直线与方程经典例题-

直线与方程经典例题

【考点指要】

关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求。解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。

【综合例题分析】

例1. 已知圆2

2

440x x y --+=的圆心是P ，则点P 到直线10x y --=的距离是

__________。 答案：

22

解析：由题意圆的方程22

440x x y --+=可化为()

2

228x y -+=∴圆心()2,0P ，代入点到直线距离公式得2

2)1(1|

1-(-1)012|d 2

2=-+⨯+⨯=

例2.若曲线2

1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k b 、分别应满足的条件是____________。

答案：k=0且-1

11010

=+=+>-+<⎧⎨

⎩||，，画出图象得

设图象与y 轴的交点分别为()()0101A B -，、，，过点A B 、作平行于x 轴的直线，根据题意，直线y kx b =+与曲线没有公共点，则只能与x 轴平行且在虚线区域内移动。 评述：由于曲线方程中含有绝对值，所以先分情况去掉绝对值符号，若联立方程组

2211

y x y x y kx b y kx b

⎧⎧=+=-+⎨

⎨=+=+⎩⎩或，分别利用判别式“△<0”去求解没有公共点的情况，题目会变的非常烦琐。借助于图象既快捷又直观，利用数形结合是解决这类题目非常有效的方法。

例3. 设过()P x y ，点的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A B 、两点，点Q 与点P 关

于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u r u u u r 且1OQ AB ⋅=u u u r u u u r

，则点P 的轨迹方程为（ ）

A. )0,0(12

3x 32

2

>>=+y x y B. )0,0(12

332

2

>>=-y x y x Ｃ.

)0,0(132322

>>=-y x y x

Ｄ.

)0,0(132

322

>>=+y x y x 答案：Ｄ

解析：设过点()P x y ，的直线方程为)0,0(><+=b k b kx y ，则(),0,0,b A B b k ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

， 由题意知点Q 与点P 关于y 轴对称，得(),Q x y -，又()0,0O

∴()()0,2,00,00,01

b x y b x y k b x y b k ⎧⎛⎫--=--- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎡⎤⎛⎫⎪---⋅---= ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩ 即3231b x k b y b x by k

⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪-+=⎩，得22

3312x y +=

0,0,0,0>>∴>

评述：此题体现了直线与向量知识的综合运用，向量的坐标运算和解析几何关系密切。本题需注意在得到轨迹方程后，要对x y 、的范围进行讨论，这里容易忽略造成丢分。