等比数列知识点总结与典型例题 (精华版)

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{}n a 中，1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a .思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a .解析：法一：设此数列公比为q ，则8191126371164(1)20(2)a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩由(2)得：241(1)20a q q += (3)∴10a >.由(1)得：421()64a q = , ∴418a q = (4)(3)÷(4)得：42120582q q +==，∴422520q q -+=,解得22q =或212q =当22q =时，12a =，1011164a a q =⋅=；当212q =时，132a =，101111a a q =⋅=.法二：∵193764a a a a ⋅=⋅=,又3720a a +=,∴3a 、7a 为方程220640x x -+=的两实数根， ∴⎩⎨⎧==41673a a 或 ⎩⎨⎧==16473a a∵23117a a a ⋅=, ∴271131a a a ==或1164a =.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

【答案】±96法一：设公比为q ，则768=a 1q 8，q 8=256，∴q=±2，∴a 6=±96；法二：a 52=a 1a 9⇒a 5=±48⇒q=±2，∴a 6=±96。

【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。

【答案】64；∵21894516a a a ==，又a n ＞0，∴a 45=4 ∴34445464564a a a a ==。

【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。

【答案】12n n a -=或32nn a -=；法一：∵2132a a a =，∴312328a a a a ==，∴22a =从而13135,4a a a a +=⎧⎨=⎩解之得11a =，34a =或14a =，31a = 当11a =时，2q =；当14a =时，12q =。

故12n n a -=或32nn a -=。

法二：由等比数列的定义知21a a q =，231a a q =代入已知得2111211178a a q a q a a q a q ⎧++=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩21331(1)7,8a q q a q ⎧++=⎪⇒⎨=⎪⎩211(1)7,(1)2(2)a q q a q ⎧++=⇒⎨=⎩ 将12a q=代入（1）得22520q q -+=， 解得2q =或12q =由（2）得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，以下同方法一。

类型二：等比数列的前n 项和公式例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1.因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q ≠1.由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---，整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0，由q ≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0，因q 3≠1，故312q =-，所以2q =-。

举一反三：【变式1】求等比数列111,,,39的前6项和。

【答案】364243； ∵11a =，13q =，6n =∴666111331364112324313S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-。

【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【答案】1211219或； ∵322273a a =⇒=，31(1)113313a q q q q -=⇒==-或，则a 1=1或a 1=9 ∴5555191131213121S 113913S ⎛⎫⨯ ⎪-⎝⎭==-－或＝＝－.【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，求n 和q 。

【答案】12q =或2，6n =； ∵211n n a a a a -⋅=⋅，∴1128n a a =解方程组1112866n n a a a a =⎧⎨+=⎩，得1642n a a =⎧⎨=⎩ 或1264na a =⎧⎨=⎩①将1642n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a q S q -=-，得12q =，由11n n a a q -=，解得6n =；②将1264na a =⎧⎨=⎩代入11n n a a q S q -=-，得2q =，由11n n a a q -=，解得6n =。

∴12q =或2，6n =。

类型三：等比数列的性质例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=,求3132310log log ...log a a a +++. 解析：∵{}n a 是等比数列，∴110293847569a a a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅= ∴1032313log log log a a a +++ 553123103563log ()log ()log 910a a a a a a =⋅⋅=⋅==举一反三：【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________. 【答案】100；∵lga 1+lga 2+lga 3+……+lga 100=lg(a 1·a 2·a 3·……·a 100) 而a 1·a 100=a 2·a 99=a 3·a 98=……=a 50·a 51∴原式=lg(a 1·a 100)50=50lg(a 1·a 100)=50×lg100=100。

【变式2】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。

【答案】216；法一：设这个等比数列为{}n a ，其公比为q ， ∵183a =，445127823a a q q ===⋅，∴48116q =，294q = ∴23362341111a a a a q a q a q a q ⋅⋅=⋅⋅=⋅33389621634⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

法二：设这个等比数列为{}n a ，公比为q ，则183a =，5272a =，加入的三项分别为2a ，3a ，4a ， 由题意1a ，3a ，5a 也成等比数列，∴238273632a =⨯=，故36a =， ∴23234333216a a a a a a ⋅⋅=⋅==。

类型四：等比数列前n 项和公式的性质例4．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S 。

思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第2个k 项和，第3个k 项和，……，第n 个k 项和仍然成等比数列。

解析：法一：令b 1=S n =48, b 2=S 2n -S n =60-48=12，b 3=S 3n -S 2n 观察b 1=a 1+a 2+……+a n ,b 2=a n+1+a n+2+……+a 2n =q n(a 1+a 2+……+a n )，b 3=a 2n+1+a 2n+2+……+a 3n =q 2n(a 1+a 2+……+a n )易知b 1,b 2,b 3成等比数列，∴2223112348b b b ===，∴S 3n =b 3+S 2n =3+60=63.法二：∵22n n S S ≠，∴1q ≠，由已知得121(1)481(1)601n na q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩①②②÷①得514n q +=，即14nq = ③③代入①得1641a q=-， ∴3133(1)164(1)6314n n a q S q -==-=-。