第五章 有限元建模基础
有限元模型建立步骤
有限元模型建立步骤
嘿，咱今儿就来唠唠这有限元模型建立步骤。
你说这有限元模型建立啊，就像是搭积木，得一块一块来，还得搭
得稳当、搭得漂亮。
首先呢，得有个清晰的规划，就像你要盖房子，得先想好盖个啥样的，这模型到底要用来干啥。
这可不是能随便糊弄的事儿，你得心里
有数啊，对吧？
然后就是对模型进行简化啦，把那些复杂得让人头疼的东西变得简
单点，不然咋下手啊。
这就好比你要画一幅画，总不能把所有细节都
一股脑儿往上堆吧，得抓重点呀！
接下来，就是划分网格啦，这可是个精细活儿。
就像给一个大蛋糕
切小块儿，得切得均匀、合适。
网格分得好，后面的计算才靠谱呢。
再之后呢，得确定各种边界条件和载荷情况。
这就好像给模型穿上
合适的衣服，得符合实际情况呀，不能乱套。
材料属性也不能马虎，这就像是给模型注入灵魂，不同的材料可有
不同的脾气呢。
然后就到了求解啦，这就像是一场考试，前面准备得好，这时候才
能考出好成绩。
最后别忘了验证结果，看看对不对，就像做完作业得检查一遍一样。
你想想看，要是这步骤没走好，那模型能好用吗？那不是白费劲嘛！所以啊，每一步都得认真对待，不能掉以轻心。
比如说，要是简化得不合理，那后面的计算可能就全错啦；要是网
格分得乱七八糟，那结果能准吗？就好比你走路，路都没铺好，还能
走得稳当吗？
这有限元模型建立啊，真的是一门学问，得慢慢琢磨，细心钻研。
咱可不能马马虎虎，得对自己的成果负责呀！这样建立出来的模型才
能可靠，才能发挥出它应有的作用。
你说是不是这个理儿呢？。
有限元几何建模
有限元几何建模什么是有限元几何建模？有限元几何建模是一种在工程领域中常用的计算方法，用于分析和解决复杂的结构问题。
它将实际结构转化为离散的几何模型，并利用数学方法对其进行分析和求解。
有限元几何建模可以帮助工程师更好地理解结构行为、预测性能和优化设计。
有限元几何建模的步骤有限元几何建模通常包括以下步骤：1. 几何建模首先，需要根据实际结构的形状和尺寸创建一个几何模型。
这可以通过计算机辅助设计（CAD）软件完成。
在CAD软件中，可以使用各种工具进行绘图、创建曲线和曲面等操作，以生成精确的三维几何形状。
2. 离散化接下来，需要将连续的几何形状离散化为一系列小区域，称为有限单元。
这些有限单元可以是简单的三角形、四边形或六面体等形状。
离散化过程可以使用网格生成软件完成。
3. 材料属性定义每个有限单元都需要定义材料属性，包括弹性模量、泊松比、密度等。
这些属性可以根据实际材料的特性进行确定，也可以通过实验测试获得。
4. 约束条件和加载在模型中添加约束条件和加载是非常重要的步骤。
约束条件定义了结构的边界条件，例如支座、铰接等。
加载则表示施加在结构上的外部力或压力。
这些信息通常可以从实际工程问题中获得。
5. 求解有限元方法基于数学原理来求解结构问题。
通过将结构分解为有限单元，并对每个单元进行数学建模，可以建立一个大型的线性或非线性代数方程组。
这个方程组可以使用数值方法求解，例如迭代法或直接法。
6. 后处理最后，需要对求解结果进行后处理分析。
后处理通常包括绘制变形图、应力图、位移图等，并对这些结果进行评估和解释。
有限元几何建模的应用领域有限元几何建模广泛应用于各个工程领域，包括航空航天、汽车制造、建筑设计等。
它可以用于分析和优化复杂结构的强度、刚度、振动特性等。
以下是一些常见的应用领域：1. 结构分析有限元几何建模可以用于分析各种结构的受力情况，例如桥梁、建筑物、机械零件等。
通过模拟实际工作条件和加载情况，可以评估结构的安全性和可靠性。
有限元建模
2) 结构非线性分析
在静态和瞬态分析中，考察多种非线性(材料、几何和 单元非线性)的影响
①材料非线性分析 ——用非线性应力—应变关系表征
的塑性、多线性、弹性、超弹性以及应变与其他因素(时间 、温度等)有关的粘塑性、蠕变、膨胀、粘弹性。非线性材 料性质用Newton-Raphson方法解决
②几何非线性分析 ——解决几何非线性问题：大变形
初始条件都满足对称性。 反对称性——几何形状、物理性质、边界条件、初始条 件都满足对称性，载荷分布满足反对称性。 对称性约束条件——在对称面上，垂直于对称面的位移 分量为零，剪应力为零。 反对称性约束条件——在对称面上，平行于对称面的位 移分量为零，正应力为零。
几何对称，载荷任意： ——利用对称性，分解载荷成对称和反对称，将问题规
模缩小。
对称性约束条件——在对称面上，垂直于对称面的位 移分量为零，剪应力为零。 在节点位移为零的方向上，设为铰链支承。
结构轴对称，载荷反对称——反对称载荷，结构位移 反对称。在节点位移为零的方向上，设为铰链支承。原 固定边，改设节点为固定铰链支承。 反对称性约束条件——在对称面上，平行于对称面的 位移分量为零，正应力为零。
、大应变、应力刚化和旋转软化。模拟汽车碰撞和物体下 落过程
3) 热分析 4) 电场分析和压电分析 5) 电磁场分析和耦合场分析 6) 流体动力学分析 ANSYS的材料与单元库
材料——不随温度变化的各向同性材料，各向异性 材料，随温度变化的材料 单元——100多种单元类型。单元分为二维和三维， 具有点、线、面或体的形式，可选用线性和二次(带边中 节点)单元
2.5 网格划分
模型网格分得越细，精度越高，但计算成本也越高。网格 选择一定要根据力学性能进行合理的划分。高应力、应力梯 度大的区域，网格要细；低应力、应力变化平缓的区域，网 格可粗一些；网格疏密相交区域，可使用过渡单元。
有限元模型建模过程
有限元模型建模过程有限元模型建模，这可真是个技术活儿，就像盖房子一样，每一块砖头都得放对地方，每一根钢筋都得恰到好处。
咱们先来说说模型的简化。
这一步就好比是给一个大胖子瘦身，把那些不重要的、对结果影响不大的细节给去掉。
你想想，要是不简化，模型复杂得就像一团乱麻，处理起来能把人给累趴下！比如说，一个机械零件上的小小倒角，在某些情况下，对整体的力学性能影响微乎其微，那就别让它来捣乱啦。
接下来是网格划分。
这网格就像是一张大网，把模型分割成一个个小格子。
网格划分得好不好，直接关系到计算结果的准确性和效率。
要是网格太粗糙，就像用大网眼去捞小鱼，很多关键信息都给漏掉了；要是网格太细密，那计算量可就大得吓人，等结果出来，花儿都谢了。
所以得根据实际情况，拿捏好这个度。
再说说材料属性的定义。
这就好比给每个零件穿上合适的衣服，不同的材料有不同的特性，强度、硬度、弹性模量等等。
如果把钢的属性给了塑料，那得出的结果不就闹笑话了吗？边界条件的设定也很关键。
这就像是给模型装上了轨道，规定它能怎么动，不能怎么动。
比如说，一个固定的支撑点，就得让它老老实实呆着，不能乱跑；一个施加的力，就得搞清楚方向和大小。
不然，模型就像脱缰的野马，不知道跑到哪里去了。
加载条件的确定也不能马虎。
这就像是给模型加上担子，担子有多重，放在哪里，都得心里有数。
加载不当，结果可能就差之千里。
模型检查也是必不可少的一步。
这就像考试前的检查试卷，看看有没有漏题，有没有写错。
检查网格质量、材料属性、边界条件等等，一个小错误都可能导致全盘皆输。
有限元模型建模可不简单，需要耐心和细心，就像雕琢一件艺术品。
每一个步骤都不能掉以轻心，每一个参数都得反复斟酌。
只有这样，才能得到准确可靠的结果，为我们的设计和分析提供有力的支持。
你说是不是？总之，有限元模型建模是个精细活，得用心对待，才能收获满意的成果！。
《有限元基础》课件
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
有限元建模的一般步骤
有限元建模的一般步骤咱们得建模了。
把我们的物体或者结构在电脑上“画”出来。
就像在画画，先画个大概，然后慢慢填细节。
要注意啊，这里的每一个细节都很重要，像是画画的时候不能把人画成狗。
把物体分成小块，称之为“单元”，每个单元就像是个小棋子，在整个棋盘上各司其职。
这些单元会让整个模型更精确，毕竟谁不想在比赛中赢得漂亮呢？然后，咱们得给这些小块加点条件。
就像给每个角色设置个性，不同的材料、不同的受力方式、温度变化等等，都是影响结果的因素。
比如，你给木头和钢铁的强度设定可不能搞混了，不然可就闹笑话了。
你想象一下，木头的坚韧程度和钢铁比，简直就是一文不值。
这时候，得设置边界条件，确保模型能在现实中运行。
就好比给孩子们设个规矩，跑得快慢都有个底线。
算完了，咱们得做分析。
这个环节就像是个侦探，得仔细观察每个单元的反应，看看它们承受的力量如何、变形有多大。
通过计算，咱们可以得到一些结果，比如最大应力在哪里，变形量有多少。
这一过程就像是在解谜，拼凑出全貌，让人兴奋得很。
结果出来的时候，你心里那叫一个忐忑，既期待又紧张，就像开盲盒一样。
结果出来了不代表就万事大吉，得认真检查。
就像考试后查答案，不能草草了事。
有没有哪个地方不合理，或者数据不对劲的，得逐一核实。
这个环节可不能马虎，哪怕一丁点错误，都可能导致整个模型的失败，真是“千里之堤毁于蚁穴”啊。
做完这一步，你得看看有没有改进的地方，或者一些小窍门能让下次建模更顺利。
如果结果不尽如人意，那就得反复推敲，像是练习乐器，得多来几遍才能找到感觉。
有时候你可能需要调整模型，甚至重新设置条件。
可不要气馁，毕竟“失败乃成功之母”，每一次的调整都是向成功更进一步的过程。
想想那些伟大的科学家，多少次实验失败，最后还是发现了伟大的东西。
建模的成果要用图表和报告来呈现，就像把一份美味的佳肴端上桌，让大家都来品尝。
这不仅是对自己努力的认可，更是与团队分享的快乐。
通过这些结果，大家可以一起讨论，甚至展开新的研究方向。
有限元法基础
有限元法基础一、引言有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程领域。
它通过将复杂的实际问题离散化为有限个简单的子问题，利用数值计算方法求解，从而得到问题的近似解。
本文将介绍有限元法的基础知识和应用。
二、有限元法的基本原理有限元法的基本思想是将求解区域划分为有限个简单的几何单元，如三角形、四边形等，每个几何单元内部的物理量假设为一个局部函数，通过组合这些局部函数来逼近整个求解区域内的物理量。
有限元法的基本步骤包括：建立数学模型、离散化、建立有限元方程、求解有限元方程、后处理。
三、建立数学模型建立数学模型是有限元法的第一步，它包括确定问题的几何形状、边界条件和材料特性等。
在建立数学模型时，需要根据实际问题的特点选择适当的数学方程描述物理现象，如弹性力学方程、热传导方程等。
四、离散化离散化是将求解区域划分为有限个几何单元的过程。
常见的几何单元有三角形、四边形、六面体等。
离散化的精细程度取决于问题的复杂度和精度要求，一般来说，划分得越细，结果越精确，但计算量也越大。
五、建立有限元方程建立有限元方程是根据离散化后的几何单元和数学模型，利用变分原理或加权残差法推导出的。
有限元方程是一个代数方程组，包含未知数和已知数，未知数是几何单元内的物理量，已知数是边界条件和材料特性等。
六、求解有限元方程求解有限元方程是通过数值计算方法解算方程组，得到未知数的近似解。
常用的求解方法有直接法、迭代法和松弛法等。
在求解过程中，需要注意数值稳定性和计算精度的控制。
七、后处理后处理是对求解结果进行分析和可视化的过程。
通过后处理，可以得到问题的各种物理量分布、应力分布等，进一步分析和评估计算结果的合理性和准确性。
八、有限元法的应用有限元法广泛应用于工程领域，如结构力学分析、流体力学分析、热传导分析等。
在结构力学分析中，有限元法可以用于计算结构的应力、应变、变形等；在流体力学分析中，有限元法可以用于模拟流体的流动行为；在热传导分析中，有限元法可以用于计算物体的温度分布等。
有限元原理与应用
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
六 求解线方程组
七 计算其它物理量
第二节 平面问题有限元法
八 计算结果处理
第二节 轴对称问题有限元法
二、单元分析
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
三、单元刚度矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
三、单元刚度矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
三、单元刚度矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 平面问题有限元法
3 总刚矩阵的特点
第二节 平面问题有限元法
3 总刚矩阵的特点
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
有限元基本原理
有限元基本原理
有限元基本原理是一种数值分析方法，用于解决连续介质力学问题。
它将连续物体离散化为有限数量的小单元，通过对这些小单元的力学行为进行建模和分析，来推导出整体结构的力学特性。
有限元分析的步骤如下：
1. 离散化：将结构或物体分割成有限数量的小单元，例如三角形或四边形。
这些小单元被称为有限元素。
2. 建立数学模型：在每个有限元素内，选择适当的数学表达式来描述变形和应力分布。
这些表达式通常基于线性弹性理论或非线性材料模型。
3. 形成刚度矩阵：通过将每个有限元素的刚度矩阵组合起来，形成整体系统的刚度矩阵。
刚度矩阵描述了结构在受力作用下的刚度和变形响应。
4. 施加边界条件：给定结构的边界条件，例如约束和载荷。
这些条件可用于限制结构的自由度和模拟外部加载。
5. 求解方程：将边界条件应用到刚度矩阵上，并求解得到结构的位移和应力分布。
6. 分析结果：利用位移和应力分布，评估结构的强度、刚度、变形等力学特性。
这些结果可以帮助设计师优化结构并预测其
行为。
有限元基本原理的核心思想是将复杂的力学问题转化为小单元内的简单数学表达式，并通过组合这些单元的行为来推导整体结构的力学性能。
这种方法具有广泛的应用领域，包括结构分析、流体力学、热传导等。
有限元的理论基础
有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。
对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。
已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。
若计算问题具有对称性，应充分利用它。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
8第五章 基于实体有限元模型建模1点线
命令：LOCAL,KCN,KCS,XC,YC,ZC,THXY,THYZ,THZX
KCN:该区域坐标系确定代号,须大于10.
KCS:该区域坐标系的属性
KCS=0,1,2(卡,圆,球面坐标)
XC,YC,ZC:该区域坐标系与整体坐标系原点的关系.
关系.
THXY,THYZ,THZX:该区域坐标系与整体坐标系X,Y,Z的
第五章基于实体有限元模型建模
5.3群组命令介绍
有限元模型的直接建立法中主要的对象有节点及元素， 我们己学了许多相关命令，实体模型的建立含点、线、面 积、体积等对象，从对象角度来说许多命令非常相似，例 如节点示意图、元素示意图、点示意图、线示意图、面积 示意图及体积示意图等。本节以群组命令方式帮助同学将 前面所学的命令应用于建立实体模型。
K,NPT,X,Y,Z
/PREP7 K,1,1 K,5,2
第五章基于实体有限元模型建模
命命令令2 KFILL,NP1,NP2,NFILL,NSTRT,NINC,SPACE
点填充命令是自动将两点(NPl，NP2)间在现有的坐标 系统下填充许多点，两点间填充的点个数(NFILL)及分布 状态视其参数(NSTRT ,NINC，SPACE)而定，系统设定为 均分填满。
WPOFFS,XOFF,YOFF,ZOFF WPROTA,THXY,THYZ,THZX /PREP7 K,1,1 K,3,3 KFILL,1,3 KWPAVE,1,2
WPOFFS,0.5
WPROTA,45
第五章基于实体有限元模型建模
命命令令5，6
WPCSYS,WN,KCN
将工作平面定义于已知坐标系统上，己知坐标系统为3个整体 坐标系统及使用者利用LOCAL所定义的区域坐标。
有限元建模基本原则
一.确保精度二.控制规模一.确保精度：况下，即使采用较少的单元和较低的差值函数阶次，也能获得较满意的离散精度。
例如，假设场函数在整个结构内的分布是二次函数，则用一个二次单元离散就能得到场函数的精确解。
如果场函数是线性或接近于线性分布，则用线性单元离散也能得到很好的离散精度。
但实际问题的场函数往往很复杂（如存在应力集中），在整个结构内很难遵循某一种函数规律，某些部位可能按高阶函数规律分布，某些部位又可能接近低阶函数的性质。
故，在划网格时，结构内的不同部位可能采用不同密度和阶次的网格形式。
综上所述：提高精度的措施：1.提高单元阶次（单元插值函数完全多项式的最高次数）阶次越高，插值函数越能逼近复杂的真实场函数，物理离散精度越高。
其次，高阶单元的边界可以是曲线或曲面，因此在离散具有曲线或曲面边界的结构时，几何离散误差也较线性单元小。
所以当结构的场函数和形状较复杂时，可以采用这种方法来提高精度。
单元的阶次越高，收敛速度越快。
2.增加单元数量等同于减小单元尺寸，尺寸减小时，单元的插值函数和边界能够逼近结构的实际的场函数和实际边界，物理和几何离散误差都将减小。
当模型规模不太大时，可以采用这种方法提高精度。
但是值得注意的是：精度随着单元数量增加是有限的，当数量增加到一定程度后，继续增加单元数量，精度却提高甚微，再采用这种方法就不经济了。
实际操作时可以比较两种单元数量的计算结果，如果两次计算的差别较大，可以继续增加单元数量，否则停止增加。
3.划分规则的单元形状单元形状的好坏将影响模型的局部精度，如果模型中存在较多的形状较差的单元，则会影响整个模型的精度。
直观上看，单元各条棱边或各个内角相差不大的形状是较好的形状。
4.建立与实际相符的边界条件如果模型边界条件与实际工况相差较大，计算结果就会出现较大的误差，这种误差有时甚至会超过有限元法本身带来的原理性误差。
可采用组合结构模型法，这种方法可以较好地考虑影响较大的结构间的相互作用，避免人为设置边界条件带来的误差。
有限元基础讲解
有限元基础讲解
有限元分析是一种工程数值分析方法，用于解决复杂结构的力学问题。
它将结构划分为有限数量的小单元，通过对这些小单元进行数值计算，得到整个结构的力学行为。
有限元分析的基本步骤包括：
1. 离散化：将结构划分为有限数量的小单元，如三角形、四边形、六面体等。
每个小单元具有一些自由度，用于描述该单元的位移、应力等信息。
2. 建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料性质，计算每个小单元的刚度矩阵。
刚度矩阵描述了小单元受力和位移之间的关系。
3. 组装全局刚度矩阵：将所有小单元的刚度矩阵组装成整个结构的全局刚度矩阵。
这个过程涉及到将小单元的自由度与整个结构的自由度进行匹配。
4. 施加边界条件：确定结构的边界条件，如固支、受力等。
将这些边界条件转化为对应的约束条件，将其应用于全局刚度矩阵中。
5. 求解方程：将约束条件应用于全局刚度矩阵，得到未知位移的方程。
通过求解这些方程，可以得到结构的位移、应力等信息。
6. 后处理：根据求解结果，进行后处理分析。
可以计算结构的应力、变形、位移等，并进行可视化展示。
有限元分析的优点包括可以处理复杂的几何形状和边界条件，具有较高的计算精度和灵活性。
但也存在一些限制，如需要对结构进行合理的离散化、需要大量的计算资源等。
有限元方法-第五章--平面三角形单元
1 um ym
1 xm um
其中
1 xi yi
2 1 x j y j
1 xm ym
(c) (d) (5-8)
从解析几何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面积。
为保证求得的面积为正值，节点i、j、m的编排次序必须是逆 时针方向，如图5-2所示。
y
vj (Vj )
j
uj (Uj )
um (Um )
0
(b)
Ni xm
,
ym
1 2
ai
bi xm
ci ym
0
(c)
类似地有
N j xi , yi 0 , N j x j , y j 1 , N j xm , ym 0 (d) Nm xi , yi 0 , Nm x j , y j 0 , Nm xm , ym 1
式中 1、2、…6是待定常数。因三角形单元共有六个
自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于 这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分 别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式， 得：
ui 1 2 xi 3 yi
, v j 4 5xi 6 yi
cj 和am 、bm 、cm 分别是行列式2的第一行、第二行和第 三行各元素的代数余子式，我们有
⒈ 形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它 点
为在节零点”i的上性，质，即
Ni xi
,
yi
1 2
ai
bi xi
ci ym
1
(a)
在节点j、m上，
Ni x j , y j
1 2
ai bi x j ci y j
有限元几何建模
有限元几何建模有限元几何建模是一种重要的工程分析方法，它将复杂的工程结构通过数学建模转化为离散的有限元网格，以求解工程问题。
本文将全面介绍有限元几何建模的基本原理、流程和应用，为读者提供有关该方法的指导。
有限元几何建模的基本原理是将实际的工程结构离散化为许多小元素，并将每个小元素抽象为一个简单的几何形状，例如三角形或矩形。
这些小元素通过节点之间的连接构成网格结构，形成有限元模型。
利用此模型进行工程分析时，根据物理现象的特性以及所需的精度要求，可以合理选择小元素的类型和数量。
在进行有限元几何建模时，有一些基本的流程需要遵循。
首先，需要对实际工程结构进行几何建模，包括确定结构的整体形状和尺寸。
然后，将结构按照要求进行离散化处理，将其划分为小元素，并通过节点的连接建立网格结构。
接下来，需要定义材料的物理特性，例如弹性模量、热传导系数等。
这些参数将直接影响到有限元模型的分析结果。
最后，需要对结构施加边界条件和加载条件，以模拟实际工况，并选用适当的数值方法进行求解。
有限元几何建模在工程领域有着广泛的应用。
例如，在机械工程领域，它可以用于分析结构的强度、刚度和振动响应等问题。
在土木工程领域，它可以用于分析土体的变形和应力分布，以预测结构的稳定性和安全性。
在电力系统领域，它可以用于分析电力设备的电磁场分布和热耦合效应，以优化设备的设计和工作状态。
总之，有限元几何建模为工程问题的分析提供了一种精确、高效、可靠的手段。
在进行有限元几何建模时，需要注意一些常见的问题。
首先，几何建模需要精确地反映实际工程结构的形状和尺寸，以确保分析结果的准确性。
其次，网格划分的质量对于分析结果的准确性和计算效率有着重要影响。
要避免网格过于粗糙或过于细致，以免导致计算误差或计算量过大。
此外，材料参数需要根据实际情况进行选择，以准确模拟工程材料的特性。
最后，求解方法的选择也需要根据具体问题和计算资源来进行合理的权衡，以满足分析的准确性和效率要求。
有限元建模
输入间距 值，然后 选择OK 或Apply.
间距为 0.05
捕捉功能
在徒手创建几何图元时，捕捉功能用离散的、可控的增量代替光滑移 动，更精确地选取坐标或关键点等. 捕捉功能的特点: • 捕捉可以打开或关闭. • 捕捉增量可调.
• 捕捉增量可设置与工作平面间距相等(相当于在坐标纸上绘图).
捕捉功能 (续)
删除面以及面所包含的低阶图 元（线，关键点）
删除图元(续)
1. ..... 2. ..... 3. ..... Procedure
要删除一个或多个图元 : Main Menu: Preprocessor > -Modeling- Delete
在图形窗口中拾取一个或多个图 元（本例中为面），然后选择 OK..
定义单元类型
1. ..... 2. ..... 3. ..... Procedure
设定单元类型: Main Menu: Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete
1. 选择 Add.
定义单元类型 (续)
2. 选择 Help 得到关于单元类 型的信息.
由几何模型创建有限元模型的过程叫作网格划分（meshing).
Meshing 有限元模型 几何实体模型
几何实体模型和有限元模型的来源
总共有各种途径创建ANSYS模型（包括几何实体模型和有限元模型），如下表所示：
Option A
CAD Package
ANSYS 1. Build solid model. 2. Mesh finite element model. 1. 2. 3. Import solid model Complete or modify as needed. Mesh finite element model.
有限元建模方法
单元数量
真实解
二次单元
最
一次单元
大
变
形
单元数量
2、控制规模原则
1）计算时间 2）存储容量 3）计算精度 4）其 他
五、建模的一般步骤
软件 单元库
分几单单网模边
实际结构 设计方案
析 问 题 定
何 模 型 建
元 类 型 选
元 特 性 定
格 划
型 检
界 条
有限元模型
计算
件
定
义立择义分查义
2 2个移动自由度
空间轴对称结构
2
3个移动自由度 3个转动自由度
2
3个移动自由度 3个转动自由度
1
2个移动自由度 1个转动自由度
1
3个移动自由度 （平面杆单元2个）
平板结构 曲面壳体 轴对称曲面壳体 桁杆结构
1
3个移动自由度（平面梁2个） 3个转动自由度（平面梁1个）
梁结构
1
3个移动自由度（平面2个） 3个转动自由度（平面1个）
3、自适应分网(Adaptive meshing)
2.5 边界条件定义
一、位移约束条件 Displacement Restraints
1、位移约束的必要性
二、载荷条件
1、集中载荷
Concentrated Load
Nodal Load
2、分布载荷 Distributed Load
三、体积力 Volume Load
……
2.4 网格划分方法
一、网格划分原则 1、网格数量 (Number of mesh )
accuracy time
2、网格疏密 （ relative density）
有限元计算
第五章有限元计算5.1 Mida/GTS 软件概述Mida/GTS是由韩国MIDASIT公司开发研制的一套专业三维岩土有限元分析软件，MIDASIT拥有GTS Civil、Gen等一系列土木工程有限元分析与设计软件,在世界多个国家建立了分支机构, 应用于实际工程达5000 多个。
其中最具代表性的有世界最高建筑物阿联酋Burj Dubai Tower 、世界跨度最大的斜拉桥——中国苏通大桥以及2008 年北京奥运会体育场馆、韩日世界杯体育场馆等。
在这些载人世界土木建筑史册的结构的应用,证明了MIDASIT 已经成为世界上最优秀的土木软件开发公司之一。
5.2 Mida/GTS 简介Mida/GTS最大优点在于其完全中文化，并采用Windows风格操作界面，学习起来非常容易上手。
同时其操作习惯和分析内核也综合了国内外众多软件的优点,使学习者更容易理解和掌握。
5.2.1 Midas/GTS 分析功能Midas/GTS包含的分析功能如下：静力分析：线性分析、非线性分析；施工阶段分析; 施工、稳态渗流、瞬态渗流、固结；稳态流分析：稳态流分析、费稳态流分析；边坡稳定：极限平衡法、强度折减法；动力分析：特征值分析、时程分析、反应谱分析；固态分析。
Midas/GTS 基本上涵盖了岩土方面所有的分析计算功能, 经过了国内外很多大工程的运用和验算,结果准确可靠。
5.2.2 单元库Midas/GTS包含的单元库如下：线类型：桁架/植入式桁架、梁、桩、土工栅格（1D）、只受拉（钩），只受压（间隙）、仅显示（建模虚拟用）；实体类型：实体；其他：点弹簧，矩阵弹簧，接触、弹性连接，刚性连接；面类型：板（喷射混凝土，衬砌）、土工栅格（2D）、平面应力、平面应变、轴对称、仅显示（建模虚拟用）。
GTS提供线性和抛物线类型的板、平面应力和实体单元。
在GTS中,所有的单元均可通过三种方法建立：（1）自动/映射网格生成, 网格扩展和网格连接;⑵在GUI和表格中手动建立；（3）导入其他程序的网格数据。
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有限元分析可划分三个阶段 1）前处理：建立有限元模型：将实际问题或者设计方案抽象为能为数
值计算提供所有输入数据的有限元模型。主要任务：单结构形式处理、 几何模型建立、单元类型和数量的选择、单元特性定义、模型边界条 件定义等。 2）计算求解：设置计算方法、计算内容、计算参数和工况 3）后处理：计算输出的结果进行必要的处理，并安一定方式显示或者 打印，以便对分析对象的性能或设计进行分析、评估，以做出相应的 改进和优化，有限元分析的目的。
三、有限元建模的基本原则
重复 或 平移对称即结 构是由沿一直线分布的 重复部分组成，诸如带 有均匀分布冷却节的长 管等结构。该对称要求 非零位移约束，集中力、 压力和体载荷应具有对 称性
图示模型具有镜面对称 (2X) 和 重复对称
一个结构可能由多个对称平面，这样就可以利用对称性建立一个很小 的等效分析模型。
对象的具体特征对形状和大小进行必要的简化、变化和处理。 模型类型：实体模型、曲面模型和线框模型。 3. 单元选择：单元类型、形状和阶次。 4. 单元特性定义：定义材料特性、物理特性、辅助几何特征、截面形 状和大小。 5. 网格划分：网格数量、疏密、质量、布局、位移的协调性。 6. 模型检查 7. 边界条件定义
.结构分析: 要想得到极高精度的应力结果，必须保证影响精度的任何结构部位 有理想的单元网格，不对几何形状进行细节上的简化。应力收敛应
.当得到保证，而任何位置所作的任何简化都可能引起明显误差。 在忽略细节的情况下，使用相对较粗糙的单元网格计算转角和法向
.应力。 复杂的模型要求具有较好的均匀单元网格，并允许忽略细节因素。
对称 — 当物理系统的形状、材料和载荷具有对称性时，就可以只 对实际结构中具有代表性的部分或截面进行建模分析，再将结果映 射到整个模型上，就能获得相同精度的结果。 物理系统对称分析要求具有以下对称性条件：
– 几何结构对称 – 材料特性对称 – 具有零位移约束 – 存在非零位移约束
三、有限元建模的基本原则
二、有限元建模过程
确定合适的分析学科领域
.实体运动，承受压力，或实体间存在接触 .施加热、高温或存在温度变化 .恒定的磁场或磁场 .电流（直流或交流） .气（液）体的运动，或受限制的气体/液体 .以上各种情况的耦合
结构 热 磁 电 流体 耦合场
三、有限元建模的基本原则
1、保证精度原则 误差来源：模型误差、计算误差。 提高精度措施：提高单元阶次、增加单元数量、划分规则的单元形状、 建立与实际相符的边界条件、减小计算规模。
四、建模实例
下面将通过简单实例学习有限元建模和软件分析过程，从而建立有 限元软件分析过程的初步概念。
如图所示，一个中间带有圆孔的板件结构，长度为5m，宽度为1m 以及厚度为0.1m，正中间有一个半径为0.3m的孔，板的两端承受面内 向外的均部拉力，大小为2000N/m。结构的材料为普通A3钢，特性模 量为2e11，泊松比为0.3，计算在拉力作用下结构的变形和等效应力分 布图。
对称类型
轴对称即绕某一轴线存在对称 性，这类结构如：电灯泡，直 管，圆锥体，圆盘和圆屋顶。 对称面就是旋转形成结构的横 截面，它可以在任何位置。大 多数轴对称分析求解必须假定 非零约束（边界），集中力、 压力和体截荷均具有轴对称。 然而，如果截荷不存在轴对称 性，并且是线性分析，可以将 截荷分成简谐成分，进行独立 求解（然后进行叠加）
第五章 有限元建模基础
主讲 仇学青
有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况） 进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数 量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
几何体
载荷
物理系统
结构 热
电磁
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
真实系统
有限元模型
一、有限元软件分析过程
三、有限元建模的基本原则
细节处理
.对于分析不重要的细节不应当包
含在分析模型中。当从CAD系统传 一个模型到 ANSYS程序中时往往 可以作大量的简化处理。
.然而，诸如倒角或孔等细节可以
是最大应力出现的位置，这些细 节对于你的分析目的是十分重要 的。
不带 倒角
带倒 角
三、有限元建模的基本原则
对称性模型
三、有限元建模的基本原则
.在实际当中，可以利用对称模型进行分析能获得更好的分析结果，因为
可以建立更精确、综合考虑各细节的模型。这里有一个真实的轴对称（3 －D）模型。
.在某些情况下，仅仅是那些较次要的结构细节破坏了结构对称性。
有时，这些细节可以忽略（或认为它们是对称的），进而利用对称性 的优点建立更小的分析模型。但是这样计算获得结果的精度损失是很 难估计的。
二、有限元建模过程
1. 问题定义 ➢ 结构类型：平面问题、轴对称问题、空间问题、杆件问题、薄板弯曲问
题、薄壳问题。 ➢ 分析类型：静力分析、动态分析、热分析、电磁分析等 ➢ 分析内容：对模型的分析要求，如静力一般分析计算应力，动态分析则
计算结构的动态特性。 2. 几何模型建立：几何模型是对分析对象形状和尺寸的描述。应根据
三、有限元建模的基本原则
旋转对称即结构由绕轴分 布的几个重复部分组成， 诸如涡轮叶片这类物体。 大多数旋转对称分析求解 要求非零位移约束（边界 ），集中力、压力和体载 荷应具有对称性。然而， 如果载荷不对称分布，并 且如果是线性分析，它们 可以利用周期对称求解。
三、有限元建模的基本原则
平面 或 镜面对称即结构的一半 与另一半成镜面映射关系，对称 位置（镜面）称为对称平面。大 多数平面对称分析求解要求非零 位移约束（边界），集中力、压 力和体力应当对称。但是，如果 这些载荷不对称，并且是线性分 析，它们可以分成对称或反对称 问题进行独立求解。
三、有限元建模的基本原则
模态分析:
简单模态振型和频率可以忽略细节因素而使用相对较粗糙的 单元网格进行分析计算。
热分析：
温度分布梯度变化不大时可以忽略细节，划分均匀且相对稀 疏的单元网格。
当温度场梯度较大时，在梯度较大的方向划分细密的单元网 格。梯度越大，单元划分就越细密。
利用一个能同时模拟两个物理场的模型求解温度和热耗散应 力，但热和应力模型都是相对独立的。