2014年新课标人教A版必修1数学1.2.3分段函数及映射随堂优化训练课件
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2014年新课标人教A版必修1数学第一章集合与函数概念章末整合提升随堂优化训练课件
1 f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线 x＝－2对称，如图 11，则
t 的值为(
)
A．－2
B．2
图 1-1 C．－1
D．1
1 思维突破：由图形可以看出，要使图象关于x＝－ 对称， 2
则 t＝1.
答案：D
数形结合的实质是“以形助数”或“以数解 形”，运用数形结合思想解题，不仅直观且易于寻找解题途径， 更可以避免繁杂的计算和推理．
1 2
要使函数 f(x) 在 x ∈[2 ，＋∞) 上为增函数，必须 f(x1) －
f(x2)＜0 恒成立．
∵x1－x2＜0，∴a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．
又∵x1＋x2＞4，x1x2＞4， ∴x1x2(x1＋x2)＞16. ∴a 的取值范围是(－∞，16]．
专题三 函数的实际应用 【例 3】 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价 格调控等手段以达到节约用水的目的，某市用水收费标准是： 水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定： ①若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时，只付基本费 9 元和每户每月定额损耗费 a 元； ②若每月用水量超过 m 立方米时，除了付基本费和定额损 耗费外，超过部分每立方米付 n 元的超额费；
③每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元．
(1)求每户每月水费 y(单位：元)与用水量 x(单位：立方米) 的函数关系式；
(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用
如下表所示：
月份 一 二 三
用水量/立方米 4 5 2.5
水费/元 17 23 11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最 低限量 ，并求 m，n，a 的值．
a 当 a≠0 时，f(x)＝x ＋x (a≠0，x≠0)，
t 的值为(
)
A．－2
B．2
图 1-1 C．－1
D．1
1 思维突破：由图形可以看出，要使图象关于x＝－ 对称， 2
则 t＝1.
答案：D
数形结合的实质是“以形助数”或“以数解 形”，运用数形结合思想解题，不仅直观且易于寻找解题途径， 更可以避免繁杂的计算和推理．
1 2
要使函数 f(x) 在 x ∈[2 ，＋∞) 上为增函数，必须 f(x1) －
f(x2)＜0 恒成立．
∵x1－x2＜0，∴a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．
又∵x1＋x2＞4，x1x2＞4， ∴x1x2(x1＋x2)＞16. ∴a 的取值范围是(－∞，16]．
专题三 函数的实际应用 【例 3】 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价 格调控等手段以达到节约用水的目的，某市用水收费标准是： 水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定： ①若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时，只付基本费 9 元和每户每月定额损耗费 a 元； ②若每月用水量超过 m 立方米时，除了付基本费和定额损 耗费外，超过部分每立方米付 n 元的超额费；
③每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元．
(1)求每户每月水费 y(单位：元)与用水量 x(单位：立方米) 的函数关系式；
(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用
如下表所示：
月份 一 二 三
用水量/立方米 4 5 2.5
水费/元 17 23 11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最 低限量 ，并求 m，n，a 的值．
a 当 a≠0 时，f(x)＝x ＋x (a≠0，x≠0)，
2014年新课标人教A版必修1数学1.2.2函数的表示法随堂优化训练课件
1 x (4)y＝ ＝1 ＋ ，列表、描点，作图可得其图象，可 x－1 x－1 1 以由 y＝x 的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得 到[如图 D8(4)]．
图 D8
先观察函数的定义域，在定义域内化简函数式， 转化为熟悉的函数，然后利用列表描点法或利用基本函数图象 去作复杂函数的图象．
故所求的函数为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3.
题型 3 换元法求函数的解析式 【例 3】 已知 f(x＋1)＝x2－1，求 f(x)的解析式． 解：方法一：f(x＋1)＝x2－1 ＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)， 令 t＝x＋1，则有 f(t)＝t2－2t， 故 f(x)＝x2－2x. 方法二：令 x＋1＝t，则 x＝t－1. 代入原式，有 f(t)＝(t－1)2－1＝t D8(1)]．
(2)∵0≤x≤3，∴这个函数的图象是抛物线 y＝x2－2x－2 在 0≤x≤3 之间的一段曲线[如图 D8(2)]．
(3) 所给函数即 射线[如图 D8(3)]．
x－1 y＝ 1－x
x≥1， 是端点为 (1,0) 的两条 x<1
f(x)的解析式．
解：已知
①
1 1 1 将①中变量 x 换成x ，得 2f x ＋f(x)＝x ， ②
2．图象法 横坐标 ，对应的函数值y为_______ 纵坐标 ， 以自变量x的取值为_______ 在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的 图象 表示两个变量之间的对应关系的方法叫 图象，这种用________ 做图象法．
【问题探究】
x2＋x＋1 1．已知 f(x)＝x2－x＋1，则 f(x＋1)＝____________.
3 2 ；f[f(2)] 练习 2：已知 f(x)＝x2＋x＋1，则 f( 2)＝________
2014年新课标人教A版必修1数学1.2.1函数的概念(1)随堂优化训练课件
(1)函数的定义：设 A，B 是______________ 非空的数集 ，如果按照某 种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的__________ 任意一个 数 x，在集 唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 合 B 中都有__________ y＝f(x)，x∈A． 函数 ，记作____________ 为从集合 A 到集合 B 的一个______ 自变量 ， (2)函数的定义域与值域：函数 y＝f(x)中的 x 叫做_______ 定义域 ，与 x 相对应的 y 值叫做 x 的取值范围 A 叫做函数的________
2．判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数，并说明 理由．
(1)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1； (2)f(x)＝－x，g(x)＝－ x2； (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； (4)f(x)＝|x|，g(x)＝ x2.
答案：(1)f(x)＝(x－1)0＝1，这个函数与函数 g(x)＝1 的对应 关系相同，定义域不相同，所以它们不能表示同一个函数．
在 N 中无元素与之对应；(3)中的 x＝2 对应元素 y＝3∉N，所以
(3)不是；(4)中当 x＝1 时，在 N 中有两个元素与之对应，所以
(4)不是．只有(2)符合函数的定义，所以(2)正确．
答案：B
根据函数定义，可知：函数的图象与垂直于 x 轴的直线至多有一个交点，如果有两个或两个以上的交点，那 么就不是函数图象． 【变式与拓展】 1．已知函数 f(x)＝x2＋|x－2|，则 f(1)＝________. 2
1.2
1.2.1
函数及其表示
函数的概念(1)
【学习目标】
1．通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依
2．判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数，并说明 理由．
(1)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1； (2)f(x)＝－x，g(x)＝－ x2； (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； (4)f(x)＝|x|，g(x)＝ x2.
答案：(1)f(x)＝(x－1)0＝1，这个函数与函数 g(x)＝1 的对应 关系相同，定义域不相同，所以它们不能表示同一个函数．
在 N 中无元素与之对应；(3)中的 x＝2 对应元素 y＝3∉N，所以
(3)不是；(4)中当 x＝1 时，在 N 中有两个元素与之对应，所以
(4)不是．只有(2)符合函数的定义，所以(2)正确．
答案：B
根据函数定义，可知：函数的图象与垂直于 x 轴的直线至多有一个交点，如果有两个或两个以上的交点，那 么就不是函数图象． 【变式与拓展】 1．已知函数 f(x)＝x2＋|x－2|，则 f(1)＝________. 2
1.2
1.2.1
函数及其表示
函数的概念(1)
【学习目标】
1．通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依
数学人教A版必修一优化课件：第一章 1.2 1.2.2 第2课时 分段函数及映射
当 a<0 时，1－a>1,1＋a<1， 这时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由 f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得 a＝－34. 综上可知，a 的值为－34. [答案] －34
求某条件下自变量的值的方法： 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记 代入检验．
[解析] (1)由于 A 中元素 3 在对应关系 f 作用下其与 3 的差的绝对值为 0，而 0∉ B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合 A 中任何一个元素在集合 B 中有无数 个元素与之对应，故不是映射． (3)对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一一个元素与之对应， 符合映射定义，是映射． (4)是映射，因为 A 中每一个元素在 f：x→y＝12x 作用下对应的元素构成的集合 C ＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义．
Hale Waihona Puke 判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义，判断方法为：先看集合 A 中每一 个元素在集合 B 中是否均有对应元素．若没有，则不是映射；若有，再看对应元 素是否唯一，若唯一，则是映射，若不唯一，则不是映射．
4．下列对应是不是从 A 到 B 的映射，为什么？ (1)A＝R＋，B＝R，对应法则是“求平方根”； (2)A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应法则是“平方除以 4”； (3)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应法则是 f：x→y＝(x－2)2，其中 x∈A， y∈B； (4)A＝{x|0°≤x≤180°}，B＝{y|0≤y≤1}，对应法则是“求正弦”．
2x， x≥1， 故 f(x)＝2， －1<x<1，
2014年新课标人教A版必修1数学1.2.1函数的概念(2)随堂优化训练课件
R ．当 a＞0 ________
a＜0 时，
2 4 ac － b yy≤ 4a ． 值域为________________
练习 4：若函数 f(x)＝2x＋1，x∈{0,1,2,3}，则 f(x)的值域为 {1,3,5,7} ． __________ R ． 练习 5: 若函数 f(x)＝2x＋1(x∈R)，则 f(x)的值域为_____
解：(1)∵ x≥0，∴2 ∴y＝2 x＋3≥3.
x＋3 的值域为[3，＋∞)．
(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4≤4， ∴y＝－x2－2x＋3 的值域为(－∞，4]．
x 1 1 ，且 (3)方法一：∵y＝ ＝1－ ≠0， x＋1 x＋1 x＋1
x ∴y＝ 的值域为{y|y≠1}． x＋1 x y 方法二：∵y＝ ，∴x＝ .∴y≠1. 1＋x 1－y x ∴y＝ 的值域为{y|y≠1}． x＋1
1 则 f(2x＋1)有 1≤2x＋1≤2，解得 0≤x≤2，即 f(2x＋1)的定义
1 域为0，2.
答案：(1)[3,4] (2)[1,2]
1 (3)0，2
对于求抽象的复合函数的定义域，主要有三种 情形：①已知 f(x)的定义域为[a，b]，求 f[u(x)]的定义域，只需 求不等式 a≤u(x)≤b 的解集；②已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]， 求 f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；③已知 f[u(x)]的定义域为 [a，b]，求 f[g(x)]的定义域，必须先利用②的方法求 f(x)的定义 域，然后利用①的方法求解．
(4)由题意知，函数 y 的定义域为{x|x≥1}．
令 x－1＝t，则 t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1.
【随堂优化训练】2014年高中数学 1.2.2 条件语句配套课件 新人教A版必修3
输出 y 的值为( )
A.25
B.30
C.31
D.61
解析：根据题意，该算法的功能为
1 x≤50， 2x ， y＝ 3x－50＋25， x>50， 5 3 当 x＝60 时， y＝5×(60－50)＋25＝31.
答案：C
题型 2 方程求解中参数的讨论问题 【例 2】 写出解关于 x 的方程 ax＋b＝0 的程序. 思维突破：分a＝0 与a≠0 两大类讨论；若a＝0，再分b ＝0 与 b≠0 两种情况讨论.
IF a<10 THEN
y＝2*a ELSE y＝a*a PRINT y A.9 B.3 C.10 D.6
解析：此条件语句表示的算法功能是计算分段函数 y ＝
2a，a<10，的值，所以当 2 a ，a≥10
a＝3 时，y＝2×3＝6.
答案：D
【变式与拓展】
1.(2013 年陕西)根据如下的算法语句， 当输入 x 为 60 时，
练习 1：给出以下四个问题：
①给出 x，输出它的相反数；
②求面积为 6 的正方形的周长；
③三个数 a，b，c 中输出一个最大数；
④求函数
x－1，x≥0， f(x)＝ x＋2，x<0
的函数值.
其中不需要用条件语句来描述其算法的有( B )
A.1 个
C.3 个
B.2 个 D.4 个
练习 2：条件语句的一般形式为“IF A THEN B ELSE C”，
【变式与拓展】
2.已知函数
2 x －1 f(x)＝ 2 2x －5
x≥0， 编写一个程序对每输入 x<0，
的一个 x 值都能得到相应的函数值.
解：用变量 x，y 分别表示自变量和函数值，则算法如下： 第一步，输入 x 的值. 第二步，判断 x 的取值范围.若 x≥0，则用函数 y＝x2 －1 求函数值，否则，用 y＝2x2－5 求函数值. 第三步，输出 y 的值.
A.25
B.30
C.31
D.61
解析：根据题意，该算法的功能为
1 x≤50， 2x ， y＝ 3x－50＋25， x>50， 5 3 当 x＝60 时， y＝5×(60－50)＋25＝31.
答案：C
题型 2 方程求解中参数的讨论问题 【例 2】 写出解关于 x 的方程 ax＋b＝0 的程序. 思维突破：分a＝0 与a≠0 两大类讨论；若a＝0，再分b ＝0 与 b≠0 两种情况讨论.
IF a<10 THEN
y＝2*a ELSE y＝a*a PRINT y A.9 B.3 C.10 D.6
解析：此条件语句表示的算法功能是计算分段函数 y ＝
2a，a<10，的值，所以当 2 a ，a≥10
a＝3 时，y＝2×3＝6.
答案：D
【变式与拓展】
1.(2013 年陕西)根据如下的算法语句， 当输入 x 为 60 时，
练习 1：给出以下四个问题：
①给出 x，输出它的相反数；
②求面积为 6 的正方形的周长；
③三个数 a，b，c 中输出一个最大数；
④求函数
x－1，x≥0， f(x)＝ x＋2，x<0
的函数值.
其中不需要用条件语句来描述其算法的有( B )
A.1 个
C.3 个
B.2 个 D.4 个
练习 2：条件语句的一般形式为“IF A THEN B ELSE C”，
【变式与拓展】
2.已知函数
2 x －1 f(x)＝ 2 2x －5
x≥0， 编写一个程序对每输入 x<0，
的一个 x 值都能得到相应的函数值.
解：用变量 x，y 分别表示自变量和函数值，则算法如下： 第一步，输入 x 的值. 第二步，判断 x 的取值范围.若 x≥0，则用函数 y＝x2 －1 求函数值，否则，用 y＝2x2－5 求函数值. 第三步，输出 y 的值.
高中数学新人教A版必修1课件：第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法(第2课时)分段函数与映射
• 1．分段函数
• 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应 关系的函数．
• [知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是 各段值域的并集．
• 2．映射 • (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定
的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有 ___唯__一__确_定____的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合 ___A___到集合_B_____的一个映射． • [知识点拨] 满足下列条件的对应f：A→B为映射： • (1)A，B为非空集合；
• (2)有对应法则f；
• (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对应．
• (2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合 A，B均为___非__空_数__集____时，从A到B的映射就是函数，所以 函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推 广．
• [知识点拨] 函数新概念，记准三要素；定义域，值域， 关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解 析最常见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何 集不限．
典例 3 已知函数f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域．
• [思路分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函 数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．
[解析] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－2 x＝1； 当－2<x<0时，f(x)＝1＋－x2－x＝1－x. 所以f(x)＝11－0≤x－x≤2<2x<0. (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
数学必修Ⅰ人教新课标A版1-2-2-2分段函数及映射课件(37张)
第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．
所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)．
(2)①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－2 x＝1；
当－2<x<0时，f(x)＝1＋－x2－x＝1－x.
∴f(x)＝11，－x，
0≤x≤2， －2<x<0.
②函数f(x)的图象如图所示，
③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． [答案] (1)[－1,2] [－1,1)
[活学活用] 4－x2，x＞0，
已知函数f(x)＝2，x＝0， 1－2x，x＜0.
(1)求f(f(－2))的值； (2)求f(a2＋1)(a∈R)的值； (3)当－4≤x＜3时，求f(x)的值域．
解：(1)∵f(－2)＝1－2×(－2)＝5， ∴f(f(－2))＝f(5)＝4－52＝－21. (2)当a∈R时，a2＋1≥1＞0，∴f(a2＋1)＝4－(a2＋1)2＝－a4－ 2a2＋3(a∈R)． (3)①当－4≤x＜0时，f(x)＝1－2x， ∴1＜f(x)≤9； ②当x＝0时，f(x)＝2； ③当0＜x＜3时，f(x)＝4－x2， ∴－5＜f(x)＜4. 故当－4≤x＜3时，函数f(x)的值域是(－5,9].
[类题通法] 1．求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入 该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求 值，直到求出值为止． 2．求某条件下自变量的值的方法 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应 求出自变量的值，切记代入检验．
第二课时 分段函数与映射
分段函数 [提出问题] 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5千米以内，票价2元； (2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5 千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站 和终点站)有11个汽车站．
人教A版高中数学必修第一册 第2课时 分段函数【课件】
• 求分段函数函数值的方法
• 先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后 代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
－2x，x＜－1，
1．已知函数 f(x)＝2，－1≤x≤1， 2x，x＞1.
(1)求 f－32，f21，f29，ff12； (2)若 f(a)＝6，求 a 的值．
题型 3 分段函数在实际问题中的应用
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长
温度为 15～20 ℃的新品种蔬菜，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关
闭后，大棚里温度 y(℃)随时间 x(h)变化的函数图象，其中 AB 段是恒温
阶段，BC 段是双曲线 y＝kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
• (2)条件：自变量x在不同取值范围内，有着 ____________；
• (3)结论：这样的函数称为分段函数．
• 【答案】不同的对应关系
微思考
• 分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系 不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
• 【提示】分段函数是一个函数而不是几个函 数．
|课堂互动|
• (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先 应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化 为分段函数，然后分段作出函数图象．
• (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象， 在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其 图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要 特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
• 对于应用题，要在分析题意的基础上，弄清变 量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根 据图象求关系式，则要分段用待定系数法求出，最 后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义 域的各个“分点”．
高一数学 人教A版必修1 1-2 函数的表示法、分段函数与映射 课件
随堂达标自测
1．y 与 x 成反比，且当 x＝2 时，y＝1，则 y 关于 x 的
函数关系式为( )
A．y＝1x
B．y＝－1x
C．y＝2x
D．y＝－2x
解析 设 y＝kx(k≠0)，则 1＝2k，∴k＝2，∴y＝2x.
2．已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋11，，xx∈∈[－0，1，1]0，]， 则函数 f(x) 的图象是( )
c＝1，
意得a＋b＋c＝2， 4a＋2b＋c＝5，
a＝1，
Байду номын сангаас
解得b＝0， c＝1，
故 f(x)＝x2＋1.
探究3 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 例 3 (1)已知函数 f(x＋1)＝x2－2x，求 f(x)的解析式； (2)已知函数 y＝f(x)满足 f(x)＋2f1x＝x，求函数 y＝f(x) 的解析式．
解析 当 x＝－1 时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D 错； 当 x＝0 时，y＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当 x＝1 时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．故选 A.
3．某种茶杯，每个 2.5 元，把买茶杯的钱数 y(元)表示 为茶杯个数 x(个)的函数，则 y 与 x 的函数关系式为 ____y_＝__2_._5_x_，__x_∈__N_*_____．
(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程 或方程组．
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值． (4)将所求待定系数的值代回所设解析式．
【跟踪训练 2】 (1)已知函数 f(x)＝x2，g(x)为一次函数， 且一次项系数大于零，若 f[g(x)]＝4x2－20x＋25，求 g(x)的 表达式；
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．( × ) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．( × ) (3) 函 数 的 图 象 一 定 是 定 义 区 间 上 一 条 连 续 不 断 的 曲 线．( × )
人教A版高中数学必修一教学课件1.2.2第2课时分段函数映射
第一章 集合与函数概念
1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数、映射
课前自主预习
课堂互动探究
课时跟踪检测
1．了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点) 2．了解映射的概念及它与函数的联系．(重点、易混点)
数学 ·必修1(A版)
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(2)函数 f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
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映射的判断
判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射： (1)A＝N*，B＝N*，对应关系 f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f： 作圆的内接矩形； (3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系 f： 每个男生对应自己的身高； (4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系 f：x→y＝21 x.
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思路点拨：解答本题可由映射的概念出发，观察A中任何 一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应．
解：(1)由于A 中元素3在对应关系f作用下，其与3的差的 绝对值为0，而0∉B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元 素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
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1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数、映射
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1．了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点) 2．了解映射的概念及它与函数的联系．(重点、易混点)
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(2)函数 f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
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映射的判断
判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射： (1)A＝N*，B＝N*，对应关系 f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f： 作圆的内接矩形； (3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系 f： 每个男生对应自己的身高； (4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系 f：x→y＝21 x.
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思路点拨：解答本题可由映射的概念出发，观察A中任何 一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应．
解：(1)由于A 中元素3在对应关系f作用下，其与3的差的 绝对值为0，而0∉B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元 素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
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2014年新课标人教A版必修1数学3.2.1几类不同增长的函数模型随堂优化训练课件
【变式与拓展】
1.一个水池每小时注入的水量是全池的 1 ，水池还没有注 10 水的部分与总量的比值 y 随时间 x(单位：小时)变化的函数关系
x y＝1－10(0≤x≤10) 式为____________________.
题型 2 指数函数模型 【例 2】 某公司拟投资 100 万元，有两种获利的投资方案
度较快.
练习2：某种商品降价 10%后，欲恢复原价，则应提价( D )
A.10%
C.11%
B.9%
100 D. 9 %
解析：设商品原价为 a，则降价 10%后价格为 90%a，若设
100 应提升 x 才能恢复原价，则 90%a(1＋x)＝a，解得 x＝ 9 %.故
选 D.
练习3：f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞) 时，对三个函数增长速度进行比较，下列选项正确的是( B )
)
5 B.9小时 C.5 小时 D.10 小时
1 A.2小时
解析：由题意，前 5 个小时消除了 90%的污染物， ∵P＝P0e kt，∴(1－90%)P0＝P0e
－ －5k
.∴0.1＝e
－5k
，即－5k＝
1 1 －kt ln0.1.∴k＝－5ln0.1.由 10%P0＝P0e ，得－kt＝ln0.1.即5ln0.1t
可提供选择：一种是年利率为 10%，按单利计算，5 年后收回
本金和利息；另一种是年利率为 9%，按复利计算，5 年后收回
本金和利息.哪一种投资更有利？这一种投资比另一种投资 5 年
后可多得利息多少元？
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收
回本金和利息是 100×(1＋10%× 5) ＝150(万元) ；本金100
数学新课标人教A版必修1教学课件：1.2.2.2第2课时 分段函数及映射
栏目导引
1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不 同的取值范围，有着不同的_对__应__关___系_，则称这 样 的函数为分段函数． 2．映射 设 A、B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确 定的对应 关 系f，使对于集合A中的任__意__一__个__元 素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__的元素y与之对 应 ，那么就称对应f_：__A_→__B_为 从集合A到集合B 的一个映射．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
解析： A、B项中集合A中的元素0在集合B中 没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在 集合B中没有元素与之对应，故选D. 答案： D
栏目导引
解析：
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时 f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x＞1或x＜－1时， f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
必修1 第一章 集合与函数的概念
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
④ 不是 ⑤ 不是 ⑥ 不是 答案： A
是一对多，不满足对应 元素 唯一性.
是一对多，不满足对应 元素 唯一性.
a3，a4无对应 元素、不满足 取元任意性.
人教A版高中数学必修一教学课件：1.2.2 第2课时 分段函数、映射
2．判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射， 哪些不是．为什么？ (1)A＝R，B＝{0,1}，对应关系
1x≥0， f：x→y＝ 0x＜0；
1 (2)A＝Z，B＝Q，对应关系 f：x→y＝ ； x (3)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,16}，对应关系 f：a→b ＝(a －1)2.
1 － f f f 2的值；
(2)若 f(x)＝2，求 x 的值．
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思路点拨：分段考虑求值即可． (1)先求
1 － f 2，再求 1 － f f 2，最后求
2
1 － f f f 2；
1 (2)分别令 x＋2＝2，x ＝2， x＝2，分段验证求 x. 2
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1 1 3 解：(1)f－2＝－2＋2＝ ， 2 1 3 3 2 9 ∴ff－2＝f2＝2 ＝ . 4 1 9 1 9 9 ∴fff－2＝f 4＝2×4＝8.
中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之
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• 给定两集合A，B及对应关系f，判断是否是 从集合A到集合B的映射，主要利用映射的定 义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对 一”“一对一”“一对多”“多对多”，前两 种对应是A到B的映射，而后两种不是A到B的映 射．
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第一章 集合与函数概念
1.2 第2课时
函数及其表示 分段函数、映射
1.2.2 函数的表示法
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• 1．了解简单的分段函数，并能简单应 用．(重点) • 2．了解映射的概念及它与函数的联系．(重 点、易混点)
人教A版数学必修一第1部分第一章1.21.2.2第二课时分段函数及映射.pptx
解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋x－2 x＝1；
当－2<x<0 时，
f(x)＝1＋－x2－x＝1－x，
∴f(x)＝11，－x，
0≤x≤2， －2<x<0.
(2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
1．对映射的定义，应注意以下几点： (1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、 点集，也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应．对应关系可以用图 示或文字描述的方法来表达．
2．下列集合A到集合B的对应f是映射的是( ) A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
解析：在B中，集合A中的元素1有±1两个元素与之对应， ∴B不正确．C中，集合A中的元素0没有倒数，∴C不正 确．D中，集合A中的元素0的绝对值仍然是0，而0∉B， ∴D不正确． 答案：A
[一点通] 1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在 的范围，代入相应的解析式求值． 2．多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层 处理． 3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值， 可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分 段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范 围，确定解析式再求解．
－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
∵f－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，
∴f
[
f
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图 1-2-3
思维突破：利用数学知识建立相应的数学模型，求目标函 数解析式．本题需要对点 P 的位置进行分类讨论，确定 y 与 x 之间的函数关系． 解：(1)当点 P 在 AB 上，即 0≤x≤1 时，
AP＝x，也就是 y＝x.
(2)当点 P 在 BC 上，即 1<x≤2 时，
AB＝1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，
(3)A＝{30° ，45° ，60° }，B＝1， 2 3 1 ， 对应法则： ， ， 2 2 2
求正弦．
答案：1．(1)
(2)
(3)
2．分段函数是一个函数还是几个函数？
答案：一个
题型 1 分段函数
【例 1】 已知实数 a≠0，函数
2x＋a，x<1， f(x)＝ －x－2a，x≥1.
练习 1：已知
x＋1，x≥2， f(x)＝ 2 1－x ，x＜0，
－3 ， 则 f(－2)＝_________
－∞，1)∪[3，＋∞) ． 值域是( ___________________
2．映射 (1)设 A，B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对 应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素 x ，在集合 B 中 都有唯一 确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为 __________ 一个映射 ． 从集合 A 到集合 B 的__________ 函数 概念的推广，函 (2)由映射的定义可以看出，映射是______ 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合 A，B 必须 非空数集 ． 是__________ 练习 2：在映射 f：A→B 中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且
1.2.4
分段函数及映射
【学习目标】
1．了解映射的概念及其表示方法． 2．结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
4．能解决简单函数的应用问题．
1．分段函数
所谓“分段函数”，习惯上是指在定义域的不同部分，有 解析式 的函数． 不同的________
2x y＝8 212－x
0≤x≤4， 4＜x≤8， 8＜x≤12.
题型 3 映射的概念 【例 3】 图 1-2-5 建立了集合 P 中元素与集合 M 中元素的 对应关系 f，其中为映射的是哪几个？为什么？
图 1-2-5
思维突破：根据映射的定义进行判断．
来处理相关问题．首先要确定自变量的值属于哪一个区间，从
而选定相应表达式代入计算．特别地，要注意分段区间端点的
取舍．
【变式与拓展】 1．(2011 年北京)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所
用的时间(单位：分钟)为 f(x)＝
c ，x＜A， x c ，x≥A， A
(A，c 为常数)．
已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是( )
A．75,25
B．75,16
C．60,25
D．60,16
c f4＝ 4＝30， 解析：由题意，可知： fA＝ c ＝15， A
故选 D. 答案：D
c＝60， 解得 A＝16.
0≤x≤1， x x2－2x＋2 1<x≤2， y＝ 2 x －6x＋10 2<x≤3， 4－x 3<x≤4.
解数学应用题的一般程序：首先要在阅读材 料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，建立相 应的数学模型，对其进行分析、研究，得出数学结论，最后把 数学结论(结果)返回到实际问题中．
AB＝4，BP＝x，y＝2x，x∈[0,4]；
当点 P 由点 C 向点 D 移动时，△ABP 是以 AB＝4 为底、 高为 4 的三角形，所以 y＝8，x∈(4,8]；
当点 P 由点 D 向点 A 移动时，△ABP 为直角三角形，
其中 AB＝4，另一直角边为 12－x， 所以 y＝2(12－x)，x∈(8,12]． 综上所述，所求函数关系式是
f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与 A 中的元素(－4,3)对应的 B 中的 (－7，－1) ． 元素为__________
【问题探究】
1．用图表示下列两个集合 A，B 的元素之间的一些对应关系．
(1)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，对应法则：开
平方；
(2)A＝{－3，－2，－1,1,2,3}，B＝{1,4,9}，对应法则：平方；
根据勾股定理，得 AP2＝AB2＋BP2，
∴y＝AP＝ 1＋x－12＝ x2－2x＋2.
(3)当点 P 在 DC 上，即 2<x≤3 时，AD＝1，DP＝3－x.
根据ห้องสมุดไป่ตู้股定理，得 AP2＝AD2＋DP2，
y＝AP＝ 1＋3－x2＝ x2－6x＋10.
(4)当点 P 在 AD 上，即 3<x≤4 时，有 y＝AP＝4－x. ∴所求的函数关系式为
【变式与拓展】 2．如图 1-2-4，在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点
P，沿着折线 BCDA 由点 B(起点)向点 A(终点)移动，设点 P 移
动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，求△ABP 的面积 y 与点 P 移动的路程 x 的函数关系式．
图 1-2-4
解：当点 P 由点 B 向点 C 移动时，△ABP 为直角三角形，
题型 2 分段函数的应用 【例2】 如图 1-2-3，一动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点 A. 若点 P 运动的路程为 x，点 P 到顶点 A 的距离为 y，求 A，P 两 点间的距离 y 与点 P 运动的路程 x 之间的函数关系式．
若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为______．
解析：当 a>0 时，∵1－a<1,1＋a>1， ∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a. 3 解得 a＝－2(舍去)． 当 a<0 时，∵1－a>1,1＋a<1， ∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a. 3 解得 a＝－4.
3 答案：－ 4
分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式