曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-量子跃迁】

第11章量子跃迁

11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：

（a）跃迁选择定则；

（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．

解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为

而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）

可知跃迁选择定则为

（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用

可求出

而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为

11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．

【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】

10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场

作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程

如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成

在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程

初始条件为

令

初始条件（5）亦即

以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得

以左乘上式两端，并对全空间积分，即得

再对t积分，由即得

因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为

根据选择定则终态量子数必须是

即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．

跃迁到各激发态的概率总和为

其中

a o为Bohr半径．代入式（9）即得

电场作用后电子仍留在基态的概率为

10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．

解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成

以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为

电子的波函数满足Schr6dinger方程

初始条件为

为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：

的图形如下图所示．注意

图11-1

式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成

下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令

代入式（3），并用算符左乘之，得到

其中

一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在

因此一H'，代入式（8）即得

再利用式（1'），即得

初始条件（4）等价于

方程（11）满足初始条件的解显然是

代入式（7），即得

这是方程（3）的精确解．

t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为

计算中利用了公式

利用基态波函数的具体形式

容易算出

a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为

这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．

11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）

设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．

【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】

10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，