第28讲 数列概念及等差数列

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座28）—数列概念及等差数列

一．课标要求：

1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；

2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；

3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。

二．命题走向

数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。

预测07年高考：

1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；

2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。

三．要点精讲

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；

数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1

n

（n N +∈）。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n

-=1,21

()1,2n k k Z n k

-=-⎧∈⎨

+=⎩；

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当

自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，

()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的

前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式。

2．等差数列

（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；

说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

（3）等差中项的概念：

定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2

a b

A +=

a ，A ，

b 成等差数列⇔2

a b

A +=

。 （4）等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-=

=+。 四．典例解析

题型1：数列概念

例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……；

（2）2212-，2313-，2414-，2515-；

（3）11*2-，12*3

，13*4-，1

4*5。

解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a = (1)(1)

n

n n -+。

点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，

这对考生的归纳推理能力有较高的要求。

例2．数列{}n a 中，已知21

()3

n n n a n N ++-=

∈， （1）写出10a ，1n a +，2n a ； （2）2

793

是否是数列中的项？若是，是第几项？

解析：（1）∵21()3n n n a n N ++-=∈，∴10a 210101109

33+-==， 1

n a +()()2

2

11131

3

3

n n n n +++-++=

=，2n a ()2

22421

133

n n n n +-+-==；

（2）令279321

3

n n +-=，解方程得15,16n n ==-或，

∵n N +∈，∴15n =， 即2

793

为该数列的第15项。

点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属。 题型2：数列的递推公式

例3．如图,一粒子在区域

{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原

点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。

（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出

}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；

（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所

需的时间；

（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。 解析：(1) 由图形可设12(1

,0),(2,0),,(,0)n A A A n ，当粒子从原点到达n A 时，明显有

13,a = 211,a a =+ 3111234,a a a =+=+⨯ 431,a a =+ 5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+

… … 2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+ ∴2114[35(21)]n a a n -=++++- ＝2

41n -, 222114n n a a n -=+=。

221212(21)441n n b a n n n --=--=-+, 2222244n n b a n n n =+⨯=+。

222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-, 2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,

即2

n c n n =+。