二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念
大学数学(三)-概念及答案
大学数学（三）Day1--6概念及答案1.2111a a2.对角线法则：主对角线乘积减去副对角线乘积。
333231232221131211a a a a a a 的行列式。
4.上三角行列式：主对角线以下的元素为零。
5.下三角行列式：主对角线以上的元素为零。
6.上下三角行列式的值：主对角线乘积。
7.逆序数：所有逆序的总数。
8.余子式: 划去元素ij a 所在行和列，由剩余元素按原来顺序所组成的行列式9.代数余子式： ij A =ij j i M +-)1(10.转置行列式：行列式中的行和列互换 11.行列式性质一（转置）：D=T D12.行列式性质二（互换）：任意两行（列）互换，那么行列式的值改变符号。
13.行列式性质二（相同）：如果行列式中两行或两列对应元素全部相同，那么行列式的值为零。
14.行列式性质三（有公因子）：行列式中某行（列）的各元素有公因子时，可将公因子提到行列式外面。
15.行列式性质三推论（一行列为0）：如果行列式中有一行（列）的元素全为0，则行列式的值为0.16.行列式性质三推论（成比例）:如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，行列式的值为0.17.行列式性质四（和）：行列式等于两个相应的行列式的和。
18.行列式性质五（倍乘）：倍行（列）加到另一行（列）上，行列式的值不变。
19.行列式展开定理：n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
20.范德蒙行列式概念：形如 232221321111a a a a a a 的行列式21.范德蒙行列式的值：π（j i a a -）22.N 元线性方程组：含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为n 元线性方程组23.线性方程行列式：未知量的系数所组成的行列式。
24.非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组25.齐次线性方程组：常数项全为零的线性方程组。
26.克莱姆法则：0≠D 时， , , , ,2211D D x D D x D D n n ===27.非齐次线性方程组根的判别情况，0≠D ，则方程组有唯一解。
1.1_行列式的定义
a11
a1 j 1
a1 j 1
a1n
ai 11 ai 1 j 1 ai 1 j 1 ai 1n M ij ai 11 ai 1 j 1 ai 1 j 1 ai 1n an1 anj 1 anj 1 ann
求第一行各元素的代数 余子式之和
A11 A12 A1n .
解答: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
A11 A12
行列式的定义
1 0 A1n 0 0
1 2 0 0
1 0 3 0
1 0 0 n
n!
线性代数
ALGEBRA
安徽工业大学 数理学院应用数学系
行列式的定义
主要教学参考书
1.《线性代数》
华中科技大学大学编
高等教育教育出版社
2.《线性代数》
王传玉编
3.《线性代数》
同济大学著
1999 年版 行列式的定义
高等教育出版社
第1.1节 行列式的定义
行列式的定义
主要内容: 一、二阶与三阶行列式 二、n阶行列式的定义
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
a11a22 ann .
行列式的定义
三、思考与练习
思考题: 设n阶行列式
1 0 Dn 0 0 2 2 0 0 3 0 3 0 n 0 0 n
由消元法，得
两式相减 ，得 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21 同理，得
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2
第一章-第一节-n阶行列式的定义和性质(2)
第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质一、 二、三阶行列式定义的引出1. 二阶行列式例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：利用加减消元可求得122122112121121122122111221221,.b a a b a b b a x x a a a a a a a a --==--取 2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，得 .,2211DD x DD x ==定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -= 称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-= 2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=1112112121212a b D a b b a a b ==-因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++称为三阶行列式。
第一节 n阶行列式的定义
一、内容提要本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法．此外还介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克莱姆法则．二、学习要求正确理解n阶行列式的定义；熟悉行列式的性质，会利用行列式的性质化简行列式；熟悉行列式按行（列）展开的方法；熟练掌握行列式的计算方法；掌握克莱姆法则．第一节 n阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22– a12a21≠0 时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成如果记则当D≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成(3)这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1用二阶行列式解线性方程组解：这时，因此，方程组的解是对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2令当D≠0时，(4)的解可简单地表示成(6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3解线性方程组解：所以，例4已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．解，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识。
3、n阶行列式
18
线性代数
n阶行列式
证明 1）是显然的。 2）若记i ai ,n i 1 , 则依行列式定义
1 2
a n1 a 2 , n 1
t n n1 21
n n1 2
a1n
n
1
1
a1na2,n1 an1
证毕
19
12 n .
n阶行列式
2、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
线性代数
n阶行列式
例
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0
1 0 0 0
20
0 2 0 0
1 0 0 0
解
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
线性代数
n阶行列式
例
用行列式的定义计算
0 0 Dn 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 n
15
线性代数
n阶行列式
a11
1）
a12 a1n a22 a2 n aii ann
a1n
上三角行列 式
2）
a2,n1 an1 an1,n1
a2n ann
( 1)
n ( n1) 2
a
i ,n i 1
16
线性代数
n阶行列式
1 2 3 4
例
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
行列式定义性质与计算
行列式与逆序数的计算
总结词
行列式的逆序数与计算顺序有关。
详细描述
对于任何给定的方阵A，其逆序数与计算行列式的顺序有关。换句话说，如果你 改变计算行列式的顺序，那么逆序数也会相应地改变。这是因为行列式的定义涉 及对行和列的操作，而行和列的顺序会影响到这些操作的顺序和结果。
03
行列式的计算方法
二阶行列式的计算方法
矩阵逆运算中行列式的应用
总结词
行列式在矩阵逆运算中扮演关键角色。
详细描述
在求解矩阵的逆时，行列式是一个关键因素 。只有方阵才可能有逆矩阵，而判断一个方 阵是否可逆的方法之一就是查看其行列式值 。如果行列式值等于零，那么这个方阵就是 不可逆的；反之，如果行列式值不等于零， 那么这个方阵就是可逆的。因此，行列式在
用代数余子式展开，然后进行简单的 代数运算。
03
例子
对于三阶行列式
三阶行列式的计算方法
```
|abc| |def|
三阶行列式的计算方法
01
|ghi|
```
02
03
其值为 a*e*i + b*f*g + c*d*h c*e*g - b*d*i - a*f*h。
n阶行列式的计算方法-展开法
定义
n阶行列式是所有位于对角线上 的元素和它们不相邻的元素的总 和，共有n!项，每个项都是不同 行不同列的n个元素的乘积。
行列式定义性质与计算
2023-11-06
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的计算方法 • 行列式在解线性方程组中的应用 • 行列式在矩阵运算中的应用
01
行列式的定义
二阶行列式定义
01
二阶行列式是由2行2列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子 式决定。
线性代数 1-2 第1章2讲-行列式的基本概念(2)
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
01 n 阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数.
02 定义式的右边每一项都是 n 个元素的乘积（称为一个乘积项）,这 n 个元素是
由行列式的不同行、不同列的元素构成的.
某一乘积项符号的确定：先把该项的 n个元素按行标排成标准顺序，然后由
03
列标所成排列的逆序数来决定这一项的符号.
当n 4k或n 4k 1时，n(n 1) 为偶数； 2
当n 4k 2或n 4k 3时，n(n 1) 为奇数. 2
6
n阶行列式
结论（3）
a11 a12 a22
a1n a2n a11a22 ann
ann
上三角行列式 对角线下方的元素全为零
解
D 中可能不为 0 的项只有 (1)N a11a22 ann ，
此项的符号为 (1)N (1)0 1 ，
所以 D a11a22 ann .
7
n阶行列式
结论（4） 结论（5）
a11 a21 a22
a11a22 ann
an1 an2
ann
a2 ( n 1)
a1n
a2n
n ( n 1)
(1) 2 a a 1n 2(n1)
an1
a a n(n1)
nn
下三角行列式 对角线上方的元素全为零
线性代数（慕课版）
第一章 行列式
第二讲 行列式的基本概念(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 排列及其逆序数 02 二阶、三阶行列式
03 n阶行列式
n阶行列式
定义 用 n2个数aij i, j 1, 2, , n 排列成的一个 n 行 n 列的记号
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式一要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =;元素ij a 的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理5、克莱姆法则二基本要求1、理解n 阶行列式的定义2、掌握n 阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A +⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式;各行列元素之和等于同一个常数的行列式;利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵一要点1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表..当n m =时;称A 为n 阶矩阵;此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式;称为矩阵A 的行列式;记为A .注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..如果两矩阵A 与B 相乘;有BA AB =;则称矩阵A 与B 可换..注：矩阵乘积不一定符合交换2方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ;个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0;其中I 为单位阵 .3 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ;A 为方阵;矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ;其中I 为单位阵..4n 阶矩阵A 和B ;则B A AB =.5n 阶矩阵A ;则A A nλλ=4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵若矩阵A 可逆;则其逆矩阵是唯一的；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ; E A A A AA ==**矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质..6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵..7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价二要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如n m A ⨯;l n B ⨯;将矩阵B 分块为) (21l b b b B =;其中j b l j 2, ,1=是矩阵B 的第j 列;则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =;其中j p n j 2, ,1=是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = 3设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ;),2,1(s P A PP =均为方阵; A 可逆的充要条件是PP A 均可逆;s P ,2,1=;且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ;则称矩阵A 和矩阵B 等价;记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =;在等价意义下的标准型：若r A r =)(;则r D A ≅;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ;r I 为r 阶单位矩阵.. 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅..第三章 线性方程组一要点1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为n R ;n R 中定义了n 维向量的线性运算;则称nR 为 n 维向量空间..2、向量间的线性关系1线性组合与线性表示；线性表示的判定2线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价;向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法 1设有两个向量组,1α,2αs α )(A,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示;称向量组)(A 和)(B 等价..向量组的等价具有传递性..2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解1线性方程组的消元解法2线性方程组解的存在性和唯一性的判定3线性方程组解的结构4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法5非齐次方程组解的求法二要求1、理解n 维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量一要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化二要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..第五章二次型一要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..。
线性代数第一章第二节
1.1.3 n阶行列式的定义 定义1.1.4 由n2个元素排成 n行n列,以
a11 a 21 a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
记之，称其为 n阶行列式,它代表一个数值. 此数值是取自上式中不同行不同列的n个 元素 a1 j a2 j anj 乘积的代数和，其中
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 a12 x 2 b1 , a 21 x1 a 22 x 2 b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用 (j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数. 逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列.
对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？设这个排列中排在j1后面比
i k1 k 2 k s j
（1.1.3）
经过i与j的对换变成
j k1 k 2 k s i （1.1.4） 由排列（1.1.3）变为排列（1.1.4）可以通 过一系列两两相邻的对换来实现.先将i依次 与 k1,k2,…,ks，j经过 s+1次相邻对换后将 （1.1.3）变为
k1 k 2 k s j i
n( n 1) 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，我们有 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性.
矩阵的行列式行列式的定义性质与计算方法
矩阵的行列式行列式的定义性质与计算方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
矩阵的行列式是矩阵理论中的一个重要概念，它具有定义性质与计算方法，对于矩阵的性质和运算具有重要的指导作用。
一、行列式的定义对于一个n阶方阵A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素，那么行列式的定义如下：det(A) = Σ(±a1j A1j)，其中±表示正负号，A1j表示aij划去第i行第j列后的(n-1)阶行列式。
二、行列式的性质1. 如果矩阵A的某一行（列）全为零，则行列式det(A) = 0。
2. 交换矩阵A的两行（列）的位置，行列式det(A)的值不变。
3. 如果矩阵A的某一行（列）所有元素都乘以k倍（k为常数），则行列式det(A)乘以k。
4. 如果矩阵A的某一行（列）元素表示为两个数之和，例如aij =bij + cij，则行列式可以分解为两个行列式之和，即det(A) = det(A') +det(A")。
5. 如果矩阵A的两行（列）元素一一对应相等，行列式det(A) = 0。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算特别简单，可以直接应用定义进行计算。
2. 对于n阶行列式，可以通过展开行列式的方法来进行计算。
例如，对于行列式det(A) = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj，其中aij是A的第i行第j列的元素，A1j是(aij划去第i行第j列后的n-1)阶行列式。
可以选择任意一行或一列展开，然后在展开的基础上继续展开剩余的(n-1)阶行列式，直到得到二阶行列式进行计算。
3. 利用行列式的性质，可以通过递推的方法来计算较大阶数的行列式。
例如，使用行列式的性质进行行列变换，将矩阵转化为上（下）三角阵，此时行列式即为对角线上元素的乘积。
4. 利用行列式的性质，可以通过化简的方法来计算较大阶数的行列式。
1.1n阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式n阶行列式的概念来源
此行列式可简记 (aij) 或 D 。aij n
记一阶行列式 a11 ；a11
例1.5 三角形行列式（或对角形行列式）等于 主对角线上n个元素的乘积。
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a11a22 ann ；
0 0 ann
例1.6 负三角形行列式
j1 j2 jn
(1) (i1i2 in )
； (1) a a a ( j1 j2 jn )
i1 j1
i2 j2
in jn
j1 j2 jn
D aij n (1) ( j1 j2 i jn )
(1) a a a (i1i2 in )
i1 j1
i2 j2
in jn
i1i2 in
定义: 称
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
为三阶行列式。
例如
304 112 210 0 0 411 41 2 3 21 0 . 10
例如:自然数1，2，3的排列共有六种：
123，132，213，231，312，321．
为了方便起见，今后把自然数 1,2,视为n n个不
同的元素的代表。用 表示这np个i 不同的元素中
的一个
，(且pi 1,2时,, n于) 是 i j 便是pi p j
的一个p1排p2列p3 。 pn
1,2, n
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
二阶、三阶、n阶行列式
三,二阶行列式
a11 x1 + a12 x2 = b1 (1) 1,用消元法解二元线性 一次 方程组 一次)方程组 ,用消元法解二元线性(一次 a21 x1 + a22 x2 = b2 (2)
( a11 a 22 a12 a 21 ) x1 = b1a 22 b2 a12 ( a11 a 22 a12 a 21 ) x2 = b2 a11 b1a 21
b1 b2
a 12 a 22
a 12 a 22
主对角线 副对角线
主对角线的乘积- 主对角线的乘积-副对角线的乘积
行,列
两行两列故为二阶行列式
D1 = b1a 22 b2 a12 =
D2 = b2 a11 b1a 21 =
系数行列式
a 11 a 21
b1 b2
∵ D ≠ 0 ∴ 二元一次方程组有唯一解 x1 =
a11
-
a12 a22 a32
a13 a23 a33
+
a21 a31
对角线法则
沙路法则: 沙路法则:
a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33
a11 a21 a31
- -
a12 a22 a32
2,几种特殊的行列式 , (1),对角行列式—非主对角线上元素全为 的行列式. ,对角行列式 非主对角线上元素全为0的行列式 非主对角线上元素全为 的行列式.
λ1
D= 0 0 D= 0
λ2
= (1) N (12n ) λ1λ2 λn = λ1λ2 λn
λn
λ1 λ2
= ( 1) N ( n ( n 1)21) λ1λ2 λn = ( 1)
第一讲 二阶、三阶、N阶行列式
第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式； 掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义 难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。
二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念
( ji ) (ij ) 1
(2)不相邻对换
ik1 ks j jk1 ksi
需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.
定理2 全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半. 证 设 n !个 n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s t n!
D3 D1 D2 x1 , x2 , x2 D D D
3 0 4 1 1 2 4 1 1 4 1 2 3 2 1 2 1 0 10
问题：4 阶行列式应如何定义?
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 a12 a a a a 0 D 11 22 12 21 a21 a22
b1 a12 D1 b1a22 a12b2 b2 a22
a11 b1 D2 a11b2 b1a21 a21 b2
当系数行列式 D 0时,则方程组有 唯一解,其解可表示为: D1 D2 x1 , x2 D D
为 3！项代数和; 每项为取自不同行列的3个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.
n阶行列式定义: 定义
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
此行列式可简记为 de t (aij )nn 或 det(aij ).
归纳如下：
为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式.
行列式的定义
1.二阶行列式 — 平行四边形的有 向面积
是平行四边形 OAPB 的有向面积, 是两个向量
的函数,称为二阶行列式来自 记作 或 计算公式: 或2. 三阶行列式 — 平行六面体体积 从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使
则
就是以OA,OB,OC为棱的平行六面 体的有向体积。称为三阶行列式，记作
(2.1) 当 i,j,k 中有两个相等时，
这样的项可以从 (2.1) 中去掉。只剩下 i,j,k 两 两不相等的项。(2.1) 变成
(2.2)
我们有 类似地有
又
类似地有 代入(2.2), 得
3.n 阶行列式
其中
是由
决定的 “n 维体积”
它应具有以下基本性质： (1) 是 的某种乘积，可 以按乘法法则展开。 (2) 如果 n 个向量 中有两个 相等, 则 = 0 。将n个向量 中 的任意两个互换顺序， 则 变为 。 (3) det(e1,e2,…,en)=1，其中 n 维列向量 ei 的 第 i 分量为1、其余分量为0。
将排列 中任意两个数 相互交 换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行 列式 中的 互换了位置， 其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12…n), 相应地将 变成
于是得 (3.3)
可以证明, 决定, 我们将 代入(3.3) 得到
的值由排列 记为 sgn sgn
利用基本性质计算 n 阶行列式
(3.1) 当 i1,i2,…,in 中有两个相等时， 这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,…,n 的全体排列 (i1,i2,…, in ) 求和, 成为:
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|