最新港澳台联考数学模拟试题

最新港澳台地区入学考试模拟试卷这份试卷共三个大题，共27小题. 满分150分.考试时间为120分钟.第一部分 选择题(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U A B = ð（ ）A ．∅B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4}D ．{2,3,4}2. 复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 （ ）A ．3π2B ．2πC ．3πD ．4π4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -= （ ）A ．1B ．14C ．1-D ．114-5. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．126. 函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4) 7. 已知命题“若p 则q ”为真，则下列命题中一定为真的是（ ）A ．若p ⌝则q ⌝B ．若q ⌝则p ⌝C ．若q 则pD ．若q ⌝则p8. 如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A ．210B ．6C ．33D ．25主视图左视图俯视图9电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数πsin 6I A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0A >，0ω≠）的图像如图所示，则当150t =时，电流强度是（ ）A ．5-安B ．5安C ．53安D ．10安 10若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 （ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2]-∞- D ．(,2]-∞11甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是（ ）A ．16B ．512C ．712D ．1312.在xOy 平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n *∈N ，连接原点O 与点(,4)n P n n -，用()g n 表示线段n OP 上除端点外的整点个数，则(2008)g = （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二，填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．13. 在ABC ∆中，a 、b 分别为角A 、B 的对边，若60B =︒，75C =︒，8a =，则边b 的长等于 ． 14. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 ．（用数字作答） 15. 在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111h a b=+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 ． 16. 已知定义在区间[0,1]上的函数()y f x =的图像如图所示，对于满足1201x x <<<的任意1x 、2x ，给出下列结论：① 2121()()f x f x x x ->-； ② 2112()()x f x x f x >； ③1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． 其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 17. 在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是 ，它与方程π4θ=（0ρ>）所表示的图形的交点的极坐标是 ．18. （不等式选讲选做题）已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x 、y 、z ，则x 、y 、z 所满足的关系式为 ，222x y z ++的最小值是 ．19. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）20.通过点（2，-1，3）做平面x-2y-2z+11=0的垂线，则平面上的垂足为 ，三、解答题：在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。

解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．21．已知向量(1sin2,sin cos )a x x x =+- ，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅．（Ⅰ）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（本小题满分14分）（Ⅱ）若8()5f θ=，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．22.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12．（本小题满分14分）（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率()P A ；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3ξ=的概率和ξ的数学期望E ξ．23.如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，2EA DA AB CB ===， EA AB ⊥，M 是EC 的中点．（本小题满分14分） （Ⅰ）求证：DM EB ⊥；（Ⅱ）求二面角M BD A --的余弦值．MCEDAB24．（本小题满分15分，文史类考生不做）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A 、(2,0)B -，P 是平面内一动点，直线PA 、PB 的斜率之积为34-．求动点P 的轨迹C 的方程；25．已知()ln f x x =，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．（本小题满分15分，文史类考生不做） （1）求直线l 的方程及m 的值；（2）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值；26．在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A 、(2,0)B -，P 是平面内一动点，直线PA 、PB 的斜率之积为34-．求动点P 的轨迹C 的方程；（本小题满分15分，理工类考生不做） 27．已知()ln f x x =，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．（本小题满分15分，理工类考生不做）（1）求直线l 的方程及m 的值；（2）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值；．数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBACBBCABABC二、 填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 三、13．4614．1615．22221111h a b c =++ 16．②③17．(1,0)，π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 18．3x y z ++=，319．41，4(1)n - 20.（1，1，5）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.解：（Ⅰ）因为(1sin2,sin cos )a x x x =+- ，(1,sin cos )b x x =+，所以22()1sin2sin cos 1sin2cos2f x x x x x x =++-=+-π2sin 214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，当ππ22π42x k -=+，即3ππ8x k =+（k ∈Z ）时，()f x 取得最大值21+； （Ⅱ）由()1sin 2cos2f θθθ=+-及8()5f θ=得3sin 2cos25θθ-=，两边平方得91sin 425θ-=，即16sin 425θ=．因此，ππ16cos22cos 4sin 44225θθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22.解：（Ⅰ）记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故33111()224P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而13()1()144P A P B =-=-=； （Ⅱ）显然，随机变量34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，故3343127(3)4464P C ξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 3434E ξ=⨯=．23.解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 并设22EA DA AB CB ====，则（Ⅰ）31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(2,2,0)EB =-，所以0DM EB ⋅=，从而得DM EB ⊥； （Ⅱ）设1(,,)n x y z =是平面BD M 的法向量，则由1n DM ⊥ ，1n DB ⊥及31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0,2,2)DB =-得11302220n DM x y z n DB y z ⎧⋅=+-=⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎩可以取1(1,2,2)n = ． 显然，2(1,0,0)n =为平面ABD 的法向量．设二面角M BD A --的平面角为θ，则此二面角的余弦值121212||1cos |cos ,|3||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅． 24.（26.）解：（Ⅰ）依题意，有3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=--+（2x ≠±），化简得 22143x y +=（2x ≠±）， 这就是动点P 的轨迹C 的方程；25.（27.）解：（Ⅰ）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===，所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）；（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-），所以1()111xh x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<． 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =；．。