高考高三数学总复习教案：独立性及二项分布

第十一章计数原理、随机变量及分布列第５课时独立性及二项分布（对应学生用书（理）１7４～

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考情分析考点新知

相互独立事件，n次独立重复试验，二项

分布是高考的一个重要考点．相互独立事

件因其重要性，成为高考常考内容之一．

１了解两个事件相互独立的概念，会求独立事件

的概率．

２理解二项分布X～B（n，p）的特点，会计算

n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概

率，并能解决一些简单的实际问题.

１．（选修２３P５9练习２改编）省工商局于３月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙３人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝２瓶．则甲喝２瓶合格的x饮料的概率是________．

答案：0．6４

解析：记“第一瓶x饮料合格”为事件A１，“第二瓶x饮料合格”为事件A２，A１与A２是相互独立事件，“甲喝２瓶x饮料都合格就是事件A１、A２同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得P（A１·A ２

）＝P（A１）·P（A２）＝0．8×0．8＝0．6４．

２．（选修２３P6３练习２改编）某人射击一次击中目标的概率为0．6，经过３次射击，此人恰有两次击中目标的概率为________．

答案：错误!

解析：本题符合独立重复试验，是二项分布问题，所以此人恰有两次击中目标的概率为C错误!（0．6）

２·（１—0．6）＝错误!.

３．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占２0%，乙市占１8%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为________．答案：0．0３6

解析：设甲市下雨为事件A，乙市下雨为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）＝0．２，P（B）＝0．１8，则P（AB）＝P（A）P（B）＝0．２×0．１8＝0．0３6．

４．（选修２３P6３练习２改编）某单位组织４个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界３个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则３个景区都有部门选择的概率是________．

答案：错误!

解析：某单位的４个部门选择３个景区可能出现的结果数为３４.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.３个景区都有部门选择可能出现的结果数为C错误!·３！（从４个部门中任选２个作为１组，另外２个部门各作为１组，共３组，共有C错误!＝6种分法，每组选择不同的景区，共有３！种选法），记“３个景区都有部门选择”为事件A１，那么事件A１的概率为P（A１）＝错误!＝错误!.

５．在４次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生１次的概率是错误!，则事件A 在一次试验中出现的概率是________．

答案：错误!

解析：设A发生概率为P，１—（１—P）４＝错误!，P＝错误!.

１．相互独立事件

（１）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B相互独立．

（２）若A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）．

（３）若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．

（４）若P（AB）＝P（A）P（B），则A、B

相互独立．

２．二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P（X＝k）＝C错误!p k q n—k，其中k＝0，１，２，３，…，n，q＝１—p.于是得到随机变量X的概率分布如下：

X0１…k…n

P

C错误!

p0q n C错误!p１

q n—１

…C错误!p k q n—k…

C错误!

p n q0

由于C错误!p k q n—k恰好是二项展开式（p＋q）n＝C错误!p0q n＋C错误!p１q n—１＋…＋C错误!p k q n—k ＋…＋C错误!p n q0中的第k＋１项（k＝0，１，２，…，n）中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B（n，p）．

３．“互斥”与“相互独立”的区别与联系

相同点不同点

都是描绘两个事件间的关系１“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一事件发生没有影响．

２“互斥”的两个事件可以“独立”，“独立”的两个事件也

可“互斥”

题型１相互独立事件

例１A高校自主招生设置了先后三道程序：部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试．在每道

程序中，设置三个成绩等级：优、良、中．若考生在某道程序中获得“中”，则该考生在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序．考生只有全部通过三道程序，自主招生考试才算通过．某中学学生甲参加A 高校自主招生考试，已知该生在每道程序中通过的概率均为错误!，每道程序中得优、良、中的概率分别为p １、错误!、p ２.

（１） 求学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率； （２） 设ξ为学生甲在三道程序中获优的次数，求ξ的分布列．

解：由题意，得

11

2

13,241,2

p p p 解得p １＝p ２＝错误!.

（１） 设事件A 为学生甲不能通过A 高校自主招生考试，则P （A ）＝错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!.

答：学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率为错误!. （２） 由题意知：ξ＝0，１，２，３．

P （ξ＝0）＝错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!，

P （ξ＝２）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!，

P （ξ＝３）＝错误!×错误!×错误!＝错误!，

∵错误!P （ξ＝i ）＝１，∴P （ξ＝１）＝１—P （ξ＝0）—P （ξ＝２）—P （ξ＝３）＝错误!. 故ξ的分布列为

错误!