初等数论讲义修改版
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件5-3
2
19
( x 2 1)2 2 x 2 2 x 2 2 1 p p p p p 从而p 1 mod 8 , 故p 1 mod 8 .
20
5
20.反证法, 假设只有有限个,设为p1 , p2 , , pk .
p 1 2
1, p 1(mod 4); 1, p 1(mod 4).
p a1 (mod 4); 解同余式组 p a2 (mod11). 得p 11a1 12a2 (mod 44). 11 从而有 ( ) 1 p 1, 5, 7, 9, 19(mod 44). 18 p
例2 设n是整数 ,
证明 : n2 1的任何奇因数都是 4m 1的形式.
证明 :由于奇数都可表示成奇素数之积, 而且任意多个 形如4m 1的整数之积也具有4m 1的形式.我们只需 证明 : 若素数p是n2 1的因数 , 则p具有4m 1的形式. 若p | n2 1, 则n2 1(mod p ),即 - 1是p的平方剩余,
4
1
a a (3) a a1 (mod p ) ( ) ( 1 ) p p a a1 (mod p )
(4) (
a1a2 an a a a ) ( 1 )( 2 ) ( n ) p p p p
p同时整除a，a1；或者p同时不整除a，a1 .
若a为p的平方剩余，则有 a
(5) ( ab a ) ( ), p b. p p
3
2
p 1 2
p 1 a (1) ( ) a 2 (mod p ) p
0， p a ； a ( ) 1， a是p的平方剩余； p 1， a是p的平方非剩余.
初等数论(闵嗣鹤版课件
设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有 a(qk qi ) 2k 2i 2i (2ki 1)
因而a个余数r0, r1, , ra1仅可能取a 1个值， 因此其中必有两个相等。
• 我国近代：在解析数论、丢番图方程，一致分布 等方面有过重要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤等 一流的数论专家，其中华罗庚在三角和估值、堆 砌素数论方面的研究享有盛名。
• 特别是在“篩法”、歌德巴赫猜想方面的研究， 已取得世界领先的优异成绩。陈景潤在1966年证 明歌德巴赫猜想方面证明了”1+2”(一个大偶数可 以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积 之和)
m|aq
3、带余数除法
带余数除法的第二种表示 定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b 成立，而且q及r是唯一的。
证明分析：作整数序列 ，-3 b ,-2 b ,- b ,0,b ,2 b ,3 b ,
则a必满足q b a<(q+1) b , 其中q Z , 令a q b r可得到a b q r,分b 0和 b 0来讨论q, 进一步证明q, r的唯一性。
(i)若在r1, , r5中数0，1，2都出现，不妨设
r1 0, r2 1, r3 2，
此时
a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3
可以被3整除。
(ii)若在r1, , r5中数0，1，2至少有一个不出现，
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设
r1 r2 r3 r(r 0,1或2），
近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、 勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集 中前人的大成，写了一本书叫做《算术探究》，开始了 现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王， 数论是数学之王”。
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件5-2
1
例如： x 2 a (mod11)
取模11的一个简化系为1, 2, 3, 4, 5 . 可以验证：1 3
111 2 111 2 111 2
例如： x 2 a (mod11) 模11的平方剩余为1，-2，3，4，5. 方程 x 2 1(mod11)的解为：x 1,10(mod11); 方程 x 2 2(mod11)的解为：x 3,8(mod11); 方程 x 2 3(mod11)的解为：x 5,6(mod11); 方程 x 2 4(mod11)的解为：x 2,9(mod11); 方程 x 2 5(mod11)的解为：x 4,7(mod11).
反之，若a
p1 2
1)x(mod p) a
p1 2
1(mod p).
p 1 2
1(mod p)， 由x p x ( x 2 a ) xq( x ) (a
1) x ,
3
a
p 1 2
1(mod p ) (3)
4
方程(1)有两个解。 根据§4.4-TH5[P86]知，
12
3
3证明 : (1),(2)用Wilson定理. (3)12 22 (
p -1 2 p 2 1 1 mod p , p 3 ) p 2 24 0 mod p , p 3
p -1 2 2 2 (4) 1 2 p 1 1 2 ( 2 ) p p 1 1 p 1 p p 1 2 3 2 2 2
x 2 a (mod p ), (a , p ) 1, p为单质数
(1)
§5.2单质数的平方剩余与平方非剩余
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件1-3
故 c b ,因而c b .
推论2.2 设a1 , a2 , , an及b1 , b2 , , bm 是任意两组整数 , 若ai b j
i 1,2, n, j 1, 2, , m , 则a1a2 an与b1b2 bm互质.
a1a2 an , b1b2 bm a1a2 an , b2b3 bm a1a2 an , bm 1
P0 1, P1 q1 8, P2 q2 P1 P0 1 8 1 9, P3 q3 P2 P1 1 9 8 17, P4 q4 P3 P2 3 17 9 60, P5 q5 P4 P3 1 60 17 77, P6 q6 P5 P4 1 77 60 137, P7 q7 P6 P5 4 137 77 625.
1
k
rk 1 1 rk 1 qk 1rk
k
其中 P0 1, P1 q1 , Pk qk Pk 1 Pk 2 , k =2, n
Qk 1a Pk 1b qk 1 Qk a Pk b qk 1Qk Qk 1 a qk 1 Pk Pk 1 b
ab 其中t 满足k b1t .反过来,当t为任一整数时， t a, b
为a , b的一个公倍数 , 故上式可以表示a , b的一切公倍数. 令t 1即得最小的正数 , 故
a, b
ab a, b 2 4 10 80 40 2,4,10 2
10
§1.3
整除的进一步性质及最小公倍数
由上节, 设a , b是任意两个正整数, 则由辗转相除法得到:
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件3-1
特别地，由于 10 1(mod11)，所以
11 anan1 a0 11 1 ai ——奇偶位差法
i i 0 n
i 0
eg1. 求 7 7 的个位数.
7
一般地，求a b 对模m的同余的步骤如下： ① 求出整数k，使ak 1 (mod m)； ② 求出正整数r，r < k，使得bc r (mod k)； ③ a b a r (mod m ) 练习：若a Z , 证明 10|a 1985 a 1949 . 提示： a 5 a (mod10)
⑦ a b(mod m ), a a1d , b b1d , ( d , m ) 1
a1 b1 (mod m ).
证：a b(mod m ) m a b m (a1 b1 )d
m (a1 b1 ) a1 b1 (mod m ).
注意：若没有(d , m ) 1的条件，不能成立！ 反例： 取m 4, a 6, b 10, d 2, 有6 10(mod 4), 但 3 5(mod 4)不能成立.
——各位上的数字之和能被3（9）整除 10 1mod(3) 10i 1mod(3)
a an 10n a1 10 a0 an a1 a0 mod(3)
从而 3 a 3 ai .
i 0 n
例1 检查5874192、435693
11
7
r
77
——减小幂指数
由71 1(mod 4), 7 2 1(mod 4), 76 1(mod 4),
7 7 1 3(mod 4)， r3
所以7 7 7 3 7 2 7 ( 1) ( 3) 3(mod10).
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件3-2
m
m
m
通过模m2m3mk 1的完全剩余系。
18
y = x2 m2x3 m2m3x4 m2mkxk 1
通过模m2m3mk 1的完全剩余系。 由定理4，当x1通过模m1的完全剩余系，
xi（2 i k 1）通过模mi的完全剩余系时， x1 m1y = x1 m1(x2 m2x3 m2mkxk 1)
从而
3、剩余系间的联系
定理4 设m1, m2N，AZ，(A, m1) = 1， X { x1 , x2 , , xm1 } ,Y { y1 , y2 , , ym2 } 分别是模m1与模m2的完全剩余系， 则 R = { Ax m1y：xX，yY }是模m1m2的一个 完全剩余系。 证明 由定理3只需证明：若x , x X，y , y Y，且 Ax m1y Ax m1y (mod m1m2)， 则 x ' x ", y ' y " [ R中有m1m2个元素].
13 14
定理5 设miN，AiZ（1 i n），并且满足： ① (mi, mj) = 1，1 i, j n，i j； ② (Ai, mi) = 1，1 i n； ③ miAj ，1 i, j n，i j 。 则当xi（1 i n）通过模mi的完全剩余系Xi时， y = A1x1 A2x2 Anxn 通过模m1m2mn的 完全剩余系。
检验：设{x1, x2, , xm}是模m的一个完全剩余系， 那么，{b+x1, b+x2, , b+ xm}和 {ax1, ax2, ,a xm} 是模m的一个完全剩余系吗？ m 6, b 2 m 5, b 2 m 5, a 2 m 6, a 2
数论讲义一：整除
数论讲义一：整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题。
Ⅰ.整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合。
我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，则不一定是整数。
由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性。
定理一：（带余除法）对于任一整数和任一整数，必有惟一的一对整数，使得，，并且整数和由上述条件惟一确定，则称为除的不完全商，称为除的余数。
若，则称整除，或被整除，或称的倍数，或称的约数（又叫因子），记为。
否则，| 。
任何的非的约数，叫做的真约数。
0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数。
任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数。
由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若（2）若（3）若，则反之，亦成立。
（4）若。
因此，若。
（5）、互质，若（6）为质数，若则必能整除中的某一个。
特别地，若为质数，（7）如在等式中除开某一项外，其余各项都是的倍数，则这一项也是的倍数。
（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数。
（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数。
（10）二项式定理：；；经典例题：一、带余除法1．若是形如的数中最小的正整数，求证：；分析：利用带余除法，设2．为质数，，证明：被整除；分析：利用带余除法处理，可以设，再来表示二．若3．设和为自然数，使得被整除，证明：分析：根据恒等式4．为给定正整数，对任意，都有，证明：；分析：注意到，对任意，有三、利用牛顿二项式定理；；5．设都是正整数，，且，证明：；分析：首先由，而，讨论的奇偶性6．已知，定义，证明：；分析：当时，四、配对思想7．设为奇数，证明：；分析：由于，这些数的分子都是，分母都小于，因此想到用配对法做此题；五．反证法8．设，，而是一个不小于的正整数，证明：存在整数，使得；整除作业一1．设为有理数，为最小正整数，使得是整数，如果与是整数，证明：。
《初等数论(闵嗣鹤)》习题解答2010修改版
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(ii) 当 q 为奇数时，若 b 0 则令 s q 1,t a bs a q 1b ，则有
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《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院 WeiXLI）
b t a bs a q 1b a q 1 b 0 t b
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若 b 0 ，则令 s q 1,t a bs a q 1b ，则同样有 t b 综上所述，存在性
证明： a1, a2 , an 都是 m 的倍数。 存在 n 个整数 p1, p2, pn 使 a1 p1m, a2 p2m, , an pnm 又 q1, q2, , qn 是任意 n 个整数 q1a1 q2a2 qnan q1 p1m q2 p2m qn pnm ( p1q1 q2 p2 qn pn )m 即 q1a1 q2a2 qnan 是 m 的整数 2．证明 3 | n(n 1)(2n 1) 证明 n( n 1 ) ( 2n 1) n n( 1n)( 2n 1 )
2．求 82798848 及 81057226635000 的标准式．
解：因为 8|848，所以 8 | A, A 82798848 810349856 23 B ，
又 8|856，所以 8|B， B 81293732 23 C ，
又 4|32，所以 4|C， C 4323433 22 D
又 9|（3+2+3+4+3+3），所以 9|D， D 935937 32 E ， 又 9|（3+5+9+3+7），所以 9|E， E 93993
又 3993 31331 3113
所以 A 2835113 ；
同理有 81057226635000 23 33 54 73 112 17 2337 。
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件1-5
例5 求[1
练习：
1 1.证明 : 对任意x R, 有 x x 2 x 2 2.设m , n是整数 , n 1, 证明 :
m | m1 n , 当n m 1 n m 1,当n | m 1 n 3.证明 : x , y R, 有
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9解 : i 2 i 3 i 5 i 6 i 10 i
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
500
500 2
500 3
500 5
500 6
500 500 500 500 500 500 500 8解 : 500 7 11 57 5 11 7 11 5 7 11 312 5
(3)[ n x ] n [ x ], n Z ; (4)[ x ] [ y ] [ x y ], x y x y;
例如： [2.3] 2,[ 2.3] 3,[2] 2,[ ] 3,[ ] 4；
2.3 0.3,2.3 0.7,2 0, 0.1415 ,
证明(7):a b时显然.设m是任一不大于a而为b的倍数的
正整数, 则
0 m bm1 a , 0 m1
a a 注：若记 a b q (余r )，则 b[ ] q , b = r . b b
a . b a 故满足上条件的m的个数等于m1的个数 ,因而等于 . b 证明(8)由[ x ] x y [ y ] 1, 得[ x ] [ y ] 1, [ x ] [ y ];
初等数论讲义修改版
3.10 Gauss整数的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第九讲 模m的原根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 模m的原根存在的条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 公钥密码应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十讲 群， 环， 域理论简介（上） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 群的概念及例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 似曾相识的群理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17 基本的群论定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十一讲 必备的抽象代数（下） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18 环和域的概念及例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19 环的算术性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20 理想的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21 域的“熟知”定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 数论函数 第十二讲 基本的数论函数及运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 数论函数pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 麦比乌斯函数和Euler函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dirichlet乘积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 麦比乌斯反演公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 积性函数和完全积性函数 素数分布 同余方法 柯召方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(完整版)初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory ）。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件2-1
即
x0 y t 0 b a x0 y 1 t 0 1 b a
x0 , y是原方程的一个非负整数解， 0 x x0 bt , y y0 at , t Z ax0 N ax t 0 ab ab N . 从而得证。 t 的取值区间长度为 ab
定理1 若〔1〕式有整数解 x x0 , y y0 则〔1〕式的一切解可以表示为
x x0 b1t , y y0 a1t , a b 其中， a1 , b1 , t 0, 1, 2， (a , b ) (a , b ) （2）
（*）
(a1 , b1 ) 1
7
说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样， 解决问题的关键在于求一个特解。 问题：所有的二元一次方程都有解吗？ 例如 定理2 6 x 8 y 1. ax by c (1) 有整数解 (a , b ) c .
显然； ，记d (a , b ) 若d c ，则c c1d , c1 Z . d 可以表示为as bt . 所以 c c1 ( as bt ) 取 x0 c1 s , y0 c1t， 即为方程〔1〕的解。
当N ab a b时有非负整数解；N ab a b时则不然 思考：N ab a b呢？ （1）方程的一般解可以表示为
4.证明：方程 ax by N , a 1, b 1,( a , b ) 1
当N ab a b时有非负整数解；N ab a b时则不然 思考：N ab a b呢？
ax by c (1)
ax by c , a , b, c Z , a , b 0
证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。 设x ', y '是(1)的任一解，又x0 , y0是(1)的解. 所以有 ax ' by ' ax0 by0 .
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件3-4
1) Q2 (22 1)，
n
其中Q1与Q2是整数， 即 2 Fn 2(mod Fn ).
8
2
eg5 设n是正整数，记Fn = 22 1, 则 2 Fn 2(mod Fn ).
补充说明
n
三、在分数与小数互化中的应用
我们已经知道，F5是合数，因此例5表明， Fermat定理的逆定理不成立。 Fermat定理 设p是素数， 则对a Z , 有
s 证明： 10 a1a2 a s 0. b1 b2 bt
eg 6 化小数为分数. 0.13
2 13 1 12 90 90 15 13 0 13 990 990 1213 12 1201 9900 9900
a1a2 a s
b1b2 bt b b bt 1 2 . t 10 1 99 9
。
15
0.0 23
这就证明了不循环位数码个数不能再少了。
4
定理6 混循环小数 0.a1 a s b1 b2 bt 可以化为分数
a1 a s b1b2 bt a1 a s , 其中，分母中含有t个9, s个0. 99 900 0
a b
a a q (*) b b
而且ak, , a1不能都等于0，也不能都等于9。
由(*)式得(10k 1) a q ak ak 1 a1 ， b 1 1 a 1 ak ak 1 a1 ( k 2 k ) ak ak 1 a1 k 10 10 b 10 1
令n 4q r ,0 r 3, 则1n 2n 3n 4n
证： 记P = x1x2x(m)，则(P, m) = 1.
(完整word版)《初等数论》
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的1m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。
典例分析例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。
初等数论ppt
二
几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；
费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。 李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术，使文 词代数开始演变成符号代数。 所谓天元术，就是设“天元 一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项 式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与 现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以 后才完全作到这一点。
第一章 整数的整除性
第一节 整除的概念
• 一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数
• 一个性质：
整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
关于奇数和偶数性质： 1.奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数； 2.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的 奇偶性相反（同）。 3.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有 奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整 数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇 数的个数必为偶数个。
(完整版)初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory ）。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。
最全面初等数论教案第四节素数、整数的唯一分解定理2021(精华版)
第四节素数、整数的唯一分解定理第五节Eratosthenes筛法教学目的：1、掌握素数的一系列性质；2、理解并掌握唯一分解定理.教学重点：素数的性质及唯一分解定理的证明及应用教学难点：唯一分解定理的证明及应用教学课时：4 课时教学过程一、素数1 大于1 的整数，如果只有平凡因子，就叫素数，否则1、定义叫合数.1 设a 是任意大于1 的整数，则a 除1 以外的最小正因2、引理子p 是素数，并且当 a 是合数时，则p a .2 设p 是素数，a 是任意整数，则p | a 或( p, a)3、引理 1 .3 设p 是素数，p|ab , 则p|a 或p|b.4、引理1 素数有无穷多个.5、定理2 形如4n-1 型的素数有无穷多个.6、定理例1 写出不超过100 的所有的素数。
解将不超过100 的正整数排列如下：123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100按以下步骤进行：(ⅰ)删去1，剩下的后面的第一个数是2，2 是素数；(ⅱ)删去2 后面的被2 整除的数，剩下的2 后面的第一个数是3，3 是素数；(ⅲ)再删去3 后面的被 3 整除的数，剩下的 3 后面的第一个数是5，5 是素数；(ⅳ)再删去5 后面的被 5 整除的数，剩下的 5 后面的第一个数是7，7 是素数；照以上步骤可以依次得到素数2, 3, 5, 7, 11,.由引理 1 可知，不超过100 的合数必有一个不超过10 的素约数，因此在删去7 后面被7 整除的数以后，就得到了不超过100 的全部素它可数.例 1 中所使用的寻找素数的方法，称为Eratosthenes筛法.以用来求出不超过任何固定整数的所有素数. 在理论上这是可行的；但在实际应用中，这种方法需要大量的计算时间，是不可取的.曾经有人希望找到一个表示素数的方便的公式，例如，是否存在一个不是常数的整系数多项式 f(x)，当 x 0 时， f(x)都表示素数？x 7、定理 3 对于任意给定的整数 x 0 ，不存在整系数多项式nia i x ，其中 a n 0, n 0,f (x) i 0使得当 时， f(x)都表示素数 .x x 0 二、整数唯一分解定理（算术基本定理）1、引理 任何大于 1 的正整数 n 可以写成素数之积，即1 p m ， (1)n = p 1p 2 其中 p i （1 m ）是素数 .i 证明：当 n = 2 时，结论显然成立 .假设对于 n k ，式 (1)成立， 我们来证明式 (1)对于 n = k 1 也2 成立，从而由归纳法推出式 (1)对任何大于 1 的整数 n 成立 .如果 1 是素数，式 (1)显然成立 .k 如果 1 是合数， 则存在素数 p 与整数 d ，使得 由于k k 1 = pd. , q l ，使得 d = q 1q 2 q l ，从k ，由归纳假定知存在素数 2 d q 1, q 2, 而 k 1 = pq 1q 2 q l . 证毕2、定理 1(算术基本定理 ) 任何大于 1 的整数 n 可以唯一地表示成1 2kp 1 p 2 p k ， (2)n = 其中 , p k 是素数， p 1 < p k ， k 是正整数 .p 1, p 2, < p 2 < 1, 2, , 证明 由引理 1，任何大于 1 的整数 n 可以表示成式 (2)的形式，因此，只需证明表示式 (2)的唯一性 .假设 p i （ 1 i k ）与 q j （ 1 j l ）都是素数，p k ，q 1 q l ， (3)p 1 p 2 q 2 并且， (4)n = p 1p 2 p k = q 1q 2 q l 则必有某个 q j （ 1 j l ），使得 q j ，所以 p 1 = q j ；又有某个 p i （ 1p 1 p i ，所以 q 1 = q 1，从而由k ），使得 q 1 p i . 于是，由式 (3)可知 p 1 i = 式 (4)得到p 2 = q 2 .p k q l 重复上述这一过程，得到， 1 k = l ，p i = q i i k . 证毕3、定义 1 使用定理 1 中的记号，称p 1 1p 2p k kn = 2 是 n 的标准分解式，其中 p i （1 k ）是素数， < p k ，i p 1 < p 2 < i （1 k ）是正整数 .i 推论 1 使用式 (2)中的记号，有(ⅰ ) n 的正因数 d 必有形式， i ， 1 k ；Z ，0 i d = k1 2 p p p i i 1 2 k (ⅱ ) n 的正倍数 m 必有形式i ，1 M ， M N ， N ， i k.m = p 1 2 k p p i i 1 2 k 证明：留作习题 .推论 2 设正整数 a 与 b 的标准分解式是1 k 1q l ， b l 1 k 1sa p 1 p k q 1 p 1 p k r 1 r s ，其中 p i （1 k ）， q i （1 l ）与 r i （ 1 s ）是两两不相同的素i i i 数， i ， i （ 1 i k ）， i （ 1 l ）与 i （1 i s ）都是非负整数，i 则 (a, b) = p ， }， 1 i k ，= min{ , 1kp i i i 1 k ， i }，1 [a, b] = = max{ i , i k.1 k q 1 l 1 s p p q r r i 1 k 1 l 1 s 证明：留作习题 .为了方便，推论 2 常叙述为下面的形式：推论 2 设正整数 a 与 b 的标准分解式是，1 2k 1 1kp k ， b a p 1 p 2 p 1 p 2 p k 其中 是互不相同的素数， i ， i （ 1 k ）都是非负整p 1, p 2, i , p k 数，则， ， i }， 1 i }， 1 k ，.( a, b) [a, b] p 1 p 2 1 1p k p k kmin{ i , i , i i p 1 p 2 max{ i k 1 1ki 推论 3 设 a ， b ， c ， n 是正整数，ab = c n ， (a, b) = 1， (5)则存在正整数 u ，v ，使得a = u n ，b = v n ，c = uv ， (u, v) = 1.证明 : 设 c = ，其中 是互不相同的素数， p , p , , p 1 1 k p p p 1 2 k i1 2 k （ 1 i k ）是正整数 .又设p k ，1 2k 1 1kp k ， b a p 1 p 2 p 1 p 2 其中 I ， i （ 1 i k ）都是非负整数 . 由式 (5)及推论 2 可知i ，1 i k ，i } = 0， min{ i , = n i i 因此，对于每个 i （1 i k ），等式， = 0 与 = 0， = n = n i i i i i i有且只有一个成立 .这就证明了推论 证毕. 例 1 写出 51480 的标准分解式 .解 : 我们有2 3 51480 = 225740 = 2 12870 = 2 6435= 23 5 1287 = 23 5 3 429= 23 5 32 143 = 23 32 5 11 13.例 2 设 a ，b ，c 是整数，证明：(ⅰ ) (a, b)[a, b] = ab ；(ⅱ ) (a, [b, c]) = [( a, b), (a, c)].解：为了叙述方便，不妨假定 a ， b ， c 是正整数 .(ⅰ ) 设p k ，k k1 2 1 1p k ， b a p 1 p 2 p 1 p 2 其中 , p k 是互不相同的素数， i ， i （1 k ）都是非负整p 1, p 2, i 数 .由定理 1 推论 2 ，有， ， i }， k ，k 。
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件3-3
若m1y m2xR，则(m1y m2x, m1m2) = 1， 所以(m1y m2x, m1) = 1， 于是 (m2x, m1) = 1，(x, m1) = 1，xX。 这说明R A。 同理可得到yY，因此m1y m2xA。 另一方面，若m1y m2xA，则xX，yY， 即 (x, m1) = 1，(y, m2) = 1。 由此及(m1, m2) = 1得到 (m2x m1y, m1) = (m2x, m1) = 1 (m2x m1y, m2) = (m1y, m2) = 1。 因为m1与m2互素，所以(m2x m1y, m1m2) = 1， 于是m2x m1yR。因此A R。 从而A = R。
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推论 设m, nN，(m, n) = 1，则(mn) = (m)(n)。 证 由定理3知，若x,y分别通过m , n的简化剩余系， 则my nx通过mn的简化剩余系， 即有 my nx通过(mn)个整数。 另一方面，x〔nx〕通过(m)个整数， y〔my〕通过(n)个整数, 从而my nx通过(m) (n)个整数。 故有 (mn) = (m)(n)。 注：可以推广到多个两两互质数的情形。
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二、主要性质 注：由于选取方式的任意性，模m的简化剩余系 有无穷多个。 例如，集合{9, 5, 3, 1}是模8的简化剩余系； 集合{1, 3, 5, 7}也是模8的简化剩余系. 集合{1, 3, 5, 7}称为最小非负简化剩余系。 定理1 整数集合A是模m的简化剩余系的充要条件是： ① A中含有(m)个整数； ② A中的任何两个整数对模m不同余； ③ A中的每个整数都与m互素。 说明：简化剩余系是某个完全剩余系中的部分元素 构成的集合，故满足条件2； 由定义1易知满足条件3； 由定义3易知满足条件1。
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第四讲 孙子定理及应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第五讲 高次同余方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Gauss整数的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第九讲 模m的原根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 模m的原根存在的条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 公钥密码应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十讲 群， 环， 域理论简介（上） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 群的概念及例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 似曾相识的群理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17 基本的群论定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十一讲 必备的抽象代数（下） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18 环和域的概念及例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19 环的算术性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20 理想的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21 域的“熟知”定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 数论函数 第十二讲 基本的数论函数及运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 数论函数pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 麦比乌斯函数和Euler函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dirichlet乘积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 麦比乌斯反演公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 积性函数和完全积性函数 素数分布 同余方法 柯召方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第八讲 素数表平方和问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 素数表平方和主要定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gauss整数的算术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
初等数论讲义
张起帆 April, 2010
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Contents
1 唯一分解定理 第一讲 唯一分解定理的证明及简单应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 带余除法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 同余语言的引进 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 唯一分解定理及证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 应用举例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 进一步的思考 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eratosthenes筛法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一次不定方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fermat数与Mersenne数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 8 9 10 10 10 11 12 13 13 13 14 15 15 15 17 18 18 19 20 23 23 23 24 25
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CONTENTS 第七讲 二次互反律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Gauss引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二次互反律的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 推广的二次互反律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 特殊的二次同余方程的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 28 29 30 31 32 33 34 34 35 37 38 38 38 40 41 42 42 44 45 46 47 47 47 50 51 51 51 52 53 56 56 57 58 61
3 原根与二次剩余 第六讲 模p的原根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 原根的存在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 原根的判别准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二次剩余和勒让德符号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Hale Waihona Puke 第二讲 一些数论问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .