函数的正交系数学物理方程

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正交函数系统的性质与构造

正交函数系统的性质与构造正交函数系统是数学中的一类重要的函数系，具有广泛的应用，例如在数学分析、信号处理、图像处理、物理学等领域中常常出现。

正交函数系有一些基本的性质和构造方法，本篇文章将介绍其基本的性质和构造方法。

一、正交函数系的定义正交函数系是指满足以下两个条件的一组函数：1. 在一个区间上互不相同。

2. 在该区间上的任意两个函数的乘积在该区间上的积分等于零。

其中，条件二通常称为正交条件。

在实际应用中，通常会限制正交函数系是一组正交归一的函数系，即每个函数的积分等于1。

二、正交函数系的性质1. 正交函数系的线性无关性对于任意正交函数系中的两个不同的函数f(x)和g(x)，它们的内积为0:∫f(x)g(x)dx=0因此，对于系数不全为0的线性组合：h(x)=c1f(x)+c2g(x)+...+cnh(x)有：∫h(x)h(x)dx=(c1^2∫f(x)f(x)dx)+(c2^2∫g(x)g(x)dx)+...+(cn^2∫nh(x)nh (x)dx)>0说明正交函数系中的任意一组函数都是线性无关的。

2. 正交函数系的完备性正交函数系中的所有函数都在空间的任意一点处存在极限，即正交函数系构成了函数空间的一组完备基底。

具体地说，任意函数f(x)都可以在正交函数系的基底上展开：f(x)=c1f1(x)+c2f2(x)+...+cnfn(x)其中ci为展开系数，fi(x)为正交函数系中的函数。

由于正交函数系的线性无关性，展开系数ci具有唯一性。

3. 正交函数系的构造常见的正交函数系有勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式等。

其中，切比雪夫多项式是应用最广泛的正交函数系之一，特别是在信号处理和图像处理中。

切比雪夫多项式的定义为：Tn(x)=cos(narccosx)其中，arccos(x)表示x的反余弦函数，n为多项式的次数。

切比雪夫多项式的正交条件可以通过简单的计算得到。

切比雪夫多项式在[-1,1]区间上具有一些重要的性质，例如在该区间上最大值为1，最小值为-1，以及在该区间上具有最小的最大误差性质等。

数学物理方程

数学物理⽅程《数学物理⽅程》课程教学⼤纲课程英⽂名称：Equations of Mathematical Physics课程号：0312013002课程计划学时：48学分：3课程简介：本⼤纲适⽤于材料物理学类本科。

数学物理⽅法是材料物理专业基础理论课，通过本课程的教学，帮助学⽣掌握并能运⽤数学物理⽅程等理论物理的基本数学⼯具。

本课程的重点是数学物理⽅程的⾏波法, 分离变数法,⽅程的级数解法, 本征值问题, 球函数, 柱函数等。

难点是⽅程的级数解法, 本征值问题, 球函数, 柱函数等。

本课程必须在⾼等数学，线性代数，复变函数，⼒学，电磁学，光学，原⼦物理学，理论⼒学等课程基础上开设。

后续课程是量⼦⼒学，电动⼒学，热⼒学，固体物理。

通过本课程的学习，培养学⽣严谨的逻辑和推演等理性思维能⼒，提⾼抽象思维能⼒，逻辑推演能⼒和符号运算及数值运算能⼒。

特别是，⽤分离变数法解偏微分⽅程等。

为学习材料物理专业基础理论课量⼦⼒学、统计物理和电动⼒学等打好数学基础。

⼀、课程教学内容及教学基本要求第七章定解问题本章重点：定解条件，⼆阶线性偏微分⽅程的分类，⾏波法难点：数学物理⽅程的导出7.1数学物理⽅程的导出本节要求了解各种数学物理⽅程的导出（考核概率10%）7.2定解条件本节要求理解定解条件初始条件、边界条件、衔接条件的基本概念，并会结合具体问题导出定解条件（考核概率80%）7.3数学物理⽅程的分类本节要求掌握各类⽅程的分类⽅法，并能掌握⽤适当的变换将其化为标准型（考核概率90%）7.4 达朗贝尔公式本节要求了解达朗贝尔公式的推导，理解其物理意义，掌握达朗贝尔公式（⾏波法）求解定解问题（考核概率60%）第⼋章分离变数法本章重点：分离变数法，⾮齐次振动⽅程和输运⽅程及⾮齐次边界条件的处理，泊松⽅程的特解法难点：⾮齐次振动⽅程和输运⽅程及⾮齐次边界条件的处理8.1 齐次⽅程的分离变数法本节要求理解分离变数法的含义，掌握齐次⽅程的分离变数法（考核概率90%）8.2 ⾮齐次振动⽅程和输运⽅程本节要求掌握应⽤齐次⽅程的分离变数法处理⾮齐次振动⽅程和输运⽅程（考核概率70%）8.3 ⾮齐次边界条件的处理本节要求了解⼀般⾮齐次边界条件的处理⽅法，掌握⾮齐次边界条件的特殊处理⽅法（考核概率70%）8.4 泊松⽅程本节要求理解泊松⽅程特解法的原理，掌握泊松⽅程的特解法（考核概率70%）第九章⼆阶常微分⽅程级数解法本征值问题本章重点：勒让德⽅程及贝塞尔⽅程的级数解法，施图姆－刘维本征值问题⼀般理论难点：常点领域上的级数解法，正则奇点领域上的级数解法9.1特殊函数常微分⽅程本节要求了解拉普拉斯⽅程在球坐标系及柱坐标系下、亥姆霍兹⽅程在球坐标系及柱坐标系下利⽤分离变数法导出的⼏类特殊常微分⽅程（考核概率10%）9.2常点领域上的级数解法本节要求掌握勒让德⽅程的级数解法，掌握勒让德⽅程的通解结构（考核概率70%）9.3正则奇点领域上的级数解法本节要求掌握贝塞尔⽅程的级数解法，掌握贝塞尔⽅程的通解结构（考核概率70%）9.4施图姆－刘维本征值问题本节要求了解施图姆－刘维本征值问题的⼀般理论（考核概率50%）第⼗章球函数本章重点：勒让德多项式表达式、模及主要递推公式，轴对称函数的求解难点：⼀般球函数的求解10.1轴对称球函数本节要求了解轴对称球函数的基本概念，掌握勒让德多项式的表达式、模及主要递推公式，了解⼴义傅⽴叶-勒让德级数、母函数与递推关系，掌握求解轴对称函数的⽅法（考核概率80%）10.2连带勒让德函数本节要求了解连带的勒让德多项式的表达式、模及递推公式（考核概率20%）10.3⼀般的球函数本节要求了解⼀般的球函数求解及其应⽤（考核概率10%）第⼗⼀章柱函数本章重点：贝赛尔函数递推公式、正交关系及傅⽴叶－贝赛尔级数，贝赛尔函数的应⽤难点：柱函数的求解11.1 三类柱函数本节要求了解三类柱函数的基本概念，掌握贝赛尔函数的递推公式（考核概率50%）11.2贝赛尔⽅程本节要求了解贝赛尔函数零点的⼀般结论及贝塞尔函数的正交关系，掌握贝赛尔函数模的求法，贝赛尔函数的应⽤（考核概率80%）11.3柱函数的渐进公式本节要求了解柱函数的渐进公式（考核概率10%）11.4虚宗量贝塞尔⽅程本节要求了解虚宗量贝塞尔⽅程的求解（考核概率10%）11.5球贝赛尔⽅程本节要求了解球贝塞尔函数的基本概念，了解球贝赛尔函数的应⽤（考核概率20%）三、⼤纲附录1、建议教材：《数学物理⽅法》(第三版)，⾼等教育出版社出版，1998年，梁昆淼编。

正交性定理

正交性定理正交性定理是线性代数中极为重要的一个定理，它在许多领域，特别是在信号处理、图像处理和物理学等方面都有广泛的应用。

在本文中，我将介绍正交性定理的概念、证明过程以及它的几个重要应用。

正交性定理是指两个向量的内积为0时，它们是正交的。

换句话说，如果两个向量的内积等于0，那么它们垂直于彼此。

内积是一种度量两个向量之间相似性的方法，它是两个向量的点积。

对于两个向量u和v，它们的内积可以表示为u·v。

如果u·v=0，则u和v是正交的。

接下来，我们将证明正交性定理。

假设有两个向量u=(u₁,u₂,...,uₙ)和v=(v₁,v₂,...,vₙ)。

它们的内积可以表示为：u·v= u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ我们假设u·v=0，即：u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ = 0我们可以将这个方程写成矩阵形式，即：[u₁ u₂ ... uₙ] · [v₁ v₂ ... vₙ]ᵀ = 0这个矩阵乘法等于0的条件是，矩阵的每一行与每一列的乘积之和等于0。

也就是说，u和v的每一个分量乘积之和等于0。

根据这个条件，我们可以得出结论，如果u·v=0，那么u和v是正交的。

正交性定理在很多应用中都有重要的作用。

首先，它在信号处理中被广泛用于傅里叶变换。

傅里叶变换将一个信号分解成一组正交基函数，每个基函数都代表了不同的频率。

这个定理的应用使得我们可以对信号进行频率分析，从而更好地理解和处理信号。

其次，正交性定理在图像处理中也扮演着重要的角色。

在图像处理中，我们经常会用到卷积操作。

卷积操作可以将一个图像与一个卷积核进行卷积，得到一个新的图像。

正交性定理告诉我们，如果一个卷积核是正交的，那么它可以保持图像的一些特性，比如边缘和纹理。

这个定理的应用使得我们可以通过设计适当的卷积核来改善图像质量。

另外，正交性定理在物理学中也是非常重要的。

在量子力学中，波函数的正交性是量子理论的基础之一。

数学物理方程 2-3章课后部分习题答案李明奇主编电子科技大学出版社

数学物理方程李明奇主编电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。

试写出定解问题。

解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。

化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x Iu u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。

习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。

试写出边界条件。

解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。

可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。

习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。

证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。

由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。

习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。

数学物理方程2-3章课后部分习题答案

试写出定解问题。

解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。

化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。

试写出边界条件。

解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。

可得dSdt u k dSdt n uk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。

习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。

证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。

由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：02ερ-=∇u 。

习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u 解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dxdydx dy 解得：1-=dx dy 和3=dxdy。

数学物理方程公式总结

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M Mat atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩22at at ππ⎡⎤⎡⎤＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝傅立叶变换1()()2i x f x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质[]1212[][]F f f F f F f αβαβ+=+ 1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* [][]F f i F f λ'= ()[]()[]k k F f i F f λ= [][]d F f F ixf d λ=- 1[()]d i x f F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--=00[()]()i x F e f x f λλλ=- ..1[()][()]x F f d F f x i ξξλ-∞=⎰.0.[)]1i xi xx F x x edx eλλδδ∞--=-∞===⎰（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=-[]12()F πδλ= 22242ax aF e e λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1cos ()21sin ()2ia iaia ia a e e a e e i --=+=- cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x edx +∞--∞=⎰()()i x f f x e dx λλ+∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax cL ce p a p a=>-21[]L x s=21[]()x L e x s ββ-⋅=+[]22sin kL kt s k=+ []22cos sL kt s k==+ []22[]2ax ax e e aL shax L s a --==- Re Re s a > []22[]2ax ax e e sL chax L s a -+==+ Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=--> 1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]x L f d L f x sττ=⎰ [][()]nn n d L f L x f ds=- ..()[]pf x fs ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sx L x x e dx δδ+∞-==⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三个格林公式高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 定理1：泊松方程洛平问题(,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。

“数学物理方程”课程教学大纲

“数学物理方程”课程教学大纲英文名称：Mathematical and physical equation课程编号：math2029学时：32 学分: 2适用对象：全校二年级本科生先修课程：高等数学，线性代数，复变函数，积分变换。

使用教材及参考书：申建中刘峰编，《数学物理方程》，2010年，西安交通大学出版社一、课程性质、目的和任务“数学物理方程”是高等学校工科本科有关专业的一门基础课。

本课程旨在使学生初步掌握数学物理方程的基本理论和基本方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。

本课程的内容包括：弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等定解问题的提出，达朗贝尔法、分离变量法、贝塞尔函数与勒让德多项式的基本性质和应用。

二、教学基本要求本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。

文中用黑体字排印的，属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。

其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。

非黑体字排印的，也是教学中必不可少的，只是在要求是低于前者。

其中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。

也是教学中必不可少的，属基本要求。

第一章数学建模与基本原理介绍了解三个典型方程(弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程)的建立,了解定解条件的物理意义及三种定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法,了解偏微分方程的一些基本概念(解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐交),理解线性问题的叠加定理。

第二章分离变量法掌握有界弦自由振动问题和有限长杆上热传导问题的分离变量解法,掌握圆域内拉普拉斯方程的狄利克雷问题的分离变量解法,会用固有函数法解非齐次方程的定解问题,会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题。

第三章贝塞尔函数了解贝塞尔(Bessel)方程的幂级数解法,掌握整数阶贝塞尔函数的一些性质(递推公式、零点、正交性),了解傅里叶——贝塞尔展开式,会用贝塞尔函数解有关的定解问题。

三角函数的正交性

三角函数的正交性三角函数在数学和物理中发挥着重要的作用。

它们不仅用于描述周期性现象，还广泛应用于信号处理、图像处理、电子工程等领域。

在研究三角函数时，人们发现了它们之间的正交性质，这个性质在数学推导和实际应用中都具有重要意义。

1. 正交函数的定义在数学中，两个函数f(x)和g(x)被称为正交函数，当且仅当它们的内积为零，即∫f(x)g(x)dx=0。

在三角函数中，我们常用的正交函数有正弦函数和余弦函数。

2. 正交性质的推导考虑正弦函数和余弦函数在一个周期内的内积。

设f(x)=sin(nx)，g(x)=cos(mx)，其中n和m是任意整数。

由三角函数的定义可知，正弦函数和余弦函数满足以下关系：sin(nx) = (e^(i*n*x) - e^(-i*n*x)) / (2i)cos(mx) = (e^(i*m*x) + e^(-i*m*x)) / 2其中i是虚数单位。

将上述表达式代入内积的定义，得到：∫sin(nx)cos(mx)dx = (1/2i)∫(e^(i*n*x) - e^(-i*n*x))(e^(i*m*x) + e^(-i*m*x))dx将e的指数部分展开并简化，得到：(1/2i)∫[e^((i*n+m)*x) + e^((i*n-m)*x) - e^((-i*n+m)*x) - e^((-i*n-m)*x)]dx根据e的指数幂和的公式可知，上述各项的积分结果为零，因为它们都是不同频率正弦函数的积分。

因此，我们有：∫sin(nx)cos(mx)dx = 03. 正交性质的意义与应用正交性质的意义在于可以简化三角函数的计算和处理。

由于正交函数的内积为零，我们可以将一个周期内的函数表示为不同频率正弦函数和余弦函数的线性组合。

这样可以方便地对信号进行分解和重构。

在信号处理和图像处理中，正交性质广泛应用于傅里叶变换、滤波、压缩等算法中，提高了计算效率和信号质量。

4. 正交函数的举例除了正弦函数和余弦函数之外，还存在其他一些正交函数。

正交函数及其在物理学和工程中的应用

正交函数及其在物理学和工程中的应用正交函数是一类在数学、物理学和工程学中非常重要的函数。

在数学领域中，正交函数被广泛用于求解微积分、微分方程等问题。

在物理学和工程领域中，正交函数则被广泛应用于信号处理、调制解调、滤波器设计等方面。

正交函数的概念正交函数是一种特殊的函数，其定义是指在一定范围内，两个不同的函数的内积等于0。

这里的内积可以定义为两个函数的积分，也可以定义为它们在特定条件下的乘积之和。

常见的一些正交函数包括：1. 傅里叶正交函数傅里叶正交函数是一组特殊的正交函数，它们可以将任意函数展开成一系列傅里叶级数，从而实现对其的分解和拟合。

在信号处理、调制解调、滤波器等领域中，傅里叶正交函数被广泛应用于频谱分析、滤波器设计等方面。

例如，当我们需要对一个信号进行去噪处理时，我们可以采用傅里叶变换将其转化为频域信号，然后采用滤波器对其进行滤波，最后再采用傅里叶逆变换将其还原为时域信号。

2. 勒让德正交函数勒让德正交函数是一组特殊的正交函数，它们广泛应用于电磁场、流体力学、量子力学等领域中的偏微分方程求解问题。

例如，在量子力学中，勒让德正交函数被用于求解波函数，从而得到电子在原子中的波函数分布。

在流体力学中，勒让德正交函数被用于求解流体的速度分布、压力分布等问题。

3. 切比雪夫正交函数切比雪夫正交函数是一组广泛应用于信号处理、图像处理、数值计算等领域的正交函数。

例如，在数值计算中，切比雪夫正交函数被广泛应用于数值积分、插值、微分等问题。

在图像处理中，切比雪夫正交函数则被用于图像的离散变换和滤波处理。

正交函数的应用正交函数在物理学和工程领域中的应用非常广泛，其相关领域包括但不限于：1. 信号处理和调制解调正交函数被广泛应用于信号处理和调制解调领域中。

例如，调幅（AM）调制和频率调制（FM）调制可以看作是一种正交函数变换，其中载波信号和调制信号的正交性是调制解调的核心。

2. 滤波器设计正交函数在滤波器设计中也有重要的应用。

数学物理方法知识点归纳

第一章复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。

1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。

(ii)C-R 条件在该点成立。

C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。

解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。

(ii)C-R 条件在该点成立。

解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。

(ii)C-R 条件在该点成立。

1.8解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。

但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。

②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程第二章复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。

柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。

⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。

三角级数正交函数系

积分计算
利用三角级数正交函数系，可以快速计算定积分或不定积分。
求解数值方程
通过三角级数正交函数系，可以求解一些数值方程，如求解线性方程组或求解非线性方程的根。
05
三角级数正交函数系的计算方法与技巧
直接法
定义
直接法是利用三角级数正交函数的定义，通过求解线性方程组来计算函数系的方法。
步骤
首先确定函数系的基函数，然后根据基函数的性质和正交条件建立线性方程组，求解方程组得到函数系。
在电磁场领域，三角级数正交函数系用于描述电磁波的传播和散射等行为，对于电磁波的传播规律、天线设计和电磁兼容性分析等具有重要意义。
02
三角级数正交函数系的分类
傅里叶级数
傅里叶级数是一种三角级数，以法国数学家约瑟夫·傅里叶命名。它可以将一个周期函数表示为无穷多个正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶级数的系数通过积分来计算，并且满足正交条件，即不同频率的正弦和余弦函数的积分值为零。
三角级数正交函数系的应用领域
信号处理
图像处理
振动分析
电磁场
在信号处理中，三角级数正交函数系用于表示和分解周期信号，如音频信号、振动信号等，以便进行滤波、去噪和特征提取等操作。
在图像处理中，三角级数正交函数系用于图像压缩、图像滤波和边缘检测等方面，能够实现高效的图像处理和传输。
在振动分析中，三角级数正交函数系用于描述振动系统的响应和行为，通过将振动信号表示为三角级数，可以方便地分析系统的固有频率、阻尼比和模态等参数。
偏微分方程等领域。
贝塞尔函数
01
贝塞尔函数是一类在数学和物理中常见的函数，以德国数学家弗里德里希·贝塞尔命名。
02

数学物理方程第二版谷超豪主编的课本的课后答案

1、一个偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数称为这个偏微分方程的阶。

2、如果方程对未知函数及其各阶导数总体来说是线性的，则称这个方程是线性方程，否则称这个方程是非线性方程。

3、几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果（即假设其他原因不存在时，该原因所产生的效果）的累加。

这个原理称为叠加原理。

4、I 【22222//0u t a u x ∂∂-∂∂=0:(),/()t u x u t x ϕψ==∂∂=】初值问题I 的解为(,)[()()]/2(1/2)()x atx atu x t x at x at a d ϕϕψαα+-=-+-+⎰此公式称为达朗贝尔公式5、依赖区间（x-at,x+at ）第一章课后题2.8求解波动方程的初边值问题222200{//sin |0,/|sin }t t u t u x t x u u t x ==∂∂-∂∂==∂∂=解：()0()11(,)sin sin sin 22x t x tt x t x t u x t d d t xττξξτξξ+-+---=+=⎰⎰⎰sin(1,2,...)k k C x k l π=为常微分方程()()0X x X x λ''+=满足边界条件(0)0,()0X X l ==的固有函数（或特征函数）而222k lπλ=称为相应的固有值。

2222200:(),()0,:0u u a t x ut u x x tx x l u ϕψ∂∂-=∂∂∂===∂===初值问题，的解是(,)cos sin sin k k k a k a k a u x t A t B t xl l l πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又可以写成(,)cos()sink k k k k u x t N t x lπωθ=+其中,cos sin K K k k K aN lπωθθ===K N 称为波的振幅，K ω称为圆频率，k θ称为波的初位相。

三角正交函数系

三角正交函数系
三角正交函数系是数学中的一种重要的函数系，它是由三角函数组成的一组正交函数。

这个函数系在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

三角正交函数系的定义是：在区间[-π,π]上，对于任意的整数n和m，有以下的正交性质：
∫[-π,π]sin(nx)sin(mx)dx=0，当n≠m时
∫[-π,π]cos(nx)cos(mx)dx=0，当n≠m时
∫[-π,π]sin(nx)cos(mx)dx=0，对于任意的n和m
其中，sin(nx)和cos(nx)分别是正弦函数和余弦函数，它们是三角函数的两种基本形式。

三角正交函数系的一个重要性质是它是完备的，也就是说，任何一个在[-π,π]上的周期函数都可以用三角正交函数系展开成一个无限级数。

这个级数称为傅里叶级数，它的形式为：
f(x)=a0/2+∑(n=1)∞[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]
其中，a0、an和bn是傅里叶系数，它们的计算公式为：
a0=1/π∫[-π,π]f(x)dx
an=1/π∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
bn=1/π∫[-π,π]f(x)sin(nx)dx
三角正交函数系的应用非常广泛，它可以用来解决各种数学问题，如微分方程、偏微分方程、边值问题等。

在物理学中，三角正交函数系也有很多应用，如电磁场的分析、声波的传播等。

在工程领域中，三角正交函数系也被广泛应用于信号处理、图像处理等方面。

三角正交函数系是一种非常重要的函数系，它的应用范围非常广泛。

对于学习数学、物理、工程等领域的人来说，掌握三角正交函数系的基本概念和性质是非常重要的。

电子科技大学《数学物理方程》课后习题答案李明奇版

数学物理方程李明奇主编电子科技大学出版社习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。

试写出定解问题。

解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。

化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。

试写出边界条件。

解：由Fourier 热传导实验定律dSdt n uk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。

可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nu s。

习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。

证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。

由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。

习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。

数学物理方程学习指导书第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程

第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程在第5章中，我们用分离变量法求解了一些定解问题，从5.3可以看出，当我们采用极坐标系以后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程.在那里，由于我们只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程.如果我们不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程，本章我们将通过在柱坐标和球坐标系中对定解问题进行分离变量，引出贝塞尔方程与勒让德方程，由于这两个方程都属施特姆-刘维尔型的，所以在本章我们还要简要地介绍一下施特姆-刘维尔特征理论，这个理论是分离变量法的基础.7．1 贝塞尔方程的引出下面我们以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程，设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律.这个问题可以归结为求解下述定解问题22222220;(7.1)(,);(7.2)0.(7.3)t x y R u u ut x y u x y u ϕ=+=⎧∂∂∂=+⎪∂∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)(),u x y t V x y T t =代入方程(7.1)得2222,V V VT T xy ⎛⎫∂∂'=+ ⎪∂∂⎝⎭或2222(0).V VT x y T Vλλ∂∂+'∂∂==->由此我们得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程()()0,T t T t λ'+= (7.4) 22220.V VV x yλ∂∂++=∂∂ (7.5)从(7.4)得().t T t Ae λ-=方程(7.5)称为亥姆霍兹（Helmhotz ）方程，为了求出这个方程满足条件2220x y R V+== （7.6）的固有值与固有函数，我们引用平面上的极坐系.将方程(7.5)与条件(7.6)写成极坐标形式得22222110,;(7.7)0.(7.8)R V V VV R V ρλρρρρρθ=⎧∂∂∂+++=<⎪∂∂∂⎨⎪=⎩再令 (,)()V R ρθρ=Θ(θ)，代入(7.7)并分离变量可得()()0θμθ'Θ+Θ= （7.9）22''()'()()()0.R R R ρρρρλρμρ++-= (7.10)由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值的，因此()θΘ应该是以π2为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,3,.对应于这些数2,n n μ=有0()θΘ=2a （为常数）， ()n θΘ=cos sin n n a nb n θθ+ (1,2,3,n =).以2n n μ=代入方程(7.10)，并作代换r =，则得222()()()()0.r F r rF r r n F r '''+--= (7.11)其中().F r R =这是一个变系数的线性常微分方程，称为n 阶贝塞尔（Bessel ）方程.原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程(7.11)的固有值与固有函数.贝塞尔方程的解将在下一章讨论.7．2 勒让德方程的引出现在我们对球坐标系中的拉普拉斯方程进行分离变量.在球坐标系中拉普拉斯方程为2222222111sin 0.sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(7.12)令 (,,)()u r R r θϕ=()()θϕΘΦ，代入(5.12)得2222222111sin 0.sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫ΘΦ+Φ+Θ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111sin 0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ΘΦ⎝⎭⎝⎭ 或2222111sin ,sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ΘΦ⎝⎭⎝⎭上式左端只与r 有关，右端只与,θϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能.为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21(1),d dR r n n R dr dr ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(7.13) 22211sin (1).sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫+=-+ ⎪ΘΦ⎝⎭(7.14)将方程(7.13)左端的导数计算出来，即有2222(1)0.d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，这的通解为(1)12(),n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数.以2sin θ乘方程(7.14)的两端得22211sin sin (1)sin 0,d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫+++= ⎪ΘΦ⎝⎭即22211sin sin (1)sin .d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫++=- ⎪ΘΦ⎝⎭此式的左端只与θ有关，而右端只与ϕ有关，因此只有当它们均为常数时才有可能相等，同时由对方程(7.9)的讨论可知，这个常数必须等于2(1,2,3,)m m =，从而得221sin sin (1)sin ,d d n n m d d θθθθθΘ⎛⎫++= ⎪Θ⎝⎭（7.15） 2221.d m d ϕΦ=-Φ (7.16) 由方程(7.16)得12()cos sin .B m B m φϕϕΦ=+至于()θΘ所满足的微分方程可写为221sin (1)0.sin sin d d m n n d d θθθθθΘ⎛⎫-++Θ= ⎪⎝⎭ 把上式第一项中的导数计算出来，并化简得2222(1)0,sin d d m ctg n n d d θθθθ⎡⎤ΘΘ+++-Θ=⎢⎥⎣⎦(7.17) 这个方程称为连带的勒让德(Legendre)方程.如果引用cos x θ=为自变量(11),x -≤≤并将()θΘ改记成()P x ，则(7.17)变成22222(1)2(1)0.1d P dP m x x n n P dx dx x ⎡⎤--++-=⎢⎥-⎣⎦(7.18)若(,,)u r θϕ与ϕ无关，则从(7.16)可知0m =，这时(7.18)简化成222(1)2(1)0.d P dP x x n n P dx dx--++= (7.19)方程(7.19)称为勒让德方程，因此定解问题的解决也归结为求勒让德方程的固有值与固有函数.这个方程的解将在下一章讨论.7．3 施特姆-刘维尔理论简述前面两节我们已从不同的物理模型引出了两个特殊类型的微分方程（当然从其他的物理模型还可引出其他一些特殊方程），一些定解问题的解决都归结为求这两个方程的固有值与固有函数.本节我们就更一般的微分方程()()()0(),d dy k x q x y x y a x b dx dx λρ⎡⎤-+=<<⎢⎥⎣⎦(7.20)阐述固有值问题的一些结论，不难看出，方程(7.11)、(7.18)、(7.19)都是这个方程的特例.事实上，若取2(),(),(),0,,n k x x q x x x a b R xρ=====则(7.20)就变成贝塞尔方程 20;d dy n x y xy dx dx x λ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦若取2()1,()0,()1,1,1,k x x q x x a b ρ=-===-=则方程(7.20)就成为勒让德方程2(1)0;d dy x y dx dx λ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ 若取222()1,(),()1,1,1,1m k x x q x x a b x ρ=-===-=-则方程(7.20)就变成连带的勒让德方程222(1)0.1d dy m x y y dx dx x λ⎡⎤--+=⎢⎥-⎣⎦方程(7.20)称为施特姆-刘维尔（Sturm-Liouville ）型方程（任一个二阶线性常微分方程012'''p y p y p y ly ++=乘以适当函数后总可以化成这种形式）.本节所要叙述的施特姆-刘维尔理论，就是有关方程(7.20)的固有值问题的一些结论.为了论述方程(7.20)的固有值问题，我们对方程(7.20)中函数()k x 及()q x 作一些假定.设函数()k x 及其导数在闭区间[,]a b 上均连续，当a x b <≤时()0k x >，而()0;()k a q x =或者在闭区间[,]a b 上连续，或者在开区间(,)a b 内连续而在区间的端点处有一阶极点（贝塞尔方程、勒让德方程及连带的勒让德方程中的系数都满足这些条件），在这些条件下，方程(7.20)的固有值问题的提法为：求此方程满足条件()0;()y b y a =<∞*）*）这样的边界条件称为自然边界条件，在§2.3中已经遇到过这样的条件，如果k(b)=0，则在这点亦应将条件y(b)=0换成自然边界条件y(b)＜0换成自然边界条件y(b)＜∞，如果在a,b 两点k(x)都为零，则在这的非零解（固有函数）及对应于非零解的λ值（固有值）.关于这个固有值问题有以下几点结论：1、存在无穷多个实的固有值，它们构成一个递增数列，即1231n n λλλλλ+≤≤≤≤≤对应于这无穷多个固有值有无穷多个固有函数123(),(),(),y x y x yx2、当()0q x ≥时，所有固有值均不为负，即(1,2,3,)n n λ≥=3、设m n λλ≠是任意两个不相同的固有值，对应于这两个固有值的固有函数记为()m y x 与()n y x ，则()()()0.bm n ax y x y x dx ρ=⎰这个结论可以表述为：对应于不同固有值的固有函数在区间[,]a b 上以权函数()x ρ互相正交.4、固有函数123(),(),(),,(),n y x y x y x y x 在区间[,]a b 上构成一个完备系.即任意一个具有一阶连续导数及分段连续二阶导数的函数()f x ，只要它满足固有值问题中的边界条件，则它一定可以按固有函数系}{()n y x 展开为绝对一致收敛的级数1()(),n n n f x f y x ∞==∑其中2()()()()()bn anbnax f x y x dxf x y x dxρρ=⎰⎰结论1与4的证明超出了本书的范围，需要用到积分方程的理论，结论2与3的证明并不困难，下面我们仅给出结论3的证明，这个证明的方法具有启发性，凡是要证明某一特定的固有函数系的正交性都可采用这个方法.下面我们就来证明当m n λλ≠时，下列关系()()()0bm n ax y x y x dx ρ=⎰(7.21)成立.证因为固有函数()m y x 与()n y x 分别是方程(7.20)当m λλ=与n λλ=时的非零解，两点均应提自然边界条件.所以有()()()()()()0,m m m m dy x d k x q x y x x y x dx dx λρ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ (7.22) ()()()()()()0.n n n n dy x d k x q x y x x y x dx dx λρ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦(7.23) 以()n y x 乘（7 .22）减去()m y x 乘（7.23）得()()()()()()m n n m dy x dy x d d y x k x y x k x dx dx dx dx ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()0.m n m n x y x y x λλρ+-=对这个等式从a 到b 对x 积分得()()0()()()()bb m n n m aa dy x dy x d d y x k x dx y x k x dx dx dx dx dx ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰()()()()()()bm nn m ady x dy x k x y x k x y x dx dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()()()()()bb m n n m a a dy x dy x dy x dy x k x dx k x dxdx dx dx dx-+⎰⎰()()()()bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰()()()()()m m n m dy x dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()()()()m n n m dy a dy a k a y a y a dx dx ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()()()(),bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰ (7,24)此处符号()n dy a dx 表示()n dy x dx在x a =处的值，其余类似.(7.24)式右端前两项的值可以分几种情况来讨论：(i)在端点b 加有第一类边界条件()0,y b =这时有()()0,m n y b y b ==从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(ii)在端点b 加有第二类边界条件()0,dy b dx= 这时有()()0,m n dy b dy b dx dx==从而 ()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(iii)在端点b 加有第三类边界条件，()()0,dy b y b hdx+= 这时有()()0,()()0.m m nndy b y b h dxdy b y b h dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由这两式可得()()()()0,m n n m dy b dy b y b y b dx dx-= 从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(iv) 在端点b 加有自然边界条件(),y b <∞这时必有()0,k b =从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦综合上述，不论在b 点加哪一种边界条件，(7.24)右端第一项总是等于零.同理，对端点a 也有()()()()()0.m n n m dy a dy a k a y a y a dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦因此，最后可得()()()()0.bm n m n ax y x y x dx λλρ-=⎰但m n λλ≠，所以()()()0.bm n ax y x y x dx ρ=⎰正交性得到了证明.上面四个结论是分离变量法的理论基础，在第二章我们用分离变量法求解定解问题时，已经假定定解问题的解能够展成固有函数的级数，至于为什么能这样展开，当时没有说明，现在利用固有函数系的完备性就足以说明以前的有关运算是允许的.下面两章还要用到这里所讲的结论.习题七1、在平面极坐标系中将二维波动方程2222222u u u a t xy ⎛⎫∂∂∂=+ ⎪∂∂∂⎝⎭ 进行分离变量，写出各常微分方程.2、在球坐标系中，将三维波动方程222222222u u u u a t xy z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 进行分离变量，写出各常微分方程.3、在柱面坐标系中，将三维拉普拉斯方程进行分离变量，写出各常微分方程.。

函数的正交系 数学物理方程

正交函数系统的性质与构造

数学物理方程

正交性定理

数学物理方程 2-3章课后部分习题答案 李明奇主编 电子科技大学出版社

数学物理方程2-3章课后部分习题答案

数学物理方程公式总结

“数学物理方程”课程教学大纲

三角函数的正交性

正交函数及其在物理学和工程中的应用

数学物理方法知识点归纳

三角级数正交函数系

数学物理方程第二版谷超豪主编的课本的课后答案

三角正交函数系

电子科技大学《数学物理方程》课后习题答案 李明奇版

数学物理方程学习指导书第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程

函数的正交系数学物理方程

数学物理方程 2-3章课后部分习题答案李明奇主编电子科技大学出版社

电子科技大学《数学物理方程》课后习题答案李明奇版