实数和二次根式的基本概念解析

一．实数的基本概念

1．无理数的概念：

（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.

（2）解读：

1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.

2）无理数的常见类型：

①具有特定意义的数。如π等；

②具有特定结构的无限小数，如0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多一个2）等；

③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？？？

3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数.

2．实数的概念及分类：

（1）定义：有理数和无理数统称为实数.

（2）分类：

①按定义分：

⎧⎧

⎨

⎪

⎨⎩

⎪

⎩

整数

有理数

实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数

知识点睛

实数、二次根式的基本概念

②按性质分：0⎧⎧⎨⎪

⎩⎪

⎪

⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数

{

}

⎧⎧⎧⎫

⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪

⎧⎪⎨⎪⎩⎩

正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 （3）实数的性质：

①相反数：a 与b 互为相反数0a b ⇔+=.

②绝对值：,0

0,0,0

a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

或,0,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,0,0a a a a a >⎧=⎨-≤⎩

（4）实数和数轴上的点是一一对应的.

π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。

（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。 （6）实数中非负数的四种形式及其性质：

形式：①0a ≥；②2

0a ≥

0≥（0a ≥）

0a ≥.

性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

（7）实数中无理数的常见类型：

①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数； ②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等；

③看似循环，但实质不循环的无限小数是无理数，例如：1.023*******…….

（一）根据实数的定义解题：

【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数?

－0.313 131…， π， ， 23， ， 3.14， 0.4829，

1.020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），

【例2】在实数010.1235中无理数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【拓展】22

π 3.140.614140.10010001000017

，，，，这7个实数中，无理数的个数

是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【例3】下面有四个命题：

①有理数与无理数之和是无理数． ②有理数与无理数之积是无理数． ③无理数与无理数之和是无理数． ④无理数与无理数之积是无理数．

请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。

【例4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( )

(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( )

(8)实数包括有限小数和无限小数.( )

（二）实数的绝对值：

【例5】求下列各数的相反数及绝对值： (1)364- (2)π-3

【例6】已知一个数的绝对值是3，求这个数.

【拓展】｜x ｜=｜－π｜，求x 的值。

【例7】若01<

b ，b 1

b 这四个数有下列关系（ ） A.

b b b b 21

<<<

B.

b b b b 21<<

<

C. 1

2

b b b b <<<

D.

b b b b <

<<1

2

【例8】比较下列各组数的大小：

(1)7和3 (2)

二．二次根式的概念

1. a≥0）的式子叫做二次根式

2. 二次根式应满足两个条件：

第一，有二次根号。

第二，被开方数是正数或0。

第三，二次根式a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根。 3.性质

(1)2)(a =a （a≥0）．

(0)

(0)

a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩

a a =2（a≥0） a a -=2（a ＜0）

a≥0，b≥0） a≥0，b≥0）

（a≥0，b>0） a≥0，b>0）

【例1】下列各式中哪些是二次根式，请作出判断。

m ≤