平面向量基本定理03913

2.3.1平面向量基本定理

学习目标：

1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.

2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.

3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角.

学习重点：平面向量基本定理

学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角.

课上导学：

［基础初探］

教材整理1平面向量基本定理

阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题.

1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________

2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一

组基底.

判断(正确的打“，错误的打“X” )

(1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所

有向量的基底.()

(2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.()

(3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( )

教材整理2两向量的夹角与垂直

阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题.

1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ =

B叫做向量a与b的夹角.

(1)范围：向量a与b的夹角的范围是____________

(2)当0= 0°寸，a 与b__ ;当0= 180°时，a 与b _____ .

2. ____________________________ 垂直：如果a与b的夹角是___________________________________ ，我们说a与b垂直，记作_______

［小组合作型］

类型一：用基底表示向量

（1）已知AD是厶ABC的BC边上的中线，若AB= a, AC= b,则AD =（）

1 1 1 1

A . 2（a—b） B. —2（a—b）C. —2（a + b）

D. 2（a + b）

（2）如图设点P, Q是线段AB的三等分点，若OA= a, OB = b,

则OP= ________ , OQ= _________ .用a, b 表示）

［再练一题］

1已知△ ABC中，D为BC的中点，E, F为BC的三等分点, 若AB= a, AC= b用a, b表示AD, AE, AF.

类型二：向量的夹角问题

(1)已知向量a，b，c 满足|a|= 1, |b| = 2, c= a + b, c丄a,则a, b 的夹角等于________ .

(2)若0, b z0,且|a|=|b|=|a—b|,求a 与a+ b 的夹角.

［再练一题］

2.已知|a|= |b|= 2,且a与b的夹角为60° 则a+ b与a的夹角是,

a —b与a的夹角是____________________ .

［课堂回馈］

1. 已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内

所有向量基底的是( )

A . AB, DC B. AD,

B

C C. BC, CB D. AB, DA

2. 已知向量a= e i—2e2, b = 2e i + e?,其中e i, e?不共线，则

a+ b与c= 6e i —2e2的关系是()

A .不共线

B .共线C.相等D.不确定

3. 如图2- 3-8,在矩形ABCD 中，若BC= 5e i, DC = 3e2, 则OC=()

A . 2（5e i + 3e2） B. 2（5e i —3良）C. 2（3e —5e i） D. 2（5e —3e i）

4. （2016福州市八县一中高一联考）已知A, B, D三点共线，且对任一点c，有CD=£C A+ CB,贝S x =（）

2 1 1 2

A. 3

B.3

C.-3

D. — 3

5. 已知e i, e是平面内两个不共线的向量，

a = 3e i—2e?, b=—2e i + e2, c= 7e i —4e?，试用向量 a 禾口

b 表示 c.