江苏省高一下学期期末考试(数学)

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江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学含答案

苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。

2022-2023学年江苏省徐州市高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足z （1+i ）＝5+i ，则复数z 在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，则两次掷出的点数之和为6的概率为（） A ．19B ．536C ．16D ．7363．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（） A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊂α B ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β4．有一组样本数据，x 1，x 2，…，x n ，其平均数为a ，中位数为b ，方差为c ，极差为d ．由这组数据得到新样本数据，y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝2x i +8（i ＝1，2，…，n ），则新样本数据的（） A ．样本平均数为2a B ．样本中位数为2b C ．样本方差为4cD ．样本极差为2d +85．已知向量a →，b →的夹角为π3，若(a →−b →)⊥a →，则向量a →在向量b →上的投影向量为（） A ．14b →B ．12b →C ．√32b →D ．b →6．已知sin(α+π3)+sinα=√33，则sin(2α−π6)的值是（）A ．79B ．−79C ．29D ．−297．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且圆台的母线与底面所成的角为π3，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（）A ．2√3πB ．16√3πC ．7√3π3D ．56√33π8．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B ﹣b cos A ＝b ，则b a+c的取值范围是（）A ．(√33，√22)B ．(2−√3，1)C ．(2−√3，√2−1)D ．(√2+1，√3+2)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年江苏省盐城市高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合M ＝{x |sin x ＝1}，N ＝{x |cos x ＝0}，则下列说法正确的是（） A ．M ＝N B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ，N 关系不确定2．在△ABC 中，已知a =√2，b =√3，B ＝60°，则角A 等于（） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．60°或120°3．已知一组样本数据x 1，x 2，…，x n （n ∈N *）的均值和方差分别为2和0.25，则3x 1+2，3x 2+2，…，3x n +2的均值和方差分别为（） A ．6和0.75B ．8和0.75C ．8和2.25D ．6和2.254．函数f(x)=lnx −1x的零点为x 0，且x 0∈[k ，k +1），k ∈Z ，则k 的值为（） A ．1B ．2C ．0D ．35．已知△ABC 中，点M 是线段BC 的中点，N 是线段AM 的中点，则向量BN →为（）A ．BN →=12AC →−32AB →B ．BN →=14AC →+34AB →C ．BN →=12AC →−34AB →D ．BN →=14AC →−34AB →6．欧拉公式e i θ＝cos θ+i sin θ（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）由瑞士数学家Euler （欧拉）首先发现．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（）A ．（cos θ1+i sin θ1）（cos θ2+i sin θ2）＝cos θ1cos θ2﹣sin θ1sin θ2B ．（cos θ1+i sin θ1）（cos θ2+i sin θ2）＝cos （θ1•θ2）+i sin （θ1•θ2）C ．（cos θ1+i sin θ1）（cos θ2+i sin θ2）＝cos （θ1+θ2）+i sin （θ1+θ2）D ．（cos θ1+i sin θ1）（cos θ2+i sin θ2）＝cos θ1cos θ2+sin θ1sin θ27．已知a ＝sin49°，b ＝cos42°，c ＝tan50°，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a8．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a →=（x 1，y 1），b →=（x 2，y 2），由|a →⋅b →|≤|a →||b →|得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 12+y 12)(x 22+y 22)，当且仅当x 1y 2＝x 2y 1时取等号．现已知a ≥0，b ≥0，a +b ＝5，则√2a +2+√b +3的最大值为（） A ．18B ．9C ．2√3D ．3√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知()()cos15,sin15,cos 75,sin 75OA OB =︒︒=︒︒，则AB =A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】D 【详解】()()()()22cos 75cos15,sin 75sin15cos 75cos15sin 75sin1522cos 7515211AB =--=-+-=--=-=.故选D .2．平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A ．α内有无穷多条直线都与β平行；B ．直线a α⊂，直线b β⊂，且b a αβ, ；C ．直线,a a αβ∥∥，且直线a 不在α内，也不在β内；D ．α内的任何一条直线都与β平行.【答案】D【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分条件的概念依次判断即可.【详解】对于A ，α内有无穷多条直线都与β平行，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β可以相交，A 错误；对于B ，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β也可以相交，B 错误；对于C ，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β也可以相交，C 错误；对于D ，由面面平行的定义知能推出平面α与平面β平行，D 正确.故选：D3．i 为虚数单位，则32i -满足的方程是（）A ．26130x x --=B ．26130x x ++=C ．26130x x +-=D ．26130x x -+=【答案】D【分析】根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】四个选项中的方程是实数系一元二次方程，所以可知32i -是实系数一元二次方程的根，因此32i +也是该实系数一元二次方程的根，而()()32i+3+2i 6,32i 3+2i 9413-=-=+=，因此选项D 符合，故选：D4．设D 为ABC 所在平面内一点，3CD BD =，则（）A ．1433AD AB AC=-+B ．3122AD AB AC =-C ．3212AD AB AC =-+D ．4133AD AB AC=- 【答案】B【分析】根据3CD BD =，可推得12BD CB =，利用向量的加减运算，可求得答案.【详解】由3CD BD =可得2CD BD BD -=，即12BD CB =,故1131=+=+=+()=2222AD AB BD AB CB AB AB AC AB AC --,故选：B二、多选题5．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（）2010至2022年我国新生儿数量折线图A ．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万B ．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万C ．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势D ．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差【答案】AC【分析】根据折线图逐项进行分析验证即可求解.【详解】对于A ，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A 正确；对于B ，由图可知共有13个数据，因为1325% 3.25⨯=，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B 错误；对于C ，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C 正确；对于D ，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D 错误，故选：AC.三、单选题6．设常数a 使方程sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解()1,2,3,4,5i x i =，则51i i x ==∑（）A ．73πB ．256πC ．133πD ．143π【答案】C【分析】令π()sin 23cos 22sin 23f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，作出函数在[]0,2π上的图像，判断方程sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解的条件，解方程.【详解】13πsin 23cos 22sin 2cos 22sin 2223x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作出函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图像:由图像可知，sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解，只有3a =时才能成立，由π2sin 2=33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈解得：1=0x ，2π=6x ，3=πx ，47π=6x ，5=2πx 51π7π13π0++π++2π=663ii x==∑，故选：C7．已知一组数1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是1x =，方差22s =，则数据121x +，221x +，321x +，421x +的平均数和方差分别是（）A ．3，4B ．3，8C ．2，4D ．2，8【答案】B【分析】根据1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是1，方差是2，可计算出1234x x x x +++、22222341x x x x +++值，代入另一组的平均数和方差的计算公式即可．【详解】由题知，1234144x x x x +++=⨯=，()()()()222221234111114s x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦2222123412341[()2()14]24x x x x x x x x =+++-++++⨯=，2222123412x x x x ∴+++=．另一组数据的平均数()12341212121214x x x x =+++++++()()123411214244344x x x x ⎡⎤=++++⨯=⨯+=⎣⎦，另一组数据的方差222212341[(213)(213)(213)(213)]4x x x x =+-++-++-++-()()()2222123412341148444123216844x x x x x x x x ⎡⎤=+++-++++⨯=⨯-+=⎣⎦．故选：B ．四、多选题8．已知()cos 4cos3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=【答案】ACD【分析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出1θ，2θ，3θ，即可判断选项A 、B ，将123cos cos cos θθθ根据诱导公式化为π2π4π77cos cos cos 7，分子分母同乘sin π7，结合倍角公式即可判断C ，将123cos cos cos ++θθθ通过诱导公式化为coscos 2π4π6π777cos ---，再将分子分母同乘sin π7，结合积化和差公式进行化简即可判断D.【详解】解：由题知1θ，2θ，3θ是cos 4cos30+=θθ的三个根，cos 4cos30+=θθ可化为cos 4cos3=-θθ，即()cos 4cos π3=+θθ，所以可得4π32πk =++θθ或4π32πk ++=θθ，Z k ∈，解得π2πk =+θ或π2π77k =-+θ，Z k ∈，因为()0,πθ∈，所以π2πk =+θ不成立，当π2π77k =-+θ，Z k ∈成立时，取1k =，解得()π0,π7=∈θ，取2k =，解得()3π0,π7=∈θ，取3k =，解得()5π0,π7=∈θ，取4k =，解得()π0,π=∉θ（舍），故1π7=θ，23π7=θ，35π7=θ，所以选项A 正确；因为1239ππ7++=≠θθθ，所以选项B 错误；123cos cos cos cos cos π3πc s5π777o =θθθπ4π2π777cos cos πcos π⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-ππ2π4π2sin π2π4π7cos cos 77coscos cos cos 7π7772sin 7==2π2π4π2sin 777cos π4s 7c sino =cos 4π4π2sin 77π8sin 7=π8ππsin πsinsin 1777πππ88sin 8sin 8sin 777⎛⎫+- ⎪⎝⎭====-，故选项C 正确；而123cos cos cos cosco π3π5π777s cos ++++=θθθ6π4πcos πcos πcos π2π777⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝-⎝⎭⎭coscos 2π4π6π77s 7co =---π2π4π6πsin 777cos cos c 7πsin 7os ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=π2ππ4ππ6πsin sin sin 7777cos cos c 77πossin 7⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=，根据积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，所以原式可化为：1π2ππ2ππ4ππ4ππ6ππ6πsin sin sin sin sin sin 2777777777777πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭=1πsin 127π2sin 7⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，故选项D 正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：（1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；（2）遇见cos cos 2cos3cos 4αααα的形式，分子分母同乘sin α，再用倍角公式化简；（3）积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦，()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦，()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦.9．已知事件A ，B 满足()0.5P A =，()0.2P B =，则（）A ．若B A ⊆，则()0.5P AB =B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C ．若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =D ．若()|0.2P B A =，则A 与B 相互独立【答案】BD【分析】对于A ，由题意可得()()P AB P B =，从而即可判断；对于B ，由互斥事件的概率计算公式计算即可；对于C ，先求得()0.8P B =，再根据独立事件的计算公式计算即可；对于D ，判断()()()P AB P A P B =⋅是否成立即可.【详解】解：对于A ，因为()0.5P A =，()0.2P B =，B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，故错误；对于B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.50.20.7P A B P A P B +=+=+=，故正确；对于C ，因为()0.2P B =，所以()10.20.8P B =-=，所以()0.50.80.4P AB =⨯=，故错误；对于D ，因为()|0.2P B A =，即()0.2()P AB P A =，所以()0.2()0.1P AB P A =⨯=，又因为()()0.50.20.1P A P B ⨯=⨯=，所以()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故正确.故选：BD10．在ABC 中，下列说法正确的有：（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若A B >，则cos cos A B <C ．若A B >，则sin(2)sin(2)A B >D ．若A B >，则cos(2)cos(2)A B <【答案】ABD【分析】利用大边对大角定理结合正弦定理可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论结合二倍角的余弦公式可判断D 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin A B >，A 对；对于B 选项，因为0B A π<<<，且余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，故cos cos A B <，B 对；对于C 选项，取6B π=，23A π=，则3sin 2sin 32B π==，43sin 2sin 32A π==-，此时，sin 2sin 2AB <，C 错.对于D 选项，若A B >，则sin sin A B >，则22cos 212sin 12sin cos 2A A B B =-<-=，D 对；故选：ABD.11．如图所示，四边形A B C D ''''是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD 水平放置的直观图，其中，5A D ''=，2C D C B ''''==，点P '在线段C D ''上，P '对应原图中的点P ，则在原图中下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 的面积为14B ．与AB 同向的单位向量的坐标为34(,)55-C ．AD 在向量AB 上的投影向量的坐标为912(,)55-D ．|3|PA PB +的最小值为17【答案】ABD【分析】根据直观图可得四边形ABCD 为直角梯形，从而可求得原图形的面积，即可判断A ；以点D为坐标原点建立平面直角坐标系，写出AB 的坐标，再根据与AB同向的单位向量为AB AB，即可判断B ；根据AD 在向量AB上的投影向量的坐标为AB AD AB ABAB⋅⋅ 即可判断C ；设()[]0,,0,4P y y ∈，根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示即可判断D.【详解】解：由直观图可得，四边形ABCD 为直角梯形，且5,4,2AD CD BC ===，则四边形ABCD 的面积为()254142+⨯=，故A 正确；如图，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,5,0,0,4,2,4D A C B ，则()3,4AB =- ，所以与AB同向的单位向量的坐标为34,55AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；()5,0AD =-，则AD 在向量AB上的投影向量的坐标为()3,415912,5555AB AD AB ABAB -⋅⎛⎫⋅=⨯=- ⎪⎝⎭，故C 错误；设()[]0,,0,4P y y ∈，则()()5,,2,4PA y PB y =-=-，则()317,44PA PB y +=- ，()2231744PA PB y +=+- ，当1y =时，3PA PB +取得最小值17，故D 正确.故选：ABD.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点,,,E F G M 分别是1111,,,BC AA C D BB 的中点则（）A ．直线1,AG EF 是异面直线B ．平面1DMC 截正方体所得截面的面积为122C ．三棱锥11A MCD -的体积为163D ．三棱锥11A BDC -的内切球的体积为323π27【答案】ACD【分析】对于A ，根据异面直线的概念即可判断；对于B ，利用平面基本性质作出截面图形，从而可以判断；对于C ，利用等体积法求解锥体体积即可判断；对于D ，利用体积分割法求出锥体的内切球的半径，代入球的体积公式即可判断.【详解】对于A ，如图，取11B C 的中点P ，连接PE ，取PE 的中点Q ，连接1AQ ，则11,A F EQ A F EQ =∕∕，所以四边形1A FEQ 是平行四边形，所以1EF AQ ∕∕，又因111AG AQ A ⋂=，所以直线1,AG EF 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，延长1,C M CB 交于点H ，连接HD 交AB 点N ，连接1,MN AB ，因为11,BB CC M ∕∕为1BB 的中点，则112BM CC =，所以B 为HC 的中点，因为AB CD ∕∕，所以N 为AB 的中点，则1MN AB ∕∕，因为1111,AD B C AD B C =∕∕，所以11AB C D 为平行四边形，所以11AB DC ∕∕，所以1MN DC ∕∕，则平面1DMC 截正方体所得截面为等腰梯形1MNDC ，在等腰梯形1MNDC 中，1142,22,25DC MN DN MC ====，则梯形的高为20232-=，所以等腰梯形1MNDC 的面积为()422232182+⨯=，故B 错误；对于C ，连接11,BC B C ，则11BC B C ⊥，因为AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥，又11,,AB BC B AB BC =⊂ 平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D ，又因为M 为1BB 的中点，所以三棱锥11M AC D -的高为1124B C =，111424822AC D S =⨯⨯= ，所以111111682233A MC D M AC D V V --==⨯⨯=，故C 正确；对于D ，由题意，三棱锥11A BDC -为边长42的正面体，设其内切球的球心为O ，半径为R .则11111111211111134(42)3333334A BDC A BD A C D A CBC BD V S R S R S R S R S R R -=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯ 表，又11131164444444323A BDC A ABD V V V --=-=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体，所以213644(42)343R ⨯⨯⨯⨯=，解得233R =，则三棱锥11A BDC -的内切球的体积为3423323ππ3327⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.五、填空题13．某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为.【答案】35【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】应抽取的理科生人数为：()501000300351000⨯-=.故答案为：35.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的理解能力和计算能力.14．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为【答案】25【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解．【详解】用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，设圆台的母线长为l ，该圆台的侧面积为35π，∴由圆台侧面积公式可得()π123π35πl l +==，解得5l =，设截去的圆锥的母线为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则25l l '='+，解得5l '=，∴原圆锥的母线长为5525l l +=+='．故答案为：25．15．已知ABC ∆中的内角为,,A B C ，重心为G ，若2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅= ，则cos B =.【答案】112【详解】试题分析：设,,a b c 为角,,A B C 所对的边，由正弦定理得2330aGA bGB cGC ++= ，则2333()aGA bGB cGC c GA GB +=-=--- 即()()23330a c GA b c GB -+-= ，又因为,GA GB 不共线，则23=0a c -,33=0b c -,即233,a b c ==所以33,23b b ac ==，2221cos 212a c b B ac +-∴==.【解析】向量及解三角形.16．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B 底线宽72AB =码，球门宽8EF =码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得EPF ∠最大，这时候点P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O 处（OA AB =，OA AB ⊥）时，根据场上形势判断，有OA 、OB 两条进攻线路可供选择.若选择线路OA ，则甲带球码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB ，则甲带球码时，到达最佳射门位置.【答案】72165-722165-【分析】若选择线路OA ，设AP t =，利用两角差的正切公式可得出tan EPF ∠关于t 的表达式，利用基本不等式可求得tan EPF ∠的值及OP 的长；若选择线路OB ，若选择线路OB ，以线段EF 的中点N为坐标原点，BA 、AP 的方向分别为x 、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果.【详解】若选择线路OA ，设AP t =，其中072t <≤，32AE =，32840AF =+=，则32tan AE APE AP t ∠==，40tan AF APF AP t∠==，所以，()tan tan tan tan 1tan tan APF APE EPF APF APE APF APE∠-∠∠=∠-∠=+∠∠2240328885128012801280201280112t t t t t t t t t-===≤=+++⋅，当且仅当1280t t=时，即当165t =时，等号成立，此时72165OP OA AP =-=-，所以，若选择线路OA ，则甲带球72165-码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB ，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA 、AP 的方向分别为x 、y 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()36,0B -、()36,72O 、()4,0F -、()4,0E ，7213636OB k ==+，直线OB 的方程为36y x =+，设点(),36P x x +，其中3636x -<≤，36tan 4PF x AFP k x +∠==+，36tan 4PE x AEP k x +∠==-，所以，()tan tan tan tan 1tan tan AEP AFP EPF AEP AFP AEP AFP∠-∠∠=∠-∠=+∠∠()()()2222836363684416363616361361443616x x x x x x x x x x x x x x x +++--+-===++-++⋅+++-++-，令(]360,72m x =+∈，则36x m =-，所以，()223616161280128036272227236m x x m m m x m m m---++=+=+-≥⋅-+321072=-，当且仅当12802m m =时，即当810m =，即当81036x =-时，等号成立，所以，881tan 12803210724109272EPF m m∠=≤=--+-，当且仅当81036x =-时，等号成立，此时，()23681036722165OP =⋅--=-，所以，若选择线路OB ，则甲带球722165-码时，到达最佳射门位置.故答案为：72165-；722165-.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.六、解答题17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[)60,70之间的人数．分数段[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90:x y 1:12:13:44:5【答案】(1)0.005a =(2)73分(3)20人【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出a 的值．（2）由频率分布直方图能求出平均分．（3）由频率分布直方图能求出语文成绩在[)60,70的人数，从而得解．【详解】（1）解：由频率分布直方图可得：10(20.020.030.04)1a ⨯+++=，解得0.005a =．（2）解：由频率分布直方图可得平均分为：()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（分)，（3）解：数学成绩在[)60,70的人数为11000.0410202⨯⨯⨯=（人)．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(),3m a b =u r ，()cos ,cos 2n B A ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且m n ⊥ ．(1)求A ；(2)若3c =，△ABC 的面积为332，求a ．【答案】(1)3A π=(2)7a =．【分析】（1）由m n ⊥ 结合正弦定理的边化角公式得出A ；（2）由面积公式得出2b =，再由余弦定理得出7a =.【详解】（1）由()cos ,cos 2n B A ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin ,cos n B A =- ，又m n ⊥ ，所以sin 3cos 0a B b A -=．由正弦定理得sin sin 3sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，所以sin 3cos 0A A -=，即tan 3A =．又A 为△ABC 的内角，所以3A π=．（2）由1sin 2ABC S bc A = 得，33133222b =⨯⨯，解得2b =．又根据余弦定理得2222212cos 2322372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以7a =．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，点M ，N 分别是线段11AC ，1A B 的中点．(1)求证：平面1A BC ⊥平面1A AB ；(2)设平面1MNB 与平面11BCC B 的交线为l ，求证：//MN l ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件证明1BC AA ⊥即可推理作答.(2)连接1BC ，证明//MN 平面11BCC B ，再结合线面平行的性质即可推理作答.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，则1BC AA ⊥，又BC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面1A AB ，于是得BC ⊥平面1A AB ，而BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面1A AB .（2）连接1BC ，如图，因点M ，N 分别是线段11AC ，1AB 的中点，则1//MN BC ，因1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ，因此，//MN 平面11BCC B ，而平面1MNB ⋂平面11BCC B l =，MN ⊂平面1MNB ，所以//MN l .20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.【答案】（Ⅰ）1085,17,{()85, 17,n n y n N n -<=∈>（Ⅱ）0.160.160.150.130.10.7p =++++=【详解】试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）①这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率试题解析：（1）当日需求量n≥17时，利润y ＝85．当日需求量n<17时，利润y ＝10n －85．所以y 关于n 的函数解析式为1085,17{85,17n n y n -<=≥（n ∈N ）．（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4．②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7．【解析】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数21．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC 的内心，记△OBC ，,OAC OAB的面积分别为1S ，2S ，3S ，已知22213132S S S S S +-=，2AB =．(1)若ABC 为锐角三角形，求AC 的取值范围；(2)在①4sin sin cos 21B A A +=；②12cos 12cos 0sin sin A B A B--+=；③cos cos 1a C c A +=中选一个作为条件，判断△ABC 是否存在，若存在，求出ABC 的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【答案】(1)(3,23)(2)答案见解析【分析】（1）由题意，根据ABC 的内切圆的性质可得222a c b ac +-=，利用正、余弦定理可得sin 3sin sin AB B AC C C⋅==，结合角C 的取值范围即可求解；（2）选择①，根据正弦定理可得2a b =，由（1）得23440b b -+=，方程无解即△ABC 不存在．选择②，根据三角恒等变换可得24a b c +==，由（1）得2242a b a +-=，解得2a b ==，结合三角形的面积公式计算即可.选择③，由（1），根据余弦定理可得2412a a +-=，方程无解即△ABC 不存在．【详解】（1）设ABC 的内切圆半径为r ，因为22213132S S S S S +-=，所以22211111()()()()()22222ar cr ar cr br +-⋅=，化简得：222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π3B =，所以2π3A C +=，因为sin sin AC AB B C =，所以sin 3sin sin AB B AC C C⋅==，因为ABC 为锐角三角形，所以π02C <<，2ππ032C <-<，解得：ππ62C <<，所以1sin 12C <<，所以AC 的取值范围为(3,23)．（2）选择①，因为4sin sin cos 21B A A +=，所以24sin sin 1cos 22sin B A A A =-=，因为sin 0A ≠，所以sin 2sin 0A B -=，所以2a b =，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以22444b b b +-=，整理得23440b b -+=，方程无实数解，所以ABC 不存在．选择②，由12cos 12cos 0sin sin A B A B--+=得：sin sin 2(sin cos cos sin )0A B A B A B +-+=，所以sin sin 2sin()A B A B +=+，即sin sin 2sin A B C +=，所以24a b c +==，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以2242a b a +-=，所以224(4)2a a a +--=，解得2a b ==，所以ABC 存在且唯一，ABC 的面积113sin 43222S ac B ==⨯⨯=．选择③，因为cos cos 1a C c A +=，所以222222122a b c b c a a c b ab bc+-+-⋅+⋅==，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以2412a a +-=，整理得2230a a -+=，方程无实数解，所以ABC 不存在．22．三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是,BC BA 中点.(1)求证：1A N //平面1C MA ；(2)求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值；(3)求点C 到平面1C MA 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)23(3)43【分析】（1）先证明四边形11MNAC 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解【详解】（1）连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，MN //AC ，且12AC MN ==，由棱台性质，11AC //AC ，于是MN //11AC ，由111MN AC ==可知，四边形11MNAC 是平行四边形，则1A N //1MC ，又1A N ⊄平面1C MA ，1MC ⊂平面1C MA ，于是1A N //平面1C MA .（2）过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ,连接1,MF C E .由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，又1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，故1AC MF ⊥.于是平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠.又12AB ME ==，11cos 5CAC ∠=，则12sin 5CAC ∠=，故121sin 5EF CAC =⨯∠=，在Rt MEF 中，90MEF ∠= ，则43155MF =+=，于是2cos 3EF MFE MF ∠==（3）[方法一：几何法]过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R .由题干数据可得，115C A C C ==，22115C M C P PM =+=，根据勾股定理，21232522C Q ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，又1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ .又PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，又1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，故PR ⊥平面1C MA .在1Rt C PQ 中，1122223322PC PQ PR QC ⋅⋅===，又2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43.[方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C 到平面1C MA 的距离为h .()1211112223323C AMC AMC V C P S -=⨯⨯=⨯⨯⨯= ，1111132233222C C MA AMC h V h S h -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .由11223C AMC C C MA h V V --=⇔=，即43h =.。

江苏高一高中数学期末考试带答案解析

江苏高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B= ．2.函数y=+的定义域是．3.已知函数f （x ）=，则f[f （﹣2）]= ．4.已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为．5.若函数f （x ）=a•2x +2﹣x 为偶函数，则实数a 的值是． 6.（）+（0.25）= ．7.函数y=6+log 3（x ﹣4）的图象恒过点．8.已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）=0，若f （x ﹣1）＞0，则x 的取值范围是． 9.已知m ，n ，l 是直线，α，β是平面，下列命题中： ①若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l ；②若l 平行于α，则α内可有无数条直线与l 平行； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若m ⊥n ，n ⊥l ，则m ∥l ；所有正确的命题序号为．10.已知函数f （x ）=mx 2﹣2x+3，对任意x 1，x 2∈[﹣2，+∞）满足＜0，则实数m 的取值范围． 11.若不等式恒成立，则实数a 的最小值为．12.已知函数满足条件：y=f （x ）是R 上的单调函数且f （a ）=﹣f （b ）=4，则f （﹣1）的值为．13.定义在区间[x 1，x 2]长度为x 2﹣x 1（x 2＞x 1），已知函数f （x ）=（a ∈R ，a≠0）的定义域与值域都是[m ，n]，则区间[m ，n]取最长长度时a 的值是． 14.已知x ∈R ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f （x ）=﹣a （x ＞0）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是．二、解答题1.已知集合A={x|a≤x≤a+4}，B={x|x 2﹣x ﹣6≤0}．（1）当a=0时，求A∩B ，A ∪（∁R B ）；（2）若A ∪B=B ，求实数a 的取值范围．2.如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC=BC ，M ，N 分别是棱CC 1，AB 的中点．（1）求证：CN ⊥平面ABB 1A 1；（2）求证：CN ∥平面AMB 1．3.已知四边形ABCD 是矩形，AB=1，AD=2，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，PA ⊥平面ABCD．（1）求证：DF⊥平面PAF；（2）若∠PBA=45°，求三棱锥C﹣PFD的体积；（3）在棱PA上是否存在一点G，使得EG∥平面PFD，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．4.在一条笔直公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑着摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式（不必写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（2）若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）若甲乙两人离A地的距离之积为f（x），求出函数f（x）的表达式，并求出它的最大值．5.已知f（x）=ax2﹣（a+1）x+1﹣b（a，b∈R）．（1）若a=1，不等式f（x）≥x﹣1在b∈[6，17]上有解，求x的取值范围；（2）若b=0，函数g（x）=是奇函数，判断并证明y=g（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若f（﹣1）=0，且|a﹣b|≤t（t＞0），求a2+b2+b的最小值．6.设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍是A，那么称x=g（x）是函数y=f（x）的一个等值域变换．（1）已知函数f（x）=x2﹣x+1，x∈B，x=g（t）=log2t，t∈C．1°若B，C分别为下列集合时，判断x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，求a，b满足的条件；（2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g（t）=是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m，n的值．江苏高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=．【答案】{2}．【解析】直接利用交集的运算求解．解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．【考点】交集及其运算．2.函数y=+的定义域是．【答案】{x|x≥﹣1，且x≠2}【解析】根据使函数y=+的解析式有意义的原则，构造不等式组，解不等式组可得函数的定义域．解：要使函数y=+的解析式有意义自变量x须满足：解得x≥﹣1，且x≠2故函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2}故答案为：{x|x≥﹣1，且x≠2}【考点】函数的定义域及其求法．3.已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]= ．【答案】8【解析】根据自变量的大小确定该选用哪一段的函数解析式求解，从内向外逐一去括号即可求出所求．解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=（﹣2）2=4，即f[f（﹣2）]=f（4），∵4≥0，∴f（4）=2×4=8，即f[f（﹣2）]=f（4）=8，故答案为：8．【考点】函数的值．4.已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为．【答案】48【解析】利用正四棱锥的结构特征求解．解：已知正四棱锥P﹣ABCD中，AB=6，PA=5，取AB中点O，连结PO，则PO⊥AB，AO=3，∴PO==4，∴该正四棱锥的侧面积：=4×=48．S=4S△PAB故答案为：48．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．5.若函数f（x）=a•2x+2﹣x为偶函数，则实数a的值是．【答案】1【解析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．解：∵f（x）=a•2x+2﹣x为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ），即a•2﹣x +2x =a•2x +2﹣x ，即a•（2﹣x ﹣2x ）=2﹣x ﹣2x ，则a=1，故答案为：1．【考点】函数奇偶性的性质． 6.（）+（0.25）= ．【答案】【解析】利用对数的运算法则化简求解即可．解：（）+（0.25）==．故答案为：．【考点】对数的运算性质．7.函数y=6+log 3（x ﹣4）的图象恒过点．【答案】（5，6）．【解析】令x=5代入函数y=6+log 3（x ﹣4），求出y 的值即可．解：x=5时：y=6+log 3（5﹣4）=6，故答案为：（5，6）．【考点】对数函数的图象与性质．8.已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）=0，若f （x ﹣1）＞0，则x 的取值范围是．【答案】（﹣1，3）【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f （|x ﹣1|）＞f （2），即可得到结论．解：∵偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）=0， ∴不等式f （x ﹣1）＞0等价为f （x ﹣1）＞f （2），即f （|x ﹣1|）＞f （2）， ∴|x ﹣1|＜2，解得﹣1＜x ＜3，故答案为：（﹣1，3）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．9.已知m ，n ，l 是直线，α，β是平面，下列命题中： ①若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l ；②若l 平行于α，则α内可有无数条直线与l 平行； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若m ⊥n ，n ⊥l ，则m ∥l ；所有正确的命题序号为．【答案】②【解析】在①中，m 与l 平行或异面；在②中，由直线与平面平行的性质得α内可有无数条直线与l 平行；在③中，α与β相交或平行；在④中，m 与l 相交、平行或异面．解：由m ，n ，l 是直线，α，β是平面，知：在①中：若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m 与l 平行或异面，故①错误；在②中：若l 平行于α，则由直线与平面平行的性质得α内可有无数条直线与l 平行，故②正确；在③中：若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α与β相交或平行，故③错误；在④中：若m ⊥n ，n ⊥l ，则m 与l 相交、平行或异面，故④错误．故答案为：②．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．10.已知函数f （x ）=mx 2﹣2x+3，对任意x 1，x 2∈[﹣2，+∞）满足＜0，则实数m 的取值范围．【答案】[﹣，0]．【解析】先求出函数的单调性，再通过讨论m 的范围，结合二次函数的性质从而求出m 的范围即可．解：对任意x 1，x 2∈[﹣2，+∞）满足＜0，得f （x ）在[﹣2，+∞）单调递减，当m=0时：f （x ）=﹣2x+3，符合题意， m≠0时，则m ＜0，此时，对称轴x=﹣=≤﹣2，解得：m≥﹣，故答案为：[﹣，0]．【考点】二次函数的性质．11.若不等式恒成立，则实数a 的最小值为．【答案】．【解析】不等式整理为x 2≤log a x 在x ∈（0，]时恒成立，只需x 2的最大值小于log a x 的最小值，利用分类讨论对a 讨论即可．解：不等式恒成立，即为x 2≤log a x 在x ∈（0，]时恒成立，∴x 2的最大值小于log a x 的最小值． ∴x 2≤≤log a x ，当a ＞1时，log a x 为递增，但最小值为负数不成立．当0＜a ＜1时，log a x 为递减，最小值在x=上取到，∴log a≥=log a ，∴a≥，故a 的最小值为．故答案为：．【考点】函数恒成立问题．12.已知函数满足条件：y=f （x ）是R 上的单调函数且f （a ）=﹣f （b ）=4，则f （﹣1）的值为．【答案】﹣3【解析】由已知，求出a ，b 的值，得到函数的解析式，将x=﹣1代入可得答案．解：∵函数满足条件：y=f （x ）是R 上的单调函数，∴，又∵f （a ）=﹣f （b ）=4， ∴，解得：，∴，∴f （﹣1）=﹣3，故答案为：﹣3【考点】分段函数的应用．13.定义在区间[x 1，x 2]长度为x 2﹣x 1（x 2＞x 1），已知函数f （x ）=（a ∈R ，a≠0）的定义域与值域都是[m ，n]，则区间[m ，n]取最长长度时a 的值是．【答案】7【解析】根据分式函数的性质，判断函数为增函数，根据函数定义域与值域都是[m ，n]，得到，转化为f （x ）=x ，有两个同号的相异实数根，利用一元二次方程根与系数之间的关系进行求解．解：设[m ，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，[m ，n]⊆（﹣∞，0）或[m ，n]⊆（0，+∞），故函数f （x ）=﹣在[m ，n]上单调递增，则，故m ，n 是方程f （x ）=﹣=x 的同号的相异实数根，即a 2x 2﹣（a 2+a ）x+2=0的同号的相异实数根 ∵mn=，m+n==∴m ，n 同号，只需△=（a 2+a ）2﹣8a 2=a 2•[（a+1）2﹣8]＞0，即（a+1）2﹣8＞0∴a ＞2﹣1或a ＜﹣2﹣1， n ﹣m====，n ﹣m 取最大值为．此时=，即a=7，故答案为：7【考点】函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法；函数的值域．14.已知x ∈R ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f （x ）=﹣a （x ＞0）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】（，]．【解析】由题意可得，方程=a 在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且 a≥0，[x]=1，2，3．分别求得[x]=1，2，3，4时，a 的范围，从而确定满足条件的a 的范围．解：因为f （x ）=﹣a ，有且仅有3个零点，则方程=a 在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．∵x ＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x ＜[x]+1， ∴＜≤1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a 值，故有[x]=1，2，3．若[x]=1，则有＜≤1；若[x]=2，则有＜≤1；若[x]=3，则有＜≤1；若[x]=4，则有＜≤1．综上所述，＜a≤．故答案为：（，]．【考点】函数零点的判定定理．二、解答题1.已知集合A={x|a≤x≤a+4}，B={x|x 2﹣x ﹣6≤0}．（1）当a=0时，求A∩B ，A ∪（∁R B ）；（2）若A ∪B=B ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A∩B={x|0≤x≤3}，A ∪（∁R B ）={x|x ＜﹣2或x≥0}；（2）实数a 的范围是{a|﹣2≤a≤﹣1}．【解析】（1）求出B 中不等式的解集确定出B ，把a=0代入确定出A ，找出A 与B 的交集，求出A 与B 补集的并集即可；（2）根据A 与B 的并集为B ，得到A 为B 的子集，由A 与B 确定出a 的范围即可．解：（1）由B 中不等式变形得：（x ﹣3）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤3，即B={x|﹣2≤x≤3}， ∴∁R B={x|x ＜﹣2或x ＞3}，把a=0代入得：A={x|0≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x≤3}，A ∪（∁R B ）={x|x ＜﹣2或x≥0}；（2）∵A ∪B=B ，∴A ⊆B ，则有，解得：﹣2≤a≤﹣1，则实数a 的范围是{a|﹣2≤a≤﹣1}．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．2.如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC=BC ，M ，N 分别是棱CC 1，AB 的中点．（1）求证：CN ⊥平面ABB 1A 1；（2）求证：CN ∥平面AMB 1．【答案】见解析【解析】（1）证明AA 1⊥CN ，CN ⊥AB ，即可证明CN ⊥平面ABB 1A 1；（2）设AB 1的中点为P ，连接NP 、MP ，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得CN ∥平面AMB 1．证明：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥CN ，∵AC=BC ，N 是棱AB 的中点， ∴CN ⊥AB ， ∵AA 1∩AB=A ，∴CN ⊥平面ABB 1A 1；（2）设AB 1的中点为P ，连接NP 、MP ∵M 、N 分别是棱CC 1、AB 的中点∴CM ∥AA 1，且CM=AA 1，NP ∥AA 1，且NP=AA 1， ∴CM ∥NP ，CM=NP∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP ∵CN ⊄平面AMB 1，MP ⊂平面AMB 1，∴CN ∥平面AMB 1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．3.已知四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：DF⊥平面PAF；（2）若∠PBA=45°，求三棱锥C﹣PFD的体积；（3）在棱PA上是否存在一点G，使得EG∥平面PFD，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）．（3）．【解析】（1）由勾股定理的逆定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD得PA⊥DF，故而DF⊥平面PAF；（2）根据PA⊥AB，∠PBA=45°可得PA=1，把△CDF作棱锥的底面，则PA为棱锥的高；（3）过E作EH∥DF交AD于H，过H作HG∥PD，则平面EGH∥平面PDF，根据长方形的性质和平行线等分线段成比例定理可求得的值．解：（1）在矩形ABCD中，∵F是BC的中点，AB=1，AD=2，∴AF=DF=，∴AF2+DF2=4=AD2，∴DF⊥AF．∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴PA⊥DF，又∵PA⊂平面PAF，AF⊂平面PAF，PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF．（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，∵∠PBA=45°，∴PA=AB=1．∴三棱锥C﹣PFD的体积V=S△CDF×PA==．（3）过E作EH∥DF交AD于H，过H作HG∥PD，则平面EGH∥平面PDF，∴EG∥平面PDF．∵EH∥DF，∴，又∵HG∥PD，∴．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．4.在一条笔直公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑着摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式（不必写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（2）若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）若甲乙两人离A地的距离之积为f（x），求出函数f（x）的表达式，并求出它的最大值．【答案】（1）M （，），甲乙经过h 第一次相遇，此时离A 距离km ；（2）甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）可得f （x ）的最大值为f （2）=1600．【解析】（1）由图形，结合一次函数的解析式的求法，可得所求解析式；再令y 甲=y 乙，求得M 的坐标，进而得到几何意义；（2）令y 甲﹣y 乙≤5，解不等式可得x 的范围，进而得到所求结论；（3）运用分段函数的形式写出f （x ），再由二次函数的最值的求法，即可得到所求的最大值．解：（1）y 甲=20x ，0≤x≤2；y 乙=，令y 甲=y 乙，可得20x=40﹣40x ，解得x=，进而y 甲=y 乙=，即有M （，），M 的坐标表示：甲乙经过h 第一次相遇，此时离A 距离km ；（2）乙返回过程中，当1＜x≤2时，乙与甲相距5km 之内，即y 甲﹣y 乙≤5，即为20x ﹣（40x ﹣40）≤5，解得x≥，即≤x≤2，则（2﹣）×60=15分钟，甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）f （x ）===，当0＜x≤1时，f （x ）的最大值为f （）=200；当1＜x≤2时，f （x ）递增，f （2）为最大值，且为1600．综上可得f （x ）的最大值为f （2）=1600．【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．5.已知f （x ）=ax 2﹣（a+1）x+1﹣b （a ，b ∈R ）．（1）若a=1，不等式f （x ）≥x ﹣1在b ∈[6，17]上有解，求x 的取值范围；（2）若b=0，函数g （x ）=是奇函数，判断并证明y=g （x ）在（0，+∞）上的单调性；（3）若f （﹣1）=0，且|a ﹣b|≤t （t ＞0），求a 2+b 2+b 的最小值．【答案】（1）x≥4或x≤﹣1．（2）g （x ）=﹣x+为减函数．（3）见解析【解析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可．（2）根据函数奇偶性的性质求出a 的值即可．（3）利用消元法消去b ，构造关于a 的函数，结合一元二次函数的性质进行求解即可．解：（1）若a=1，则f （x ）=x 2﹣2x+1﹣b ，则不等式f （x ）≥x ﹣1在b ∈[6，17]上有解，等价为不等式x 2﹣2x+1﹣b≥x ﹣1在b ∈[6，17]上有解，即x 2﹣3x+2≥b 在b ∈[6，17]上有解，即x 2﹣3x+2≥6，得x 2﹣3x ﹣4≥0，即x≥4或x≤﹣1．（2）若b=0，则g （x ）==ax ﹣（a+1）+，若g （x ）是奇函数，则g （﹣x ）=﹣g （x ），即﹣ax ﹣（a+1）﹣=﹣（ax ﹣（a+1）+）=﹣ax+（a+1）﹣，即﹣（a+1）=a+1，则a+1=0，则a=﹣1．即g （x ）=﹣x+，当x ＞0时，函数y=﹣x 为减函数，y=为减函数，则g （x ）=﹣x+为减函数．（3）若f （﹣1）=0，则2a+2﹣b=0，即b=2a+2， ∵|a ﹣b|≤t （t ＞0）， ∴﹣2﹣t≤a≤﹣2+t ，a 2+b 2+b=a 2+（2a+2）2+2a+2=5a 2+10a+6，令g （a ）=5a 2+10a+6，对称轴为a=﹣1， ∵t ＞0，∴﹣2﹣t ＜﹣2＜﹣1，①若0＜t≤1，则﹣2+t≤﹣1，则g （a ）min =g （﹣2+t ）=5t 2﹣10t+6， ②若t ＞1，则﹣2+t ＞﹣1，则g （a ）min =g （﹣1）=1．【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．6.设函数y=f （x ）的定义域为D ，值域为A ，如果存在函数x=g （t ），使得函数y=f （g （t ））的值域仍是A ，那么称x=g （x ）是函数y=f （x ）的一个等值域变换．（1）已知函数f （x ）=x 2﹣x+1，x ∈B ，x=g （t ）=log 2t ，t ∈C ． 1°若B ，C 分别为下列集合时，判断x=g （t ）是不是函数y=f （x ）的一个等值域变换：①B=R ，C=（1，+∞）；②B=R ，C=（2，+∞） 2°若B=[0，4]，C=[a ，b]（0＜a ＜b ），若x=g （t ）是函数y=f （x ）的一个等值域变换，求a ，b 满足的条件；（2）设f （x ）=log 2x 的定义域为x ∈[2，8]，已知x=g （t ）=是y=f （x ）的一个等值域变换，且函数y=f[g （t ）]的定义域为R ，求实数m ，n 的值．【答案】（1）或．（2）或．【解析】（1）根据等值域变换的定义，分别进行推导判断即可．（2）利用f （x ）的定义域，求得值域，根据x 的表达式，和t 值域建立不等式，利用存在t 1，t 2∈R 使两个等号分别成立，求得m 和n ．解：1°f （x ）=x 2﹣x+1=（x ﹣）2+≥，即函数f （x ）的值域为[，+∞），①C=（1，+∞）时，g （t ）∈（0，+∞），f （g （t ））=（g （t ））2﹣g （t ）+1=（g （t ）﹣）2+≥，即函数f （g （t ））的值域为[，+∞），即x=g （t ）是函数y=f （x ）的一个等值域变换②B=R ，C=（2，+∞）时，g （t ）∈（1，+∞），f （g （t ））=（g （t ））2﹣g （t ）+1=（g （t ）﹣）2+＞1′，即函数f （g （t ））的值域为（1，+∞），即x=g （t ）不是函数y=f （x ）的一个等值域变换，故①是等值域变换，②不等值域变换2°B=[0，4]，C=[a ，b]（0＜a ＜b ），f （x ）的值域为[，13]，x=g （t ）的值域是[log 2a ，log 2b] 当f （x ）=13时，x=﹣3或4，结合图象可知，若x=g （t ）是函数y=f （x ）的一个等值域变换，则或，解得或，故若x=g （t ）是函数y=f （x ）的一个等值域变换，则a ，b 满足的条件是：或．（2）f （x ）=log 2x 定义域为[2，8]，由y=log 2x ，知1≤y≤3，即f （x ）=log 2x 的值域为[1，3]，因为x=g （t ）是y=f （x ）的一个等值域变换，且函数f （g （t ））的定义域为R ，所以x=g （t ）=，t ∈R 的值域为[2，8]，则2≤≤8，∴2（t 2+1）≤mt 2﹣3t+n≤8（t 2+1），所以，恒有，且存在t 1，t 2∈R 使两个等号分别成立，于是，解得或．【考点】函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法；函数的值域．。

2022-2023学年江苏省苏州高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（） A ．0B ．1C ．√2D ．23．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（） A ．14B ．38C ．12D ．344．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（） A ．（0，9） B ．（6，﹣9） C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．216．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（） A ．众数为2B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为48510．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝211．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1] B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1] C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√312．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A 与B 相互独立，P （A ）＝0.6，P （AB ）＝0.42，则P （A +B ）＝．14．已知三条不同的直线a ，b ，c 和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a ⊥α，b ⊥β；②α∩β＝m ；③c ⊥a ，c ⊥b ，c ⊄α，c ⊄β，则c 与m 的位置关系是．（填“相交”，“平行”或“异面”） 15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值：． 16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ．（1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点．（1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（2）求证：B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x 02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值；（2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g（x）的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC满足AC=2√2，AB＝2，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：cos105°cos45°+sin105°sin45°=cos(105°−45°)=cos60°=12．故选：A ．2．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（） A ．0B ．1C ．√2D ．2解：设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，（a +bi ）2+2（a +bi ）+2＝0，即a 2﹣b 2+2a +2+（2ab +2b ）i ＝0，故{a 2−b 2+2a +2=02ab +2b =0，解得{a =−1b =1或{a =−1b =−1，故z ＝﹣1±i ，所以|z|=√1+1=√2．故选：C ．3．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（） A ．14B ．38C ．12D ．34解：抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共有8种不同的结果，既有正面向上，也有反面向上情况：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），有6种不同的结果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为68=34．故选：D ．4．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（）A ．（0，9）B ．（6，﹣9）C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 解：由题意得，点B 为AP 中点，设点P （x ，y ），则{x+22=4y+32=−3，解得{x =6y =−9，所以点P 的坐标为（6，﹣9）．故选：B ．5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．21解：因为正六棱台的上下底面为正六边形，所以S 上=6×√34×12=3√32，S 下=6×√34×22=6√3，所以V 六棱台=13(3√32+6√3+√3√32×6√3)×2√3=21，由祖暅原理知该几何体的体积也为21．故选：D ．6．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →解：由题意，3a →−b →在b →上的投影向量为(3a →−b →)⋅b→|b →|•b →=3a →⋅b →−b→2|b →|•b →=3×(−2)−11•b →=−7b →．故选：B ．7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为sin 23＜sin π4=√22＜45＜sin π3=√32，c =cos 13＞cosπ6=√32＞45=a ，所以c ＞a ，所以b ＜a ＜c ．故选：C ．8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2解：方法一：因为三角形的周长为20，所以三角形越接近等边三角形，面积越大，所以三边长为6，7，7时面积最大，此时边长为6的边上的高为√72−32=2√10，面积为S =12×6×2√10=6√10，方法二：设三角形的三边分别为a ，b ，c ，令p =a+b+c2，则p ＝10．由海伦公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，知S =√10(10−a)(10−b)(10−c)≤√10[(10−a)+(10−b)+(10−c)3]3=100√39＜20＜3√55，由于等号成立的条件为10﹣a ＝10﹣b ＝10﹣c ，故“＝”不成立， ∴S ＜20＜3√55．排除CD ；由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，解法同一可知面积为6√10cm 2，故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（） A ．众数为2 B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为485解：由题意可得4+2+a+10+75=5⇒a =2，所以A 正确：2，2，4，7，10的中位数为4，故B 正确；极差为10﹣2＝8，故C 错误；对于D ：S 2=(4−5)2+(2−5)2+(2−5)2+(10−5)2+(7−5)25=485，D 正确．10．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝2解：对于A ，因为AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos〈AB →⋅AC →〉＞0，即cos〈AB →⋅AC →〉＞0，又0＜〈AB →⋅AC →〉＜π，故角A 为锐角，但无法确定另两个角的范围，故△ABC 不一定是锐角三角形，故A 错误；对于B ：因为sin A ：sin B ：sin C ＝4：5：6，由正弦定理得a ：b ：c ＝4：5：6，令a ＝4k ，则b ＝5k ，c ＝6k ，显然最大角为C ，且cosC =a 2+b 2−c 22ab =(4k)2+(5k)2−(6k)22×4k×5k＞0，所以最大角C 为锐角，所以△ABC 一定是锐角三角形，故B 正确；对于C ，因为cos A cos B cos C ＞0，若cos A ＜0，则cos B ＜0，cos C ＞0或cos B ＞0，cos C ＜0，又0＜A ，B ，C ＜π，则除了角A 为钝角外，还有一角为钝角，矛盾；同理cos B ＜0，cos C ＜0都不可能，故cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，即三个角均为锐角，故C 正确；对于D ，因为tan A •tan B ＝2＞0，易知tan A ＞0，tan B ＞0，则A ，B 均为锐角，又tanC =−tan(A +B)=−tanA+tanB1−tanA⋅tanB=tanA +tanB ＞0，则C 也为锐角，所以△ABC 一定为锐角三角形，故D 正确．故选：BCD ．11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1]B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1]C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√3解：对于A ，OE →⋅EF →=OE →⋅(OF →−OE →)=OE →⋅OF →−OE →2=OE →⋅OF →−1=2cos∠EOF −1，因为∠EOF ∈[0，2π3]．所以cos ∠EOF ∈[−12，1]，所以2cos ∠EOF ﹣1∈[﹣2，1]，即OE →⋅EF →∈[−2，1]，A 正确；B 错误；对于C ，如图，当OE →⊥EF →时，可判断E 为BF 中点，OF ＝2OE ＝2，则∠OFE ＝∠AOF ＝30°，OA ∥BF ，作EM ∥OB ，则四边形OBEM 为平行四边形，则OE →=OM →+OB →，OM =BE =EF =√3，所以OM →=√3OC →，OB →=2OD →，所以OE →=OM →+OB →=√3OC →+2OD →．所以x +y =2+√3，C 错误，D 正确．故选：AD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形解：对于A ，在正方体中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥AC ，又因为BD ⊥AC ，BD ∩DD 1＝D 且BD ⊂平面BDD 1，DD 1⊂平面 BDD 1，所以AC ⊥平面BDD 1，所以AC ⊥BD 1，同理可证AB 1⊥BD 1，又因为AC ∩AB 1＝A ，AC ⊂平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ，所以BD 1⊥平面AB 1C ，因为B 1P ⊂平面AB 1C ，所以B 1P ⊥B 1D ，故A 正确；因为在正方体中，AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，所以ACC 1A 1是平行四边形，所以AC ∥A 1C 1，又A 1C 1⊂平面A 1DC 1，AC ⊄平面A 1DC 1，所以AC ∥平面A 1DC 1，又P ∈AC ，所以点P 到平面A 1DC 1的距离为定值，而△A 1DC 面积为定值，所以三棱锥C 1﹣A 1DF 的体积为定值，故B 正确；对C，如图，将△AB1C绕AC旋转，△BB1C绕BC旋转，使得△AB1C与和△BB1C与△ABC共面，如图点P在AC上，点Q在BC上，若△B1PQ周长最小，即B1P+PQ+QB1最小，当B1，P，Q，B1四点共线时，B1P+PQ+QB1最小，在△CB1B1中，由余弦定理得B1B12=（√2）2+（√2）2﹣2×√2×√2×cos150°＝4+2√3，所以B1B1=√3+1，故C正确；对于D，如图，在正方体中，与正方体体对角线垂直的截面只有两种图形，三角形与六边形，所以D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A与B相互独立，P（A）＝0.6，P（AB）＝0.42，则P（A+B）＝0.88．解：因为事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）×P（B）＝0.6×P（B）＝0.42⇒P（B）＝0.7，所以P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.6+0.7﹣0.42＝0.88．故答案为：0.88．14．已知三条不同的直线a，b，c和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a⊥α，b⊥β；②α∩β＝m；③c⊥a，c⊥b，c⊄α，c⊄β，则c与m的位置关系是平行．（填“相交”，“平行”或“异面”）解：由题意可知，直线a与直线b不平行，过a上一点A作与直线b′∥b，如图所示，则a 与b ′确定一个平面γ，由a ⊥α，a ⊂γ，则γ⊥α，由b ⊥β，b ′∥b ，则b ′⊥β，又b ′⊂γ，则γ⊥β，由α∩β＝m ，得m ⊥γ，由c ⊥b ，得c ⊥b ′，又c ⊥a ，a ∩b ′＝A ，a ，b ′⊂γ，所以c ⊥γ， c ⊄a ，c ⊄β，所以c ∥m ．故答案为：平行．15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值： 4或5或6 ．解：如图，棱长为4的正四面体ABCD ，置入到正方体中，此正方体棱长为2√2，四面体外接球即为此正方体外接球，球心即为正方体中心O ，半径R =12×√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)2=√6．则过点M 的最大截面圆即为过球心时，此时截面圆半径即为球半径√6，截面面积为π×(√6)2=6π，当点M 为截面圆圆心时，此时截面圆面积最小，其中OM =√2，最小截面圆半径为r =√R 2−OM 2=√6−2=2，截面圆面积为π×22＝4π，所以过点M 的截面圆面积取值范围为[4π，6π]，所以k ∈{4，5，6}．故答案为：4或5或6．16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为 −14 ．解：cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，等号左边弦化切，右边用二倍角公式可得，1−tanα1+tanα=cos 2β−sin 2βcos 2β+sin 2β，1−tanα1+tanα=1−tan 2β1+tan 2β，tan α＝tan ²β，∴tan α+tan β＝tan ²β+tan β＝（tan β+12）²−14≥−14，取等号条件：tan β=−12时，此时tan α=14，tan （α+β）=−29＜0，0＜α＜π2，π2＜β＜π，π2＜(α+β)＜π，0＜π−(α+β)＜π2，∴满足α、β、π﹣（α+β）为一斜三角形内角．所以tan α+tan β最小值为−14．故答案为：−14．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ．（1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．解：（1）设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），则由z 1z 0＝3z 1+z 0可得（a +bi ）（3+4i ）＝3（a +bi ）+3+4i ，整理得﹣4b ﹣3+（4a ﹣4）i ＝0，所以{4a −4=0−4b −3=0，解得a ＝1，b =−34，所以z 1的虚部为−34；（2）z +z 0=(x 2−4x)+(x +2)i +3−4i =(x 2−4x +3)+(x −2)i ，因为复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，所以{x 2−4x +3＜0x −2＞0⇒⇒{1＜x ＜3x ＞2⇒⇒2＜x ＜3，即x 的取值范围为（2，3）．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．解：（1）（a +0.03+0.015+0.01×2）×10＝1⇒a ＝0.035，因为第一组的频率为0.01×10＝0.1，0.1＜0.25，第二组的频率为0.03×10＝0.3，0.1+0.3＞0.25，所以第25百分位数在第二组，设为x ，则0.1+x−2510×0.3=0.25⇒x =30，所以第25百分位数为30．（2）年龄在[25，35）的市民人数为200×0.3＝60，年龄在[45，55）的市民人数为200×0.15＝30，用分层随机抽样的方法抽取年龄在[25，35）的人数为6×6060+30=4人，年龄在[45，55）的人数为6×3060+30=2人，设年龄在[25，35）的4人为A ，B ，C ，D ，年龄在[45，55）的2人为E ，F ，从这6为市民中抽取两名的样本事件为{（AB ），（AC ），（AD ），（AE ），（AF ），（BC ），（BD ），（BE ），（BF ），（CD ），（CE ），（CF ），（DE ），（DF ），（EF ）}，共15种，其中2名年龄都在[25，35）内的样本事件有{（AB ），（AC ），（AD ），（BC ），（BD ），（CD ）}6种，所以两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率为615=25．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点．（1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（2）求证：B 1C ⊥AC 1．证明：（1）取AC 中点为Q ，连接MQ ，C 1Q ，∵M ，Q 分别为AB ，AC 中点，∴MQ ∥BC ，MQ =12BC ，∵BC ∥B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又N 为B 1C 1中点， ∴NC 1∥BC ，NC 1=12BC ， ∴MQ ∥NC 1，MQ ＝NC 1， ∴四边形MQC 1N 为平行四边形， ∴MN ∥C 1Q ，∵C 1Q ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， ∴MN ∥平面AA 1C 1C ．（2）连接B 1C ，∵四边形BB 1C 1C 是菱形， ∴B 1C ⊥BC 1，∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ， ∴AB ⊥平面BB 1C 1C ，又B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥B 1C ，∵AB ∩BC 1＝B ，AB ，BC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∵AC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值；（2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g （x ）的图象上是否存在一点P ，使得AP ⊥BP ？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）f(x)=a →⋅b →−√32=sinxcosx +√3cos 2x −√32=12sin2x +√32(1+cos2x)−√32=sin(2x +π3)，f(x 02)=sin(x 0+π3)=−13，因为x 0∈(−π2，π2)，所以x 0+π3∈(−π6，5π6)，而sin(x 0+π3)=−13＜0，所以x 0+π3∈(−π6，0)，所以cos(x 0+π3)=√1−sin 2(x 0+π3)=2√23，所以sinx 0=sin[(x 0+π3)−π3]=12sin(x 0+π3)−√32cos(x 0+π3)=−1+2√66；（2）由题意得g(x)=sin(2(x +π12)+π3)=cos2x ，假设g （x ）的图象上存在点P （x 1，cos2x 1）使得AP ⊥BP ，因为AP →=(x 1+3，cos2x 1−2)，BP →=(x 1−3，cos2x 1−10)，因为AP ⊥BP ，所以AP →⋅BP →=(x 1+3)(x 1−3)+(cos2x 1−2)(cos2x 1−10)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=0，令ℎ(x 1)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=x 12+(cos2x 1−6)2−25，因为cos2x 1∈[﹣1，1]，所以ℎ(x 1)=x 12+(cos2x 1−6)2−25≥x 12+(1−6)2−25=x 12≥0，当且仅当{x 1=0cos2x 1=1时取等，所以h （x 1）＝0存唯一解x 1＝0，此时cos2x 1＝1，点P （0，1），综上，符合条件的点P 坐标为（0，1）．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC 中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC 满足AC =2√2，AB ＝2，设∠BAC ＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF 、四边形ACED 、四边形BCQP 都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．解：（1）在△ABC中，AC=2√2，AB＝2，∠BAC=π2，则BC=2√3，cos∠ACB=23，因为∠ACB+∠ECQ＝π，所以cos∠ECQ=cos(π−∠ACB)=−cos∠ACB=√2 3，在△ECQ中，CE=AC=2√2，CQ=BC=2√3，由余弦定理EQ2=CE2+CQ2−2CE×CQ×cos∠ACB=8+12−2×2√2×2√3×√2√3)=36⇒EQ=6，所以EQ的长度为6．（2）在△ABC中，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ，所以BC2=12−8√2cosθ，设∠ACB＝α，在△ACQ中，AQ2=AC2+CQ2−2AC⋅CQ⋅cos(α+π2 )，所以AQ2=8+12−8√2cosθ+4√2⋅CQ⋅sinα①，在△ABC中，由正弦定理得ABsinα=BCsinθ，所以CQ•sinα＝BC•sinα＝AB•sinθ＝2sinθ，代入①可得AQ2=20−8√2cosθ+8√2sinθ=20+16sin(θ−π4 )，因为0＜θ＜π，所以−π4＜θ−π4＜3π4，当θ−π4=π2即θ=3π4时，AQ2的最大值为20+16＝36，所以AQ长度的最大值为6．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．解：（1）如图，延长BC ，ED 交于点F ，连接AF ．∵∠BCD =∠CDE =2π3，∴∠FCD =∠FDC =π3，故△CDF 为等边三角形， ∴CF ＝DF ＝1，∠F =π3．∵DE ＝3，BC ＝1，∴BF ＝2，EF ＝DF +DE ＝4，在△BEF 中，由余弦定理得BE 2＝BF 2+EF 2﹣2BF •EF cos ∠BFE ＝12， ∴BE =2√3，∴BF 2+BE 2＝EF 2，∴BC ⊥BE ．∵AB ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ，∴BC ⊥平面ABE ． ∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ． ∵AE ⊥BE ，BE ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCDE ，∴∠ABE 即为直线AB 与平面BCDE 的所成角，在Rt △AEB 中，tan ∠ABE =AEBE =√33，故直线AB 与平面BCDE 所成角的大小为π6．（2）过E ，F 分别作BC ，BE 的平行线交于点G ，连接AG ，取EG 的中点H ，连接AH ．则四边形BFGE 为平行四边形，由（1）知，BF ＝2，故EG ＝2，∵BC ⊥BE ，EG ∥BC ，∴EG ⊥BE ．又∵AE ⊥BE ，∴∠AEG 为二面角A ﹣BE ﹣C 的平面角，即∠AEG =π3．在△AEG 中，∵AE ＝EG ＝2，∠AEG =π3，∴△AEG 为等边三角形， ∴AH ⊥EG ，且AH =√3，AG ＝2．由（1）知BC ⊥BE ，∴EG ⊥BE ，∵AE ⊥BE ，AE ∩EG ＝E ，∴BE ⊥平面AEG ． ∵AH ⊂平面AEG ，∴BE ⊥AH ． ∵EG ∩BE ＝E ，∴AH ⊥平面BFGE ， ∵FG ∥BE ，∴FG ⊥平面AEG ， ∵AG ⊂平面AEG ，∴FG ⊥AG ，在△AFG 中，AG ＝2，FG =2√3，∠AGF =π2，∴AF ＝4．在△AEF 中，AE ＝2，EF ＝AF ＝4，∴cos ∠EAF =AE 2+AF 2−EF 22AE⋅AF=4+16−162×2×4=14，故sin ∠EAF =√1−cos 2∠EAF =√154，∴S △AEF =12AE ⋅AFsin∠EAF =√15．易求得S △BEF =2√3．设点B 到平面AEF 和边AF 的距离分别为d 1，d 2， ∵V A ﹣BEF ＝V B ﹣AEF ，∴13S △BEF ⋅AH =13S △AEF ⋅d 1，即2√3×√3=√15×d 1，∴d 1=6√15．在△ABF 中，AB ＝AF ＝4，BF ＝2，故△ABF ≌△FEA ，故S △ABF ＝S △AEF ，∴12×4×d 2=√15，∴d 2=√152．设平面ABC 与平面ADE 所成二面角的大小为θ，则sinθ=d1d 2=6√152√15=45．。

2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（）A ．56B ．153C ．52D ．1562． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A ．493B ．383C ．183D ．1233．若tan 0α>，则（） A ．sin 0α> B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>4．已知ππ042βα<<<<，且π10sin 410α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=( )A ．1010B ．1010-C ．31010D ．31010-5．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}6．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A ．32B ．40C ．32103D ．1038．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（） A ．3B ．5C ．2D ．19．直线310x y -+=的倾斜角为 A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 10．正四棱柱的高为3cm ,17,则正四棱柱的侧面积为( ) A ．10B ．24C ．36D ．40二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的5x =，2n =，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =（）A ．10B ．12C ．60D ．652．若实数满足，则的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．3．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（） A ．52kmB ．3kmC ．5kmD ．10km4．已知向量m ，n ，若1m =，22m n -=，则m n n -+的最大值为( ) A ．5B 10C ．4D ．55．已知向量(2,tan ),(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan()4πθ-=（）A ．2B ．3-C ．1-D ．13-6．已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上()f x a ≤恒成立，则实数a 的最小值是（） A ．32-B ．12-C ．12D ．327．如图，正四面体A BCD -，P 是棱CD 上的动点，设CP tCD =（()01t ∈，），分别记AP 与BC ，BD 所成角为α，β，则（）A ．αβ≥B ．αβ≤C ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≥D ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≤ 8．函数2sin cos y x x =+，当x ϕ=时函数取得最大值，则cos ϕ=（）A ．55B ．255C ．223D ．139．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A ．116B ．18 C ．38D ．31610．已知数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-（0a ≠），那么{}n a （）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数z 满足2i 1iz =+-，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案.【详解】()()()21i 2i i 1i i 12i 1i 1i 1i z +=+=+=++=+--+，所以22125z =+=．故选：D ．2．已知ABC 中，5AB =，7BC =，9CA =，则CAB ∠∈（）A ．ππ,65⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππ,54⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意，由余弦定理即可得到cos CAB ∠，从而得到其范围.【详解】由题意，在三角形ABC 中，由余弦定理可得，22225814957cos 225990AB AC BC CAB AB AC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，且257cos 4290π=>，157cos 3290π=<，所以4ππ,3CAB ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭∠.故选:C3．已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A ．510B ．55C ．255D ．52【答案】A【分析】根据两直线平行得到关于a 的方程，求出a 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，所以240a -=，解得2a =，所以1:220l x y ++=，即2440x y ++=，所以1l 、2l 之间的距离224351024d -==+.故选：A.4．一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（）A ．11π3B ．10π3C ．4πD ．3π【答案】C【分析】由题意得到圆台和半球的体积，即可求解．【详解】()2222114π2π1π1π2π233V 圆台=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=，314π2π1233V 半球=⨯⨯=，∴剩余部分几何体的体积为4πV V 圆台半球-=．故选:C5．若直线20x ay a +--=与圆()22:24C x y -+=交于A ，B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为（）A ．π2B ．4π3C ．2π3D ．π【答案】B【分析】化简直线方程化为(2)(1)0x a y -+-=，得到直线恒过定点()2,1M ，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题意，直线20x ay a +--=可化为(2)(1)0x a y -+-=，当20x -=且10y -=，即2x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()2,1M ，由圆的方程知，圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC ⊥直线AB 时，AB 取得最小值，且最小值为222||24123r MC -=-=，如图，此时弦长AB 对的圆心角一半的正切值为3，故圆心角为2π3，所以劣弧长为2π4π233⨯=.故选：B.6．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且6,8PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球与内切球的表面积之比为（）A ．412B ．414C ．3D ．112【答案】B【分析】根据几何体内切圆半径公式3Vr S=（V 为几何体的体积，S 为几何体的表面积），由,,PA AB AD 两两垂直，四棱锥可补形为长方体，可得外接圆的半径公式，可得答案.【详解】设四棱锥P ABCD -的外接球与内切球的半径分别为,R r .因为21861283P ABCD V -=⨯⨯=四棱锥，四棱锥P ABCD -的表面积2118682*********S =+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以-32P ABCD Vr S==四棱锥，因为,,PA AB AD 两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以2221886412R =++=，所以四棱锥P ABCD -的外接球与内切球的表面积之比为2244144R r ππ=.故选：B.7．在如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中12,3,4AB AD AA ===，点M 为棱1AA 的中点，若N 为底面1111D C B A 内一点，满足//MN 面1BDC ，设直线MN 与直线1CC 所成角为α，则tan α的取值范围是（）A ．33,13413⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,13413⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3313,264⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3113,262⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先根据面面平行找出与平面1BDC 平行的平面MEF ，确定底面1111D C B A 内一点N 所在线段EF 上，然后将直线MN 与直线1CC 所成角转化为直线MN 与直线1AA 所成角1A MN ∠，再在直角三角形1A MN 中，通过线段1A N 的最值即可得到1tan A MN ∠的最值，从而得到tan α的取值范围.【详解】取11A D 中点E ，取11A B 中点F ，连接ME ，MF ，EF ，1AD ，1AB ，11B D .在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB C D =，11//AB C D ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，又因为M ，E 分别为1AA ，11A D 的中点，所以1//ME AD ，所以1//ME BC ，又因为ME ⊄平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以//ME 平面1BDC .因为11AD B C =，11//AD B C ，所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以11//AB DC ，又因为M ，F 分别为1AA ，11A B 的中点，所以1//MF AB ，所以1//MF C D ，又因为MF ⊄平面1BDC ，1C D ⊂平面1BDC ，所以//MF 平面1BDC .因为ME MF M = ，ME ⊂平面MEF ，MF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面1BDC .所以底面1111D C B A 内满足满足//MN 面1BDC 的点N 在线段EF 上，又因为11//AA CC ，所以直线MN 与直线1CC 所成角即为直线MN 与直线1AA 所成角1A MN ∠.在线段EF 上任取一点N ，连接1A N ，MN ，因为1AA ⊥底面1111D C B A ，1A N ⊂底面1111D C B A ，所以11AA A N ⊥，所以1A MN ∆为直角三角形，1111tan tan 2A N A NA MN AA α=∠==，在1A MN ∆中，11A F =，132A E =，2211132EF A F A E =+=，因为点N 在线段EF 上，所以当1A N EF ⊥时，1A N 的长度最小，此时可利用等面积法11111122A EF S A N EF A F A E ∆=⋅=⋅，解得131313AN =，所以tan α的最小值为31331313226=，当点N 和点E 重合时1A N 的长度最长为32，所以tan α的最大值为33224=，所以tan α的取值范围是3313,264⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.8．如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线与双曲线的两条渐近线相交于M ，N 两点．若3,30MF FN OM OP OP PF ==⋅=,，则双曲线的离心率为（）A ．62B ．2C ．2D ．3【答案】A【分析】先利用向量的坐标表示求得22,bc M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用双曲线焦点到渐近线的距离为b 求得OP ，进而求得OM ，从而利用两点距离公式得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解.【详解】依题意，双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a =±，不妨设1122,,,b b M x x N x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为(),0F c ，所以1122,,,b b MF c x x FN x c x a a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又3MF FN = ，所以1212333c x x cb b x x aa -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，则1222,3c x c x ==，则22,bc M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(),0F c 到by x a=±，即0bx ay ±=的距离为22bc bcPF b ca b ===+，又OF c =，0OP PF ⋅=，即OP PF ⊥，所以22OP c b a =-=，又3OM OP =，所以3OM a =，所以22222449b c c a a+=，则()222449a b c a +=，即4449c a =，则62e =.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键点有两个，一个是利用平面向量的坐标表示求得点M 的坐标，另一个利用点线距离公式求得双曲线焦点到渐近线的距离，从而求得OM ，由此得解.二、多选题9．在复平面内，O 为坐标原点，A 为1i z =+对应的点，则（）A ．z 的虚部为iB ．1i z =-C ．613i 14z -=D ．22OA z = 【答案】BC【分析】根据复数的虚部概念判断A ；根据共轭复数的概念判断B ；根据复数模的计算判断C ；根据复数的乘方以及复数的几何意义可判断D.【详解】由题意1i z =+，z 的虚部为1，选项A 错误．1i z =-，选项B 正确．()3623(2i)8i z z ===-，则6|||8i|=8z =-，故6613i |13i |1482||z z --+===，选项C 正确．由题意知(1,1)A ，故(1,1)OA = ，则22OA = ，而22i z =-，22OA z ≠ ，选项D 错误，故选：BC10．已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，点P 为直线2x =-上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（）A ．抛物线的准线方程为=1x -B ．直线AB 一定过抛物线的焦点C ．线段AB 长的最小值为42D ．OP AB⊥【答案】ACD【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A 、B 、D ；联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断C.【详解】由抛物线2:4C y x =可知，焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为=1x -，故选项A 正确；设(2,)P m -，显然直线PA 存在斜率且不为零，设为1k ，方程为1(2)y m k x -=+，与抛物线方程联立214(2)y x y m k x ⎧=⎨-=+⎩，得2114840k y y k m -++=，因为PA 是该抛物线的切线，所以()211Δ44(84)0k k m =--+=，即211210k k m +-=，且A 的纵坐标为：11422k k --=，代入抛物线方程中可得A 的横坐标为：211k ，设直线PA 存在斜率且不为零，设为2k ，同理可得：222210k k m +-=，且B 的纵坐标为：22422k k --=，横坐标为221k ，显然1k 、2k 是方程2210k km +-=的两个不等实根，所以12121,22m k k k k +=-=-，因为21121222112212221112222AB OPk k k k m m m k k m k k k k --⨯⋅=⋅=⋅=⋅=--+----，所以OP AB ⊥，因此选项D 正确；由上可知：AB 的斜率为2m ，直线AB 的方程为：211221()y x k m k -=-，即22111222mk y mk k x -=-，又211210k k m +-=，所以21112k m k =-，所以()3221111(2)21222k k y k k x ---=-，即211(12)2(2)k y k x -=-，所以直线AB 一定过(2,0)，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B 不正确，由题意知，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由224x my y x=+⎧⎨=⎩得2480y my --=，所以124y y m +=，128y y =-，所以()()()()222212121411632AB m y y y y m m ⎡⎤=++-=++⎣⎦24223143244224m m m ⎛⎫=++=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当0m =时等号成立，故选项C 正确；故选：ACD11．在△ABC 中，已知a ＝2b ，且111tan tan sin A B C+=，则（）A ．a ，c ，b 成等比数列B ．sin :sin :sin 2:1:2A BC =C ．若a ＝4，则7ABC S =△D ．A ，B ，C 成等差数列【答案】ABC【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得2c ab =，再结合条件2a b =，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为111tan tan sin A B C+=，所以()sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C+++====，即2sin sin sin C A B =，即2c ab =.对选项A ，因为2c ab =，所以a 、c 、b 成等比数列，故A 正确；对选项B ，因为2a b =，222c ab b ==，即2c b =，所以::2:1:2a b c =，即sin :sin :sin 2:1:2A B C =，故B 正确；对选项C ，若4a =，则2b =，22c =，则()222422252cos 82224B +-==⨯⨯，因为0πB <<，所以14sin 8B =.故114224728ABC S =⨯⨯⨯=△，故C 正确.对选项D ，若A 、B 、C 成等差数列，则2B A C =+.又因为πA B C ++=，则π3B =.因为::2:1:2a b c =，设2a k =，b k =，2c k =，0k >，则()()22222521cos 82222k kk B k k+-==≠⨯⨯，故D 错误.故选：ABC12．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，122BC CD AD ===，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒，90ADC PAB ∠=∠=︒，二面角P CD A --的大小为45︒，则（）A ．四边形ABCD 为直角梯形B ．在平面PAB 内，使得直线CM 平面PBE 的点M 有无数个C ．2PA =D ．直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13【答案】ABD【分析】确定四边形ABCD 为直角梯形，A 正确，M 的轨迹为两平面的交线，B 正确，计算4PA =，C 错误，确定APH ∠为直线PA 与平面PCE 所成角，计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：AD BC ∥，12BC AD =，且90ADC ∠=︒，故四边形ABCD 为直角梯形，正确；对选项B ：CM 与平面PBE 平行，M 的集合为平面，设为α，则M α∈且M ∈平面PAB ，故M 的轨迹为两平面的交线，正确；对选项C ：PA CD ⊥，CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，又AD CD ⊥，平面PCD 平面ABCD CD =，且AD ⊂平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，故PDA ∠为二面角P CD A --的平面角，45PDA ∠=︒，4PA AD ==，错误；对选项D ：如图所示，过A 作AG 垂直于CE 的延长线于G ，连接PG ，作AH PG ⊥于H ，PA AB ⊥，PA CD ⊥，AB 与CD 相交，,AB CD ⊂平面ABCD ，故PA ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，故PA CG ⊥，AG CG ⊥，AG CG G = ，,AG CG ⊂平面PAG ，故CG ⊥平面PAG ，AH ⊂平面PAG ，故AH CG ⊥，又AH PG ⊥，PG CG G = ，,PG CG ⊂平面PCG ，故AH ⊥平面PCG ，故APH ∠为直线PA 与平面PCE 所成角，AGE 为等腰直角三角形，故222AG AE ==，2232PG PA AG =+=，1sin 3AG APH PG ∠==，正确；故选：ABD.三、填空题13．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin cos sin C A B =，221a c -=，则b =．【答案】3【分析】运用正弦定理和余弦定理，将角化成边.【详解】因为3sin cos sin C A B =，由正弦定理和余弦定理有22232b c a c b bc +⋅=－，整理得()222=3b a c －又221a c -=，所以2=3b ，则=3b .故答案为：314．已知直线:240l kx y k --+=与曲线24y x =-有两个交点，则k 的取值范围为．【答案】3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】直线240kx y k --+=过定点()2,4，曲线24y x =-表示以O 为圆心，2为半径的上半圆，数形结合可求实数k 的取值范围.【详解】直线:240l kx y k --+=，得()240k x y --+=，可知直线l 过定点()2,4P ，如图，曲线24y x =-表示以O 为圆心，2为半径的上半圆．当直线l 与半圆相切时，22421k k -+=+，解得34k =．曲线24y x =-与x 轴负半轴交于点()2,0,1PA A k -=．因为直线l 与曲线24y x =-有两个交点，所以3k 14<≤．故答案为：3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦.15．已知长方形纸片ABCD 中，10AB =，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的动点，且EF AB ⊥，将长方形纸片ABCD 沿EF 进行翻折，使得90AEB '∠=︒，连接AB '，'DC ，得到一个三棱柱AEB DFC ''-，如图．已知三棱柱AEB DFC ''-的体积是10，当三棱柱AEB DFC ''-的外接球的表面积取得最小值时，AB E ' 的面积是．【答案】252【分析】分别取,AB DC ''的中点,H I ，连接HI ，取HI 的中点G ，由直三棱柱和直角三角形的性质可得点G 为三棱柱AEB DFC ''-的外接球球心，设AE a =，B E b '=，AD c =，由已知可得外接球半径2140010022()R ab ab =-+，再利用均值定理和函数单调性即可求解.【详解】由题可知三棱柱AEB DFC ''-是直三棱柱，分别取,AB DC ''的中点,H I ，连接HI ，取HI 的中点G ，由EF AB ⊥可得FC DF '⊥，EB AE '⊥，则点G 到三棱柱AEB DFC ''-的六个顶点的距离都是相等，因此点G 是三棱柱AEB DFC ''-的外接球的球心，设AE a =，B E b '=，AD c =，则101102a b abc +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得20c ab =，又因为222()21002a b a b ab ab +=+-=-，所以三棱柱AEB DFC ''-的外接球的半径22222222140010022222()c a b a b c R ab ab ⎛⎫+++⎛⎫=+==-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若三棱柱AEB DFC ''-的外接球的表面积取到最小值，只需外接球的半径取到最小值，即2140010022()R ab ab =-+取最小值，因为10a b +=，所以2()0254a b ab +<≤=，当且仅当5a b ==时等号成立，又因为函数2400y x=和2100y x =-+在(]0,25上单调递减，所以24002100y x x =-+在(]0,25上单调递减，从而当25ab =时，2140010022()R ab ab =-+取到最小值，即三棱柱AEB DFC ''-的外接球的表面积取到最小值，此时AB E ' 的面积为12522ab =.故答案为：25216．已知1F 、2F 分别为椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，点2F 关于直线1PF 的对称点为M ，点1F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当MN 最大时，12PF F △的面积为.【答案】233/233【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM ，PN 的和为定值2a ，从而知当M 、N 、P 三点共线时，MN 的值最大，然后通过几何关系求出1260F PF ∠=︒，结合余弦定理即可求出三角形的面积.【详解】根据椭圆的方程可知，()()122,0,2,0F F -，连接PM ，PN ，则12||||||||24PM PN PF PF a +=+==，所以当M 、N 、P 三点共线时，|MN|的值最大此时112212,.MPF F PF NPF F PF ∠=∠∠=∠又因1122180MPF F PF F PN ∠+∠+∠=︒，可得1260F PF ∠=︒在12F PF △中，由余弦定理可得，()222122||||c PF PF =+，即()212121283163PF PF PF PF PF PF =+-⋅=-⋅，解得1283PF PF ⋅=，121212118323sin .22323PF F S PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯=V 故答案为：233.【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．四、解答题17．已知方程222440x y x y m +-++=.(1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若m 的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E ，若圆E 与圆F 关于y 轴对称，设(),P x y 为圆F 上任意一点，求(),P x y 到直线10x y +-=的距离的最大值和最小值.【答案】(1)5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(2)最大值为221+，最小值221-【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m 的取值范围；（2）先确定圆E 的方程，再利用对称性得到圆F 的方程，根据圆心到直线的距离可得答案.【详解】（1）若此方程表示圆，则22(2)4440m -+-⨯>，解得54m <，即实数m 的取值范围是5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知1m =，此时圆E ：222440x y x y +-++=，圆心坐标为()1,2E -，半径为1，因为圆F 和圆E 关于y 轴对称，所以圆F 圆心坐标是()1,2--，半径是1，故圆F 方程为22(1)(2)1x y +++=，则圆心()1,2--到直线10x y +-=的距离121222d ---==，故(),P x y 到直线10x y +-=的距离的最大值为221+，最小值221-.18．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别以,,a b c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12353,sin 5S S S C +-==.(1)求ABC 的面积；(2)若5sin sin 3A B =，求c .【答案】(1)12(2)155【分析】（1）根据面积公式及余弦定理得到cos 2ab C =，再求出cos C ，即可求出ab ，最后由面积公式计算可得；（2）由正弦定理求出sin c C，即可得解.【详解】（1）由题意得221133224S a a =⋅⋅=，2234S b =，2334S c =，则2221233333444S S S a b c +-=+-=，即2224a c b -+=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，整理得cos 2ab C =，则cos 0C >，又5sin 5C =，则2525cos 155C ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以25cos ab C ==，则11sin 22ABC S ab C == ；（2）由正弦定理得sin sin sin b a c B A C==，所以2253sin sin sin sin sin 53c a b ab C A B A B =⋅===，则3sin c C =或3sin c C =（舍去），所以153sin 5c C ==.19．如图，已知在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 是边BC 的中点，DE 与AC 相交于点H ，现将ACD 沿AC 折起，点D 的位置记为D ¢，此时153ED '=，M 是AD '的中点.(1)求证：//BM 平面D HE '；(2)求证：CH ⊥面D HE '；(3)求二面角H ED C -'-的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)147【分析】（1）取线段AH 的中点N ，连接MN 、BN ，证明出平面//BMN 平面D HE '，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）翻折前，利用勾股定理证明出AC DE ⊥，翻折后则有CH EH ⊥，CH D H '⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（3）过点C 在平面CD E '内作CF D E '⊥，垂足为点F ，连接FH ，分析可知二面角H ED C -'-的平面角为CFH ∠，证明出CH FH ⊥，计算出CF 的长，即可求得CFH ∠的余弦值，即为所求.【详解】（1）证明：取线段AH 的中点N ，连接MN 、BN ，翻折前，在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，//BC AD ，则12CH CE AH AD ==，所以，2AH CH =，翻折后，在三棱锥D ABC '-中，M 、N 分别为AD '、AH 的中点，则//MN D H '，MN ⊄平面D HE '，D H '⊂平面DH E '，//MN ∴平面D HE '，N Q 为AH 的中点，且2AH CH =，则AN NH CH ==，所以，H 为CN 的中点，又因为E 为BC 的中点，所以，//EH BN ，EH ⊂ 平面D HE '，BN ⊄平面D HE '，所以，//BN 平面D HE '，BN MN N = ，所以，平面//BMN 平面D HE '，因为BM ⊂平面BMN ，//BM ∴平面D HE '.（2）证明：在矩形ABCD 中，2CD AB ==，112CE BC ==，226AC AD CD =+=，223DE CD CE =+=，因为12CH AH =，则1633CH AC ==，因为//BC AD ，E 为BC 的中点，所以，12EH CE DH AD ==，则12EH DH =，所以，1333EH DE ==，所以，222EH DH CE +=，则AC DE ⊥，在三棱锥D ABC '-中，则有CH EH ⊥，CH D H '⊥，因为D H EH H '= ，所以，CH ⊥面D HE '.（3）解：在三棱锥D ABC '-中，233D H '=，33EH =，153ED '=，所以，222D H EH D E ''+=，D H EH '∴⊥，过点C 在平面CD E '内作CF D E '⊥，垂足为点F ，连接FH ，CH ⊥ 平面D EH '，D E '⊂平面D EH '，CH D E '∴⊥，因为D E CF '⊥，CF CH C = ，D E '∴⊥平面CFH ，FH ⊂ 平面CFH ，D E FH '∴⊥，所以，二面角H ED C -'-的平面角为CFH ∠，在CD E ' 中，2CD '=，1CE =，153ED '=，由余弦定理可得222230cos 215CD ED CE CD E CD ED ''+-'∠==''⋅，所以，2105sin 1cos 15CD E CD E ''∠=-∠=，所以，210sin 15CF CD CD E ''=∠=，因为CH ⊥平面D EH '，FH ⊂平面D EH '，CH FH ∴⊥，所以，2221515FH CF CH =-=，故14cos 7FH CFH CF ∠==，因此，二面角H ED C -'-的余弦值为147.20．已知离心率为22的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的下顶点为()0,2A -，过点B （0，3）作斜率存在的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，连AP ，AQ 分别与x 轴交于点M ，N ，记点M ，N 的横坐标分别为xM ，xN .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断xM xN 是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】(1)22184x y +=(2)是，定值为85.【分析】（1）根据条件，列出关于,,a b c 的方程组，即可求椭圆方程；（2）首先设直线PQ 方程，与椭圆方程联立，并求得根与系数的关系，分别利用点,P Q 的坐标表示直线,AP AQ 的方程，并利用韦达定理表示M N x x ⋅.【详解】（1）由条件可知222222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222a b c ⎧=⎪⎨==⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=；（2）由条件设直线PQ 的方程为()()11223,,,,y kx P x y Q x y =+，联立223184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222112100k x kx +++=，则()222(12)4102164400k k k ∆=-⨯⨯+=->，解得258k >.根据韦达定理得1212221210,2121k x x x x k k +=-=++根据题意，直线112:2y AP y x x +=-，令y =0，得1122M x x y =+，同理2222N x x y =+.，于是()()()()12121212442255M N x x x x x x y y kx kx ⋅==++++()2122212122210444082110125252555252121x x k k k x x k x x k k k k ⨯+====+++⎛⎫⨯+-+ ⎪++⎝⎭所以M N x x ⋅是定值，该定值为85.21．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 3cos 23A a C b c =-+，点D 是边BC 上的一点，且sin sin 32BAD CAD b c a ∠∠+=．(1)求证：3a AD =；(2)若2CD BD =，求cos ADC ∠．【答案】(1)详见解析；(2)1314【分析】（1）先利用余弦定理由cos 3cos 23A a C b c =-+得到5π6A =，再利用正弦定理由sin sin 32BAD CAD b c a ∠∠+=即可求得3a AD =；（2）先利用余弦定理求得37cb a b⎧=⎪⎨=⎪⎩，进而利用余弦定理求得13cos 14ADC ∠=【详解】（1）在ABC 中，cos 3cos 23A a C b c=-+，则22222223223b c a ab a bc a b c b c+-⨯=-+-+整理得2223b c a bc -=-+，则2223cos 22b c a A bc +-==-又0πA <<，则5π6A =在ACD 中，由正弦定理得sin sin CAD C CD AD ∠=，则sin sin CD C CAD AD ⋅∠=在BAD 中，由正弦定理得sin sin BAD B BD AD ∠=，则sin sin BD B BAD AD ⋅∠=则sin sin sin sin BAD CAD BD B CD C b c AD b AD c∠∠⋅⋅+=+=⋅⋅()11sin sin 132222BD CD a BD A CD A AD a AD a AD a AD a AD a+⨯⨯⋅⋅=+====⋅⋅⋅⋅则3aAD =（2）由2CD BD =，可得21,33CD a BD a ==，又3a AD =则22222221113333cos ,cos 1211223333a ab a ac ADC ADB a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠=∠=⨯⨯⨯⨯由cos cos 0ADC ADB ∠+∠=可得2222222111333301211223333a a ba a c a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯，解之得2222abc -=又5π6A =，则2223a b c bc =++，由22222223a b c a b c bc ⎧-=⎪⎨=++⎪⎩，可得37c b a b⎧=⎪⎨=⎪⎩则222222215713339cos 1241427339a a b b b ADC a a b ⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠===⨯⨯⨯22．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱1BB ，11AC 分别交于点F ，G．（1）若F 为1BB 的中点，求三棱柱被截面AGEF 分成上下两部分的体积比12V V ；（2）若四棱锥1A AGEF -的体积为7312，求截面AGEF 与底面ABC 所成二面角的正弦值；（3）设截面AFEG 的面积为0S ，AEG ∆面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【答案】（1）121323V V =；（2）45；（3）94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）连结EF ，并延长分别交1CC ，CB 于点M ，N ，连结AM 交11AC 于点G ，连结AN ，GE ，利用比例关系确定G 为11AC 靠近1C 的三等分点，然后先求出棱柱的体积，连结1A E ，1A F ，由11111A EFB G AA E F AA E V V V V ---=++和21V V V =-进行求解，即可得到答案；（2）求出点G 到平面1A AE 的距离，得到点G 为11AC 靠近1C 的四等分点，通过面面垂直的性质定理可得1AGA ∠即为截面AGEF 与底面ABC 所成的二面角，在三角形中利用边角关系求解即可；（3）设1GC m =，则[0m ∈，1]，先求出12S S 的关系以及取值范围，然后将2012S S S 转化为1S ，2S 表示，求解取值范围即可．【详解】解：（1）连接EF ，并延长分别交1CC ，CB 延长线于点M ，N ，连接AM 交11AC 于点G ，连接AN ，GE ．易得11113GC MC C E AC MC CN ===．故G 为11A C 靠近1C 的三等分点．11MC =，123GC =．下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比．三棱柱111ABC A B C -的体积2322234V =⨯⨯=．连接1A E ，1A F ．由1//BB 平面1A AE 知，1F AA E V -为定值．1113321323F AA E V -=⨯⨯⨯⨯=．11111A EFBG AA E F AA E V V V V ---=++1111231331132332323318=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+=．2123318V V V =-=．故121323V V =．（2）由111A AGEF G AA E F AA E V V V ---=+及133F AA E V -=得，134G AA E V -=．又1113G AA E AA E V S h -=⨯⨯△，所以34h =．即点G 到1A E 的距离为34，G 为11A C 靠近1C 的四等分点．因为平面111//A B C 平面ABC ，所以截面AGEF 与平面ABC 所成角即为截面AGEF 与平面111A B C 所成角，在1GC E △中，112GC =，11C E =，故1EG GC ⊥．又因为平面11ACC A ⊥平面111A B C ，且平面11ACC A 平面11111A B C AC =，所以EG ⊥平面11ACC A ．则1AGA ∠即为截面AGEF 与底面ABC 所成的二面角．在1Rt AGA △中，132A G =，12AA =，52AG =．故114sin 5AA A GA AG ∠==．因此，截面AGEF 与平面ABC 所成二面角的正弦值为45．（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2MG m GA m=-．设MGE 的面积为S ，所以12S m S m =-．又因为21S S S =+，所以1222S m S -=．且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦．令12S t S =则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()21201212122212S S SS S S S S S S S +==++．令12S t S =则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以20121221924,2S S S S S S S ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦。

江苏省溧水高级中学2024届数学高一第二学期期末考试试题含解析

江苏省溧水高级中学2024届数学高一第二学期期末考试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A ．13+B ．23+C ．122+D ．222．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等3．若直线经过两点，则直线的倾斜角是（） A ．B ．C ．D ．4．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( ) A ．39B ．20C ．19.5D ．335．已知x y ，满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为（）A ．6B ．8C ．16D ．46．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若3A π=，7a =2b =，则边c 的大小为（）A ．3B ．2CD7．已知两个变量x ，y 之间具有线性相关关系，试验测得(x ，y)的四组值分别为(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，则y 与x 之间的回归直线方程为( ) A ．y ＝0.8x ＋3 B ．y ＝－1.2x ＋7.5 C ．y ＝1.6x ＋0.5D ．y ＝1.3x ＋1.28．ABC ∆中，30A ∠=︒，AB =1BC =，则ABC ∆的面积等于（）A．BCD9．已知变量x ，y 满足约束条件1,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-取最大值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．210．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=DE|=则C 的焦点到准线的距离为（） A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届江苏省南师附中数学高一第二学期期末统考试题含解析

2024届江苏省南师附中数学高一第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2,PA ABC =∆是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为3π，弦长等于2的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（） A ．3B ．132+C ．11332- D ．233π- 3．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．4．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．设{}n a 是公比为()01q q <<的无穷等比数列，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列21{}n a -是（） A ．公比为12的等比数列 B ．公比为22的等比数列 C 22的等比数列D ．公比为412或412-的等比数列6．执行下边的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 值为（）A ．0B ．eC ．0或eD ．0或17．函数()1,0252sin 2,0,6x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( ) A ．10102,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．552,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10101,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切9．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且3ah =，则2c a b c c b b ++的最大值是（） A ．2B ．23C ．4D ．610．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .且1111S π=，则6tan 3a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A 3B ．33-C ．3-D ．33二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数1i 1+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】直接利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可.【详解】复数()()11i 1i 11i i 11i 1i 222--===-++-，则其在复平面所对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故其在第四象限，故选：D.2．若α、β是两个不重合的平面，①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则//αβ；②设α、β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则αβ⊥；③若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则//l α.以上说法中成立的有（）个.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】利用面面平行的判定定理可判断①；根据已知条件判断平面与平面的位置关系，可判断②；利用线面平行的判定定理可判断③.【详解】对于①，设a 、b 为平面α内两条相交直线，m 、n 为平面β内两条相交直线，且满足//a m ，//b n ，因为//a m ，a β⊄，m β⊂，所以，//a β，同理可得//b β，因为a 、b 为平面α内两条相交直线，故//αβ，①对；对于②，设α、β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α、β相交（不一定垂直），②错；对于③，若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，//l α，③对.所以，真命题的个数为2.故选：C.3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D BC D --的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】B【分析】根据BC ⊥平面11CDD C ，可知1BC CD ⊥，同时BC CD ⊥，可知二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ，即可得结果.【详解】由题可知：在正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C 由1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又BC CD ⊥所以二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ，因为1=CD DD ，则1=4π∠DCD 故选：B【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题.4．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A ．26πB ．20πC ．19πD ．18π【答案】D【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可.【详解】解：由题意得，球的半径2R =，圆柱的底面半径1r =，高3h =，则该几何体的表面积为2222S R R rh πππ=++8421318ππππ=++⨯⨯=.故选：D.5．在ABC 中，2AB AC ==，点M 满足30BM CM +=，若1BC AM ⋅= ，则BC 的值为（）A ．1B ．3C ．2D ．3【答案】C【分析】取BC 中点O ，由已知可确定3BM MC = ，利用向量的运算和长度关系将BC AM ⋅转化为214BC，由此构造方程求得2BC = .【详解】取BC 中点O ，连接AO ，30BM CM += ，即3BM MC = ，∴M 为BC 边上靠近C 的四等分点，()BC AM BC AO OM BC AO BC OM ⋅=⋅+=⋅+⋅ ，AB AC = ，AO BC ∴⊥，0BC AO ∴⋅=，又14OM BC =，2114BC AM BC OM BC ∴⋅=⋅== ，2BC ∴=.故选：C.6．正四面体ABCD 中异面直线AB 与CD 所成角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的锐二面角为γ，则（）A ．αγβ>>B ．αβγ>>C ．βαγ>>D ．γαβ>>【答案】A【分析】分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定,,αβγ的大小即可得到结论．【详解】过A 作A 在底面的射影O ，∵A BCD -是正四面体，∴O 是底面的中心，取BC 的中点E ，连接OB OE AE ,,，如图所示，在正四面体A BCD -中，AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AO CD ⊥，又BO CD ⊥，,AO BO ⊂平面ABO ，AO BO O = ，则CD ⊥平面ABO ，AB ⊂平面ABO ，AB CD ⊥，即异面直线AB 与CD 所成的角为90α= ，侧棱AB 在底面BCD 内的射影为OB ，则ABO ∠是侧棱AB 与底面BCD 所成的角，即ABO β=∠，AE BC ⊥，OE BC ⊥，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为AEO ∠，∴AEO γ=∠，∵sin sin AO ABO AB β=∠=，sin sin AOAEO AEγ=∠=，∵AB AE >，∴AO AO AB AE<，即sin sin βγ<，则90βγ<< ，即βγα<<.故选：A7．ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，角C 的平分线交边AB 于点D ．若π3C =，2c =，且43CD =，则ABC 中最长的边为（）A ．233B ．433C ．43D ．4【答案】B【分析】由ABC BCD ACD S S S =+△△△结合三角形的面积公式可得出334a b ab +=，利用余弦定理可求得ab 的值，进而可得出关于a 、b 的方程组，解之即可.【详解】因为π3C =，由ABC BCD ACD S S S =+△△△，即1π1π1πsin sin sin 232626ab a CD b CD =⋅+⋅，整理可得334a b ab +=，由余弦定理可得()22222222π2742cos33316c a b ab a b ab a b ab a b ab ==+-=+-=+-=-，所以，()22748640ab ab --=，即()()38980ab ab -+=，解得83ab =或89ab =-（舍）.所以，3382343a b +=⨯=，即2383a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得233433a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或433233a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为4323233>>，故ABC 中最长的边为433，故选：B.8．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π【答案】D【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆ 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,62338R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆ 为边长为2的等边三角形，3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE xAE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、多选题9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A ．招商引资后，工资净收入较前一年增加B ．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C ．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的25D ．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍【答案】AD【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.【详解】设招商引资前经济收入为M ，而招商引资后经济收入为2M ，则对于A ，招商引资前工资性收入为60%0.6M M ⨯=，而招商引资后的工资性收入为237%0.74M M ⨯=，所以工资净收入增加了，故A 正确；对于B ，招商引资前转移净收入为4%0.04M M ⨯=，招商引资后转移净收入为25%0.1M M ⨯=，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B 错误；对于C ，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为20.10.560.6620.85M M M M M +=<⨯=，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的25，故C 错误；对于D ，招商引资前经营净收入为30%0.3M M ⨯=，招商引资后转移净收入为230%0.6M M ⨯=，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D 正确.故选：AD.10．一名射击运动员射击一次击中目标的概率为13，若他连续射击两次，则下列正确的是（）A ．事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件B ．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件C ．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立D ．该运动员击中目标的概率为59【答案】ABD【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的概念判断ABC 选项；先求出该运动员未击中目标的概率，进而可得该运动员击中目标的概率，即可判断D 选项.【详解】事件“两次均击中”与“恰击中一次”不能同时发生，属于互斥事件，故A 正确；事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”，故B 正确；事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C 错误；该运动员未击中目标的概率为11411339⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则该运动员击中目标的概率为45199-=，故D 正确.故选：ABD.11．长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4=AD ，15AA =，点E ，点F 分别线段AC ，1BB 的中点，点P ，点Q 分别为线段AC ，1CC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．存在P ，Q ,使得11B D PQ ⊥B ．三棱锥1B BPQ -体积的最大值为10C ．若PCQ △的周长为10，则π4PAQ ∠=D ．QE QF +的最小值为7【答案】AB【分析】利用线面垂直可得线线垂直判断A ，利用等体积法求出最大体积判断B ，利用三角形边长的范围判断C ，将侧面11CC B B 翻折到与平面11AAC C 同一平面，利用三点共线可判断D.【详解】对于选项A ，因为1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，当点P 与点C 重合，点Q 与1C 重合时，11B D PQ ⊥，正确；对于选项B ，因为平面ABCD ⊥平面11BB C C ，所以点P 到平面11BB C C 的距离h 即点P 到BC 的距离h ，所以点P 到平面11BB C C 的最大距离为3，又1154102BB Q S =⨯⨯= ，所以1111010310333P BB Q BB Q h V S h -=⋅⋅=≤⨯= ，所以1110B BPQ P BB Q V V --=≤，即三棱锥1B BPQ -体积的最大值为10，正确；对于选项C ，因为1C C ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1C C AC ⊥，又15C C AC ==，所以在1C CA △中，1π4C AC ∠=，若π4PAQ ∠=，则点Q 与点1C 重合，此时PCQ △即1PCC 的周长为11112210PC CC PC PC CC CC ++>+>=，错误；对于选项D ，将矩形11CC B B 和矩形11AAC C 展开为矩形11AA B B ，则2222551944222QE QF EF EB BF ⎛⎫⎛⎫+≥=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误.故选：AB12．在圆O 的内接四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，22CD =，1DA =．则下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 的面积为72B ．圆O 的半径为10C ．12AO BD ⋅=-D ．若DH BC ⊥于点H ，则4DB DH ⋅=【答案】ACD【分析】对于A ，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理和面积公式进行判断；对于B ，利用正弦定理求出该外接圆的直径；对于C ，利用数量积公式求解判断；对于D ，利用数量积公式求解判断．【详解】对于A ，连接AC ，在ACD 中，22189cos 4242AC AC D +--==，222911cos 6262AC AC B +--==，πB D += ，22911cos cos 04262AC AC B D --∴+=+=，解得249,5AC =，2cos 10D ∴=-，2cos 10B =，272sin sin 110010B D ∴==-=，117221sin 23221010ABC S AB BC B ∴=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ，11727sin 12222105ADC S AD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ，∴四边形ABCD 的面积217357105102S =+==，故A 正确；对于B ，设外接圆半径为R ，则由正弦定理得495210sin 7210ACR B ===，∴该外接圆的半径为102，故B 错误；对于C ，过点O 作OG AB ⊥于点G ，过点D 作AB DN ⊥于点N ，所以,AG ND BN GO ⊥⊥，2222102222GO R AG ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则由垂径定理得1222AG AB ==，πA C += ，221298cos cos 022122BD BD A C +-+-∴+=+=，解得5BD =，2cos 2C ∴=，π4C ∴=，()22sin π122DN AD A =⋅-=⨯=，232222BN AB AN ∴=+=+=,∴()()AO BD AG GO BN ND AG BN ND GO AG ND BN GO AG BN ND GO⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅2322122222AG BN ND GO =-⋅+⋅=-⨯+⨯=- ，故C 正确；对于D ，由C 选项得π4C =，π||sin 222422DF CD ∴=⋅=⨯= ，2cos 4DB DH DB DH BDH DF ⋅=⋅∠== ,故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x ﹣y|的值为．【答案】4【分析】利用平均数、方差的概念列出关于,x y 的方程组，解方程即可得到答案．【详解】由题意可得：()()2220,10108x y x y +=-+-=，设10x t =+，10y t =-，则228t =，解得2t =±，∴24x y t -==故答案为4．【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题．14．22sin 70sin 50sin 704cos 501︒-︒︒=︒-．【答案】14/0.25【分析】根据二倍角公式以及和差角公式，结合辅助角公式即可求解.【详解】()22222sin 70sin 50sin 70sin 70sin 50sin 70sin 70sin 50sin 704cos 5012cos100122cos 5011︒-︒︒︒-︒︒︒-︒︒==︒-︒+︒-+()()()()()()(22sin 6010sin 6010sin 6010sin 60cos10cos 60sin10sin 60cos10cos 60sin10sin 602cos 901012sin101︒+︒-︒-︒︒+︒︒︒+︒︒-︒︒-︒︒︒==︒+︒+-︒+()2231112sin 20sin 102sin 60cos10cos60sin102cos60sin1022222sin1012sin101⨯⨯⨯︒+︒︒︒︒︒+︒︒==-︒+-︒+()13111111sin 20cos 20sin 2030sin102224124242sin1012sin1012sin1014⎛⎫︒-︒+ ⎪-+-+⎝⎭====-︒+-︒+-︒+ ,故答案为：1415．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为．【答案】2027【分析】分别求出比赛进行了2，3局的概率,然后相加，得到答案;【详解】根据题意，比赛为“三局两胜”制（无平局），则甲获胜分为比赛2局或者比赛3局两种情况，则甲获得冠军的概率为：22212122203333333327⋅+⋅⋅+⋅⋅=.故答案为：2027.16．设点Q 在半径为1的圆P 上运动，同时，点P 在半径为2的圆O 上运动．O 为定点，P ，Q 两点的初始位置如图所示，其中OP PQ ⊥，当点P 转过角度α时，点Q 转过角度2α，则在运动过程中OP OQ ⋅的取值范围为．【答案】[]2,6【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设ππ(2cos ,2sin ),(cos(2),sin(2))22P PQ αααα=++，则(2cos sin 2,2sin cos 2)OQ OP PQ αααα=+=-+，()()222cos 2cos sin 22sin 2sin cos 24cos 4sin 2cos sin 22sin cos 2OP OQ αααααααααααα⋅=-++=+-+ ()42sin 242sin ααα=--=-，由于R α∈,所以[]sin 1,1α∈-，故[]42sin 2,6α-∈，故OP OQ ⋅的取值范围为[]2,6，故答案为：[]2,6四、解答题17．已知向量()1,3a =- ，向量b 与a 的夹角为2π3，且2b = ．(1)求向量b的坐标；(2)设向量()sin ,cos c x x = ，()R x ∈，向量()3,1m =- ，若0b m ⋅=，求b c + 的最大值并求出此时x的取值集合．【答案】(1)(2,0)-或(1,3)；(2)3，π{|2π,Z}6x x k k =+∈.【分析】（1）设出向量b的坐标，利用向量数量积和向量的模建立方程组并求解作答.（2）由（1）的结论结合0b m ⋅= 确定向量b，再求出b c + 并借助辅助角公式及正弦函数性质求解任何.【详解】（1）设(,)b x y = ，依题意，22||1(3)2a =+-= ，2π||||cos 23a b a b ⋅==- ，而3a b x y ⋅=- ，因此22324x y x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以向量b的坐标是(2,0)-或(1,3).（2）向量()3,1m =- ，且0b m ⋅=，当(2,0)b =- 时，230b m ⋅=≠ ，不符合题意，舍去，当(1,3)b = 时，1(3)310b m ⋅=⨯-+⨯= ，符合题意，即(1,3)b =，则(1sin ,cos )3b c x x ++=+ ，22)|π|(1sin )(cos )52sin 23cos 54sin(33c x x x b x x =++=++++=++ ，因为x ∈R ，则当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，max |)3(|b c =+ ，所以b c + 的最大值是3，此时x 的取值集合是π{|2π,Z}6x x k k =+∈.18．如图，在四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BE BC =， AE BE ⊥，M 为CE 上一点，且BM ⊥平面ACE .（1）求证：AE BC⊥（2）如果点N 为线段AB 的中点，求证：//MN 平面ADE 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知条件容易证明⊥AE 平面BCE ，所以得到AE BC ⊥；（2）根据已知条件容易判断出M 是CE 中点，取CD 中点F ，并连接MF ，NF ，则容易说明平面//MNF 平面ADE ，MN ⊂平面MNF ，所以得到//MN 平面ADE ；【详解】解：（1）BM ⊥Q 平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，BM AE ∴⊥，即AE BM ⊥；又AE BE ⊥，BE BM B ⋂=，BE 、BM ⊂平面EBC ，AE ∴⊥平面BCE ，因为BC ⊂平面BCE ，AE BC ∴⊥；（2）取CD 中点F ，连接MF ，NF ；BM ⊥平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，BM CE ∴⊥，又BE BC =；M ∴是CE 的中点；//MF DE ∴，DE ⊂平面ADE ，MF ⊂/平面ADE ；//MF ∴平面ADE ，同理，//NF 平面ADE ，MF NF F = ，NF ⊂平面MFN ，MF ⊂平面MFN∴平面//MFN 平面ADE ，MN ⊂平面MFN ；//MN ∴平面ADE ；【点睛】考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，中位线的性质，线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，属于中档题．19．某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：(1)估计两组测试的平均成绩，(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．【答案】(1)“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71(2)27【分析】（1）根据频率和为1计算得到0.020a =，0.010b =，再根据平均数公式计算得到答案.（2）确定抽取的比例为12，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【详解】（1）由田径队的频率分布直方图得：()100.0160.0240.0320.0081a ⨯++++=，解得0.020a =，同理可得0.010b =．其中“田径队”的平均成绩为：10550.016650.024750.032850.020950.0087(3)x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，“足球队”的平均成绩为：550.02650.58750.24850.10950.0671y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）“田径队”中90分以上的有100.0081008⨯⨯=（人），“足球队”中90分以上有100.0061006⨯⨯=（人）．所以抽取的比例为71862=+，在“田径队”抽取1842⨯=（人），记作a ，b ，c ，d ；在“足球队”抽取1632⨯=（人）．记作A ，B ，C ．从中任选2人包含的基本事件有：ab ，ac ，ad ，aA ，aB ，aC ；bc ，bd ，bA ，bB ，bc ；cd ，cA ，cB ，cC ；dA ，dB ，dC ；AB ，AC ；BC ，共21个，正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6个，故正、副队长都来自“田径队”的概率为62217=．20．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A ＝45°，2AB AD =，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△PDE ，使平面PDE ⊥平面BCD ，F 为线段PC 的中点．(1)证明：//BF 平面PDE ；(2)已知M 为线段DE 的中点，求直线MF 与平面PDE 所成的角的正切值．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）取PD 的中点H ，证明四边形FHEB 为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证；（2）由题目条件易得AB DE ⊥，在由面面垂直的性质定理证得平面AB ⊥平面PDE ，连接GM ,GMF ∠即为直线MF 与平面PDE 所成的角，tan GFGMF GM∠=,代入即可求出答案.【详解】（1）取PD 的中点G ,连接EG ,GF ，∵F ，G 分别为PC ，PD 的中点，∴1//2FG CD FG CD =，又∵E 为AB 的中点，∴1//,2EB CD BE CD =，∴//,FG EB FG EB =，∴FGEB 为平行四边形，∴FB GE ∥，又∵BF ⊄面PDE ，GE Ì面PDE ，∴BF ∥平面PDE .（2）在平行四边形ABCD 中，因为2AB AD =，所以2AD AE =，又因为A ＝45°，可得90,AED ∠=︒即AB DE ⊥，因为平面PDE ⊥平面BCD ，平面PDE 平面BCD=DE ，所以平面AB ⊥平面PDE ，由（1）可知，GF AB ∥，所以GF ⊥平面PDE ，连接GM ,GMF ∠即为直线MF 与平面PDE 所成的角，因为1,2GF BE PE GM PE ===，所以tan 2GFGMF GM∠==，即直线MF 与平面PDE 所成的角的正切值为2.21．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin 2cos cos A a B C a c b =+-．(1)求角C 的大小；(2)若点D 在边AB 上，且2BD AD =，3cos 5B =，求cos BCD ∠的值．【答案】(1)π4C =(2)1517【分析】（1）先利用余弦定理，再结合正弦定理得出结果；（2）先根据三角形三个内角关系及正弦两角差公式求解sin A ，在ACD 与BCD △中分别使用正弦定理并结合2BD AD =求得结果．【详解】（1）由余弦定理可得2sin 2sin cos cos 2cos cos A a A aB C ac B C c=⇒=,由正弦定理可得sin sin cos sin tan 1s sin co CA AC C C C =⇒=⇒=,由于()0,πC ∈,所以π4C =，（2）设BCD θ∠=，则π4ACD θ∠=-．3cos 5B =，(0,π)B ∈，故234sin 1()55B =-=，∴3227sin sin[π()]sin(π)cos sin 242210A B C B B B =-+=-=+=，在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD ADA ACD =∠，即7210sin()4CD AD πθ=-，在BCD △中，同理45sin CD BD θ=，2BD AD = ，∴742105πsin 2sin()4θθ=-，即742105sin 2cos 2sin θθθ=-，整理得8cos 15sin θθ=，又22cos sin 1θθ+=,故15cos 17θ=所以cos BCD ∠的值为1517．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，过1,,A B E 的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F 为棱1CC上的动点．(1)已知点H 在棱BC 上，且14CH CB =，若用FH ∥平面1AEB ，求11C F C C ；(2)若2AB =，求点D 到平面AEF 的最大距离．【答案】(1)12(2)263【分析】(1)取BC 的中点G ，利用线面平行的性质定理和面面平行的性质定理推出1//GC FH ，即可得到点F 的位置；(2)建立空间直角坐标系，计算平面AEF 的法向量，然后利用公式求解点D 到平面AEF 的最大距离.【详解】（1）设平面11BCC B 与平面1AEB 的交线为l ，因为FH //平面1AEB ，平面11BCC B 平面1AEB l =，FH ⊂平面11BCC B ，所以//FH l由正方体1111ABCD A B C D -知，平面11//BCC B 平面1ADD E ，又因为平面1ADD E 平面1AEB AE =，平面11BCC B 平面1AEB l =，所以//AE l ，所以//AE FH ，取BC 的中点G ，连接1C G ，易知1//AE GC ，所以1//GC FH ，又因为H 为CG 的中点，所以F 为1CC 的中点.所以1112C F C C =（2）以点D 为坐标原点，,,DA DC DD分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有()()()()0,0,0,2,0,0,1,0,2,0,2,D A E F t 其中[]0,2t ∈，()()()1,0,2,2,2,,2,0,0AE AF t DA =-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z = ，则有0202200n AE x z x y tz n AF ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩ 不妨取2x =，则2,2,12t n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以24263522D AEFn AD d nt -⋅==≤⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，当2t =，即点F 与点1C 重合时，取等号，所以点D 到平面AEF 的最大距离为263.。

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高一下学期期末考试（数学）
一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.已知集合{
}{}=⋂==B A B A ,4,3,2,5,3,1 2.在等比数列{}n a 中，若===642,1,4a a a 则 3.函数164-=
x y 的定义域为
4.计算=+8
5
lg
4lg 2 5.在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若
b
B
a A cos sin =
，则角=B 】
6.一个容量为
20
的数据样本分组后，分组与频数为：
(](](](](](]个。

个；个；个；个；个2,70,604,60,505,50,404,40,303,30,20;2,20.10则样本数据在(]5010，上的频率为
7.已知α为第二象限角，且=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=
4cos ,54sin παα则 8.已知向量()()2,1,1,3==b a ，则向量b a 与的夹角=θ
9.投掷一颗质地均匀的骰子两次，观察出现的点数，记下第一次的点数为m ，第二次的点数为n ，设向量()()n b m a ,3,2,==，则“向量b a 与共线”的概率为 10.计算=-
40sin 160cos 140cos 200sin 11.已知正数y x ,满足,12=+y x 则
y
x 1
1+的最小值 12.一个伪代码如右图所示，输出的结果是
S
Print For
End I ×3 +S S 10 to 1 From I For 1
S ←← ：
13.若对任意的实数n m ,，都有()()()()21005,=+=+f n m f n f m f 且，则
()()()()=++++2009531f f f f
14.已知()
为常数a a 100≤≤，在区间[]100，
上任取两个实数y x ,，设“a y x ≤+2”的概率为p ，“a y x ≥-2”的概率为q ，若有q p ≤，则实数a 的取值范围二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
15.（本小题满分14分）
已知函数()x
x
x f +-=11lg
（1）求()x f 的值域；（2）证明()x f 是奇函数；（3）判断函数()x f y =与2=y 的图像是否有公共点，并说明理由。

.
—
16.（本小题满分14分）
已知向量()(
)
x x n x x m cos 2,cos 3,cos ,sin 2==，定义函数()1-⋅=n m x f
（1）求()x f 的最小正周期（2）求()x f 的单调递增区间 /
|
17.（本小题满分14分）
在ABC ∆中，已知角A,B,C 所对的三条边分别是c b a ,,，且c
a b
C B +-
=2cos cos （1）求角B 的大小
（2）若4,13=+=c a b ，求ABC ∆的面积
|
（
18.（本小题满分16分）已知函数()x
x
x f 42-=
（1）求()x f 的值域；
（2）解不等式()x
x f 2916⨯->；
（3） ^
（4）
若关于x 的方程()m x f =在[]1,1-上有解，求m 的取值范围
~
19.（本小题满分16分）
如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD ，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a 米与b 米均不小于2米，且要求“转角处（图中矩形AEFG ）”的面积为8平方米（1）试用a 表示草坪的面积()a S ，并指出a 的取值范围
（2）如何设计人行道的宽度a 、b ，才能使草坪的面积最大并求出草坪的最大面积。

（3）直接写出（不需要给出演算步骤）草坪面积的最小值及此时a 的值
？
@
20.(本小题满分16分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足n n a S -=2 （1）求数列{}n a 的通项公式
（2）设数列{}n b 满足2
n n n a a b -=λ，若5≥n 时，n n b b <+1恒成立，求实数λ的取值
范围
【。

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