平面向量夹角的计算方法-含答案

【知识要点】

一、两个非零向量的夹角的概念

已知非零向量a 与b ，作,,OA a OB b ==，则(0)A O B θθπ∠=≤≤叫与的夹角.当0θ=时a 与b 同向；当θπ=时，a 与b 反向；当2

π

θ=

时，a 与b 垂直，记a b ⊥.

（1）对于0,不谈它与其它向量的夹角问题.

（2）a 与b 的夹角，记作,a b <>,确定向量a 与b 的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如：

A ∠>=<, 但是

B ∠>≠<, B ∠->=<π,

二、求两个向量的夹角一般有两种方法

方法一：cos ,a b a b a b

<>=

方法二：设a =

11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=

【方法讲评】 b a b

求解.

一般没有坐标背景.

b ，||,|a b b a b

求解.

【例1】已知,2,x a b y a b =+=+且||||1,.a b a b ==⊥ （1）求||||x y 和；（2）求,x y 夹角的余弦值.

【点评】（1）2

2

2

||||a a a a ==和是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用

公式cos ,a b a b a b

<>=

求解时，要先求a b ，||,||a b 这些基本量，再代入公式.

【反馈检测1】已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角.

【例2】 如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02

ϕ≤≤）的图像与y 轴交于点(0,1).

（Ⅰ）求ϕ的值；

（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角的余弦.

【解析】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1

sin .2

ϕ= 因为02

π

ϕ≤≤

，所以6

π

ϕ=

.

【点评】 此类问题的一般步骤是：先求,a b 的坐标，再

cos θ=

求解. 学科@网

【反馈检测2】||1,||3,(3,1a b a b ==+=已知）， ||a b a b a b -+-（1）试求；（2）与的夹角.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第44讲:

平面向量夹角的计算方法参考答案

【反馈检测1答案】3

a b π

与的夹角为

【反馈检测2答案】（1）2；（2）2

3

π. 【反馈检测2详细解析】22

2||()242a b a b a a b b a b -=

-=-+=-(1)

2

2

||224424

a b a a b b a b +=∴++=∴+=

20||42a b a b ∴=∴-==

(2)设两个向量的夹角为α，

22

()()131

442||||

a b a b a b a b a b α+---∴===--+cos =

2

03

απαπ<<∴=