传热与流动的数值计算
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1.1 传热与流动问题的数学描写
1.1.1 控制方程及其通用形式 1. 质量守恒方程 2. 动量守恒方程 3. 能量守恒方程 4. 通用控制方程 1.1.2 单值性条件 1.1.3 建立数学描写举例
1.1 传热与流动问题的数学描写
一切宏观的流动与传热问题都由三个守恒定律所 支配：质量、动量与能量守恒（conservation law)。 不同问题的区别主要在于单值性条件 (conditions for unique solution)、物性及源项的不同。
1.1.2 单值性条件（以温度场求解为例） 1. 初始条件 2. 边界条件 （1） 第一类 (Dirichlet)：
t 0, T f ( x, y, z )
TB Tgiven
T （2） 第二类 (Neumann)： qB ( ) B qgiven n
阶导数与函数之间的关系: ( T ) B h(TB T f )
cp
c p
( ) c p
Pr
4. 通用控制方程
( ) * * div( U ) div( grad ) S t
瞬态项 对流项 扩散项 广义源项 不同求解变量之间的区别： （1）边界条件与初始条件不同； （2）广义源项表达式不同； （3）广义扩散系数不同。 文献中常以表格形式给出所求解变量的源项与 广义扩散系数的表达式。
1.2 传热与流动问题数值计算的基本思想及应用举例
1.2.1 数值解基本思想（基于连续介质假设）
把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场 （如速度场、温度场、浓度场等），用一系列有限 个离散点（称为节点，node)上的值的集合来代替； 通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关 系的代数方程(称为离散方程，discretization equation)；求解所建立起来的代数方程以获得所求 解变量的近似值。
n
（3） 第三类 (Rubin)：规定了边界上被求函数的一
数值计算中计算区域的出口边界条件常常最难 确定，要做近似处理。
固wenku.baidu.com导热与对流传热第三类边界条件的区别
固体导热第 三类边界条 件
对流传热第 三类边界条 件
1.1.3 建立数学描写举例 1. 问题与假设条件
突扩区域中的对流传热：二维、稳态、不可压缩、 常物性、不计重力与黏性耗散。
类似地：
u v w p ) (divU ) Fy Sv ( ) ( ) ( x y y y z y y y
u v w p S w ( ) ( ) ( ) (divU ) Fz x z y z z z z z
守恒型与非守恒型
1.3 传热与流动问题的数学描写的分类及其对数值解的影响 1.3.1 从数学角度分类 1. 二阶二元拟线性偏微分方程的数学一般形式
axx bxy c yy d x e y f g ( x, y )
a, b, c, d , e, f
可为
x, y ,
Elliptic
的函数。 椭圆型 （回流型） 抛物型 （边界层）
0,
b 4ac
2
0, 0,
Parabolic
hyperbolic 双曲型
2. 三类偏微分方程的特点
b 4ac 0, 椭圆型没有实的特征线;
2 2 2
b 4ac 0, 抛物型有一条实的特征线; b 4ac 0, 双曲型有两条实的特征线。
2 2
(uT ) (vT ) T T a( 2 2 ) x y x y
2 2
3. 边界条件
定u,v,T随 y 的分布；
（1）进口边界条件：给
u T （3）中心线： 0; v 0 y y
y x
界：数学上要 求给定u,v,T或 其导数随 y 的 分布；实际上 做不到；数值 上近似处理。
非守恒型
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x y x
(uT ) (vT ) 2T 2T a( 2 2 ) x y x y
(uT ) (vT ) div(TU ) x y
导致依赖区(domain of dependence) 与影响区 (domain of influence)的不同。 所谓依赖区是指赖以决定一个节点的变量数值的 区域；影响区是一个节点的变量影响所及的区域。
T T a 2 t y
2
1 T 1 2T 2T 2 2 2 y a t c t
2. 控制方程
u v 0 x y
(uu ) (vu ) 1 p u u ( 2 2 ) x y x x y 2 2 (uv) (vv) 1 p v v ( 2 2 ) x y y x y
康
陈景仁
D B Brebbia
FDM(a),FVM(b),FEM(c),FAM(d)四种方法的比较
FDM
FVM
FEM
FAM
所有这些方法都需要生成网格：1）确定节点的 位置；2）建立结点之间的相互的影响关系。
1.3 传热与流动问题的数学描写的分类及其对数值 解的影响
1.3.1 从数学角度分类 1. 二阶二元拟线性偏微分方程的数学一般形式 2. 三类偏微分方程的特点 3. 与数值解的关系 1.3.2 从物理角度分类
守恒型：凡是对流项用散度（divergence)形式表 示的控制方程称为守恒型方程。 非守恒型：凡是对流项不是用散度形式表示的控制 方程称为非守恒型方程。 守恒型控制方程与非守恒型控制方程只是数值计 算中采用的概念。
2－D，稳态，不可压，常物性对流换热问题 守恒型
(uu ) (vu ) 1 p 2u 2u ( 2 2 ) x x y x y
1.1.1 控制方程及其通用形式 1. 质量守恒方程
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
不可压缩流体： div(U ) 0
( u ) ( v) ( w) =div( U ) x y z
常物性不可压缩流体动量方程源项中显含速度部分 为零。
3. 能量守恒方程
[微元体内热力学能的增加率]=[进入微元体内的净热 流量]+[体积力与表面力对微元体所做的功] 引入导热Fourier定律，忽略力所作的功， 设hc
pT ;
c p 为常数
( T ) div( T U ) div( gradT ) ST t cp
（4）出口边
（2）固体边界条件：速度无滑移，温度无跳跃
1.2 传热与流动问题数值计算的基本思想及应用举例
1.2.1 数值解基本思想（基于连续介质假设） 1.2.2 基于连续介质假设数值解方法分类 1.2.3 科学研究的三大基本方法及其关系 1.2.4 应用举例 1.2.5 通用控制方程形式的改进 1.2.6 数值传热学学习方法建议
区域离散
方程离散
代数求解 结果分析
1.2.2 基于连续介质假设数值解方法分类 1. 有限差分（FDM） 2. 有限容积（FVM） 3. 有限元法（FEM） 4. 有限分析（FAM） 5. 边界元法（BEM） L F Richardson(1910),A Thom D B Spalding; S V Patankar O C Zienkiewicz; 冯
2 2 2 C t 2 y 2
axx bxy c yy ..
3. 与数值解的关系
（1）椭圆型问题： 流动有回流，必须 全场同时求解； （2）抛物型问题：流动无回流，计算可以沿主流方向 步步逼进，不必全场同时求解，大大节省时间。
Marching method
4. 单向坐标(One-way coordinate)与双向坐标 (Twoway coordinate)
u v w 0 x y z
div( U ) 0 t
称为流动无散（度）条件 (Zero divergence)。
2. 动量守恒方程
对上图所示的微元体分别在三个坐标方向上应用 Newton第2定律（F=ma)在流体中的表现形式： [微元体内动量的增加率]=[作用在微元体上各种力之和] 假设流体中切应力与正应力满足Stokes假定：应 力与应变成线性关系，可得u-动量方程如下：
律的成立
( c pT ) t
div( c pTU ) div( gradT ) ST c p
( c p T )dv div( c pTU )dv div( gradT )dv ST c p dv t V V V V
双向坐标－扰动可以向两个方向传递，同时该坐标 上任一点处物理量之值可受到两侧条件的影响； 椭圆型问题中的空间坐标为双向坐标。 单向坐标－扰动仅向一个方向传递，同时该坐标上 任一点处物理量之值也仅受到来自一侧条件的影 响；单向坐标包括： 瞬态问题中的时间，抛物型问题中的主流方向。
1.3.2 从物理角度分类 1. 守恒型(Conservative)与非守恒型 (Non-conservative)
于是
div( grad (u ))
u u u ( ) ( ) ( ) x x y y z z
( u ) div( uU ) div( gradu ) Su t
源项为：
u v w p ) (divU ) Fx Su ( ) ( ) ( x x y x z x x x
T T 2T 2T v a( 2 2 ) u x y x y
(uu ) (vu ) div(uU ) div( U ) div(U ) 0 x y
对流项的散度形式
div(uU ) 0?
2. 只有守恒型的方程才能保证有限大小体积内守恒定
( u ) ( uu ) ( uv ) ( uw) p u (divU 2 ) t x y z x x x v u u w [ ( )] [ ( )] Fx y x y z z x
5. 四点说明
1. 所导出的三维非稳态Navier-Stokes方程，无论对 层流或是湍流都是适用的。 2. 当流动与换热过程伴随有质交换时，控制方程中还 应增加组份守恒定律。 3. 虽然假定了比热为常数，也可以近似应用于比热的 变化不是很剧烈的情况。 4. 辐射换热需要用积分方程来描述，本课程中将不涉 及这类问题。
为流体的动力粘度 ， 称为流体的第2分子粘度。
上式右端部分可进一步转化：
v u p u u w (divU 2 ) [ ( )] [ ( )] Fx x x y x y z z x x
u u u u v w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (divU ) x x y y z z x x y x z x x p Fx u u u x div( gradu ) Su grad (u ) i j k x y z
1.1.1 控制方程及其通用形式 1. 质量守恒方程 2. 动量守恒方程 3. 能量守恒方程 4. 通用控制方程 1.1.2 单值性条件 1.1.3 建立数学描写举例
1.1 传热与流动问题的数学描写
一切宏观的流动与传热问题都由三个守恒定律所 支配：质量、动量与能量守恒（conservation law)。 不同问题的区别主要在于单值性条件 (conditions for unique solution)、物性及源项的不同。
1.1.2 单值性条件（以温度场求解为例） 1. 初始条件 2. 边界条件 （1） 第一类 (Dirichlet)：
t 0, T f ( x, y, z )
TB Tgiven
T （2） 第二类 (Neumann)： qB ( ) B qgiven n
阶导数与函数之间的关系: ( T ) B h(TB T f )
cp
c p
( ) c p
Pr
4. 通用控制方程
( ) * * div( U ) div( grad ) S t
瞬态项 对流项 扩散项 广义源项 不同求解变量之间的区别： （1）边界条件与初始条件不同； （2）广义源项表达式不同； （3）广义扩散系数不同。 文献中常以表格形式给出所求解变量的源项与 广义扩散系数的表达式。
1.2 传热与流动问题数值计算的基本思想及应用举例
1.2.1 数值解基本思想（基于连续介质假设）
把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场 （如速度场、温度场、浓度场等），用一系列有限 个离散点（称为节点，node)上的值的集合来代替； 通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关 系的代数方程(称为离散方程，discretization equation)；求解所建立起来的代数方程以获得所求 解变量的近似值。
n
（3） 第三类 (Rubin)：规定了边界上被求函数的一
数值计算中计算区域的出口边界条件常常最难 确定，要做近似处理。
固wenku.baidu.com导热与对流传热第三类边界条件的区别
固体导热第 三类边界条 件
对流传热第 三类边界条 件
1.1.3 建立数学描写举例 1. 问题与假设条件
突扩区域中的对流传热：二维、稳态、不可压缩、 常物性、不计重力与黏性耗散。
类似地：
u v w p ) (divU ) Fy Sv ( ) ( ) ( x y y y z y y y
u v w p S w ( ) ( ) ( ) (divU ) Fz x z y z z z z z
守恒型与非守恒型
1.3 传热与流动问题的数学描写的分类及其对数值解的影响 1.3.1 从数学角度分类 1. 二阶二元拟线性偏微分方程的数学一般形式
axx bxy c yy d x e y f g ( x, y )
a, b, c, d , e, f
可为
x, y ,
Elliptic
的函数。 椭圆型 （回流型） 抛物型 （边界层）
0,
b 4ac
2
0, 0,
Parabolic
hyperbolic 双曲型
2. 三类偏微分方程的特点
b 4ac 0, 椭圆型没有实的特征线;
2 2 2
b 4ac 0, 抛物型有一条实的特征线; b 4ac 0, 双曲型有两条实的特征线。
2 2
(uT ) (vT ) T T a( 2 2 ) x y x y
2 2
3. 边界条件
定u,v,T随 y 的分布；
（1）进口边界条件：给
u T （3）中心线： 0; v 0 y y
y x
界：数学上要 求给定u,v,T或 其导数随 y 的 分布；实际上 做不到；数值 上近似处理。
非守恒型
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x y x
(uT ) (vT ) 2T 2T a( 2 2 ) x y x y
(uT ) (vT ) div(TU ) x y
导致依赖区(domain of dependence) 与影响区 (domain of influence)的不同。 所谓依赖区是指赖以决定一个节点的变量数值的 区域；影响区是一个节点的变量影响所及的区域。
T T a 2 t y
2
1 T 1 2T 2T 2 2 2 y a t c t
2. 控制方程
u v 0 x y
(uu ) (vu ) 1 p u u ( 2 2 ) x y x x y 2 2 (uv) (vv) 1 p v v ( 2 2 ) x y y x y
康
陈景仁
D B Brebbia
FDM(a),FVM(b),FEM(c),FAM(d)四种方法的比较
FDM
FVM
FEM
FAM
所有这些方法都需要生成网格：1）确定节点的 位置；2）建立结点之间的相互的影响关系。
1.3 传热与流动问题的数学描写的分类及其对数值 解的影响
1.3.1 从数学角度分类 1. 二阶二元拟线性偏微分方程的数学一般形式 2. 三类偏微分方程的特点 3. 与数值解的关系 1.3.2 从物理角度分类
守恒型：凡是对流项用散度（divergence)形式表 示的控制方程称为守恒型方程。 非守恒型：凡是对流项不是用散度形式表示的控制 方程称为非守恒型方程。 守恒型控制方程与非守恒型控制方程只是数值计 算中采用的概念。
2－D，稳态，不可压，常物性对流换热问题 守恒型
(uu ) (vu ) 1 p 2u 2u ( 2 2 ) x x y x y
1.1.1 控制方程及其通用形式 1. 质量守恒方程
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
不可压缩流体： div(U ) 0
( u ) ( v) ( w) =div( U ) x y z
常物性不可压缩流体动量方程源项中显含速度部分 为零。
3. 能量守恒方程
[微元体内热力学能的增加率]=[进入微元体内的净热 流量]+[体积力与表面力对微元体所做的功] 引入导热Fourier定律，忽略力所作的功， 设hc
pT ;
c p 为常数
( T ) div( T U ) div( gradT ) ST t cp
（4）出口边
（2）固体边界条件：速度无滑移，温度无跳跃
1.2 传热与流动问题数值计算的基本思想及应用举例
1.2.1 数值解基本思想（基于连续介质假设） 1.2.2 基于连续介质假设数值解方法分类 1.2.3 科学研究的三大基本方法及其关系 1.2.4 应用举例 1.2.5 通用控制方程形式的改进 1.2.6 数值传热学学习方法建议
区域离散
方程离散
代数求解 结果分析
1.2.2 基于连续介质假设数值解方法分类 1. 有限差分（FDM） 2. 有限容积（FVM） 3. 有限元法（FEM） 4. 有限分析（FAM） 5. 边界元法（BEM） L F Richardson(1910),A Thom D B Spalding; S V Patankar O C Zienkiewicz; 冯
2 2 2 C t 2 y 2
axx bxy c yy ..
3. 与数值解的关系
（1）椭圆型问题： 流动有回流，必须 全场同时求解； （2）抛物型问题：流动无回流，计算可以沿主流方向 步步逼进，不必全场同时求解，大大节省时间。
Marching method
4. 单向坐标(One-way coordinate)与双向坐标 (Twoway coordinate)
u v w 0 x y z
div( U ) 0 t
称为流动无散（度）条件 (Zero divergence)。
2. 动量守恒方程
对上图所示的微元体分别在三个坐标方向上应用 Newton第2定律（F=ma)在流体中的表现形式： [微元体内动量的增加率]=[作用在微元体上各种力之和] 假设流体中切应力与正应力满足Stokes假定：应 力与应变成线性关系，可得u-动量方程如下：
律的成立
( c pT ) t
div( c pTU ) div( gradT ) ST c p
( c p T )dv div( c pTU )dv div( gradT )dv ST c p dv t V V V V
双向坐标－扰动可以向两个方向传递，同时该坐标 上任一点处物理量之值可受到两侧条件的影响； 椭圆型问题中的空间坐标为双向坐标。 单向坐标－扰动仅向一个方向传递，同时该坐标上 任一点处物理量之值也仅受到来自一侧条件的影 响；单向坐标包括： 瞬态问题中的时间，抛物型问题中的主流方向。
1.3.2 从物理角度分类 1. 守恒型(Conservative)与非守恒型 (Non-conservative)
于是
div( grad (u ))
u u u ( ) ( ) ( ) x x y y z z
( u ) div( uU ) div( gradu ) Su t
源项为：
u v w p ) (divU ) Fx Su ( ) ( ) ( x x y x z x x x
T T 2T 2T v a( 2 2 ) u x y x y
(uu ) (vu ) div(uU ) div( U ) div(U ) 0 x y
对流项的散度形式
div(uU ) 0?
2. 只有守恒型的方程才能保证有限大小体积内守恒定
( u ) ( uu ) ( uv ) ( uw) p u (divU 2 ) t x y z x x x v u u w [ ( )] [ ( )] Fx y x y z z x
5. 四点说明
1. 所导出的三维非稳态Navier-Stokes方程，无论对 层流或是湍流都是适用的。 2. 当流动与换热过程伴随有质交换时，控制方程中还 应增加组份守恒定律。 3. 虽然假定了比热为常数，也可以近似应用于比热的 变化不是很剧烈的情况。 4. 辐射换热需要用积分方程来描述，本课程中将不涉 及这类问题。
为流体的动力粘度 ， 称为流体的第2分子粘度。
上式右端部分可进一步转化：
v u p u u w (divU 2 ) [ ( )] [ ( )] Fx x x y x y z z x x
u u u u v w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (divU ) x x y y z z x x y x z x x p Fx u u u x div( gradu ) Su grad (u ) i j k x y z