平面向量夹角的计算方法-含答案

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【知识要点】

一、两个非零向量的夹角的概念

已知非零向量a 与b ,作,,OA a OB b ==,则(0)A O B θθπ∠=≤≤叫与的夹角.当0θ=时a 与b 同向;当θπ=时,a 与b 反向;当2

π

θ=

时,a 与b 垂直,记a b ⊥.

(1)对于0,不谈它与其它向量的夹角问题.

(2)a 与b 的夹角,记作,a b <>,确定向量a 与b 的夹角时,必须把两个向量平移到同一个起点.如:

A ∠>=<, 但是

B ∠>≠<, B ∠->=<π,

二、求两个向量的夹角一般有两种方法

方法一:cos ,a b a b a b

<>=

方法二:设a =

11(,)x y ,b =22(,)x y ,θ为向量a 与b 的夹角,则cos θ=

【方法讲评】 b a b

求解.

一般没有坐标背景.

b ,||,|a b b a b

求解.

【例1】已知,2,x a b y a b =+=+且||||1,.a b a b ==⊥ (1)求||||x y 和;(2)求,x y 夹角的余弦值.

【点评】(1)2

2

2

||||a a a a ==和是平面向量求模非常重要的两个公式,要注意灵活运用.(2)利用

公式cos ,a b a b a b

<>=

求解时,要先求a b ,||,||a b 这些基本量,再代入公式.

【反馈检测1】已知,a b 都是非零向量,且3a b +与75a b -垂直,4a b -与72a b -垂直,求a 与b 的夹角.

【例2】 如图,函数2sin(),y x x R πϕ=+∈(其中02

ϕ≤≤)的图像与y 轴交于点(0,1).

(Ⅰ)求ϕ的值;

(Ⅱ)设P 是图像上的最高点,M 、N 是图像与x 轴的交点,求PM 与PN 的夹角的余弦.

【解析】(I )因为函数图像过点(0,1), 所以2sin 1,ϕ=即1

sin .2

ϕ= 因为02

π

ϕ≤≤

,所以6

π

ϕ=

.

【点评】 此类问题的一般步骤是:先求,a b 的坐标,再

cos θ=

求解. 学科@网

【反馈检测2】||1,||3,(3,1a b a b ==+=已知), ||a b a b a b -+-(1)试求;(2)与的夹角.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第44讲:

平面向量夹角的计算方法参考答案

【反馈检测1答案】3

a b π

与的夹角为

【反馈检测2答案】(1)2;(2)2

3

π. 【反馈检测2详细解析】22

2||()242a b a b a a b b a b -=

-=-+=-(1)

2

2

||224424

a b a a b b a b +=∴++=∴+=

20||42a b a b ∴=∴-==

(2)设两个向量的夹角为α,

22

()()131

442||||

a b a b a b a b a b α+---∴===--+cos =

2

03

απαπ<<∴=

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