华中师范大学数学分析和高等代数近几年试题
华中师范大学2010年数学分析考研真题
华中师范大学二〇一〇年研究生入学考试试题考试科目：数学分析一、（30分）计算题1、设函数)(x f 定义在),(+∞−∞上，满足x x f x f cos )()2(=，1)0()(lim 0==→f x f x ，求)(x f ；2、设dx x a n n ∫=40tan π，求)(121+∞=+∑n n n a a n 的值.3/求曲线积分∫−+−+−Ldz y x dy x z dx z y )()()(，其中L 为平面0=++z y x 与球面1222=++z y x 相交的交线，方向从Z 轴正向看是逆时针.二、(12分)设0,)(>=ααx x f ，证明：当10≤≤α时，)(x f 在),0(+∞上一致连续；当1>α时，)(x f 在),0(+∞上不一致连续.三、（12分）证明含参量x 的反常积分dy yxy ∫+∞0sin 在),[+∞δ上一致收敛（其中0>δ），但在),0(+∞内不一致收敛.四、（20分）设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内二阶可导，且过点))(,(a f a 和))(,(b f b 的直线与曲线)(x f y =相交于))(,(c f c ，其中b c a <<，证明：存在),(b a ∈ξ，使得0)(''=ξf .五、（20分）设可微函数列)}({x f n 在],[b a 上逐点收敛，且对任意],[b a x ∈，存在x 的领域)(x U ，使得)}({'x f n 在],[)(b a x U ∩上一致有界，证明：1、)}({'x f n 在],[b a 上一致有界；2、)}({x f n 在],[b a 上一致收敛.六、（20分）设⎩⎨⎧=+≠++=0,00),ln(),(222222y x y x y x xy y x f ，讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性，偏导数的存在性以及可微性.七、(20分)已知)(x f 是),0[+∞上的正值连续函数，且+∞<∫+∞dx x f 0)(1，证明：1、存在数列),0[+∞∈n x ,...)2,1(=n 满足：}{n x 严格单调递增，+∞=∞→n n x lim ，+∞=∞→)(lim n n x f ；2、−∞=∫+∞→x x dt t f x 02)(1lim 八、（16分）已知),,(z y x f 和),,(z y x g 在1:222≤++z y x V 上具有二阶连续的偏导数，记222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆，,,(z y x ∂∂∂∂∂∂=∇.1、证明：dxdydz f g dS n f gdxdydz f g VS V ∫∫∫∫∫∫∫∫∆−∂∂=∇∇)()·(，其中n 表示S 的外法线方向，S 为球面1222=++z y x ；2，若222z y x f ++=∆，试计算：dxdydz z f z y x z y f z y x y x f z y x x I V ∫∫∫∂∂+++∂∂+++∂∂++=(222222222。
华中师范大学数学分析和高等代数近几年试题
复试总分
ห้องสมุดไป่ตู้初复试比例
复试专业课总分
复试英语总分
330
总成绩＝初试总成绩+复试总成绩
120
60
复试专业课类型
笔试主观题
笔试客观题
面试题量
有无时间要求
有
有
专业基础知识的综合能力和应用能力。
20分钟左右
复试英语听力
无
复试英语笔试
阅读
作文
其他
无
无
无
复试英语面试
小组讨论
问答
翻译
其他
无
5个问题，10分钟左右
其他
普通本科
否
招收
无
无
初试科目
政治（满分100分）
英语（满分100分）
数学/专业课一（满分150分）
专业课二（满分150分）
专业研究方向
01李代数02代数群与量子群03代数几何04微分几何05泛函分析06函数论07信息安全
初试指定参考书
626数学分析a．实数的完备性（区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则、确界定理、单调有界定理）；b．单变量函数（极限、连续性、导数与微分、泰勒公式（含微分中值定理）及函数的泰勒级数展开、不定积分、定积分及其应用、反常积分、周期函数的傅里叶级展开、数项级数的收敛性、函数项级数的收敛性及和函数的性质）；c．多变量函数（极限与累次极限、连续性、偏导数与全微分、泰勒公式与极值问题、含参变量积分，第一、二型曲线积分，重积分（含格林公式），第一、二型曲面积分（含高斯公式与斯托克斯公式），隐函数定理及其应用）。817高等代数多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。
华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)
续.
19
五、设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) ≥ 0 ， f ′′( x) < 0 . 证明： f ( x) ≤
2 b f (t )dt ， x ∈ [ a, b] . b − a ∫a
六、设 f ( x , y ) 在 D = [ a, b] × [ c, d ] 上有二阶连续偏导数.
15
六、 （ 15 分）假设 σ 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， τ 是同一空间 V 的变换 . 且对
∀α , β ∈ V , 有 (σα , β ) = (α ,τβ ).
证明： 1) τ 是线性变换, 2) σ 的核等于 τ 的值域的正交补.
七、 （15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
n →∞ a≤ x≤ b a≤ x≤ b a≤ x≤ b n →∞
八、设 S ⊂ R 2 , P0 ( x0 , y0 ) 为 S 的内点， P 1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点. 证明：直线段 P0 P 1 至少与 S 的边界 ∂S 有一个交点.
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、 （12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在 区间 I 上严格单调.
二、 （12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
二、(10 分)证明：方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⋯ (1) ⎨ ............ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + as 2 x2 + ... + asn xn = 0
华中师范大学《高等代数》《数学分析》考研真题(2009-2017汇总)
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第2页目录1华中师范大学2009年研究生入学考试试题高等代数4 2华中师范大学2010年研究生入学考试试题高等代数5 3华中师范大学2011年研究生入学考试试题高等代数6 4华中师范大学2012年研究生入学考试试题高等代数7 5华中师范大学2013年研究生入学考试试题高等代数9 6华中师范大学2014年研究生入学考试试题高等代数11 7华中师范大学2015年研究生入学考试试题高等代数12 8华中师范大学2016年研究生入学考试试题高等代数13 9华中师范大学2017年研究生入学考试试题高等代数15 10华中师范大学2009年研究生入学考试试题数学分析17 11华中师范大学2010年研究生入学考试试题数学分析19 12华中师范大学2011年研究生入学考试试题数学分析21 13华中师范大学2012年研究生入学考试试题数学分析23 14华中师范大学2013年研究生入学考试试题数学分析25 15华中师范大学2014年研究生入学考试试题数学分析27 16华中师范大学2015年研究生入学考试试题数学分析29 17华中师范大学2016年研究生入学考试试题数学分析31 18华中师范大学2017年研究生入学考试试题数学分析331.(20分)设a1,¨¨¨,a n是n个复数,x是复变元.求解:x取哪些复数值时下述等式(等式左边是n`1阶行列式)成立:ˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ111¨¨¨1x a1a2¨¨¨a nx2a21a22¨¨¨a2n............x n a n1a n2¨¨¨a n nˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ“0.2.(20分)设f p x q是n次实系数多项式,ną1.设f1p x q是f p x q的导数多项式.证明:(1)如果r是f p x q的m重根,mą0,则r是f1p x q的m´1重根(若r是f p x q的零重根则表示r不是f1p x q的根).(2)如果f p x q的根都是实数,则f1p x q的根也都是实数.3.(20分)设A是秩为r的mˆn阶矩阵,B是非零的mˆ1阶矩阵.考虑线性方程组AX“B,其中X是变元x1,¨¨¨,x n的列向量.证明:(1)线性方程组AX“B的任意有限个解向量X1,¨¨¨,X k的向量组的秩ďn´r`1.(2)若线性方程组AX“B有解,则它有n´r`1个解向量是线性无关的.4.(30分)设A,B,C都是n阶方阵,令˜A BC0¸是分块构成的2n阶方阵,其中右下块0表示n阶零方阵.(1)证明:rank ˜A BC0¸ěrank p B q`rank p C q.这里rank p B q表示矩阵B的秩.(2)举例说明:p1q中的等号和不等号都可能成立.5.(30分)设V是有限维向量空间,设U,W是V的两个子空间.(1)什么是U与W的和子空间U`W?请叙述关于U`W的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6.(30分)设A为n阶实矩阵,λi“r`si是A的特征根,其中r,s是实数,i是虚数单位.(1)证明:12p A`A1q的特征根都是实数,令µ1﨨¨ďµn是12p A`A1q的全部特征根.(2)证明:µ1ďrďµn.(3)你有类似的估计s的办法吗?1.(20分)设F是任意数域,p p x q P F r x s.证明:p p x q是不可约多项式当且仅当p p x q是素多项式.2.(20分)(1)设A是n阶方阵,E是单位矩阵,k‰0.证明:A2“kA当且仅当rank p A q`rank p A´kE q“n.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20分)设R表示实数域,V“M3p R q表示所有3ˆ3实矩阵构成的向量空间.对给定的A P M3p R q,定义V上的线性变换A:VÑV为A pB q“AB´BA,对任意的B P M3p R q.设A“¨˚˝000010002˛‹‚.求A的特征值和相应的特征子空间;并求此时A的极小多项式.4.(30分)设有三元实二次型f p x,y,z q“x2`3y2`z2`4xz.并设x,y,z满足x2`y2`z2“1.试求f的最大值和最小值,并求当x,y,z取什么值时,f分别达到最大值和最小值.5.(30分)设R是实数域,V“C1r0,1s是闭区间r0,1s上的实连续可微函数的集合.V在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数f p x q“cos x,g p x q“2x,h p x q“e x在V中线性无关.(2)任意给定ną0,在V中找出n`1个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m,是否有V和R m同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6.(30分)(1)设A和B均为n阶复方阵,证明:A与B相似当且仅当作为λ´矩阵,有λE´A等价于λE´B.(2)设A,B都是3阶幂零矩阵,证明:A相似于B当且仅当A与B有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论p2q对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。
华中师范大学各专业课真题附录
中国教育史 1999——2004
中外教育史 1998——2005（注：2005年有两种）
德育原理 1998，2003
课程与教学论1999——2005
比较教育学2000——2005
特殊教育概论2005
教育心理学1998——2002
心理学院
国际政治学概论2003——2004
国际关系史1998
世界政治经济与国际关系1999——2000
战后国际关系史 2002——2008
国际政治与国际关系理论 2002
中国近代史（中国近现代史专业）1998——2005
中国近代史(中共党史专业)1998——2005，2007——2008
中国民主党派史1998——1999，2001
文学概论2000
文学评论1998，2000
文学批评1999
中国文学批评史1999
文学评论、文学批评史2001
欧美文学史1999
汉语语言学（含现代汉语、古代汉语两部分） 2001——2006，2008
汉语言文字学（含现代汉语、古代汉语两部分） 2003——2005，2007
古代汉语 2000——2002（注：2000年有两种）
邓小平理论和三个代表重要思想2005
毛泽东思想概论1999——2000
政治社会学 2004——2005，2007——2008
行政学基础 1998——2000（注：1998试卷名称为“法学、行政学基础理论”）
行政管理学1999——2005（2004有答案）
法理学与宪法学2008
考试学2000，2007——2008
华中师范大学数学分析历年考研真题
华中师范大学数学分析考研真题以上是01年数分2003年数学分析（综合卷）1.(16)求下列极限：(1))/1(2)!(lim n n n +∞→. (2))(x f 在]1,1[-上连续，恒不为0，求131sin )(1lim 30--+→x x x x f2.(15)设)(x f 在],[b a 上二阶可导,过点))(,(a f a A 与))(,(b f b B 的直线与曲线)(x f y =相较于))(,(c f c C ,其中b c a <<,证明:在),(b a 中至少存在一点ξ,使0)(=''ξf .3.(15) 证明:x x n n 21ln ∑∞=在]1,0(上一致收敛.4.(15) 设))}({(x f n 是],[b a 上的函数序列,满足对每一个],[b a x ∈导函数)(x f n '存在),2,1( =n 并且满足下列条件:(1)存在某一个],[0b a x ∈,使))}({(0x f n 收敛；(2)导函数列)}({x f n '在],[b a 上一致收敛. 证明: )}({x f n 在],[b a 上一致收敛.5.(14)设)(x f 在],[b a 上可导,其导函数)(x f '在],[b a 可积,对任意的自然数n .记⎰∑---+==b a ni n dx x f n a b n a b i a f )()(1σ , 证明:)]()([2lim a f b f a b n n n --=+∞→σ.2004年数学分析1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)(1)21sin 0lim(cos )x x x → (2)11lim 123n n →∞+++1…+n (3)74444lim (112)x x x x x →∞++-- (4)1limsin (sin)2n n k k n nππ→∞=∑ 2.(15)设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,若12,x x 是)(x f 在区间],[b a 上的两个零点，证明：存在[,]a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=3.(15)设)(x f 在)0](,[>>a b b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:在),(b a 内存在,ξη使b a f f ⋅'⋅=')()(2ηηξ.4.(15)设)(x f 在],[b a 上黎曼可积,证明:()f x e 在],[b a 上也是黎曼可积的.5.(15)'()(1,2,3,n f x n =…）在],[b a 上连续,函数)(x g 在],[b a 上也连续,且对],[b a 中任意的12,x x 和正整数n ,有1212|()()|||n n M f x f x x x n -≤-(0>M ),证明:lim ().'()0b n n a g x f x dx →+∞=⎰. 6.(15)设()n f x ( ,2,1=n )在],[b a 上连续,且{()}n f x 在],[b a 上一致收敛与)(x f .证明:(1)存在0>M ,使对任何自然数n ,有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及. (2)若)(x F 为-∞+∞（，）上连续函数,则(())n F f x 一致收敛于))((x f F .7.(10)设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:在)1,1(-内至少存在一点ξ,使得(3)()3fξ=.8.(15)函数),(y x F 在点00(,)x y 的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且00000000(,)0,'(,)0,'(,)0,''(,)0x y xx F x y F x y F x y F x y ==><,证明:由方程),(y x F 确定的隐函数()y f x =在0x 点取得极小值. 2005年数学分析1.求下列极限或指定函数的值:(1)1!2!3!!lim !n n n →∞++++ (10分) (2)135(21)lim 2462n n n n →∞- (10分) (3)1326lim[().1]2x x x x x e x →+∞-+-+(10分) (4)设)(x f 在0=x 的邻域二阶可导,且130()lim(1)x x f x x e x →++=,求(0),'(0),''(0)f f f 的值.(15分) 2.(15)设函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导,且在),(b a 上'()0g x ≠,证明:存在)()'()(,)()()'()f a f f a bg g b g ξξξξξ-∈=-(使. 3.(15)设函数()f x 在]4,2[上有连续的一阶导函数,且(2)(4)0f f ==,证明：4242max |'()||()|x f x f x dx ≤≤≥⎰. 4.(13)设有方程.sin (01)x m q x q =+<<.若0101,.sin ,,sin ,,n n x m x m q x x m q x +==+=+ 证明:{}n x 收敛; 设lim n n x l →+∞=,再证明l 是方程.sin x m q x =+的唯一解. 5.(13)证明:函数项级数11((1))x n n x e n n ∞=-+∑在任何有穷区间[,]a b 上一致收敛. 6.(13)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且''()0f x >,证明:1()()2ba ab f f x dx b a +≤-⎰. 7.(13)设12,,,,n a a a 均为常数,证明:函数项级数101..!x n t n n a t e dt n ∞-=∑⎰在[,]a b 上一致收敛. 8.(13)设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，()0,f x c ≥≥用可积准则证明：函数ln ()f x 在[,]a b 上黎曼可积.9.(10)设()f x 在[,]a b 上具有连续的二阶导数,证明:在(,)a b 内存在ξ,使得31()()()().''()224ba ab f x dx b a f b a f ξ+=-+-⎰ 2006年数学分析 1.(30) (1)111sin )1(sin lim 121----→x x e x x . (2) 设x x a x y +=,求y '. (3) dx x x ⎰+ln 1ln ln . (4)设yx y x y x f y arcsin )1(),(2-+=,求)1,(x f x '.(5)dxdy e y x y xD 22)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D . (6) 求⎰-=Lydx ydy x I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,(πA 的正弦曲线有x y sin =. 2.(20)设)(x f 在(,)a +∞上可导,且'()f x 在(,)a +∞上有界,证明:(1) )(x f 在(,)a +∞上一致连续. (2)()lim ()lim ()x x a f a f x f x ++→∞→=存在，但不一定存在. (3)若)(lim x f x +∞→存在，且)(lim )(lim x f x f ax x +→+∞→=，则)(x f '在(,)a +∞上至少有一个零点。
华中师大《高等数学》练习测试题库及答案
华中师⼤《⾼等数学》练习测试题库及答案华中师范⼤学⽹络教育《⾼等数学》练习测试题库及答案⼀．选择题1.函数y=112+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D ⽆界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=-+为偶数，为奇数n nn n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（）A ．充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既⾮充分也⾮必要5．下列命题正确的是（）A ．发散数列必⽆界B ．两⽆界数列之和必⽆界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim 21x x x （） A.1 B.0 C.2 D.1/27．设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/68.当x →1时，下列与⽆穷⼩（x-1）等价的⽆穷⼩是（）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件B 、⽆界函数C、有最⼤值与最⼩值D、⽆最⼩值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成⽴是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满⾜14、设f(x)=（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（）D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最⼩最⼤值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、⽆关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、⽆关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xB、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由⽅程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A 、-1B 、0C 、л/2D 、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、⽆关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、⽆关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）A 、036、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型38、极限 xx x x sin 1sin lim 20→=（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不存在39、x x 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的（）A 、（n+1）阶⽆穷⼩B 、n 阶⽆穷⼩C 、同阶⽆穷⼩D 、⾼阶⽆穷⼩40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（）A 、唯⼀的零点B 、⾄少存在有⼀个零点C、没有零点D、不能确定有⽆零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为⾃然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三⾓函数C、⼀定是初等函数D、⼀定是有理函数0|3x+1|dx=（）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平⾯图形⾯积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平⾯图形绕轴旋转⽽成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲⾯⽅程（P，Q）则⽤下列平⾯去截曲⾯，截线为抛物线的平⾯是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平⾯x=a截曲⾯x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、⽅程=0所表⽰的图形为（）A、原点（0，0，0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲⾯，但不可能为平⾯54、⽅程3x2+3y2-z2=0表⽰旋转曲⾯，它的旋转轴是（）A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任⼀条直线55、⽅程3x2-y2-2z2=1所确定的曲⾯是（）A、双叶双曲⾯B、单叶双曲⾯C、椭圆抛物⾯D、圆锥曲⾯56、设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１A.１－──B.１+ ──C. ────D.ｘ57、ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘA.⽆穷⼤量B.⽆穷⼩量C.有界变量D.⽆界变量58、⽅程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表⽰的图形是（）A.平⾏于ｘｏｙ⾯的平⾯B.平⾏于ｏｚ轴的平⾯C.过ｏｚ轴的平⾯D.直线59、下列函数中为偶函数的是（）A.ｙ＝ｅ^xB.ｙ＝ｘ^3＋１C.ｙ＝ｘ^3ｃｏｓｘD.ｙ＝ｌｎ│ｘ│60、设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ_1〈ｘ_2〈ｂ，则⾄少有⼀点ζ∈（ａ，ｂ）使（）A.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）B.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）C.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）D.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）61、设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）A.充分必要的条件B.必要⾮充分的条件C.必要且充分的条件D既⾮必要⼜⾮充分的条件⼆、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（）2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（）3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（）4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（）6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（）8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（）11、函数y=2x 3极⼩值与极⼤值分别是（）12、函数y=x 2-2x-1的最⼩值为（）13、函数y=2x-5x 2的最⼤值为（）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最⼩值为（）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（） c=（） 16、∫xx 1/2dx= （）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （）18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt =（）20、已知函数f(x)==≠?-0,0,022)1(1x a x xt dt e x 在点x=0连续，则a=（）21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（）22、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）23、∫031/2adx/(a 2+x 2)=（）24、∫01 dx/(4-x2)1/2=（）25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）26、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=( )27、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的⾯积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的⾯积是（）38、⼼形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三⾓形为（）40、⼀动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹⽅程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平⾯3x-7y+5z-12=0平⾏的平⾯⽅程是（）42、求三平⾯x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平⾏于xoz⾯且经过（2，-5，3）的平⾯⽅程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平⾯⽅程是（）45、平⾏于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平⾯⽅程是（）46、函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ^2 ＋──────的定义域为_________√１－ｘ^2_______________。
华中师大04年数学分析
华 中 师 范 大 学2019年研究生入学考试试题（数学分析）一、 求下列极限（共50分，第1、2小题各10分，第3、4小题各15分）二、 1、21sin 0lim(cos )x x x →； 2、lim n →∞； 3、74lim x x →∞+-； 4、1lim sin (sin)2n n k k n nππ→∞=∑。
二、（15）设f(x)，g(x)在[a ，b]上连续，在(a ，b)内可导，若12,x x 是f(x)在区间[a ，b]上的两个零点，证明：存在[,]a b ξ∈，使得三、（15）设f(x)在[a ，b](b>a>0)上连续，在(a ，b)内可导，证明：在（a ，b ）内存在,ξη使 2.'()'().f f a b ηηξ=四、（15）设f(x)在[a ，b]上黎曼可积，证明：()f x e在[a ，b]上也是黎曼可积的。
五、（15）设'()(1,2,3,n f x n =…）在[a ，b]上连续，函数g(x)在[a ，b]上也连续，且对[a ，b]中任意的12,x x 和正整数n 有1212|()()|||n n M f x f x x x n-≤- （M>0为常数）证明：lim ().'()0bn n a g x f x dx →+∞=⎰死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
六、（15）设()n f x （n=1，2，3…）在[a ，b]上连续，且{()}n f x 在[a ，b]上一致收敛与f(x)。
证明：1）存在M>0，使对任何自然数n 有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及2）若F(x)为-∞+∞（，）上连续函数，则(())n F f x 一致收敛于F(f(x)). 七、（10）设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0,f(1)=1,f '(0)=0，证明在（-1，1）内至少存在一点ξ使得(3)()3f ξ=。
华中师范大学2002-2013数学分析试题解答
1
1
2 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) x x x
5 6 4 6 1 6
1 (1 ) x
5 6
1 3
4：解：由 f ( x) 在 x a 处的泰勒展开式可得：
f ( x) f (a) f '(a)( x a) [( x a)]
令 x a ，则 f (a ) f (a) f '(a) ( )
于是对任意的 0 ，存在 N 0 ，当 n N 时，有
M1M 2 n (b a)n n!
于是当当 n N 时，对一切 x [a, b] 有
f n ( x)
n M 1M 2 (b a)n n!
故 f n ( x) 在 [a, b] 上一致收敛于 0 七、 证明：不妨设 f ( x) 在处取得最小值，于是
2 3 1 3
lim
x 0
sin x f (0) x ln 3 3ln 3
二、证明：由题可知：
f (c) f (a) f (b) f (c) ca bc
f (a) 1, f '(a) 0
由于 f ( x) 在 [0,1] 上二阶可导，由泰勒公式可知：
f ( x) f (a) f '(a)( x a) f ''( x ) f ''( x ) ( x a) 2 1 ( x a) 2 2! 2!
x 在 a 与 x 之间
f ( x)sin x (1 f ( x)sin x) 3 (1 f ( x)sin x) 3 1
2 1
2：解：由于 lim x 0
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华中师范大学高等代数试卷 2007
华中师范大学2007 –2008学年第一学期期末考试试卷B11022234300542113A--⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪-⎝⎭的迹为（ C ）A 2-;B 1-;C 0;D 1.2．空间中曲面方程为2222221x y za b c+-=则它是（ B ）A 椭球面;B 单叶双曲面;C 双叶双曲面;D 椭圆抛物面.3下面叙述错误的是（ C ）A. 一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的正惯性指数等于n;B. 一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的所有特征根是正的;C．一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的n个顺序主子式1,,det0,1,,1,,mA m nm⎛⎫≥=⎪⎝⎭;D. 正定矩阵的合同矩阵也是正定的.4. 设204060402A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,下列是矩阵A的特征向量的是:（ A ）A (101)T -; B(12)T; C (201T; D(0,0,1)T .1．已知1P AP B -=, ()f x 为一个k 次多项式, 那么1()P f A P -=()f B .2．设矩阵142034043A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭, 则A 的伴随矩阵*A 的三个特征为 .3．空间上的仿射坐标变换公式为:111213111121321222322122233132333313233''det 0'x r r r x t r r r y r r r y t r r r z r r r z t r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 4. 空间上的二次曲面方程为: (,1)01T T Q L X X L k ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 那么它的欧式不变量为: 123,,,det T Q L L k λλλ⎛⎫⎪⎝⎭.1． 用欧式坐标变化化平面二次曲线:22245416140x xy y x y +++++=为标准形.2. 二次型123121323(,,)242f x x x x x x x x x =++, 求: (i) 写出二次型对应的实对称矩阵f A ;(ii) 求可逆矩阵P , 使得1f P A P -为实对称矩阵f A 的标准形; (iii) 求以上二次型的正、负惯性指数, 并判定二次型的正、负定性.解：(i) 012101.210f A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(ii)下面用合同变换化该是对称矩阵为标准型 如下：11111111222222229339331122222222111012100113110213110101010101010101010210001210001210001213110200110000001012001100004⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭→----11111111222220011000001210041210000100000010010011002⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎫⎛⎫⎪ ⎪→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故1212100P ⎫-⎪=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (iii)正惯性指数是1， 负惯性指数是2， 此二次型既非正定亦非负定.1．证明: 21()12!(1)!!n nx x x f x x n n -=+++++- 没有重因式.证：21'()1,2!(1)!n x x f x x n -=++++- 所以21gcd(((),'())gcd(()'(),'())gcd(,1) 1.2!(1)!n nx x f x f x f x f x f x x x n -=-=++++=-因此()f x 没有重根. 2．设1121A ⎛⎫=⎪-⎝⎭, 求极小多项式()A m λ, 并且证明 323210A A A -+ 可逆. 解：2212211()3(210,0.()() 3.()det A E A A A f f f f f f f λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--∆=-==-=+-+≠≠=∆=-===A 3232i i i i 321i 又故m 且的特征值为则(A)=3A -2A +10A 的特征值为()=3-2+10,i=1,2.即(A)=3A -2A +10A 的特征值为(则(A)=()0f λ≠132(故3A -2A +10A 可逆.3．设,A C 为n 阶正定矩阵, 设B 是矩阵方程AZ ZA C +=的唯一解. 证明:(1) B 是对称矩阵;(2) B 是正定矩阵.五、证明题：（每题12分，共12分）设A 为n 阶实可逆矩阵, 证明:(i)存在正交矩阵P 和上三角矩阵T 使得A PT =; (ii)存在一个三角矩阵T 使得A T T '=.证：把A 的n 个列向量记作1,,n αα ，则它们是线性无关向量组（是n R 的基底）对他们做正交化：1111,,(1),2,.,j j i jj i i i i j n βααββαβββ-==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑再做标准化：,1,.(2)jj jj n βγβ==以1,n γγ 为列向量做矩阵1(,),n P γγ= 则是正交矩阵。
(完整word版)2004-2010华中师范大学数学分析考研真题
2004年数学分析1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)(1)21sinlim(cos )xx x →(2)n(3)74lim x x →∞- (4)1lim sin(sin)2nn k k n nππ→∞=∑ 2.(15)设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,若12,x x 是)(x f 在区间],[b a 上的两个零点，证明：存在[,]a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=3.(15)设)(x f 在)0](,[>>a b b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:在),(b a 内存在,ξη使ba f f ⋅'⋅=')()(2ηηξ.4.(15)设)(x f 在],[b a 上黎曼可积,证明:()f x e在],[b a 上也是黎曼可积的.5.(15)'()(1,2,3,n f x n =…）在],[b a 上连续,函数)(x g 在],[b a 上也连续,且对],[b a 中任意的12,x x 和正整数n ,有1212|()()|||n n Mf x f x x x n -≤-(0>M ),证明:lim ().'()0bn n ag x f x dx →+∞=⎰.6.(15)设()n f x ( ,2,1=n )在],[b a 上连续,且{()}n f x 在],[b a 上一致收敛与)(x f .证明:(1)存在0>M ,使对任何自然数n ,有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及. (2)若)(x F 为-∞+∞（，）上连续函数,则(())n F f x 一致收敛于))((x f F .7.(10)设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:在)1,1(-内至少存在一点ξ,使得(3)()3fξ=.8.(15)函数),(y x F 在点00(,)x y 的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且00000000(,)0,'(,)0,'(,)0,''(,)0x y xx F x y F x y F x y F x y ==><,证明:由方程),(y x F 确定的隐函数()y f x =在0x 点取得极小值.2005年数学分析1.求下列极限或指定函数的值:(1)1!2!3!!lim !n n n →∞++++(10分) (2)lim 62n n→∞(10分)(3)132lim [().2x x x x x e →+∞-+(10分) (4)设)(x f 在0=x 的邻域二阶可导,且130()lim(1)x x f x x e x→++=,求(0),'(0),''(0)f f f 的值.(15分) 2.(15)设函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导,且在),(b a 上'()0g x ≠,证明:存在)()'()(,)()()'()f a f f a bg g b g ξξξξξ-∈=-(使.3.(15)设函数()f x 在]4,2[上有连续的一阶导函数,且(2)(4)0f f ==,证明：4242max |'()||()|x f x f x dx ≤≤≥⎰.4.(13)设有方程.sin (01)x m q x q =+<<.若0101,.sin ,,sin ,,n n x m x m q x x m q x +==+=+证明:{}n x 收敛; 设lim n n x l →+∞=,再证明l 是方程.sin x m q x =+的唯一解.5.(13)证明:函数项级数11((1))x nn x e nn ∞=-+∑在任何有穷区间[,]a b 上一致收敛.6.(13)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且''()0f x >,证明:1()()2baa b f f x dx b a +≤-⎰. 7.(13)设12,,,,n a a a 均为常数,证明:函数项级数101..!xn t n n a t e dt n ∞-=∑⎰在[,]a b 上一致收敛. 8.(13)设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，()0,f x c ≥≥用可积准则证明：函数ln ()f x 在[,]a b 上黎曼可积.9.(10)设()f x 在[,]a b 上具有连续的二阶导数,证明:在(,)a b 内存在ξ,使得31()()()().''()224baa b f x dx b a f b a f ξ+=-+-⎰2006年数学分析1.(30) (1)111sin)1(sin lim121----→x x e x x . (2) 设x x a x y +=,求y '. (3)dx xx ⎰+ln 1ln ln . (4)设yx y x y x f y arcsin)1(),(2-+=,求)1,(x f x '. (5)dxdy e y x y xD22)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D . (6) 求⎰-=Lydx ydy x I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,(πA 的正弦曲线有x y sin =.2.(20)设)(x f 在(,)a +∞上可导,且'()f x 在(,)a +∞上有界,证明:(1) )(x f 在(,)a +∞上一致连续.(2)()lim ()lim ()x x af a f x f x ++→∞→=存在，但不一定存在.(3)若)(lim x f x +∞→存在，且)(lim )(lim x f x f ax x +→+∞→=，则)(x f '在(,)a +∞上至少有一个零点。
华中师范大学成人教育《高等代数(进阶)》期末考试复习题及参考答案
17.题目见图片 （2分）
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】A
【解析】
18.设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(BT=-B)，则下列矩阵中为反对阵矩阵的是（）。（2分）
A. AB-BA
B. AB+BA
C. (AB)2
D. BAB
【答案】B
【解析】
19.若A可逆，则AX=B+I的解是X=（）。（2分）
A.对
B.错
【答案】B
【解析】
27. （2分）
A.对
B.错
【答案】A
【解析】
28.题目见图片 （2分）
A.对
B.错
【答案】A
【解析】
29.题目见图片 （2分）
A.对
B.错
【答案】B
【解析】
30. （2分）
A.对
B.错
【答案】B
【解析】
31.同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的.（2分）
A.对
B.错
【答案】A
【解析】
32.零变换和单位变换都是数乘变换。（2分）
A.对
B.错
【答案】A
【解析】
33. （2分）
A.对
B.错
【答案】A
【解析】
34.题目见图片 （2分）
A.对
B.错
【答案】B
【解析】
35.题目见图片 （2分）
A.对
B.错
【答案】B
【解析】
36.实二次型 正定的充要条件是它的符号差为n。（2分）
【解析】
41.欧氏空间V上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（2分）
数学分析课本华师大三版习题及答案第三章
第三章 函数极限一、填空题 1．若[]2)(1ln lim20=+→x x f x ，则=→20)(lim xx f x _________ 2．=--+-→x xe e x x x x x 340sin 21sin lim _______________ 3．设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+-=11)(，则=+∞→)1(lim x f x ____________4．已知⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=2,12,02,1)(x x x x x x f ，1)(+=x e x g ，[]=→)(lim 0x g f x ________5．()x x x x ln cos arctan lim -+∞→=_________________6．[]=→xx x tan )sin(sin sin lim0_____________ 7．________24tan lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n x π 8．________ln 1ln ln lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x x x 9．)1ln(lim 2cos 0x x e e xx x x +-→=__________10．=⋅+-∞→x xx x x cos 1sin 21lim22_________ 11．=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20_________12．310)(1lim e x x fx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→20)(1lim x x f x =_______ 13．()=+++→)1ln(cos 11cossin 3lim20x x x x x x ___________ 二、选择填空1．=-→ttt cos 1lim( )A.0B.1C.2D.不存在2．函数xx x f 1cos 1)(=，在0=x 点的任何邻域内都是( ) A.有界的 B.无界的 C.单增 D.单减 3．已知()25lim 2=++-+∞→c yx ax x ，则必有( )A.20,25-==b a B. 25==b a C.0,25=-=b a D.2,1==b a4．设nn n x n x f ⎪⎭⎫⎝⎛-+=+∞→2lim )1(，则=)(x f ( )A.1-x eB.2+x eC.1+x eD.xe-5．若22lim 222=--++→x x bax x x ，则必有( )A.8,2==b aB.5,2==b aC. 8,0-==b aD. 8,2-==b a6．0)(6sin lim30=+→x x xf x x ，则=+→20)(6lim xx f x ( ) A. 0 B.6 C.36 D.∞7．设对任意x 点有)()()(x g x p x ≤≤ϕ，且[]0)()(lim =-∞→x x g x ϕ，则=∞→)(lim x f x ( )A.存在且一定为0B.存在且一定不为0C.一定不存在D.不一定存在 8．当0→x 时，变量x x1sin 12是( ) A.无穷小 B.无穷大C.有界，但不是无穷小D.无界的，但不是无穷大9．=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→π21sin 1])1(1[lim n n n n( )A.πe B.π1e C.1 D.π2e10.=--→xx x xx x tan )(arctan 1lim 220( )A.0B.1C.21 D.21-11.x x x g dt t x f xsin )(,tan )(sin 02-==⎰,则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小三、计算题1.求下列极限：(1))x x cos x (sin 2lim 22x --π→； (2)1x x 21x lim 220x ---→；(3)1x x 21x lim 221x ---→； (4)3230x x 2x )x 31()1x (lim +-+-→； (5)1x 1x lim m n 1x --→，(n ，m 为自然数)；(6)2x 3x 21lim4x --+→;(7))0a (,xax a lim 20x >-+→；(8)xx cos x limx -∞→； (9)4x xsin x lim 2x -∞→ ；(10).)1x 5()5x 8()6x 3(lim 902070x --+∞→ 2．设,0a ,b x b x b x b a x a x a x a )x (f 0n1n 1n 1n 0m 1m 1m 1m 0≠++++++++=---- 0b 0≠，m ≤n ，试求).x (f lim x ∞→ 3．求下列极限(其中n 为自然数)： (1)20x x 11x xlim+→； (2)20x x11x x lim ++→； (3)1x nx x x lim n 21x --+++→ ；(4)x1x 1limnx -+→;(5)⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x 1lim 0x ; (6)[]x x 1lim x +∞→.4．求下列函数在0x =处的左右极限或极限。
《数学分析》第三版全册课后答案 (1)
4、一阶微分方程 (3x 4 xy)dx 2 x dy 0 的通解（可以用隐函数表达）为 5、设二阶可微函数 f ( x, y) 满足 .
专业：
2 f 2 f 2 f y , x y , x, 则 f ( x, y) 的表达形式为 x 2 xy y 2
得分
评阅人
（2） f ( x, y) 在 (0, 0) 点的可微性.
2、 （本题 7 分）设函数 f ( x ) 在0, 上有界且连续， f (0) 0, 讨论函数
F ( y)
0
yf ( x) dx 的连续性. x2 y 2
得分
评阅人
三、计算题 II（共 4 小题，共 40 分）
第 2 页(共
3 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
1、 （本题 10 分）设定义在 (0, ) 上的函数 f 满足下列三个条件： （1） x 0, f ( x) 0, f (1) 1; （2） f ( x 1) xf ( x), x 0; （3） ln f 是 (0, ) 上的凸函数. 证明： （1） f ( x) lim
n x n! ； n x( x 1) ( x n)
（2）验证欧拉积分 ( x) 也满足题述的三个条件，并由此证明 f ( x) ( x).
2 2、 （本题 10 分）设 u ( x, y ) 在 R 上连续，对任意 r 0 ，证明：等式
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第三学期试题
（三十二）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(一致收敛的Cauchy 收敛原理。
2 叙述Green 公式的内容及意义。
3 叙述n 重积分的概念。
二 计算题（每小题10分，共50分）1．计算积分⎰+-=C yx ydx xdy I 2243，其中C 为椭圆13222=+y x ，沿逆时针方向。
2．已知 ),,(y z xz f z -= 其中),(v u f 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z 关于y x ,的二阶偏导数。
3．求椭球体1222222=++cz b y a x 的体积。
4．若l 为右半单位圆周，求⎰lds y ||。
5．计算含参变量积分⎰+-=π2)cos 21ln( )(dx a x a a I (1<a )的值。
三 讨论题（每小题10分，共20分）1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。
试讨论积分⎰∞++=0221xa adxI 在每一个固定的a 处的一致收敛性。
2 讨论函数dx yx x yf y F ⎰+=122)()(的连续性，其中)(x f 在]1,0[上是正的连续函数。
数学分析试题（二年级第一学期）答案1一 叙述题（每小题10分，共30分）1 含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(关于y 在],[d c 上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的0>ε， 存在与y 无关的正数0A ， 使得对于任意的0,A A A >'，],[ ,),(d c y dx y x f A A∈<⎰'ε成立。
2 Green 公式：设D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。
如果函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有连续偏导数，那么⎰⎰∂∂∂-∂∂=+DDdxdy xPx Q Qdy Pdx )(，其中D ∂取正向，即诱导正向。
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无
复试指定参考书
综合卷（包括.抽象代数，复变函数，微分几何，常微分方程）（笔试），《近世代数》吴品三，高等教育出版社；《复变函数》钟玉泉，高等教育出版社；《微分几何》苏步青等，高等教育出版社;《常微分方程》叶彦谦，高等教育出版
复试推荐参考书
无
复试特殊需求
本科学校级别
发表论文要求
同等学历要求
特殊礼仪要求
其他
普通本科试科目
政治（满分100分）
英语（满分100分）
数学/专业课一（满分150分）
专业课二（满分150分）
专业研究方向
01李代数02代数群与量子群03代数几何04微分几何05泛函分析06函数论07信息安全
初试指定参考书
626数学分析a．实数的完备性（区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则、确界定理、单调有界定理）；b．单变量函数（极限、连续性、导数与微分、泰勒公式（含微分中值定理）及函数的泰勒级数展开、不定积分、定积分及其应用、反常积分、周期函数的傅里叶级展开、数项级数的收敛性、函数项级数的收敛性及和函数的性质）；c．多变量函数（极限与累次极限、连续性、偏导数与全微分、泰勒公式与极值问题、含参变量积分，第一、二型曲线积分，重积分（含格林公式），第一、二型曲面积分（含高斯公式与斯托克斯公式），隐函数定理及其应用）。817高等代数多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。
复试成绩
复试总分
初复试比例
复试专业课总分
复试英语总分
330
总成绩＝初试总成绩+复试总成绩
120
60
复试专业课类型
笔试主观题
笔试客观题
面试题量
有无时间要求
有
有
专业基础知识的综合能力和应用能力。
20分钟左右
复试英语听力
无
复试英语笔试
阅读
作文
其他
无
无
无
复试英语面试
小组讨论
问答
翻译
其他
无
5个问题，10分钟左右