全排列与逆序数
合集下载
行列式2
此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列. (3) (2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3) · (k–1)(k +1)k. · · · · 解: (2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) · (k–1) (k+1) k (k–1) (k–1) k 3 0 1 1 2 2 3 于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2) · (k–1)(k +1)k的逆序数为: · · t = 0+1+1+2+2+ · +(k–1)+(k–1)+k · · k k 1 2 k k2. 2 此排列当 k 为偶数时为偶排列, 当 k为奇数时为 奇排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性. (1) 217986354. 解: 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 001 34 4 5 于是排列217986354的逆序数为: t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列. (2) n(n–1)(n–2) · 21 · · · · 解: n (n–1) (n–2) · 2 1 2 (n–2) (n–1) 0 1 于是排列n(n–1)(n–2) · 21的逆序数为: · · nn 1 , t = 0+1+2+ · +(n–2)+(n–1) · · 2
方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的 数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则 所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1: 求排列32514的逆序数.
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
所以，a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
全排列与逆序数
逆序 例 312 逆序 此排列的逆序数为1+1=2.
定义:逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
§2
全排列及其逆序数
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数
码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这
每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
§2
全排列及其逆序数
§2
全排列及其逆序数
定义:对于n个不同的元素,规定各元素之间有一个标准次 序(通常规定由小到大为标准次序).
例 123 是元素1,2,3的标准次序
定义: 在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次 序与标准次序不同时就说有1个逆序. 逆序 逆序 例 132 213
§2
全排列及其逆序数
定义: 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.
§2
全排列及其逆序数
主要内容：
一、全排列
二、排列的逆序数
考察的对象称为元素.例如:数字1,2,3.
定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全 排列(简称排列). n个元素的所有排列的种数用Pn表示.
例 123,321,132,312,213,231都是元素1,2,3的排列, P3＝3×2 ×1 ＝ 6. 由上例可推知Pn＝ n！
例 求排列3241的逆序数 解: 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数有一个数3,故逆序为1; 4是最大数,逆序为0; 1的前面比1大的数有3个数3、2、4,故逆序数为3.
于是,这个排列的逆序数为t=0+1+0+3=4,
排列3241为偶排列.
§2
总结
全排列及其逆序数
1.n个不同的元素的所有排列种数为n!. 2.排列具有奇偶性. 3.计算排列逆序数常用的方法有1种.
全排列及其逆系数
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
线性代数(同济大学应用数学系第四版)1-2 全排列与逆序数
Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ L ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 定义 在一个排列 (i1 i 2 L i t L i s L i n ) 中，若数 it > i s 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序. 逆序 3 2 5 1 4 逆序
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
例1 计算排列
n(n-1)(n-2)…321 …321
的逆序数。 的逆序数。
解: 考虑1 8 n(n − 1)(n − 2 )L 321 1 42 43 44 4 4 (n − 2)
t=0+1+＋2＋…+(n-2)+(n-1) =0+1+＋ …+(n-2)+(nn (n − 1 ) = 2
三、小结
理解全排列的概念 掌握全排列逆序数的求法
第一章 第二节
全排列与逆序数
一、概念的引入
引例 三个数字， 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有 、 、 三个数字 重复数字的三位数？ 重复数字的三位数？
解
百位 十位 个位
1 1 2 1 2 3
2 1 3
3
3种放法 种放法 2种放法 种放法 1种放法 种放法
共有 3 × 2 × 1 = 6
种放法. 种放法
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不 同的排法？ 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 个不同的元素排成一列， 元素的全排列（或排列） 元素的全排列（或排列）.
同济版线性代数课件--§2 全排列及其逆序数
三、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 1. 定义 在一个排列 p 1 p 2 p t p s p t p s , 则称这两个数组成一个逆序.
p n 中,
若数
(即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序） 例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4
t N(p514 的逆序数.
例2
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的
奇偶性.
1 2
217986354 n n 1 n 2 321
逆序
逆序
2. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排
列的逆序数. 例如 排列 32514 中，
3. 排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
4.计算排列逆序数的方法
设排列为 p 1 p 2 则其逆序数为 例1
pn , ti 为 pi
构成的逆序数
t1 t 2 t n 1
P3 3 2 1 6 .
P n n ( n 1 ) ( n 2 ) 3 2 1 n !.
1. 由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称 为一个n级排列。 如：12345，54321，43512均为5级排列 2. 123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。
§2 全排列及其逆序数
一、概念的引入
二、全排列
三、排列逆序数 四、小结
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
共有 3 2 1 6
种放法.
二、全排列
问题
线性代数 1.1 全排列及其逆序数
三、排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 定义 把排列中两个元素位置进行对调， 称为对排列作一次对换。 定理：对换改变排列的奇偶性. 证明：先证明是相邻对换的情况，再证非 相邻对换的情况。 推论 将奇（偶）排列变成标准排列需用奇（偶）数 次对换。
第一章
行列式
§1.1 全排列及其对换
一、全排列的定义 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
个元素的全排列，简称排列。 例 123456 是 6 个数的全排列， 53421 是 5 个数的全排列。
二排列的逆序数
对于n 个不同的元素，规定各元素之间由小 到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同 时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总 数叫做这个排列的逆序数。 求逆序数的方法： t ( p1 p2 pn ) t1 t2 tn 其中 ti 是排列中与元素 pi 相关的逆序数，即位于 pi前且比 pi 大的的元素个数。
例 (1) 求排列3412中逆序数 .
2 nn 1n 2 321
(1) t (3412) 0 0 2 2 4; 解：
(2) t (n n 1 n 2 321) 0 1 2 (n 1) 1 n(n 1) 2
全排列及其逆序数解读
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn表 示。
例如, 引例的结果是 P3=3×2×1=6。
上页 下页 返回
计算 Pn 的公式：
首先从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上， 有 n 种取法；
又从剩下的 n－1 个元素中任取一个放在第二 个位置上，有 n－1 种取法；
§2 全排列及其逆序数
★全排列的概念 ★逆序的概念 ★计算排列逆序数的方法
由于对角线法则只适用于二、三
阶行列式，为研究四阶及更高阶的行
列式，必须用到逆序数的概念。本节
主要介绍全排列的概念以、3三个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 解 总共有3×2×1= 6种放法。
这6个不同的三位数是： 123， 132， 213， 231， 312， 321。
上页 下页 返回
全排列的概念
在数学中，把考察的对象叫做元素。 于是引例可抽象成：把 3 个不同的元素排成一列， 共有几种不同的排法？ 一般地，我们可以讨论“把 n 个元素排成一列，共 有几种不同的排法”的问题。
上页 下页 返回
排列分类
奇排列：逆序数为奇数的排列 偶排列：逆序数为偶数的排列
上页 下页 返回
计算排列的逆序数的方法
不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并
规定由小到大为标准次序。
设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列。
方法一 在排列 p1 p2 pn 中，直接找出次序颠 倒了的元素对的个数，这也就是该排列的逆序数。
t 0 0 0 0 0 0 2 4 6 8 20
§2 全排列及其逆序数
逆序
例如 排列32514 中， 排列
3 2 5 1 4
逆序 逆序
2. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 逆序数. 例如: 其逆序数为5. 例如 排列 32514 , 其逆序数为 其逆序数为4. 排列 31524 , 其逆序数为 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
4.计算排列逆序数的方法 计算排列逆序数的方法 设排列为 p1 p2 L pn , t i 为 pi 构成的逆序数 则其逆序数为 t = t ( p1 p2 L pn ) = t1 + t 2 + Lt n−1 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性 并讨论它们的奇偶性. 例 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.
二、排列的逆序数
规定各元素之间有一个标准次序, 规定各元素之间有一个标准次序 n 个不同的自 然数, 规定由小到大为标准次序 标准次序. 然数 …pt…ps…pn中, 若数 pt >ps, 则称这两个数组成一个逆序 逆序. 则称这两个数组成一个逆序 (即：大的数在小的数左边, 则这两数构成一个逆序） 即 大的数在小的数左边 则这两数构成一个逆序）
(1) 217986354 ( 2) n( n − 1)( n − 2)L 321
四、小结
1. n个不同的元素的所有排列总数为 个不同的元素的所有排列总数为n!. 个不同的元素的所有排列总数为 2. 排列具有奇偶性 排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数. 计算排列逆序数
§2 全排列及其逆序数
一、全排列 二、排列逆序数 三、小结
例如 排列32514 中， 排列
3 2 5 1 4
逆序 逆序
2. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 逆序数. 例如: 其逆序数为5. 例如 排列 32514 , 其逆序数为 其逆序数为4. 排列 31524 , 其逆序数为 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
4.计算排列逆序数的方法 计算排列逆序数的方法 设排列为 p1 p2 L pn , t i 为 pi 构成的逆序数 则其逆序数为 t = t ( p1 p2 L pn ) = t1 + t 2 + Lt n−1 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性 并讨论它们的奇偶性. 例 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.
二、排列的逆序数
规定各元素之间有一个标准次序, 规定各元素之间有一个标准次序 n 个不同的自 然数, 规定由小到大为标准次序 标准次序. 然数 …pt…ps…pn中, 若数 pt >ps, 则称这两个数组成一个逆序 逆序. 则称这两个数组成一个逆序 (即：大的数在小的数左边, 则这两数构成一个逆序） 即 大的数在小的数左边 则这两数构成一个逆序）
(1) 217986354 ( 2) n( n − 1)( n − 2)L 321
四、小结
1. n个不同的元素的所有排列总数为 个不同的元素的所有排列总数为n!. 个不同的元素的所有排列总数为 2. 排列具有奇偶性 排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数. 计算排列逆序数
§2 全排列及其逆序数
一、全排列 二、排列逆序数 三、小结
全排列及其逆序数
下页
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数 在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
提示: 以下我们只讨论n个自然数的全排列.
下页
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数 在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数的计算 在排列p1p2⋅ ⋅ ⋅pn中, 如果pi的前面有ti个大于pi的数, 就说 元素pi的逆序数是ti. 排列的逆序数为t=t1+t2+ ⋅ ⋅ ⋅ +tn. 举例: 在排列32514中, t1=0, t2=1, t3=0, t4=3, t5=1. 排列32514的逆序数为t=0+1+0+3+1=5. 标准排列12345的逆序数是多少字, 可以组成多少个没有重复数 字的三位数？ 解 采用先选定百位数, 再选定十位数, 最后选定个位数 的步骤. 百位数有3种选法, 十位数有2种选法, 个位数有1种选法. 因为3×2×1=6, 所以可以组成6个没有重复数字的三位数. 这6个三位数是 123, 132, 213, 231, 312, 321.
下页
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数 在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列 叫做偶排列. 举例: 排列32514的逆序数是5, 它是奇排列. 标准排列12345的逆序数是0, 它是偶排列.
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数 在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
提示: 以下我们只讨论n个自然数的全排列.
下页
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数 在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数的计算 在排列p1p2⋅ ⋅ ⋅pn中, 如果pi的前面有ti个大于pi的数, 就说 元素pi的逆序数是ti. 排列的逆序数为t=t1+t2+ ⋅ ⋅ ⋅ +tn. 举例: 在排列32514中, t1=0, t2=1, t3=0, t4=3, t5=1. 排列32514的逆序数为t=0+1+0+3+1=5. 标准排列12345的逆序数是多少字, 可以组成多少个没有重复数 字的三位数？ 解 采用先选定百位数, 再选定十位数, 最后选定个位数 的步骤. 百位数有3种选法, 十位数有2种选法, 个位数有1种选法. 因为3×2×1=6, 所以可以组成6个没有重复数字的三位数. 这6个三位数是 123, 132, 213, 231, 312, 321.
下页
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数 在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列 叫做偶排列. 举例: 排列32514的逆序数是5, 它是奇排列. 标准排列12345的逆序数是0, 它是偶排列.
1-2 全排列及其逆序数
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
例 计算下列排列的逆序数.
1
解
217986354
2 1 7 9 8 6 3 5 4
（由后向前求每个数的逆序数.）
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
2 nn 1n 2321
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
2. 逆序、逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义
例如
在一个排列 i1i2 it is in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序. 排列32514 中， 逆序
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个互不 相同的三位数？ 解
3种放法
设
2种放法
是一个三位数字，
1种放法
百位上可以从1 2 3三个数字中任选一个，所以有3种放法 十位上只能从剩下的两个数字中任选一个，所以有2种放法 而个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法 共有 3 2 1 6 种放法. 这6个不同的3位数是
3 2 5 1 4 逆序 逆序 定义 一个排列i1i2…in中所有逆序的总数称为此 排列的逆序数.记作 t (i1i2…in)或简记为t
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的 数字个数之和. 例4 解 求排列32514的逆序数.
在排列32514中,
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1
解
n1 nn 1n 2321
t n 1 n 2 2 1
1-2 全排列及逆序数
方法2（从前到后的顺序） 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 例1 解 求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列
同的排法？ ，共有几种不
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
例2 性.
计算下列排列的逆序数，并讨论它的奇偶
217986354
1
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
解 用方法1
由小到大求每个数的逆序数. 1 6 3 5 2 4 8 7
t 0 3 1 2 1 0 1 0 8
用方法2
由前向后求每个数的逆序数.
t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
0 0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
1-2全排列及其逆系数
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n !. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列
同的排法？ ，共有几种不
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示.
Pn n ( n 1 ) ( n 2 ) 3 2 1 n !.
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 例1 求排列32514的逆序数.
排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 在一个排列 i 1 i 2 i t i s i n 中，若数 i t i s 则称这两个数组成一个逆序.
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列 的逆序数. 例如 排列32514 中， 故此排列的逆序数为 0 0 1 3+1+0+1+0=5. 3 2 5 1 4
1
解
217986354
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 1 0 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
2
解
线性代数第一章行列式第二节全排列及其逆序数
在一个 n 阶排列中,任何一个数对不是构成 逆序就是构成顺序.如果我们把顺序的个数称为顺
序数, 则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为
n(n -1)/2. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶 数的排列叫做偶排列.
2. 计算方法
下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 次序. 设
二、全排列
对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问
题： 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同
的排法？ 为此先给出全排列的定义.
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这
n 个元素的全排列（也简称排列）.
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表
的结果可知 P3 = 3 · · = 6. 2 1 示. 由 引例 用1，2，3三个数字可以组成多少个没
例 4 求排列
32541
的逆序数.
求逆序数模型
本模型最多只能处理9个元素 请在下列输入框中输入互不相等
5 2 8 7 1 4 9 6 3
计 算
清 空
本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! ! ! ! 本节内容已结束 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课, 若想结束本堂课, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮.
计算机网络实验基础知识1-2 全排列及其逆序数
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 32514 01 031
于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 7986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
i1 前面比i1 大的数码个数； i1 i 2 i n
向前看大 向后看小
③ i1 后面比i1 小的数码个数 i2 后面比i2 小的数码个数
in 后面比in 小的数码个数； i1 i 2 in
向后看小 向前看大
例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1 1 63 5 2 4 8 7 t 03121010 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数. t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k ,4k 1时为偶排列；
从后面向前看大
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
从前面向前看大
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2,
于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 7986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
i1 前面比i1 大的数码个数； i1 i 2 i n
向前看大 向后看小
③ i1 后面比i1 小的数码个数 i2 后面比i2 小的数码个数
in 后面比in 小的数码个数； i1 i 2 in
向后看小 向前看大
例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1 1 63 5 2 4 8 7 t 03121010 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数. t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k ,4k 1时为偶排列；
从后面向前看大
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
从前面向前看大
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2,
1-2 全排列及逆序数
排列32514 中， 例如 排列 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 逆序数 排列32514 中， 例如 排列
0
0
1
3 2 5 1 4
1 3
故此排列的逆序数为3+1 + 0+1+0 =5. 故此排列的逆序数为
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 奇排列; 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
计算排列逆序数的方法
方法1 方法1 分别计算出排在1 ,2 ,L , n − 1 , n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1 ,2 ,L , n − 1 , n 这 n个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 的逆序数， 排列的逆序数. 排列的逆序数
方法2 方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 序数 例1 解 求排列32514的逆序数 的逆序数. 求排列 的逆序数 在排列32514中, 中 在排列
Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ L ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 定义 在一个排列 (i1 i 2 L i t L i s L i n ) 中，若数 it > i s 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序.
二、全排列及其逆序数
§2 全排列及其逆序数
3 3
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
第一章 行列式
例如：对于 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321 在所有6种不同的排法中，只有一种排 法（123）中的数字是按从小到大的自 然顺序排列的，而其他排列中都有大 的数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
解
n1 nn 1n2321 n 2
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3时为奇排列.
1212
第一章 行列式
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
1313
第一章 行列式
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
1414
第一章 行列式
思考题解答
解 用方法1 1 6 3 5 2 4 8 7
t 0 31 21 01 0 8
用方法2
由前向后求每个数的逆序数.
t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
4 4
第一章 行列式
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
第一章 行列式
例如：对于 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321 在所有6种不同的排法中，只有一种排 法（123）中的数字是按从小到大的自 然顺序排列的，而其他排列中都有大 的数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
解
n1 nn 1n2321 n 2
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3时为奇排列.
1212
第一章 行列式
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
1313
第一章 行列式
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
1414
第一章 行列式
思考题解答
解 用方法1 1 6 3 5 2 4 8 7
t 0 31 21 01 0 8
用方法2
由前向后求每个数的逆序数.
t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
4 4
第一章 行列式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总结 1.n个不同的元素的所有排列种数为n!. 2.排列具有奇偶性. 3.计算排列逆序数常用的方法有1种.
§2 全排列及其逆序数
例 求排列3241的逆序数 解: 3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数有一个数3,故逆序为1; 4是最大数,逆序为0; 1的前面比1大的数有3个数3、2、4,故逆序数为3. 于是,这个排列的逆序数为t=0+1+0+3=4, 排列3241为偶排列.
§2 全排列及其逆序数
§2 全排列及其逆序数
主要内容： 一、全排列 二、排列的逆序数
pn
§2 全排列及其序数
定义:把考察的对象称为元素.例如:数字1,2,3. 定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全 排列(简称排列).
n个元素的所有排列的种数用Pn表示.
例 123,321,132,312,213,231都是元素1,2,3的排列, P3＝3×2 ×1 ＝ 6.
定义: 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.
逆序 例 312
逆序 此排列的逆序数为1+1=2.
定义:逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
§2 全排列及其逆序数
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
由上例可推知Pn＝ n！
§2 全排列及其逆序数
定义:对于n个不同的元素,规定各元素之间有一个标准次 序(通常规定由小到大为标准次序).
例 123 是元素1,2,3的标准次序
定义: 在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次 序与标准次序不同时就说有1个逆序.
逆序
逆序
例 132
213
§2 全排列及其逆序数
§2 全排列及其逆序数
例 求排列3241的逆序数 解: 3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数有一个数3,故逆序为1; 4是最大数,逆序为0; 1的前面比1大的数有3个数3、2、4,故逆序数为3. 于是,这个排列的逆序数为t=0+1+0+3=4, 排列3241为偶排列.
§2 全排列及其逆序数
§2 全排列及其逆序数
主要内容： 一、全排列 二、排列的逆序数
pn
§2 全排列及其序数
定义:把考察的对象称为元素.例如:数字1,2,3. 定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全 排列(简称排列).
n个元素的所有排列的种数用Pn表示.
例 123,321,132,312,213,231都是元素1,2,3的排列, P3＝3×2 ×1 ＝ 6.
定义: 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.
逆序 例 312
逆序 此排列的逆序数为1+1=2.
定义:逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
§2 全排列及其逆序数
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
由上例可推知Pn＝ n！
§2 全排列及其逆序数
定义:对于n个不同的元素,规定各元素之间有一个标准次 序(通常规定由小到大为标准次序).
例 123 是元素1,2,3的标准次序
定义: 在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次 序与标准次序不同时就说有1个逆序.
逆序
逆序
例 132
213
§2 全排列及其逆序数