高中数学数形结合习题
高中数学：不等式中的数形结合
高中数学：不等式中的数形结合数形结合思想方法的应用不可忽视。
下面举例说明。
1. 数形对照，相互渗透例1. 使不等式有解的实数a的取值范围（）A. B.C. D.分析：表示数轴上x所对应的点到与4、3所对应的两点距离之和。
由图1可得其和最小值为1，故选D。
图1例2. 已知，欲使不等式恒成立，求实数c的取值范围。
分析：欲使恒成立，即恒成立，故。
于是问题转化为求知，当直线图2故。
2. 由数想形，直观显现例3. 解不等式。
分析：设，，由得：因为2为半径，在x轴上方的半圆，表示过原点斜率为1在第一象限的直线，如图3，由题意转化要求半圆（圆弧）应在直线的下方，可得，图3故原不等式的解集是（2，4]例4. 求使不等式成立的x的取值范围。
解：，因为的图象与函数图象关于y 轴对称，的图象是一条过点（0，1）的直线由图4可得图4例5. 已知且，都有实根，求的取值范围。
解：依题意得即（*）则满足（*）的点（a，b）在图5所示的阴影区域内。
图5设，则所表示的直线系中，过点A（4，2）的直线在b轴上的截距即为满足（*）的z的最小值。
所以故3. 由数构形，抽象变形象例6. 设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.解：设，因为当时，所以上是增函数因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以为奇函数又所以又是奇函数，所以故根据以上特点，不妨构造如图6所示的符合题意的函数F（x）的图象，由图直接观察出所求解集是图6故选D。
由上几例可知，在不等式的教学或复习中要有意识的注意数形结合思想方法的渗透。
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高中数学 必修二 习题：第4章 圆的方程4.2.3 Word版含解析
第四章 4.2 4.2.3一、选择题1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m[答案] B[解析] 圆半径OA ＝3.6，卡车宽1.6，所以AB ＝0.8， 所以弦心距OB ＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．2．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－ 5C ．5D ．25[答案] A [解析]x 2＋y 2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d ＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )[答案] A[解析] 由方程y ＝－4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上和以下的部分．4．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )D ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π[答案] D[解析] 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.5．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．6．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)． 二、填空题7．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为________.[答案] [34，＋∞)[解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QD ．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)．8．已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________.[答案] (－3,32][解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点． 三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C ．现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A 、B 、P 在此圆上，故有 ⎩⎪⎨⎪⎧182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6. 答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.一、选择题1．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－6 5D ．14＋6 5[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.2．方程1－x 2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－ 2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1[答案] D[解析] 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k <1或k ＝ 2.3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×10×46＝20 6. 4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )D ．4π5B ．3π4C ．(6－25)πD ．5π4[答案] A[解析] 原点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离为d ，则d ＝45，点C 到直线2x ＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知C 是AB 的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，所以r 最小为25，面积最小为4π5，故选D ． 二、填空题5．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于________.[答案] B 景点在小路的投影处[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧ a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．6．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________.[答案] [0，43][解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.三、解答题7.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [解析] 如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.8．已知隧道的截面是半径为4.0 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m 、高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2.7代入，得 y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
高中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）
⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）数学好教师2020-07-17⼀数形结合的三个原则⼀等价性原则在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。
⼆双向性原则既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.三简单性原则不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．⼆数形结合的应⽤⼀利⽤数轴、韦恩图求集合利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。
当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。
⼆数形结合在解析⼏何中的应⽤解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：（⼀）与斜率有关的问题（⼆）与距离有关的问题三数形结合在函数中的应⽤（⼀）利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.（⼆）利⽤数形结合解决函数的单调性问题（三）利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题（四）函数的最值问题（五）利⽤数形结合解决抽象函数问题四运⽤数形结合思想解不等式（⼀） 解不等式（⼆）求参数的取值范围五运⽤数形结合思想解决三⾓函数问题纵观近三年的⾼考试题，巧妙地运⽤数形结合的思想⽅法来解决⼀些问题，可以简化计算，节省时间，提⾼考试效率，起到事半功倍的效果.六解决⼏何问题图象解决⼏何问题借助向量的借助向量的图象利⽤向量可以解决线段相等，直线垂直，⽴体⼏何中空间⾓（异⾯直线的⾓、线⾯⾓、⼆⾯⾓）和空间距离（点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距），利⽤空间向量解决⽴体⼏何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，⼤⼤降低了空间想象能⼒，是数形结合的深化。
2022版人教A版高中数学必修第二册练习题--第七章 复数复习提升
2022版人教A版高中数学必修第二册--本章复习提升易混易错练易错点1忽视复数相等的条件致错1.()已知(2+i)y=x+y i,x,y∈R,且y≠0,则|x+i|= ()yA.√2B.√3C.2D.√52.()已知i是虚数单位,m,n∈R,且m+i=1+n i,则m+ni= ()m-niA.iB.1C.-iD.-13.(2021山东临沂一中高二下月考,)已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i,求x与y的值.易错点2对复数的几何意义考虑不全面致错4.()在复平面内,已知复数z对应的向量为OZ⃗⃗⃗⃗⃗ (O为坐标原点),OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z为()A.1+√3iB.−1+√3iC.-1-√3iD.−1±√3i5.()已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则在复平面内,复数z对应的点的集合构成的图形是()A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆易错点3对复数范围内方程的问题考虑不全面致错6.()已知方程x2+kx-i=0有一个根是i,求另一个根及k的值.7.()关于x的方程x2+(2a-i)x-a i+1=0有实根,求实数a的值.8.()在复数范围内求方程x2-5|x|+6=0的解.易错点4混淆复数运算与实数运算致错9.()复数i2+i3+i41-i= ()A.-12−12i B.−12+12iC.12−12i D.12+12i10.()满足z+5z是实数,且z+3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,请说明理由.思想方法练一、函数与方程思想在解决复数问题中的应用1.()已知复数z=cos θ+isin θ(0≤θ<2π),求θ为何值时,|z+1-i|取得最大值和最小值,并求出最大值和最小值.2.()关于复数z 的方程z 2-(a +i )z -(i+2)=0(a ∈R).(1)若此方程有实数解,求a 的值;(2)用反证法证明:对任意的实数a ,原方程不可能有纯虚根. 3.()已知关于x 的一元二次方程x 2+2kx -3k =0(k ∈R)的虚根为x 1,x 2.(1)求k 的取值范围,并用k 表示该方程的根; (2)若3|x 1|=2|x 2|+|3i1+i|,求k 的值.二、数形结合思想在解决复数问题中的应用 4.()在复平面内,复数z 1,z 2对应的向量分别是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则复数z 1-z 2= ( )A.-1+2iB.-2-2iC.1+2iD.1-2i⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的5.()在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是()复数分别是3+i,-1+3i,则CDA.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i6.(2021上海闵行七宝中学高二上期末,)已知复数z1=2-2i,若|z|=1,z,z1在复平面⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是.内对应的点分别为Z,Z1,则向量|ZZ1三、转化与化归思想在解决复数问题中的应用7.()已知复数z=1+(1-t)i,若复数z2在复平面内对应的点在第二象限,求实数t的取值范围.8.()设z是虚数,ω=z+1是实数,且-1<ω<2.z(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设μ=1-z,求证:μ是纯虚数;1+z(3)求ω-μ2的最小值.答案全解全析 易混易错练1.D 因为x ∈R,y ∈R 且y ≠0,(2+i )y =x +y i ,所以2y =x ,所以|xy +i|=|2+i|=√5,故选D.2.A 因为m +i=1+n i ,所以m =n =1, 则m+ni m -ni=1+i 1-i=(1+i )2(1-i )(1+i )=i .故选A.3.解析 根据已知条件可设y =b i (b ∈R,b ≠0),代入(2x -1)+i=y -(3-y )i ,整理得(2x -1)+i=-b +(b -3)i ,根据复数相等的充要条件,可得{2x -1=-b ,1=b -3,解得 {x =-32,b =4,所以x =-32,y =4i .易错警示复数相等的充要条件是复数向实数转化的桥梁,所以要注意得到的必须是两个实数等式组成的方程组.4.D 设复数z 在复平面内对应的点的坐标为Z (a ,b ). 根据题意可画出图形,如图所示,∵|z |=2,且OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正方向的夹角为120°,∴a =-1,b =±√3, 即点Z 的坐标为(-1,√3)或(-1,-√3).∴z =-1+√3i 或z =−1−√3i . 易错警示利用复数与向量的对应关系解题时,注意向量的位置、夹角等的思考与讨论. 5.A 由题意可知(|z |-3)(|z |+1)=0,即|z |=3或|z |=-1,∵|z |≥0,∴|z |=3,故复数z 对应的点的集合构成的图形是以原点为圆心,3为半径的圆.6.解析 将x =i 代入原方程得i 2+k i-i=0,由此可得k =1-i ,设x 0是方程的另一个根,则由根与系数的关系可得x 0i=-i ,从而得x 0=-1. 易错警示实系数一元二次方程中的虚根是成对出现的,但如果题设中没有直接交代一元二次方程的系数是实数,就不能得出上述结论.7.解析 设方程x 2+(2a -i )x -a i+1=0的实根为x 0,则有x 02+2ax 0+1-(a +x 0)i=0,由复数相等的充要条件可知{x 02+2ax 0+1=0,-(a +x 0)=0,解得a =±1. 8.解析 因为x ∈C, 所以设x =a +b i (a ,b ∈R),代入方程得(a +b i )2-5√a 2+b 2+6=0, 即a 2-b 2-5√a 2+b 2+6+2ab i=0,所以{a 2-b 2-5√a 2+b 2+6=0,2ab =0,解得{a =0,b =±1或{b =0,a =±2或{b =0,a =±3,所以原方程有6个解,分别为i ,-i ,2,-2,3,-3. 9.C 因为i 2=-1,i 3=-i ,i 4=1, 所以i 2+i 3+i 41-i=-i 1-i=-i (1+i )2=12−12i .10.解析 存在.理由如下:设虚数z =x +y i (x ,y ∈R,且y ≠0), 则z +3=x +3+y i ,z +5z =x +yi +5x+yi=x +5xx 2+y2+(y -5y x 2+y 2)i .由题意得{y -5yx 2+y2=0,x +3=-y ,y ≠0,∴{x 2+y 2=5,x +y =-3,解得{x =-1,y =-2或{x =-2,y =-1.∴存在虚数z =-1-2i 或z =-2-i 满足题意. 易错警示在复数的运算中,注意与实数运算的区别.如在进行除法运算时,注意在分母实数化过程中,(a +b i )(a -b i )=a 2+b 2(a ,b ∈R).思想方法练1.解析 |z +1-i|=|cos θ+1+i (sin θ-1)| =√(cosθ+1)2+(sinθ-1)2 =√2(cosθ-sinθ)+3 =√2√2cos (θ+π4)+3. 将模的最值问题转化为关于θ的三角函数的最值问题,根据三角函数的有关性质求解.因为0≤θ<2π,所以θ+π4∈[π4,9π4),所以当θ=7π4时,|z +1-i|取得最大值,最大值为√2+1, 当θ=3π4时,|z +1-i|取得最小值,最小值为√2-1. 2.解析 (1)设z =x 0∈R,代入方程得x 02-(a +i )x 0-(i+2)=0, 即(x 02-ax 0-2)+(-x 0-1)i=0, ∴{x 02-ax 0-2=0,-x 0-1=0,利用复数相等的充要条件,列方程组求解. 解得{x 0=-1,a =1,∴a =1.(2)证明:假设存在实数a ,使得原方程有纯虚根z =b i (b ∈R 且b ≠0), 则有(b i )2-(a +i )·b i-(i+2)=0, 即(-b 2+b -2)+(-ab -1)i=0,∴{-b 2+b -2=0,-ab -1=0⇒{b 2-b +2=0,①ab +1=0,②利用复数相等的充要条件,列方程组求解.∵方程①中Δ=-7<0,∴不存在实数b 使方程①成立, ∴方程组无实数解,∴假设不成立, ∴对任意的实数a ,原方程不可能有纯虚根.3.解析 (1)因为一元二次方程 x 2+2kx -3k =0有两个虚根, 所以Δ=4k 2+12k <0,解得-3<k <0. 由求根公式可得,该方程的两根为-2k±2√-k 2-3ki2=−k ±√-k 2-3k i .(2)因为x 1,x 2互为共轭复数,所以|x 1|=|x 2|, 因为3|x 1|=2|x 2|+|3i1+i |,所以|x 1|=|3i1+i|=3√22,所以k 2+(-k 2-3k )=92,解得k =-32.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的,结合求根公式和题设中的等式,即可求解. 思想方法复数问题中的最值问题一般要用到函数思想,通常找到一个参数或变量,根据复数与实数之间的联系建立函数关系,利用函数的最值进行求解;复数问题中的求值问题,可以利用复数的有关性质,通过方程(组)或一元二次方程相关知识进行求解,这体现了方程思想.4.B 由题图,知z 1=-2-i ,z 2=i ,所以z 1-z 2=-2-2i ,故选B. 观察题图可知A (-2,-1),B (0,1),从而得出对应的复数z 1,z 2.5.D 如图,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 由图中平行四边形的性质,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,再求解. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3+i ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+3i , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(3+i )-(-1+3i )=4-2i .6.答案 2√2+1解析 由于|z |=1,故复数z 所对应的点的集合是以原点为圆心,1为半径的圆,易知z 1所对应的点的坐标为Z 1(2,-2),则由图可知,|ZZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值可以看成点(2,-2)与点(0,0)之间的距离再加1,最大值为2√2+1.根据复数及模的几何意义,画出图形,观察图形得出最大距离即可.思想方法复数的几何意义、复数的模以及复数加、减法的几何意义都是数形结合思想的体现.比如在复平面内,|z|表示复数z对应的点与坐标原点间的距离,|z-(a+b i)|(a,b∈R)表示复数z对应的点与点(a,b)间的距离,从而可以利用数形结合思想,将抽象问题形象化,复杂问题简单化.7.解析z2=[1+(1-t)i]2=1-(1-t)2+2(1-t)i=(2t-t2)+(2-2t)i,所以复数z2在复平面内对应的点为(2t-t2,2-2t),由其在第二象限,得{2t-t 2<0,2-2t>0,解得t<0.故实数t的取值范围是(-∞,0).将复数z2在复平面内对应的点在第二象限转化为关于实数t的不等式组,进而求出t的取值范围.8.解析设z=a+b i(a,b∈R,且b≠0).(1)由题得ω=a+b i+1a+bi =(a+aa2+b2)+(b-ba2+b2)i.∵ω是实数,b≠0,∴b-ba2+b2=0,∴a2+b2=1,即|z|=1.∴ω=2a,又-1<ω<2,∴-12<a<1,∴z的实部的取值范围为(-12,1).设出复数z的代数形式,将复数问题实数化.(2)证明:μ=1-z1+z =1-a-bi1+a+bi=1-a2-b2-2bi(1+a)2+b2=-ba+1i.∵a∈(-12,1),b≠0,∴μ为纯虚数.(3)ω-μ2=2a+b2(a+1)2=2a+1-a2(a+1)2=2a−a-1a+1=2a−1+2a+1=2[(a+1)+1a+1]-3,∵a∈(-12,1),∴a+1>0,∴ω-μ2≥2×2√(a+1)·1a+1-3=4-3=1,当且仅当a+1=1a+1,即a=0(a=-2舍去)时,ω-μ2取得最小值,且最小值为1.思想方法寻求联系,实现转化,是转化与化归思想在复数中应用的关键,如把复数z设成z=a+b i(a,b∈R)或者z=r(cos θ+isin θ)(r,θ∈R)的形式,从而将问题转化成关于实数a,b或r,θ的问题,实现复数问题实数化;把复数利用点或者向量表示,从而将复数问题几何化等等.。
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)
高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)
高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。
高中数学第五章-习题课
习题课 复 数明目标、知重点1．巩固复数的概念和几何意义．2．理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； (4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2. 3．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i；(2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i ，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． 跟踪训练1 (1)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i答案 B解析 方法一 ∵z1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ， ∴a －b i1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i. (2)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 A解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i )21－i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A.题型二 复数的几何意义的应用例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解 点集D 的图像为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10. ∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45.∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3，∴|z 1＋z 2|＝|OC →| ＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 有关两个复数相等的问题例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i. 2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式， 得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i2.根据复数相等的充要条件，得 ⎩⎨⎧a ＝33－4a2，b ＝12.解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.1．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B2．已知复数z ＝1＋2i1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．设复数z 满足关系：z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1，故z ＝34＋i.4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________． 答案 34解析 z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i ＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34，且能使2－m ＝3m －1>0，满足题意．5．设复数z ＝1＋i ，且z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解 因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b ＝(a ＋2)i ＋a ＋b ，z 2－z ＋1＝i ， 所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝a ＋b ＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i.又z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.[呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化； 2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15iD ．－15答案 B解析1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B.2．设z ＝10i3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i答案 D解析 由z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，得z ＝1－3i.3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0或2 C ．2 D ．0 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0m 2－2m ＝0，得m ＝0.4．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( ) A ．b 2＝3a 2 B ．a 2＝3b 2 C ．b 2＝9a 2 D ．a 2＝9b 2答案 A解析 若(a ＋b i)3＝(a 3－3ab 2)＋(3a 2b －b 3)i 是实数，则3a 2b －b 3＝0.由b ≠0，得b 2＝3a 2.故选A.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a ＝______.答案 2解析 设1＋a i2－i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2.6．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|＝________. 答案13解析 设D 点对应复数为z ，∵AB →＝DC →， ∴1－i ＝－z ＋(4＋2i)，∴z ＝3＋3i ， ∴BD →对应的复数为2＋3i ，∴|BD →|＝13.7．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 ∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限． 9．设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 10．已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b ＝________. 答案 －1解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝a 2， 因为a ≠b ，ab ≠0， ⎩⎨⎧a ＝－12＋32i ，b ＝－12－32i 或⎩⎨⎧b ＝－12＋32i ，a ＝－12－32i ，因此a ＋b ＝－1.11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )． 已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)． 由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i. 三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在． 故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学 数形结合_巧解“与圆有关的最值问题” 知识点+例题
数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。
高中数学：用数形结合的方法,解决不等式的问题
高中数学：用数形结合的方法，解决不等式的问题数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。
正如华罗庚先生所说的：“数形结合千般好”，其特征主要体现是将代数问题几何化，即通过图形反映相关的代数关系，从而直观地解决有关的代数问题。
一. 解含参不等式在解决含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长。
如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决。
例1. 已知，解关于x的不等式。
解：如图1所示，在同一坐标系中，作和的图象。
图1解和交点的坐标，即在时，由，得。
由图1知，当时，曲线的上方。
所以原不等式的解集为：例2. 已知，解关于x的不等式。
解：如图2所示，在同一坐标系中，作曲线及直线：。
联立和，解得。
图2由图2知，曲线C在直线上方部分的点的横坐标范围，即为原不等式的解集：。
二. 确定参数的范围在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观而易于理解。
例3. 求实数a的范围，使当时，不等式恒成立。
解：原不等式变形得：令如图3所示，在同一坐标系中作出曲线C：和直线。
由于直线恒经过定点，由图3可知，要使在时恒成立，直线应在原点下方，即斜率a应该大于。
所以a的取值范围是。
图3例4. 已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值。
解：将原不等式同解变形为如图4所示，在同一坐标系中作出曲线和直线。
图4根据题意，求出直线和曲线C的交点，将坐标代入的方程得：解之得：三. 证明不等式把要证明的不等式赋予一定的几何意义，将使复杂的证明问题获得明快解决。
例5. 已知：。
求证：。
分析：表示原点到点的距离，利用这种几何意义，问题就变得很简单了。
证明：如图5所示，设，则（1）当时，在△AOB中由得（2）当时，由得综合（1）、（2）得图5▍ ▍ ▍。
数形结合高中数学例题
例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？
分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数
y =2x 2－3x 。
和函数y =2k 的交点个数问题．
解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛
物线，随着k 的变化，易知2k ＝－8
9或－1≤2k ＜5时只有一个公共点．∴ k =－169或－21≤k <2
5. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相
应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决
数（实根）的问题．
例题3．已知s =
1
322+-t t ，则s 的最小值为 。
分析：等式右边形似点到直线距离公式．
解：|s |＝1
|32|2+-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为：(x +2)t +y
－3=0后易知过定点P (－2，3)，从而原点到直线 tx +y +2t
－3＝0的最短距离为|OP |=13, ∴ －13≤s ≤13.
点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问题．类似地如n bx m ay --联想到斜率，1cx d b
++联想到定比分点公式，(x －a )2+(y －b )2
联想到距离，|z 1－z 2|联想到两点间距离等．。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．设函数()3xf x xe =，若存在唯一的负整数0x ，使得()00f x kx k <-，则实数k 的取值范围是（ ） A ．23,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．30,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．236,e e ⎛⎫--⎪⎝⎭D ．223,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ）A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f ->>3．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．4．已知函数()3ln f x x x =-与()3g x x ax =-的图像上存在关于x 轴的对称点,则实数a的取值范围为( ) A ．()e -∞，B ．1e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．(]e -∞， D ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，5．函数2()ln f x ax x x =-在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f =，当0x >时，有()()2xf x f x x '->恒成立，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()()1,00,1-⋃ C ．()(),11,-∞-⋃+∞ D ．()(),10,1-∞-7．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为A ．r 2B ．32r C 3 D ．r8．已知函数()y f x =在R 上可导且()02f =，其导函数()f x '满足()()02f x f x x '>--，对于函数()()x f x g x e=，下列结论错误．．的是（ ）. A ．函数()g x 在()2,+∞上为单调递增函数 B ．2x =是函数()g x 的极小值点 C ．0x ≤时，不等式()2xf x e ≤恒成立D ．函数()g x 至多有两个零点9．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ） A ．(,2021)-∞-B ．(2021,2020)--C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-10．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（ ） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃11．函数()21ln 2f x x x =-在区间()0,2上的最大值为（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．无最大值12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．已知函数()()21,0e ,0x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，则实数m 的取值范围为______．14．已知函数()2e 2=++x f x ax a ，若不等式()()1≥+f x ax x 对任意[]2,5x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________．15．已知函数()2x e f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．已知数列()*4n n b n N =∈.记数列{}n b 的前n 项和为n T ．若对任意的*n N ∈，不等式4843n T k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，则实数k 的取值范围为______．17．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．18．函数()()21xf x x =-的最小值是______.19．已知函数()3223121x x f x x =+--在[],1m 上的最大值为17，则m =______.20．若函数()2122f x x x aInx =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题21．已知函数()()ln 0af x x a a x=-+>． （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，求a 的值； （2）求函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数；（3）若1x ∀、()21,x e ∈，()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，试写出a 的取值范围.（只需写出结论）22．已知函数21()2(2)2ln x f x a x a x =+-+（1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）求()f x 的单调区间.23．已知函数()xf x ax e =-(a R ∈，e 为自然对数的底数).（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥-，()232f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最大值.24．已知函数f(x)＝12x 2＋lnx. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：当x>1时，12 x 2＋lnx<23x 3. 25．已知函数()2xf x e x a =-+，x ∈R ，曲线()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为y bx =.（1）求,a b ，并证明()2f x x x ≥-+；（2）若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围. 26．已知函数ln xy x=（0x >）. （1）求这个函数的单调区间；（2）求这个函数在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用到函数研究其图象，令3x y xe =，y kx k =-，从而讨论两个函数的性质作出3x y xe =与y kx k =-的图象，从而结合图象可得解． 【详解】()3x f x xe =，令y kx k =-，()3(1)x f x e x '=+，()3x f x xe ∴=在(-∞，1]-上是减函数，在(1,)-+∞上是增函数，又y kx k =-是恒过点(1,0)的直线，∴作()3x f x xe =与y kx k =-的图象如下：当直线y kx k =-与()3x f x xe =相切时， 设切点为(,3)x x xe ，3331xx x xe e xe x =+-， 则152x -=，152x +=；令()3x g x xe kx k =-+ 结合图象可知：(0)0(1)0(2)0g g g ⎧⎪-<⎨⎪-⎩解得：2232k e e<故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是数形结合思想的灵活运用.作出两个函数的图象后，通过观察分析得到存在唯一的负整数01x =-，使得()00f x kx k <-，即(0)0(1)0(2)0g g g ⎧⎪-<⎨⎪-⎩.2．A解析：A 【分析】首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31log 2转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小. 【详解】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数；()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3．B解析：B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4．B解析：B【分析】由题中对称知f （x ）＝﹣g （x ）有解，即lnx a x =在（0，+∞）有解，令()lnxh x x=，求函数导数，分析单调性可得值域，进而可得解. 【详解】函数f （x ）＝lnx ﹣x 3与g （x ）＝x 3﹣ax 的图象上存在关于x 轴的对称点， ∴f （x ）＝﹣g （x ）有解， ∴lnx ﹣x 3＝﹣x 3+ax ， ∴lnx ＝ax ，即lnxa x=在（0，+∞）有解， 令()lnx h x x =，则()1'lnxh x x-=. 当()()()0,,0,?x e h x h x >'∈单调递增； ()()(),,0?x e h x h x ∈+'∞<，单调递减.()()1max h x h e e==，且()0,x h x →→-∞，所以1a e≤. 故选B. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，涉及函数对称的处理，考查了计算能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】首先对函数求导，将函数在给定区间上单调增，转化为其导数在相应区间上大于等于零恒成立，构造新函数，利用导数研究其最值，求得结果. 【详解】()2ln 1f x ax x '=--，若函数2()ln f x ax x x =-在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 则()0f x '≥在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立， 则ln 12x a x +≥在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立， 令ln 11(),[,)2x g x x x e+=∈+∞，则2222ln 2ln ()42x xg x x x --'==-，可以得出01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<，所以函数()g x 在1[,1]e上单调递增，在[1,)+∞上单调递减， 所以max 1()(1)2g x g ==，所以12a ≥， 故选：A. 【点睛】该题考查的是与导数有关的问题，涉及到的知识点为根据函数在给定区间上单调增，确定参数的取值范围，属于中档题目.6．A解析：A 【分析】 构造函数()()(0)f x g x x x=≠，可得()g x 在定义域内为偶函数，并得到()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，则在(,0)-∞上单调递减，且(1)0g =，(1)0g -=，结合函数的大致图像分析即可得到()0f x >的解集． 【详解】 构造函数()()(0)f x g x x x =≠，则()()2()xf x f x g x x'-'= 由于()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 故()g x 在定义域内为偶函数，图像关于y 轴对称；()10f =，则(1)0g =，(1)0g -=；又0x >时，有()()20xf x f x x '->恒成立，故()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，即()g x 在(0,)+∞ 上单调递增；根据偶函数的对称性可得()g x 在(,0)-∞上单调递减， 所以()g x 的大致图像如下图：()0f x >，即为当0x <时，()0<g x ，当0x >时，()0>g x 的解集，所以()0f x >，则10x -<<或1x >； 即()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ 故选：A. 【点睛】本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性，根据函数单调性解不等式，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题目．7．D解析：D 【解析】设=COB θ∠，则上底为2cos r θ，高为sin r θ， 因此梯形面积为21(2cos 2)sin (1cos )sin 022S r r r r πθθθθθ=+=+∈，（，） 因为由22222=(sin cos cos )(1cos 2cos )0S r r θθθθθ'-++=-++=， 得1cos 2θ=，根据实际意义得1cos 2θ=时，梯形面积取最大值，此时上底为2cos =r r θ，选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '=得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.8．C解析：C 【分析】由()()02f x f x x '>--，利用导数求出函数()g x 的单调区间以及函数的极值，根据单调性、极值判断每个选项，从而可得结论． 【详解】()()xf xg x e =， 则()()()xf x f xg x e '-'=，2x >时，()()0f x f x '->，故()y g x =在(2,)+∞递增，A 正确；2x <时，()()0f x f x '-<，故()y g x =在(,2)-∞递减，故2x =是函数()y g x =的极小值点，故B 正确； 若g （2）0<，则()y g x =有2个零点， 若g （2）0=，则函数()y g x =有1个零点， 若g （2）0>，则函数()y g x =没有零点，故D 正确； 由()y g x =在(,2)-∞递减，则()y g x =在(,0)-∞递减， 由0(0)(0)2f g e ==，得0x 时，()(0)g x g ， 故()2xf x e，故()2x f x e ≥，故C 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题，考查了构造函数法的应用，是一道综合题．9．B解析：B 【分析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2()()f x g x x =，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集． 【详解】解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()()x f x x f x xf x f x g x x x ''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，∵不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()2(1)(1)(1)1f g f --==--，等价于()()()()()2220201120201f x f g x +-<=-+-，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-．故选：B 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x =是解决本题的关键，属于中档题． 10．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.11．A解析：A 【分析】利用导数分析函数()f x 在区间()0,2上的单调性，由此可求得该函数在区间()0,2上的最大值. 【详解】()21ln 2f x x x =-，()211x f x x x x-'∴=-=.当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当12x <<时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，当()0,2x ∈时，()()max 112f x f ==-. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.12．A解析：A先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xxf x x x e e =-+-的定义域为R ， 又由3322()42e (42)()e x xx x f x x x x x e f x e-=-++-=--+-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥， 当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤， 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．【分析】转化为函数的图象与直线恰有2个交点作出函数的图象利用图象可得结果【详解】因为函数恰好有2个零点所以函数的图象与直线恰有2个交点当时当时所以函数在上为增函数函数的图象如图：由图可知故答案为：【 解析：34m >【分析】转化为函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，作出函数的图象，利用图象可得结果.因为函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，所以函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点， 当0x ≤时，22133()1()244y f x x x x ==++=++≥， 当0x >时，()x y f x x e x =-=-，10x y e '=->，所以函数()x y f x x e x =-=-在(0,)+∞上为增函数，函数()y f x x =-的图象如图：由图可知，34m >. 故答案为：34m > 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】原不等式可化为当时该不等式恒成立当时不等式可化为从而构造函数求导并判断单调性可求出令即可【详解】由题意不等式可化为当时恒成立；当时不等式可化为令则求导得所以在上单调递减在上单调递增所以则综上 解析：(3,e ⎤-∞⎦【分析】原不等式可化为()e 2xa x ≥-，当2x =时，该不等式恒成立，当(]2,5x ∈时，不等式可化为e 2x a x ≥-，从而构造函数()e 2xg x x =-，求导并判断单调性，可求出()min g x ，令()min g x a ≥即可. 【详解】由题意，不等式()2e 21x ax a ax x ++≥+可化为()e 2xa x ≥-， 当2x =时，()e 2xa x ≥-恒成立；当(]2,5x ∈时，不等式可化为e 2xa x ≥-， 令()e 2xg x x =-，(]2,5x ∈，则()min g x a ≥，求导得()()()2e 32x x g x x -'=-，所以()g x 在()2,3上单调递减，在[]3,5上单调递增，所以()()3min 3e g x g ==，则3e a ≤，综上所述，实数a 的取值范围是(3,e ⎤-∞⎦. 故答案为：(3,e ⎤-∞⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为e 2xa x ≥-，通过构造函数()e 2xg x x =-，令()min g x a ≥，可求出a 的取值范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.15．【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当解析：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.【详解】因为当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立， 所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数， 所以()230xg x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立，即23xe a x≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立，令2()3xe h x x=，所以()32()3x e x h x x-'=， 当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212e，所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】先求得然后利用分离常数法通过构造函数法结合导数求得的取值范围【详解】由于公比为所以所以对任意的不等式恒成立即恒成立即对任意的恒成立构造函数则令解得而所以所以在上递增在上递减令所以故故答案为： 解析：34k ≥【分析】先求得n T ，然后利用分离常数法，通过构造函数法，结合导数，求得k 的取值范围. 【详解】由于14,4nn b b ==，公比为4，所以()()141441441414333n n n n T +-==-=--， 所以对任意的*n N ∈，不等式4843n T k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 即114843n k n +⋅≥-恒成立，即124126344n nn n k +--≥=对任意的*n N ∈恒成立. 构造函数()()6314x x f x x -=≥，则()()'6ln 43ln 464xx f x -⋅++=， 令'0f x解得041log 2x e =+. 而4411log log 2122e +>+=，44113log log 4222e +<+=， 所以012x <<.所以()f x 在[)01,x 上递增，在()0,x +∞上递减.令634n nn a -=，1239,416a a ==，12a a >. 所以134n a a ≤=，故34k ≥. 故答案为：34k ≥ 【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查不等式恒成立问题的求解，考查数列的单调性和最值的判断，属于难题.17．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln xy x=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点， 等价于函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点， 对函数ln x y x =求导，得21ln xy x-'=，()0,x e ∈,0y '>， 函数ln xy x=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<， 函数ln xy x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e， 对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e -分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.18．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为 解析：14-【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值, 【详解】 因为()()21xf x x =-，故可得()()311x f x x ---'=，令()0f x '=，解得1x =-；故当(),1x ∈-∞-时，()f x 单调递减； 当()1,1x ∈-时，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减. 且()114f -=-， 当x 趋近于1时()f x 趋近于正无穷；当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零.函数图像如下所示：故()f x 的最小值为14-. 故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.19．【分析】利用导数得到的单调性和极值由极大值与比较得到【详解】函数所以令得所以时单调递增时单调递减所以时取极大值为因为在处取得最大值为所以解得（舍）（舍）故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单 解析：32-【分析】利用导数得到()f x 的单调性和极值，由极大值与17比较，得到()17f m = 【详解】函数()3223121x x f x x =+--，所以()26612f x x x '=+-，令()0f x '=，得2x =-，1x =，所以(),2x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增，()2,1x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以2x =-时，()f x 取极大值，为()21917f -=>， 因为()f x 在x m =处取得最大值为17， 所以21m -<<，()322312117f m m m m =+--=，解得32m =-，6m =6m =-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，根据函数的最大值求自变量的值，属于中档题.20．【分析】对函数求导要满足题意只需导函数在定义域内有两个零点数形结合即可求得【详解】由可得函数定义域为且若满足有两个不同的极值点则需要满足有两个不同的实数根即在区间上有两个不同的实数根也即直线与函数有 解析：()0,1【分析】对函数求导，要满足题意，只需导函数在定义域内有两个零点，数形结合即可求得. 【详解】 由()2122f x x x aInx =-+可得函数定义域为()0,∞+且()2a f x x x=+-' 若满足()f x 有两个不同的极值点， 则需要满足()20af x x x=-'+=有两个不同的实数根， 即22a x x =-+在区间()0,∞+上有两个不同的实数根，也即直线y a =与函数()22,0,y x x x =-+∈+∞有两个交点，在直角坐标系中作图如下：数形结合可知，故要满足题意，只需()0,1a ∈. 故答案为：()0,1. 【点睛】本题考查由函数极值点的个数，求参数范围的问题，属基础题；本题也可转化为二次函数在区间()0,∞+上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进行求解.三、解答题21．（1）1a =；（2）答案见解析；（3）(][)0,1,e +∞.【分析】（1）由题意可得()10f '=，由此可解得实数a 的值； （2）求得()2x af x x -'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间()1,e 上的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）根据（2）中的讨论可写出实数a 的取值范围. 【详解】（1）()221a x a f x x x x'-=-=， 因为()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，且()10f =， 所以()110f a '=-=，解得1a =. 经检验1a =符合题意； （2）由（1）知()2x af x x -'=，令()0f x '=，得x a =. （i ）当01a <≤时，()1,x e ∈，()0f x '>，函数()f x 在区间()1,e 上单调递增， 所以()()10f x f >=， 所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（ii ）当1a e <<时，若1x a <<，则()0f x '<，若a x e <<，则()0f x '>. 函数()f x 在区间()1,a 上单调递减，在区间(),a e 上单调递增， 且()10f =，()1ea f e a =-+. 当()10af e a e=-+>，即11e a e <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点；当()10a f e a e=-+≤时，即当ee e 1a <-≤时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点； （iii ）当a e ≥时，()1,x e ∈，()0f x '<，函数()f x 在区间()1,e 上单调递减， 所以()()10f x f <=， 所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点. 综上：当01a <≤或ee 1a ≥-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 当11ea e <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点. （3）01a <≤或a e ≥. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22．（1）极大值为()512f =-，极小值为()22ln 24f =-；（2）详见解析. 【分析】（1）由导函数的正负可确定()f x 的单调性，进而确定极大值为()1f ，极小值为()2f ，代入可求得结果；（2）求得()f x '后，分别在0a ≤、02a <<、2a =和2a >四种情况下确定()f x '的正负，由此可得单调区间.【详解】（1）当1a =时，()212ln 32f x x x x =+-， ()()()()21223230x x x x f x x x x x x---+'∴=+-==>， ∴当()0,1x ∈和()2,+∞时，()0f x '>；当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()0,1，()2,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，()f x ∴在1x =处取得极大值，在2x =处取得极小值，()f x ∴极大值为()512f =-，极小值为()22ln 24f =-.（2）由题意得：()()()()()()2222220x a x a x a x a f x x a x x x x-++--'=+-+==>， ①当0a ≤时，当()0,2x ∈时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞；②当02a <<时，当()0,x a ∈和()2,+∞时，()0f x '>；当(),2x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴的单调递减区间为(),2a ，单调递增区间为()0,a ，()2,+∞；③当2a =时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，()f x ∴的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；④当2a >时，当()0,2x ∈和(),a +∞时，()0f x '>；当()2,x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴的单调递减区间为()2,a ，单调递增区间为()0,2，(),a +∞；综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞；当02a <<时，()f x 的单调递减区间为(),2a ，单调递增区间为()0,a ，()2,+∞；当2a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当2a >时，()f x 的单调递减区间为()2,a ，单调递增区间为()0,2，(),a +∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、讨论含参数函数的单调性的问题；讨论含参数函数单调性的关键是能够通过导函数的零点所处的范围进行分类讨论，由此确定导函数的正负.23．（1）见解析；（2）1.【分析】（1）按照0a ≤、0a >分类，结合导函数的正负即可得解；（2）转化条件为2231ex x ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立，令()223,1x x ax a g x x e++-=≥-，按照4a ≥、4a <分类，结合导数确定函数()g x 的最大值即可得解.【详解】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()xf x a e '=-， 故当ln x a <时，有()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递增；当ln x a >时，有()0f x '<，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递减；所以当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减；（2）因为当1x ≥-时，()232f x a x ≤--恒成立， 所以2231ex x ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立， 令()223,1x x ax a g x x e++-=≥-， 则()()()()22313e ex x x a x a x x a g x ⎡⎤-+-+--++-⎣⎦'==， ①当31a -≤-即4a ≥时，()0g x '≤，()g x 在[)1,-+∞单调递减，则要使()()121g a e -=-≤，解得12a e ≤+(不合题意)； ②当31a ->-即4a <时， 则当()1,3x a ∈--时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当()3,x a ∈-+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；则要使()()()()233max 3323631a a a a a a a g x g a e e---+-+--=-==≤ 令31t a =->-，3a t =-，设()3,1t t h t t e +=>-，则要使()1h t ≤， 因为()20et t h t --'=<，所以()h t 在()1,-+∞单调递减， 而()11h >，()21h <，所以整数t 的最小值为2，故整数a 的最大值为1.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及解决不等式恒成立问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.24． (1) f(x)的单调增区间为(0，＋∞) (2)略【分析】（1）对函数求导，根据定义域，即可判断其单调性，从而知单调区间．（2）证明当x>1时，2312ln 23x x x +<，只需证当x>1时，3221ln 032x x x -->， 可设3221()ln 32g x x x x =--，只需证明1x >时，()0>g x ，因此，利用导数研究()g x 的单调性，得出()(1)0g x g >>，结论得证．【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，∵f′(x)＝x ＋，故f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．(2)设g(x)＝x 3－x 2－lnx ，∴g′(x)＝2x 2－x －，∵当x>1时，g′(x)＝>0，∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)>g(1)＝>0，∴当x>1时， x 2＋lnx<x 3.【点睛】（1）求函数的单调区间，首先要考虑函数的定义域，然后求导，导函数大于0，可求单调递增区间，导函数小于0，可求单调递减区间．对于单调函数只需说明导函数大于0（小于0）即可．（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可转化为求函数最值（或值）的问题处理．25．（1）1a =-，1b =，证明见解析；（2）(),2e -∞-.【分析】（1）先求出()21x f x e x =--，则()()21xg x f x x x e x =+-=--，利用导数求出()()min 00g x g ==，不等式即得证；（2）价于()f x k x >对任意的0,恒成立，令()()f x x xϕ=，0x >，求出函数()y x ϕ=的最小值即得解.【详解】（1）根据题意，函数()2x f x e x a =-+，则()2x f x e x '=-，则()01f b '==，由切线方程y bx =可得切点坐标为()0,0，将其代入()y f x =，解得1a =-， 故()21x f x e x =--，则()()21xg x f x x x e x =+-=--， 则()10xg x e '=-=，得0x =， 当(),0x ∈-∞，0g x，函数y g x 单调递减； 当()0,x ∈+∞，0g x ，函数y g x 单调递增；所以()()min 00g x g ==，所以()2f x x x ≥-+.（2）由()f x kx >对任意的当()0,x ∈+∞恒成立等价于()f x k x >对任意的0,恒成立，令()()f x x xϕ=，0x >， 得()()()()()()()22222111x x x x e x e x x e x xf x f x x x x xϕ-------'-'===， 由（1）可知，当()0,x ∈+∞时，10x e x -->恒成立，令()0ϕ'>x ，得1x >；()0ϕ'<x ，得01x <<，所以()y x ϕ=的单调增区间为1,，单调减区间为0,1，故()()min 12x e ϕϕ==-，所以()min 2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(),2e -∞-.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．（1）函数ln x y x =在()0,e 单调递增；在(),e +∞单调递减；（2）最大值1e，最小值e -.【分析】（1）对函数进行求导得()21ln x y f x x -''==，解不等式，即可得答案； （2）求出端点的函数值和极值，再进行比较，即可得答案；【详解】（1）()21ln x y f x x -''==， 解()0f x '=得x e =， 当0x e <<时，()0f x '>，所以函数ln x y x =在()0,e 单调递增； 当x e >时，()0f x '<，所以函数ln x y x =在(),e +∞单调递减. （2）由（1）知，()ln x y f x x ==在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦单调递减， 所以最大值为()1f e e =，而1f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；()222f e e =. 因为()21f f ee ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以，ln x y x =在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值1M e =，最小值m e =-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.。
高中数学选修2-1同步练习题库：双曲线(填空题：较难)
双曲线（填空题：较难）1、已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．2、已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，是坐标原点，是以为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线的离心率是______________.3、椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆于双曲线的离心率分别为，，则的最小值为__________．4、已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_______．5、已知椭圆：，双曲线：，以的短轴为一条最长对角线的正六边形与轴正半轴交于点，为椭圆右焦点，为椭圆右顶点，为直线与轴的交点，且满足是与的等差中项，现将坐标平面沿轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为__________．6、已知等腰梯形ABCD中AB//CD，AB=2CD=4，∠BAD=600，双曲线以A，B为焦点，且经过C、D两点，则该双曲线的离心率为_________．7、点是焦点为的双曲线上的动点，若点满足,则点的横坐标为____________8、点在曲线上，点在曲线上，线段的中点为，是坐标原点，则线段长的最小值是__________．9、已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，已知点坐标，双曲线上点满足，则__________．10、设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为__________．11、双曲线的左右两焦点分别是，若点在双曲线上，且为锐角，则点的横坐标的取值范围是________．12、已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，若直线与圆相切于点且，则双曲线的离心率值为__________．13、已知双曲线：（，）和圆：.过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为，.若可为正三角形，则双曲线离心率的取值范围是__________．14、过双曲线的右焦点且垂于轴的直线与双曲线交于,两点，与双曲线的渐近线交于,两点，若,则双曲线离心率的取值范围为__________．15、过双曲线（，）的左焦点向圆作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐进线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为__________．16、已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．17、给出如下命题:①已知随机变量，若，则②若动点到两定点的距离之和为，则动点的轨迹为线段;③设，则“”是“”的必要不充分条件;④若实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为;其中所有正确命题的序号是_________.18、设为双曲线右支上的任意一点，为坐标原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于,两点，则平行四边形的面积为__________．19、已知双曲线的离心率为，点是其左右焦点，点与点是双曲线上关于坐标原点对称的两点，则四边形的面积为__________．20、设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上任一点，当的最小值为时，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．21、在平面直角坐标系中，的顶点分别是离心率为的圆锥曲线的焦点，顶点在该曲线上．一同学已正确地推得：当时，有．类似地，当时，有（________）．22、如果曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是__________．23、已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，．若，且，则双曲线的离心率为＿＿＿＿．24、平面直角坐标系xoy中，抛物线的焦点为F，设M是抛物线上的动点，则的最大值是25、把离心率的双曲线称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线是黄金双曲线；②若双曲线上一点到两条渐近线的距离积等于，则该双曲线是黄金双曲线；③若为左右焦点，为左右顶点，且，则该双曲线是黄金双曲线；④．若直线经过右焦点交双曲线于两点，且，，则该双曲线是黄金双曲线；其中正确命题的序号为 .26、已知双曲线的右焦点到其渐进线的距离为，则此双曲线的离心率为_________．27、已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右顶点，且该双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程为_________.28、过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，交其准线于点，若，则直线的斜率为___________．29、圆的切线过双曲线的左焦点，其中为切点，为切线与双曲线右支的交点，为的中点，则___________．30、已知动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，则动点的轨迹方程为______________．31、、是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则△的面积为 .32、如图，已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为____________．33、已知双曲线的右焦点为,过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点,在直线上,且满足,则．34、如图，在中，，、边上的高分别为BD、AE，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则的值为 .35、过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为．36、已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是____．37、已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为__________.38、已知,,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .39、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：（a＞0）的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a的值是．40、过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若且，则双曲线的离心率为_____________．41、过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点.若，则双曲线的离心率为_______.42、已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点．设直线的斜率分别为，当最小时，双曲线的离心率为________________．43、已知点为双曲线右支上的一点，点分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为，若为的内心，且，则的值为．44、在平面直角坐标系中, 若双曲线的一条准线恰好与抛物线的准线重合，则双曲线的渐近线方程为．45、双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为．46、已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为．47、若圆与双曲线C：的渐近线相切, 双曲线C的渐近线方程是48、已知抛物线与双曲线有相同的焦点，是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率是 .49、已知双曲线的右焦点, 在双曲线的左支上,，当的周长最小值时,该三角形的面积为50、已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________51、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，线段与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为_____．52、平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的渐近线方程为________．53、过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线的右支上到直线对的距离恒大于，则双曲线的离心率的最大值是_____.54、设F1，F2为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是．55、如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．56、已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆，△ABC的顶点B在椭圆上，顶点A，C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e，则，现将该命题类比到双曲线中，△ABC的顶点B在双曲线上，顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为．双曲线的离心率为e，则有________．57、在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在双曲线上，则为___________．58、已知点P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，G为三角形的内心，若成立，则的值为（）B．C．D．A．59、设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为____________．60、如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二，第四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是．61、已知双曲线的焦点分别为，．则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．62、中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是．63、中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是．64、已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则．65、已知点是双曲线E：上的一点，M、N分别是双曲线的左右顶点，直线PM、PN的斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为___________________．66、在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
高中数学数形结合思想在解题中的应用
中学数学数形结合思想在解题中的应用一、学问整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合的方法，许多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能避开困难的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要留意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
高中数学选修2-2同步练习题库：定积分的简单应用(填空题：容易)
定积分的简单应用（填空题：容易）1、若，则实数的值是 .2、由曲线所围成的封闭图形的面积为________3、如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为___________.4、已知，则函数的单调递减区间是______.5、定积分的值为．6、_____________．7、曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 .8、曲线与所围成的封闭图形的面积s=9、已知，则．10、曲线和曲线围成的图形面积是11、的值等于 .12、曲线与直线围成的封闭图形的面积是 .13、在平面直角坐标系内，由曲线所围成的封闭图形的面积为．14、二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为．15、．16、由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为______________．17、定积分．18、计算定积分：．19、已知函数，则。
20、= ．21、计算= ．22、计算：= .23、等于．24、________.25、定积分___________;26、＝。
27、求曲线，所围成图形的面积.28、由曲线，直线所围图形面积S= .29、定积分= .30、定积分的值为____________.31、计算定积分(x2+sinx)dx=.32、求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为_______。
33、已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为________．34、dx + .35、曲线＝x与y＝围成的图形的面积为______________．36、＝________________。
37、设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.38、一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.39、由直线，，曲线及轴所围成的图形的面积是．40、计算定积分 .41、已知求 .42、曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．43、在的展开式中的常数项为p，则 .44、设＝，则二项式展开式中含项的系数是。
高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：“数形结合思想”在集合运算中的应用(含答案解析)
数形联合思想方法是高中数学中常用的一种解题思想方法，在解答相关会合运算7 及抽象会合问题时，一般要借助数轴或韦恩图求解，运用数形联合思想方法能够比较形象、直观地解决问题，常常有事半功倍的成效，平常我们要增强“数形联合”的思想训练 .下边我们看几个例题.例 1.设全集U R, A x| x 1 , B x | x a 0 ,且 BUe A, 务实数a的取值范围.解： e U A x | x 1 , B x| x a ，1a1.思路点拨：第一化简并求解会合，而后借助数轴由已知所给的会合间的关系求出 a 的取值范围 .例 2.设会合S x ||x 2| 3 ,T x | a x a 8 , S T R, 务实数a的取值范围.解：第一步：化简会合，S x | x1或x 5 ,T x | a x a 8 .第二步：借助数轴：第三步：依据所给会合间的关系列不等式求解参数，a1,得 3 a 1 .例 3.某班级共有30 人，此中15 人喜爱篮球， 8 人喜爱足球，两项都不喜爱的有8 人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有_____人 .篮球足球x - 7x15- x8例 4.以下图， I 是全集， A，B， C 是它的子集，则暗影部分所表示的会合是（）ACBA.(A B) CB.( A e I B) CC.( A B)e I CD.( e I B A) C解：选择 B.注：关于韦恩图所表述的会合应做以下理解：暗影部分波及谁就交谁，不波及谁就交其补集.就此，我们看下边暗影部分所表示的会合：A B C A B (e I C)(痧I A) ( I B) Ce I ( A B) C下边给出些练习来领会以上数形联合思想在会合中的应用.练习题：1.已知会合 A = { x ? R || x 2 |< 3} , 会合 B = { x ? R | ( x－ m)( x－ 2) 0} , 且 A B(- 1, n), 则m=________ ，n=________.分析：2.某网店统计了连续三天售出商品的种类状况：第一天售出19 种商品，次日售出13种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有4种，则该网店① 第一天售出但次日未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最罕有________种 .分析：3.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有______人 ..已知6 人，分析：4.已知全集U = R会合M = { x | - 2 ? x 1?2}, 和 N = { x | x = 2k - 1, k ? N * }, 的韦恩图如图所示，则暗影部分所表示的会合元素共有（）A.2 个B.3 个C.1 个D. 无量多个UN M。
高中数学习题解析精选---三角函数
三角函数题解1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A.（1－y ）sin x +2y －3=0B.（y －1）sin x +2y －3=0C.（y +1）sin x +2y +1=0D.－(y +1)sin x +2y +1=0 1.答案：C解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x －2π）+2（y +1）－1=0，即得C 选项.2.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.答案：B解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号，∴α在二、四象限， 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α由图4—5，满足题意的角α应在第二象限3.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.答案：C解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A.［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ）B.［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ） C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）4.答案：A解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间.7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（ ）A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝(31)cos xD.y =－cot x7.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x +，x =π，但在区间（2π，π）上为增函数.B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2π，π）上为减函数.C 项：函数y =cos x 在(2π，π)区间上为减函数,数y =（31）x 为减函数.因此y =（31）cos x 在（2π，π）区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间（2π，π）上为增函数.8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）8.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数.9.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A，sin B －cos A ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B.10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（ ）A.1＋3B.1－3C.－1－3D.－1＋310.答案：B解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－3.11.（2000全国，4）已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β 11.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A 、C ，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.12.（2000全国，5）函数y ＝－x cos x 的部分图象是（ ）12.答案：D解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当 x ∈（0，2π）时，y ＝－x cos x ＜0.13.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ ）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m13.答案：C解法一：由已知得M ＞0，－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在［a ，b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋ϕ＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答案为C.解法二：由题意知，可令ω＝1，ϕ＝0，区间［a ，b ］为［－2π，2π］，M ＝1，则 g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋ϕ）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.14.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－2π＜α＜2π)，则α∈（ ）A.（－2π，－4π） B.（－4π，0） C.（0，4π）D.（4π，2π） 14.答案：B 解法一：取α＝±3π，±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－6π适合，又只有－6π∈（－4π，0），故答案为B. 解法二：先由sin α＞tan α得：α∈（－2π，0），再由tan α＞cot α得:α∈（－4π，0）评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.15.（1999全国文、理，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x 15.答案：B解析：取f （x ）=cos x ，则f （x ）²sin x =21sin2x 为奇函数，且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.16.（1998全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）A.（2π，43π）∪（π，45π）B.（4π，2π）∪（π，45π）C.（2π，43π）∪（45π，23π） D.（4π，2π）∪（43π，π）16.答案：B解法一：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0， A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α，故答案为B.解法二：取α＝3π∈（2,4ππ），验证知P 在第一象限，排除A 、C ，取α＝65π∈（43π，π），则P 点不在第一象限，排除D,选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分，又tan α＞0可得24παπ<<或π＜α＜45π，故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.17.（1997全国，3）函数y =tan （3121-x π）在一个周期内的图象是（ ）17.答案：A 解析：y ＝tan （3121-x π）＝tan 21（x －32π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝32π时，y =0，故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.（1996全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ）A.{x |2k π－43π<x <2k π+4π，k ∈Z } B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π，k ∈Z }C.{x |k π－4π<x <k π+4π，k ∈Z }D.{x |k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z } 18.答案：D解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0，所以2k π+2π<2x <2k π+23π，k ∈Z .解得k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z （注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0）. 解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ，sin 2x >21.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数的图象（或单位圆）得2k π+4π<x <2k π+43π或2k π+45π<x <2k π+47π（k ∈Z ），2k π+45π<x <2k π+47π可写作（2k +1）π+4π<x <（2k +1）π+43π，2k 为偶数，2k +1为奇数，不等式的解可以写作n π+4π<x <n π+43π，n ∈Z .评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用.19.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（ ）A.［－43π，4π］B.［－2π，2π］ C.［－4π，43π］ D.［0，π］19.答案：Ass 解法一：由已知得：2 sin （x －4π）≤0，所以2k π＋π≤x －4π≤2k π＋2π，2kπ＋45π≤x ≤2k π＋49π，令k =－1得－43π≤x ≤4π，选A. 解法二：取x ＝32π，有sin 2132cos ,2332-==ππ，排除C 、图4—11D ，取x ＝3π，有sin 3π＝213cos ,23=π，排除B ，故选A.解法三：设y ＝sin x ，y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A.解法四：画出单位圆，如图4—12，若sin x ≤cos x ，显然应是图中阴影部分，故应选A. 评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用.20.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（ ）A.6πB.2πC.32πD.3π 20.答案：C 解析：y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）＝5［54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4π）］＝5sin （3x ＋4π＋ϕ）（其中tan ϕ＝43） 所以函数y ＝sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋ϕ），其中sin ϕ＝22ba b +，cos ϕ＝22ba a +，及正弦函数的周期性.21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ ） A.322 B.－322 C.32D.－32 21.答案：A解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝95 于是1－21sin 22θ＝95，sin 22θ＝98，由已知，θ在第三象限，故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π 从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝322，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ＞0，应排除B 、D ，验证A 、C ，由sin2θ＝322，得2sin 2θcos 2θ＝94，并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得（sin 2θ＋cos 2θ）2＝1成立，故选A. 评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.23.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ）A.tan2θ>cot 2θ B.tan2θ<cot 2θC.sin2θ>cos 2θD.sin2θ－cos 2θ 23.答案：A解法一：因为θ为第二象限角，则2k π＋2π＜θ＜2k π＋π（k ∈Z ），即2θ为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan2θ＞cot 2θ. 解法二：由已知得：2k π＋2π＜θ＜2k π＋π，k π＋4π＜2θ＜ k π＋2π，k 为奇数时，2n π＋45π＜2θ＜2n π＋23π（n ∈Z ）； k 为偶数时，2n π＋4π＜2θ＜2n π＋2π（n ∈Z ），都有tan2θ＞cot2θ，选A.评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本. 25.（2002北京文，13）sin52π，cos 56π，tan 57π从小到大的顺序是 . 25.答案：cos56π＜sin 52π＜tan 57π 解析：cos56π＜0，tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时，tan x ＞x ＞sin x ＞0 ∴tan 52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 56π26.（1997全国，18）︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.26.答案：2－3解析：︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 3230sin 30cos 115tan -=︒︒-=︒=.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°²tan40°的值是_____.27.答案：3解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.28.（1995全国理，18）函数y ＝sin （x －6π）cos x 的最小值是 .28.答案：－43解析：y ＝sin （x －6π）cos x ＝21［sin （2x －6π）－sin 6π］＝21［sin （2x －6π）－21］ 当sin （2x －6π）＝－1时，函数有最小值，y 最小＝21（－1－21）＝－43. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）.29.（1995上海，17）函数y ＝sin2x ＋cos 2x在（－2π，2π）内的递增区间是 . 29.答案：［2,23ππ-］ 解析：y ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin （42π+x ），当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2π（k ∈Z ）时，函数递增，此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2π（k ∈Z ），只有k ＝0时，［－23π，2π］（－2π，2π）.30.（1994全国，18）已知sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π），则cot θ的值是 . 30.答案：－43 解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251 变形得1－2sin θcos θ＝2－251， 即（sin θ－cos θ）2＝2549又sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π） 则2π＜θ＜43π，如图4—14所以sin θ－cos θ＝57，于是 sin θ＝54，cos θ＝－53，cot θ＝－43.解法二：将已知等式平方变形得sin θ²cos θ＝－2512，又θ∈（0，π），有cos θ＜0＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根，故有cos θ＝－53，sin θ＝54，得cot θ＝－43.评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.31.（2000全国理，17）已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1，x ∈R . （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?31.解：（1）y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 ＝41（2cos 2x －1）＋41＋43（2sin x cos x ）＋1 ＝41cos2x ＋43sin2x ＋45 ＝21（cos2x ²sin 6π＋sin2x ²cos 6π）＋45＝21sin （2x ＋6π）＋45y 取得最大值必须且只需2x ＋6π＝2π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝6π＋k π，k ∈Z .所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝6π＋k π，k ∈Z ｝.（2）将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π，得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数 y ＝sin （2x ＋6π）的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数 y ＝21sin （2x ＋6π）的图象； ④把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y ＝21sin （2x ＋6π）＋45的图象； 综上得到函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图象. 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.（2000全国文，17）已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R .（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 32.解：（1）y ＝3sin x ＋cos x ＝2（sin x cos6π＋cos x sin6π）＝2sin （x ＋6π），x ∈Ry 取得最大值必须且只需x ＋6π＝2π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝3π＋2k π，k ∈Z . 所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝3π＋2k π，k ∈Z ｝（2）变换的步骤是：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π，得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y ＝2sin （x ＋6π）的图象；经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.33.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 33.解：原式＝21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋21（sin70°－sin30°） ＝1＋21（cos100°－cos40°）＋21sin70°－41 ＝43－sin70°sin30°＋21sin70°＝43－21sin70°＋21sin70°＝43.评述：本题考查三角恒等式和运算能力.34.（1994上海，21）已知sin α＝53，α∈（2π，π），tan （π－β）＝21，求tan （α－2β）的值.34.解：由题设sin α＝53，α∈（2π，π）， 可知cos α＝－54，tan α＝－43又因tan （π－β）＝21，tan β＝－21，所以tan2β＝34tan 1tan 22-=-ββ tan （α－2β）＝2471134432tan tan 12tan tan =++-=+-βαβα35.（1994全国理，22）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，2π），若x 1、x 2∈（0，2π），且x 1≠x 2，证明21［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）. 35.证明：tan x 1＋tan x 2＝2121212211cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x +=+ 2121cos cos )sin(x x x x +=)cos()cos()sin(2212121x x x x x x -+++=因为x 1，x 2∈（0，2π），x 1≠x 2， 所以2sin （x 1＋x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1－x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1＋x 2）＋cos （x 1－x 2）＜1＋cos （x 1＋x 2）， 由此得tan x 1＋tan x 2＞)cos(1)sin(22121x x x x +++，所以21（tan x 1＋tan x 2）＞tan 221x x + 即21［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）.36.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.解（1）x 必须满足sin x -cos x >0，利用单位圆中的三角函数线及52244k x k ππππ+<<+，k ∈Z∴ 函数定义域为)45k 2,4k 2(π+ππ+π，k ∈Z ∵sin cos )4x x x π--∴当x ∈5(2,2)44k k ππππ++时，0sin()14x π<-≤∴0sin cos x x <-121log 2y -≥∴ 函数值域为[+∞-,21） （3）∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴()f x 不具备奇偶性（4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sin x -cos x 的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sin x +cos x 的符号37. 求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间解：∵f (x )=121log cos()34x π+令431π+=x t ,∴y=t cos log21,t 是x 的增函数,又∵0<21<1,∴当y=t cos log 21为单调递增时,cost 为单调递减 且cost>0,∴2k π≤t<2k π+2π(k ∈Z),∴2k π≤431π+x <2k π+2π (k ∈Z) ,6k π-43π≤x<6k π+43π (k ∈Z),∴f (x )=)431cos(log 21π+x 的单调递减区间是[6k π-43π,6k π+43π) (k ∈Z)38. 已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。
有关数形结合的高中数学竞赛题目
以下是一些有关数形结合的高中数学竞赛题目：1. 设$f(x) = x^{2} - 2x + 3$，当$x \in \lbrack - 1,2\rbrack$时，下列说法正确的是（）A.$f(x)$在$\lbrack - 1,1\rbrack$上单调递减，在$\lbrack 1,2\rbrack$上单调递增B. $f(x)$在$\lbrack - 1,2\rbrack$上单调递增C.$f(x)$在$\lbrack - 1,1\rbrack$上单调递增，在$\lbrack 1,2\rbrack$上单调递减D.$f(x)$在$\lbrack - 1,2\rbrack$上有最小值，无最大值2. 已知函数 f(x) = 4sin(2x - π/3) + 1。
(1) 当x ∈ [0, π/2] 时，求 f(x) 的值域；(2) 若关于 x 的方程 f(x) - m = 0 在区间[0, π/2]上有解，求 m 的取值范围。
3. 对于任意实数$x$，符号[x]表示不大于$x$的最大整数，例如[-2/3]=-1，[2/3]=0，[3]=3，[-3]=-3．设函数$f(x)=2\times[\frac{x}{3}]+\cos[x]=0$的解为$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$．记这些解按从小到大的顺序排列为$x_{1}<x_{2}< \cdots <x_{n}$．则当n=6时，这六个根的和为____．4. 若直线 y = k(x + 1) 与圆 x^2 + y^2 - 2x - 2y +1 = 0 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是 _______．5. 设函数 f(x) = (sin x + cos x)^3，则 f(x) 的最小正周期为 _______．6. 若直线 x + (a + 1)y + 4 = 0 与直线 ax + 3y - 2= 0 平行，则实数 a 的值为 _______．7. 已知函数 f(x) = |lg(sin x)|，则 f(-π/6) =_______．8. 下列说法正确的是 ( )A. 若 f(x) 是定义在 R 上单调递减的奇函数，则 f(-1) > f(3)B. 若 a > b > c，则 ac > bcC. 若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则 ac^2 + bc^2< 1/8D. 若 a > b > c > 0，则 a/(a - ac) > b/(b - bc)9. 对于函数 f(x)，如果同时满足下列三个条件中的两个，就称 f(x) 为 "团结函数"．①在区间(0, +∞) 上为增函数；②图象关于原点对称；③是周期函数．给出下列五个函数：① f(x) = { x - 2, x ≤ 0 ; π^x, x > 0 ; }；②f(x) = { x^2, x ≤ 0 ; e^x, x > 0 ; }；③ f(x) = (1/3)^x；④f(x) = cos (4πx)；⑤ f(x) = e^(sin x)。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析例题1：已知直角三角形ABC中，\angle B=90^\circ, AB=3, BC=4.过点B画高BD交AC于点D，求\bigtriangleup ABD的面积。
解析：在解决这个问题时，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
我们可以通过勾股定理知道AC=5。
然后我们可以通过计算直角三角形ABC的面积，S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6。
接着，我们可以通过计算直角三角形ABC在AC上的高BD，可以用\frac{1}{2}AB\times BC=6可以得到BD=1.5。
接下来，我们可以计算\bigtriangleup ABD的面积，S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25。
\bigtriangleup ABD的面积为2.25。
通过这个例题我们可以看到，通过数形结合的思想，我们可以用较为简洁的步骤来解决这个问题，使得我们更清晰地理解题目，找到更加直观的解法。
例题2：已知f(x)=x^2+bx+c是一个以x为自变量的二次函数，且f(2)+f(3)=26,f(4)=19，求b,c的值。
解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
我们可以通过函数值的计算得到f(2)=4+2b+c，f(3)=9+3b+c，f(4)=16+4b+c。
由f(2)+f(3)=26可得13+5b+2c=26，所以5b+2c=13。
由f(4)=19可得16+4b+c=19，所以4b+c=3。
通过解这个方程组可以得到b=5,c=3。
例题3：已知椭圆的离心率为\frac{1}{2}，长轴的长为8，求其短轴的长。
解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
椭圆的离心率定义为e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}，其中a为长轴的长，b为短轴的长。
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1. 若对任意x ∈R ，不等式x ax≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）CA ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥2．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) [5,1212ππ]3．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 （ ）A（A ）1()f x x =（B ）()||f x x = （C ）()2xf x = （D ）2()f x x =4. 若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ( )2-=k 或(-1,1]4. k x y +=表示一组斜率为1的平行直线，21y x -= 表示y 轴的右半圆。
如图可知，[简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展，21y x --=，21x y -±=等。
5．若关于x 的方程245x x m -+=有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为________。
15m <<题型解析例1．方程sin2x=sinx 在区间（0，2π）解的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4分析：解方程f （x ）=g （x ）的问题归结为两个函数y=f （x ） 与y=g （x ）的交点横坐标，特别是求方程近似解时此方法非常有效。
解:如图 在同一坐标系内，作出y=sin2x ，x ∈(0,2π)；g=sinx ，x ∈(0,2π)的图有三个交点，故方程sin2x=sinx 在(0,2π)内有三个解。
一般情况下将方程化为一端为曲线，一端为动直线时，解题较为简单，考查逻辑思维能力与计算能力，还体现了化归与转化和分类讨论的思想。
练习 设f(x)是定义在R 上以2为周期的函数,对于K ∈Z 用k Z 表示区间(2k-1,2k+1),已知x ∈0Z 时,有f(x)=2x 。
(1) 求f(x)在k Z 上的解析式。
(2) 对于自然数K,求集合K M ={a|使方程f(x)=ax 在k Z 上有两个不相等的实根}。
解(1)如右图 从图形可以看出f(x)=2(2)x k -。
(2)如下图 由f(x)=ax,x ∈k Z ,得2(2)x k -即2x -(4k+a)x+42k =0,考察函数f(x)= 2x -(4k+a)x+42k ，x ∈(2k-1,2k+1)的图象位置,依题意该函数图象在(2k-1,2k+1)内必与x 轴有两个不同交点。
则有△ ＞f(2k-1) ＞0f(2k+1)≥ 2k-1＜(4k+a)/2＜从中解得:0<a ≤1/(2k+1),(k ∈N) 故K M ={a|0<a ≤1/((2k+1),(k ∈N))。
例 2 已知三点(12)(15)(243)(0)A m B m C m m m ++++>，，，，，，问m 为何值时，d AB BC =+最小，并求最小值．分析：根据三个点横坐标的特点可知，它们在坐标系中是从左到右依次排列的，当且仅当它们共线时，d AB BC =+最小．解：依题意知，当三点共线时d AB BC =+最小，此时AB BC k k =，， ∵52311AB m m k m m ---==+-，4354221BC m k m m m +-==-+--， ∴342mm m-=-，解得34m =-（舍去）或1m =， ∴1m =，此时三个点分别为(13)(25)(37)A B C ，，，，，，∴22(73)(31)25d AB BC AC =+==-+-=．练习．已知点(35)M ，，在y 轴和直线y x =上分别找一点P 和N ，使得MNP △的周长最小．分析：作点(35)M ，关于y 轴和直线y x =的对称点12M M ，，则1MP M P =，2MN M N =，所以MNP △的周长等于12M P PN M N ++，当且仅当12M M P ，，三点共线时取最小值，所以点P N ，应为直线12M M 和y 轴与直线y x =的交点．解：作点(35)M ，关于y 轴和直线y x =的对称点12M M ，，则点12M M ，的坐标分别为(35)(53)-，，，，由两点式得533553y x -+=-+， 整理得4170x y +-=，即为直线12M M 的方程， 易得它和y 轴和直线y x =的交点坐标分别为1717170455⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，．即使得MNP △周长最小的点P 和N 的坐标分别为1717170455⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，．评注：本题利用对称思想为线段找到了“替身”，从而将问题转化成了两点之间线段最短的问题．例3.已知点()P a b ，在直线10mx y +-=上，且2221a b a +-+的最小值为2，求m 的值．解：∵222221(1)a b a a b +-+=-+，∴它是点()P a b ，和点(10)，之间的距离，它的最小值就是点(10)，到直线10mx y +-=的距离，由点到直线的距离公式可得2121m m -=+，平方得222122m m m -+=+， 整理得2(1)0m +=， ∴1m =-．评注：本题通过挖掘代数式的几何意义，将点点距转化成了点线距，这种以距离为背景的题型时有出现，请同学们注意训练和总结．练习.求点(14)P -，到直线:(1)(2)50l m x m y m ++-+-=的距离d 的最大值．分析：对直线方程(1)(2)50m x m y m ++-+-=整理后，我们会发现它表示过定点(12)Q ，的一条直线，因为点线之间垂线段最短，所以d PQ ≤，当且仅当PQ l ⊥时取等号，即此时d 取得最大值PQ ．解：(1)(2)50m x m y m ++-+-=可化为25(1)0x y m x y +-+++=， 它表示过直线250x y +-=和10x y -+=交点的直线．解方程组25010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，，得两直线交点为(12)Q ，，即直线l 恒过定点(12)Q ，， 当PQ l ⊥时d 取最大值PQ ， ∵22(11)(42)22PQ =--+-=， ∴d 的最大值为22． 例4.已知，a 2<a-b ，求证：【分析与解】 读完题目与任何一个图形似乎很难联系起来，我们在对已知条件的分析中，去寻觅解题的灵感. a 2<a-b ，即为b<a-a 2.要证b<，那么a 与k 如何取得联系呢？令.这样一来，一个二次函数的图形出现了，它对解题有帮助吗？二次函数g （a ）的图象的对称轴为上单调递增，又b<g （a ），【反思】 在分析已知条件时找到了一个能够帮助我们解决问题的图形，而正是这个图形的启示，以后的思路畅通无阻了.数形结合，发生在解题过程中的任何时刻，我们绝不是刻意地去追求或精心地去构造直观的几何图形，而这个在解题时十分有用的直观图往往总是在对问题透彻了解之后突然出现的，这就是解题中的灵感.例5.已知实数a 、b ，满足a+b=1. 求证： （a-3）2+（b+4）2≥2.【思考与分析】 本题看似一不等式证明题，但是我们通过分析，不等式左端是距离的平方的形式，由已知条件，我们可以把问题转化为点在直线上的位置关系，进而由点到直线的距离公式求解.证明： 不等式左端可视为点P （a ，b ）到点Q （3，-4）的距离的平方，而点P （a ，b ）可看作直线l ：x+y=1上的任意一点，于是问题转化为点P 在直线l 上什么位置时线段PQ 最短，当然是PQ ⊥l 时点Q 到l 的距离最短，所以如下图【反思】 本题我们主要是利用点到直线的距离公式的几何意义解题.练习. 已知：a ，b ，c 为正实数。
求证2＜22a b +22b c +22c a +2(a+b+c)。
分析:联想到勾股定理a,b的矩形的对角线,因此,我们 c可以构造如图所示的图形。
以a+b+c为边构成正方形则而 AC＜AE+EF+FC＜AD+CD所以有2(a+b+c)。
注:观察、联想是构造图行,创新解题的关键。
注：有些题目若按常规的代数解法需要讨论,比较烦琐且易产生遗漏现象,我们这样构造利用图象分析,得出答案非常直观简洁。
例6 不等式ax(0,4],则a的取值范围是( )A.0a≤ B.4a< C.0a< D.0a>分析:分别作出y ax=与y=,从图象上很容易得到结论.解: 令y ax=,y=(04)x≤≤,∴y ax=是过原点且斜率为a的直线,y=(04)x≤≤是圆心在(2,0)半径为2的圆在x轴及x轴上方的部分,ax>的几何意义是半圆在(0,4]上恒处于直线的上方(如图), 可知0a<是,上述结论成立,∴a的取值范围是0a<.选C.综合自测1．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）－3 2.设奇函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式1[()]02f x x -<的解集是______________。
2.解析：由已知画出y=f(x)的图象可知：当x ∈(-1，0)∪(1，+∞)时f(x)＞0 当x ∈（-∞，-1）∪(0，1)时 f(x)＜0 又21111()()1241616x x x -=--≥->- ∴1[()]02f x x -<成立，则必有0＜x(x-21)＜1,解之得：4171-＜x ＜0 或 21＜x ＜4171+3.抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是（ ） 解析:1. 设直线y x m =+与22y x =相切,联立整理得222(1)0x m x m +-+=,由224(1)40m m ∆=--=,得12m =,这时得切点(12,1),4．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ ）65:已知向量(2,0)OB =,向量(2,2)OC =,向量(2)CA αα=,则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）答案:1. 由(2)CA αα=,知点A 在以C (2,2)为圆心为半径的圆周上(如图),过原点O 作圆C 的切线'OA ,'A 为切点,由OC =,'AC =知'6AOC π∠=,有'4612AOB πππ∠=-=,过点O 作另一切线''OA ,''A 为切点,则''54612A OB πππ∠=+=, 5[,]1212ππ6.直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ）47．关于x 的方程222(1)|1|0x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是________设21u x =-,化原式为：2||||u u k -=-，画出函数2||||y u u =-的图象，看使u≥-1的解的个数，可知假命题的个数为0。