第八章 多属性效用理论

第八章多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory) 主要参考文献: 92, 68, 86, 118, 129

§8.1 优先序

一、二元关系

1.无差异(Indifferent to)～

2.(严格)优于(Strict preference to)

3.不劣于(preference of indifference to)

●

A～B A B且B A

A B A B且非B A

因此，在任何

●在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。

但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。

二、二元关系的种类(用R表示二元关系)

●传递性，若xRy, yRz则xRz

●自反性reflectivity: xRx

●非自反性：(Irreflexivity)非xRx

●对称性(Symmetry)若zRy,则yRx

●非对称性(asymmetry)若xRy，则非yRx

●反对称性(anti-symmetry)若xRy且yRx则必有x = y

●连通性(connectivity) completeness, Comparability

对x, y∈X xRy 或/和yRx

任何次序关系必须满足传递性. 传递性看似合理，实则不然，例如，

20.000～20.001 20.001～20.002 …99.999～100, 但是20≠100

连通性在仔细验证前也不能假设其成立, 因为存在不可比方案; 但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立.

连通性 传递性完全序

§8.2多属性价值函数

一、价值函数的存在性

定理8.3

X ⊂R N ,

X 上的弱序，且

① x y X ∙

∙

∈, 若 x ∙

≥y ∙

x

∙

y ∙

;

② x y z X ∙

∙∙

∈,, 若 x

∙

y

∙

z ∙

则 必存在唯一的0＜λ＜1使y ∙

～λx ∙+(1-λ)z ∙

;

则存在定义在X 上的实值函数v ，满足 x

∙y ∙

⇔ v(x ∙

)＞ v(y ∙

)

x ∙

~y ∙

⇔ v(x ∙

) = v(y ∙

)

Note : 1. 条件①为单调性(Monotonicity), 即支配性(dominance): 只要某一属性值增加偏好也增加.

2. 条件②为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).

3. v(x ∙

)=f(v x v x n n 11(),,() ) f 的形式通常十分复杂，即使v x i i ()为线性 v 的形式仍十分

复杂.

例：x 1 , x 2 的价值函数为线性, 即: v 1=k 1x 1 v 2=k 2x 2 且 k 2=1.5k 1, 但是 v(x ∙

)≠v 1(x 1)+v 2(x 2)

因此, 价值函数的设定相当困难

.

二、加性价值函数 1.定义： 若 v(y ∙

)=

v y i

i n

i

=∑1

(), 则称价值函数V(y ∙

)是加性的

2.加性价值函数的存在条件 定理8.6(P133) (n ≥3) 定义在Y

R N

上的价值函数 v(y ∙

)=v(y y n 1,, )对任何 y ∙

’,y ∙

”∈Y ,

y ∙

’

y ∙

” iff v(y ∙

’)≥v(y ∙

”)则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在Y i ,

i=1,…,n 上的实值函数 v i 使

y ∙

’

y ∙

”⇔v 1(y 1’)+ …+v n (y n ’) ≥v 1(y 1”)+ …+v n (y n ”)

3.互相偏好独立的定义：

属性集Ω称为互相偏好独立,若Ω的每个非定正常子集Θ偏好独立于其补集Θ-

(Ω=ΘU Θ-

)

4.属性集Ω的子集Θ偏好独立于其补集Θ-

的定义(P130定义8.2)

当且仅当：对特定的y Y ΘΘ--∈ 若 (y Θ’,y Θ

-0

)

( y Θ”,y Θ

-0

) 则对所有 y Y ΘΘ

--∈必有

(y Θ’,y Θ

-)

( y Θ”,y Θ

-) 称属性集Ω的子集偏好独立于其补集Θ-

.

5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4) 消去条件 对∀x 1,y 1,a 1∈Y 1, x 2,y 2,a 2∈Y 2

有(x 1,a 1)(a 1,y 2),(a 1,x 2)(y 2,a 2)则必有(x 1,x 2)(y 1,y 2)

.

Thomson 条件 .

三、其他简单形式 1.拟加性： v(y ∙

)=

k v y i i

i n

i

=∑1

()+j i

n

ij i i n i j j k v y v y >=∑

∑1()()+k j

n

j i n ijk i i n i j j k k k v y v y v y >>=∑∑∑1()()()

+ … + k n 12 v 1(y 1) …v n (y n )

条件 Y i i=1,2,…,n 弱差独立于其补集Y i

- (详见p135,定义8.7)

2.乘性(pp136-137)

若属性集Ω的每个非室子集Θ弱差独立于其补集Θ-

, 则 v(y ∙

)=

k v y i i

i n i

=∑1()+k k k v y v

y i j i

n

j i i n i j

j >=∑∑1()()+k

2

k k k v y v

y v y i

j k j

n

j i n k i

i n i

j

j k k >>=∑∑∑1()()()

+ … + k k k k n n -1

12 v 1(y 1) …v n (y n )

§8.3多属性效用函数 一、二个属性的效用函数

·后果空间X ×Y ，后果(x,y)，设决策人在X ×Y 上的偏好满足公理(1)～(6)，则可用形如 v(x,y)=v X (x)+ v Y (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下)

·设决策人关于X ×Y 空间及P 上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和v(x,y)代表了X ×Y 上相同的偏好，u(x,y)=φ(v(x,y)). 其中φ(·)是保序变换

·决策人的行为符合理性行为公理时, 形如

的抽奖 可以用期望效用E[u(x,y)]=

p u x y i

i n

i

i

=∑1

(,) 来衡量其优劣.

二、效用独立(Utility Independence) 1.例：l 1 : <0.5,(100,150); 0.5, (400,150)> l 2 : <0.5,(175,150); 0.5, (225,150)> l 3 : <0.5,(100,250); 0.5, (400,250)> l 4 : <0.5,(175,250); 0.5, (225,250)> 若效用独立, 则l 1l 2⇔l 3l 4

2.定义：