(完整版)克拉默法则教案
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
§7 克拉默法则
D1 x= = 1, D
D3 D2 = 1. y= = 2, z= D D三、重要定理
定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的. 定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.
四、齐次线性方程组的相关定理
齐次线性方程组
解
0 1 2 − 1 1 c1 − 2c3 0 13 − 3 − 5 D= 3 2 −5 c2 + c3 5 1 −2 1 3 −2
=
13 − 3 5 1
= 28 ≠ 0
2 0 1 0 −1 1 D1 = 1 2 − 5 = 13 , D2 = 3 1 − 5 = 47 , 1 4 −2 4 3 −2 2 −1 0 D3 = 3 2 1 = 21 , 1 3 4
(1)
a11 a12 a1 n 记其系数行列式为 D = a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn
当系数行列式 D≠0 时 , 线性方程组 (1) 有解，并 且解是唯一的，解可以表为
D1 D2 D3 Dn x1 = , x2 = , x3 = , , x n = . D D D D
若一组不全为0的数是 (2) 的解，称为齐次线性 方程组的非零解.
齐次线性方程组的相关定理 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D ≠ 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解.
定理4 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它 的系数行列式必为零.
例3 问 λ 取何值时，齐次方程组
(1 − λ ) x1 − 2 x2 + 4 x3 = 0, 2 x1 + (3 − λ ) x2 + x3 = 0, x + x + (1 − λ ) x = 0, 1 2 3
高等代数2.7 克拉默(Cramer)法则
an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
b1 b2 bn
(1)
若常数项 b1,b2 ,,bn 不全为零，则称（1）为
非齐次线性方程组．
简记为
n
aij x j bi ,
j1
i 1,2,,n.
j1
二、克拉默法则
如果线性方程组（1）的系数矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 an2
a2n ann
的行列式 D | A | 0 ，则方程组(１)有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,,
xn
Dn D
其中 Dj ( j 1,2,, n) 是把行列式 D 中第 j 列 的元素用方程组（1）的常数项 b1,b2 ,,bn 代换 所得的一个 n 阶行列式，即
若常数项 b1 b2 bn 0, 即
a11 x1 a21 x1 an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
0 0
0
(2)
则称（2）为齐次线性方程组．
n
简记为
aij x j 0, i 1, 2,, n.
4 5
142 0
3 1 2 11
5111
D1
2 2
2 3
1 1
克拉默法则(修改稿)
B1 B2 B3 B4 xij≥0
A1 x11 A2 x21 A3 x31 3
x12 x22 x32 6
x13 x23 x33 5
x14 7 x24 4 x34 9 6
minZ=3x11+11x12+3x13+10x14+x21+9x22+2x23+8x24 +7x31+4x32+10x33+5x34
D3=
3 1 0 0 0
3
2 3 1 0 0
2
1 0 0 0 1
0
0 0 2 3 1 0 2 3 1
0 0 0 =33 2 3 0 0 0 1
3 1 D4= 0 0 0
0 1
=32
=-33
1 D5= 0 0 0
3 1 0 0
2 3 1 0
D1 47 D2 39 13 x1 x2 D 63 D 63 21 D 32 D 33 11 x4 4 x5 5 D 63 21 D 63
则称线性方程组为
将线性方程组 系数组成的行 列式记为D，即
x1-2x2+2x3=1
a11 D a21 an1
a12 a1n
齐次线性方程组 (方程 组2）
a22 a2 n an 2 ann
？1、系数行列式D的元素位置如何确定?
2、如果方程组中某个方程比别的方程少了未知数 的系数，那么对应的系数是多少?（例1）
0X1+ x2+3x3 +2x4+0x5=0
0X1+0x2+ x3 + 3x4+2x5=0 0X1+0x2+ 0x3 + x4+3x5=1 -7 -6 0 1 3 2 0 0
(完整版)克拉默法则教案
克拉默法则教学目标1.线性方程的相关概念2.克拉默法则 教学重点克拉默法则及其应用 教学难点克拉默法则的证明 教学方法讲授法 教学过程一、导入前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。
在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。
二、新课n 个未知量n 个方程的线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++12211222212111212111nn nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=称为方程组(1)的系数行列式。
定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为：()2.,,,2211DD x D Dx D D x n n =⋯==其中j D ),,2,1(n j =是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项n b b b ,,,21 而得的n 阶行列式。
说明：定理中包含三个结论（1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1.把DD D D D D n ,,,21⋯代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。
证明：（一）证明(2)是(1)的解，即i n in i i b DD a D Da D D a =+++ 2211),,2,1(n i = 或02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i = 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式 nnn n nn nini i i a a a b a a a b a a a b a a a b D 21222212112111210= ),,2,1(n i =. 把0D 按第一行展开，得nn n in i i i i D a D a D a D a D b D 11132413213121211110)1()1()1()1()1()1()1()1(-++++++--++--+--+-+-=.2211n in i i i D a D a D a D b ----=在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i =即(2)是(1)的解。
克拉默法则
7 − 5 13 = − 2 −1 2 7 − 7 12
−3 −5 3 c1 + 2c2 − 0 −1 0 c3 + 2c2 −7 −7 −2
−3 3 = = 27 ≠ 0, 7 −2
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8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = = 81, − 5 2 −1 2 0 4 −7 6
= (−1)
j +2
(−1)
j −1
Dj = −Dj ,
所以有
即
0 = bi D − ai1 D1 −L− ainDn ,
Dn D1 D2 ai1 + ai 2 + L+ ain = bi , (i = 1,2,L, n). D D D
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例12
解线性方程组
1 + x2 − 5x3 + x4 = 8, x − 3x − 6x = 9, 1 2 4 2x2 − x3 + 2x4 = −5, x1 + 4x2 − 7 x3 + 6x4 = 0.
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对于齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = 0, a x + a x + L+ a x = 0, 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLL, an1 x1 + an2 x2 + L+ ann xn = 0,
(11)
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解。称为齐次方程组 一定是它的解。 (11) 的零解。 零解。 如果一组不全为零的数是(11)的解，则叫做齐次 的解， 如果一组不全为零的数是 的解 方程组的非零解。 方程组的非零解。 方程组(11) 一定有零解，但不一定有非零解。 一定有零解，但不一定有非零解。 方程组
4.克拉默法则
a12 a22 an2
a1n a2n ann
三、重要定理
定理1 若线性方程组(1) 的系数行列式D≠0, 则(1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 若线性方程组 (1) 无解或解不唯一， 则它的系数行列式必为零. 定理3 若齐次线性方程组(2) 的系数行列式 D≠0， 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理4 若齐次线性方程组（2）有非零解， 则它的系数行列式必为零.
b1 A1 j b2 A2 j bn Anj
证
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj 依次乘方程组 1的n个方程 , 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
*
当 D 0 时,方程组
*有唯一的一个解
Dn D1 D2 x1 , x2 , , xn . D D D 由于方程组 (*) 与方程组(1)等价, 故 Dn D1 D2 x1 , x2 , , xn . D D D
再把 n 个方程依次相加，得
n n n x1 x2 xn a A a A a A k 1 kj k 2 kj kn kj k 1 k 1 k 1
bk Akj ,
k 1
思考 n个方程n个未知数的线性方程组的求解问题
1.4 克莱姆法则
11
11
0 0 1
(1 )2 ( 2)
当 D 0 时，即 1 或 2 时，
此方程组有非零解。
13
例5 试问当λ为何值时，齐次线性方程组
( 3)x1 x2 0 4x1 ( 1)x2 0 4x1 8x2 ( 2)x3 0
r2 r3 0 5 0 6 5 0 6
r3 r4
0 1 2 11 0 3 22
r4 2r1
0 3 3 11
73
x1
73 139
27
3、用克莱姆法则求解方程组
x1 x2 x3 x4 5 解
15 1 1
x1 2x2 x3 x4 2x1 3x2 x3 5
cay
abz
3abc
解 111 1 1
D a b c 0 ba
bc ca ab 0 c(a b)
1 ca b(a c)
1 (a b)(c a)
1 (a b)(b c)(c a)
c b
21
2、用克莱姆法则求解方程组
111
x yz abc
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 D2 a12 D a22 D 0
这样求解二元一次方程组归结为求三个二阶行列式
的值。同样用此方法可解n元一次方程组。
3
定理1（克莱姆法则） 见教材P37
当含有 n 个方程，n 个未知数的线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
1 5 1 3 1 6 0 2
解.
第六节 克拉默法则
四、应用举例
例 2 问 取何值时, 齐次线性方程组
(5 ) x 2 y 2 z 0 0 2 x (6 ) y 2 x (4 ) z 0
有非零解？ 解
由定理2′可知：若齐次线性方程组有非零解,
则其系数行列式 D = 0 . 而
(5)(2)(8)
所以当 = 2、5 或 8 时, 方程组有非零解.
例3
设曲线 y =a0 + a1x + a2x2 + a3x3 通过四点
(1, 3) 、 (2, 4) 、 (3, 3)、 (4, -3), 求系数a0 , a1 , a2 ,
a3 。
解
把四个点的坐标代入曲线方程, 得线性方程组
线性方程的方程组
a11 x1 a12 x2 +a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 +a2 n xn b2 an1 x1 an2 x2 +ann xn bn
(1)
aij称为线性方程组的系数, bi 称为线性方程组的 常数项。
111212122212nnnnnnaaaaaadaaa???????111axax122112112222211221nnnnnnnnnnaxaxaxaxbbaxaxaxb?????????克拉默法则的系数行列式不等于零一克拉默cramer法则如果线性方程组即111axax122112112222211221nnnnnnnnnnaxaxaxaxbbaxaxaxb?????????则方程组有唯一的解ddx11ddx?22ddxnn1112121222120nnnnnnaaaaaadaaa???????nnnjnnjnnjjjaabaaaabaad?????????11111111111??其中djj12
线性代数课件1-7克拉默法则
克拉默法则也可以用来判断线性方程 组的解的情况，通过计算系数行列式 和常数项的乘积，可以判断方程组是 否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有 唯一解；如果系数行列式为零但常数 项的乘积不为零，则方程组无解；如 果系数行列式为零且常数项的乘积为 零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求 解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法， 用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后 通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设 的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与 限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程 组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克 拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方 程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩 阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于 系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可 以得到线性方程组的解。
克拉默法则
则 即
A1 ( AX ) A1b
X A1b
故 A 1b 是方程组（9）的唯一解向量． | An | | A1 | | A2 | 1 , , , 最后证明 A b 的n个分量就是： | A| | A| | A| 1 1 1 1 Ab 由逆阵公式 A A ，有 x A b | A| | A| A11 A21 An1 b1 x1 x2 A12 A22 An2 b2 1 即 | A | xn A1n A2 n Ann bn
证明 把方程组（9）写成矩阵方程
Ax b
因 | A | 0 ，故 A 1存在.
1
（ 9）
代入（9）中有 首先证明（9）有解： 将 A b ，
A( A b) ( AA )b bБайду номын сангаас
故 A 1b 是（9）的解. 再证明（9）的解是唯一的： 设 X 是（9）的任意一个解，有
1
1
AX b
| A1 | 1 | A2 | | A| | An |
b1
a12 a1n
b2 a22 a2 n | A1 | bn an2 ann
例16 用克拉默法则解方程组
x1 x2 x3 2 2 x1 x2 3 x3 1 3 x 2 x 5 x 0 1 2 3
即有 x1 5, x2 0, x3 3
二、小结
克拉默法则 注：用克拉默法则求解方程组时要注意两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
三、作业
P.54. 15
| A3 | 9 | A2 | 0 | A1 | 15 3, 0, x3 x1 5, x2 | A| 3 | A| 3 | A| 3
克拉默法则
a a b a a 11
1,j1
1
1,j1
1n
Dj
a a b a a n1
n,j1
n
n,j1
nn
3
例1 用克拉默则解方程组
2x1x25x3x4 8,
x13x26x4 9, 2x2x32x4 5,
x14x27x36x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r12r2 1 3 0 6
x 作为 的多项式，是几次多项式？
分析：根据行列式定义，是取自不同行不同列元素乘 积的代数和，所以化简后可知其最高次数是一次。
21
思考：方程
x2 x1 x2 x3
fx2x2 2x1 2x2 2x3 0
3x3 3x2 4x5 3x5 4x 4x3 5x7 4x3
有几个根？
分析：问方程有几个根，也就是问左边代数式是 几次多项式。2 个。
则该行列式可拆成两个行列式.
●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变.
13
2
n
D ij,
展
●行展开
aikAjk
k1
0
i j.
开
n
D i j,
●列展开
akiAkj
k1
0
i j.
●定义法
●递推法
●加边法
计
●数学归纳法
算
●公式法
●拆项法
应
●克拉默法则
用
●齐次线性方程组有非零解的充要条件
14
3
二、主要定理
( i= 1,2,…,n ). ( j= 1,2,…,n ).
( i ≠ j ).
( j ≠ k ).
6.克拉默法则
此时称方程组为齐次线性方程组。
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 齐次线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
利用矩阵的乘法，则线性方程组可以表 示为矩阵形式 ：
Ax b
其中， A 称为方程组的系数矩阵，
Ax b 称为矩阵方程．
解线性方程组，就可以通过对矩阵运算而得！
在初等代数里面，用消元法求解于二元线性方程 组（如果方程组有解）:
a11 x1 a12 x 2 b1 a 21 x1 a 22 x 2 b2
D4 D
72 72
72 72
1
144 72
1
思考题:
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉 默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
解答: 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 练习：教材44页，22(1)、23、24
2 1 0 1
1 3 2 4
5 0 1 7
8 9 5 0
27
所以 x1
A1 A
81 27
3, x2
4, x3 1, x4 1.
注: 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。
2. 理论意义：给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。
a12 a 22 an2 a1n a2n a nn
记
a11 a 21 A a n1
x1 x2 x x n
b1 b2 b b n
本_第5讲_克拉默法则 矩阵运算1
第20页
矩阵的乘法
A的第i行与B 的第j列相乘
设A(aij)是一个ms矩阵 B(bij)是一个sn矩阵 规定A与 B的乘积是一个mn矩阵C(cij) 其中
x2
a 11 b 2 b1 a 21 . a 11 a 22 a 12 a 21
系数行列式
a 11 a 21 a 11 a 21
b1 b2 a 12 a 22
第3页
克拉默法则
对于 n 个变量、 n 个方程的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 如果它的系数行列式 D 0 ，则该方程组有唯一解 Dj xj , j 1, 2,, n D 其中 D j （ j 1, 2,, n ）是将行列式 D 中第 j 列的元素换成 方程组右端的常数项所得到的 n 阶行列式，即 a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n Dj an1 an , j 1 bn an , j 1 ann
A B aij bij
1 0 2 7 例 设A 0 0 ，B 1 8 ，且3 X 2 A 3B 2 X , 求X . 0 1 2 8
解 由 3 X 2 A 3B 2 X 得X 3B 2 A， 代入数值得
主要适用于理论推导.
第9页
第二章 矩阵及其运算
矩阵的概念 矩阵的运算 逆矩阵
矩阵分块法
第10页
一、矩阵的概念
克拉默法则1-3
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = − 5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
解
2 1 −5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 1 4 −7 6
则称此方程组为非 若常数项 b1 , b2 ,⋯, bn不全为零 , 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 齐次线性方程组 若常数项 b1 , b2 ,⋯, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组 此时称方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 a x + a x + ⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n = bn
r1 − 2r2 r4 − r2
0 7 − 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 − 7 12
7 − 5 13 = −2 −1 2 7 − 7 12
c1 + 2c2
c3 + 2c2
−3 −5 3 − 0 −1 0 −7 −7 −2
−3 3 = = 27, −7 −2
8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = − 5 2 −1 2 0 4 −7 6 = 81,
3 2
齐次方程组有非零解， 齐次方程组有非零解，则 D = 0 时齐次方程组有非零解. 所以 λ = 0 , λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解
克拉默法则教案范文
克拉默法则教案范文克拉默法则是一种用于解线性方程组的方法，它也被称为克拉默公式。
通过克拉默法则，我们可以求出未知数的值，而无需对方程组进行消元或使用矩阵求逆的方法。
克拉默法则非常适用于小规模的线性方程组，因为其计算方法相对容易理解和操作。
以下是一个克拉默法则的教案，是为一个高中数学课程设计的。
该教案旨在帮助学生理解和运用克拉默法则来解决线性方程组。
时间：1节课（45分钟）教学目标：1.理解和掌握克拉默法则的概念及应用；2.能够使用克拉默法则解决简单的线性方程组；3.能够分析并评估使用克拉默法则的优缺点。
教学资源：1.黑板和白板笔；2.幻灯片或教学软件。
教学步骤：步骤1：导入（5分钟）教师通过回顾之前的内容，提问学生对线性方程组的解法是否还记得，引出新的解法，克拉默法则。
步骤2：概念讲解（10分钟）教师通过讲解克拉默法则的概念和基本原理，向学生介绍其计算步骤：1.对于一个包含n个未知数的线性方程组，使用克拉默法则时，需要计算n+1个行列式；2.每个行列式的元素是方程组中的系数，除了当前行对应的未知数的系数，其他位置都是不变的；3.计算每个行列式的值，然后将其依次除以一个参照行列式的值，即可得到各个未知数的值。
步骤3：示例演练（15分钟）教师以一个简单的线性方程组为例，通过克拉默法则进行计算，强调每个步骤的重要性和具体操作方法。
教师需要与学生一起完成计算，以便学生能够更好地理解和掌握克拉默法则的应用。
步骤4：练习（10分钟）教师提供几个简单的线性方程组问题，要求学生使用克拉默法则解答。
教师可以组织学生进行小组讨论，鼓励学生互相交流和合作。
教师需要在练习过程中进行指导和引导，确保学生正确地运用克拉默法则。
步骤5：讨论和总结（5分钟）教师组织学生对使用克拉默法则解决线性方程组的优缺点进行讨论，并总结出以下结论：1.克拉默法则适用于小规模的线性方程组，因为它的计算步骤较复杂且计算量相对较大；2.克拉默法则更适用于教学和理论研究，而不太适用于实际问题的解决，因为它在实践中的运用存在时间和计算资源的限制。
基于探究性学习的克拉默法则信息化教学设计
193科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION科 技 教 育DOI：10.16661/ki.1672-3791.2018.18.193基于探究性学习的克拉默法则信息化教学设计①罗德仁 苏利娟(湖南理工学院数学学院 湖南岳阳 414006)摘 要：利用信息化教学手段能在课时量少、班级人数多的情况下提供高教学效率，基于自主探究学习能提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
克拉默法则是线性代数课程中一个非常重要的内容，文章基于探究性学习方法在信息化教学环境下对线性代数克拉默法则章节进行教学设计，旨在培养学生合作、沟通、批判和创造的学习能力。
关键词：信息化教学手段 探究性学习 线性代数教学设计中图分类号：G434 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2018)06(c)-0193-02①基金项目：湖南理工学院教研教改项目“新工科”背景下线性代数信息化课程建设的探索与实践(项目编号：2018A30)。
作者简介：罗德仁（1987，7—），男，汉族，湖南南县人，博士，讲师，研究方向：代数表示论。
苏利娟（1985，9—），女，汉族，湖南浏阳人，硕士，教师，研究方向：经济学。
1 知识结构克拉默法则，克拉默法则的逆否命题及其在齐次线性方程组上的应用，代数学基本定理。
2 主要教学目标（1）知识与技能：掌握克拉默法则的条件及结论，会用克拉默法则求解线性方程组；理解克拉默法则的逆否命题及在齐次线性方程组上的应用；了解代数基本定理的证明。
（2）过程与方法：通过二元线性方程组的行列式解法引入克拉默法则，培养学生归纳、合情推理、推广能力；通过克拉默法则的逆否命题及在齐次线性方程组上的应用，培养学生数学逻辑思维能力；通过代数基本定理的探究，培养学生探索性研究能力。
（3）情感与价值：引导学生从已有知识与体验出发，激发学生对数学问题的兴趣。
通过经典阅读、拓展研究、问题思考等环节，提高学生对概念的正确认识，感受知识的形成过程, 激发创新潜能。
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克拉默法则
教学目标
1.线性方程的相关概念
2.克拉默法则 教学重点
克拉默法则及其应用 教学难点
克拉默法则的证明 教学方法
讲授法 教学过程
一、导入
前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。
在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。
二、新课
n 个未知量n 个方程的线性方程组
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++12211222212111212111n
n nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式
nn
n n n
n
a a a a a a a a a D
21
22221112
11
=
称为方程组(1)的系数行列式。
定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为：
()2.,,,2211D
D x D D
x D D x n n =⋯==
其中j D ),,2,1(n j =是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项
n b b b ,,,21 而得的n 阶行列式。
说明：定理中包含三个结论
（1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出
这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：
1.把
D
D D D D D n ,,,2
1⋯代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。
证明：
（一）证明(2)是(1)的解，即
i n in i i b D
D a D D
a D D a =+++ 2211
),,2,1(n i = 或02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i = 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式 nn
n n n
n n
in
i i i a a a b a a a b a a a b a a a b D 21222212
112111
210= ),,2,1(n i =. 把0D 按第一行展开，得
n
n n in i i i i D a D a D a D a D b D 1
1
132413213121211110)
1()
1()1()1()1()1()1()1(-++++++--++--+--+-+-=
.2211n in i i i D a D a D a D b ----=
在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此
02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i =
即(2)是(1)的解。
（二）证(2)是(1)的唯一解.
设i i c x =),,2,1(n i =是(1)的一个解，即
i n in i i b c a c a c a =+++ 2211 ).,,2,1(n i =
因为
nn
j
nj n n
j j n j
j j a c a a a c a a a c a a D c 122211111=
)
列(1112221212111111111j a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a a nn
n
nn j nj n n n n n j j n n n j j
++++++++++++=
）
（列).
,,2,1(.
1
2221
1111j n j D a b a a b a a b a j nn
n n n
n ===
∴).,,2,1(n j D
D c j j ==
即(2)是(1)的唯一解。
注意：克拉默法则所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论。
例：解线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧*=+-+-=+-=--=+-+)(0
67452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x
解：方程组)(*的系数行列式
.0276
7
4
1
2120603
11512≠=-----=
D
由克拉默法则知方程组)(*有唯一解。
又因为
,816
74
02125603915181=------=
D ,1086701215
0609115822-=-----=
D
,276
41
2520693118123-=---=
D .2707
4
1
5
120903
185124=-----=D 所以方程组)(*的解是：
31=x ，42-=x ，13-=x ，.14=x
三、小结
在第一章第四节给出的二元与三元线性方程组的求解公式就是克拉默法则的特例。
克拉默法则的重要意义是在于它给出了线性方程组有解的一个充分条件，并且给出了解的表达式。
不过这个求解公式的理论价值大于实用价值，因为克拉默法则进行计算是不方便的，按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 阶行列式，这个计算量很大。
在下一章我们将学习线性方程组的另一种求解方法——消去法。
四、作业
P138—习题1（1）（4）.。