车灯线光源的优化设计——_02高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题参考答案02A0

问题1：车灯线光源的计算

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直。

请解决下列问题：

（1） 计算直射光总功率与反射光总功率之比。

（2） 计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。

（3） 计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形（只须考虑一

次反射）。

解: 建立坐标系如下图，记线光源长度为l ，功率为W ，B,C 点的光强度分别为)(l h B W 和

)(l h C W ，先求)(l h B 和)(l h C 的表达式，再建立整个问题的数学模型.

以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为60

2

2y x z +=

，焦点坐标为

（0,0,15）。

1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量

设反射点的坐标为Q )60

,

,(2

2y x y x +.记入射向量为a

,该点反射面外法线方向为b ,不难得

到反射向量c

满足

.22b b

b

a a c

⋅-=

记2

22

y x r

+=,由

)

1,30/,30/(),

1560,,(2-=--=y x b r w y x a

从而得),,(z y x c c c c =

的表达式

)

900(60810000

36001800900

)

9002(900

22

2

4

22

2

2

++-+=

+--=

+=

r wy r r c r r y w c r xyw c z y x

注意到反射光通过C 点,应有

60

/25015,

2600,

2

r kc y kc x kc z y x -=-=-=

其中k 为常数. 从上述第一式可解得0=x 或wy

r k 29002

+-=.由此得反射点坐标满足以下两

组方程:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

--±=-=⎪⎩⎪⎨⎧

=--++-+++-=223459005200)2600(133750.021060000001350810000)8100009360000()46800001498200(1800)2600(0y y x w w y w y w y w y y w y x

通过计算可知,存在56.10-≈C w ,当C w w 0>时第一组方程不存在满足2

236≤r 的实根,

即无反射点. 而当C

w w 0<时,有两个反射点2,1),60/,,0(2=i y y Q i i i .

而第二组方程仅当5609.18119.3-<<-w 时存在满足2236≤r 的一对实根,即有两个反射点),60

,

,(2

2

y

x y x +±记为43,Q Q .

若反射点的坐标为),,(z y x Q ,则位于点)15,,0(w P 的单位功率点光源经Q 点反射到C

点的功率密度(单位面积单位时间的能量, 正比于光强度)近似为

2

4cos PQ L πβ

= 其中

2

2

2

2

)1560/()(-+-+=

r w y x PQ

而β为反射向量与z 轴的夹角, .60

/25015cos 2

QC

r -=

β

2))(),(l h l h C B 的表达式

长l 的具有单位功率的线光源位于点)15,,0(w P 的长dw 的微小线光源段反射到C 点的功率密度为

,/)()(4

1

l w f w E i i ∑

==

其中

⎪⎩

⎪⎨⎧=--∉--∈=⎪⎩⎪⎨⎧=-∉-∈=4

,3,]5609.1,8119.3[,0]5609.1,8119.3[,4cos )(2

,1,],30[,0],2/[,4cos )(2

0002

i w w PQ w f i w w w l w PQ w f i

i

i C C

i

i i πβπβ

长l 的具有单位功率的线光源反射到C 点的功率密度为 .)()(2

/2

/⎰-=

l l C dw w E l h

类似可得)(l h B 的表达式.相应的反射点方程为

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

--±=-=⎪⎩⎪⎨⎧

=--++-+++-=223459002600)1300(137500.010530000001350810000)8100004680000()23400001498200(1800)1300(0y y x w w y w y w y w y y w y x

相应的,78.00-≈B

w 而第二组方程的有两个反射点的范围为].7800005.0,906.1[--∈w

3） 优化设计的数学模型

设线光源的功率为W , 则它反射到B 点和C 点的功率密度分别为W l h B ⋅)(和W l h C ⋅)(.问题的数学模型为:

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥≤≤1

)(2)(.

.mi n 00W

l h W l h t s W C B l l

三. 模型的求解

)(),(l h l h C B 可以用数值积分求得. )(l h B 应具备下列性质：

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤<↓≤≤↑=<<=0

'

'

,,

20,0)(l l l l l l w l l l h B B B B

B B

其中B l 为起亮值，'

B l 为最大值点，0l 为考察的最大范围，例如取为20mm 。)(l h

C 也有类似的性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解)(2)(l h l h C B =,记其解为*l l =,再求出

'

'

,C B l l ,不难看出'

'

C B l l <且*l 落在),('

'

C B l l 之中。

令)(/2)(/1***l h l h w B C ==现证*w 为问题之最优值。事实上，对可行域中任一),(w l ，