九、解非线性方程组的逐步搜索方法和二分法
二分法及迭代法求解非线性方程根
二分法及迭代法求解非线性方程根二分法及迭代法求解非线性方程根班级：姓名：方学号：日期：一、实验目的1、熟悉二分法及迭代法求解非线性方程根的数值算法；2、用matlab软件实现二分法及迭代法，掌握迭代法的收敛性和收敛速度问题及其加速方法；二、基本理论及背景1、牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。
这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方，但是选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果，再者，牛顿迭代法计算量比较大。
因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。
2、牛顿迭代理论推导：设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y =f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r 的n+1次近似值；3、参考《二分法求非线性方程根》，实现二分算法，完成下面的题目：1 求方程○的根，精度至少达到10-6；1中方程根的收敛性：比较迭代下列迭代法求解○21/ 2○,；1中方程的根（精度至少达到10-6）2中收敛用牛顿法设计迭代函数求解○，并与○的迭代法比较收敛的速度。
三、算法设计及实现1function f=fun1(x) 1、设计：方程○f=exp(x)-x-3;；2 function y=Exp2(x) ○y=exp(x)-3;function y=Exp3(x)y=log(x+3);牛顿迭代：2/ 2。
数学中的非线性方程求解算法研究
数学中的非线性方程求解算法研究一、引言非线性方程是数学中的重要问题，具有广泛的应用背景。
在现实生活中，很多问题都是由非线性方程建模的，需要通过求解非线性方程来得到问题的解。
因此，对于非线性方程求解算法的研究具有重要的理论和实际意义。
本文旨在对目前常用的非线性方程求解算法进行详细介绍，并对其优缺点进行评价和比较。
二、二分法二分法也称为割线法或区间收缩法，它是一种比较基础的求解非线性方程的方法。
具体来讲，二分法的思想是：首先给定一个初始区间，然后取区间中点作为近似值，通过与零点的比较来缩小区间，直到区间长度小于给定的精度要求为止。
二分法的基本流程可以简述如下：1. 给定初始区间[a,b]，满足f(a)f(b)＜0。
2. 求出中点c=(a+b)/2。
3. 计算f(c)并判断其与零点的位置关系。
4. 根据f(a)f(c)＜0或者f(c)f(b)＜0将区间缩小。
5. 重复步骤2~4，直到满足收敛条件。
二分法的优点在于其思路简单，易于实现和理解。
但是，其收敛速度比较慢，并且对函数的单调性和连续性要求比较高。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于导数信息的非线性方程求解方法。
其基本思想是：选取一个初始点作为近似解，并通过不断迭代，逐渐逼近方程的零点。
牛顿迭代法的基本流程如下：1. 选取一个初始点x0。
2. 计算函数f(x)的一阶导数f'(x0)。
3. 计算当前点x0的函数值f(x0)。
4. 根据泰勒公式得到近似解x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
5. 重复步骤2~4直到满足收敛条件。
牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其适用于连续可微的函数。
但是其缺点在于需要求取函数的一阶导数，如果函数难以求导或者计算导数比较费时，则会影响其求解效率和准确性。
四、弦截法弦截法是一种基于线性插值的非线性方程求解方法。
其基本思路是：从两点出发构造一条直线，通过直线与x轴的交点来逼近方程的零点。
根据插值定理，可以通过两个初始点上的函数值来构造一条直线，并根据截距与零点的位置关系来选择新的近似解。
非线性方程(组)的数值解法#
第三章 非线性方程(组)的数值解法一．取步长1h =，试用搜索法确立3()25f x x x =--含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于310-。
【详解】因为是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。
(0)5f =-，(1)5f =-，(2)1f =-，(3)16f =，因此，(2,3)中有一个正根。
这就确立了含根区间。
接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于310-，计算结果如下表 迭代次数k ak b k x0 2 3 2.5 1 2 2.5000 2.250 0 2 2 2.2500 2.125 0 3 2 2.1250 2.062 5 4 2.0625 2.1250 2.093 8 5 2.0938 2.1250 2.109 4 6 2.0938 2.1094 2.101 6 7 2.0938 2.1016 2.097 7 8 2.0938 2.0977 2.095 7 92.09382.09572.094 7二．对方程2()2sin 20f x x x =--=，用二分法求其在区间[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01。
【详解】用二分法求解方程在[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表： 迭代次数k ak b k x0 1.5 2 1.75 1 1.7500 2.0000 1.8750 2 1.8750 2.0000 1.9375 3 1.9375 2.0000 1.9688 4 1.9375 1.9688 1.9531 51.95311.96881.9609三．用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程3()10f x x x =--=在0 1.5x =附近的根，要求误差小于610-。
【详解】310x x --=，等价于x =。
这样，可以建立不动点迭代格式1k x +=当0x ≥时，总有23110(1)133x -'<=+≤<，因此，迭代格式对于任意初始值00x ≥总是收敛的。
求解非线性方程和方程组的一些新方法
求解非线性方程和方程组的一些新方法求解线性方程分为两种方法–二分法和迭代法常见的方法一共有5种二分法迭代法牛顿法割线法拟牛顿法Halley法使用条件二分法需要知道两个自变量，分别是一个根的两侧牛顿法迭代法是最常用的方法，收敛性信赖于初值，取不同的初值可以的方程不同的根，函数用的是一阶导数，输入的是一个猜想的可能的值割线法给定两个初值再带入计算,比如要在2附近求一个根，那就可以假设这个范围是（1.9，2）拟牛顿法这个比较方便，用时最好可以找到一个好的初始值Halley法需要知道函数值以及它的一阶求导、二阶求导这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。
把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。
二分法基本函数是这样子的：y = dichotomy(fun,a,b,tol)；二分法的算法要输入四个变量，fun,a,b,tol：函数，一个根的左右点，tol=1.0e-6function y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;上面这个就是定义的fun，每次的输入的方程不同，第一条不动，直接改第二行就可以的。
比如这里我们要计算的方程y = x^3 - 5 * x + 4.272;我们是可以通过简单计算得到一个根的两侧分别是1和1.3那在窗口指令指令中输入x=dichotomy(’fun‘,1,1.3,1.0e-6)就可以得到结果function y =dichotomy(fun,a,b,tol)if nargin <4tol =1.0e-5;endn =1;iffeval(fun,a)*feval(fun,b)<0c =(a+b)/2;while(abs(b-c)>tol)&&(abs(feval(fun,c))>tol)if(feval(fun,c)*feval( fun,a)>0)a = c;c=(a+b)/2;elseif(feval(fun,c)*feval(fun,a)<0)b = c;c =(a+b)/2;elsey = c;tol =100;endn = n +1;endy = c;elseif feval(fun,a)==0y = a;elseif feval(fun,b)==0y = b;elsedisp('there may not be a root in the interval');endnfunction y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;牛顿法还是用刚才那道题，y = x^3 - 5 * x + 4.272，一阶导是y = 3 * x^2 - 5;function y =dfun(x)y =3* x^2-5;下面的是具体的算法，根据x = newton(x0,tol)，我们只需要输入一个我们猜想的值就可以。
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。
然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。
然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
非线性方程的数值解法中的二分法
非线性方程的数值解法中的二分法
二分法，又称秦九韶算法，是一种用来求解非线性方程的有效的数值解法。
它可以有效地将一个不确定的区间划分为两个不相交的子区间，其中一个至少包含方程的一个根，而另一个不包含根，这样重复地使用子区间，就可以缩小包含根的子区间从而求出根。
它具有准确性好、计算量小、理论考虑简单等优点。
因此，二分法逐渐得到了在互联网科技领域的广泛应用，受到了更多关注。
作为一种基础性的数学算法，二分法的基本原理是将一个不确定的区间分成两个相等的小区间，其中一个必定包含方程的一个根，而另一个肯定不包含根，然后针对这两个相邻区间，不断求解，直到最后已经求出根为止。
具体地说，在给定一个区间[a，b]，要求函数f (x)在[a，b]内存在唯一根r，根据贴合定理，只需要计算函数在两个端点的值，并判断它们是否异号，如果异号，则区间[a，b]一定包含根r。
接着，利用c =(a＋ b) / 2将区间[a，b]分成两个小区间[a，c]和[c，b]，逐渐缩小根所在的区间范围，直到最后确定根的准确值。
由于数值计算的准确性高、计算量小、计算过程简单，因此二分法在许多互联网科技应用中大量采用，如自动搜索引擎服务，精准推荐等。
此外，在建模和科学研究中，二分法也被广泛运用，例如求解非线性方程组、解析一元函数最优解等。
综上所述，二分法是一种有效的数值解法，在互联网科技的应用非常广泛，如搜索引擎服务、精准推荐以及科学研究等，它具有计算准确度高、计算量小、理论需要考虑较少的优势，有效地解决非线性方程的求解问题，同时也为科技进步和科学发展作出了贡献。
非线性方程组求解
非线性方程组求解非线性方程组在科学、经济等领域中应用广泛，然而，由于非线性方程组的求解困难性，这使得许多问题存在困扰。
非线性方程组求解是一个复杂的过程，在此过程中需要对多种数学技术和算法有深入的了解。
本文就非线性方程组求解这个话题进行了探讨。
一、非线性方程组的定义非线性方程组是指一组包含至少一个非线性方程的方程组。
非线性方程组是一种数据的数学模型，它描述了在特定条件下各个因素之间的相互依赖关系。
非线性方程组的解通常用来预测一个系统的行为，并且是许多数学和科学领域的重要工具。
二、非线性方程组求解的困难性非线性方程组求解的困难性是因为它们存在着多个未知数和多个方程之间的相互依赖关系。
这使得非线性方程组的求解无法通过简单的代数运算来获得，而且通常需要更高级的数学知识和算法。
在许多情况下，非线性方程组可能无法解析地求解，这时需要采用数值方法来求解。
三、非线性方程组求解的方法1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是最常用的求解非线性方程组的方法之一。
它将非线性方程组看作一组关于未知量的函数，并利用泰勒公式将其逼近为线性表达式。
由于直接求解非线性方程组比较难，牛顿迭代法通常将其转化为求解一系列线性方程组的问题。
2. 非线性迭代法非线性迭代法是一种通过递推计算的方式求解非线性方程组的方法。
具体地说，非线性迭代法会将非线性方程组转化为一组迭代公式，然后通过不断迭代来逼近方程组的解。
3. 二分法二分法是一种通过对非线性方程组的解进行区间逼近来求解的方法。
二分法的基本思路是通过每次将原来的区间对半分来寻找解所在的范围。
四、结语非线性方程组求解是一个重要的数学问题，应用广泛且具有挑战性。
本文主要介绍了三种很常用的求解方法，即牛顿迭代法、非线性迭代法和二分法。
在实际运用中，这些方法可以单独或者联合使用，以求得更准确的解。
非线性方程求解
非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。
与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。
尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。
本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。
二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。
它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。
不断这样做直到最终解得精度足够高为止。
下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。
在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。
但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。
它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。
下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。
如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。
如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。
其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。
其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。
结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。
无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。
非线性方程的数值求法二分法和简单迭代法.pptx
• 本章介绍方程的迭代解法，它既可以用来求解 代数方程，也可以用来解超越方程，并且仅限 于求方程的实根。
• 运用迭代法求解方程的根应解决以下两个问题：
• 确定根的初值; • 将进一步精确化到所需要的精度。
记笔记 第3页/共52页
7.1 二分法
二分法又称二分区间法,是求解非线性方程的近 似根的一种常用的简单方法。
第4页/共52页
确定有根区间的方法
• 为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，
称为圈定根或根的隔离。
• 在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一 定
精度要求的初值。
• 对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次 数
相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或
无
第5页/共52页
由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的 单值连续, 如果f (a)·f (b)<0 , 则[a,b]中至少 有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递 增或递减，则仅有一个实根。
二分法求根过程
设方程f(x)=0在区间[a,b]内有根,二分法就是逐 步收缩有根区间，最后得出所求的根。具体过程如下
① 取有根区间[a,b]之中点, 将它分为两半,分点
x0
ab 2
,这样就可缩小有根区间
y
y=f(x)
y=f(x)
a
x1
x* x0
a1
b1
a2
b2
b
a
第13页/共52页
x*
x0
x1
b
a1
再将 x1 代入式 x (x) 的右端, 得到 x2 (x1) , 依此类推, 得到一个数列 x3 (x2 ) …， 其一般表示
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
高等代数中的非线性方程组 求解方法与案例
高等代数中的非线性方程组求解方法与案例高等代数中的非线性方程组求解方法与案例一、引言非线性方程组在数学和科学工程领域中具有重要的理论和实际应用价值。
本文将介绍一些常用的非线性方程组求解方法，并通过案例来展示这些方法的应用。
二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性方程组求解方法。
该方法利用函数的导数信息进行迭代，通过不断逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - J_F(x_n)^{-1} * F(x_n)其中，J_F(x_n) 表示 F(x_n) 的雅可比矩阵。
三、割线法割线法是一种迭代求解非线性方程组的方法。
该方法使用方程组中两个初始解点之间的割线来逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0 和 x_1，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n) * (x_n - x_{n-1})}{F(x_n) - F(x_{n-1})}四、二分法二分法是一种简单且可靠的非线性方程组求解方法。
该方法利用方程组在区间两端点函数值异号的性质，在区间内部寻找解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，在区间 [a, b] 内满足 F(a) * F(b) < 0，迭代公式为：x_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}五、案例分析假设有如下非线性方程组：x^2 + y^2 = 10x + y = 5我们将使用上述介绍的三种方法来求解该方程组。
1. 牛顿法求解：首先，我们需要计算方程组的雅可比矩阵：J_F(x, y) = [[2x, 2y],[1, 1]]给定初始解 x_0 = (1, 4)，按照牛顿法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
2. 割线法求解：给定初始解 x_0 = (1, 4) 和 x_1 = (2, 3)，按照割线法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
非线性方程组的解法精选全文
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非线性方程组的解法
非线性方程组的解法包括：
（1）近似法。
近似法是根据所给非线性方程组，使用一定的数值方法，建立非线性方程组结果的拟合曲线，以此求解非线性方程组的常用方法，目前有贝塔、拉格朗日近似法和微分近似法等。
（2）多元分割法。
多元分割法根据非线性方程组的参数和变量空间，
将整个运算范围分割成多余小区间，利用各区间中只含有一个未知变
量的简单方程组，将非线性方程组转换成多个一元方程组，再用一次法、弦截法和二分法等算法求解，最终得出整个非线性方程组的解。
（3）迭代映射法。
迭代映射法是通过给定一个初始值，然后利用迭代，反复运算，最终达到收敛点的一种方法，主要包括牛顿法、收敛法、
弦截法、松弛法和隐函数法等。
（4）最小二乘法。
最小二乘法是将非线性方程组表示为残差函数，然
后求解残差函数最小值，获得未知变量的最优解，常用于数值分析中。
（5）特征法。
特征法是采用将非线性方程组表示为线性方程组特征值
和它们关于某一特征量的关系式，利用梯度下降法，最小化残差函数，求解非线性方程组的方法。
以上是非线性方程组的解法的简单综述，它们在一定程度上增加了解
决非线性方程组的效率，但并非所有情况都能使用以上求解方法。
正
确使用相应的求解方法就可以有效的求解非线性方程组，以便更好的
解决实际问题。
非线性方程组解法
解 f (0) 0, f (2) 0, f (x) 在区间（0，2）内至少有一个实根。 设从x=0出发，取h=0.5为步长向右进行根的搜索，列表如下
k
X ( k1) X *
lim
C (0,1);
k X (k ) X *
(2)超线性的,若
X ( k1) X *
lim
0;
k X (k ) X *
(3)p阶收敛的,若
X ( k1) X *
lim
k
X (k) X*
p
C 0, p 1.
2. 二分法解非线性方程的条件、思想方法、执行次数k：
p( x) fk [ xk , xk1] f ( x xk ) [ xk2 , xk1, xk ] f ( x xk )( x xk1) (a)
一阶差商
二阶差商
牛顿插值
用p(x)近似f(x), 取P(x)=0较靠近 xk 的根 xk1 为f(x)=0的改进近似 根。考虑 xk1 xk 的最小值，变形(a)式(插项),于是, 由p( x) 0,得
生成含根区间[a1, b1], 且[a1, b1] 满足下式:
(1) [a1, b1] [a0 , b0 ]
(2)
b1
a1
h 2
(3) f (a1 ) f (b1 ) 0
以[a1, b1]取代[a0 , b0 ], 继续以上过程, 得[a2 , b2 ].
一般的, 设已得含根区间[ai ,bi ]，i 0,1,, k ,满足：
使用二分法时，误差限
x xn
7.4求解非线性方程组
【7.3.1】用二分法求方程 x 2 − x − 1 = 0 的正根， 要求误差小于0.05。 解：首先编制函数文件 function y=fc(x) y=x.^2-x-1; 在MATLA命令窗中输入 [root,n]=erfen('fc',-9,-1,0.05) [root,n]=erfen('fc',0,15,0.05) these may not be a root in root = the interval. 1.6260 n= n= 0 10
说明：二分法在区间很大时，收敛接近根的速度很 快，而当区间较小时，靠近速度变得相当缓慢，且 计算量较大，对高精度要求的满足比较困难，因 此，可以为其他各种迭代法提供迭代初值。 2.不动点迭代 设一元函数f是连续的，要解的方程是f(x)=0，为了 进行迭代，变换方程形式为 x = ϕ (x )，于是构造迭 x k +1 = ϕ ( x k ) ，若 lim x k = x *，则称此迭代为 代公式 k→∞ 不动点迭代。易知构造不动点迭代的迭代公式不 一定收敛，且收敛速度也受所构造的迭代公式的 好坏的影响。
方程组的不动点迭 代与方程的不动点 迭代法基本相同， 只是在程序设计中 要注意数的计算和 矩阵计算的区别,矩 阵的大小尺度判断 用norm函数代替abs.
【例7.3.3】用不动点迭代函数求解下列方程组
2 ⎧ x12 − 10 x1 + x 2 + 8 = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪ x1 x 2 + x1 − 10 x 2 + 8 = 0 ⎩
f ( a ) f (b ) < 0
x ∈ [ a, b]
2. f ′′(x ) 在区间[a,b]上不变号； 3. f ′( x ) ≠ 0 4.
解非线性方程
解非线性方程解非线性方程是数学中的一个常见问题，它的解决方法涵盖了多种数值和符号计算技术。
本文将讨论几种常见的解非线性方程的方法，并对其优缺点进行评估。
同时，还将给出一些实际问题，并通过求解相关的非线性方程来解决它们。
在数学中，非线性方程是指未知数的幂或次幂的函数与未知数的线性变换之和（或差）相等的方程。
它的求解相对于线性方程来说更加困难，因为非线性方程通常没有解析解。
所以我们需要使用一些数值计算方法来近似求解这类方程。
一、数值方法常见的数值方法包括二分法、牛顿法和割线法。
1. 二分法二分法是一种迭代逼近方法，适用于单峰函数的求解。
它的基本思想是通过计算方程在一个区间内的函数值的正负来确定方程在该区间内是否存在根，并将区间不断地缩小，直到得到满足精度要求的根。
2. 牛顿法牛顿法是一种迭代逼近方法，适用于光滑函数的求解。
它的基本思想是通过利用函数的局部线性近似来逼近方程的根。
具体步骤是：选择一个初始近似解，计算该近似解处的斜率（导数），然后使用切线与坐标轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
3. 割线法割线法是一种迭代逼近方法，它是对牛顿法的改进。
与牛顿法使用切线逼近方程的根不同，割线法使用两个近似解之间的直线来逼近方程的根。
具体步骤是：选择两个初始近似解，计算这两个近似解处函数值，然后利用割线与坐标轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
二、符号计算方法符号计算方法主要包括代数解法和近似解法。
1. 代数解法代数解法是通过对方程进行变形和化简，利用代数运算和等式的性质来求解方程。
它适用于存在特定形式解的方程，例如二次方程和三次方程。
通过代数解法求解，可以得到方程的解析解。
2. 近似解法近似解法是通过对方程进行近似处理，将非线性方程转化为线性方程或更简单的非线性方程，然后利用线性方程或简单非线性方程的解法来求解。
近似解法常用的方法有级数展开法、迭代法和离散化方法等。
通过上述的数值和符号计算方法，我们可以解决各种非线性方程的求解问题。
非线性方程求根的常见方法及其应用
非线性方程求根的常见方法及其应用对于一个非线性方程，其解不一定是唯一的，而且很多情况下解根难以直接求得。
因此，寻找一种可靠、有效的方法来求解非线性方程根是非常重要的。
本文将介绍几种常见的非线性方程求根方法，并且介绍它们的应用场景及求解精度。
一、二分法二分法是一种最基本且易于实现的方法，它能够求解任何单峰函数（函数图像中仅有一个极大值或极小值的函数）的根。
该方法的主要思想是不断缩小根的区间，直到找到根。
具体而言，对于一个单峰函数f(x)，在区间[a,b]上寻找其根。
首先，取中点c=(a+b)/2，计算f(c)。
如果f(c)≈0，则找到了根；否则，根位于[a,c]或[c,b]中的一个区间上，重复上述步骤，直到找到根。
该方法的主要优点是简单易用，适用于大部分单峰函数，并且收敛速度相对较快。
但是，该方法需要区间起点和终点具有异号，否则无法找到根。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的方法，可用于求解任何无奇点的连续可微函数的根。
该方法的主要思想是将一个复杂的函数不断逼近于一条直线，然后通过直线和x轴的交点来不断逼近函数的根。
具体而言，对于一个连续可微函数f(x)，在初始点x0处进行求解。
首先，通过f(x)在x=x0处的导数f'(x0)来确定函数的切线。
然后，找到x轴上离该点最近的交点x1处，并将其作为新的起点，迭代上述过程，直到找到根。
该方法的主要优点在于速度快、精度高，并且可适用于大多数函数。
但是，该方法可能会出现迭代过程不稳定的问题，因此需要谨慎选择初值。
三、割线法割线法是一种类似于牛顿迭代法的方法，其主要思想是通过一条割线来逼近函数的根。
相比于牛顿迭代法，割线法更加适用于函数的导数难以求得的情况。
具体而言，对于一个函数f(x)，在初始点x0和x1处进行求解。
首先，通过f(x)在x=x0处和x=x1处的取值来确定割线，找到x轴上与割线交点x2处，并将其作为新的起点，重复上述步骤，直到找到根。
该方法的主要优点在于速度快、精度高，并且可适用于大多数函数。
数学中的非线性方程求解
数学中的非线性方程求解非线性方程是指未知量与其函数之间不满足线性关系的方程。
解决非线性方程的问题一直是数学领域的研究重点之一，因为非线性方程在自然科学、工程技术以及金融经济等领域中具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨几种常见的非线性方程求解方法。
一、二分法二分法也称为区间二分法，是求解非线性方程最基本的方法之一。
该方法利用非线性方程连续性的特点，将方程的解所在的区间不断二分并缩小区间范围，最终找到非线性方程的解。
考虑一个一元非线性方程f(x)=0，其中f(x)在区间[a, b]上连续且f(a)与f(b)异号。
根据区间中值定理可知，存在一点c属于(a, b)，使得f(c)=0。
我们可以按以下步骤进行二分法的求解：步骤1：选择区间[a, b]，计算函数值f(a)与f(b)。
步骤2：如果f(a)与f(b)异号，则继续进行下一步。
否则，结束计算，方程无解。
步骤3：计算区间中点c=(a+b)/2，并计算f(c)。
步骤4：如果f(c)接近于0或满足终止条件，则c为方程解。
否则，根据f(a)与f(c)的符号确定新的区间[a, c]或[c, b]。
步骤5：重复步骤3和步骤4，直至满足终止条件。
二、牛顿法牛顿法是一种迭代逼近的方法，通过使用函数的一阶和二阶导数来逼近非线性方程的解。
该方法基于泰勒级数展开，通过不断迭代逼近函数零点的位置。
考虑一个一元非线性方程f(x)=0，我们可以按以下步骤进行牛顿法的求解：步骤1：选择一个初始近似值x0。
步骤2：计算函数f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
步骤3：使用初始近似值x0和函数导数来进行迭代计算，得到新的近似值x1。
迭代公式为x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
步骤4：计算函数f(x1)的值。
步骤5：如果f(x1)接近于0或满足终止条件，则x1为方程解。
否则，将x1作为新的近似值，重复步骤3和步骤4。
步骤6：重复步骤3至步骤5，直至满足终止条件。
求解非线性方程组的二分法
然后用 ３ 部分所述方法解出二元方程组， 再把方程组的解集代入剩下的一个方程 中，求出其函数值；再增加给定元一个步 长值，使方程组变成一个二元的方程组和 一个二元方程，然后用 ３ 部分所述方法解 出二元方程组，再把方程组的解集代入剩 下的一个方程中，求出这时的函数值，并与 前一次的函数值相乘，若乘积小于零，则在 这个步长中方程组有解，可用二部分所述 方法求出解集；若大于零，则此步长区间 中无解，则增加给定元一个步长值，重复前 面的步骤，直到给定元取值结束。对于 Ｎ 元方程组则是以此类推。解 Ｎ 元方程组的 流程图如下：如图 ３。
学 术 论 坛
（３）和（４）变为：
ｆ１ （ｘ１，ａ２＋ｈ）＝０ ， （５） ｙ２＝ ｆ２（ｘ１，ａ２＋ｈ）， （６） 再用 ２ 中介绍的的方法解一元方程
（５），解出 ｘ１，把解出的 ｘ１ 值代入 ｙ２，求出其 函数值，并与前一次的函数值相乘，若乘积
小于零，则在 ｘ２ 的这一个步长中，方程组有 解，可用二部分所述二分这个步长的方法
“御使轿夫、家奴庆和园兹事，梨园公 愤罢演七天”
光绪十五年七月二十一、二十二日， 左御使许应騤和副都御使杨颐家中轿夫、 家奴张大顺、张文纪等数人，在大栅栏庆 和园戏园肆意兹事，还仗势伙同巡城御使、 中城坊官正指挥等人私自封闭庆和园，斥 责戏园卯头，当即引起周边各处戏园、戏 班同僚的一致不满。经孙菊仙、杨月楼等 诸庙首、戏园园主、戏班班主及各界票友、 友人共议，决定不能纵容此事。遂京城梨园
７ 版．北京：高等教育出版社，２００１． ［５］ 罗坚等．Ｃ 语言程序设计［Ｍ］．北京：中国
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一、编写函数作图的程序，通过图形求出方程的近似解。
1、>> clear
>> syms x y
>> x=-10:0.1:10;
>> y=2.*x.*sin(x)-3;
>> plot(x,y);
>> grid
>> gtext('y=2.*x.*sin(x)-3')
2、>> clear
>> syms x y1 y2
>> x=0:0.1:10;
>> y1=2.*sin(x);
>> y2=3./x;
>> plot(x,y1,x,y2);
>> grid
>> gtext('y1=2sin(x),y2=3/x')
3、>> clear
>> syms x y
>> x=-2:0.1:4;
>> y=4.*x.^5-8.*x.^4-26.*x.^3+30; >> plot(x,y);
>> grid
>> gtext('y=4*x^5-8*x^4-26*x^3+30')
>> x=solve('4*x^5-8*x^4-26*x^3+30=0','x'); >> x1=double(x)
x1 =
1.0000
3.7117
-1.9244
-0.3936 + 0.9461i
-0.3936 - 0.9461i
二、用逐步搜索的方法求解。
function [k,r]=zhubuss(a,b,h,tol)
X=a:h:b;Y=funs(X);
n=(b-a)/h+1;m=0;
X(n+1)=X(n);Y(n+1)=Y(n);
for k=2:n
X(k)=a+k*h;
Y(k)=funs(X(k));
sk=Y(k)*Y(k-1);
if sk<=0
m=m+1;
r(m)=X(k);
end
xielv=(Y(k+1)-Y(k))*(Y(k)-Y(k-1));
if (abs(Y(k))<tol)&(xielv<=0)
m=m+1;
r(m)=X(k);
end
end
（1）function y=funs(x)
y=2.*x.^3+2.*x.^2-3.*x-3
>> [k,r]=zhubuss(-2,2,0.001,0.0001)
k =
4001
r =
-1.2240 -1.0000 -1.0000 -0.9990 1.2250
（2）function y=funs(x)
y=sin(cos(2.*x.^3))
>> [k,r]=zhubuss(-2,2,0.001,0.0001)
k =
4001
r =
-1.9190 -1.7640 -1.5770 -1.3300 -0.9220
0.9230 1.3310 1.5780 1.7650 1.9200
三、用二分法求解。
1、>> clear
>> syms x y
>> x=-4:0.1:4;
>> y=x.^3-x+4;
>> plot(x,y)
>> grid;gtext('y=2*x^3+2*x^2-3*x-3')
2、>> x=-4:1:4,y=x.^3-x+4
x =
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y =
-56 -20 -2 4 4 4 10 28 64 3、function [k,x,wucha,yx]=erfen(a,b,abtol)
a(1)=a;b(1)=b;
ya=fun(a(1));yb=fun(b(1));
if ya*yb>0
disp('ya*yb>0,重新调整区间端点a,b.')
return
end
max1=-1+ceil((log(b-a)-log(abtol))/log(2));
for k=1:max1+1
a;ya=fun(a);
b;yb=fun(b);
x=(a+b)/2;yx=fun(x);
wucha=abs(b-a)/2;k=k-1;
[k,a,b,x,wucha,ya,yb,yx]
if yx==0
a=x;b=x;
elseif yb*yx>0
b=x;yb=yx;
else
a=x;ya=yx;
end
if b-a<abtol
return
end
end
k=max1;x;wucha;yx=fun(x);
function y=fun(x)
y=x.^3-x+4
>> [k,x,wucha,yx]=erfen(-2,-1,0.001)
k =
9
x =
-1.7959
wucha =
9.7656e-004
yx =
0.0037。