量子谐振子和谐振子的耦合

对量子谐振子,当
E 1 h
2
即处于基态时,对应的本征函数为:
在 x 1 处 出现的几率 不为0!
0
x
12x2
e2
1 4
容易得出,当
x
1
时,
0 x 2 0
即在具有相同能量时,量子谐振子可以出现在经典谐振子不 能出现的地方——经典振幅之外！
(3)几率分布
n x 2
Biblioteka Baidun=2
n=1
n=0
-1
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§13-3 量子谐振子和谐振子的耦合
1、何为（一维）谐振子
经典力学中：质量m的粒子在弹性力F=-kx的作用下做往复 运动，称为谐振子；
经典力学中谐振子运动的弹性势能为 U 1 m；2x2
2
量子力学中的线性谐振子是指在 U 1 m的2势x2 场中做一维运动
的粒子。
2
2、一维谐振子的定态薛定谔方程
1
量子力学的谐振子（黑线）波函数 n 有x n2 个节点，在节点处找
到粒子的几率为零。
而经典力学的谐振子（红线）在势阱内每一点上都能找到粒子没 有节点.
n x 2
-4
-2
2
4
当能级n越小，经典和量子谐振子的几率情况差别越大，当 n增大，相似性也随之增加，当n=10时，量子和经典的两 种情况在平均上已相当符合，差别只在于量子情况下几率 的迅速振荡而已。
(2)运动范围不同
对于总能量相同的经典谐振子和量子谐振子,比如总能量都
等于 1 h，我们看一下两种振子的运动范围：
2
对经典谐振子,有
E
E动能
E势能
1 2
h
E 1 mv2 1 m2x2 1 h
2
2
2
1 m2x2 1 h 1 mv2 0
2
22
h1
xmax
m
即,经典谐振子被 局限在振幅范围内!
1
其中：Nn
2n
2 n！
，
m
h
Hn ( )
(1)n
exp[ 2 ]
dn
d n
exp[
2 ],
x
4、量子谐振子与经典谐振子的区别
(1)基态能量(最小能量)不同
经典谐振子:最小能量为0(经典粒子可停在原点)
量子谐振子:基态能量不为0,称为零点能.
E0
1 2
h
0
零点能是微观粒子波粒二相性的表现，是量子效应， .
2
[ 2 U r ] (r ,t) E (r ,t)
2m
对一维谐振子，有：
则有：
U 1 m2x2
2
[ 2 d 2 1 m2x2 ] E
2m dx2 2
3、定态薛定谔方程的解(本征值和本征函数)
En
(n
1)h, n
2
0,1, 2,L
厄米多项式
本征函数： n
x
1 2x2
Nne 2 Hn ( x)
作业
1.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.