实验四空间几何图形的描绘

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实验.四二维图形的基本几何变换

实验报告学院:计算机学号:姓名:实验四二维图形的基本几何变换一、实验目的1．掌握二维图形基本的几何变换原理及变换矩阵； 2．掌握矩阵运算的程序设计。

二、实验内容实现二维图形的基本变换，包括平移、旋转、比例、对称变换。

三、实验环境硬件平台:PC运行环境: Windows 平台，Visual C++四、算法描述二维图形齐次坐标变换矩阵一般表达式 T = 这 3×3 矩阵中各元素功能一共可分成四块，即a 、b 、c 、d 四项用于图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换； k 、m 用于图形的平移变换；p 、q 用于图形的透视变换； s 用于图形的全比例变换。

平移变换旋转变化放缩变换五、实验过程5.1打开Visualc++6.0程序5.2新建一个C++项目⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡s m kq dc p b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''1),(110010011y x t t T y x t t y x y x y x 记为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''1)(11000cos sin 0sin cos 1y x R y x y x θθθθθ记为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''1),(11000001y x s s S y x s s y x y x y x记为5.3单击完成，双击源文件里的二维图形几何变换View.cpp,出现下图5.5找到其中的OnDraw函数，并将其改成如下，使其实现了一条直线的平移。

void C二维图形几何变换View::OnDraw(CDC* pDC){C二维图形几何变换Doc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);if (!pDoc)return;// TODO: 在此处为本机数据添加绘制代码int a[3][3];int i,j;for(i=0;i<3;i++)for(j=0;j<3;j++)a[i][j]=0;for(i=0;i<3;i++)a[i][i]=1;int x0=80,x1=350,y0=120,y1=120;pDC->MoveTo(x1,y1);E:\c++6.0安装\MSDev98\MyProjects\pDC->LineTo(x0,y0);a[2][0]=80;//使直线在行方向上平移了80个单位a[2][1]=50;//使直线在列方向上平移了50个单位x0=x0*a[0][0]+y0*a[1][0]+a[2][0];y0=x0*a[0][1]+y0*a[1][1]+a[2][1];x1=x1*a[0][0]+y1*a[1][0]+a[2][0];y1=x1*a[0][1]+y1*a[1][1]+a[2][1];pDC->MoveTo(x1,y1);pDC->LineTo(x0,y0);}5.6单击运行程序并有如下结果5.7找到其中的OnDraw函数，并将其改成如下，使其实现了一条直线的平移和缩放。

空间几何和结构特征以及三视图和直观图(1)

（3）长方体是正四棱柱
2、棱锥：底面任意多边形；侧面都是有一个公共点的三角形
V Sh；(h为体高)
正棱锥：底面正多边形； 3
顶点在底面射影为底面中心的棱锥
S侧
1 2
Ch'; (h'为斜高)
正2四021/4面/10 体：各条棱都相等的正三棱锥
2
A
F
S 所有棱长都相等的空间四边形结论
E 设棱长为1
【答案】 C
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2.(2009·广州模拟)如图所示的图形是由若干个小正方体所叠
成的几何体的侧视图与俯视图，其中俯视图的小正方形中
的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方体的个数，
则这个几何体的正视图是
()
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解析：从俯视图可看出，该几何体从右到左能分别看到3、 2、1块小正方体. 答案：A
27
【解】 ①两组相对侧面分别平行 ②一组相对侧面平行且全等 ③对角线交于一点且互相平分 ④底面是平行四边形. 任选两个即可.
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1.设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行
六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
轴截面是等腰梯形
S侧 (R r)l; (l为母线长 )
V h (S ' S S 'S ) h (R2 r 2 Rr)
3
3
7、球：由圆或半圆绕直径旋转得到。即
截面都是圆；过球心的圆最大叫球大圆
时（1）
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空间几何

俯视图：光线从几何体的上面向下面的正投影，得到的投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图。
三视图:正视图、侧视图和俯视图统称为三视图。
一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下面。
一般地，侧视图和正视图的高度一样，正视图和俯视图的长度一样，俯视图和侧视图的宽度一样。
直观图的斜二测画法:
(1)在已知图中找出互相垂直的x轴和y轴，两轴相较于O点。画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于 ,且使 = ，它们确定的平面为水平面。
（2）已知图中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。
（3）已知图中平行于x轴的线段，在直观图中仍保持原来的长度，已知图中平行于y轴的线段，在直观图中为原来长度的一半。
三、空间几何的表面积和体积
圆柱的表面积和体积
设圆柱的底面半径为，母线长为 ,表面积为S，体积为V,有
圆锥的表面积和体积
圆柱：以矩形的一条边为轴，其余三条边围绕着该边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
二、空间几何的三视图和直观图
投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。
中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。中心投影的投影线交于一点。
空间几何
一、空间几何的结构
多面体：一般地，由若干个平面多边形组成的几何体称为多面体。围城多面体个平面多边形叫做多面体的面，相邻两个多面体的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的的公共点叫做多面体的顶点
旋转体：一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。这条直线叫做旋转体的轴。
棱柱：一般地，有两个面是互相平行的，其余的面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面组成的几何体称为棱柱。两个平行的面叫做棱柱的底面，简称为底。其余各面叫做侧面，两个相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。底面与侧面的公共顶点叫做棱柱的侧棱。底面是几边形就叫做几棱柱。例如：底面是四边形就叫四棱柱.

空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积数学(理)热点题型和提分秘籍

1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图。

3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式热点题型一空间几何体的结构特征例1、给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等。

其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【提分秘籍】空间几何体结构特征的解题策略（1）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定。

(2）通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可。

【举一反三】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中错误的命题的序号是__________.答案：①②③④热点题型二由几何体的直观图识别三视图例2、【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为()1⨯+⨯⨯=,故选B.2242122【变式探究】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O。

四年级数学实验报告

四年级数学实验报告四年级数学实验报告引言：数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿于我们日常生活的方方面面。

为了更好地理解数学的概念和应用，我们四年级的同学们进行了一次精彩的数学实验。

本实验旨在通过实际操作和观察，帮助我们更好地理解数学知识，并培养我们的观察力和解决问题的能力。

实验一：数轴游戏在这个实验中，我们利用数轴进行了一场有趣的游戏。

老师给每个同学发了一张数轴纸，并要求我们按照一定的规则在数轴上标记出一些数。

通过这个游戏，我们学会了如何在数轴上表示正数和负数，并且能够快速准确地定位数值。

实验二：尺子的应用在这个实验中，我们使用尺子进行了一些测量实验。

我们测量了教室里的桌子、椅子和书柜的长度，并在尺子上记录下来。

通过这个实验，我们学会了如何使用尺子进行准确的长度测量，并且了解到了厘米和米的概念。

实验三：时钟的学习在这个实验中，我们学习了时钟的使用。

我们观察了钟表的指针运动规律，并学会了读取时钟上的时间。

通过这个实验，我们不仅掌握了时钟的基本知识，还培养了我们的时间观念和时间管理能力。

实验四：几何图形的认识在这个实验中，我们学习了几何图形的名称和特征。

老师给我们展示了不同形状的几何图形，并要求我们按照图形的特征进行分类。

通过这个实验，我们不仅认识了常见的几何图形，还培养了我们的观察和分类能力。

实验五：统计图表的制作在这个实验中，我们学习了如何制作统计图表。

我们收集了班级同学的身高数据，并使用条形图和折线图进行了数据展示。

通过这个实验，我们学会了如何收集和整理数据，并通过图表形式进行展示和分析。

结论：通过这次数学实验，我们不仅加深了对数学知识的理解，还培养了我们的实际操作能力和解决问题的能力。

数学实验不仅使我们对数学的兴趣更加浓厚，还让我们意识到数学无处不在，与我们的生活息息相关。

我们相信，在今后的学习中，我们将继续努力，探索更多有趣的数学实验，不断提高自己的数学水平。

实验9空间立体图形的绘制.ppt

0.5 0.25 0 -0.25 -0.5 1
1
0.75 0.5 0.25 0 0 0.25 0.5 0.75 1
空间立体图形的绘制
• 我们也把上面的两个曲面及其交线在同一坐标系中显示，即键入：
Show t1, t2
运行后得（图6（d））
1 0.75 0.5 0.25 0 -1 -0.5
1 0.5 0 0 -0.5 0.5 1 -1
Plot3D Sqrt 1 x ^2 y^2 , x, 1, 1 , y, 1, 1
空间立体图形的绘制
• 运行后即得到该曲面的得到该曲面的图形，但注意到运行后出现红色报错信息，而且 • 图形不完整（如图一），其原因是在作图范围内[-1，1]*[ 1，1]内某些点处无定义。
1 0.75 0.5 0.25 0 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1
空间立体图形的绘制
• 空间图形的叠加 • 与平面图形相类似空间的立体图形同样可用“Show”命令，把不同的图形（曲面或曲线）叠加并在一个坐标系中显示出来。 • 例如，现在要在同一坐标系中显示曲面，及xoy所围成的立体图形。
空间立体图形的绘制
• 首先，我们分别作出 z 1x y x2 y2 x ，的图形，并把它们的变量储存在变量t1和t2中，最后用“”命令叠加并在同一坐标系中显示，即键入：
1 0.5 0 -0.5 -1 1
0.5
0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 1
空间立体图形的绘制
• 空间曲线的绘制 • 例如，现在我们作出上半球面z=与圆柱面的交线并储存在变量p中，首先我们把此交线方程化为参数方程 cost 1
, x 2 sin t y , 0 t 2Pi, 从而只要键入 2 t z sin , 2

平面投影实验实验报告

一、实验目的1. 理解并掌握平面投影的基本原理和方法；2. 学会运用投影方法进行空间几何图形的绘制和分析；3. 提高空间想象力，培养空间思维和几何素养。

二、实验原理平面投影是一种将三维空间中的物体投影到二维平面上的方法。

在平面投影中，物体的形状、大小和位置都会发生变化，但它们之间的相对关系保持不变。

常见的平面投影方法有正投影、斜投影、透视投影等。

三、实验仪器与材料1. 三维空间模型（如正方体、长方体、圆柱等）；2. 平面投影纸；3. 铅笔、橡皮、直尺、圆规等绘图工具；4. 实验指导书。

四、实验步骤1. 观察并分析三维空间模型，了解其形状、大小和位置关系；2. 根据实验要求，选择合适的投影方法（如正投影、斜投影等）；3. 将三维空间模型放置在投影纸上，按照投影方法进行投影；4. 用铅笔画出投影后的图形，并标注必要的尺寸和文字说明；5. 检查投影图形是否正确，如发现错误，及时修正；6. 对投影图形进行分析，研究其形状、大小和位置关系。

五、实验结果与分析1. 正投影实验（1）实验结果：绘制出正方体的正投影图形，包括顶视图、侧视图和俯视图。

（2）分析：通过正投影实验，我们了解到正方体的正投影图形在三个视图中的形状和大小，以及它们之间的相对关系。

同时，我们学会了如何运用正投影方法绘制其他空间几何图形。

2. 斜投影实验（1）实验结果：绘制出长方体的斜投影图形，包括侧视图和俯视图。

（2）分析：通过斜投影实验，我们了解到长方体的斜投影图形在侧视图和俯视图中的形状和大小，以及它们之间的相对关系。

此外，我们还学会了如何调整投影角度，以获得更清晰的投影图形。

3. 透视投影实验（1）实验结果：绘制出圆柱的透视投影图形，包括主视图和俯视图。

（2）分析：通过透视投影实验，我们了解到圆柱的透视投影图形在主视图和俯视图中的形状和大小，以及它们之间的相对关系。

此外，我们还学会了如何运用透视投影方法绘制其他具有透视效果的几何图形。

幼儿园数学实验记录

幼儿园数学实验记录实验记录：幼儿园数学实验实验目的：1. 培养幼儿对数学的兴趣和探索精神。

2. 提升幼儿的数学思维能力和解决问题的能力。

实验材料：1. 彩色水果糖（红色、黄色、绿色、紫色）。

2. 塑料计数棒。

3. 彩色纸板。

4. 图案卡片（包括图形和颜色）。

5. 数学操作卡片（如加法、减法、比较大小等）。

6. 彩色计数珠。

7. 磁性数字和符号。

实验一：颜色识别和分类实验目的：帮助幼儿认识和区分不同颜色。

实验步骤：1. 将彩色纸板分为四个颜色区域，分别放置红色、黄色、绿色和紫色的纸板。

2. 给幼儿展示彩色水果糖，然后要求幼儿按照颜色将水果糖放在相应的彩色纸板上。

3. 引导幼儿用手触摸和比较不同颜色的水果糖，感受颜色的差异。

4. 提问幼儿，询问他们学习到了哪些颜色和如何分类。

实验二：形状识别和分类实验目的：帮助幼儿认识和区分不同形状。

实验步骤：1. 准备好图案卡片，每张卡片上有一个图形和相应的形状名称。

2. 给幼儿展示图案卡片，让他们辨认图形和形状，并将卡片按照形状分类放置。

3. 使用塑料计数棒让幼儿触摸和比较不同形状的计数棒。

4. 引导幼儿观察周围环境中的物体形状，并进行分类。

实验三：数量与计数实验目的：帮助幼儿掌握基本的计数技巧和数量概念。

实验步骤：1. 给幼儿分发彩色计数珠，让幼儿通过抓取珠子的数量来进行计数练习。

2. 使用磁性数字和符号，让幼儿进行简单的数学操作练习（如加法、减法、比较大小等）。

3. 利用彩色水果糖进行数量比较，鼓励幼儿判断哪一组水果糖多、少。

4. 引导幼儿在日常生活中观察和应用计数技巧，如数数玩具、数数班级里的幼儿等。

实验四：空间关系和几何形状实验目的：培养幼儿的空间想象能力和几何形状认知能力。

实验步骤：1. 利用图案卡片展示不同的几何形状，并要求幼儿辨认和命名。

2. 引导幼儿在纸上绘制简单的几何图形，如正方形、三角形等。

3. 使用图形卡片展示几何形状的组合，让幼儿发现形状之间的空间关系。

空间几何体的结构特征及三视图和直观图(含解析)

归纳与技巧：空间几何体的结构特征及三视图和直观图基础知识归纳一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．基础题必做1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．答案：③5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案：③解题方法归纳1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．空间几何体的结构特征典题导入[例1]下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[自主解答]A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．[答案] D解题方法归纳解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．以题试法1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．几何体的三视图典题导入[例2]某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.[答案] C解题方法归纳三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意]画三视图时，要注意虚、实线的区别．以题试法2．(1) 如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.(2)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A．22B．4C. 3 D．2 3解析：选D依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是2 3.几何体的直观图典题导入[例3]已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[自主解答]建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC 为△ABC 的高．把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，则点C ′变为点C ，且OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45° a ＝62 a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a . 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.解题方法归纳用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”． “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变，图形改变；“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变.以题试法3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：选A 恢复后的原图形为一直角梯形 S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④解析：选A①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD ，且EC 投影在面P AD 上，故B 正确．5.如图△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由斜二测画法知B 正确．6．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图1所示，直三棱柱ABE －A 1B 1E 1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD )是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin 60°×1＝533.答案：5339．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而P A ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2 210．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．11．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3， ∴SE ＝5，即棱锥的斜高为 5.12．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中VA ＝ 42－⎝⎛⎭⎫23×32×232 ＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A ．2 3B ．3 C. 3 D ．4解析：选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于(3)2－⎝⎛⎭⎫222＝2，因为该几何体的左侧视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE ·BE cos 120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3. 答案：33．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC ，BD 交于点O ，E 为线段AA 1的中点，求证：OE ∥平面A 1C 1C ；(3)求该多面体的表面积．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE .∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点，∴在△AA 1C 中，OE 为△AA 1C 的中位线．∴OE ∥A 1C .∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴OE ∥平面A 1C 1C .(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，SA 1B 1C 1D 1＝a 22， S △ABA 1＝S △B 1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD 1＝a 22， S △AA 1D 1＝S △B 1A 1B ＝S △C 1B 1C ＝S △DC 1D 1＝12×2a 2×32a 4＝3a 28， ∴该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2.1．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是( )A ．1B.322C. 2D. 3解析：选D 如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A 1BC 1垂直时，∵面ACD 1∥面A 1BC 1， ∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a ，则3a＝2，∴a ＝63. ∴投影面的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫632＝ 3. 此时投影面积最大，故D 正确．2．如图，△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，且AD ＝DC＝2，AC ＝BC .平面ACD ⊥平面ABC ，如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥D －ABC 的三视图的面积和为________．解析：由题意得AC ＝BC ＝22，AB ＝4，△ACD 边AC 上的高为2，正视图的面积是12×4×2＝22，侧视图的面积是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋3 2. 答案：4＋3 23．已知正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC ，△A ′B ′C ′的中心分别是O ，O ′，现将此三棱柱绕直线OO ′旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度(x 可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S (x )，则函数S (x )的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO ′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S (x )的最大值为8.当三棱柱绕OO ′旋转时，当A 点旋转到B点，B 点旋转到C 点，C 点旋转到A 点时，所得三角形与原三角形重合，故S (x )的最小正周期为2π3. 答案：82π3。

计算机图形学基础实验指导书

计算机图形学基础实验指导书目录实验一直线的生成 ............................................................... -..2.-实验二圆弧及椭圆弧的生成........................................................ -..3 -实验三多边形的区域填充 ......................................................... - (4)-实验四二维几何变换 ............................................................. -..5.-实验五裁剪算法 ................................................................. -..6.-实验六三维图形变换 ............................................................. -..7.-实验七BEZIER 曲线生成......................................................... -..8.-实验八交互式绘图技术实现........................................................ -..10-实验一直线的生成一、实验目的掌握几种直线生成算法的比较，特别是Bresenham 直线生成算法二、实验环境实验设备：计算机实验使用的语言： C 或Visual C++ 、OpenGL三、实验内容用不同的生成算法在屏幕上绘制出直线的图形，对不同的算法可设置不同的线形或颜色表示区别。

四、实验步骤直线Bresenham 生成算法思想如下1）画点（x i, y i）, dx=x2-x i, dy=y2-y i,计算误差初值P i=2dy-dx , i=1;2）求直线下一点位置x i+i=x i+i 如果P i>0,贝U y i+i=y i+i，否则y i+i=y i；3）画点（x i+i ，y i+i ）；4）求下一个误差P i+i 点，如果P i>0，贝U P i+i=P i+2dy-2dx，否则P i+i=P i+2dy;i=i+i ，如果i<dx+i 则转步骤2，否则结束操作。

空间几何图形的认识与绘制

空间几何图形的认识与绘制在我们的日常生活和学习中，空间几何图形无处不在。

从简单的房屋架构到复杂的机械零件，从宏伟的建筑设计到微观世界的分子结构，空间几何图形都扮演着至关重要的角色。

那么，什么是空间几何图形？又该如何去认识和绘制它们呢？首先，我们来谈谈什么是空间几何图形。

空间几何图形，简单来说，就是存在于三维空间中的各种形状。

常见的空间几何图形包括正方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等等。

这些图形不仅仅是简单的形状，它们还蕴含着丰富的数学性质和实际应用价值。

以正方体为例，它是由六个完全相同的正方形面围成的立体图形。

每个面都是正方形，且相邻的面互相垂直。

正方体具有十二条相等的棱和八个顶点。

在实际生活中，像魔方、骰子等物品就近似于正方体的形状。

再来说说长方体，长方体与正方体有相似之处，但又有所不同。

长方体的六个面中，相对的两个面完全相同，且每个面都可能是长方形。

它同样有十二条棱和八个顶点。

我们常见的书本、冰箱等物体的形状就类似于长方体。

圆柱体则是由两个底面和一个侧面组成。

底面是完全相同的圆，侧面展开是一个长方形。

生活中的水杯、柱子等很多都是圆柱体。

圆锥体是由一个底面（圆）和一个侧面（曲面）组成，顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。

像圣诞帽、漏斗等就是圆锥体的常见例子。

球体则是一个完全由曲面围成的立体图形，无论从哪个方向观察，它看起来都是一样的。

比如篮球、足球等球类就是球体。

那么，如何认识这些空间几何图形呢？这需要我们从多个方面去观察和思考。

观察是认识空间几何图形的第一步。

我们可以通过直接观察实物或者模型，来感受它们的形状和特征。

比如观察一个正方体的盒子，注意它的面、棱和顶点的数量和特点；观察一个圆柱体的杯子，留意它的底面和侧面的形状。

除了观察实物，我们还可以通过画图来加深对空间几何图形的认识。

在纸上画出各种几何图形，标注出它们的关键元素，如棱长、高、半径等。

通过画图，我们能够更加清晰地理解图形的构成和特征。

空间几何体的三视图、直观图、表面积及体积

空间几何体的三视图及直观图、表面积及体积导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，并且会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图．探究点一空间几何体的结构例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式迁移1 下列结论正确的是( ) A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线探究点二空间几何体的三视图例2 (2009·福建)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )变式迁移2 (2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )探究点三直观图及斜二测画法例3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()变式迁移3一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.24a2B．22a2C.22a2D23a21.(2012·湖北省黄冈中学高三五月模拟)下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( )A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形2.(2012·山东省济宁第三次质检)在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )3.(2013·昌平二模)已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为.5.(2012·福建省泉州市3月质量检查)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为.6.(2013·广东佛山市质检)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中满足条件的序号是②③.7.如图，四边形ABCD 在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是 .8.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．9.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值．空间几何体的表面积和体积1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．5 2.(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.3603B.5803 C ．200 D ．240 3.(2012·山东省日照市高三12月)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( )A. 3 B．4 3 C．8 D．244.如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于( C ) A．15πB．18πC．21πD．24π5.(2012·南通市教研室全真模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为1 m的半圆，则该圆锥的体积是m3.6.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.7.(2013·上海市高三下七校联考)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB ⊥BC，SA＝1，AB＝BC＝2，则球O的表面积为.8.下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．9.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．。

五个有趣的数学实验激发小学生的学习兴趣

五个有趣的数学实验激发小学生的学习兴趣数学一直以来都是让学生感到困惑和枯燥的学科，但是通过一些有趣的数学实验，我们可以激发小学生对数学的学习兴趣。

本文将介绍五个有趣的数学实验，帮助小学生更好地理解和喜爱这门学科。

实验一：幻方游戏在这个实验中，学生将会体验到幻方的神奇之处。

幻方是一个正方形的方格，其中每一格内填写一个数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和相同。

给学生一个3x3的空白表格，要求他们填写数字，使得每行、每列和对角线上的数字之和都等于15。

这个实验不仅能够培养学生的逻辑思维，还能让他们意识到数学中隐藏的规律。

实验二：魔方解谜魔方是一种经典的数学解谜游戏，能够培养学生的空间思维和耐心。

在这个实验中，学生将会学习如何还原一个打乱了的魔方。

老师可以使用一个小型魔方，先给学生展示一下还原的过程，然后鼓励他们自己尝试解谜。

通过这个实验，学生将会感受到数学解谜的乐趣，同时提高他们的观察力和思考能力。

实验三：奇妙的九宫格九宫格是一个能够培养学生逻辑思维和数字运算能力的有趣实验。

在这个实验中，学生需要填写一个3x3的表格，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。

通过这个实验，学生不仅能够加深对数字之间关系和运算规律的理解，还能够提高他们的逻辑思维能力。

实验四：几何图形的探索几何图形是数学中的重要内容，通过这个实验，学生可以通过制作和探索不同的几何图形来巩固他们对几何形状的理解。

教师可以准备一些纸板、剪刀和胶水，引导学生制作出各种各样的几何图形，例如正方形、三角形、五角星等。

在制作的过程中，学生将会体验到几何形状的美妙之处，并且加深他们对角度、边长和面积等概念的认识。

实验五：数学游戏竞赛数学游戏竞赛是一个可以激发学生学习兴趣的有效途径。

通过组织一些有趣的数学游戏竞赛，可以让学生在竞争的氛围中感受到数学的乐趣。

例如，可以组织数独比赛、速算比赛等，让学生在游戏中学习和运用数学知识。

这样不仅能够增加学生的学习兴趣，还能够提高他们的数学能力和应对压力的能力。

实验空间图形的画法(基础实验)

项目二一元函数积分学与空间图形的画法实验2 空间图形的画法(基础实验)实验目的掌握用Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D命令Plot3D 主要用于绘制二元函数),(y x f z =的图形. 该命令的基本格式为Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项]其中f[x,y]是y x ,的二元函数, x1,x2表示x 的作图范围, y1,y2表示y 的作图范围.例如,输入Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]则输出函数22y x z +=在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(图2.1)与Plot 命令类似, Plot3D 有许多选项. 其中常用的如PlotPoints 和ViewPoint. PlotPoints 的用法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints->15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint 用于选择图形的视点(视角), 其默认值为 ViewPoint->{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D 用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项]其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u 的范围, v1,v2是参数v 的范围.例如，对前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2 Pi}]同样得到曲面22y x z +=的图形(图2.2).由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因而是常用的方法.又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D 作图. 但是, 它的参数方程为,20,0,cos 2,sin sin 2,cos sin 2πθπϕϕθϕθϕ≤≤≤≤===z y x因此,只要输入ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi}]便作出了方程为22222=++y x z 的球面(图2.3)..用于作空间曲线时,ParametricPlot3D 的基本格式为ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1,t2},选项]其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程表示式. t1,t2是作图时参数t 的范围.例如, 空间螺旋线的参数方程为).80(10/,sin ,cos π≤≤===t t z t y t x输入ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10,RGBColor[1,0,0]},{t,0,8 Pi}]则输出了一条红色的螺旋线(图2.4).在这个例子中，请读者注意选项RGBColor[1,0,0]的位置.用于作空间曲线时, ParametricPlot3D 的选项PlotPoints 的默认值是30, 选项ViewPoint 的默认值没有改变.3.作三维动画的命令MoviPlot3D:无论在平面或空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画. 例如, 输入调用作图软件包命令<<Graphics\Animation.m.执行后再输入MoviePlot3D[Cos[t*x]*Sin[t*y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi},{t,1,2},Frames->12]则作出了12幅曲面图, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例2.1 (教材例2.1) 作出平面y x z 326--=的图形,其中20,30≤≤≤≤y x . 输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}]如果只要位于第一卦限的部分, 则输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}]观察图形.2.6）.图2.6例2.2 (教材例2.2) 作出函数2214y x z ++=的图形.输入k[x_,y_]:=4/(1+x^2+y^2)Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30,PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}]则输出函数的图形2.7. 观察图形, 理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义. 选项 BoxRatios 的默认值是{1,1,0.4}.例2.3 (教材例2.3) 作出函数22y x xye z ---=的图形. 输入命令Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic];则输出所求图形（图图2.8例2.4 (教材例2.4) 作出函数)94cos(22y x z +=的图形. 输入Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->False,Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False]则输出网格形式的曲面图2.9, 这是选项Shading->False 起的作用, 同时注意选项Boxed->False 的作用.二次曲面例2.5 (教材例2.5) 作出椭球面1194222=++z y x 的图形.这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D. 该曲面的参数方程为,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ).输入ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v], Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]则输出椭球面的图形, 可使图形更加光滑.图2.10例2.6 (教材例2.6) 作出单叶双曲面1941222=-+z y x 的图形.曲面的参数方程为,tan 3,cos sec 2,sin sec u z v u y v u x === (.20,2/2/πππ≤≤<<-v u )输入ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v], 3*Tan[u]},{u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]图2.11例2.7 作双叶双曲面13.14.15.1222222-=-+z y x 的图形.曲面的参数方程是,csc 3.1,sin cot 4.1,cos cot 5.1u z v u y v u x ===其中参数πππ<<-≤<v u ,20时对应双叶双曲面的一叶, 参数πππ<<-<≤-v u ,02时对应双叶双曲面的另一叶. 输入sh1=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4*Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,Pi/1000,Pi/2},{v,-Pi,Pi}, DisplayFunction->Identity];(*DisplayFunction->Identity 是使图形暂时不输出的选项*) sh2=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4* Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,-Pi/2,-Pi/1000}, {v,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];Show[sh1,sh2,DisplayFunction->$DisplayFunction](*命令Show[sh1,sh2]是把图形sh1,sh2放置在一起, DisplayFunction->$DisplayFunction 是恢复显示图形的选项*) 输出为图2.12.例2.8 可以证明: 函数xy z =的图形是双曲抛物面. 在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上作出它的图形.输入Plot3D[x*y,{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios->{1,1,2}, PlotPoints->30]输出图形略. 也可以用ParametricPlot3命令作出这个图形, 输入ParametricPlot3[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2*Cos[t] *Sin[t]},{r,0,2},{t,0,2 Pi},PlotPoints->30]输出为图2.13例2.9 (教材例2.7) 作出圆环v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u )的图形.输入ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v])*Sin[u],7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}];图2.14例2.10 画出参数曲面]2,001.0[],4,0[)5/2/ln(tan cos sin sin sin cos ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧++===v u u v v z vu y v u x π的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sin[v],Sin[u]Sin[v],Cos[v]+Log[Tan[v/2]+u/5]}, {u,0,4*Pi},{v,0.001,2}];则输出所求图形(图2.15).曲面相交例2.11 (教材例2.8) 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v},{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出所求图形（图2.16）例2.12 作出锥面222z y x =+和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r}, {r,-3,3},{t,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];Show[g2,g3,DisplayFunction->$DisplayFunction]输出为图2.17.图2.17例2.13 画出以平面曲线x y cos =为准线, 母线平等Z 轴的柱面的图形. 写出这一曲面的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=∈-∈==s z R s t t y t x ],,[,cos ππ 取参数s 的范围为[0, 8]. 输入命令ParametricPlot3D[{t,Cos[t],s},{t,-Pi,Pi},{s,0,8}]则输出所求图形(图2.18).例2.14 (教材例2.9) 作出曲面x y x y x z =+--=2222,1及xOy 面所围成的立体图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t], r*Sin[t],r^2},{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->30]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]*Sin[r],Sin[t]Sin[r],Cos[r]+1},{t,0,2*Pi},{r,0,Pi/2},PlotPoints->30];Show[g1,g2]则输出所求图形（图图2.19例2.15 (教材例2.10) 作出螺旋线t z t y t x 2,sin 10,cos 10===(R t ∈)在xOz 面上的正投影曲线的图形.所给螺旋线在xOz面上的投影曲线的参数方程为10==.,cosx2ztt输入ParametricPlot[{2t,10Cos[t]},{t,-2Pi,2Pi}];则输出所求图形（图图2.20注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例2.16 (教材例2.11) 作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形.输入Clear[r,x,y,z];r[t_,v_]:=2+0.5*v*Cos[t/2];x[t_,v_]:=r[t,v]*Cos[t]y[t_,v_]:=r[t,v]*Sin[t]z[t_,v_]:=0.5*v*Sin[t/2];ParametricPlot3D[{x[t,v],y[t,v],z[t,v]},{t,0,2 Pi},{v,-1,1},PlotPoints->{40,4},Ticks->False]则输出所求图形（图空间曲线例2.17 (教材例2.12) 作出空间曲线)60(2,sin ,cos π≤≤===t t z t t y t t x 的图形. 输入ParametricPlot3D[{t*Cos[t],t*Sin[t],2*t,RGBColor[1.0,0,0.5]},{t,0,6 Pi}]则输出所求图形（图图2.22例2.18 绘制参数曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧===2/cos 2sin t z t y t x 的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Sin[t],2Cos[t],t.2},{t,0,12}];则输出所求图形(图2.23).例2.19 绘制参数曲线 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==t z t y t x arctan 211cos 2的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,1/(1+2*t),ArcTan[t]},{t,0,8}]; 则输出所求图形(图2.24).动画制作例2.20平面正弦曲线的运动.输入Table[Plot[Sin[x+t*Pi],{x,0,6 Pi}],{t,0,2,1/8}]则作出了16幅具有不同相位的正弦曲线(输出图形略). 双击屏幕上某一幅画, 则可形成动画. 下面是动画的最后一幅图（图2.25）.例2.21 (教材例2.13) 作模拟水波纹运动的动画.输入调用软件包命令<<Graphics\Animation.m执行后再输入MoviePlot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]+t*2*Pi],{x,-8 Pi,8 Pi},{y,-8 Pi,8 Pi},{t,1,0},PlotPoints->50,AspectRatio->0.5,ViewPoint->{0.911,-1.682,2.791},Frames->12]则输出12幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下图是第一幅图（图2.26）.图2.26例2.22 (教材例2.14) 用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程. 该曲线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为,sin 222z y x =+ 其参数方程为])2,0[],,0[(,,sin sin ,cos sin ππ∈∈===u z z z u z y u z x输入For[i=1,i<=30,i++,ParametricPlot3D[{Sin[z]*Cos[u],Sin[z]*Sin[u],z},{z,0,Pi},{u,0,2*Pi*i/30},AspectRatio->1,AxesLabel->{"X","Y","Z"}]];则输出连续变化的30幅图形. 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下面是生成旋转曲面的过程中的第23幅图（图2.27）.图2.27例2.23 将一张薄膜贴在1,0,1,0====y y x x 的方框上, 薄膜振动的函数取为)cos()sin()sin()cos 1)(cos 1(16),,(224141t n m y m x n m n n m t y x u m n ππππππ+⋅-+=∑∑==其中t 为参数, 作出图形随t 的变动而引起薄膜振动的动画.初始位置是).0,,(y x u 通过t 的不同值得到多幅画面, 然后将这些图形连续地一张张显示出来, 即可达到运动的动画效果. 输入命令<<Graphics 'Animation '; Clear[x,y,t,m,n];u[x_,y_,t_]:=Sum[16*(1+Cos[n*Pi])*(1-Cos[m*Pi])*Sin[n*Pi*x]*Sin[m*Pi*y]*Cos[Sqrt[m^2+n^2]*Pi*t]/(m^2*n^2*Pi*2),{m,1,4},{n,1,4}]Animate[Plot3D[u[x,y,t],{x,0,1},{y,0,1}, PlotRange->{-8,8}],{t,0,1.75,0.25}];图2.28实验习题1.用Plot3D 命令作出函数)33,33(3sin 2cos ≤≤-≤≤--=y x y x z 的图形, 采用选项 PlotPoints->40.2.作出函数)sin(22y x z +=π的图形.3.用Plot3D 命令作出函数)sin (cos 228/)(22y x e z y x +=+-在ππππ≤≤-≤≤-y x ,上的图形, 采用选项PlotPoints->60.4.二元函数22y x xyz +=在点(0,0) 处不连续, 用Plot3D 命令作出在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(采用选项PlotPoints->40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况.5.一个环面的参数方程为),20,20(sin ,sin )cos 3(,cos )cos 3(ππ≤≤≤≤=+=+=v u u z v u y v u x 试用命令ParametricPlot3D 作出它的图形.6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为).80,11(3/,sin ,cos ≤≤≤≤-===v u v z v u y v u x 试用命令ParametricPlot3D 作出它的图形.7.用命令Plot3D 作双曲抛物面4122y x z -=,其中1414,66≤≤-≤≤-y x (用选项 BoxRatios->{1,1,1}, PlotPoints->30).8.用命令ParametricPlot3D 作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交的图形.9.用命令ParametricPlot3D 作出抛物柱面2y x =和平面1=+z x 相交的图形.10.用命令ParametricPlot3D 作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交所成的空间曲线在第一封内的图形.11.用命令ParametricPlot3D 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交所成的空间曲线的图形.。

使用“旋转”与“缩放”功能绘制复杂图形

实验四：使用“旋转”与“缩放”功能绘制复杂图形O,过O点做''''''''A B C D;6、选定'''''''',,,A B C D四点，选构造四边形内部,选定''B点,构造其在'B B上双向运动的动画，则可得到不同位置的动态截面。

实验结论缩放时要事先定义好标记中心。

在标记比的过程中，要注意选定点的顺序。

实验三实验教材§2.6、§2.7。

实验步骤§2。

6 制作一个旋转的四棱锥1、构造水平直线x轴,在x轴上任取一点O，以O点为中心，将x轴逆时针旋转45度，得到y轴;2、以O 点为圆心建立圆，在圆上任取一点A ，以O 点为中心，将A 点逆时针旋转90度，180度，270度，得到,,B C D ；3、过A 点做x 轴的垂线，交x 轴于E 点,以E 为中心，将线段AE 顺时针旋转45度，得到线段EF ,取EF 的中点'A （即A 点按斜二测水平放置的点);4、依次作出,,B C D 按斜二测水平放置的点''',,B C D ，连接'''''''',,,A B B C C D D A ，过O 点做x 轴的垂线，在垂线上任取一点'O ，连接'''''''',,,O A O B O C O D ，则可得到按斜二测水平放置四棱锥,选定A 点，构造其在圆上逆时针运动的动画，则可得到一个旋转的四棱锥.§2。

7把弓形ED 顺时针旋转90度，成为弓形CE构造圆O ，在圆上任取一点D ，以O 为中点，D 点顺时针旋转90度，得到E 点，先选E 点,再选D 点，最后选圆O ,构造弓形DE ，选定弓形DE ，以O 点为中心，顺时针旋转90度,得到弓形CE .实验结果实验四应用向量的平移作出圆柱的斜截面。

小学美术《几何体画》教案

小学美术《几何体画》教案
一、教学内容
本节课选自小学美术教材《几何体画》章节，内容包括：
1.认识基本几何体：正方体、长方体、圆柱、圆锥、球体等；
2.学会运用线条、形状、阴影表现几何体的立体感；
3.发挥创意，运用不同颜色、图案装饰几何体；
4.结合生活实例，欣赏几何体在美术作品中的应用；
5.实践操作，完成一幅以几何体为主题的绘画作品。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和绘制作品。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“几何体在美术创作中的创新应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在新课讲授和实践活动过程中，我发现分组讨论和实验操作非常有助于学生们的学习和理解。他们通过合作交流，不仅提高了绘画技巧，还激发了不少创意。尤其是在小组讨论中，学生们提出了很多有关几何体创新应用的想法，这让我感到很欣慰。
然而，我也注意到，在实践操作中，部分学生在色彩搭配和图案设计上还存在一些问题。这让我意识到，在今后的教学中，需要加强对色彩理论和图案设计的讲解，让学生们能够更加自如地运用这些知识。
2.教学难点
-几何体的立体感表现：如何通过线条和阴影的运用，使二维的画面呈现出三维的立体效果。
-色彩的和谐搭配：理解色彩之间的关系，如色相、明度、饱和度，以及如何将这些关系应用到实际作品中，达到和谐统一的效果。
-创意的发挥：鼓励学生在掌握基本技能的基础上，进行创新组合，形成独特的艺术作品。
举例解释：
5.文化与理解：结合几何体在美术史中的应用，引导学生了解几何图形在人类文化中的价值，增强文化理解能力。

空间几何形的基本认识与性质

空间几何形的基本认识与性质空间几何形是研究空间内不同形状或结构的几何图形的学科。

在空间几何中，我们常常涉及到各种三维几何形状，如点、线、面、多面体等。

本文将介绍空间几何形的基本认识和性质，帮助读者更好地理解和应用空间几何形。

一、点、线和面的基本概念1. 点：点是最基本的几何概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置。

在空间几何中，用大写字母标识点，如A、B、C等。

2. 线：线由无数个点按照一定的方向和顺序组成，具有长度但没有宽度和高度。

用小写字母表示线，如ab、cd等。

3. 平面：平面是由无数个点和线组成的，它有长度和宽度，但没有高度。

用大写字母表示平面，如P、Q、R等。

二、空间几何形的基本性质1. 点、线和面的关系：点是线的两个端点，线是由两个点确定的，而面是由三个或三个以上的点确定的。

2. 线与线的关系：两条线可以相交、平行或重合。

若两条线没有公共点，它们相互平行；若两条线有无限多个公共点，它们重合；其他情况下，它们相交。

3. 线与面的关系：一条线与一个平面可能相交于一点，平行于平面或者位于平面内。

4. 面与面的关系：两个平面可以相交于一条线，平行或没有公共点。

三、一些重要的空间几何形1. 立方体：立方体是由六个正方形组成的多面体，具有六个面、八个顶点和十二条边。

它的每条棱长度相等，相邻面的内角均为直角。

2. 锥体：锥体是由一个多边形底面和一个顶点连接而成的多面体。

根据底面形状的不同，可以分为三角锥、四边形锥等。

3. 圆柱体：圆柱体是由一个圆形底面和与底面平行的两个圆筒面连接而成的多面体。

圆柱体的所有筒面都是平行的，并且与底面相等。

4. 球体：球体是由无数个半径相等的点组成的几何形状，它没有边、面，只有一个曲面。

球体的内部都是球面，球体的表面都是球面。

四、空间几何形的应用空间几何形的应用广泛存在于日常生活和科学研究中。

例如，在建筑和工程设计中，我们需要根据空间几何形的性质来确定建筑物的结构和尺寸。

空间几何实验教案

空间几何实验教案一、实验目的通过空间几何实验，使学生了解和掌握空间几何的基本概念和性质，培养其空间想象和观察能力，提高解决空间几何问题的能力。

二、实验设备和材料1. 直尺、三角板、圆规等绘图工具2. 纸张和铅笔3. 尺子、量角器、测角器等测量工具4. 实验教案和实验报告模板三、实验内容本次实验共包括以下几个部分：1. 直线、线段和射线的画法与判定：让学生通过使用直尺和绘图工具，通过连接两个点绘制直线和线段，并利用射线的性质作图，加深对直线、线段和射线的理解。

2. 角的画法与测量：让学生使用量角器与测角器等工具测量角的大小，练习画等角和直角，并通过角的性质解决实际问题。

3. 三角形的画法和性质：引导学生使用直尺和圆规，根据给定的条件作出各种三角形，并通过观察和测量三角形的边长和角度，总结三角形的性质。

4. 三视图的绘制：通过给出实物的三视图，让学生根据已知视图绘制实物的正视图、俯视图和侧视图，锻炼学生的空间想象和图形转化能力。

5. 平行线与垂直线的判定：通过使用直尺和绘图工具，让学生学会画出平行线和垂直线，并通过线的性质判定两条线是否平行或垂直。

四、实验步骤1. 根据教案要求，安排学生坐成小组，分配实验任务。

2. 学生根据实验项目，使用绘图工具完成实验绘图。

3. 学生使用测量工具进行角度和边长的测量，并记录测量结果。

4. 学生按照要求绘制三视图，并记录实物的基本信息。

5. 学生根据判定条件，用直尺和绘图工具判断平行线和垂直线。

五、实验总结通过本次空间几何实验，学生们对直线、线段、射线、角、三角形、平行线和垂直线等概念和性质有了更深入的了解和掌握。

实验过程中，学生们通过实际操作，提高了空间想象和观察能力，同时培养了解决空间几何问题的能力。

实验结果表明，本实验教案设计合理，学生们参与积极，能够有效地达到教学目的。

六、实验报告要求1. 实验目的和内容2. 实验设备和材料3. 实验步骤和操作方法4. 实验结果记录和测量数据5. 实验效果和心得体会6. 制作实验报告的规范要求如上所述，此为一个关于空间几何实验教案的示例。

数学课中的几何形状与空间想象讲解

数学课中的几何形状与空间想象讲解教案：数学课中的几何形状与空间想象讲解导语：在数学学科中，几何形状与空间想象是一个重要的内容，它不仅与我们的日常生活息息相关，还在许多科学领域中得到广泛的应用。

掌握几何形状与空间想象的知识，不仅有助于培养学生的观察力、空间判断能力和问题解决能力，还对于学习其他数学内容也有着重要的作用。

本教案将从几何形状的特征，几何形状的分类以及空间想象的训练三个方面进行讲解。

一、几何形状的特征1. 点、线和面的概念我们常见的几何形状都是由点、线和面构成的。

点是没有大小和形状的，它只有位置信息；线是由无数个相邻的点组成的，它有长度和方向；面是由无数个相邻的线围成的，它有面积和形状。

2. 几何形状的属性不同的几何形状具有不同的属性，通过学习这些属性，我们可以对几何形状进行分类和认识。

（1）点的属性：位置（2）线的属性：长度、方向和形状（3）面的属性：面积、形状和位置关系二、几何形状的分类1. 平面图形的分类平面图形是由线段围成的，根据线段之间的关系，可以将平面图形分为直线、曲线、折线和封闭曲线等。

2. 空间图形的分类空间图形是由面围成的，根据面之间的关系和形状特征，可以将空间图形分为立体图形和曲面图形。

立体图形主要包括球体、立方体、圆柱体和圆锥体等。

三、空间想象的训练1. 立体物体的展开与折叠立体物体可以通过展开和折叠来理解其内部结构和特征。

通过将立体物体展开成平面图形，可以更直观地认识其组成部分和形状特征。

2. 空间图形的旋转与投影空间图形在不同角度的旋转和投影下，会产生不同的形态和视觉效果。

通过观察和比较，可以加深对空间图形形状和特征的理解。

3. 空间方位的判断与描述在空间中，我们可以通过方位词来描述物体的位置和方向。

方位词主要包括前后、左右、上下等。

通过训练，可以提高学生对于空间方位的判断和描述能力。

总结：几何形状与空间想象是数学中的重要内容，它对于培养学生的观察力、空间判断能力和问题解决能力具有重要作用。