《1.4.1生活中的优化问题举例》导学案
《生活中的优化问题举例》导学案
生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点 生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． (2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． (3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．类型一 平面几何中的最值问题例1 如图所示，在二次函数f (x )＝4x －x 2的图象与x 轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值．解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)， ∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2.∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2)＝16x －12x 2＋2x 3， ∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)， 令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数递增；当2－233<x <2时，y ′<0，函数递减，∴当x ＝2－233时，矩形面积取到最大值y max ＝3293.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．解 (1)由题干图知BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.所以当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.类型二 立体几何中的最值问题例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 解 (1)因为容器的体积为64π3 立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－4r 3.所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr (643r 2－4r 3)＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2. 所以y ＝(128π3r －8πr 23)×3＋4πr 2×4＝128πr＋8πr 2. 又l ＝643r 2－4r3>0⇒r <432，所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′>0，得2<r <432； 令y ′<0，得0<r <2.所以当r ＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l ＝83米．引申探究例2中，若r ∈(0,1]，求最小建造费用． 解 由例2(2)可知，y ＝128πr ＋8πr 2在(0,1]上单调递减，∴当r ＝1时，y min ＝136π. ∴最小建造费用为136π千元．反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练2 周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm 3. 答案4 00027π解析 设矩形的长为x cm ， 则宽为(10－x ) cm (0<x <10)． 由题意可知圆柱体积为 V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3. ∴V ′＝20πx －3πx 2，令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝203，且当x ∈(0，203)时，V ′(x )>0，当x ∈(203，10)时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )max ＝4 00027π cm 3.类型三 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 费用(用材)最省问题例4 已知A 、B 两地相距200 km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8 km /h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？ 解 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)， 则y 1＝k v 2，当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，得k ＝5.设全程燃料费为y ，由题意，得 y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，∴y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2(v －8)2＝1 000v 2－16 000v (v －8)2.令y ′＝0，得v ＝16， ∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时，全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)； 当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0， 即y 在(8，v 0]上为减函数，∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省， 为32 000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5， 而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8答案 A解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值． ∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．6千台 D ．3千台 答案 C解析 构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 答案100π4＋π解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π(x2π)2＋(100－x 4)2(0<x <100)．因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 设底面长为x ，由题意得底面宽为4x .设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×(2x ＋2×4x )，即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解 (1)设商品降价x 元，则多卖出的商品件数为kx 2. 若记商品一个星期的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)． 由已知条件，得24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)根据(1)得，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值↗极大值↘故当x ＝12时，f (x )取得极大值． 因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664.所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． 2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．课时作业一、选择题1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8答案 C解析 原油温度的瞬时变化率f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则当其表面积最小时底面边长为( )A.3V B.32V C.34V D.23V答案 C解析 设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43xV (x >0)， ∴S ′＝3x 2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V .3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝⎛⎭⎫l 63π B.⎝⎛⎭⎫l 33π C.⎝⎛⎭⎫l 43π D.14⎝⎛⎭⎫l 43π 答案 A解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2.∴V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎫0<r <l 4， 则V ′＝l πr －6πr 2.令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝⎛⎭⎫l 63π. 4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3 答案 B解析 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm)．水箱容积V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x <120)， V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得当x ＝80 cm 时，V 取最大值为128 000 cm 3.5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300 答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300，即当每年生产300单位的产品时，总利润最大．故选D.6．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．4∶1 答案 A解析 设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ，则V ＝πr 2h ，即h ＝V πr 2. 由题意知，当表面积S 最小时所用材料最省．S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πr V πr 2＝2πr 2＋2V r. 令S ′＝4πr －2V r 2＝0，得r ＝3V 2π， 当r ＝3V 2π时，h ＝V π(3V 2π)2＝34V π. 则h ∶r ＝2∶1时，表面积S 最小．二、填空题7. 如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．答案 33d 解析 设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝kxh 2＝kx (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)． 当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d . 所以当x ＝33d 时，f (x )有最大值． 8．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为________．答案 40解析 V (x )＝－12x 3＋30x 2， 由V ′(x )＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)＝0， 得x ＝0(舍去)，x ＝40.∴当底面边长为40时，箱子的容积最大．9．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大．(毛利润＝销售收入－进货支出)答案 30解析 由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值．10．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 答案 80解析 当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为y 升，依题意得，y ＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x＝ 1 1 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)． 则y ′＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令y ′＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，y ′<0，该函数递减；当x ∈(80,120)时，y ′>0，该函数递增，所以当x ＝80时，y 取得最小值．11．某厂生产某种产品x 件的总成本为c (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为________件时总利润最大． 答案 25解析 由题意知502＝k 100，解得k ＝25×104. ∴产品的单价P ＝25×104x ＝500x. ∴总利润L (x )＝x 500x－1 200－275x 3 ＝500x －1 200－275x 3， L ′(x )＝250x －12－225x 2， 令L ′(x )＝0，得x ＝25，∴当x ＝25时，总利润最大．三、解答题12．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？解 设速度为每小时v 千米时，燃料费是每小时p 元，那么由题设知p ＝k v 3，因为v ＝10，p ＝6，所以k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3. 又设船的速度为每小时v 千米时，行驶1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是(0.006v 3＋96)元，而行驶1千米所用时间为1v 小时，所以行驶1千米的总费用为q ＝1v(0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′>0，所以当v ＝20时，q 取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．13．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解 设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝(4.5－3x ) m(0<x <32)． 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝(9x 2－6x 3) m 3(0<x <32)． 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝1，因此x ＝1.当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0， 故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 故当长方体的长为2 m ，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3.四、探究与拓展14．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是( ) A.92B.6516C.358D.174 答案 B解析 ∵k 1甲产品的利润与投入资金成正比，∴设y 1＝k 1x ，当投入4万时，利润为1万，即4k 1＝1，得k 1＝14，即y 1＝14x . ∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，∴设y 2＝k 2x ，当投入4万时，利润为2.5万，即4k 2＝52，得2k 2＝52， 即k 2＝54，即y 2＝54x . 设乙产品投入资金为x ， 则甲产品投入资金为10－x,0≤x ≤10，则销售甲、乙两种产品所得利润为y ＝14(10－x )＋54x ， 则y ′＝－14＋58x ＝5－2x 8x， 由y ′>0，得5－2x >0，即0<x <254， 由y ′<0，得5－2x <0，即x >254， 即当x ＝254时，函数取得极大值同时也是最大值，此时 y ＝14(10－254)＋54·254＝1516＋5016＝6516. 15．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240(－x 2＋2x ＋53)，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)解 由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )，年利润为f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y＝(3－0.9x )×3 240×(－x 2＋2x ＋53) ＝3 240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，则f ′(x )＝3 240(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)， 当x ∈(0，59)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈(59，1)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值，f (59)＝20 000. 因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．。
人教A版选修1-1教案：1.4.1生活中的优化问题举例(2)(含答案)
【学情分析】：
在基本方法已经掌握的基础上，本节课重点放在提高学生的应用能力上。
【教学目标】：
1． 掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能
力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.
此时房价为：18（0 元10）17 350
6、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时 10km,燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使航行 1km 的费用 总和最小?
解:设船速为 x ( x >0), 航行 1km 的费用总和为 y ,设每小时燃料费为 y1 则
y1
kx3 ,Q
x
10时y1
6k
3 500
y1
3 500x3y来自3 500x3
96g1x
3 500
x2
96 x.
（其中 x
0 ）；
Q
y
6 500
x
96 x2
.
令 y 0 ,解得 x 20 .
当 0 x 20时,此y时 函0 数为减函数当时此; 时x函数20为增, y函 数0
;
x 20时函数有最小值为 66 25 ，即以每小时 20 公里的速度航行时，航行 1km 的费用总和最
sin 4 ,cot 3 , AC 50 40 cot 20km,即供水站建在 A、D 之间
5
4
距甲厂 20km 处，可使水管费用最省。
(5) 加 强巩固
2
例 3、已知某厂生产 x 件产品的成本为 C= 25000 200x 1 x2 （元），问： 40
高中数学 1.4 1生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修2-2
2013年高中数学 1.4 1生活中的优化问题举例教案新人教A
版选修2-2
教学目标：
知识目标：1.利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，
b]上的最大（小）值；
2.利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。
能力目标：1.通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，
b]上的最大（小）值，
培养学生的数学思维能力；
2.通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，
以及数学建模能力。
思想目标：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
教学重难点：
将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题
教学基本流程：
教学过程：。
高中数学 1.4 生活中的优化问题举例导学案 新人教A版选修2-2
§1.4 生活中的优化问题学习目标：1、通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在实际问题中的作用；2、会利用导数解决生活中的实际问题。
一、典例分析：〖例1〗：要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目，这两栏目的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 。
怎样确定广告的高与宽的尺寸，能使矩形广告的面积最小？〖例2〗：某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x +万元。
假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。
（1）试写出y 关于x 的函数关系式；（2）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？〖例3〗：某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。
经测算，如果将楼房建为()10x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +560+48x （单位：元）。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）二、课后作业：1、某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时的时候，原油温度（单位：C ）为()()3218053f x x x x =-+≤≤，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（ ） A 、8 B 、203 C 、1- D 、8- 2、有一长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为（ ）A 、232mB 、214mC 、216mD 、218m3、设底为等边三角形的直棱柱的体积为，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）A B C D 、4、一张高1.4m 的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8m 。
1.4生活中的优化问题举例学案
选修2－2 《1.3.4生活中的优化问题举例》学案【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】“最优化”指的是类似利润最大、用料最省、效率最高等问题，本节课与必修一的《3.2.2函数模型的应用举例》区别仅在于，问题都是求最值，数学化后求最值的方法是导数。
所以，导数应用仅是本节课的一半内容，在此之前必须学会读懂题意，将题目提供的信息转化为数学语言，构建函数模型。
在利用导数求出最值后，最后还要回归到具体应用问题的结论。
用图表表达如下：【学习过程】例1、海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？问题1：剖去背景，将此问题纯数学化，实际是怎样的条件和问题？问题2：“如何设计海报的尺寸”指的是什么？问题3：要设几个变量，才能把图形中的其他量表达出来？问题4：设置的变量有范围限制吗？问题5：用什么方法求空白的面积S关于变量x的函数S(X)的最小值？饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司每卖出一瓶饮料的利润越大？例2：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
瓶子的制造成本是0.8 r2分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm。
（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？问题1：对于此题，如何计算“每瓶饮料的利润y”？问题2：“每瓶饮料的成本”指的是什么？问题3：“每瓶饮料的收入”指的是什么？问题4：利润y关于半径r的函数模型是什么？自变量的取值范围是什么？问题5：求最值时要注意什么问题？【当堂检测】某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋275x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，当产量为100件时，单价为50元。
“生活中的优化问题举例”导学案
例2、饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
瓶子的制造成本是20.8r 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售 1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm .问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 思考与总结：1、本题是那一类优化问题：2、该问题应该转化为哪一类数学模型：3、你有哪几种求解方法：求解过程：练习：1、圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能使材料最省？2、用铁丝弯成一个（如图）上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积是2am 。
为使所用的材料最省，底宽应怎样多少？学习反思：分析：法一：这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决. 法二：只要能把 AE+BE 代数化,问题就易解决 解 设x 如图，并设输电线总长为)(x L . 则有222()1(3) 1.5, 0 3.L x AE EB x x x =+=++-+≤≤222222(3) 1.5(3)1()0(3) 1.5 1x x x x L x x x -+--+'==-+⋅+, ⇒222(3) 1.5(3)1x x x x -+=-+, 2 1.25690.x x ⇒+-= 解得 1.2x =和6x =-(舍去). 答： ……3、某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x 艘的产值函数R (x )=3700x + 45x 2–10x 3(单位：万元), 成本函数为C (x ) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为： Mf (x ) = f (x +1) – f (x ). 求：（提示：利润 = 产值 – 成本）(1)利润函数P (x ) 及边际利润函数MP (x ); (2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?(3)边际利润函数MP (x )的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？学习反思：。
生活中的优化问题举例导学案
《生活中的优化问题举例》导学案学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：2013. 3. 2编写人：孙圣斌审核人：朱丽中班级：姓名：【导案】【学习目标】1．能够利用导数解决实际问题中的优化问题。
2．通过利用导数解决实际问题，学会将实际问题转化为数学问题，掌握利用导数求解实际问题中的最值问题的方法。
3．体会数学是从实践中来的，又将应用到实践中去；体会数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，坚定学好数学的信心。
【教学重、难点】利用导数求解实际问题中的最值问题。
【学案】1．优化问题生活中经常遇到求________、________、________等问题，这些问题通常称为________。
2．解决优化问题的基本思路优化问题————→用函数表示的数学问题优化问题的答案←——用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的________的过程。
3．例题分析【例1】在高为H，底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，则圆柱体的底面半径为多大时：（1）圆柱体的体积最大？（2）圆柱体的表面积最大？【练1】将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成一个正方形，另一段弯成一个圆，问如何截使得正方形与圆的面积之和最小？【例2】已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/小时。
（8＜v≤v0）若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比。
当v=12千米/小时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？【练2】甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入。
在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x元与年产量t吨满足函数关系x=2000t。
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）。
将乙方的年利润ω元表示为年产量t吨的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量。
1.4生活中的优化问题举例教学设计
1.4生活中的优化问题举例教学设计1教材分析教材关于导数的应用，主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大 (小) 值的判定，其中关键是函数极值的判定.通过判定可导函数的极值，可以使学生加深对函数单调性与其导数的关系的了解:并且，掌握了函数极值的判别法，再学习函数的极大值与极小值的判定方法，有了这些准备工作学习本节不成问题本节研究增长率、膨胀率、效率、利润、速度等有关导数应用的实例，例如，通过使利润最大、用料最省效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的广泛作用和强大实力，主要目的是:(1) 培养应用意识应用导数，解决生活中的优化问题.(2) 培养学生数学建模的思想，对于一个优化问题，解决的思路是: 第步将优化问题转化为用函数表示的数学问题，第一C步是应用导数这个工具解决数学问题，进而得到问题的答案.2学情分析学生已经学习了函数以及导数的基础知识，知道了利用导数研究函数的基本性质，用导数来处理函数单调性、极值、最值等问题的基本思路，但如何利用导数来解决一些具体的问题，学生的能力还比较薄弱，这都造成了本节课的困难，需要进行问题的引导.1）学生的难点是如何建模，应注重这方面的引导训练:2)考虑对自变量的实际限制，规范解题步骤的表述;3）充分体会导数在解决数学及其他学科实际应用题中的工具性作用.3教学目标1）.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，2.形成求解优化问题的思路和方法。
过程与方法2）.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。
3）.提高将实际问题转化为数学问题的能力。
情感、态度、价值观培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度4 教学重难点教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
5 教法与学法教法分析：根据本节课的教学内容和教学重难点，本节课采用从具体到抽象，从特殊到一般的方法形成增函数的定义，再引导学生通过类比归纳的方法形成减函数的定义。
生活中的优化问题举例 说课稿 教案 教学设计
生活中的优化问题举例【教学目标】1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。
【教学重难点】教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？②“汽油的使用率最高”的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。
（三）合作探究、精讲点拨（1）提出概念生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（2）引导探究例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.8r0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。
生活中的优化问题举例教案
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程： 一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
三．典例分析1.用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A.2 m 3B.3 m 3C.4 m 3D.5 m 3 设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为1812x 3h (4.53x)(0x )42-<<－＝＝，故长方体的体积为V(x)＝2x 2(4.5－3x)＝9x 2－6x 3(0<x< 1.5 )， 从而V ′(x)＝18x －18x 2＝18x(1－x)，令V ′(x)＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)，当0<x<1时，V ′(x)>0；当1<x<1.5时，V ′(x)<0，故在x ＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积为V(1)＝9×12－6×13＝3(m 3).2.如图，在二次函数f(x)=4x-x 2的图象与x 轴所围成的图形中有一个内接矩形，求这个矩形的最大面积.例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。
高中数学《生活中的优化问题举例》导学案
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为□01优化问题．通过前面的学习，我们知道□02导数是求函数最大(小)值的有力工具，运用□03导数，可以解决一些生活中的□04优化问题．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成□05函数关系式，这需通过□06分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由□07极值和端点的函数值确定，当定义域在□08开区间上□09只有一个极值时，这个极值就是它的最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的□10数学建模过程．解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f′(x)＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，我们可直接判断这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实际问题中列出函数模型后，其定义域上需函数关系式本身有意义即可．()(2)实际问题中f′(x)＝0只有一个解且是极值点时，它就是f(x)的最值点．()答案(1)×(2)√2．做一做(1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该厂家获取最大年利润的年产量为________．(2)某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．答案(1)9(2)32 m,16 m探究1面积、容积的最值问题例1用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[解]设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，V ′(x )＝12x 2－552x ＋4320＝12(x 2－46x ＋360)＝12(x －10)(x －36)(0<x <24)． 令V ′(x )＝0，解得x 1＝10，x 2＝36(舍去)．当0<x <10时，V ′(x )>0，V (x )是增函数；当10<x <24时，V ′(x )<0，V (x )是减函数．因此，在定义域(0,24)内，只有当x ＝10时函数V (x )取得最大值，其最大值为V (10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600.故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm 3.拓展提升在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数计算，但一定要注意自变量的取值范围．【跟踪训练1】 用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积．解 设容器底面一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝(3.2－2x ) m . 由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x >0，x >0，解得0<x <1.6. 设容器的容积为y m 3，则y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，所以y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，则15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)．在定义域(0,1.6)内只有x ＝1使y ′＝0，x ＝1是函数y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x 在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点．因此，当x ＝1时，y 取得最大值，y max ＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)．故高为1.2 m时，容器的容积最大，最大容积为1.8 m3.探究2费用(用材最省问题)例2如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A 相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元(a≠0)，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[解]设C点距D点x km，则BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝BD2＋CD2＝x2＋402.又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0≤x≤50)．，令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．则y′＝－3a＋5axx2＋402在[0,50]上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．拓展提升(1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值．(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．【跟踪训练2】要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500 m3，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？解设直径为d m，高为h m，表面积为S m2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22πh ＝500，得h ＝2000d 2π(d >0)， 故S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22π＋d πh ＝πd 24＋2000d (d >0)， S ′＝－2000d 2＋πd 2(d >0)，令S ′＝0，得d ＝1034π，此时h ＝534π.∵当0<d <1034π时，S ′<0；当d >1034π时，S ′>0，∴当d ＝1034π时，S 取得最小值．∴当d ＝1034π m ，h ＝534π m 时，用料最省．探究3 利润最大(成本最低)问题例3 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？[解] (1)由题意，每年销售Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元．销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，所以年利润y ＝(年收入)－(年成本)－(年广告费)＝12(32Q ＋3－x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32·3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)， 所以所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)令y ＝f (x )＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)，得f ′(x )＝(－2x ＋98)·2(x ＋1)－2(－x 2＋98x ＋35)4(x ＋1)2＝－x 2－2x ＋632(x ＋1)2. 令f ′(x )＝0，即x 2＋2x －63＝0.所以x ＝－9(舍去)，x ＝7.又当x ∈(0,7)时，f ′(x )>0；当x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (7)＝42.又f (x )在(0，＋∞)上只有一个极值点，所以f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.所以年广告费投入7万元时，企业年利润最大．拓展提升(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(关键词：以产量或单价为自变量)(2)关于利润问题常用的两个等量关系①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．【跟踪训练3】 某工厂生产某种产品，已知该产品的生产量x (t)与每吨产品的价格p (元/t)之间的关系式为p ＝24200－15x 2，且生产x t 产品的成本为R ＝50000＋200x .问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)解 每月生产x t 的利润为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24200－15x 2x －(50000＋200x ) ＝－15x 3＋24000x －50000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24000，令f′(x)＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200，使f′(x)＝0，所以x＝200就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×(200)3＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200 t产品时利润达到最大，最大利润为315万元．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤解决优化问题的方法很多，如：平均不等式法、线性规划方法及利用二次函数的性质等．不少优化问题，可以化为求函数最值问题．导数方法是解决这类问题的有效工具．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)则为最大(小)值.1．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8 B．203C．－1 D．－8答案 C解析瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为()A．2033cm B．100 cm C．20 cm D．203cm答案 A解析 设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2，0<h <20，V ＝13π·r 2·h ＝13π·(400－h 2)·h ＝4003πh －π3h 3. 由V ′＝4003π－πh 2＝0得h 2＝4003，h ＝2033或h ＝－2033(舍去)，因为当0<h <2033时，V ′>0；当h >2033时，V ′<0.所以当h ＝2033时，V 最大．3．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他答案 B解析 V ′(x )＝60x －32x 2＝0，x ＝0或x ＝40.可见当x ＝40时，V (x )达到最大值．4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．答案 20解析 设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x ，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1600x ＋4x .令f ′(x )＝4－1600x 2＝0，解得x ＝20或x ＝－20(舍去)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故x ＝20时，f (x )最小．5．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，求x ，y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解依题意有xy＋12x·x2＝8，∴y＝8x －x4(0<x<42)．框架用料总长度L＝2x＋2y＋2·2x2＝⎝⎛⎭⎪⎫32＋2x＋16x，则L′＝32＋2－16x2.令L′＝0，即32＋2－16x2＝0，解得x1＝8－42，x2＝42－8(舍去)．当0<x<8－42时，L′<0；当8－42<x<42时，L′>0.∴当x＝8－42时，L取得最小值，此时x＝8－42≈2.343(m)，y＝22≈2.828(m)．故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．A级：基础巩固练一、选择题1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较() A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小答案 D解析导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300答案 D解析 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20000，0≤x ≤390，所以P ′(x )＝－x 2300＋300，由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0，当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．3．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末 答案 D解析 s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0，得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝4，故选D ．4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300答案 D解析 设总利润为y ，则y ＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2－100x －20000，0≤x ≤400，80000－100x －20000，x >400，当0≤x ≤400时，利用导数得，当x ＝300时，y 取最大值为25000元．当x >400时，函数为减函数，y <20000元．因此，当x ＝300时，总利润y 最大．5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( )A ．3VB ．32VC ．34VD ．23V 答案 C解析 设底面边长为x ，高为h ， ∴34x 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3x 2＝43V 3x 2.∴S 表＝2·34x 2＋3x ·h ＝32x 2＋43Vx (x >0)， S ′(x )＝3x －43Vx 2，令S ′(x )＝0可得 3x ＝43V x 2，x 3＝4V ，x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′(x )<0；当x >34V 时，S ′(x )>0， ∴当x ＝34V 时S (x )最小．6．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C ．43R D ．34R 答案 C解析 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝23πRh 2－π3h 3， ∴V ′＝43πRh －πh 2.V ′＝0时，得h ＝43R 或h ＝0(舍去)． 当0<h <43R 时，V ′>0； 当43R <h <2R 时，V ′<0， ∴h ＝43R 时，圆锥体积最大． 二、填空题7．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．答案 3解析 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．8．某超市中秋前30天，月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30，t ∈Z )的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋12，则该超市前t 天平均售出⎝ ⎛⎭⎪⎫如前10天的平均售出为f (10)10的月饼最少为________．答案 17解析 记g (t )＝f (t )t ＝t ＋12t ＋10，∴g ′(t )＝1－12t 2，令g ′(t )＝0⇒t ＝±2 3.函数g (t )在区间(0，23)上单调递减，在区间(23，30]上单调递增，考虑到t ∈Z ，且g (3)＝g (4)＝17，g (t )最小值为17.9.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．答案439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝⎛⎭⎪⎫x 22，所以矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍去)，x 2＝23，所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，所以当x ＝23时，f (x )取最大值439. 三、解答题10．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函数关系式，并指出其定义域．求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．解设长为x 米，则宽为200x 米．根据题意得⎩⎨⎧x ≤16，200x ≤16，解得252≤x ≤16.由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×200x ×400＋2×200x ×248＋200×80＝800x ＋259200x ＋16000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16，则y ′＝800－259200x 2.令y ′＝0，解得x ＝18.因为函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，16，且当252≤x ≤16时，y ′＜0，所以该函数在定义域内为单调减函数，即y 在x ＝16处取得最小值，最小值为800×16＋25920016＋16000＝45000.因此当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，为45000元．B 级：能力提升练11．某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (单位：百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (单位：百万元，且0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (单位：百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)解 (1)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f (t )百万元，则有 f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，所以当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(3－x )百万元，又设由此获得的收益是g (x )，则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.当0≤x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0， 故g (x )在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数，所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．12．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为ke x (e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值．参考公式：(e ax ＋b )′＝a e ax ＋b (a ，b 为常数)．解 (1)由于年销售量为Q (x )＝k e x ，则ke 40＝500，所以k ＝500e 40，则年售量为Q (x )＝500e 40e x 万件，则年利润L (x )＝(x －a －30)500e 40e x ＝500e 40·x －a －30e x (35≤x ≤41)．(2)L ′(x )＝500e 40·31＋a －xe x .①当2≤a ≤4时，33≤a ＋31≤35， 当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0，所以x ＝35时，L (x )取最大值为500(5－a )e 5. ②当4<a ≤5时，35<a ＋31≤36，令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，易知x ＝a ＋31时，L (x )取最大值为500e 9－A ． 综上所述，当2≤a ≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5，每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e 9－a 万元．。
1.4生活中的优化问题 导学案 (教师版)
§1.4生活中的优化问题举例内容要求通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．知识点生活中的优化问题的解法(1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.(2)利用导数解决生活中优化问题的基本思路(3)解决优化问题的基本步骤①分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；②求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；④依据实际问题的意义给出答案.【预习评价】已知某种产品当产量为x吨(x∈[0，3])时，其每吨的平均利润为2x2－12万元，则生产该产品的最大利润为________万元.解析由题意知，生产该产品的利润为f(x)＝x·(2x2－12)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)，由f′(x)＞0得x＞2，由f′(x)＜0得x＜2，故f(x)在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，又f(0)＝0，f(3)＝18，故f(x)的最大值为18，即生产该产品可获得的最大利润为18万元.答案18题型一用料最省问题【例1】如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解如题图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省.设点C距点D为x km，则BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50).∴y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30.在(0，50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km).∴供水站C建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.【训练1】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)解依题意，有xy＋12·x·x2＝8，∴y＝8－x24x＝8x－x4(0＜x＜42)，于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2x ＋16x . 令l ′＝32＋2－16x 2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去).当0＜x ＜8－42时，l ′＜0；当8－42＜x ＜42时，l ′＞0，∴当x ＝8－42时，l 取得最小值.此时，x ＝8－42≈2.343 (m)，y ≈2.828 (m)， 即当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省. 题型二 面积、容积的最值问题【例2】 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25. 两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25. 广告的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，∴S′＝18 000[（x－20）－x]（x－20）2＋25＝－360 000（x－20）2＋25.令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140).当x＝140时，y＝175，即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.规律方法(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案.【训练2】如图，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大面积.解设B(x，0)(0＜x＜2)，则A(x，4x－x2).从而AB＝4x－x2，BC＝2(2－x).故矩形ABCD的面积为S(x)＝AB·BC＝2x3－12x2＋16x(0＜x＜2).S′(x)＝6x2－24x＋16，令S ′(x )＝0，得x 1＝2＋233，x 2＝2－233. ∵x 1∉(0，2)，∴x 1舍去. ∴当x ＝2－233时，S max ＝3239.因此，当点B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－233，0时，矩形的最大面积是3239. 题型三 成本最省、利润最大问题【例3】 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元. (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv ，全程运输成本为 y ＝a ·s v ＋b v 2·s v ＝s (a v ＋b v )，∴所求函数及其定义域为y ＝s (av ＋b v )，v ∈(0，c ]. (2)由题意s ，a ，b ，v 均为正数. 令y ′＝s (b －av 2)＝0得v ＝ ab ，v ∈(0，c ].①若ab ≤c ，则当v ＝ab 时，全程运输成本y 最小；②若ab >c ，则v ∈(0，c ]，此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数. 所以当v ＝c 时，y 最小.综上可知，为使全程运输成本y最小，当ab≤c时，行驶速度v＝a b ；当ab>c时，行驶速度v＝c.规律方法利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.【训练3】某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0，21].(2)对(1)中函数求导得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：]Z]∴x＝12时，f(x)取得极大值.∵f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，∴定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大.课堂达标1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A.8B.20 3C.－1D.－8解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案 C2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A.3V B.32VC.34V D.23V解析设底面边长为x，则表面积S＝32x2＋43x V(x>0).∴S′＝3x2(x3－4V).令S′＝0，得x＝34V.答案 C3.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件解析因为y′＝－x2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0，9)时，y ′＞0.所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增. 所以x ＝9是函数的极大值点.又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点， 所以函数在x ＝9处取得最大值. 答案 C4.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000， x ＞400，则总利润最大时，年产量是( ) A.100B.150C.200D.300解析 设年产量为x 时，总利润为y ，依题意，得y ＝⎩⎨⎧400x －12x2－20 000－100x ，0≤x ≤400，80 000－20 000－100x ， x ＞400， 即y ＝⎩⎨⎧300x －12x2－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ， x ＞400，所以y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x ＞400，由y ′＝0，得x ＝300.经验证，当x ＝300时，总利润最大. 答案 D5.用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m ，则当高为________m 时，容器的容积最大.解析 设高为x m ，则V ＝x (x ＋0.5)⎝ ⎛⎭⎪⎫14.84－0.5－2x ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，x ∈(0，1.6)，所以V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V ′＝0，解得x ＝1或x ＝－415(舍去).当0＜x ＜1时，V ′＞0，当1＜x ＜1.6时，V ′＜0， 所以当x ＝1时，容器的容积取得最大值. 答案 1课堂小结正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式； (2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.基础过关1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( ) A.2033 cm B.100 cm C.20 cmD.203 cm解析 设圆锥的高为h cm ，则V ＝13π(400－h 2)×h ， 所以V ′(h )＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0，得h 2＝4003， 所以h ＝2033，故选A. 答案 A2.把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个等边三角形，那么这两个等边三角形的面积之和的最小值是( ) A.332 cm 2B.4 cm 2C.3 2 cm 2D.2 3 cm 2解析 设其中一段为x cm ，则面积之和S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34⎝⎛⎭⎪⎫12－x 32＝318(x 2－12x ＋72)，S ′＝39(x －6). 令S ′＝0，得x ＝6.当x ＜6时，S ′＜0；当x ＞6时，S ′＞0. 所以当x ＝6时，S min ＝2 3 (cm 2). 答案 D3.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A.4B.6C.4.5D.8解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴h ＝25682＝4. 答案 A4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________.解析 设底面半径为r ，高为h ， 所以πr 2·h ＝27π.所以h ＝27r 2，所以水桶表面积为S (r )＝2πr ·h ＋πr 2＝54πr ＋πr 2.所以S ′(r )＝2πr －54πr 2.令S ′(r )＝0，得r ＝3. 答案 35.某厂生产某种商品x 件的总成本c (x )＝1 200＋275x 3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大.解析 设产品的单价为p 万元，根据已知，可设p 2＝k x ，其中k 为比例系数.因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250 000.所以p 2＝250 000x ，p ＝500x ，x ＞0. 设总利润为y 万元，则y ＝500x·x －1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200. 则y ′＝250x －225x 2.令y ′＝0，得x ＝25. 故当0＜x ＜25时，y ′＞0，当x ＞25时，y ′＜0，所以，当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值.答案 256.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h ，则火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解 设速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.则总费用f (x )＝(kx 3＋200)·a x ＝a (kx 2＋200x )(0＜x ≤100).由已知条件，得40＝k ·203，∴k ＝1200，∴f (x )＝a (1200x 2＋200x ).令f ′(x )＝a （x 3－20 000）100x 2＝0，得x ＝10320. 当0<x <10320时，f ′(x )<0；当10320<x <100时，f ′(x )>0.∴当x ＝10320时，f (x )有最小值，即速度为10320 km/h 时，总费用最少.7.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (L)关于行驶速度x (km/h)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120).已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少？最少为多少？ 解 (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 (h)，要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5 (L). (2)当速度为x km/h 的时候，汽车从甲地到乙地行驶了100x h.设耗油量为h (x )L ，依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120).h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120).令h ′(x )＝0，得x ＝80.x ∈(0，80)时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数；x ∈(80，120]时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数.所以当x＝80时，h(x)取得最小值h(80)＝11.25，即汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为11.25 L.能力提升8.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x∈(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A.0.016 2B.0.032 4C.0.024 3D.0.048 6解析依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0，0.048 6).所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去).当0<x<0.032 4时，y′>0；当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0.所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益.答案 B9.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A.24 cm3B.72 cm3C.144 cm3D.288 cm3解析设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或203(舍去)，∵当x∈(0，2)时，y′＞0，当x∈(2，5)时，y′＜0，∴x＝2时，y取极大值，也是最大值.∴y max＝6×12×2＝144(cm3).答案 C10.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲、乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________n mile/h.解析由题意，设每小时燃料费y与航速v间满足y＝a v3(0＜v≤30)，又因为25＝a·103，所以a＝1 40.设海轮从甲地到乙地的费用为w，则w＝a v3×800v＋800v×400＝20v2＋320 000v.由w′＝40v－320 000v2＝0，得v＝20.当0＜v＜20时，y′＜0；当20＜v≤30时，y′＞0.因此，当v＝20时，函数w取得极小值，也是最小值.即海轮从甲地到乙地的航速为20 n mile/h时，总费用最低.答案2011.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(单位：万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km处.解析依题意，可设每月土地占用费y1＝k1x，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45.令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去).当0＜x ＜5时，y ′＜0；当x ＞5时，y ′＞0，因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值.故当仓库建在离车站5 km 处时，两项费用之和最小.答案 512.请设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S (单位：cm 2)最大，试求此时x 的值；(2)若厂商要求包装盒容积V (单位：cm 3)最大，试求此时x 的值，并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解 (1)S ＝4×2x ·60－2x 2＝240x －8x 2(0＜x ＜30)， 所以S ′＝240－16x .令S ′＝0，则x ＝15.当0＜x ＜15时，S ′＞0，S 递增；当15＜x ＜30时，S ′＜0，S 递减.所以当x ＝15时，S 取最大值也是最大值.所以，当x ＝15 cm 时，包装盒侧面积最大.(2)V ＝(2x )2·22(60－2x ) ＝22x 2(30－x )(0＜x ＜30)，所以V ′＝62x (20－x ).令V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当0＜x ＜20时，V ′＞0；当20＜x ＜30时，V ′＜0.所以，当x ＝20时，V 最大.此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60－2x ）2x＝12. 创新突破13. 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3 m 3，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，设该容器的建造费用为y 千元.(1)写出y 关于r 的函数关系式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r .解 (1)设容器的容积为V ，由题意，知V ＝πr 2l ＋43πr 3.又因为V ＝80π3，所以l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，故0＜r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c . 所以y 关于r 的函数关系式为y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，该函数的定义域为(0，2].(2)由(1)，得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π（c －2）r 2⎝⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0＜r ≤2. 由于c ＞3，所以c －2＞0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2. 令 320c －2＝m ，则m ＞0. 所以y ′＝8π（c －2）r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2). ①当0＜m ＜2，即c ＞92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′＜0； 当r ∈(m ，2]时，y ′＞0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点.②当m ≥2，即3＜c ≤92时，当r ∈(0，2]时，y ′≤0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点.综上所述，当3＜c ≤92时，建造费用最小时r ＝2(m)； 当c ＞92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2(m).。
1.4生活中的优化问题举例第1课时精品教案
1.4.1 生活中的优化问题举例【教课目的】：（1）知识与技术：生活中常常碰到求收益最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题都是优化问题，感觉解决这些优化问题（也称最值问题）的特别现实的意义。
（2）感情态度与价值观：让学生充足领会到生活中到处有数学。
（3 ）过程与方法：培育学生主动发现问题、剖析问题、解决问题的能力，进一步培育学生应用数学的意识 , 领会导数在解决实质问题中的作用 .【教课要点】：利用导数解决生活中的一些优化问题;【教课难点】：数学模型的成立；【教课打破点】：创建丰富的拥有现实意义的问题背景，设置悬念，激发学生的学习兴趣。
【教法和学法设计】：教法：情形研究，师生互动。
学法：自主研究，合作沟通。
【课前准备】： Powerpoint【教课过程设计】：教课活动设计企图教课环节一、一、复习与引入复导数的应用一:判断单一性、求单一区间用导数法确立函数的单一性时的步骤是：经过复习（ 1 ）求出函数的导函数 f ’ (x) 习能够帮导（ 2 ）求解不等式 f ’ (x)>0 ，求得其解集，助学生巩数再依据解集写出单一递加区间固已学的（ 3 ）求解不等式 f ’ (x)<0 ，求得其解集，知识，同的再依据解集写出单一递减区间时，为以应导数的应用二:求函数的极值下的学习用1. 解方程 f ’(x)=0. 当 f ’(x 0 )=0 时 . 铺路①假如在x 0 邻近的左边 f ’(x) ＞ 0右边 f ’(x) ＜ 0, 那么 ,f(x 0) 是极大值 ;①假如在x 0 邻近的左边 f ’(x) ＜ 0右边 f ’(x) ＞ 0, 那么 ,f(x 0) 是极小值 ;2.导数为零的点是该点为极值点的必需条件,而不是充足条件.导数的应用三：求函数的最值设函数f(x) 的图象在[a,b] 上是连续不停的曲线,那么它必有最大值和最小值, 在[a,b] 上的最大值与最小值的步骤以下:①求 y=f(x) 在 (a ， b) 内的极值 (极大值与极小值 );②将函数 y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) （即端点的函数值）作比较,此中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.二、生活中常常碰到求收益最大、用料最省、效率最高等创问题，这些问题往常称为优化问题．经过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，设我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．情问题Ⅰ:汽油的使用效率何时最高?景我们知道 ,汽油的消耗量 w( 单位 :L) 与汽车的速度v( 单位 :km/h) 之间有必定的关系 ,汽油的耗费量 w提是汽车的速度 v 的函数 . 根据生活经验 ,思考下列出两个问题:(1)是否是汽车的速度越快,汽油的耗费量越大?问(2)“汽油的使用效率最高”的含义是什么?题老师：汽油的使用效率 G= 汽油的消耗量 w/ 汽车履行行程 s, 即 :G=w/s求 G 的最小值问题如图 ; 反映汽油平均消耗率 g( 每小时的汽油消耗量 ) 与汽车行使的均匀速度 v 之间关系 ,1g(L/h )通过实例创建问题情境，培育学生的剖析能力，激发他们的学习兴趣。
2022年《生活中的优化问举例》导学案
生活中的优化问题举例课前预习学案一、预习目标了解解决优化问题的思路和步骤二、预习内容1．概念：优化问题：_______________________________________________________2回忆相关知识：〔1〕求曲线=22在点P1,3处的切线方程〔2〕假设曲线=3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。
3：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小大值？4解决优化问题的根本思路是什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标1要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，根据实际问题确定函数的定义域；2要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。
难点：在实际问题中，有常常仅解到一个根，假设能判断函数的最大〔小〕值在的变化区间内部得到，那么这个根处的函数值就是所求的最大〔小〕值。
二、学习过程1.汽油使用效率最高的问题阅读例1，答复以下问题：（1）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？（2）“汽车的汽油使用效率最高〞含义是什么？（3）如何根据图中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？2.磁盘最大存储量问题阅读背景知识，思考下面的问题：问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。
〔1〕是不是r越小，磁盘的存储量越大？〔2〕r为多少时，磁盘具有最大存储量〔最外面的磁道不存储任何信息〕？三、反思总结通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的根本思路是：四、当堂检测某养猪场每年的固定本钱是20210元，每年最大规模的养殖量是400头。
每养1头猪，本钱增加100元，如果收入函数是Rq= q是猪的数量，每年养多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？〔可用计算器〕课后练习与提高1打印纸型号设计原理某种打印纸的面积为623.7cm2，要求上下页边距分别为2.54cm，左右页边距分别为3.17cm，如果要求纵向打印，长与宽分别为多少时可使其打印面积最大精确到0.01cm？收集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。
高中数学选修2《生活中的优化问题举例》导学案
第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例一、学习目标1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路．2.灵活用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力．【重点、难点】用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力．二、学习过程【情景创设】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。
优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？【提示】函数的最大值、最小值．【导入新课】1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为，通过前面的学习，我们知道是求函数最大(小)值的有力工具，运用，可以解决一些生活中的．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的，则它就是．3．解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题↓优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．【典型例题】例1.用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解】例2.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)【解】例3.某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a 4元；(3)拆去1 m 旧墙，用可得的建材建1 m 新墙的费用为a 2元，经讨论有两种方案： ①利用旧墙一段x m(0＜x ＜14)为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较①，②两种方案哪个更好．【解】【变式拓展】1.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？【解】2.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少千米处．【解】三、学习总结用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．(2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值：此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论：紧扣题目，给出圆满的答案.四、随堂检测1．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为() A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm2．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为()A．16 m, 16 m B．32 m, 16 m C．32 m, 8 m D．16 m, 8 m3.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为________元．4.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大效益，则x的取值为.。
《生活中的优化问题举例》参考教案
生活中的优化问题举例教学目标：1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2．提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x xx x xx=++-=++>。
求导数，得'2512()2S x x =-。
令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。
于是宽为128128816x ==。
当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。
生活中的优化问题举例导学案
§1.4生活中的优化问题举例【学习目标】1、学会将优化问题建立数学函数模型;2、能利用导数解决生活中的优化问题。
【自主学习】仔细阅读课本P34-36，完成下列问题：1、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r (单位：cm )是瓶子的半径。
已知每出售1ml 的饮料，制造商可获。
获利 0.2分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 。
问题1：半径为r 的瓶子最多能装多少ml 的饮料？问题2：每瓶满装的饮料的利润是多少？问题3：设每瓶满装饮料的利润为()f r ，则函数()f r 的定义域是什么？问题4：函数()f r 是否存在最值？若存在，如何求其最值？问题5：函数()f r 的大致图像是什么？根据图像分析瓶子半径的大小对制造商的利润产生什么影响？问题6：市场等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些，请用数学知识解释其中的道理？2、通过上边习题，请思考什么样的问题是优化问题？3、总结解决优化问题的步骤有哪些？【质疑探究】探究一 一边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒。
（1）试把方盒的容积V 表示成x 的函数；（2）x 多大时，方盒的容积v 最大？探究二 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部注满，房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲。
如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。
房间定价多少时，宾馆利润最大？(010),35k C x x ≤≤+探究三 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层。
每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。
该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm)满足关系：C （x)=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。
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《1. 4. 1生活中的优化问题举例》导学案
【学习目标】
1.掌握有关实际问题中的优化问题;
2.形成求解优化问题的思路和方法
【重点难点】
理解导数在解决实际问题时的作用
【学习过程】
、情景问题:
汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度V（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量W是汽车速度V的函数•根据你的生活经验，思考下面两个问题：
①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
②“汽油的使用率最高”的含义是什么？
二、合作探究、精讲点拨[来源：学&科&网]
例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm
.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
例2•饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8兀r2分,
其中r是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且
制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
② 瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
反思：如果我们直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
例3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上. 磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区. 磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域. 磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit) .
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n . 为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.
问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域．
①是不是r 越小，磁盘的存储量越大？
②r 为多少时，磁盘具有最大存储量( 最外面的磁道不存储任何信息) ？
反思：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r 越小，磁盘的存储量越大？
三、反思总结
1、解决优化问题的方法是怎样的？利用导数解决优化问题的基本思路：
课后作业
1、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材
料最省？
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省?
2、一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成
一个无盖的方盒.
①试把方盒的体积V表示为x的函数
②x多大时，方盒的容积V最大?
3、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；
房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲•如果游客居住房间，宾馆每天需花费20元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？
4、已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C = 100+ 4q,价格p与产量q的函数
1
关系式为p=25 q.求产量q为何值时，利润L最大.
5、某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3
w a w 5)的管理费，预计当每件产品的售价为X元(9 < a w 11)时，一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).。