间的距离(结果精确到1 米；参考数据： 2≈1.414，sin 36°≈0.588，cos 36°≈ 0.809，tan 36°≈0.727)．
时，cos A的值的变化情况是( B )
A．不断变大
B．不断减小
C．不变
D．不能确定
数学
知识要点2 特殊角的三角函数值【例3】计算：2s3inta2n606°0－°1＝ 6 3 . 【例4】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，如果sin A＝12， cos B＝ 22，那么∠C＝ 105°.
数学
的黑匣子C(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
数学解：如图，过C作CD⊥AB于D，交海面于E. 设BD＝x，∵∠CBD＝60°， ∴tan∠CBD＝CBDD＝ 3， ∴CD＝ 3x，∵AB＝2000， ∴AD＝x＋2000， ∵∠CAD＝45°， ∴tan∠CAD＝CADD＝1，

直角三角形的边角关系知识

直角三角形的边角关系知识直角三角形的边角关系知识直角三角形“边角关系”的推广应用杨广才初中代数“解三角形”一章中给出了直角三角形中的边角关系，本文是店铺整理直角三角形的边角关系知识，仅供参考。

第一章直角三角形的边角关系知识点1、定义:在Rt ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= cosA= ; tgA= 。

2.特殊角的三角函数值:取值范围Sinα cosα tgα3.三角函数间的关系:sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α) = sinαSin2α+cos2α= Rt ABC中， Sin2A+ Sin2B= tgA= ，tgA×tg(90°- A)=4.三角函数值随角度变化的关系5.直角三角形中边的关系: 角的关系: 边角关系:注意:尽量避免使用中间数据和除法。

6.俯角仰角 : 方位角、象限角:坡角坡度:注意实际应用中必须构造直角三角形，如有特殊角一定构造特殊直角三角形。

7。

在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

第二章二次函数知识点1、二次函数:y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，且a≠0)a>0开口，a<0开口 |a|越大，开口越小;|a|越小，开口越大.抛物线形状相同的值或。

抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线是: 。

抛物线y=a(x-h)2+k关于y轴对称的抛物线是: 。

对称轴顶点坐标a,b同号，对称轴在y轴，反之，在y轴，|x1-x2|=与y轴交点坐标为2、b2 -4ac>0，ax2+bx+c=0有两个不相等的.实根，与x轴有交点。

b2-4ac<0，ax2+bx+c=0无实根，与x轴交点。

b2-4ac =0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根，与x轴有交点。

3、函数的图像向上平移个单位，得到的图像。

函数的图像向下平移个单位，得到的图像。

函数的图像向左平移个单位，得到的图像。

第一章直角三角形的边角关系

知识要点归纳一、从梯子的倾斜程度谈起1、正切：如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A=．tan A的值越大，梯子越陡．2、正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A=．3、余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A=．sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡．4、三角函数的概念：如图，在Rt△中，，、、的对边分别是、、，则sin=，cos=，tan=．锐角的正弦、余弦和正切叫做的三角函数．（1）的三角函数是针对一个直角三角形来定义的，其本质是两条线段的比值，它只有数值，没有单位；它只与锐角的大小有关，而与所在的直角三角形的边长无关．（2）sin、cos、tan是一个整体符号，不能写成sin×、cos×、tan×．当用三个大写字母表示一个角并用三角函数表示时，角的符号“∠”不能省略，如sin．5、倾斜程度与坡度（坡比）：如图，坡面的铅直高度与水平宽度距离的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用表示．即，坡度一般写成1:的形式，如=1:5（或）．把坡面与水平面的夹角叫做坡角．如图，坡度与坡角之间的关系：．坡面的倾斜程度与坡度、坡角的大小有关，坡度、坡角越陡．坡角的余弦（即cos）越小，坡面也越陡．6、互为余角的正弦、余弦的关系：如图，在Rt△中，，∵ sin=，cos=，∴ sin= cos．在直角三角形中，用正弦和余弦分别表示出互为余角的关系式，观察比值．二、30°、45°、60°角的三角函数值1、特殊角的三角函数值：三、三角函数的有关计算1、用计算器求锐角的三角函数值及利用锐角的三角函数值求角的度数：（1）用科学计算器求三角函数值，要用[sin]，[cos]，[tan]键，例如，求sin15°、cos65°、tan20°的按键顺序如下表：用计算器求三角函数时，结果一般有10个数位，但本教材规定，如无特殊说明，计算结果一般精确到万分位．（2）用科学计算器求角度，要用到[shift]、[sin]或[cos]、[tan]键的第二功能，例如：用计算器求角度时，结果一般有10个数位，但在一般情况下，如果特殊说明，计算结果一般精确到．如有特殊规定，最后结果要按要求精确，中间过程一般多精确一位．2、利用直角三角形的边角关系解决实际问题：在解直角三角形时，要正确选用边角之间的关系．在解决实际问题时，首先转化成解直角三角形的问题，然后针对要求选用合适的三角函数．如图，在Rt△中，需要熟记几个量之间的关系：如：；；．四、船有触礁的危险吗用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题．从实际问题中，抽象出几何模型，转化成数学问题．用三角函数解决实际问题的一般步骤：（1）弄清题意，画出示意图；（2）选择合适的三角函数解题．五、测量物体的高度利用直角三角形的边角关系测量物体的高度．1.如何测量底部可以到达的物体的高度？基本步骤：（1）在处安装侧倾器，测得；（2）测量物体到的距离，即；（3）量出侧倾器高度；（4）据三角函数求出，所以高度为．2.如何测量底部不能直接到达的物体的高度？基本步骤：（1）在处测得仰角；（2）在处测得仰角；（3）测出；（4）量出侧倾器高度；（5）设，则，得；（6）．。

九下第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第3课时三角函数在坡度坡角问题中的应用作业新版北师大版

×10＝5(m)，∴点 B 距水平地面
AE
的高度为 5 m
(2)符合要求，理由如下：过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，则四边形 BFEG 是矩形，
∴GE＝BF＝5 m，BG＝EF＝FA＋AE＝AB·cos ∠BAF＋AE＝10cos 30°＋21＝(5 3
＋21)m，∴在 Rt△BCG 中，CG＝BG·tan ∠CBG＝(5 3 ＋21)tan 45°＝(5 3 ＋21)m.
如下的方法：先从与古树底端 D 在同一水平线上的点 A 出发，沿斜面坡度 i＝2∶ 3
的斜坡 AB 前进 20 7 m 到达点 B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 C.在
点 C 处测得古树 DE 的顶端 E 的俯角为 37°，底部 D 的俯角为 60°，求古树 DE 的高
度(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3 ≈1.732，sin 37°≈3 ，cos 37°≈4 ，tan 37°≈3 ).
＝ tan
DH ∠DCH
＝ 40 ＝40 3 tan 60° 3
(m)，∴在 Rt△CEH 中，EH＝CH·tan ∠ECH＝
40 3 tan 37°≈17.32(m)，∴DE＝DH－EH≈40－17.32≈22.7(m)，∴古树 DE 的高度约 3
为 22.7 m
9．(24 分)
如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，点 C，
12 ＝24＋9＝33(m)，∴在 Rt△ADE 中，AE＝DE•tan ∠ADE＝33tan 52°≈42.24(m)，
∴AB＝AE－BE≈42.24－10≈32.2(m)，∴建筑物 AB 的高度约为 32.2 m
8．(20 分)(2023·泸州)如图，某数学兴趣小组为了测量古树 DE 的高度，采用了